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近世代数第10讲
第10 讲
§7 循环群(Cyclic groups)
本讲的教学目的和要求：研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互联系中去研究。
当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。
循环群是所有群中最简单的一种群。
它的结构可以完全刻划清楚的。
本讲中，要求我们了解这类群的特点，从本质上领会“循环群已经完全弄清楚了”的含义。
并且要求
1、循环群的阶与生成元的阶的关系.
2、两类循环群的本质区别和它们各自的同构象.
3、循环群中元素之间的联系和性质。
本讲的重点和难点：循环群的结构定理是本讲中的重点。
而难点是循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循环群的子群的性质（这个问题将放到下一讲中去讨论）和子群的生成元问题。
本讲的教法及教具：仍利用投影仪和展示台进行课堂教学。
本讲的思考题：蕴含在教学活动中。
一. 循环群的概念
例1 整数加群},3,2,1,0,1,2,3,{}2|{ ---=∈=n n Z 中，每个元素都是1的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）事实上，
0是1的零倍：100⋅=；正数m 是1的m 的倍：1⋅=m m ，负数m -是1的m -倍:1)(⋅-=-m m .
例 2 模n 剩余类加群]}1[,],2[],1[],0{[-=n Z n . 中的运算是“钟表加法”，易知n Z 中每个元素
][m 都是]1[的倍
数:]1[]1[]1[]1[][⋅=++=m m m
上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素，使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数 . （因为是加法群，所以用倍数 . 如果是乘法群，则应是方幂）。
于是，前面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）.
定义1 设G 是一个(乘法)群,而G 中有一个元素a ，使G 中每个元素都a 的乘方 . 即}|{Z m a G m ∈=. 那么称G 为循环群 .a 叫做G 的生成元，习惯上记为)(a G =. 也就是说，G 是由生成元a 生成的. 注意：由定义1可知，例1和例2都是循环群，并且按习惯化为)1(=Z 和])1([=n Z 。
其中，1和]1[分别是Z 和n Z 的生成元.
二、 循环群的结构定理 .（以乘法群为讨论对象）
设)(a G =是一个群，而a 是G 的生成元 . 那么我们有一个重要的结论：G 的阶与a 的阶一致，即||||a G =. 事实上，
(1)当a 的阶是无限时，这说明任一个整数(除了0)t 都不会有e a t =.
于是我们有 结论1：当∞=||a 时，},,,,,,,,{)(32123 a a a e a a a a G ---==，设j i ≠，而恰有j i a a =，
不妨设0>-⇒<i j j i . 那么e a i j =-，这说明i j a -≤||与∞=||a 矛盾。
所以只要j i a a j i ≠⇒≠.
(2) 当a 的阶是有限n 时，乘方“i a ”就有可能无限“泛滥”，由钟表记算法知，“i a ”就只能编小在一定范围内，我们有: 结论2：当n a =||时，},,,,,{)(13210-==n a a a a a a G ，其中：0a e =.首先,若10-≤<≤n j i 时,j i a a ≠.其实若e a a a i j j i =⇒=-而n i j a n i j <-≤⇒<-<||0,这与n a =||矛盾.由此知道:13210,,,,,-n a a a a a 是两两不等的.
其次,t t a G a ,∈∀都是},,,,,{13210-n a a a a a 中某个元素:事实上,如果10-≤≤n t ,t a 自然在},,,,,{13210-n a a a a a 之中 .
如果t n <由常余除法知n r r ng t <≤+=0..
于是r r g r g n r ng r ng t a a e a a a a a a =====+)(.∴
t r t a n r a a ⇒<≤=0.在
},,,,,{13210-n a a a a a 之中. 如果0<t ，由常余除法同理t r t a a a n r r ng t ⇒=∴<≤+=⇒.0,在},,,,,{13210-n a a a a a 之中 .
综合上述讨论，我们有下列结论：
结论3 设循环群)(a G =. 那么
•G 是无限循环群∞=⇔||a .
元，但除了a 外,1-a 其实也是G 的生成元. 因为
)(},,,,,,,,{}
,,,,,)(,)(,)(,{)(321233*********a a a a e a a a a a a e a a a a ===-------------
除此之外，还有其它生成元吗？如果i a 也是一个生成元，)1(±≠i 于是必有⇒↑∉⇒=⇒=⇒==Z i g i ij a a a ij j i .1.1)(. 这表明：无限循环群G 中只有二个不同的生成a 和1-a .
