配方法的解题功能

数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。

点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。

4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。

例4、解方程052422=+-++y x y x 。

点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。

5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。

可以使我们求出所要求的最值。

例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。

“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。

cc518学习网精品学习资料总目录配方法是将一个式子或一个式子的某一部分化为完全平方式或几个完全平方式的和或差.许多数学题都可以通过配方法进行求解。

本文笔者将会详细剖析初中数学中配方法的五种用法。

类型一.解一元二次方程例1 用适当的方法解一元二次方程:x2-2x-143=0.分析此方程中常数项较大，使用公式法或者因式分解法解比较繁琐易错，由于二次项系数为l，并且一次项的系数是偶数，因此使用配方法比较好.类型二.求代数式的值例2 已知x-y=3,y-z=2,求x2+y2+z2-xy-yz-xz的值.分析代数式有三个未知数，而已知只给出两个方程，所以解不出x、y、z的值，可考虑用配方法及整体思想解题.类型三.分解因式例3 分解因式:x4+x2+1.分析此代数式既不能直接提取公因式，也不符合公式形式，因此无法直接分解因式.仔细观察题目发现中间项系数如果为2时，即符合完全平方公式.由此可考虑使用配方法解决.类型四.判定方程根的情况例4 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0，求证:无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.分析要判断方程根的情况，需要对一元二次方程根的判别式△的值进行讨论.类型五.求最值例5 ：某专卖店在销售过程中发现“兴乐”牌童装平均每天可售出20套，每套盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，该店决定采取适当降价措施，扩大销售量增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每套童装降价1元，那么平均每天可多售出2套，问:每套童装降价多少元时，专卖店平均每天盈利最多?每天盈利最多是多少元?分析实际生活的问题，往往可以通过建立适当的函数解析式，求函数的最值来解决.而求函数的最值是通过配方法来完成的.本题中“平均每天盈利”是“每套童装售价”的函数，故考虑用函数来解决.。

配方法的作用一、阅读思考把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：1、()2222a ab b ±+=2、()()222222a b c ab bc a b c +++++=++3、()()()22222212a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ （一）利用配方法解题须注意（1）具有较强的配方意识。

即由已知条件的平方特征或隐含的平方关系（如2m =）能联想起配方法；（2）兼有整体把握已知条件的能力，即善于把某项拆开又重新与其他项组合，得到完全平方式。

（二）小试牛刀1、若269y y -=-，则yx =_______；2、填空：()22672x x -+=-，它的最______（填“大”或“小”）值为2；3、()221-=()211y --=()21z -=二、问题解决 【求值】1、若有理数x 、y()12x y z =++，求()2x yz -的值。

2、已知2210m n mn m n +++-+=，求11m n+的值。

【判断形状】3、已知三角形ABC 的三边为a,b,c,且满足c bcac b 22224442222+=++a。

确定试这个三角形的形状。

【求最值】4、设x 、y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值。

【求整数解】5、方程22229129x y x y xy ++-=的非负整数解是__________三、数学冲浪1、已知2a b -=2b c -=222a b c ab bc ac ++---=______2、若a 、b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=______A 、8-B 、16-C 、8D 、163、设0a b >>，223a b ab +=，则a ba b+-的值为（ ）ABC 、2D4、实数a 、b 、c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++=_____5、已知a 、b 、c 均为实数，且4a b +=，2210c ab -=-，求ab 的值。

配方法应用举例配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。

下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所协助。

一、用配方法能够分解因式。

例1 将x 2+4x+3分解因式。

分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。

解：x 2+4x+3=（x 2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)二、用配方法能够判定二次三项式值的正、负性。

