人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (19)(含答案解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (4)一、单选题1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且CE ＝2DE ，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF ⊥AE ，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作OQ ⊥OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①∠AFO ＝45°；②OG ＝DG ；③DP 2＝NH •OH ；④sin ∠AQO ；其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④2．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点F ，则EF CD的值为（ ）A ．2B ．32CD ．2二、解答题3．海岛A 的周围8nmile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12nmile 后到达点D 处，又测得海岛A 位于北偏东30°．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？根据题意画出大致图形，并根据图形解答本题．4．如图，O 为线段MN 的中点，MP 与NQ 交于点H ，QOP M N α∠=∠=∠=，且OQ 交MP 于D ，OP 交NH 于E ．（1）写出图中两对相似三角形；并证明其中一对．（2）连接DE ，如果45α=︒，MN =4MD =，求DE 的长．5．在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 6．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为3m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（参考数据︒≈sin30.970.515︒≈，︒≈，cos71.580.316︒≈，tan71.58 3.000sin71.580.949︒≈）︒≈，tan30.970.600cos30.970.8577．如图，以P(0，3)为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．（1）求∠CDE的度数；（2）求BEF的面积．8．2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A地出发．组织学生利用导航到C 地区进行研学活动，出发时发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地24千米，由于A、C两地间是一块湿地．所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北编西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.7，≈1.49．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O，sin B＝，求AD的长；10②若CD＝2CE，求cos B的值．i 的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处10．如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度5:12看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF=60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．（1）求坡顶B的高度；（2）求楼顶C的高度CD．11．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．）12．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE//AC，求AD的长．13．如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA＝36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度．（精确到0.1m）（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）14．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)15．如图，小明从P 处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min 的速度步行6min 后到达A 处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B 处，在B 处观测到出发时所在的P 处在北偏西37°方向上．求小明步行的总路程（精确到1m ）．参考数据：sin37°≈0.6，c os37°≈0.8，tan37°≈0.75≈1.7．16．如图所示的小山的山顶上有一个高度为15m 的信号发射塔AB ，某校数学兴趣小组的同学们为了测量这座山的高度BH ，在山脚下的平地上的点D 处，用1米高的测角仪CD ，测得塔底B 处的仰角为28︒，向小山前进60m 到达点F 处，又从点E 测得塔项A 处的仰角为45︒．求小山的高度BH ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 280.47︒=，sincos280.88tan 280.53︒=︒=，）．17．在Rt △BCD 中，∠C =90°，∠DBC =60°，点E 在线段CD 上，点A 在CB 的延长线上，且AB =10米，CE =26.8米，∠A =34°，求DE 的长．（参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒≈，tan340.67︒≈，1.73≈）18．B ，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km ，某时发生的地震对地面上以点A 为圆心，30km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B ，D 两地处测得点A 的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（结果精确到0.1km ，参考数据：1.732≈≈）19．如图，在⊙O 中，150AOB ∠=︒，45ABC ∠=︒，延长OB 到D ，使BD OB =，连接CD ．（1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若12CD =，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）20．在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB 的高度．如图，楼房AB 后有一假山，其斜坡CD 坡比为1，山坡坡面上点E 处有一休息亭，在此处测得楼顶A 的仰角为45°，假山坡脚C 与楼房水平距离20BC =米，与亭子距离30CE =米．（1）求点E 距水平地面BC 的高度；（2）求楼房AB 的高．≈1.414）．21．近年来，成都IFS 商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C 处距离地面AD 的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C 处的仰角为53°，在甲楼B 处测得熊猫C 处的仰角为45°，已知AB ＝4.5米，求熊猫C 处距离地面AD 的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）22．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 、E 是⊙O 上两点，且满足∠ACE=45°，过点E 作⊙O 的切线交CA 的延长线于点D ．（1）求证：DE //AB ；（2）若cos ∠CDE=34，AC=2，求⊙O 的直径． 23．如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A 的仰角为35°，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF ＝12m ，EF ∥CB ，AB 交EF 于点G （点C ，D ，B 在同一水平线上）．（参考数据：sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈ 1.7≈）（1）求屋顶到横梁的距离AG ；（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．24．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE ＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时，求AE的长；（3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长．25．胜利塔是某市标志性建筑物之一，如图，为了测得胜利塔的高度AB，在D处用高度为1.3 m 的测角仪CD测得胜利塔的顶端A的仰角为30°，再前进113 m到达F处，又测得胜利塔的顶端A的仰角为60°，求胜利塔的高度AB．，结果精确到0.1m）26．目前，某市正在积极创建全国文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并进一步完善各类监测系统，如图，在公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点,C从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠=∠==米，此车超速了吗?请说明理由，(参考数据：45,60,200CAN CBN BC1.73==)三、填空题27．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CAB ∠=__________．28．如图，在一笔直的海岸线l 上有A B 、两个观测站，4AB km =，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5︒的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为_____km ．29．如图，在ABCD 中，60ABC ∠=︒，6BC =，4DC =．点E F 、分别是边AB AD 、的中点，连结CE BF 、．点G H 、分别是BF CE 、的中点，连结GH ，则线段GH 的长为______．30．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3421,,,l l l l 上．若这四条直线相互平行且相邻直线的间距均为1，若α＝30°，则矩形ABCD 的面积为_________．【答案与解析】1．D【解析】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°；②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；③通过证明△AHN∽△OHA，可得AH HNHO AH=，进而可得结论DP2＝NH•OH；④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO，由勾股定理可求AG，即可求sin∠AQO＝OGAG．∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∵∠AOD＝∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴∠AFO＝45°，故①正确；如图，过点O作OK⊥AE于K，∵CE＝2DE，∴AD＝3DE，∵tan∠DAE＝13 DE DFAD AF==，∴AF＝3DF，∵△ANO≌△DFO，∴AN ＝DF ，∴NF ＝2DF ，∵ON ＝OF ，∠NOF ＝90°，∴OK ＝KN ＝KF ＝12FN ， ∴DF ＝OK ，又∵∠OGK ＝∠DGF ，∠OKG ＝∠DFG ＝90°，∴△OKG ≌△DFG （AAS ），∴GO ＝DG ，故②正确；∵∠DAO ＝∠ODC ＝45°，OA ＝OD ，∠AOH ＝∠DOP ，∴△AOH ≌△DOP （ASA ），∴AH ＝DP ，∵∠ANH ＝∠FNO ＝45°＝∠HAO ，∠AHN ＝∠AHO ，∴△AHN ∽△OHA ， ∴AH HN HO AH=， ∴AH 2＝HO •HN ，∴DP 2＝NH •OH ，故③正确；∵∠NAO +∠AON ＝∠ANQ ＝45°，∠AQO +∠AON ＝∠BAO ＝45°，∴∠NAO ＝∠AQO ，∵OG ＝GD ，∴AO ＝2OG ，∴AG ，∴sin ∠NAO ＝sin ∠AQO ＝OG AG =④正确， 故选：D ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题关键．2．A【解析】过D 作DMAB ⊥于,M 先证明,CD MD BM ==设,CD MD BM m ===再用含m 的代数式表示,,AE AM 再证明,AEF AMD ∽ 利用相似三角形的性质可得EF DM 的值，从而可得答案． 解：过D 作DM AB ⊥于,M∠ACB=90°，AD 为△ABC 的角平分线，,CD MD ∴=CE 是△ABC 的中线，,CA CB = 90ACB ∠=︒，,CE AB ∴⊥ ,CE BE AE == 45B A ∠=∠=︒，45MDB B ∴∠=∠=︒，,DM BM ∴=,CD MD BM ∴==设,CD MD BM m ===,BD ∴==(1,BC CD BD m m AC ∴=+===(2,AB m ∴===+ ((21,AM AB BM m m m ∴=-=+-=+cos ,BE B BC =2,2BE m AE ∴== ,,CE AB DM AB ⊥⊥//,FE DM ∴,AEF AMD ∴∽12mEF AEDM AM+∴===EFCD∴=故选：.A本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．3．没有，理由见解析【解析】过A作AC⊥BD于点C，根据方向角的定义及余角的性质求出∠ABD＝30°，∠ADC＝60°，再由三角形外角的性质得到∠BAD＝30°＝∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，然后解Rt△ACD，求出AC即可．解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AC⊥BD，垂足为C．根据题意可知：∠ABD＝30°，∠ADC＝60°，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD，∴∠BAD＝30°＝∠ABD，∴DB＝DA＝12，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，sin ∠ADC ＝AC AD ， ∴sin60°＝12AC ，∴AC ＝12×sin60°＝∵8，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（1）DMO ONE ∽；MOP ODP ∽；NOQ OEQ ∽；证明见解析；（2）52DE =． 【解析】（1）根据已知条件，QOP M N α∠=∠=∠=，结合图形上的公共角，利用两角对应相等的两个三角形相似，即可找到DMO ONE ∽，MOP ODP ∽，NOQ OEQ ∽，（2）根据等腰直角三角形的性质推出MH 和NH 的长，进而可求出DH 的长，再利用相似三角形的性质，求出线段NE 的长，进而可求线段出HE 的长，再利用勾股定理即可求出DE 的长． （1）①DMO ONE ∽，②MOP ODP ∽，③NOQ OEQ ∽证明：∵QOP M N α∠=∠=∠=，DON ∠是MOD 的外角，∴DON M MDO DOE EON ∠=∠+∠=∠+∠，即MDO EON αα+∠=+∠∴MDO EON ∠=∠，∴DMO ONE ∽（2）如图：连接DE,当45α=︒时，可得MH NH ⊥且MH NH =，∴6MH NH =︒==642DH MH MD =-=-=∵O 为MN 的中点，∴12MO NO MN ===， ∵DMO ONE ∽ ∴MO NE MD ON=∴942OM ON NE MD ⋅=== ∴93622HE NH NE =-=-=∴Rt DHE △中，由勾股定理得，52DE === 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题关键是利用相似三角形，根据其性质求出NE 的长，在结合勾股定理求DE 的长．5．（1）该轮船航行的速度为/小时）；（2）轮船能够正好行至码头MN 靠岸．理由见解析．【解析】（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC 为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）作线段BR AN ⊥于R ，作线段CS AN ⊥于S ，延长BC 交l 于T ，比较AT 与AM 、AN 的大小即可得出结论．（1）∵130∠=︒ ，260∠=︒，∴ABC 为直角三角形．∵40AB km =，AC =，∴)BC km === ．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，60=/小时）． （2）能．理由：作线段BR AN ⊥于R ，作线段CS AN ⊥于S ，延长BC 交l 于T ．∵260∠=︒，∴4906030∠=︒-︒=︒．∵)AC km =，∴)43CS km ==．∴()122AS km =︒==． 又∵130∠=︒，∴3903060∠=︒-︒=︒．∵40AB km =，∴)40sin 60BR km =⋅︒=．∴140cos6040202AR km =⨯︒=⨯=（）． ∵BR AN ⊥，CS AN ⊥， ∴CS ∥BR ，∴STC RTB ∽△△， 所以ST CS RT BR=，2012ST ST =++ 解得：()8ST km =．所以()12820AT km =+=．又因为19.5AM km =，MN 长为1km ，∴20.5AN km =，∵19.520.5AT <<故轮船能够正好行至码头MN 靠岸．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，含30°角的直角三角形三边之间的关系，相似三角形的判定与性质，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． 6．该设备的安装高度OC 约为2.3m ．【解析】由OC AC ⊥，71.58OBC ∠=︒，30.97OAC ∠=︒，3AB m =可得3AC AB BC BC =+=+，再根据锐角三角函数的边角关系列式计算，即可得出结论．