2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷)

理科数学试题

本试卷分第I卷（选择题)和第II卷(非选择题)两部分．

第I卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{||2}AxRx}，{|4}BxZx,则AB

(A）（0,2） （B)[0，2］ (C）{0,2] （D)｛0，1，2}

（2）已知复数23(13)izi，z是z的共轭复数,则zz=

（A）14 （B)12 （C） 1 (D)2

（3）曲线2xyx在点(1,1)处的切线方程为

（A)21yx （B)21yx （C） 23yx (D）22yx

(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

tdπ42O

A B C D

(5）已知命题

1p：函数22xxy在R为增函数，

2p：函数22xxy在R为减函数，

则在命题1q:12pp，2q：12pp,3q：12pp和4q：12pp中，真命题是

（A）1q，3q （B）2q，3q （C）1q，4q (D）2q，4q （6）某种种子每粒发芽的概率都为0。9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X，则X的数学期望为

（A）100 (B）200

（C）300 (D）400

（7)如果执行右面的框图，输入5N，则输出的数等于

（A）54 （B）45

(C)65 （D)56

(8)设偶函数()fx满足3()8(0)fxxx，

则{|(2)0}xfx

(A） {|24}xxx或 （B） {|04}xxx或

（C) {|06}xxx或 (D) {|22}xxx或

（9）若4cos5，是第三象限的角,则1tan21tan2

(A） 12 （B） 12 （C） 2 (D） 2

(10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

（A) 2a (B） 273a （C) 2113a （D） 25a

(11）已知函数|lg|,010,()16,10.2xxfxxx若,,abc互不相等，且()()(),fafbfc则abc

的取值范围是

（A) (1,10) （B） (5,6) (C) (10,12) (D） (20,24)

（12）已知双曲线E的中心为原点,(3,0)P是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点,且AB的中点为(12,15)N,则E的方程式为

（A) 22136xy （B) 22145xy （C) 22163xy (D） 22154xy S=S+1k(k+1)输入N否结束输出Sk=k+1k=1,S=0开始k

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13)题～第(21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22）题～第（24）题为选考题,考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）设()yfx为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1fx，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,Nxxx…和12,,Nyyy…，由此得到N个点(,)(1,2,)iixyiN…,，再数出其中满足()(1,2,)iiyfxiN…,的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx的近似值为

。

（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种)

（15）过点(4,1)A的圆C与直线10xy相切于点(2,1)B,则圆C的方程为____

（16）在△ABC中，D为边BC上一点，12BDDC，ADB=120°,AD=2，若△ADC的面积为33，则BAC=_______

三,解答题:解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

(17）（本小题满分12分)

设数列na满足21112,32nnnaaa

（1)求数列na的通项公式；

(2）令nnbna，求数列的前n项和nS

（18)（本小题满分12分）

如图,已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD∥，ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

(1)证明:PEBC

(2）若60APBADB，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

（19)（本小题12分）

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

是否需要志愿 男 女

需要 40 30

不需要 160

270

(1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由

附：22()()()()()nadbcKabcdacbd

2()PKk 0。050 0。010

0.001

k 3.841 6。635

10.828

（20）(本小题满分12分）

设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线l

与E相交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列。

（1）求E的离心率；

（2） 设点(0,1)P满足PAPB,求E的方程

(21)(本小题满分12分)

设函数2()1xfxexax。

（1）若0a，求()fx的单调区间；

（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

（22)（本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图：已知圆上的弧ACBD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD；

（Ⅱ）2BC=BE ×CD．

（23)（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线1C: 1cossinxtyt(t为参数),圆2Ccossinxy（为参数)．

（Ⅰ）当=3时,求1C与2C的交点坐标：

（Ⅱ）过坐标原点O做1C的垂线，垂足为A、P为OA的中点,当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

(24）(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲

设函数()fx=241x．

（Ⅰ）画出函数()yfx的图像：

(Ⅱ)若不等式()fxax的解集非空，求a的取值范围

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

理科数学答案

1．【解析】{||2,}{22}AxRxxRx，

{|4}{016}BxZxxZx，故{0,1,2}AB．应选D．

2．【解析】2331311(3)(13)(3)284(13)22313iiiziiiiii

111(3)(3)444zzii．应选A．

另解：由222332122(13)13iizii可得214zzz．

3．【解析】由2122xyxx可得122,2,12(1),21(2)xykyyxyxx

应选A．

4．【解析】通过分析可知当0t时，点P到x轴距离d为2，于是可以排除答案A,D，再根据当4t时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0,排除答案B,应选C．

5．【解析】：1p:函数22xxy在R为增函数为真命题，而函数22xxy为偶函数，则22xxy在R不可能为减函数，2p:函数22xxy在R为减函数为假命题，则1p为假命题,2p为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C．

6．【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即~(1000,0.1)B,而2X，则2210000.1200EXE．应选B．

7．【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

1111101223344556S

111111111151122334455666,应选D．

8．【解析】当0x时，则0x，由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx可得，

()()fxfx38x,则()fx=338(0)8(0)xxxx,(2)fx33(2)8(2)(2)8(2)xxxx

令(2)0fx，可解得4,0xx或．应选B．

另解：由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx可得3()()8fxfxx，

则3(2)(2)28fxfxx,要使(2)0fx,

只需3280,22xx,解得4,0xx或．应选B．

9．【解析】由4cos5，是第三象限的角可得3sin5．

311tancossin1sin152224cos21tancossin2225，应选A．

另解：由4cos5，是第三象限的角可得3sin5．

3sinsin52tan3421coscos125，1tan13121321tan2．

10．【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,则其外接球的半径为

2227()()22sin6012aaRa,球的表面积为222774123aRa,应选B．

11．【解析】作出函数()fx的图象如右图，

不妨设abc，则1lglg10(0,1)2abc

则(10,12)abcc．应选C．

12．【解析】由双曲线E的中心为原点,(3,0)P是E的焦点可设双曲线的方程为

2222221(9)xyabab，设1122(,),(,)AxyBxy,即 2222112222221,1xyxyabab

则22121222121212015115312yyxxbbxxayya,则22225,5,44bbaa， O 1 12 10 x y