例2 求证无论x 取何值，代数式2x 2－6x+5的值恒大于零。

分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。

若用配方法，这类问题就迎刃而解了。

解：这是因为2x 2－6x+5=2(x 2－3x )+5=2[(x 2－3x+49)－49]+5=2(x －23)2－29+5=2(x －23)2+21＞0。

例3 求证：无论ｙ为何值，－10y 2+5y-4的值恒小于零。

解：这是因为－10y 2+5y-4=-10（ｙ2－21ｙ）-4=-10［(ｙ2－21ｙ+161)-161)-4=-10(ｙ－41)２－827﹤０ 三、用配方法能够求出二次三项式的最大值（或最小值）。

例４ 求当x 取何值时，代数式2x-2x 2-1的值最大？最大值是多少？分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。

解：2x-2x 2-1=-2（x 2-x ）-1=-2[(x 2-x+41)-41]-1=-2(x-21)2-21；因为无论x 取何值 -2(x-21)2≤0,所以 -2(x-21)2-21≤-21，当x=21时，代数式2x-2x 2-1的值最大,最大值是-21。

例5 代数式4y 2+8y-7有最大值还是有最小值？解：4y 2+8y-7=4（y 2+2y ）-7=4[(y 2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y 2+8y-7有最小值，最小值是-11。

配方法在解题中的巧妙的应用配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，还是挖掘题目当中隐含条件的有力工具。

它不仅可以用来解一元二次方程,，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，下面分别阐述如下：一. 用于求字母的值例1 已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为______.分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. ∵,6134222x xy x y x =+++∴,09644222=+-+++x x xy y x∴()().03222=-++x xy ∵()().03,0222≥-≥+x xy ∴xy+2=0,x-3=0,∴xy=-2,x=3. 将x=3代入xy=-2中解得.32-=y ∴ x=3,.32-=y二. 用于证明代数式非负例2 用配方法证明:不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a +正数”的形式.证明: ∵()()22225.025.4445.44+-=++-=+-x x x x x ,又∵()022≥-x ,∴05.442φ+-x x∴不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.三. 用于比较大小例3 若代数式,15,87102222+++=+-+=a b a N a b a M 则M-N 的值( )A. 一定是负数B.一定是正数C. 一定不是负数D.一定不是正数分析: M-N=)15(1)8710(2222++++-+a b a a b a=1587102222----+-+a b a a b a=().03233412922φ+-=++-a a a 故选B.四. 用于因式分解例4 分解因式:22412a ax x x -+++=_____________.分析:原式=()()()()222222422241212122a x x a ax x x x a ax x x x --+=+--++=-++-+ =()().1122a x x a x x +-+-++五. 用于判定三角形的形状例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足,0222=---++ac bc ab c b a ，则△ABC 的形状为_______________.分析:等式两边乘以2,得,022*******=---++ac bc ab c b a配方，得()()(),022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a即()()().0222=-+-+-a c c b b a由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.六. 用于求代数式的最值例6 利用配方法求7422--=x x y 的最大值或最小值.分析:求最大值或最小值,必须将它们化成()c b x a y ++=2的形式,然后再判断,当a ＞0时,它有最小值c;当a ＜0时,它有最大值c.解: ()()91227122742222--=--+-=--=x x x x x y∵(),0122≥-x ∴(),99122---φx故它的最小值是-9.评注:配方法是求一元二次方程根的一种方法,也是推导求根公式的工具,并且也是解决其他问题的方法.其用途相当广泛.。