解：∵OC AC ⊥，71.58OBC ∠=︒，30.97OAC ∠=︒，3AB m =∴3AC AB BC BC =+=+，∴在Rt OBC 中，tan 3OC OC BC OBC =≈∠， 在Rt OAC △中，tan (3)0.6OC AC OAC BC =⋅∠≈+⨯， ∴0.6(3)3OC OC =⨯+， 解得： 2.3(m)OC ≈．答：该设备的安装高度OC 约为2.3m ．本题考查了三角函数的实际应用，掌握利用三角函数的边角关系建立关于OC 的方程是解答此题的关键．7．（1）=30CDE ︒∠；（2）BEF S △【解析】（1）在Rt POB 中，利用边与边之间的关系，证1cos 2OP OPB PB ==∠ ，利用特殊三角函数值得=60OPB ︒∠，再利用对顶角相等得==60CPE OPB ︒∠∠，最后利用圆周角定理得1=2CDE CPE ∠∠，即可得到答案； （2）如图，作EM ⊥AB ，垂足是M ，利用边与角的关系分别求得OB 、OF 、EM 的长，再利用线段的和差得BF=OB+OF ，最后利用1=2BEF S BF EM ⋅△ 即可得到答案． 解：（1）∵P(0，3)∴OP=3∵PB=6，90COB ∠=︒ ∴31cos =62OP OPB PB ==∠ ∴=60OPB ︒∠∴==60CPE OPB ︒∠∠ ∴11==60=3022CDE CPE ⨯︒︒∠∠． （2）如图，作EM ⊥AB ，垂足是M ．∵圆的半径是6∴EB=2EP=12∵x 轴与y 轴互相垂直，=60OPB ︒∠，PB=6∴=90=906030EBM OPB ︒-︒-︒=︒∠∠，=sin BPO PB sin60PB=2OB ⋅=︒⋅∠ ∵圆的半径PD=6，P(0，3)∴OD=PD-PO=6-3=3∵=30CDE ︒∠,x 轴与y 轴互相垂直∴=tan CDE OD tan30OF ⋅=︒⋅∠∴BF=OB+OF=∵=30EBM ︒∠（已证） ∴1=sin EBM BE sin30BE=12=62EM ⋅=︒⋅⨯∠∴11==622BEF S BF EM ⋅⨯= 本题考查了圆周角定理以及应用特殊的函数值解直角三角形，解答此题的关键是找到边与边之间的关系，求线段的长．8．14千米【解析】过B 作BD ⊥AC ，由题意得到三角形ABD 为直角三角形，设AD=x 千米，表示出CD 和BD ，在直角三角形BCD 中，利用锐角三角函数定义求出x 的值，即可确定出AB 的长．解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AD=x ，∵∠A=60°，∴，CD=24-x ，AB=2x ；∵∠BCD=37°，∴tan ∠BCD=BD CD ，即tan37° 解得x=7，即AB=2x=14（千米）此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．9．（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）连接OC，可知∠ACB=90°，即有∠CAB+∠CBA=90°，根据等腰三角形的性质可得∠CDA=∠DCA=∠CBA，∠CAO=∠ACO，继而得到∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠CBA+∠CAO=90°，最后利用圆的切线的判定即可得证；（2）①过C作CF⊥BD交BD于点F，在Rt△ACB、Rt△CFB中，利用勾股定理分别求出CB、CF，BF，继而得到AF=AB-BF，再根据CD=CB，CF⊥BD，得到DF=BF，最后根据AD=DF-AF，求出AD即可；②过A作AM⊥DE交DE于点M，设CE=x，可得CD=CB=2x，DE=3x，∠CBA=∠CEA，进而可知△DAE为等腰三角形，然后证明△ACB∽△AME，然后设AM=a，利用相似三角形的性质可求出AC，在△ABC中，利用勾股定理可表示出AB，继而可求出cosB．（1）证明：如图，连接OC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即∠CAB+∠CBA=90°，∵AD=AC，OA=OC，CD=CB，∴∠CDA=∠DCA=∠CBA，∠CAO=∠ACO，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠CBA+∠CAO=90°，∴CD为⊙O的切线；（2）解：①如图，过C作CF⊥BD交BD于点F，∵，sin B =，∴sin 110AC AB B =⋅==，在Rt △ACB 中，3CB ==，在Rt △CFB 中，sin 31010CF CB B =⋅=⨯=，∴10BF ===，∴-=， ∵CD=CB ，CF ⊥BD ，∴∴AD=DF-AF=1010105-==即AD=5； ②如图，过A 作AM ⊥DE 交DE 于点M ，设CE=x ，∴CD=CB=2x ，DE=3x ，∠CBA=∠CEA ，∵CD=CB ，∴∠CDB=∠CBD ，∴∠CDB=∠CEA ，∴△DAE 为等腰三角形，∴32ME x =，12CM x =， 在△ACB 和△AME 中，90C ACB AME BA CEA∠=∠=︒∠=∠⎧⎨⎩， ∴△ACB ∽△AME ， ∴AB AC BC AE AM ME==， 设AM=a ， ∴232AC x a x =， ∴43AC a =， 在△AMC 中，有222AM MC AC +=，即22214a 23x a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：14a x =或14x -(舍去)， ∴AC=7x ， ∴x ==， ∴cosB=4BC AB ==． 本题考查了切线的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理以及解直角三角形等知识，解本题的关键是熟练运用相关知识．10．（1）坡顶B 的高是5米；（2）楼顶C的高度CD 为【解析】(1)坡顶B 的高度指的是点B 到水平面AD 的距离，作出高计算即可；(2)计算CF 的高度，它与坡顶B 的高度和即为所求.（1）过点B 作BM AD ⊥，5:12i =，∴512BM AM =， 在Rt △ABM 中，AB=13,设BM=5x,AM=12x, 则（12x)2+(5x)2=132 ,解得x=1，5BM ∴=米，故坡顶B 的高是5米.（2）设CF 为y 米，在Rt △CBF 中，45CBF ∠=︒，BF CF y ∴==米， ∴EF=（y -4）米在Rt △CEF 中，60CEF ∠=︒，∴tan 604CF y EF y ︒===-解得y =由（1）知=5DF BM =米，∴11CD CF FD =+=+（米）.本题考查了解直角三角形，熟练运用坡比，特殊角的函数值，锐角三角函数是解题的关键，构造高这条辅助线也是解题的一个关键.11．24米【解析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，根据正切的定义求出AE ，根据题意求出BE ，根据等腰直角三角形的性质求出DF ，结合图形计算，得到答案．解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，在Rt △ADE 中，tan ∠DAE=DEAE ， ∴AE=tan 3DE DAE =∠≈51（米）， ∵AB=57米，∴BE=AB-AE=6（米），∵CB ⊥BE ，FE ⊥BE ，CF ⊥EF ，∴四边形BCFE 为矩形，∴CF=BE=6（米），在Rt △DFC 中，∠CDF=45°，∴DF=CF=6（米），∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．答：教学楼BC 的高度约为24米．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（1）证明见解析；（2）4225；（3）12548【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；（3）过C 作CN ⊥AB 于点N ，过A 作AM ⊥DE 于点M ，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可．（1）证明：∵△AEC 和△DFC 是等腰直角三角形，∴∠DFC=∠AEC=90°，∠DCF=∠ACE ＝45°，∴∠DCF-∠ACF=∠ACE-∠ACF ，即∠ACD ＝∠ECF ，在Rt △AEC 中，cos ∠ACE=CE AC = 在Rt △DFC 中, cos ∠DCF=2CF CD =， ∴CE CF AC CD=， ∴△ACD ∽△ECF ；（2）解：∵D ，F ，E 三点共线，∴∠EFC=∠DFC=90°，∵△ACD ∽△ECF ，∴∠ADC=∠EFC=90°，如图1，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=12BC=3， 在Rt △ABM 中，cos ∠B=35BM AB =， 在Rt △BDC 中，cos ∠B=35BD BC =， ∴BD=185， ∴AD=AB-BD=5-185=75， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得：245==， ∴1172484225525ADC S AD CD =⨯⨯=⨯⨯=△， ∵△ACD ∽△ECF ， ∴212ECF ADC S CE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△,∴142225ECF ADC S S ==△△； （3）解：过C 作CN ⊥AB 于点N ，过A 作AM ⊥DE 于点M ，如图2，由（2）可得：CN=245， 在Rt △ANC 中， 24245sin 525CN CAN AC ∠===， ∵AC=5，∠AEC=90°，∠ACE=45°，在Rt △AEC 中，sin 522AE AC ACE =⋅∠=⨯=， ∵DE ∥AC ，∠DEA=∠CAE=45°，∵AM ⊥DE ，∴∠AME=90°，在Rt △AME 中，5sin 222AM AE AEM =⋅∠=⨯=， ∵DE ∥AC ，∴∠CAN=∠MDA ， ∴2425sin CAN sin MDA ∠=∠=， ∴2425AM AD =， ∴12548AD =． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合运用，通过辅助线构造相似形和直角三角形的三角函数是解决问题的关键．13．14.6m ．【解析】过D 作DE ∥BC 交AB 于E ，可证四边形DCBE 为矩形，由矩形性质的CD=BE=1.5m ，DE=BC=18m ，在Rt △ADE 中，∠EDA ＝36°利用三角函数AE=DE •tan36º=13.14，再求AB=AE+BE=14.64，按精确度取舍即可．过D 作DE ∥BC 交AB 于E ，∵CD ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴CD ∥AB ，∠DCB=90º，∴四边形DCBE 为矩形，∴CD=BE=1.5m ，DE=BC=18m ，在Rt △ADE 中，∠EDA ＝36°，∴tan ∠EDA =AE DE， ∴AE=DE •tan36º=0.73×18=13.14，∴AB=AE+BE=13.14+1.5=14.64≈14.6m ．本题考查应用三角函数计算测量建筑物高度问题，掌握解三角形一定在直角三角形中，记清函数的符号名称应用方法，在计算结果往往需要精确计算，会按要求取舍．14．59.2米【解析】根据“爬到该楼房顶端B 点处古塔底部D 处的俯角是30°”可以求出AD 的长，然后根据“一栋楼房的底端A 点处观测古塔顶端C 处的仰角是65°”可以求出CD 的长．解：∵爬到该楼房顶端B 点处观测古塔底部D 处的俯角是30°，由题意知：∠ADB=30°，∴在Rt △ABD 中，tan30°=AB AD，∴163AD ∴， ∵一栋楼房的底端A 点处观测古塔顶端C 处的仰角是65°，∴在Rt △ACD 中，CD=AD•tan65°=48×1.73×2.14≈59.2（米）．答：楼高CD 为59.2米．本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．15．小明步行的总路程为1106m ．【解析】作PQ ⊥AB 于Q ，根据已知，∠APQ=30°．可求得AQ 、PQ 的长，在Rt △BPQ 中，解直角三角形求出BQ 的长，即可求解．作PQ ⊥AB 于Q ，根据已知，∠APQ=30°．由题意得：AP=706420⨯=(m)，则AQ=12AP=210(m)，==在Rt △BPQ 中，tan 37PQ BQ ︒=，∴BQ 476==(m)， ∴小明步行的总路程为：AP+AQ+ BQ 4202104761106=++=(m)．答：小明步行的总路程为1106m ．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．小山的高度为85.6米．【解析】过点C 作CG AH ⊥于G ，得矩形CDHG 和矩形EFHG ，设BG x =，则15AG x =+，然后结合等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数列方程求解解：过点C 作CG AH ⊥于G ，得矩形CDHG 和矩形EFHG ，∴HG =CD =EF =()1m ，设BG x =，则15AG x =+9045AGE AEG ∠=︒∠=︒，，AEG ∆是等腰直角三角形∴15AG EG x ==+75CG CE EG x ∴=+=+在Rt CBG ∆中，28BCG ∠=︒ ∴tan 280.53BG CG ︒== 即0.5375x x =+， 解得()84.6x m ≈（经检验，x≈84.6是原分式方程的解）∴()84.6185.6BH BG GH m =+=+=答：小山的高度为85.6米此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 17．DE =25.1米【解析】在Rt △ACE 中，根据tanA ，求出AC 的长，再根据BC=AC-AB ，求出BC ，在Rt △BCD 中，根据tan ∠DBC ，求出DE 的长即可．解：在Rt △ACE 中，tan CE A AC =，即26.8tan 34AC=︒， ∴26.8400.67AC ≈=（米） ∴BC=AC-AB=30（米）．在Rt △BCD 中，∵tan60°=DC BC∴26.8tan 60 1.7330DE +︒==≈， ∴DE =25.1（米）答：DE 的长是25.1米本题考查了解直角三角形，熟悉利用锐角三角函数求出线段的长度是解题的关键．18．不受影响，理由见解析．【解析】过点A 作AC ⊥BD 于点C ，然后根据特殊角三角函数即可求出AC ，进而进行比较即可判断． 解：如图，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，根据题意可知：∠ABC ＝45°，∠ADC ＝30°，BD=100km ，∴∠BAC ＝45°，∴BC ＝AC ，在Rt △ACD 中，tan ∠ADC AC CD =，∴tan 30AC CD ==︒， ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AC ＝100，解得AC ＝501）≈36.6＞30，∴高速铁路不会受到地震的影响．本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．19．（1）见解析；（2）阴影部分的面积为(8π-【解析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到2AOC ABC =∠∠，即可得BOC ∠的角度，可知BOC ∆为等边三角形，通过已知条件BD OB =，可得BCD ∆为等腰三角形，通过其外角的性质可知BCD ∠的度数，进而即可得到OCD ∠的度数，即可证明CD 与⊙O 相切； （2）作OE ⊥BC 于点E ，利用锐角三角函数求出OC 的长度，利用勾股定理求出OE 的长度，然后利用阴影部分的面积=扇形OBC 的面积-三角形BOC 的面积即可得到．（1）∵45ABC ∠=︒，∴224590AOC ABC ∠=∠=⨯︒=︒，又∵150AOB ∠=︒，∴1509060BOC AOB AOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵OB OC =，∴BOC ∆为等边三角形，∴BC OB =，60OBC OCB ∠=∠=︒，∵BD OB =，∴BC BD =， ∴160302BCD D ∠=∠=⨯︒=︒， ∴603090OCD ∠=︒+︒=︒，∴CD 与⊙O 相切；（2）如图，作OE ⊥BC 于点E ，在Rt OCD ∆中，12,30CD D =∠=︒，∴·tan 30123OC CD =︒=⨯= ∵△OBC 是等边三角形，且OE ⊥BC ，∴111222CE BC OC ===⨯=∴在Rt OCE ∆中，6OE ==，∴阴影部分的面积=扇形OBC 的面积-三角形BOC 的面积，26011636022OC BC OE π⋅=-⋅=⨯，8π=-即阴影部分的面积为(8π-．本题考查了切线的判定、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、扇形面积的求法等知识，解题的关键是熟知并熟练运用以上知识点．20．（1）15EF =米；（2）点E 距水平地面BC 的高度为15米；楼房AB 的高约为61米【解析】（1）过点E 作EF ⊥BC 于点F ．在Rt △CEF 中，求出30ECF ∠=︒，进而即可求解；（2）过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ，在Rt AEG ∆中，45EAG ∠=︒，结合（1）中结论得到CF 的值，再根据AB ＝AG ＋BG ，求出AB 的值．解：（1）过点E 作EF BC ⊥，垂足分别为F ，在Rt CEF ∆中，∵EF CF ==，∴tan ECF ∠= ∴30ECF ∠=︒，∵30CE =米，∴15EF =米；（2）过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ，则EG BF BG EF ==，，∵在Rt AEG ∆中，45EAG ∠=︒，∴AG EG =，由（1）得：cos3030CF CE =︒==(20BF BC CF =+=+米，∴(20AG EG BF ===+米，∴201535AB AG BG AG EF =+=+=+=+3515 1.73261=+⨯≈（米）， 答：点E 距水平地面BC 的高度为15米；楼房AB 的高约为61米．本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．18.1米．【解析】过点B 作BE ⊥CD 于点E ，根据已知条件求出BE=AD ，设CE=x ，则CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x 的值，即可得出CD 的值．解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，∴四边形ABED 是矩形，∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，∴BE=AD=CE ，DE=AB=4.5米，设CE=x ，则CD=CE+ED=x+4.5，在Rt △CEB 中，tan 45tan 45CE x BE x ===︒︒， 在Rt △ADC 中，tan53CD AD =⋅︒，即x+4.5=x·tan53°，∴x≈13.64，∴CE=13.64米，∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1米，答：熊猫C 处距离地面AD 的高度为18.1米．本题考查直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．22．