2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二(3页)

2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一压轴大题24分提高练(一)20．(12分)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．①P (X >μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×p k ×(1－p )>1，得k <1 001p ， 而1 001p ＝978.277 3，所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)<P (ξ＝k )，当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)>P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.21．(12分)已知函数f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)在(0,2)内有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：x 1＋x 2<2(1＋ln a )．解：(1)由f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2，可得f ′(x )＝(2－x )(e x －1－ax )x 3，记h (x )＝e x－1－ax ，x >0，由题意，知y ＝h (x )在(0,2)内存在两个零点．∵h ′(x )＝e x －1－a ，则当a ≤0时，h ′(x )>0，h (x )在(0,2)上单调递增，h (x )至多有一个零点，不合题意．当a >0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1＋ln a ，由1＋ln a >0，得a >1e .①若1＋ln a <2且h (2)>0，即1e <a <e 2时，h (x )在(0,1＋ln a )上单调递减，在(1＋ln a,2)上单调递增，则h (x )min ＝h (1＋ln a )＝－a ln a ，当1e <a ≤1时，h (x )min ＝－a ln a ≥0，不合题意，舍去．当1<a <e 2时，h (x )min ＝－a ln a <0，且h (2)>0，x →0时h (x )>0，从而h (x )在(0,1＋ln a )和(1＋ln a,2)上各有一个零点．∴y ＝h (x )在(0,2)上存在两个零点．②若1＋ln a ≥2，即a ≥e 时，h (x )在(0,2)上单调递减，h (x )至多有一个零点，舍去．③若1＋ln a <2且h (2)≤0，即e 2≤a <e 时，h (x )在(0,1＋ln a )上有一个零点，而在(1＋ln a,2)上没有零点，舍去．综上可得，1<a <e 2，即实数a 的取值范围为(1，e 2)．(2)证明：令H (x )＝h (x )－h (2＋2ln a －x )，0<x <1＋ln a ，则H ′(x )＝h ′(x )＋h ′(2＋2ln a －x )＝e x －1－a ＋e 2＋2ln a －x －1－a ＝e x －1＋a 2ex －1－2a ≥2a －2a ＝0， ∴H (x )在(0,1＋ln a )上单调递增，从而H (x )<0，即h (x )－h (2＋2ln a －x )<0，∴h (x 1)－h (2＋2ln a －x 1)<0，而h (x 1)＝h (x 2)，且h (x )在(1＋ln a,2)上单调递增， ∴h (x 2)<h (2＋2ln a －x 1)，x 2<2＋2ln a －x 1，∴x 1＋x 2<2(1＋ln a )．。

2018新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.977C ．0.488D ．0.4772．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）.A y z z 2=- .B 222y x z += .C x z z 2≥- .D y x z +≤3.已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k B ．0>k C ．0≥k D ． 0<k 4.已知函数()()ϕ+=x sin x f 2，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立， 且 ()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2，则()f x 的单调递增区间是 A ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ C ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ25．如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME ⋅的取值范围是 （ ） A ．[62,62]-B ．[6,6]-C ．[32,32]-D ．[4,4]-6.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b +=表示焦点在x 32的椭圆的概率为BA .12B .1532C .1732D .31327、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ） A ．3 B ．25 C ．2 D ．278、阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==yxEF D B CMOA9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ， 若对任意的)6,5,4,3,2(=ia i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2010. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为 A.5 B.51- C.51+ D.512+ 11、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（B ） A ．2 B ．９ C ．８ D ．212．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 （ ）A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知nx i x )(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143-，其中12-=i ，则展开式中常数项是______________. 14.当x ，y 满足时，则t=x ﹣2y 的最小值是15.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____. 16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面， 1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）设1CE CC λ= (01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30︒，试求λ的值.19.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X ≥900 工期延 误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3 ,0.7 ,0.9.求： （Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．20.如图所示，已知过一点(11)P -，作抛物线2y x =的两条切线，切点分别为A 、B ；过点P 的直线l 与抛物线2y x =和线段AB 分别相交于两点C 、D 和点Q ． （Ⅰ）求直线AB 的方程； （Ⅱ）试问：线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数是否构成等差数列？请加以证明．21.函数xx a x f ln )(+=，若曲线)(x f 在点))(,e f e （处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（1）若)(x f 在)1,(+m m 上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1>x 时，)1)(1(21)(1++>+-xx xe x e e x f . 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、2y x = y x P lDB AO C QA 1C 1BAC B 1B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O于点D ,若BC MC =. （1）求证:△APM ∽△ABP ;（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修4在极坐标系中，已知圆C 的圆心．，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C于A B 、两点，求弦长 ２４(本小题满分10分) 选修⑴ 已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；⑵ 已知,,a b c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++++≥.新课标1高考压轴卷理科数学答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A2. D3. D4. C5. B6.B7. A8. B9. B 10. Ｄ 11. Ｃ 12Ｃ. 简答与提示：1.【知识点】正态曲线的性质的应用 【答案解析】A()()22122120.0230.954.P P ξξ-≤≤=->=-⨯=2答案：D5.【知识点】圆的方程；向量在几何中的应用；向量的运算.【答案解析】B 解析：解：因为圆M ：（x-3）2+（y-3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2.()ME OF ME OM MF ME OM ME MF⋅=⋅+=⋅+⋅0ME MF ME MF ⊥∴⋅=()[]6cos 6,6ME OF ME OM OME π∴⋅=⋅=-∠∈-,所以B 正确.6依题意知，a > b ，e ＝<，即b > .如图所示故所求概率为P ＝1－－＝7试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.9如果1不在前左边,则2必须在1的左边(1)23456的次序保存不变,变化1的位置(123456)(213456)(231456)(234156)(234516)(234561)(2)3456次序不变,1和2的次序为21(同时3必须在21的左边）(321456)(324156)(324516)(324561)(342156)(342516)(342561)(345216)(345261)(345621)(3)456次序不变(432156)(432516)(432561)(435216)(435261)(435621)(453216)(453261)(453621)(456321)(4)56次序不变(543216)(543261)(543621)(546321)(564321)(5)6在最左(654321)32种可能注：这题本身也有趣.注意到当只有一个数时,可能排列为1,即2的0次,记2^0当有两个数1和2时,排列为12,或21,为两种,2^1当123时,排列为4＝2^2当数字为4个时,排列为8=2^311.【答案解析】B 解析：解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx-x2求导：y′（x）=3x-2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=3x -2x，解得：x=1或x=-32（舍），把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），切点到直线y=x+2的距离：1122++=22，∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．故选：B．【思路点拨】由题设b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x2；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．13的展开式的通项公式为：，因为第三项与第五项的系数之比为，所以解得所以常数项为第9项，所以展开式中的常数项为14．根据题意，首先画可行域，再分析可得t为目标函数纵截距一半的相反数，最后画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）时t有最小值即可．解：画可行域如图，z为目标函数t=x﹣2y，可看成是直线t=x﹣2y的纵截距一半的相反数，画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）点时，t有最小值﹣4，故答案为：﹣4．15.【知识点】导数几何意义的应用。