配方法在初中数学解题中的运用研究配方法是把一个算式或者一个算式中的某一个部分以恒等变形的方式变成完全平方或者几个完全平方式的和.在初中数学解题过程中，适当运用配方法解答相应的问题，有利于提升解题的正确率与解题速度.笔者在践行高效课堂的过程中，注重配方法在初中数学解题中的灵活运用，教学效果显著.一、配方法应用在因式分解初中数学学习中，因式分解是一项重要的内容，能不能在繁多的数学问题中成功实现因式分解，是决定此项问题能否成功求解的基础，因式分解过程中合理的使用配方法，必然能够获得事半功倍的效果.例1 因式分解：4c2x2-4cdxy-3d2y2+8dy-4分析要想对这个式子做因式分解，在分析的基础上联合已经学过的知识，可以得出只要先加一个d2y2，就能够将上式中的4c2x2-4cdxy配成完全平方，把之前的多项式转化成平方差之后，再使用平方差公式就能够求解了.解原式=4c2x2-4cdxy+d2y2-4d2y2+8dy-4=（2cx-dy）2-（2dy-2）2=（2cx+dy-2）（2cx-3dy+2）二、配方法应用在解一元二次方程一元二次方程是整式方程，它不仅是初中数学教学中的重头戏，而且是学生今后学习数学的基础，采用配方法解一元二次方程效果事半功倍.例2 使用配方法解方程：x2+4x+3=0解移项得到x2+4x=-3，配方可得x2+4x+22=-3+22，（x+2）2=1.两边开平方，可以得到x+2=±1，因此可求解出x1=-3，x2=-1.这个方程的解答最关键的核心在于一元二次方程两边都加上了一次项系4的一半的二次方，这种一元二次方程左边能够简化成一个完全平方式（x+2）2，一元二次方程右边是非负数1，将其转化成直接开平方法就能够得出方程的解.二次项不是1的需要先把二次项系数转化成1，之后再借助配方法进行答案求解.一元二次方程解题过程中使用配方法，其本质就是对一元二次方程进行变形，将其转化成开方所需要的形式.三、配方法应用在根式化简根式化简是初中代数中的重要内容，假如采用配方法解题，往往起到令人满意的效果.例3 化简3-8.分析形如A+2B的根式，使用配方法化简十分容易，但是在化解过程中有一项需要重点注意的是如果把原式配方做成（1-2）2的形式，在将根号去除时不可忽视算术根的概念.解原式=2-22+1=（2-1）2=2-1.四、配方法应用在二次三项式例4 证明代数式-3x2-x+1的值不大于1312.解答这个题目的关键在于把二次三项式用配方的方式表达成含有完全平方的式子，二次三项式配方不比一元二次方程的配方，各项除以二次项系数即可，而是需要将二次项系数中的-3提取，重点关注提取系数之后多项式中的“x2+13x”完成配方，之后使用“平方是非负数”的定义特点与不等式自身的性质要求，将这个二次三项式的取值范围求解，也就是代数式的求解范围.但是，不少学生往往把方程配方与代数式的配方混为一谈，因此，我们必须在教学过程中正确引导学生正确区分两者之间的关系.解 -3x2-x+1=-3（x2+ x）+1=-3[x2+13x+（16）2-（16）2]+1=-3（x+16）2+3（16）2+1=-3（x+16）2+1312.因为3（x+16）2≥0，所以-3（x+16）2≤0，所以-3（x+16）2+1312≤1312.也就是代数式代数式-3x2-x+1的值不大于1312.五、配方法应用在几何题例5 △ABC三条边分别是a、b、c，且满足等式（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），判断这个三角形的形状.这类题型的特征，都是将三角形中边或者角的数量关系使用代数式的方式表达，从这里就可以看出，要准确判断一个三角形的形状，除了常用的几何方式外，还可以借助配方法的方式求解.解原式可化为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.使用配方法可以化成（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0.由上式可以得出a-b=0，b-c=0，c-a=0.所以可以得到a=b，b=c，c=a.也就是三边a、b、c相等，因此这个三角形是等边三角形.六、配方法应用在二次函数最值的求解例6 有研究结果显示，学生对于概念问题的掌握能力y和提出概念所需要使用的时间x（单位：分）之间满足着如下函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43（013时，y的取值会随着x的增大而变小.那么这个函数式的取值范围应该是：0。

解一元二次方程时配方法的作用在解一元二次方程时，配方法是一种常用的方法。

这种方法的核心思想是通过配方，将方程转化为一个完全平方的形式，从而方便求解。

配方法不仅仅是一种解题技巧，它的背后有着深厚的数学原理和广泛的应用。

首先，配方法能够将形式复杂的一元二次方程转化为更容易处理的形式。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为常数，且 a ≠0。