（1）见解析；（2）83AB =【解析】（1）连接OE ，根据切线的性质及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠OED+∠AOE=180°，从而求证两直线平行；（2）连接CB ，由平行线的性质可得∠CAB=∠CDE ，然后利用圆周角定理结合锐角三角函数列比例式求解．证明：（1）连接OE ．∵DE切⊙O于点E，∴OE⊥DE．∴∠OED=90°，∵∠AOE=2∠ACE=90°，∴∠OED+∠AOE=180°，∴DE∥AB．（2）连接CB．∵DE∥AB，∴∠CAB=∠CDE，∴cos∠CAB=cos∠CDE=34，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，cos∠CAB=AC AB，∴234 AB=，∴83 AB=．本题考查切线的性质及锐角三角函数，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．23．（1）4.2米；（2）14米.【解析】(1)在等腰三角形AEF中，根据等腰三角形的性质，得到直角三角形，选择直角三角形，选择三角函数求解即可；(2)过点E 作高EH ，从而构造直角三角形，解直角三角形得到EH ，从而得到BG 的长，AB 可求. 解：（1）∵房屋的侧面是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线，EF ∥BC ，∴AG ⊥EF ，EG ＝12EF ＝6，∠ACB ＝∠AEG ＝35°， 在Rt △AGE 中，∠AGE ＝90°，∵tan ∠AEG ＝tan35°＝AG EG， ∴AG ＝6×0.7＝4.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG 为4.2米；（2）过E 作EH ⊥CB 于H ，如图，设EH ＝x ，在Rt △EDH 中，∠EHD ＝90°，∠EDH ＝60°，∵tan ∠EDH ＝EH DH ， ∴DH ＝tan 60x ︒， 在Rt △ECH 中，∠EHC ＝90°，∠ECH ＝35°， ∵tan ∠ECH ＝EH CH ， ∴tan 35x CH =°， ∵CH ﹣DH ＝CD ＝8， ∴8tan 35tan 60x x -=°°， 解得：x≈9.52，∴AB ＝AG ＋BG ＝13.72≈14（米），答：房屋的高AB 为14米．本题考查了解直角三角形，通过等腰三角形的性质，构造垂线等方式构造解题需要的直角三角形是解题的关键.24．（1）见解析；（2）12532AE=；（3）12【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F1的位置，求出AF1与AF2，进而即可求解．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠B＝∠ACB，∴△BAD∽△DCE；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴AB BDBC AB=，即101610BD=，解得，BD＝254，∵DE∥AB，∴AE BDAC BC=，即2541016AE=，解得，AE＝125 32；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，∵AB=AC，∴BM=CM=16÷2=8，又∵AB=10，∴6=， ∴tanB=34AM BM = ∵∠ADE ＝∠B ， ∴tan ∠ADE =34AF AD =， ∵∠ANF=∠AMD=∠DAF=90°，∵∠FAN+∠AFN=∠FAN+∠MAD=90°，∴∠AFN=∠MAD ，∴∆AFN~∆DAM ， ∴34NF AF MA AD ==，即：NF=34MA=34×6=92， ∴点F 到AM 所在直线的距离=92， ∴点D 从点B 运动到点C 的过程中，点F 的运动路径是线段， 当点D 与点B 重合时，F 点在F 1的位置，此时，∠BAF 1=90°， ∵tanB=34AM BM =， ∴AF 1=AB×tanB=10×34=152， 当点D 与点C 重合时，F 点在F 1的位置，此时，AF 2= AC×tan ∠ACF 2= AB×tanB=152， 连接F 1F 2，∵∠BAF 1=∠CAF 2，∴∠F 1AF 2=∠BAC ，∵AF 1=AF 2，即∆A F 1 F 2是等腰三角形，∴∆A F 1 F 2~∆ABC ， ∴121F F AF BC AB =，即：121521610F F =， ∴F 1 F 2=12，即：点F 运动的路径长为12．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若＝，则tan∠BCF的值为．2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠F AE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．4．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tan C＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．5．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．（1）求AD的长；（2）求tan∠DAC的值．7．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tan C＝．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．8．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．9．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．10．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）11．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）12．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．（1）求点C到直线AB的距离；（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）13．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.28714．如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE ＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）15．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）16．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B 测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）17．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）18．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）19．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．20．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）参考答案1．（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，故答案为：．2．解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，∵sin∠BCD＝，∴，∴CD＝5x，CE＝4x，∵CD＝5，∴x＝1，∴CE＝4，∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x，∴BC＝BE+CE＝7x＝7．（2）过点A作AF⊥BC于点F，∴DE∥AF，∵D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴AF＝2DE，BF＝2BE，由（1）可知：DE＝BE＝3，∴AF＝6，BF＝6，∴CF＝BC﹣BF＝1，∴tan∠ACB＝6．3．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠F AC，∴∠ACF＝∠F AC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．4．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C为锐角且tan C＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sin C＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．5．解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC＝，∴，∴BC＝5，∴CD＝＝3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB＝＝＝．6．解：（1）∵△ABP≌△PCD，∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，AP＝PD，∠APB＝∠CDP，∵∠PCD＝90°，∴∠CPD+∠CDP＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∴∠APD＝90°，∴PD＝＝＝2，∴AD＝＝＝4；（2）过点D作DH∠AC于点H．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10．∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCH，∵∠B＝∠CHD＝90°，∴△ABC∽△CHD，∴＝＝，∴＝＝，∴CH＝，DH＝，∴AH＝AC﹣CH＝10﹣＝，∴tan∠DAC＝＝＝．7．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．∵AB＝AD，∴BH＝HD＝BD＝2．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝4．∴HC＝HD+CD＝6．∵＝，∴．∵＝＝．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．∵，∴．∴．∴点C到直线AB的距离为．8．解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝AB cos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．9．解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tan∠B＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．10．解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5a米，则PH＝12a米，由勾股定理得，AP＝＝13a（米），∴13a＝39，解得a＝3，∴AH＝15米．答：坡顶A到地面PQ的距离为15米．（2）延长BC交PQ于点D，由题意得，CD＝AH＝15米，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD．设BC＝x米，则BD＝PD＝（x+15）米，由（1）可得PH＝12×3＝36（米），∴AC＝HD＝PD﹣PH＝x+15﹣36＝（x﹣21）米，在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，解得x≈28，经检验，x≈28是原方程的解且符合题意．∴古塔BC的高度约为28米．11．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．12．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，在Rt△ACD中，sin30°＝，解得CD＝300，∴点C到直线AB的距离为300米．（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，解得AD＝，在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，∴BD＝300米，BC＝米，∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，∵600+﹣（300+）≈205（米），∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．13．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．14．解：（1）过点E作EF⊥地面DC，垂足为F，∵斜坡DE的坡度为i＝1：，∴＝＝，在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴EF＝ED＝2（米），∴E点到地面DC的距离为2米；（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，则EF＝GC＝2米，EG＝CF，∵＝，∴DF＝EF＝2（米），∵DC＝6米，∴EG＝FC＝DF+DC＝（2+6）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG•tan45°＝（2+6）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴BC＝CD•tan60°＝6（米），∴AB＝AG+GC﹣BC＝2+6+2﹣6＝（8﹣4）米，∴旗子的宽度AB为（8﹣4）米．15．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．16．解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△P AD中，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠P AD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．17．解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴，在Rt△BDE中，∴，∴（米），答：隧道AB的长为米．18．解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，∠AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．19．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．20．解：（1）过点B作BF⊥AD于点F，如图：在Rt△ABF中，BF：AF＝1：＝3：4，AB＝3米，设BF＝3x米，则AF＝4x米∴（3x）2+（4x）2＝32，解得x＝0.6，∴BF＝3×0.6＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝AB•cos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．。

28.2 解直角三角形及其应用一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=35，BC=6，则AB=()A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=BCAB =35，BC=6，∴AB=BCsinA =635=10，故选：D．2.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45∘，则调整后的楼梯AC的长为()A. 2√3mB. 2√6mC. (2√3−2)mD. (2√6−2)m【答案】B【解析】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=ADAB，∴AD=4sin60∘=2√3(m)，在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=ADAC，∴AC=2√3sin45∘=2√6(m)．故选B．3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，第 1 页测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A. 11−sinαB. 11+sinαC. 11−cosαD. 11+cosα【答案】A【解析】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，，∴x−1x=sinα，∴x−1=xsinα，∴(1−sinα)x=1，∴x=11−sinα．故选：A．4.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值()A. √33B. √35C. 13D. 15【答案】D【解析】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=53，即ADAB=53，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴CEAB =DEAD=CDBD=12，∴CE=32x，DE=52x，∴AE=152x，∴tan∠CAD=ECAE =15．故选D．5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A. (4+4sinθ)米 2B. 4cosθ米 2C. (4+4tanθ)米 2 D. (4+4tanθ)米 2【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，BC=AC⋅tanθ=4tanθ(米)，∴AC+BC=4+4tanθ(米)，∴地毯的面积至少需要1×(4+4tanθ)=4+4tanθ(米 2)；故选：D．6.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是()A. AF=12CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有4个D. tan∠CAD=√22【答案】C【解析】解：A、∵AD//BC，∴△AEF∽△CBF，第 3 页∴AEBC =AFFC，∵AE=12AD=12BC，∴AFFC =12，故A正确，不符合题意；B、过D作DM//BE交AC于N，∵DE//BM，BE//DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM//BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，故B正确，不符合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C错误．