24分大题抢分练(三)(建议用时：30分钟)20．(12分)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ) .(1)讨论函数f (x )的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．②当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞1a. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点；当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a －1＝0，则a ＝1，从而f (x )＝x －1－ln x .∵∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，∴∀x ∈(0，＋∞)，1＋1x －ln x x≥b 恒成立． 令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x 2， 由g ′(x )≥0得x ≥e 2，则g (x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，＋∞)上递增．∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2， 故实数b 的最大值是1－1e 2. 21．(12分)已知动圆C 过定点F 2(1,0)，并且内切于定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝12.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若曲线y 2＝4x 上存在两个点M ，N ，(1)中曲线上有两个点P ，Q ，并且M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，PQ ⊥MN ，求四边形PMQN 的面积的最小值．[解] (1)设动圆的半径为r ，则|CF 2|＝r ，|CF 1|＝23－r ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝23＞|F 1F 2|， 由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，动圆圆心C 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得|MN |＝4，|PQ |＝23，四边形PMQN 的面积S ＝4 3.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ， 消元得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，|MN |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2＋22－4＝4k 2＋4. 因为PQ ⊥MN ，所以直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎨⎧ y ＝－1k (x －1)，x 23＋y 22＝1，得(2k 2＋3)x 2－6x ＋3－6k 2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x 4＝62k 2＋3，x 3x 4＝3－6k 22k 2＋3，|PQ |＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫62k 2＋32－4×3－6k 22k 2＋3 ＝43(k 2＋1)2k 2＋3. 则四边形PMQN 的面积S ＝12|MN ||PQ | ＝12⎝⎛⎭⎫4k 2＋443(k 2＋1)2k 2＋3＝83(k 2＋1)2k 2(2k 2＋3). 令k 2＋1＝t ，t ＞1，则S ＝83t 2(t －1)(2t ＋1)＝83－1t 2－1t＋2 ＝83－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋94. 因为t ＞1，所以0＜1t ＜1，易知－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋94的范围是(0,2)，所以S ＞832＝4 3.综上可得S≥43，S的最小值为4 3.。

压轴题增分练(三)(时间：30分钟 满分：24分)1．(12分)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|＝5，且3a ＝b 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点．若直线AB 过点(1，－1)，且∠APF 2＝∠BPF 2，求直线AB 的方程． [规范解答及评分标准] (1)由题意知，|PF 2|＝b 2a＝3. ∵|PF 1|＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，∴a ＝4，b 2＝3a ＝12，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(4分) (2)由(1)可得c ＝2.把x ＝2代入x 216＋y 212＝1，得y ＝3(负值已舍去)． ∴点P 的坐标为(2,3)．(6分)∵∠APF 2＝∠BPF 2，∴直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k x －2，x 216＋y 212＝1， 消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－48＝0.∴x 1＋2＝8k 2k －33＋4k 2.(8分) 同理可得直线PB 的方程为y －3＝－k (x －2)，x 2＋2＝－8k －2k －33＋4k 2＝8k 2k ＋33＋4k2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k2.(10分) k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1－2＋3＋k x 2－2－3x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝12， ∴满足条件的直线AB 的方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.(12分) 2．(12分)已知函数f (x )＝x 2－(2m ＋1)x ＋ln x (m ∈R )．(1)当m ＝－12时，若函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)当x >1时，f (x )<(1－m )x 2恒成立，求实数m 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)由题意得，函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x. ①当a ＝0时，g (x )＝x 2(x >0)无零点．(2分)②当a >0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．取x 0＝e －1a ，则g (e －1a )＝－1＋(e －1a)2<0. 因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)<0，此时函数g (x )恰有一个零点．(4分)③当a <0时，令g ′(x )＝0，解得x ＝－a 2. 当0<x <－a 2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a 2上单调递减； 当x > －a 2时，g ′(x )>0，即g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2，＋∞上单调递增． 要使函数f (x )有一个零点，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2＝a ln －a 2－a2＝0，解得a ＝－2e. 综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.(6分)(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，则h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝x －12mx －1x .根据题意可知，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0恒成立．①若0<m <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞时，h ′(x )>0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，所以不符合题意．(8分) ②若m ≥12，则当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意．(10分)③若m ≤0，则当x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，要使h (x )<0对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，则h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上所述，实数m 的取值范围是[－1,0]．(12分)。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．1204．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，直线l 与圆C 有公共点必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数(22()log 1f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<8．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z zB ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD 的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD 是边长为2的菱形，B ，C 分别为AE ，FD 的中点，BD =22）A ．BE CD ⊥B ．BE 与平面DCE 所成角的余弦值为1515C ．四面体ABCD 10530D ．四面体ABCD 的外接球表面积为8π11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈）把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-第二部分（非选择题共92分）二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破二“12＋4”限时提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z ＝1＋i1－i＋2i ，则|z |＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：解法1：因为z ＝1＋i 1－i ＋2i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋2i ＝i ＋2i ＝3i ，所以|z |＝02＋32＝3，故选D.解法2：|z |＝|1＋i 1－i ＋2i|＝|3＋3i 1－i |＝|3＋3i||1－i|＝322＝3，故选D.2．已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x 2－x －2<0}，则(∁R A )∩B ＝( C ) A ．(－1,0] B ．[－1,2) C ．[1,2)D ．(1,2]解析：解法1：由题意知，∁R A ＝{x |x ≥1或x ≤－1}，又B ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.解法2：因为1∉A 且1∈B ，所以排除A ，D ，又－1∉B ，所以排除B ，故选C.3．甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( C )A.x 甲<x 乙，σ甲<σ乙B.x 甲<x 乙，σ甲>σ乙C.x 甲>x 乙，σ甲<σ乙D.x 甲>x 乙，σ甲>σ乙解析：由题图可知，甲同学除第2次考试成绩低于乙同学外，其他5次考试成绩都高于乙同学，所以x 甲>x 乙．又由题图中数据知甲同学的成绩波动没有乙同学的成绩波动大，所以甲同学的成绩更稳定，所以σ甲<σ乙，故选C.4．计算sin133°cos197°＋cos47°cos73°的结果为( B ) A.12 B ．－12 C.22D.32解析：sin133°cos197°＋cos47°cos73°＝－sin47°cos17°＋cos47°cos73°＝－sin47°sin73°＋cos47°cos73°＝cos(47°＋73°)＝cos120°＝－12，故选B.5．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( C )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k P A ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k P A ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a 2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a 2＝2，故选C.6．