通过配方，可以将方程转化为(a(x+b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2 的形式。

这种转化使得原本复杂的一元二次方程变得更加直观和简单，方便我们进一步求解。

其次，配方法能够揭示一元二次方程根的性质。

通过配方，我们可以清晰地看到方程的根与系数之间的关系。

例如，方程的根的和等于系数的负比值，即-b/a；根的乘积等于常数项与首项系数之比，即c/a。

这些关系式对于理解一元二次方程的根的性质和分布具有重要意义。

此外，配方法在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在物理学、工程学、经济学等领域，我们经常需要解决形如y = ax^2 + bx + c 的问题。

这些问题可以通过配方法转化为顶点形式y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k) 是函数的顶点坐标。

这种转化能够帮助我们更准确地描述问题的本质，并提供有效的解决方案。

再者，配方法还能培养学生的数学思维和解决问题的能力。

在数学教学中，配方法是一元二次方程部分的重点内容之一。

通过学习和掌握配方法，学生可以锻炼自己的逻辑思维、推理能力和计算能力。

同时，配方法还能够帮助学生理解数学的转化思想，培养他们的创新思维和实践能力。

总之，配方法在解一元二次方程中的作用是显而易见的。

它不仅是一种解题技巧，更是一种数学思维方式和解决问题的方法。

通过学习和运用配方法，我们可以更好地理解一元二次方程的本质和性质，并在实际应用中发挥其作用。

同时，配方法还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力，为他们的未来发展奠定坚实的基础。

高中数学解题基本方法——配方法掌握一种解题的基本方法。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺某y项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab ＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；2222222b22a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；222222a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝22222221222[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]22a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋in2α＝1＋2inαcoα＝（inα＋coα）；某＋2211212＝(某＋)－2＝(某－)＋2；等等。

某2某某Ⅰ、再现性题组：1.在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。

2.方程某＋y－4k某－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A.<k<1B.k<或k>1C.k∈RD.k＝或k＝144223.已知inα＋coα＝1，则inα＋coα的值为______。

A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log1(－2某＋5某＋3)的单调递增区间是_____。

2A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)2225.已知方程某+(a-2)某+a-1=0的两根某1、某2，则点P(某1,某2)在圆某+y=4上，则实数a＝_____。

【简解】1小题：利用等比数列性质ampamp＝am，将已知等式左边后配方（a3＋a5）易求。

答案是：5。

22掌握一种解题的基本方法。

2小题：配方成圆的标准方程形式(某－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。

配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。

它是完全平方公式的逆用。

配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。

例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。

解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。

解：△ABC是等边三角形。

配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再使用完全平方式是非负数这个性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．使用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的水平，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例1、已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题)思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．例2、若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) (武汉市选拔赛试题) A ．3 B ．1459 C ．29 D ．6 思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-32211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，使用配方法求其最小值．例3、怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．(奥林匹克试题) 思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，使用配方法试一试．例4、求方程m 2－2mn+14n 2=217的自然数解． (上海市竞赛题)思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．例5、求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存有时的x 、y 的值．例6、为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上实行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存有一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存有，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存有，请说明理由．(温州市中考题)思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都能够配方；同一个式于能够有不同的配方结果，能够配一个平方式，也能够配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．学历训练1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．(江西省中考题)2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．3．分解因式：32422+++-b a b a = ． 4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ．5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则x y yx 23-+的值是（ ）6．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式acbc ab c b a ---++222的值为( )7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )8．化简312213242--+为( )9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． 11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ，则z y x +2的值为 ． 12．若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ．13．x 、y 为实数，且y xy y x 24222+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则b a b a -+的值为( )。