D、设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有ba =a2b．∵tan∠CAD=CDAD =ba=√22，故D正确，不符合题意．故选C．7.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=45，BD=5，则OH的长度为()A. 23B. 56C. 1D. 76【答案】D【解析】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90∘，∵cos∠CDB=DHBD =45，BD=5，∴DH=4，∴BH=√BD2−DH2=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=(x+3)2，解得：x=76，∴OH=76；故选：D．8.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于()A. 43B. 34C. 35D. 45【答案】A【解析】解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD中点，∴BD=2EF=4，∵BD2+CD2=25，BC2=25，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90∘，∴tanC=BDCD =43，故选：A．9.如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE⋅OP；③S△AOD=第 5 页S四边形OECF ；④当BP=1时，tan∠OAE=1316，其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90∘，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，{AD=AB∠DAP=∠ABQ AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90∘，∴∠P+∠QAB=90∘，∴∠AOP=90∘，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90∘，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90∘，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AOOD =OPOA，∴AO2=OD⋅OP，∵AE>AB，∴AE>AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE⋅OP；故②错误；在△CQF与△BPE中{∠FCQ=∠EBP ∠Q=∠PCQ=BP，∴△CQF≌△BPE，第 7 页∴CF =BE ， ∴DF =CE ，在△ADF 与△DCE 中，{AD =CD∠ADC =∠DCE DF =CE ，∴△ADF≌△DCE ，∴S △ADF −S △DFO =S △DCE −S △DOF ， 即S △AOD =S 四边形OECF ；故③正确； ∵BP =1，AB =3， ∴AP =4， ∵△PBE∽△PAD ， ∴PBEB =PADA =43， ∴BE =34，∴QE =134，∵△QOE∽△PAD ， ∴QO PA=OE AD =QEPD =1345，∴QO =135，OE =3920， ∴AO =5−QO =125，∴tan∠OAE =OE OA=1316，故④正确，故选：C ．10. 如图，在反比例函数y =32x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =kx 的图象上运动，若tan∠CAB =2，则k 的值为( )A. −3B. −6C. −9D. −12【答案】B【解析】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C 作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y=32x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90∘，∠AOF+∠COF=90∘，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90∘，∠CFO=90∘，∴△AOE∽△COF，∴AECF =OEOF=AOCO，∵tan∠CAB=OCOA=2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE⋅OE=32，CF⋅OF=|k|，∴k=±6．∵点C在第二象限，∴k=−6，故选：B．二、填空题11.△ABC中，AB=12，AC=√39，∠B=30∘，则△ABC的面积是______ ．【答案】21√3或15√3【解析】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30∘，∴AD=12AB=6，BD=ABcosB=12×√32=6√3，在Rt△ACD 中，CD=√AC2−AD2=√(√39)2−62=√3，∴BC=BD+CD=6√3+√3=7√3，则S△ABC=12×BC×AD=12×7√3×6=21√3；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD=6、BD=6√3、CD=√3，则BC=BD−CD=5√3，∴S△ABC=12×BC×AD=12×5√3×6=15√3，故答案为：21√3或15√3．12.如图，在一坡比为1：3的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离AB为10米，则这两棵树的高度差BC为______ 米.【答案】√10【解析】解：∵坡比为1：3，即BC：AC=1：3，∴设BC=x，则AC=3x，∵AB=10，∴x2+9x2=100，解之得：x=√10，即BC=√10(米)．故答案为：√10．13.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60∘，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______ ．【答案】√217第 9 页【解析】解：作EH ⊥AD 于H ，连接BE 、BD ，连接AE 交FG 于O ，如图， ∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴△BDC 为等边三角形，∠ADC =120∘， ∵E 点为CD 的中点， ∴CE =DE =1，BE ⊥CD ， 在Rt △BCE 中，BE =√3CE =√3， ∵AB//CD ， ∴BE ⊥AB ， 设AF =x ，∵菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，∴EF =AF ，FG 垂直平分AE ，∠EFG =∠AFG ， 在Rt △BEF 中，(2−x)2+(√3)2=x 2，解得x =74，在Rt △DEH 中，DH =12DE =12，HE =√3DH =√32，在Rt △AEH 中，AE =√(2+12)2+(√32)2=√7，∴AO =√72， 在Rt △AOF 中，OF =(74)(√72)=√214，∴cos∠AFO =√21474=√217． 故答案为√217．14. 如图，在正方形ABCD 中，AD =2√3，把边BC 绕点B 逆时针旋转30∘得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为______ ．【答案】9−5√3【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90∘，∵把边BC绕点B逆时针旋转30∘得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30∘，∴∠ABP=60∘，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60∘，AP=AB=2√3，∵AD=2√3，∴AE=4，DE=2，∴CE=2√3−2，PE=4−2√3，过P作PF⊥CD于F，∴PF=√32PE=2√3−3，∴三角形PCE的面积=12CE⋅PF=12×(2√3−2)×(2−2√3)=9−5√3，故答案为：6√3−10．15.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12√3米，∠B=60∘，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=313√3，则CE的长为______ 米.【答案】8【解析】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60∘，∴sin∠B=AFAB，∴AF=12×√32=6√3，∴DG=6√3．∵在Rt△DGC中，CD=12√3，DG=6√3米，∴GC=√CD2−DG2=18．∵在Rt△DEG中，tanE=313√3，∴6√3GE =313√3，第 11 页∴GE=26，∴CE=GE−CG=26−18=8．即CE的长为8米．故答案为8．三、计算题16.某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥.原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45∘，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC= 30∘.求BD的长.(结果保留根号)．【答案】解：在Rt△ABC中，AB=6m，∠ABC=45∘，∴AC=BC=AB⋅tan45∘=6×√22=3√2，在Rt△ADC中，∵tanD=ACCD，∴CD=ACtan30∘═3√2÷√33=3√6，∴BD=CD−BC=3√6−3√2．答：BD的长为(3√6−3√2)m．17.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)【答案】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB//CH，∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘，∵AB=32m，∴AD=CD=16m，BD=AB⋅cos30∘=16√3m，∴BC=CD+BD=(16√3+16)m，则BH=BC⋅sin30∘=(8√3+8)m．。

九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．图，在Rt△ABC中△ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin△CEF= 3，则△AEF的面积为（）5A．3B．4C．5D．62．小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50°B．北偏西50°C．南偏西40°D．北偏西40°3．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒，B处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB的长是（）米．A．B．C．D．4．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A ．北偏东20°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°5．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB =米，15AE =米，则宣传牌CD 的高度是（ ）米A ．20-B ．20+C ．15+D ．56．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ，随机地往O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A B C D ．以上答案都不对7．如图，小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，已知标杆BE 的长为1.2米，测得AB =85米，BC ＝425米，则楼高CD 是（ ）A ．6.3米B ．7.5米C ．8米D ．68．如图，点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，点P 为EF 上一点，连接PB 、PD ．下列说法不正确的是（ ）A ．若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B ．若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2，则S △BEP ：S △DFP ＝3：4C ．若S △BEP ＝S △DFP ，则点P 在AC 上D ．若点P 在BD 上，则S △BEP ＝S △DFP9．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米10．如图，等腰Rt △ABC 中⊥A =90°，AB =AC ，BD 为△ABC 的角平分线，若2CD =，则AB 的长为（ ）A．3 B ．2 C ．4 D 2+二、填空题11．在Rt ABC 中90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．12．如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．13．如图，在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．14．如图，在直角坐标系中点A 的坐标为（0，点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当⊥CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．16．在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=，则BC =______________．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．18．如图，等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．三、解答题19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？20．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7521．如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离． 1.41 1.73≈结果精确到0.1m ）参考答案与解析1．C【分析】连接BF ，由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠，再得出CEF ∠与CBF ∠的关系，由三角函数关系求得CF 、BF 的值，通过BF AF =，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =，设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=，即()()222435x x +=解得1x =（负值舍掉）3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线， ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选：C ．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．C【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．3．B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===，解得：)PB m =故AB =故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．4．C【分析】连接BC ，由锐角三角函数定义得AC A = km ，则AC =AB ，再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC由题意得：⊥ACP =⊥ACD =90°，⊥P AC =30°，P A =10km ，⊥BAE =40°，AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×（180°—⊥BAC ）=12×（180°—110°）=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键．5．A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长，从而可易得EF 及EG 、BF 的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度，在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度，从而可求得CD 的长度．【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米，cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ，BF ⊥ED ，AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米，15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜，BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜，AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．6．A【分析】连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．【详解】解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ，⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为：222rπ 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键．7．B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】⊥AB =85，BC ＝425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ，CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB ：AC =BE ：CD ⊥85：10=1.2：CD⊥CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．8．