(2x 2－1x )9的展开式中的常数项为( A ) A ．672 B ．－672 C ．84D ．－84解析：(2x 2－1x )9的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r·(－1x )r＝(－1)r ·29－r·C r 9·x 18－3r，由18－3r ＝0，得r ＝6，所以该二项式的常数项为(－1)6×23×C 69＝672，故选A.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为－21，则判断框中可以填( A )A ．a <64?B ．a ≤64?C ．a <128?D ．a ≤128?解析：执行程序框图，S ＝1，a ＝－2；S ＝－1，a ＝4；S ＝3，a ＝－8；S ＝－5，a ＝16；S ＝11，a ＝－32；S ＝－21，a ＝64.此时退出循环，所以判断框中可以填“a <64？”，故选A.8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( C )A ．1，3π4 B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4解析：由题图知最小正周期T ＝2×(54－14)＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把点(14，0)代入，得sin(π4＋φ)＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.9．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，异面直线AC 1与BB 1所成的角为30°，则AA 1＝( D )A. 3 B ．3 C. 5D.6解析：如图，连接A 1C 1，由长方体的性质知，BB 1∥AA 1，则∠A 1AC 1即异面直线AC 1与BB 1所成的角，所以∠A 1AC 1＝30°.在Rt △A 1B 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝ 2.在Rt △A 1AC 1中，tan ∠A 1AC 1＝A 1C 1A 1A ，即A 1A ＝A 1C 1tan ∠A 1AC 1＝233＝6，故选D.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c ＝1，则C ＝( B )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B.11．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( B )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：解法1：如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l ：x ＝－2与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ，则|AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，由中位线定理，知|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3，结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，所以|FN |＝|FM |＋|MN |＝6，故选B.解法2：设N (0，a )，由题意知F (2,0)，则M (1，a2)，因为点M 在抛物线上，所以a 24＝8，解得a ＝±42，所以N (0，±42)，所以|FN |＝(2－0)2＋(0±42)2＝6，故选B.12．已知函数f (x )＝a －x 2(1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数)与g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1，1e 2＋2] B ．[1，e 2－2] C ．[1e 2＋2，e 2－2]D ．[e 2－2，＋∞)解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解．设h (x )＝x 2－2ln x ，则h ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(1＋x )x .因为当x ∈(1e ，1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在(1e ，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝1.因为h (1e )＝1e 2＋2，h (e)＝e 2－2，所以h (e)>h (1e )，所以方程a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－3,2)，若向量k a －2b 与a 垂直，则实数k ＝－1.解析：由题意，得k a －2b ＝(k ＋6，k －4)．又k a －2b 与a 垂直，所以(k a －2b )·a ＝k ＋6＋k －4＝0，解得k ＝－1.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －6≤0，x －2y －3≤0，则z ＝2x －3y 的最小值是－8.解析：解法1：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当目标函数z ＝2x －3y 所表示的直线经过点A (2,4)时，z 取得最小值，即z min ＝2×2－3×4＝－8.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得A (2,4)，此时z ＝－8；由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y －3＝0，得B (－1，－2)，此时z ＝4； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －2y －3＝0，得C (5,1)，此时z ＝7. 综上所述，z ＝2x －3y 的最小值为－8.15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋52)＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x＋a ，则f (16)＝12.解析：由f (x ＋52)＋f (x )＝0，得f (x )＝－f (x ＋52)＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的周期函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.16．在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ­ABCD 体积的取值范围为[433，83]，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是[28π3，20π]．解析：在四棱锥S ­ABCD 中，由条件知AD ⊥SA ，AD ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABCD .过S 作SO ⊥AB 于点O ，则SO ⊥平面ABCD .设∠SAB ＝θ，则V S ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SO ＝83sin θ∈[433，83]，所以sin θ∈[32，1]，又θ∈(0，π)，所以θ∈[π3，2π3]，所以－12≤cos θ≤12.在△SAB 中，SA ＝AB ＝2，所以SB ＝221－cos θ，所以△SAB 的外接圆半径r ＝SB2sin θ＝21－cos θsin θ.将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱，得其外接球的半径R ＝r 2＋1，所以该四棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π(21＋cos θ＋1)∈[28π3，20π]．。

2021年最新高考冲刺压轴卷理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足()()202220221i 2i z -=，则z =（ ）A ．1B ．20222C ．10112D ．10112-【答案】C【解析】依题意()202220222i 1i 1i z ⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭，202210112z ==，故选C ．2．已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|0lg 1000B x x =<≤，|2a C x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，若()A B C {|03}x x =≤<，则a =（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】C【解析】因为集合{}{}2|20|02A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}|0lg 1000|13B x x x x =<≤=<≤，所以{}|03AB x x =≤≤，又|2a C x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，(){|03}A B C x x =≤<，所以32a=，解得6a =，故选C ． 3．“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直， 所以1()(1)0a a ⨯+⨯-=，所以a ∈R ．所以1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分条件； 当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立， 所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的非必要条件， 所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分非必要条件，故选A ．4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．三科总体的标准差相同B ．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小【答案】D【解析】由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙，故选D ． 5．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】∵log log ma a mb b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===，777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===，7log 66c =， 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>， 故选B ．6．已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则此函数的“π4LD -”区间为（ ） A ．()πππ,π612k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()7ππ,π312πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()πππ,π123k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7π5ππ,π126k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C【解析】对于函数()3sin 2π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6s 26πco f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，对于函数()ππππ3sin 23sin 24463g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()π6cos 23g x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则此函数的“π4LD -”区间满足： 6cos 2066cos π3π20x x ⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即ππππ+63,7ππππ1212k x k k k x k ⎧-≤≤⎪⎪∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩Z ， ∴ππππ,123k x k k +≤≤+∈Z ，故选C ． 7．