专题提优1 配方法的“妙用”———专题讲解———把一个式子或一个式子的部分改写成一个完全平方式，或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法．这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用．配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段．运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆项”和“添项”是配方中常用的技巧．一般常用的基本等式： 1．a 2±2ab ＋b 2=（a ±b ）2；2．a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac =（a ＋b ＋c ）2； 3．a 2＋b 2＋c 2±2ab ±2bc ±2ac =12[（a ±b ）2＋（b ±c ）2＋（c ±a ）2]；4．ax 2＋bx ＋c =a （x ＋2b a ）＋244ac ba-．———提优范例———【例1】已知a ，b ，c 满足a 2＋2b =7，b 2－2c =－1，c 2－6a =－17，则a ＋b ＋c 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【提示】根据已知等式左端的特点，将其配成完全平方式的和，然后利用非负数的性质：几个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．例如：若|a |＋b ＋c2=0，则a =b =c =0．【感悟】特别地，对于形如用配方法来化简，因为只要适当变形常可使被开方数成为一个完全平方式．是算术根，防止出错．【例2】（江苏泰州中考）已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．Q P> B ． Q P =C ．Q P < D ．不能确定【提示】运用差值法、配方法比较．【感悟】用配方法证明不等关系的主要方法是通过配方产生非负数，然后利用非负数的性质，或者由平方式的非负性导出不等关系．【例3】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y 2＋4y ＋8的最小值． 解：y 2＋4y ＋8=y 2＋4y ＋4＋4=（y ＋2）2＋4， ∵（y ＋2）2≥0，∴（y ＋2）2＋4≥4， ∴y 2＋4y ＋8的最小值是4．（1）求代数式m 2＋m ＋4的最小值； （2）求代数式4−x 2＋2x 的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设AB =x （m ），请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【提示】阅读→理解→解答．【感悟】用配方法确定代数式的最值：将二次三项式ax 2＋bx ＋c 配方成a （x ＋2b a ）＋244ac b a-，由的符号决定其最大（小）值244ac b a-，此时x =−2b a．———小试身手———1．（☆）若△ABC 的边长为a 、b 、c ，且满足等式a 2＋b 2＋c 2=ab ＋bc ＋ca ， 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形．2．（☆☆☆2011·天津市）若实数x 、y 、z 满足（x －z ）2－4（x －y ）（y －z ）=0．则下列式子一定成立的是（ ） A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-= D ．20z x y +-=A ．－1B ．0C ．1D ．24．（☆☆☆2011·呼和浩特）若x 2－3x ＋1=0，则1242++x x x 的值为 ．5．（☆2013•全国初中数学联赛预赛）若04122=---x x，（2b －5）m ，则这段铁丝的总长是8．（☆☆☆☆2011·四川成都）设S 1=1＋211＋221，S 2=1＋221＋231，S 3=1＋231＋241，…，S n =1＋21n ＋2)1(1+n ，设S =1S ＋2S ＋…＋nS ，则S =(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．9．（☆☆2014•怀化模拟）若实数x 、y 、z 满足x =4－y ，z 2=xy －4，求证：x =y ．10．（☆☆☆2013•全国初中数学竞赛九年级预赛）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式．求证： c b a ==．11．（☆☆☆☆）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1=0的两个实数根，设s 1=α＋β，s 2=α2＋β2，…，s n =αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1=0，β2－β－1=0，将两式相加，得（α2＋β2）－（α＋β）－2=0，于是，得s 2－s 1－2=0．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值； （2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n －1，s n －2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，直接写出的值．