D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：A 、若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上，说法正确；B 、若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2则S △BEP ：S △DFP ＝3：4，说法正确；C 、过点P 作GH AB ∥，分别交AD ，BC 于G ，H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理：四边形CDGH 、四边形BHPE ，四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理：BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上，C 说法正确；D 、若点P 在BD 上，不能得出EP ＝PF ，所以S △BEP 不一定等于S △DFP ，说法错误；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．10．D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设AB =AC =x ，则AD =x -2，根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°，根据BD 为△ABC 的角平分线，⊥A =90°，DE ⊥BC ，推出DE =AD =x -2，运用⊥C 的正弦即可求得．【详解】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ，则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中，⊥A =90°，AB =AC ，⊥⊥C =（180°-⊥A ）=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ，即2AB =．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．11．92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当⊥ABC =60°时，则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时，如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°，即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒，⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9；当⊥ABC =30°时，则⊥BAC =60°，如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．12．3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2 AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π+【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．13．(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF m ，求出x =10，则BH =DF =，CF =，DH =BF ，再求出AH DH ，即可求解． 【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ，BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ，CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ，CF =⊥DH =BF =（m ）⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ） ⊥AB =AH +BH =20103（m ）故答案为：(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ，于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．【详解】解：⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB ＝⊥AOB ＝90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE ＝BE =EA⊥⊥EAC ＝⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF ＝90°，⊥ECF +⊥CFE ＝90°⊥⊥CFE ＝⊥BAC而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE ＝⊥CBO ＝2⊥CBA ＝2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB ＝⊥CAB ＝2⊥ABO⊥⊥ABO ＝30°而点A 的坐标为（0，即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为（3，0）于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．15．3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，先证四边形CDEB 为矩形，得出CD =BE ，再证Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ），根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ）⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ，CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．16．3或3【分析】画出图形，分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当⊥ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知：2236273CH AC AH⊥333BC BH CH．情况二：当⊥ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17．【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值，求出BC ，再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长．【详解】解：⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为：【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC 是解题关键． 18．55°，60°，65°．【分析】通过旋转AOB 至CDB △，可得BOD 是等边三角形，将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (30) 一、单选题1．如图，一斜坡AB的长为，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（）A．3m B．4m C．6m D．16m2．如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t 之间的函数关系的是（）A．B．C．D．3．如图，菱形ABCD的边长是2，∠B=120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则PE＋PD的最小值为（）A BC ．2D 4．如图，在Rt ABC 中，60,BAC ∠=︒点A 的坐标为1,0，点B 的坐标为(2， 4)，将ABC 绕点A 顺时针旋转()090a a ︒<<︒，得到11AB C △，若1AC x ⊥轴，则点1B 的坐标为（ ）A ．25,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．52,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．5,22⎛- ⎝⎭D ．5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题 5．在平面直角坐标系中，将若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA 1→A 1A 2→A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n 秒运动到点P n （n 为正整数），则点P 18的坐标是______．6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝2，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，那么△BDE 的面积是_____．7．如图，ABC 三个顶点的坐标分别是A(1，﹣1)，B(2，﹣2)，C(4，﹣1)，将ABC 绕着原点O 旋转75°，得到A 1B 1C 1，则点B 1的坐标为________．8．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝k x的图象相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴和x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，连接CF 、DE ．下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③AC ＝BD ；④tan ∠BAO ＝a ；其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）9．如图，Rt ABC ∆的斜边BC 与O 相切于点B ，直角顶点A 在O 上，若1tan ,2B BC ==则O 的半径为 ___________10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝4，∠B ＝60°，点E 在线段BC 上一动点，连接AE ，将△ABE 沿着AE 翻折，得△AFE ，连接CF 、DF ．则△CDF 面积的最小值为_____．11．如图所示，已知OAC 和ABC 都是等腰直角三角形，90ACO ABC ∠=∠=︒，反比例函数k y x =在第一象限的图象经过点B ，连接OB ，且4=OAB S ．则k 的值为______．12．如图，Rt △ABC ，∠C=90°，tan ∠A=12，D 是AC 中点，∠ABD=∠FBD ，BC=6，CF ∥AB ，则DF=________.13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3．…都是菱形，点A 1，A 2，A 3，…都在x 轴上，点C 1，C 2，C 3，…都在直线y OA 1＝1，则点C 2020的纵坐标是_____．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB 由西向东行驶．如图所示，在A 处测得岸边一建筑物P 在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B 处，测得建筑物P 在北偏西60°方向上，则建筑物P 到航线AB 的距离为_____米．15．如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，在AH 上取一点K ，连接CK ，使得90HKC HAC ∠+∠=︒，在CK 上取一点N ，使得12CN AC =，连接BN ，交AH 于点M ，若tan 2ABC ∠=，15BN =，则CH 的长为______.16．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15︒方向的A 处，若渔船沿北偏西75︒方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60︒方向上，则B 、C 之间的距离为________海里.17．在ABC ∆中，AB =AC =1tan 2B =，则BC 的长为______.三、解答题18．将折叠书架画出侧面示意图，AB 为面板架，CD 为支撑架，EF 为锁定杆，F 可在CD 上移动或固定．已知8BC CE cm ==．如图甲，将面板AB 竖直固定时（AB BD ⊥），点F 恰为CD 的中点．如图乙，当17CF cm =时，EF AB ⊥．（1）求锁定杆EF 的长度；（2）求支撑架CD 的长度．19．陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D 处利用测倾器测得银杏树顶端A 的仰角为39°，然后着DM 方向走了19米到达点F 处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF ＝1.7米，测得FG ＝3米，测倾器的高度CD ＝0.8米，已知AB ⊥BG ，CD ⊥BG ，EF ⊥BG ．请你根据以上信息，计算银杏树AB 的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）20．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75≈1.73）21．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．22．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45 ，D处的俯角为30，乙在山下测得C，D之间的距离为100米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，圆O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC为圆O的切线；（2）若tan∠CBE＝12，AE＝4，求圆O的半径．24．课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A 处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G 为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度．25．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角HFE∠为45︒，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角GED∠为60︒，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH 的高；（2）求教学楼CG 的高． 1.7==）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴负半轴于点,A 交x 轴正半轴于点()4,0B ，交y 轴正半轴于点,4,24ABC C OC OA S ==．()1求抛物线的解析式；()2点P 为第一象限抛物线上一点，过点P 作PD AB ⊥于点D ．连接AP 交y 轴于点E ．过点E 作EG PD ⊥于点,G 设点P 的横坐标为1(,)t G t P ≤的长度为,d 求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围)；()3在()2的条件下，过点B 作BF EG ⊥交EG 的延长线于点,F 点Q 在线段CF 上，连接,DQ PQ 、将DGQ 沿DQ 折叠后，点G 的对称点为点,H DH 交BF 于点,M 连接MQ 并延长交DP 的延长线于点,N 当145,8DQM tan PQN ∠=︒∠=时，求直线PQ 的解析式． 27．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点,C 然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，,DC BC =在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27(点,,,,A B C D E 在同一平面内)．斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4,i =那么建筑物AB 的高度约为多少？结果保留整数(参考数据270.45,sin ︒≈270.89,270.51cos tan ︒≈︒≈)28．阅读理解：如图1，Rt △ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°，其外接圆半径为R ．根据锐角三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，可得sin a A ＝sin b B ＝c ＝2R ，即：sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2R ，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，其外接圆半径为R ，那么：sin a Asin b B sin c C（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A ＝60°，∠B ＝45°，a ＝8，求b ． 综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD 的高度，在A 处用测角仪测得塔顶C 的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m 到达B 处，此时A ，B ，D 三点在一条直线上，在B 处测得塔顶C 的仰角为45°，求古塔CD 的高度（结果保留小数点后一位）．，sin15°＝4） 29．在平面直角坐标系中，直线34y x b =-+交x 正半轴于点A ，交y 正半轴于点B ，10AB =． （1）如图1，求b 的值；（2）如图2，点C 为x 轴负半轴上一点，过点C 作CH AB ⊥于点H ，延长CH 至点D ，连接OD交AB 于点E ，若34OE OD =，点D 的横坐标为m ，纵坐标为n ，求n 与m 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 为AB 的中点，连接OP ，点F 为第四象限内一点，连接OF 、PF ，点M 为PF 上一点，连接CM ，交OP 于点N ，PM MN =，PF CN =，若815EH =，2POF PBO ∠=∠，求点N 的坐标．30．如图，已知楼AB 高30m ，从楼顶A 处测得旗杆C 的俯角为60︒，又从离地面5m 的一窗口E测得旗杆顶C 的仰角为45︒，求旗杆CD 的高.（结果精确到0.1m 1.73≈ 1.41≈）【答案与解析】1．B【解析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC和AC之间的倍数关系式，设BC=x，则AC=1.5x，再由勾股定理求得x，从而求得BC的值．解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：1.5，AB=∴设BC=x，则AC=1.5x，∴由勾股定理得x=，又∵AB=x=x=4，∴BC=4m．