函数2()ln 1f x x x =--的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，函数()2ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)+∞，设()ln 1g x x x =--，则()10g =，()11g x x'=-， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 可得()()10g x g >=，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且()0f x >，故选D ． 8．已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N ，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）． A ．1n a n =+ B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】A【解析】由题已知()112g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()g x g x -=-， 代入得11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，令12t x =-，则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+，即()1=+n a n ，故选A ．9．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．2B ．2C ．π16D 【答案】A【解析】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连接,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥，又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥， 而1DMD D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥， 又AEAF A =，所以1D M ⊥平面AEF ，因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而2EF =，所以动点P 的轨迹的长度为2，故选A ．10．已知函数()12x f x +=可以表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之差，若()2h x +⎡⎤⎣⎦()1ag x ≥对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由()()()12x f x g x h x +=-=，有()()()()()22x f x g x h x g x h x -=---=+=， 解得()22xxg x -=+，()22xx h x -=-，()()21h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦，可化为()()222221x x x xa ---++≥，有()()442221x xx x a --+-++≥，有()()2225220x xx x a --+-++≥，得()52222x xx xa --≥-++， 又由222x x -+≥，有51222a ≥-=，故选C ． 11．已知圆()()222:0M x m y m m ++=>在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内部，点A为C 上一动点．过A 作圆M 的一条切线，交C 于另一点B ，切点为D ，当D 为AB 的中点时，直线MD 的斜率为-C 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+．将A ，B 的坐标分别代入C 的方程，得22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，得()()222212122211x x y y a b-=--， 所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即()()21202120y y y b x x x a -=--．当D 为AB的中点时，MD k =-14AB MDk k =-=，故12124y y x x -=-．如图，设E 为C 的左顶点，连接OD ，则2DME DOM ∠=∠，所以22tan tan tan 21tan DOMDME DOM DOM∠∠=∠==-∠2tan 0DOM DOM ∠+∠=，解得tan 2DOM ∠=或tan DOM ∠=，则00tan ODy k DOM x =-∠==，所以2242b a ⎛⨯-=- ⎝⎭，所以2214b a =， 故C的离心率2e ==，故选C ．12．若()f x 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[],A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[],A B 与[],B A 视为同一个“友情点对”）若()32,0,0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0-【答案】A【解析】根据题意，若要求“友情点对”，可把0x <时的函数图象关于原点对称， 研究对称过去的图象和0x ≥时的图象有两交点即可，2(0)y ax x =<关于原点对称的解析式为2(0)y ax x =->，考查3x x y e=的图象和2(0)y ax x =->的交点，可得32x x ax e=-，x x a e =-，令()x x g x e =-，1()0xx g x e -'==， 所以(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数；(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，1(1)g e=-，其图象为故若要xx a e =-有两解，只要10a e-<<即可，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．612a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为________． 【答案】320-【解析】令1x =，可得612a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为6(1)(12)3a +⋅-=，2a ∴=．6612122a x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6224461111(2)(126016024016064)x x x x x x x=+-+-+⋅-+，故该展开式中常数项为()2160320⨯-=-，故答案为320-． 14．某中学为了了解学生学习物理的情况，抽取了100名物理成绩在6090分(满分为100分)之间的学生进行调查，将这100名学生的物理成绩分成了六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90，绘成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[)70,80的学生中任抽取2人，则成绩在[)75,80的学生恰好有一人的概率为_______．【答案】2449【解析】从频率分布直方图中可知，成绩在[)70,75的人数为0.04510020⨯⨯=人， 成绩在[)75,80的人数为0.06510030⨯⨯=人．成绩在[)75,80的学生恰好有一人的概率为112030250C C 24C 49P ==，故答案为2449． 15．已知点P ，Q 是圆221x y +=上的动点，若直线0:x y l b ++=上存在点A ，使得PAQ ∠=π2，则b 的取值范围是_________． 【答案】[2,2]-【解析】如图，过圆221x y +=上任意两点P ，Q 分别作与坐标轴平行的直线， 两直线交于一点A ，则点A 满足题意，可知正方形区域内（含边界），对于任意两点P ，Q 均存在满足题意的A 点． 当直线0x y b ++=过正方形右上顶点时，b 取得最小值2-； 当直线0x y b ++=过正方形左下顶点时，b 取得最大值2， 故b 的取值范围为[2,2]-，故答案为[2,2]-．16．已知ABC △的外心为O ，34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅，则cos B的取值范围是___________．【答案】,13⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ， 因为ABC △的外心为O ，则ODBC ，因为()++AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅，又()()()()2222111+222AD BC AB AC AC AB AC AB b c ⋅=⋅-==--， 所以()2212AO BC b c ⋅=-，同理可得()2212BO AC a c -⋅=，()2212CO BA b a -⋅=，所以34AO BC BO AC CO BA ⋅=⋅+⋅化为()()()22222211134222b c a c b a ⨯-=⨯+--，即22232a c b +=．由余弦定理得()22222222212123cos 2232a c a c a c b a c B acac ac+-+=+-=⨯+=，又22222+a c ac ac≥=c =时，取等号，又0πB <<，所以cos 13B ≤<．故答案为⎫⎪⎪⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，332n n a a =-，且5324S S a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34nT <． 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， 在332n n a a =-中，令1n =，得3132a a =-， 即11232a d a +=-，故11a d =+①．由5324S S a -=，得4524a a a +=，所以123a d =②． 由①②解得13a =，2d =．所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+． （2）由（1）可得()12(321)222n n n a a n n S n n +++===+， 所以211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以11113231221242(1)(2)n n T n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭． 因为2302(1)(2)n n n +>++，所以34n T <．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB ==，2BC =，E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，点F 在棱11A B 上，且12B F =．（1）证明：1//A P 平面EFC ；（2）若1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，求二面角P CF E --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）14． 【解析】（1）证明：如图，连接1PB 交CE 于点D ，连接DF ，EP ，1CB ．因为E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点， 故11//2EP CB ，故112PD DB =． 又12B F =，113A B =，故1112A F FB =，故1//FD A P ． 又FD ⊂平面EFC ，所以1//A P 平面EFC ．（2）由题意知AB ，BC ，1BB 两两垂直，以B 为坐标原点，以1BB 的方向为z 轴正方向，分别以BA ，BC 为x 轴和y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -．则()0,2,0C ，()10,0,3B ，()2,0,3F ，()0,1,3E ，30,2,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设()111,,x y z =n 为平面EFC 的法向量，则00EF EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即11112030x y y z -=⎧⎨-=⎩，可取3,3,12⎛⎫= ⎪⎝⎭n ．设()222,,x y z =m 为平面PFC 的法向量，则00PF PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即222232202302x y z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可取()1,1,0=m ，所以33cos ,14+⋅===n m n m n m ， 由题意知二面角P CF E --为锐角，所以二面角P CF E --的余弦值为14． 19．（12分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得到下表数据：请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x的线性回归方程ˆˆˆya bx=+； （2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为25，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为m ，14，23，其中01m <<，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时m 的取值范围． 