12．（☆☆☆☆2014•贵州毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1≤x ≤10），求y 的最大值； （2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．———参考答案———例1．【答案】B【解析】由a 2＋2b =7，b 2－2c =－1，c 2－6a =－17得a 2＋2b ＋b 2－2c ＋c 2－6a ＋11=0，∴（a －3）2＋（b ＋1）2＋（c －1）2边三角形． 2．【答案】D【解析】∵（x －z ）2－4（x －y ）（y －z ）=0，∴x 2－2xz ＋z 2－4xy ＋4xz ＋4y 2－4yz =0，x 2＋2xz ＋z 2－4xy －4yz ＋4y 2=0，（x ＋z ）2－4y （y ＋z ）＋4y 2=0，（x ＋z －2y ）2=0，∴x ＋z －2y =0． 3．【答案】B【解析】将m 2＋n 2＋mn ＋m －n ＋1=0变形，得2m 2＋2n 2＋2mn ＋2m －2n ＋2=0，即（m ＋1）2＋（n －1）2＋（m ＋n ）2=0，∴m ＋1=0，n －1=0，解得m =－1，n =1．∴1m ＋1n=－1＋1=0．【解析】由已知x 2－3x ＋1=0，得x 2=3x－1．将x 2=3x－1代入1242++x x x =222(31)1x x x -++=221062x x x -+=210(31)62x x x --+=31248x x --=318(31)x x --=18．5．【答案】2【解析】设此三位数为：100x ＋10y ＋z ，根据题意得：x 2＋y 2＋z 2=2xy 或x 2＋y 2＋z 2=2xz 或x 2＋y 2＋z 2=2yz ，即x 2＋y 2－2xy =－z 2或x 2－2xz ＋z 2=－y 2或y 2＋z 2－2yz =－x 2，则（x －y ）2=－z 2或（x －z ）2=－y 2或（y －z ）2=－x 2，故x －y =z 或x －z =y 或y －z =x ，故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数学和0构成的三位数就行．【解析】 ∵S n =1＋21n ＋2)1(1+n =22)]1([]1)1([+++n n n n ，∴n S =)1(1)1(+++n n n n =1＋n 1－11+n ，∴S =1＋1－21＋1＋21－31＋…＋1＋n1－11+n =n ＋1－11+n =122++n nn ． 9．【解析】∵x =4－y ，∴z 2=xy －4=（4－y ）y －4=－y 2＋4y －4=－（y －2）2≥0，所以y =2，x =2． 10．【解析】证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2＋2（a ＋b ＋c ）x ＋ab ＋ac ＋bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0． 即4（a ＋b ＋c ）2－12（ab ＋ac ＋bc ）=0． ∴ 2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca =0,（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2=0．要使等式成立，必须且只需：0,0,0,a b b c c a -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解这个方程组，得c b a ==． 11．【解析】（1）移项，得x 2－x =1， 配方，得，即，开平方，得，即，所以，，．于是，s 1=1，s 2=3；（2）猜想：s n =s n －1＋s n －2． 证明：根据根的定义，α2－α－1=0， 两边都乘以αn －2，得 αn －αn －1－αn －2=0，①同理，βn －βn －1－βn －2=0，②①＋②，得（αn ＋βn ）－（αn －1＋βn －1）－（αn －2＋βn －2）=0，因为s n=αn＋βn，s n－1=αn－1＋βn－1，s n－2=αn－2＋βn－2，所以s n－s n－1－s n－2=0，即s n=s n－1＋s n－2．（3）47．理由：由（1）知，s1=1，s2=3，由（2）中的关系式可得：s3=s2＋s1=4，s4=s3＋s2=7，s5=7＋4=11，s6=11＋7=18，s7=18＋11=29，s8=29＋18=47．即．12．【解析】（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是x－1档．∴y=[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]，即y=－10x2＋180x＋400（其中x是正整数，且1≤x≤10）．∵－10x2＋180x＋400=－10（x−9）2＋1210，－10（x−9）2≤0，∴y=－10x2＋180x＋400的最大值为1210元；（2）由题意可得－10x2＋180x＋400=1120，整理，得x2－18x＋72=0，解得x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．。