故选：B．本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．2．B【解析】连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，根据菱形的性质以及题目给出的条件可得BO，进而得出BD＝，根据题意可知AM＝tcm，BN＝2tcm，根据题意得出t的取值范围，再根据三角形的面积公式得出S与t之间的函数关系式即可得出正确选项．解：如图，连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，∵ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠ABO＝30°，∴BO＝AB•cos30°＝2cm），∴BD ＝cm ），根据s ＝vt 可知，AM ＝t （cm ），BN ＝2t （cm ），∵0≤AM≤2，023BN 得0≤t≤2，0223t ， ∴03t ，∵在△BMH 中，BN ＝2t ，MH ＝BM•sin30°＝1(2)2t -， ∴2⋅=BMN BN MH S ＝112(2)22t t ⋅-⨯＝211(1)22t --+（03t ），此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分，且图象两个端点的横坐标分别为0 故选：B ．本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．3．B∵四边形ABCD 是菱形，∴点B 与点D 关于直线AC 对称.如图，连接BE 与AC 相交于点P ，由轴对称确定最短路线问题，BE 的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD.∵∠B=120°，∴∠BCD=180°−120°=60°.又∵BC=CD ，∴△BCD 是等边三角形.∵E 是CD 的中点，sin 602BE BC =⋅== . 故选B.4．A【解析】过点B 1作B 1H ⊥x 轴于H ．解直角三角形求出B 1H ，OH 即可解决问题．解：过点B 1作B 1H ⊥x 轴于H ．∵A （-1，0），B （2，4），∴=AB1∵∠BAC=∠B 1AC 1=60°，AC 1⊥OA ，∴∠OAB 1=30°，∴B 1H=12AB 1=52，B 1，∴∴B 125,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：A ．本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．(9，0)【解析】每6点的横坐标规律：135,1,,2,,3,,,2222n 从而可得答案．解：如图，过1A 作12A H OA ⊥于H ， 12OA A 是等边三角形，1230,OA A ∴∠=︒11111,cos30222OH OA A H OA ∴===︒=11,2A ⎛∴ ⎝⎭从而可得：()2331,0,,2A A ⎛ ⎝⎭()()4567572,0,,,3,0,,,2222A A A A ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，即135,1,,2,,3,,,2222n纵坐标每6个点依次为：,0,222-这样循环， ∴()189,0,A故答案为：P 18（9，0）． 本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，利用三角函数确定点的坐标规律是解题的关键．6【解析】过点E 作EF ⊥BD ，与BD 的延长线交于点F ，解直角三角形求出BC ，用旋转的性质得出△ABD 是等边三角形，求得BD 与∠ADB ，进而解Rt △DEF ，求得EF ，最后根据三角形的面积公式求得结果．解：过点E 作EF ⊥BD ，与BD 的延长线交于点F ，∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝2，∴∠BAC ＝60°，BC ＝tan 30AB =︒∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，∴AB ＝AD ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°，DE ＝BC ＝∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝2，∠ADB ＝60°，∴∠EDF ＝180°﹣∠ADB ﹣∠ADE ＝30°，∴12EF DE ==∴11222BDE S BD EF =⋅=⨯=本题考查解直角三角形和图形的旋转，解题的关键是利用旋转的性质和锐角三角函数解直角三角形．7．）．【解析】根据题意只研究点B 的旋转即可，OB 与x 轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y 轴负向、x 轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．解：由点B 坐标为（2，﹣2）则，且OB 与x 轴、y 轴夹角为45°当点B 绕原点逆时针转动75°时，OB 1与x 轴正向夹角为30°则B 1到x 轴、y ，则点B 1；同理，当点B 绕原点顺时针转动75°时，OB 1与y 轴负半轴夹角为30°，则B 1到x 轴、y ，则点B 1）；故答案为：）．本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．8．①②③④．【解析】设D（x，kx），得出F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据相似三角形的判定判断②即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出AC＝BD，判断③即可；由一次函数解析式求得点A、B的坐标，结合锐角三角函数的定义判断④即可．解：①设D（x，kx），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DEF的面积是：12kx•x＝12k，设C（m，km），则E（0，km），由图象可知：m＜0，km＜0，△CEF的面积是：11||22km km⋅⋅=，∴△CEF的面积＝△DEF的面积，故①正确；②△CEF和△DEF以EF为底，且它们面积相等，所以两三角形EF边上的高相等，∴EF∥CD，∴FE∥AB，∴△AOB∽△FOE，故②正确；③∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF，同理EF＝AC，∴AC＝BD，故③正确；④由一次函数y＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，易得A （﹣b a ，0），B （0，b ）， 则OA ＝b a，OB ＝b ， ∴tan ∠BAO ＝OB OA＝a ， 故④正确．正确的结论：①②③④．故答案为：①②③④．本题考查反比例函数与几何综合，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形．①中能根据反比例函数的性质设出点的坐标，从而根据点的坐标表示三角形的面积是解题关键；②中能根据面积相等证明平行是解题的关键；③中掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题关键；④中能通过一次函数一般式表示出它与坐标轴的交点坐标是解题关键．9【解析】延长CA 交⊙O 于点E ，连接BE ，如图，根据圆周角定理的推论可得BE 是⊙O 的直径，根据余角的性质可得∠E=∠ABC ，然后在Rt △BCE 中利用三角函数的知识可求出BE ，进一步即可求出结果．解：延长CA 交⊙O 于点E ，连接BE ，如图，∵∠BAC=90°，∴∠BAE=90°，∴BE 是⊙O 的直径，∵BC 与O 相切于点B ，∴∠CBE=90°，∵∠E+∠C=90°，∠ABC+∠C=90°，∴∠E=∠ABC ，∵1tan ,2ABC BC ∠== ∴1tan 2BC E BE ==，∴BE=2BC=∴O本题考查了圆周角定理的推论、圆的切线的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．10．4【解析】过点A 作AH ⊥CD 于H ，由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求AH ＝6，由折叠的性质可得AF ＝AB ＝4，可得点F 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上，则当点F 在AH 上时，FH 有最小值＝AH ﹣AF ＝2，即可求解．解：如图，过点A 作AH ⊥CD 于H ，∵平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝∠ABC ＝60°，∴CD ＝AB ＝4，∠ADC ＝∠ABC ＝60°，∴∠DAH ＝30°，∴DH ＝12AD ＝12，AH ＝6， ∵将△ABE 沿着AE 翻折，得△AFE ，∴AF ＝AB ＝4，∴点F 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上，∴当点F 在AH 上时，FH 有最小值＝AH ﹣AF ＝2，∴△CDF 面积的最小值＝12×4×2＝4， 故答案为：4．本题考查轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够看出来点F 的轨迹是圆，然后用求一个定点到圆上一点距离最小值的方法求解．11．6.【解析】设OC AC a ==，根据OAC 是等腰直角三角形可以得到，OA =，而ABC 是等腰直角三角形，那么2AB BC a ==，由于45OAC BAC ∠=∠=，所以OAB 90∠=,由此可以表示出142OAB S OA AB =⋅=，即可解出a =OC =2BC =，过B 作BE x ⊥轴，由于45ACB ∠=，所以45BCE ∠=，可以求出BCE 是等腰直角三角形，由此可以得到BE CE ==B 的坐标，求出k ．设OC AC a ==OAC 是等腰直角三角形∴ sin 452OC AO == ∴OA =ABC 是等腰直角三角形∴ sin 452AB AC ==∴ 2AB BC == OAC 和ABC 都是等腰直角三角形∴ 45OAC BAC ∠=∠=∴ OAB 90∠=∴ 114222OAB S OA AB a =⋅=⋅⋅=解得：a =∴OC =2BC =过B 作BE x ⊥轴45ACB ∠=∴ 45BCE ∠=∴ BCE 是等腰直角三角形∴ sin 452CE CB == ∴CE BE ==∴OE =∴ (B反比例函数k y x=在第一象限的图象经过点B ∴ 6k =故答案为：6.本题主要考查反比例函数与等腰直角三角形的综合，熟练掌握等腰三角形三边的比例关系，准确的画出辅助线是求解本题的关键．12．【解析】延长FD 交AB 与点G ，过点D 作DH AB ⊥，垂足为H DI BF ⊥垂足为I ，过点F 作FJ AC ⊥垂足为J .先证明()ADG CD S F A A ∆∆≌，再证明()HDG IDF HL ∆∆≌然后证明()BDG BD A F A S ∆∆≌，得出90BDF ∠=︒，进而得出JFD ∆是等腰直角三角形，设JF DJ x ==，得出6JC x =-，然后根据三角函数解得x ，再根据等腰直角三角形解得DF . 延长FD 交AB 与点G ，过点D 作DH AB ⊥，垂足为H DI BF ⊥垂足为I ，过点F 作FJ AC ⊥垂足为J ，如下图：∵90Rt ABC C ∆∠=︒，，12tan A ∠=∴12BC AC = 又∵6BC =，∴12AC =又∵D 是AC 中点 ∴162AD CD AC === ∵CF AB ∥∴A FCD ∠=∠ ∵ADG CDF AD CD A FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ADG CD S F A A ∆∆≌∴GD FD =∵ABD FBD ∠=∠∴BD 是角平分线∴DH DI =又∵,DH AB DI BF ⊥⊥∴90GHD FID ∠=∠=︒∵90DH DI GD FD GHD FID =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()HDG IDF HL ∆∆≌∴DGB DFB ∠=∠∵ABD FBD DGB DFB BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDG BD A F A S ∆∆≌∴BDG BDF ∠=∠∵180BDG BDF ∠+∠=︒∴90BDG BDF ∠=∠=︒∵6BC CD ==且90C ∠=︒∴BCD ∆是等腰直角三角形∴45BDC ∠=︒∴904545JDF BDF BDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴JFD ∆是等腰直角三角形∴JF DJ =设JF DJ x ==∴6JC DC DJ x =-=-∵A FCD ∠=∠ ∴12tan FCD tan A ∠=∠=∴12FJ JC =，即162x x =- 解得：2x =∴DF ==本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、三角函数，准确作出辅助线是解本题的关键.13．2【解析】根据菱形的性质求得菱形的边长，然后分别表示出123,,C C C 的坐标找出规律进而求得n C 的坐标，从而可得答案．解：记直线12C C 与,x y 轴的交点分别为,C B 点，333y x =+令0,,3x y ==令0,1,y x ==-(),1,0,B C ⎛∴- ⎝⎭tan BCO ∴∠= 30,BCO ∴∠=︒∵OA 1＝1，四边形OA 1B 1C 1为菱形，∴OC 1＝1，∴∠C 1OA 1＝∠C 2A 1A 2＝∠C 3A 2A 3＝…＝60°，设C 1（m ），1， ∴m ＝12，m ＝﹣1（不合题意舍去），∴C 1（12， ∵四边形OA 1B 1C 1，A 1A 2B 2C 2，A 2A 3B 3C 3，…都是菱形，∴A 1C 2＝2，A 2C 3＝4，A 3C 4＝8，…，同理得到C 2（2，∴C 3（5，，∴C 4（11，，C 5（23，，∴C 6（47，）；…，n C （3×2n ﹣2﹣1，2n ﹣），∴点C 2020的纵坐标是2故答案为2本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰三角形的性质，菱形的性质，一次函数的图像与性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C 点的坐标，找出规律是解题的关键．14．【解析】过P 点作PC ⊥AB 于C ，则建筑物P 到航线AB 的距离即为PC 的长度；在Rt △P AC 中，PC AC ＝tan ∠P AC ＝tan60°，可解得AC ＝3PC ；而在Rt △PBC 中，PC BC ＝tan ∠PBC ＝tan30°，可解得BC；又因为AB ＝AC +BC ＝3PC ＝10×40＝400，解即可求得PC 的值，即为建筑物P 到航线AB 的距离过P 点作PC ⊥AB 于C ，由题意可知：∠P AC ＝60°，∠PBC ＝30°，在Rt △P AC 中，PC AC＝tan ∠P AC ＝tan60°，∴AC ， 在Rt △PBC 中，PC BC＝tan ∠PBC ＝tan30°，∴BC PC ，∵AB ＝AC +BC ＝3PC +＝10×40＝400，∴PC ＝，故答案为：本题主要考查了锐角三角函数在解直角三角形中的应用．作出辅助线PC ，构建直角三角形是解答本题的关键所在．15．【解析】过点N 作NJ BC ⊥于J ．首先证明△AHC ∽△CJN ，得出1tan 2NBJ ∠=，利用勾股定理求出NJ ，再利用相似三角形的性质解决问题即可．解：如图，过点N 作NJ BC ⊥于J ．AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，tan 2AH ABH BH∠==， 90HKC HAC ∠+∠=︒，90HKC KCH ∠+∠=︒，HAC KCH ∴∠=∠，NJ BC ⊥，90AHC CJN ∴∠=∠=︒，AHC CJN ∴∆∆∽， ∴2AH CH AC CJ NJ CN===， ∴CJ BH =，∴CH CJ HJ BH HJ BJ =+=+=1tan 2NJ NBJ BJ ∴∠==，即2BJ NJ =, 15BN =，∴222BJ NJ BN +=,即222(2)15NJ NJ +=,NJ ∴=2CH NJ ∴==故答案为：本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．【解析】由题意可求得∠CAB=90º，∠ABC=45º，则△ABC 为等腰直角三角形，再由路程=时间×速度求得AC ，再通过解该直角三角即可求得BC ．由题意知，∠CAB=75º+15º=90º，∠ABC=60º-15º=45º，AC=60×0.5=30海里， 则有△ABC 为等腰直角三角形，∴BC= sin 2AC ABC ==∠故答案为：．本题考查了解直角三角形的应用——方向角，解答的关键是推知△ABC 为等腰直角三角形．17．10或6【解析】根据题意作图，根据三角函数的定义及勾股定理即可求解．如图1，在ABC ∆中，AB =，AC =A 作AD ⊥BC 延长线于D 点 ∵1tan 2B = 设AD=a ，∴BD=2a在RT △ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2∴（2=（2a ）2+a 2，解得a=4∴AD=4,BD=8∴2==∴BC=AD-CD=6;如图2，同理可求出BD=8,CD=2∴BC=AD+CD=10故答案为10或6．此题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意分情况作图．18．（1）15EF cm =；（2）CD=．【解析】（1）根据第二幅图，在Rt CEF 中用勾股定理进行计算；（2）根据第一幅图，过F 作FG AB ⊥，利用中位线算出EG 长，再用勾股定理求出GF ，从而得到BD ，最后再用勾股定理求出CD ．解：（1）如图，∵EF AB ⊥，17CF cm =，8BC CE cm ==，∴15EF cm =；（2）如图，过F 作FG AB ⊥，∵AB BD ⊥，∴//FG BD ，∵点F 恰为CD 的中点， ∴142CG BC cm ==，∴8412EG cm =+=，∵15EF cm =，∴9FG cm ==，∴218BD FG cm ==，∴CD ==本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造辅助线，并熟练运用与三角形有关的性质判断进行证明求解．19．40.8米【解析】由题意过C 作CH ⊥AB 于N ，则四边形BDCN 是矩形，根据矩形的性质得到CN ＝BD ，BN ＝CD＝0．8，设BD＝CN＝x，则BG＝22+x，根据三角函数的定义得到AN＝CN•tan39°＝0．8x，求得AB＝0．8x+0．8，根据相似三角形的性质求出x，即可得到结果．解：过C作CH⊥AB于N，如图所示：则四边形BDCN是矩形，∴CN＝BD，BN＝CD＝0．8，设BD＝CN＝x，则BG＝BD+DF+FG＝x+19+3＝22+x，∵小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，∴∠ACN＝39°，在Rt△ACN中，AN＝CN•tan39°＝0．8x，∴AB＝AN+BN＝0．8x+0．8，∵AB⊥BG，EF⊥BG，∴EF∥AB，∴△EFG∽△ABG，∴EFAB＝FGBG，即1.70.80.8x+＝322x+，解得：x＝50，∴AB＝0.85008⨯+．