参考公式：①线性相关系数ni ix y nxyr -=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．②对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）相关系数0.99r ≈，y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，回归直线方程ˆ 2.30.7y x =-+；（2）17,160⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）根据表格中的数据，可得689101295x ++++==，2345645y ++++==，511224365072194i ii x y==++++=∑，521366481100144425i i x ==++++=∑，5214916253690ii y==++++=∑，可得相关系数0.990.95r ==≈>， 故y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，又由1221194594ˆ0.7425581ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，可得ˆ490.7 2.3a =-⨯=-，综上回归直线方程ˆ 2.30.7yx =-+． （2）通过甲大学的考试科目数23,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()26355E X =⨯=，设通过乙大学的考试科目数为Y ，则Y 可能的取值为0，1，2，3， 则()()()12101111434P Y m m ⎛⎫⎛⎫==---=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()121212711111111434343123P Y m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+-⨯⨯-+-⨯-⨯=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()121212152111434343612P Y m m m m ⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1213436P Y m m ==⨯⨯=，所以()711511123123612612E Y m m m m ⎛⎫=-+++⨯=+ ⎪⎝⎭， 因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，所以()()E Y E X >，即116125m +>， 又由01m <<，解得17160m <<， 即为该考生更希望通过乙大学的笔试时m 的范围为17,160⎛⎫⎪⎝⎭． 20．（12分）已知抛物线Ω的标准方程是()220x py p =>，过点()0,2M p 的直线l 与抛物线Ω相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足1264y y ⋅=．（1）求抛物线Ω的标准方程及准线方程；（2）设垂直于l 的直线1l 和抛物线Ω有两个不同的公共点C ，D ，当C ，D 均在以AB 为直径的圆上时，求直线l 的斜率．【答案】（1）抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-；（2）1或1-． 【解析】（1）由题意可知，直线l 的斜率存在， 设其斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx p =+，由222x py y kx p⎧=⎨=+⎩，消元得22240x pkx p --=． 122x x pk +∴=，2124x x p ⋅=-，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线Ω上，2112x py =∴，2222x py =，22212124x x p y y =∴，212464y y p ⋅==∴，解得4p =，∴抛物线Ω的标准方程为28x y =，准线方程为2y =-．（2）由（1）得：抛物线Ω的方程为28x y =，若0k =，则直线1l 与抛物线仅有一个交点，不合题意，0k ∴≠， 设()33,C x y ，()44,D x y ，143344318l y y x x k x x k -+∴===--，则348x x k+=-， ,C D 在以AB 为直径的圆上，CA CB ∴⊥，DA DB ⊥，即0CA CB ⋅=，0DA DB ⋅=，()()()()()()()()222231323132222241424142064064x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧--⎪--+=⎪∴⎨--⎪--+=⎪⎩，整理得()()()()31324142640640x x x x x x x x ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩，由（1）知128x x k +=，1264x x ⋅=-，2332448080x kx x kx ⎧+=∴⎨+=⎩，两式作差得348x x k +=-， 又348x x k +=-，88k k∴-=-，解得1k =±，∴直线l 的斜率为1或1-．21．（12分）已知函数21()()2xf x e ax a =-∈R ． （1）若曲线()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(0,)+∞上存在极大值M ，证明：2aM <． 【答案】（1）(],e -∞；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得()0xf x e ax '=-≥在区间()0,∞+内恒成立，即xe a x≤在区间()0,∞+内恒成立，令()x e g x x =，则()()221xx x x exe e g x x x--'==． 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1内单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在区间()1,+∞内单调递增， 故()()min 1g x g e ==，所以a e ≤， 所以a 的取值范围为(],e -∞．（2）由（1）知当a e ≤时，()f x 在区间()0,∞+内单调递增，则不存在极大值． 当a e >时，1ln a <．()x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()x h x e a '=-，令()0h x '=，则ln x a =，则易知函数()f x '在区间()0,ln a 内单调递减，在区间()ln ,a +∞内单调递增． 又()010f '=>，()10f e a '=-<，()()ln ln ln 1ln 0a f a e a a a a ==-'-<（易知1ln 0a -<）， ()()2ln 22ln 2ln 2ln 2ln a f a e a a a a a a a a '=-=-=-，令()2ln a a a ϕ=-，()2210a a a aϕ-'=-=>，所以()a ϕ在(),a +∞上单调递增， 所以()()2ln 20a a a e e ϕϕ=->=->， 所以()()2ln 2ln 0f a a a a '=->，故存在()10,1x ∈，使得()1110xf x e ax '=-=，存在()2ln ,2ln x a a ∈，使得()20f x '=， 则当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间()10,x 内单调递增，在区间()12,x x 内单调递减，在区间()2,x +∞内单调递增，所以当1x x =时，()f x 取得极大值，即12112x M e ax =-． 由101x <<，得1102x ->，11122x x ≠-， 由110xe ax -=，得11xe ax =，故1211221111122111222122222x x x x x a M e ax ax ax a a ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-=-=⋅-<= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以2aM <．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，P 为曲线122cos :1sin 2x C y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)上的动点，将P 点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q ，记点Q 的轨迹为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且()1,A ρθ，2,6πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求|||OA OB 的取值范围．【答案】（1） 2cos ρθ=；（2）[)2,1-．【解析】（1）曲线21cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，化为普通方程为()2211x y -+=， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （2）设()1,A ρθ，2ππ,0,623πB ρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，122cos 2sin 6ππ6OA ρθθθ⎛⎫==-+=- ⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，因为,23ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以23π66ππ,θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 |||OA OB 的取值范围是[)2,1-． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()212f x x x =++-． （1）求()f x 的最小值m ；（2）若a 、b 均为正实数，且满足3323a b m +=，求证：2a b +≤． 【答案】（1）3m =；（2）证明见解析．【解析】（1）当1x <-时，()()2123f x x x x =-++-=-，此时函数()f x 单调递减，且()3f x >；当12x -≤≤时，()()2124f x x x x =++-=+，此时函数()f x 单调递增，且()[]3,6f x ∈；当2x >时，()()2123f x x x x =++-=，此时函数()f x 单调递增，且()6f x >， 综上所述，3m =．（2）由已知可知，0a >，0b >且33223a b m +==，由三元均值不等式可得3113a a ++≥=，3113b b ++≥=，所以333346a b a b +≤++=，即2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立，故原不等式得证．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

最新名校高考数学押题卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1]2．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=7+ni，则（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．1 D．4．已知数列{a n}的通项为a n=n2﹣2λn，则“λ＜0”是“∀n∈N*，a n+1＞a n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞116．设等差数列{a n}满足a2=7，a4=3，S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．127．过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为（）A．B．C．D．9．已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y=e x的图象上，那么实数a的取值范围为（）A．[e，4）B．[e，+∞）C．[1，3）D．[2，+∞）10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，||=||=||=1，，A（1，1），则的取值范围（）A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣﹣，﹣+] C．[﹣，+] D．[1﹣，1+]11．已知双曲线﹣=1的离心率为e=2，右焦点F到其渐进线的距离为，抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点F重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x=﹣1上，则△ABC的边长是（）A．8 B．10 C．12 D．1412．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3二、填空题:本大题共4小题。