配方法的四种常见应用考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对配方法的四种常见应用的理解！【类型1 利用配方法确定未知数的取值】1．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，则m的值为（）A．1B．−1C．−10D．−192．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c，则c的值为（）A．−3B．0C．1D．33．（2023春·浙江杭州·八年级期末）若−2x2+4x−7=−2(x+m)2+n，则m，n的值为（）A．m=1,n=−5B．m=−1,n=−5C．m=1,n=9D．m=−1,n=−94．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（）A．1B．2C．4D．55．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，则k的值可能是()A．0B．2C．3D．926．（2023春·天津和平·八年级校考期中）若方程4x2−(m−2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为（）A．−2B．−2或6C．−2或−6D．2或−67．（2023春·河北保定·八年级统考期末）将一元二次方程x2−8x+5=0配方成(x+a)2=b的形式，则a+b 的值为．8．（2023春·山东威海·八年级统考期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为．9．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n（1）则m= ，n= ；（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7 ?10．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+2√3x+5=x2+2×√3x+(√3)2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【类型2 利用配方法构造“非负数之和”解决问题】1．（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2−2c=−1，c2−2a=−17，则a−b+c的值为（）A．−1B．5C．6D．−72．（2023·全国·八年级专题练习）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是．3．（2023春·江苏·八年级期末）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为．4．（2023春·八年级课时练习）根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值；(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知a+b−2√a−1−4√b−2=3√c−3−1c−5，求a+b+c的2值．6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）（1）若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：因为m2−2mn+2n2−8n+16=0，所以(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0由此，可求出m=______；n=______；根据上面的观察，探究下面问题：（2）x2+4xy+5y2+2−2√2y=0，求2x+y的值；7．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b 的值．8．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零．例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，∴n=2，m=-3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a=．b=．（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求x y的值．（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读与思考的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解①x2+3x−4；②x2−8x−9（2）深入研究：说明多项式x2−6x+12的值总是一个正数?（3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．10．（2023春·内蒙古赤峰·八年级统考期末）阅读材料：若x2−2xy+2y2−8y+16=0，求x，y的值．解：∵x2−2xy+2y2−8y+16=0∴(x2−2xy+y2)+(y2−8y+16)=0∴(x−y)2+(y−4)2=0∴(x−y)2=0，(y−4)2=0∴y=4,x=4根据上述材料，解答下列问题：（1）m2−2mn+2n2−2n+1=0，求2m+n的值；（2）a−b=6，ab+c2−4c+13=0，求a+b+c的值．11．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）设b为正整数，a为实数，记M=a2−4ab+5b2+2a−2b+11，4在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值，并求出M取得最小整数值时a，b的值．12．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2)2−2；②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=(x−√2)2+(2√2−4)x，或x2−4x+2=(x+√2)2−(4+2√2)x③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=(√2x−√2)2−x2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求x y的值．13．（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1−1=a2+6a+9−1=(a+2)(a+4)②M=a2−2ab+2b2−2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2−2ab+2b2−2b+2=a2−2ab+b2+b2−2b+1+1=(a−b)2+(b−1)2+1∵(a−b)2≥0，(b−1)2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2−2x+______．3(2)用配方法因式分解：x2−4xy+3y2．(3)若M=x2+8x−4，求M的最小值．(4)已知x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，则x+y+z的值为______．【类型3 利用配方法求最值】1．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）代数式x2−4x+5的最小值为（）A．−1B．0C．1D．22．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是（）A．B−A的最大值是0B．B−A的最小值是−1C．当B=2A时，x为正数D．当B=2A时，x为负数3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2−10)，且实数m，n 满足2m−3n2+9=0，则点P到原点O的距离的最小值为（）A．35√10B．125C．65√3D．45√54．（2023春·浙江·八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：a1(x−m)2+n=0与a2(x−m)2+n=0，称为“同族二次方程”．