＝40.8（米）．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．这棵大树AB原来的高度约是9.2米．【解析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC 的长，进而可得出结论．过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．∵在Rt △AED 中，∠ADC ＝37°，AD=5，∴cos37°＝DE AD ＝5DE ≈0.8， ∴DE≈4，∵sin37°＝AE AD ＝5AE ≈0.6， ∴AE≈3，在Rt △AEC 中，∵∠CAE ＝90°﹣∠ACE ＝90°﹣60°＝30°，∴CE ＝AE·tan ∠CAE=3AE ，∴AC ＝2CE ＝∴AB ＝AC+CE+ED ＝+4＝（米）．答：这棵大树AB 原来的高度约是9.2米．本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值．试题解析：解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得1001044 4240a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得1653ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y＝16-x2＋53x＋4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，16-t2＋53t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝16-t2＋53t＋4﹣4＝16-t2＋53t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，当∠PBE＝∠OCD时，则△PBE∽△OCD，∴PE PBOD OC=，即BP•OD＝CO•PE，∴2（10﹣t）＝4（16-t2＋53t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；当∠PBE＝∠CDO时，则△PBE∽△ODC，∴PE PBOC OD=，即BP•OC＝DO•PE，∴4（10﹣t）＝2（16-t2＋53t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°，∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°，∴∠OCQ ＝∠AQB ，∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQ AQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQ BQ∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ，sin ∠CBQ ＝CQ BC ，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ （10﹣t ），t （10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．22．()50米【解析】设AB x =，由题意可知45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，CD=100米，即可得==AB BC x ，100BD x =+，在Rt ADB ∆中，由tan 30AB BD ︒=可得3100x x =+，由此即可求得50x =，即可得山高AB 为()50米．解：设AB x =，由题意可知：45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，∴==AB BC x∴100BD BC CD x =+=+，在Rt ADB ∆中， ∴tan 30AB BD︒=，∴3100x x =+解得：50x =，∴山高AB 为()50米．本考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．23．（1）见解析；（2）3．【解析】（1）连结OE ，根据BE 平分∠ABC ，可得∠CBE ＝∠ABE ，证明OE ∥AC ，进而可以证明AC 是⊙O 的切线；（2）证明EFA ∽BEA ，得出EF AF AE BE AE AB==，求出AF ，AB 的长，则答案可求出． 解：（1）证明：连结OE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠ABE ，又OB ＝OE ，∠ABE ＝∠BEO ，∴∠CBE ＝∠BEO ，∴OE ∥BC ，又∠C ＝90°，即AC ⊥BC ．∴OE ⊥AC ，即AC是⊙O的切线；（2）∵BF是⊙O的直径，∴∠BEF＝90°，∵∠CBE＝∠EBF，∴tan∠CBE＝tan∠EBF＝12 EFBE=，∵∠AEF+∠OEF＝90°，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE+∠AEF＝90°，∵∠OFE+∠FBE＝90°，∴∠AEF＝∠FBE，∵∠EAF＝∠BAE，∴EFA∽BEA，∴EF AF AE BE AE AB==，∴1424AFAB ==，∴AF＝2，AB＝8，∴BF＝6，∴圆O的半径为3．此题考查的是圆的综合大题，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角、锐角三角形和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．24．6.8米【解析】由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL．解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N，由题意可知，BN ＝AG ＝1.5，MN ＝IC ＝4.5，由EF//DK,则△BEF ∽△BKD 得：EF KD ＝BN BM ，即1.2KD ＝ 1.51.5 4.5+， 解得：KD ＝4.8，∵斜坡HJ 长2.2米，坡角∠JHL ＝30°，∴CL ＝12HJ ＝1.1， ∴DL ＝DK+KC+CL ＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米），答：树项到地面的距离DL 的长度为6.8米．本题考查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键．25．（1）古树BH 的高为11.5米；（2）教学楼CG 的高约为25米．【解析】（1）由45HFE ∠︒＝知10HE EF ＝＝，据此得 1.51011.5BH BE HE ++＝＝＝；（2）设DE x ＝米，则DG 米，由45GFD ∠︒＝知GD DF EF DE +＝＝，10x +＝，解之求得x 的值，代入 1.5CG DG DC ++＝计算可得．解：（1）在Rt EFH ∆中，9045HEF HFE ∠︒∠︒＝，＝，10HE EF ∴＝＝，1.51011.5BH BE HE ∴++＝＝＝，∴古树的高为11.5米；（2）在Rt EDG ∆中，60GED ∠︒＝，60DG DEtan ∴︒＝，设DE x ＝米，则DG 米，在Rt GFD ∆中，9045GDF GFD ∠︒∠︒＝，＝，GD DF EF DE ∴+＝＝，10x +＝，解得：5x ＝，1.55 1.516.525CG DG DC ∴++++≈＝）＝，答：教学楼CG 的高约为25米．本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．六、拓展探索题26．（1）228y x x =-++；（2）24d t t =-+；（3）32122y x =-+ 【解析】（1）设,OA m =根据三角形的面积公式求出m ，即可求出点A 、C 的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据题意可得()2,28P t t t -++，根据相似三角形的判定可得,PEG PAD 列出比例式即可得出结论；（3）先证出QFM MHQ ≌,从而得出,,QH MF MH QF ==作MK QM ⊥交DQ 于点K ，过点K 作SR FB ⊥于点,R 交GD 于点S ，再证出,QFM MRK ≌可得,,KR MF MR QF ==设,QF m =则,MR QF m ==,MR QF m ==设,PT n =结合锐角三角函数列出方程t ，从而求出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法即可求出结论．解:()1设,OA m =则44,OC OA m ==()4,0,B4,OB ∴=4,AB OA OB m ∴=+=+()12424,2ABC S AB OC m m ∴=⋅=+= 解得，122,6m m ==-(舍)，()()2,0,0,8A C ∴-，将A C 、两点坐标代入2,y x bx c =-++解得2,8b c ==，∴抛物线的解析式为228y x x =-++；()2P 为抛物线上一点，且横坐标为,t()2,28P t t t ∴-++．228,6,PD t t OD +∴=-+=()2,0A -．2,AD t ∴=+,EC PD PD AB ⊥⊥,PEG PAD ∴且,EC OD t ==PG PD EG AD∴= 2282d t t t t -++∴=+ 24d t t ∴=-+；()2234,28PG t t PD t t =-+=-++，82,GD PD PG t ∴=-=-82,OE BF GD t ∴===-设,QMF a ∠=则90,MQF a ∠=︒-45,DQM ∠=︒18045,GQD DQM MQF a ∴∠=︒-∠-∠=︒+45,DQH GQD a ∴∠=∠=︒+,HQM DQH DQM a ∠=∴∠-∠=,QMF HQM ∴∠=∠QFM MHQ ∴≌,,,QH MF MH QF ∴==如图，作MK QM ⊥交DQ 于点K ，过点K 作SR FB ⊥于点,R 交CD 于点S ．则90,KRM KMQ QFM ∠=∠=∠=︒45,DQM ∠=︒45,MKQ MQK ∴∠=︒=∠,QM KM ∴=90,QMF KMR KMR MKR ∠+∠=∠+∠=︒,QMF MKR ∴∠=∠,QFM MRK ∴≌,,KR MF MR QF ∴==设,QF m =则,MR QF m ==,MR QF m ==4,GQ QH FM EF EG QF t m ∴===--=--144,2FR FM MR t m m t BF ∴=+=--+=-= R ∴为BF 中点，1,2SK CQ ∴= ,SK SR KR GF GQ QF =-=-=1,22,2QF FM GQ QF m ∴=== 12QF tan QMF tana FM ∴∠=== 作PT NQ ⊥于点T ， 则12PT tan N tana NT ∠===， 2,NT PT ∴=18PT tan PQN TQ ∠== 8,QT PT ∴=设,PT n =则2,8,10,NT n QT n QN n PN ====，12QG tan N NG =∠=GQ ∴==，2,NG GQ ==,PG NG PN ∴=-=23GQ PG ∴= 222,GQ SK QF m ===23GQ GF ∴= 4,PG GF t ∴==-又24,PG t t =-+244,t t t ∴-+=-2540,t t ∴-+=解得1t =或4t =(舍)，()()1,9,3,6P Q ∴．设直线PQ 的解析式为y=kx ＋d将P 、Q 的坐标代入，得963k d k d=+⎧⎨=+⎩ 解得：32212k d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ PQ ∴的解析式为32122y x =-+ 此题考查的是二次函数与几何图形、一次函数的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数是解决此题的关键．27．建筑物AB 的高约为72米．【解析】过点E 作EM ⊥AB 与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）i=1：2.4可设CD=x ，则CG=2.4x ，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM=BG ，BM=EG ，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．解:过点E 作EM AB ⊥与点,M 延长ED 交BC 于,G斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4,52i BC CD ===米，∴设DG x =，则 2.4,CG x =。

2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）2．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB ＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动．（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2．sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）3．美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽CD．如图所示，小组成员选取的点A，B是桥上的两点，点A，E，C在河岸的同一直线上，且AB⊥AC．若，AE间的距离80米，在B点处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求这段河的宽度CD．（结果保留根号）4．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）5．如图1，将一个直角三角形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．7．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．8．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）9．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）10．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）12．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）13．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）15．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．（1）求BD的长．（2）求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果均取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）16．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）17．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边A 处测得河对岸的同学B恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：．课题测量水城河两岸的宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量方案方案一方案二方案三测量方案示意图测量说明点C，D在点A的正东方向，DE⊥AD．点C，D在点A的正东方向．点C在点A的正西方向，点D在点A的正东方向．测量数据∠ACB＝60°，∠DCE＝30°，CD＝10.2m．∠ACB＝60°∠ADB＝30°，CD＝11.8m．∠ACB＝60°，∠ADB＝30°；CD＝23.5m．（1）哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；（2）请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）参考答案1．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．2．解：（1）①如图，过点C作CF⊥DE于F，过点C、A分别作DE的平行线和垂线相交于点G，在Rt△CDF中，∠CDF＝60°，CD＝70mm，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm），即点C到直线DE的距离为35mm；②当∠DCB＝70°时，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDF＝60°，又∵∠DCB＝70°，∴∠ACG＝180°﹣70°﹣60°＝50°，在Rt△ACG中，AC＝AC﹣BC＝115﹣35＝80（mm），∠ACG＝50°∴AG＝AC•sin50°≈80×0.8＝64（mm），∴点A到直线DE的距离为AG+CF＝64+35≈124（mm）；（2）把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，旋转后的图形如图③所示，在Rt△B′C′D中，B′C′＝35mm，C′D＝CD＝70mm，∴tan∠C′DB′＝＝0.5，又∵tan26.6°≈0.5，∴∠C′DB′＝26.6°，∴∠CDC′＝60°﹣26.6°＝33.4°，故答案为：33.4°．3．解：如图，过点B作BF⊥CD于F，则AB＝CF，AC＝BF，∵，AE＝80米，∴AB＝20米＝CF，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，设DF＝x，则BF＝x＝AC，∴EC＝AC﹣AE＝（x﹣80）米，在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，CD＝（20+x）米，EC＝（x﹣80）米，∵tan60°＝，∴＝，解得，x＝40+10，经检验，x＝40+10是原方程的根，∴DF＝（40+10）米，∴CD＝CF+DF＝（40+30）米，答：这段河的宽度CD的长为（40+30）米．4．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．5．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（厘米），∴BH＝BC﹣HC＝7（厘米）；（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH•tan∠ABC≈7×0.18≈1.26（厘米），答：木桩上升了大约1.26厘米．6．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，∴∠ACB＝∠AGB，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB，∴∠DAB＝∠AGB，∴∠DAB+∠BAG＝90°，∴AD⊥AO，∵OA是半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M，∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°，∵BC∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝45°，∴OM＝OG＝，∴筒车在水面下的最大深度为3﹣≈0.9（m）．