2021年高考压轴卷数学（理科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（）A． B． C． D．2.已知函数，，且，，，则的值为A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+ B．4+ C．4+ D．4+4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x xωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么( )A．-1 B．C．D．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a aB a a a=+-=--+，若，则实数的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．11.若是等差数列的前项和,且，则的值为．12.展开式中有理项共有项．13.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos,4(cos),1,4sin3(2xxnxm==．记(I)求的周期；(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)B=b，若，试判断ABC的形状．16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16 6 22女同学8 12 20总计24 18 42（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？ （Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.17.已知正四棱柱中，. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为. 求证: 为定值.19.已知数列的各项均为正数，记,,342(),1,2,n C n a a a n +=+++= .（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.20.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且， 求证：（其中是的导函数）．xx北京市高考压轴卷数学理word版参考答案1.【答案】D【解析】1()1,2,1,12xx xi yi x yi=-=-∴==+故选D．2.【答案】B【解析】∵，∴函数在R上是减函数且是奇函数，∵，∴，∴，∴，∴，同理：，，∴.3.【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A．4.【答案】A.【解析】5.【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，mγ，γ∩β=c∴m∥c，∵mα，cα，∴c∥α，∵nβ，cβ，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C6.【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7.【答案】C.【解析】设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选C．8.【答案】A.【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，方程在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=图象的交点的个数，而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到，作出它们的图象如图：可得两函数的图象有5个交点，故选A【解析】①若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,,与题意不符，舍 ②若2a-1=-3,则a=-1，此时： }2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，，a=-1 ③若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6结束． ∴S＝n ＝15． ∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====【解析】展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项， 故答案为：3 13.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为，因为与函数的图象交于P 、Q 两点，所以，且联列解得22,2,,2P k Q k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝，所以()222122284PQ kk k k ⎛⎫⎛⎫=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a ≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0）， ∴a ＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）． 故答案为：15. 【解析】2311()3cos cos cos 4442222xx x x x f x +=++ （I ）（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒= ∵ ∴ 113sin 262263A A πππ+⎛⎫+++= ⎪⎝⎭或或而，所以，因此ABC 为等边三角形.……………12分 16. 【解析】（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值k 42×(16×12－8×6)224×18×20×2225255≈4.582>3.841. ……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 （Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． 方法一：令事件A 为“甲被抽到”；事件B 为“乙丙被抽到”，则 P(A∩B)，P(A).所以P(B|A)P(A∩B )P(A)217×16 1136. ……7分方法二：令事件C 为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”， 则P(C)217×161136.②由题知X 的可能值为0，1，2.依题意P(X0)3551；P(X1)517；P(X2)151.从而X 的分布列为……10分 于是E(X)0×3551＋1×517＋2×151175113. ……12分17. 【解析】证明：(Ⅰ)因为为正四棱柱，所以平面，且为正方形. ………1分 因为平面，所以. ………2分 因为,所以平面. ………3分因为平面,所以. ………4分 (Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-. 设平面的法向量. 所以 .即……6分 令，则. 所以.由（Ⅰ）可知平面的法向量为.……7分所以10cos ,5522DB <>==⋅n . ……8分 因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设为线段上一点,且.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分 即.所以. ………11分 设平面的法向量. 因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+，所以 .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分 令，则.所以. ………13分若平面平面，则. 即，解得.所以当时，平面平面. ………14分18. 【解析】（Ⅰ）由条件…………2分故所求椭圆方程为. …………4分 （Ⅱ）设过点的直线方程为：. …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立. 设点，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线的方程为：，直线的方程为：， ………9分 令，可得，，所以点的坐标. ………10分直线的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++所以为定值. …………13分19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分所以数列是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得即. ………7分因为当时，由可得， ………8分所以. 因为，所以.即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分 （２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 . ………10分 因为，所以均大于.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.………13分综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数组成公比为的等比数列. ………14分20. 【解析】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即. ···························································································· 2分（Ⅱ），则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵，故时，.当时，；当时，.故在处取得极大值. ··················································································································· 4分 又，，，则，∴在上的最小值是. ··················································································································· 6分 在上有两个零点的条件是解得，∴实数的取值范围是. ··············································································································· 8分（Ⅲ）∵的图象与轴交于两个不同的点， ∴方程的两个根为，则两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又，，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++. 下证（*），即证明，，∵，∴，即证明在上恒成立.·································································································· 10分∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t tt t t -+---'=+=-=+++，又，∴， ∴在上是增函数，则，从而知， 故（*）式＜0，即成立………….12分。