如2(x−3)2+4=0与3(x−3)2+4=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2(x−1)2+1=0与(a+2)x2+(b−4)x+8=0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2018能取的最小值是（）A．2011B．2013C．2018D．20235．（2023春·福建福州·八年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m−n2=8，则代数式m2−3n2+m−14的最小值是．6．（2023春·广东韶关·八年级校考期末）阅读下面的解答过程：求y2+4y+8的最小值解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4=(y+2)2≥0，即(y+2)2的最小值为0，∴(y+2)2+4的最小值为4．即y2+4y+8的最小值是4．根据上面的解答过程，回答下列问题：(1)式子x2+2x+2有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．(2)求12x2+x的最小值．(3)求−x2+2x+4的最大值．7．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．应用：代数式m2−1有值(填“最大”或“最小”)这个值是．探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x−1的最小值，并求此时x的值，拓展：求多项式x2−4xy+5y2−12y+15的最小值及此时x，y的值8．（2023春·广东惠州·八年级期末）阅读理解：求代数式x2+6x+10的最小值.解：因为x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1，所以当x=−3时，代数式x2+6x+10有最小值，最小值是1.仿照应用求值：(1)求代数式x2+2x+10的最小值；(2)求代数式−m2+8m+3的最大值.9．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数y=x+1x时，提出了如下问题：（1）初步思考：自变量x的取值范围是_______________（2）探索发现：当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限；（3）深入思考：当x>0时，y=x+1x =(√x)2+(1√x)2=(√x−1√x)2+2≥2，于是，当√x−1√x=0时，即x=1时，y的最小值是2．请仿照上述过程，求当x<0时，y的最大值；【实际应用】（4）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【类型4 利用配方法比较大小】1．（2023·全国·八年级假期作业）若代数式M=10a2+b2−7a+8,N=a2+b2+5a+1，请比较M、N的大小．2．（2023春·浙江杭州·八年级期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣3）．2（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．3．（2023·江苏·八年级假期作业）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8=a2+6a+32−32+8=(a+3)2−1因为(a+3)2≥0，所以a2+6a+≥−1，因此，当a=−3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是−1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x=___________时，代数式x2−2x−1有最小值，最小值为___________．(2)当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x，y何值时，代数式5x2−4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．4．（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2xa−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa−3a2=(a2+2ax+a2)−a2−3a2=(x+a)2−4a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题：(1)分解因式：a2−6a+8.(2)比较代数式x2−1与2x−3的大小.5．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．6．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）先阅读后解题：若m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：等式可变形为：m2+2m+1+n2−6n+9=0即(m+1)2+(n−3)2=0因为(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，所以m+1=0，n−3=0即m=−1，n=3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x2+y2+4x−10y+29=0，求y x的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−6b+11=0，则△ABC的周长是________；（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x−3与x2+3x−4的大小，并说明理由．7．（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下列材料利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式．例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系．∵x2﹣2x＋3＝（x﹣）2＋．∴x2﹣2x＋30（填“＞”、“＜”、“＝”）（2）如图①所示的长方形边长分别是2a＋5、3a＋2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a＋5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．8．（2023春·广东肇庆·八年级德庆县德城中学校考期中）材料阅读结论：①形如(a±b)2+c的式子，当a±b=0有最小值，最小值是c；②形如−(a±b)2+c的式子，当a±b=0有最大值，最大值是c；③а2+b2≥2ab．这三个结论有着广泛的运用．比如：求x取何值时，代数式x2−4x+3有最小值，最小值是多少？小明同学用结论①求出了答案，他是这样解答的：∵x2−4x+3=x2−4x+(4−4)+3=(x2−4x+4)−4+3=(x−2)2−1∴当x−2=0，即x=2时x2−4x+3的值最小，最小值为−1．理解运用请恰当地选用上面的结论解答下面的问题(1)求x取何值时，代数式−x2−6x+5有最大值，最大值是多少？(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：方案一：第一次提价p%，第二次提价q%：%．方案二：第一次，第二次提价均为p+q2其中p，q是不相等的正数，请比较两种方案，哪种方案提价较多？。

配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab ＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。

Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则 a＋a＝_______。

2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. <k<1B. k<或k>1C. k∈RD. k＝或k＝13. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, ]B. [,+∞)C. (－,]D. [,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。

【简解】 1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。