情形2、当},,,,{)(1210-==n a a a a a G . 除了a 自然是G 的生成元之外，还有其余生成元吗？为了讨论以上的方便，现设b n =.这时，
},,,,,{)(543210a a a a a a a G ==，
可以验证5a 也是G 的生成元:;;)(505a a e = a a a a a a a a a a a a ========2555220453153541025)(;)(;)(;)(.这说明5a 也能生成G ，即:},,,,,{)(54325a a a a a e a =. 最后可断言：上例中的生成元只a 和5a .
思考题：为什么说，只有a 和5a 是6阶循环群)(a G =的生成元呢？
【证明】：因为6||=a ，同时例中也验证了6||5=a . 这就是说，)(5a 中也含有6个元素 . 与G 的一样多 .)(5a G =⇒.∴ 5a 也是生成元，而其他元素e a a a a =0432,,,的阶都不是6，所以它们都不能成为生成元。
所以有“i a 也是)(a 的生成元||||a a i =⇔.”
上思考题告诫我们，寻找循环群的其他生成元的关键问题是要确定其阶数。
于是元素的阶数问题自然很重要了 .
四、循环群中元素的阶
谈到循环群中元素的阶，自然清楚无限循环群
},,,,,,,,{)(32123 a a a e a a a a G ---==
中每个元素e ≠的阶都必是无限的（想一想，为什么？） 下面重点讨论n 阶循环群},,,,{)(12-==n a a a e a G 的问题.
结论4 设n 阶循环群)(a G =中任一个元r a ，若),(r n d =. 那么d n
a r =||.
【证明】：因为d 是n 与r 的最大公因数r d n d ||且⇒. 并且有2
1,dq r dq n ==这里d r q d n q ==21,并且知1),(21=q q (互质)首先,e e a a a a q q n n q d n dq d n
r =====2222)()()(. 若设*)(.|,|| d
n k k a r ⇒= 其次，)||(|)(n a rk n e a k r =⇒= ，这说明
k d r d n |，但(**).|1),( k d
n d r d n ⇒=. 由(*)和(**)知,d n k =. 即d n a r =||.
由结论4知，若1=d
时，n a r =||，这时r a 就是G 的生成元，
所以: 结论5、在n 阶循环群)(a G =中，r a 是生成元1),(=⇔n r .
【证明】：设d r n =),(.
“ ⇒”，若
r a 是生成元n a r =⇒||. 但由结论41),(1,||==∴⇒=∴=⇒r n d d
n n d n a r 即. “⇐”r r a n d n a d r n ⇒==
∴=⇒=||.11),( 也是生成元。
例3、设6阶循环群},,,,,{)(5432a a a a a e a G ==，求G 中的每个元素的阶和G 的全部生成元. 解：.6||.32
6||,236||,326||,6||,1||5432=========a a a a a e
∴G 的全部生成元有二个：a 和5a . 注意：定义在自然数集上的函数)(x ϕ叫做欧拉函数：其中)(n ϕ表示不超过n 且与n 互素的自然数个数. 比如： ,4)8(,6)7(,2)6(===ϕϕϕ 结论6、任一个n 阶循环群)(a G =都有)(n ϕ个生成元.
五、循环群G 的元素的性质 结论7 设)(a G =是循环群，那么
（1）若∞=||a ，则Z l k l k a a l k ∈∀=⇔=,.
（2）若n a =||，则Z l k l k n a a l k ∈∀-⇔=..|
【证明】：（1）“⇐”显然成立 “⇒”如果l k ≠，不妨设l k >，由e a a a l k l k =⇒=-， 因,||0l k a l k -≤⇒>-与∞=||a 矛盾. ∴l k =
（2）利用“元素的阶的知识”：l k n e a a a l k l k -⇔=⇔=-|. 结论8 设)(a G =是n 阶循环群，那么
（1） 若n 为互素，则G 中每个非单位元都是G 的生成元 .
（2） 若n 为合数，只要n m |，则G 中必有m 阶元)(N m ∈(结论8
是结论5的直接结果).。