（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ， 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破三压轴大题24分提高练(三)20．(12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C27C13C310＝2140，P(ξ＝2)＝C17C23C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1120，故ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X 户，则X ～B (10，35)，可知P (X ＝k )＝C k 10(35)k (25)10－k (k ＝0,1,2,3，…，10)， ⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10(35)k (25)10－k ≥C k ＋110(35)k ＋1(25)9－k ，C k 10(35)k (25)10－k ≥C k －110(35)k －1(25)11－k ，解得285≤k ≤335，k ∈N *，∴当k ＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大，∴k ＝6.21．(12分)已知函数f (x )＝e 2x －ax 2，a ∈R .(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)若f (x )在(0，＋∞)上存在极大值M ，证明：M <a 4.解：(1)解法1：因为f (x )＝e 2x －ax 2，所以f ′(x )＝2e 2x －2ax .因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤e 2x x 在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝e 2x x ，则g ′(x )＝2x e 2x －e 2x x 2＝(2x －1)e 2x x 2. 当0<x <12时，g ′(x )<0，g (x )在(0，12)上单调递减；当x >12时，g ′(x )>0，g (x )在(12，＋∞)上单调递增．故当x ＝12时，g (x )取得最小值，其值为g (12)＝2e.所以a ≤2e.所以a 的取值范围为(－∞，2e]．解法2：当a ≤0时，函数f (x )＝e 2x －ax 2在(0，＋∞)上单调递增． 当a >0时，f ′(x )＝2e 2x －2ax ，令h (x )＝2e 2x －2ax ，则h ′(x )＝4e 2x －2a ，①若0<a ≤2，则x >0时，h ′(x )>4－2a ≥0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，h (x )>h (0)＝2>0，即f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >2，令h ′(x )＝4e 2x －2a ＝0，得x ＝12ln a 2，当0<x <12ln a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0，12ln a 2)上单调递减；当x >12ln a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(12ln a 2，＋∞)上单调递增．当a －a ln a 2≥0，即a ≤2e 时，h (x )≥0，即f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故2<a ≤2e.综上所述，所求a 的取值范围为(－∞，2e]．(2)证明：由(1)知，当a ≤2e 时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不存在极大值．当a >2e 时，12<12ln a 2，ln a >12ln a 2，由(1)知函数f ′(x )在(0，12ln a 2)上单调递减，在(12ln a 2，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝2>0，f ′(12)＝2e －a <0，f ′(ln a )＝2e 2ln a －2a ln a ＝2a (a －ln a )>0(易证明a －ln a >0)，故存在x 1∈(0，12)，使得f ′(x 1)＝2e 2x 1－2ax 1＝0，存在x 2∈(12，ln a )，使得f ′(x 2)＝0.则x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．。

年二模突破冲刺交流试卷（03）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为A .()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ． ()1,1- 2. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B AA.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1-D ．()e ,23．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤=Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718 （参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=）4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”=B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B PA. 51 B ． 103C ．52D ．215．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10 项和10S = A. 31B. 62C. 170D. 10237． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）()31.21A f x x x =--()31.21B f x x x =+- ()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =---8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于A. 212a B. 214a C. 224a D.234a 9．若正数,ab 满足：121=+b a则2112-+-b a 的最小值为（ ） 开始输入xk =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出k 正视方向图1图2C 1D 1B 1A1CDABMQN O xyA.2B.2 C. 22 D. 110．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，AOC α∠=．若5BC =，则23sincos3cos 2222ααα+-= 25.5A -5.5B -5.5C25.5D11. 已知P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线PB PA ,的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=e A . 25B ． 315 C ．210D ．2 12.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则ab -的最小值为A . 22ln 1+ B ． 22ln 1- C ．12-eD ．1-e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2024年新高考数学押题试卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i ⋅z =5-2i ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设 的取值范围为（）A ={x ∈-2<x <3}，Z B ={x 4x -a ≥0}，且A B ={12}，则，a A ．(0,1]C ．(0,4B ．(0,1)]D ．(0,4) 3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）A ．x =0.015B ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D ．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24．若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12，且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝，则tan α=（⎭）C ．-B ．-A ．23D ．-5．设，为双曲线C ：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时，的值为（ ） 2QFA B CD22+6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103256257．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） M {}n a {}n a n n S A ．若，则数列是无界的 B ．若，则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C ．若，则数列是有界的D ．若，则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．π2π3π4π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高考数学（理数）二轮复习练习： 大题规范练习“20题、21题”24分练1.设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，点P 在直线AB 上，且AP →=32PB →，|AB →|=2＋ 3.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)已知曲线E 上的定点K(－2,0)及动点M ，N 满足KM →·KN →=0. 试证：直线MN 必过x 轴上的定点.【答案解析】解：(1)设P(x ，y)，A(x A,0)，B(0，y B )，则AP →=(x －x A ，y)，PB →=(－x ，y B －y)，由AP →=32PB →，得x A =x ＋32x ，y B =y ＋23y ，由|AB →|=2＋3，即可求得点P 的轨迹E 的方程为x 24＋y23=1.(2)证明：设直线KM ：y=k(x ＋2)(k≠0)与x 24＋y23=1联立，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12=0.设M(x 1，y 1)，则－2＋x 1=－16k 23＋4k 2，x 1=－16k 23＋4k 2＋2=6－8k23＋4k2，y 1=k(x 1＋2)=12k 3＋4k 2，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2， 设直线KN ：y=－1k (x ＋2)(k≠0)，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4，k MN =y M －y N x M －x N =－7k 4k 2－1(k 2≠1)， 则MN ：y －12k 3＋4k 2=－7k 4k 2－1(x －6－8k23＋4k2)，化简可得y=－7k 4k 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋27，即直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0，另MN 斜率不存在时，也过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0， ∴直线MN 必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.2.已知函数f(x)=x 2ln x ＋1－x. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x≥1时，f(x)≥a(x－1)2恒成立，求实数a 的取值范围．【答案解析】解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=2xln x＋x －1. 当x ＞1时，2xln x ＞0，x －1＞0，所以f′(x)＞0；当0＜x ＜1时，2xln x ＜0，x －1＜0， 所以f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．(2)设g(x)=f(x)－a(x －1)2=x 2ln x ＋1－x －a(x －1)2(x≥1)， g′(x)=2xln x＋x －1－2a(x －1)， g″(x)=2ln x＋3－2a.若3－2a≥0，即a≤1.5，对一切x≥1时，g″(x)≥0， 所以g′(x)在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以g′(x)≥g′(1)=0，所以g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0，符合条件；若3－2a ＜0，即a ＞1.5，存在x 0∈(1，＋∞)使得g″(x)=0，当x∈(1，x 0)时，g″(x)＜0，所以函数g′(x)在区间(1，x 0)上单调递减， 所以当x∈(1，x 0)时，g′(x)＜g′(1)=0， 所以函数g(x)在区间(1，x 0)上单调递减，故当x∈(1，x 0)时，g(x)＜g(1)=0，这与题意矛盾． 综上，实数a 的取值范围为(-∞,1.5].3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过椭圆的一个焦点作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN|=1.P(－b,0)，A 为圆O ：x 2＋y 2=b 2上不同于P 的任意一点，过点P 作与PA垂直的直线交圆x 2＋y 2=a 2于B ，C 两点． (1)求椭圆的标准方程；(2)试问|BC|2＋|CA|2＋|AB|2是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案解析】解：(1)假设直线l 过椭圆的右焦点(c,0)，把x=c 代入椭圆方程，得c 2a 2＋y 2b 2=1，即y 2=b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2=b 4a 2，所以|MN|=2b 2a =1.又b a=1－e 2=1－⎝ ⎛⎭⎪⎫322=12，所以a=2b ，结合2b 2a =1，可得a=2，b=1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2=1.(2)设A(x 0，y 0)，B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，由题意知x 20＋y 20=1，x 21＋y 21=x 22＋y 22=4，P(－1,0)，所以|BC|2＋|CA|2＋|AB|2=(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 0)2＋(y 2－y 0)2＋(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2=2(x 21＋y 21)＋2(x 22＋y 22)＋2(x 20＋y 20)－2(x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0) =18－2(x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0)．因为PA⊥PB，所以PA →·PB →=0， 又PA →=(x 0＋1，y 0)，PB →=(x 1＋1，y 1)，所以(x 0＋1)·(x 1＋1)＋y 0y 1=0，即x 0x 1＋y 0y 1=－1－(x 0＋x 1)，所以x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0=x 2(x 0＋x 1)＋y 2(y 0＋y 1)－1－(x 0＋x 1) =(x 0＋x 1)(x 2－1)＋y 2(y 0＋y 1)－1.①当BC⊥x 轴时，直线BC 与圆O 仅有一个交点P ， 此时A(1,0)，|BP|=|CP|=3，|AB|=|CA|=7，所以|BC|2＋|CA|2＋|AB|2=(23)2＋(7)2＋(7)2=26. ②当BC 与x 轴不垂直时，直线BC 与圆O 有2个交点，设直线BC 交圆O 于另一点A′，由A′P⊥AP，知A′A 为圆O 的直径，所以A′(－x 0，－y 0)． 由线段A′P 的中点与BC 的中点重合，可知x 1＋x 2=－x 0－1，y 1＋y 2=－y 0，即x 1＋x 0=－1－x 2，y 1＋y 0=－y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 0＋y 1y 0＋x 2x 0＋y 2y 0=(－1－x 2)(x 2－1)＋y 2(－y 2)－1=1－(x 22＋y 22)－1=－4，所以|BC|2＋|CA|2＋|AB|2=18－2×(－4)=26.综上，|BC|2＋|CA|2＋|AB|2是定值，且为26.4.已知函数f(x)=a x －1x2－b ＋ln x(a ，b ∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若a=3，函数f(x)有3个零点，求实数b 的取值范围．【答案解析】解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)=－a x 2＋2x 3＋1x.由题意可得f ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－a x 2＋2x 3＋1x ≥0，所以a x 2≤2x 3＋1x，因为x ＞0，所以x 2＞0，故a ≤2x＋x.由基本不等式可得2x ＋x ≥22(当且仅当2x =x ，即x=2时等号成立)，故实数a 的取值范围为(－∞，22]． (2)当a=3时，f(x)=3x －1x 2－b ＋ln x ，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)=－3x 2＋2x 3＋1x =x 2－3x ＋2x 3=x －1x －2x3. 由f ′(x)=0，解得x 1=1，x 2=2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的极大值为f(1)=3－1－b ＋ln 1=2－b ，极小值为f(2)=32－122－b ＋ln 2=54－b ＋ln 2.要使函数f(x)有3个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，54－b ＋ln 2＜0，解得54＋ln 2＜b ＜2.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋ln 2，2.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知R(x 0，y 0)是椭圆C ：x 224＋y212=1上的一点，从原点O 向圆R ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2=8作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q.(1)若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； (2)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求k 1k 2的值.【答案解析】解：(1)连接OR(图略)．设圆R 的半径为r ，由圆R 的方程知r=22， 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以|OR|=2r=4，即x 20＋y 20=16.①又点R 在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012=1，②联立①②，解得⎩⎨⎧x 0＝22，y 0＝22，所以圆R 的方程为(x －22)2＋(y －22)2=8.(2)因为直线OP ：y=k 1x 和OQ ：y=k 2x 都与圆R 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21=22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22=22，化简得(x 20－8)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－8=0，(x 20－8)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－8=0.所以k 1，k 2是方程(x 20－8)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－8=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得k 1k 2=y 20－8x 20－8，因为点R(x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 2024＋y 2012=1，即y 20=12－12x 20，所以k 1k 2=4－12x 20x 20－8=－12.6.已知函数f(x)=2ln x ＋ax －错误!未找到引用源。

2021年新课标高考压轴卷数学（理）Word版含解析____新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析____新课标II高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0，1，2}，B={_|_=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（） 0A．1 B． 2 C． 3 D． 2. 已知复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数为（） A．﹣1+2 i l+2i B． C． 2﹣i D．﹣1﹣2i 3. 由y=f（_）的图象向左平移得到y=2sin A．2sin个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍的图象，则 f（_）为（） B． 2sinC． 2sin D． 2sin 4.已知函数 9 A．B．﹣9 ，则C．的值是（）D． 5. 设随机变量__N(3，1)，若P(_?4)?p，，则P(211?p ( B)l—p (C)l-2p (D)?p 226. 6．运行右面框图输出的S是254，则①应为 (A)n≤5 (B) n≤6 (C)n≤7 (D) n≤8 7. 若曲线在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（） 64 A．232 B． 216 C． 8 D． 8.已知A、B是圆O:_?y?1上的两个点，P是AB线段上的动点，当?AOB的面积最大时，则AO?AP?AP的最大值是（）- 1 - / 172____新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析A.?1B.0C.D.1 81 29.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O?_yz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为 A．3 B．257 C．2 D． 2210. .已知函数f(n)?ncos(n?)，且an?f(n)?f(n?1)，则a1?a2?a3?A． 0 B．?100 C．100 D．10200?a100?11．设_，y满足约束条件，若目标函数z=a_+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（） 4 A．B． 1 C． 2 D． 12．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与_轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若（λ，μ∈R），λμ= A．，则该双曲线的离心率为（）B． C． D．=λ+μ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为．- 2 - / 17____新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析14.已知1?cos2?1?1，tan(???)??，则tan(??2?)的值为．sin?cos?315.函数y?_?4(_??3)的最小值是． _?316.已知函数f(_)＝_3＋_，对任意的m∈[－2,2]，f(m_－2)＋f(_)三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．217.已知函数f(_)?2sin_cos_?23cos_?3，_?R．（Ⅰ）求函数y?f(?3_)?1的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知?ABC中的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若锐角A满足f(133A?，求?ABC的面积． ?)?3，且a?7，sinB?sinC?142618.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表读营养说明不读营养说明总计男 16 4 20 女 8 12 20 总计24 16 40 ⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数?的分布列及其均值（即数学期望）．- 3 - / 17____新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析n(ad?bc)2K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)，其中n?a?b?c?d为样本容量．（注：）219.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,AA1?4. （Ⅰ）求证：BD?A1C；（Ⅱ）求二面角A?A1C?D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1?平面PBD，若存在，求出若不存在，请说明理由.CP的值；PC1222220.已知动圆P与圆F1:(_?3)?y?81相切，且与圆F2:(_?3)?y?1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在_轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M,N两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记?QF2M的面积为S1，?OF2N的面积为S2，令S?S1?S2，求S的最大值. 21.已知t?0，函数f(_)?2_?t. _?3t(1)t?1时，写出f(_)的增区间；- 4 - / 17____新课标Ⅱ高考压轴卷-数学(理)-Word版含解析(2)记f(_)在区间[0,6]上的最大值为g(t)，求g(t)的表达式；(3)是否存在t，使函数y?f(_)在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.选修4﹣1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．（I）求证：AC平分∠BAD；（II）若AB=4AD，求∠BAD的大小．23.选修4﹣4：坐标系与参数方程将圆_+y=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3_﹣2y﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．（I）求直线l与曲线C的方程；（II）求C上的点到直线l的最大距离．24. 选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（_）=|_﹣1|+|_﹣2|．（I）求证f（_）≥1；（II）若f（_）=成立，求_的取值范围．22KS5U____新课标II高考压轴卷理科数学参考答案- 5 - / 17。