7．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．8．解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．9．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．10．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．512．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．13．解：（1）如图，连接AE，过点E作EM⊥AC于M，由题意可知，CF＝100cm＝ME，AC＝170cm，BC＝145cm，EF＝70cm＝MC，∴AM＝170﹣70＝100（cm），在Rt△AEM中，AM＝100cm，ME＝100cm，∴∠MAE＝∠AEM＝45°，∴从启动开始，到小朋友头顶E处感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5（s），答：从启动开始，4.5s小朋友头顶E处感受到空调风；（2）如图，连接BE，则BM＝145﹣70＝75（cm），在Rt△BEM中，∵tan∠BEM＝＝0.75，∴∠BEM＝37°，∴∠MBE＝90°﹣37°＝53°∴小朋友的头顶E处感受到空调风的时长为﹣＝0.8（s），答：小朋友的头顶E处有0.8s的时间感受到空调风；（3）如图，当BE绕着点B旋转到BE′时，所用时间为＝3.7（s），所以该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了时长为0.8+3.7×2＝8.2（s），答：该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了8.2s．14．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．15．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∴BC＝AB＝16cm，∴BD＝BC+CD＝16+84＝100（cm）．（2）作DM⊥BA于点M，DN⊥EF于点N，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，即＝，∴DM＝50，∵∠F＝∠M＝∠DNF＝90°，∴四边形NFMD为矩形，∴NF＝DM＝50，DN∥FM，∴∠NDB＝∠DBM＝60°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDN＝∠BDE﹣∠NDB＝15°，∴在Rt△DEN中，sin∠EDN＝，即sin15°＝，∴EN＝70sin15°，∴EF＝EN+NF＝50+70sin15°≈105（cm）．16．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sin A＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．17．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，则OE＝FG，∠FOE＝90°，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴∠DOE＝∠COD＝30°，∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），∴FG＝OE＝60cm，∵OA⊥OD，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，∴∠AOF＝∠DOE＝30°，在Rt△AOF中，OA＝120cm，∴AF＝OA＝60（cm），∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵OB∥CD，∴∠BOC＝∠OCD＝60°，在Rt△MKO中，OM＝40cm，∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），在Rt△MNK中，MN＝80cm，∴NK＝＝＝20（cm），∵OB＝120cm，∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，在Rt△OML中，∠COD＝60°，∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，∴N′L＝＝＝20（cm），∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，∵OB′＝OB＝120cm，∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．18．解：（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，∴CD与水平地面所成的角的度数为35°，∴∠DCM＝35°，在Rt△DCM中，DC＝15cm，∴CM＝DC•cos35°≈15×0.819≈12.3（cm），∴显示屏所在部分的宽度约为12.3cm；（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，∵CE＝2ED，DC＝15cm，∴CE＝CD＝10（cm），∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝10（cm），∴OA＝CE＝10cm，∵OA∥CE，∴四边形ACEO是平行四边形，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴四边形ACEO是矩形，∴∠ACE＝90°，AC＝OE＝10cm，∵∠DCM＝53°，∴∠ACH＝180°﹣∠ACE﹣∠DCM＝55°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝35°，在Rt△AHC中，AH＝AC•cos35°≈10×0.819＝8.19（cm），∵点C到地面的距离为60cm，∴镜头A到地面的距离＝8.19+60≈68.2（cm），∴镜头A到地面的距离约为68.2cm．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：（1）第一个小组的数据无法计算河宽，理由如下：∵第一小组给出的数据为BD的长，△ABC和△CDE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，∴第二小组的数据无法计算河宽；（2）第二个小组的解法：∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴BC＝CD＝11.8m，∴AB＝BC•sin60°＝11.8×≈10.2（m）．第三个小组的解法：设AB＝xm，则AC＝，AD＝，∴+＝23.5，解得x≈10.2．答：河宽约10.2m．。

2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》期末复习自主提升训练1（附答案）1．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝米．（结果保留根号）2．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于．3．如图，△ABC的顶点都在边长为1的方格的格点上，则sin∠ACB的值为．4．如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝2，则点C的坐标为．5．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了米．6．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离BC＝5米，眼镜与底面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知，则点D到底面的距离CD是米．7．某人沿着坡度i＝1：的山坡起点向上走了50米，则他离地面米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）8．如图等腰△ABC，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB ＝．9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM＝CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为．10．如图建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为米（结果保留根号）．11．某区域平面示意图如图所示，AB和BC是两条互相垂直的公路，AB＝800米，甲勘测员在A处测得点D位于北偏东45°，乙勘测员在C处测得点D位于南偏东60°，CD＝300米，则公路BC的长为米．12．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是m．13．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是40m，则水库大坝的高度h是m．（结果保留根号）14．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α＝37°时，其主视图如图所示．若该水杯的杯口宽度BC＝6cm，则水面宽度EF＝cm．（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）15．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A 为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB ＝．16．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝．17．等腰△ABC中，顶角∠ABC＝45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则S△BPM：S△ABP的值为．18．为倡导“低碳生活”，人们常常选择共享单车作为代步工具．图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可以在射线BE方向自由调节．已知车轮半径为30cm，BE＝40cm，∠ABE＝75°．小明将坐垫从位置E上移至C，CE＝20cm，则此时坐垫C离地面的高度为cm．（结果精确到1cm）（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）．19．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．20．如图，某同学在附中红星校区（A处）测得他家位置在北偏西45°方向，当他沿红星路向西骑行600米到了市委（B处）的位置，又测得他家在北偏西30°方向，该同学每天从家（C处）出发，先向正南骑行到路口D处，再沿红星路向东到红星校区上学，假（结设他骑行的速度是250米/分，请你帮他计算一下，他从家到学校大约用分钟．果精确到1分钟，≈1.732）21．如图，由一段斜坡AB的高AD长为0.6米，∠ABD＝30°，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使∠ACD＝5.71°．（1）求斜坡AB的长；（2）求斜坡新起点C与原起点B的距离．（精确到0.01米）（参考数据：≈1.732，tan5.71°≈0.100）22．如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．23．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m．（1）求观测点C到公路MN的距离；（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC ＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．25．如图，在某建筑物AC上挂着一幅宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）26．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．M、N为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN之间的距离约为3.6km，某日，我国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，在A点测得岛屿的西端点N在点A的北偏东35°方向；海监船继续航行4km后到达B点，测得岛屿的东端点M在点B的北偏东60°方向，求点M距离海监船航线的最短距离（结果精确到0.1km，tan35°≈0.7）．27．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，（1）求DF的长；（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）28．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）29．放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，已知点A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线AD，BD均为线段，≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）30．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）参考答案1．解：过点A作AM⊥BC于M，则∠MAB＝45°，∠MAC＝60°，BP＝AM＝30米，在Rt△ABP中，BP＝30米，∠P AB＝90°﹣45°＝45°，∴AP＝BP＝30米＝BM，在Rt△ACM中，∠MAC＝60°，AM＝30米，∴CM＝AM＝30（米），∴BC＝BM+CM＝（30+30）米，故答案为：（30+30）．2．解：如图所示：由题意，得：tanα＝i＝1：2.4＝，设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，则斜坡长＝＝13x，则cosα＝＝．故答案为：．3．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由格点可求得：BC＝＝2，AC＝＝2．∵S△ABC＝×2×2＝2，S△ABC＝AC×BD＝×2×BD＝BD，∴BD＝2，∴BD＝．∴sin C＝＝＝．故答案为：．4．解：∵∠C＝∠C，∵OC2＝BC•AC，即，∴△OBC∽△OAC，∴∠A＝∠COB，∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α，∵tanα＝2，∴tan∠ABO＝，∴OA＝2OB，∵AB＝3，由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2，即，解得：OB＝3，∴OA＝6．∴tan A＝．如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵tanα＝2，∴设C（﹣m，2m），m＞0，∴AD＝6+m，∵tan∠A＝，∴，∴，解得：m＝2，经检验，m＝2是原方程的解．∴点C坐标为：（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．5．解：设此人升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．6．解：如图，过A作AE⊥CD于E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝5米，CE＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，∠DAE＝α，tanα＝＝，∴DE＝AE＝×5＝1.5（米），∴CD＝CE+DE＝3.2米．故答案为：3.2．7．解：设坡面的竖直高度为x米，则水平距离为x米，由勾股定理得：x2+（x）2＝502，解得：x＝25或x＝﹣25（不合题意舍去），即坡面的竖直高度为25米，故答案为：25．8．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN．∵，，∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝．∴CE：AC＝1：3．∴cos∠ACB＝．故答案为：．9．解：连接AM、AN，∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM＝AN，∴△AMN为等边三角形，AM＝MN，当MN最短时，AM最短，此时AM⊥BC，如图，则∠MAC＝30°，∵∠AMP＝60°，∴∠APM＝90°，∵AM＝AB＝5，∴AP＝AM＝，∴PC＝AC﹣AP＝10﹣＝．故答案为：．10．解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：则四边形AFCG是矩形，∴AF＝CG，∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝15米，∴BG＝9（米），AF＝CG＝12（米），设DF＝x米．在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝x米．在Rt△ECF中，∠ECF＝60°，∴EF＝tan60°•CF＝x（米），∵DE＝10米，∴x﹣x＝10，∴x＝5（+1），∴DF＝5（+1）米，∴AD＝AF+DF＝12+5（+1）＝（17+5）米，故答案为：（17+5）．11．解：过D作DE⊥OC于E，∵∠C＝60°，CD＝300米，∴CE＝CD＝150（米），∴DE＝CE＝150（米），∵∠B＝90°，AB＝800米，∠A＝45°，∴∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝800米，∵∠DOE＝∠AOB＝45°，∴△DEO是等腰直角三角形，∴OE＝DE＝150米，∴公路BC的长为150+150+800＝（950+150）（米），故答案为：（950+150）．12．解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝150m，∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中，∵∠BAH＝30°，AH＝50m，∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），答：这栋楼的高度为100m．故答案为：100．13．解：如图，作CH⊥AB于点H．∵∠ABC＝135°，∴∠CBH＝45°，∴CH＝BC•sin45°＝40×＝20（m），故答案为：20．14．解：过E作EH⊥AB于H，则四边形ACEH是矩形，∴EH＝AC＝BC＝6cm，∠EHF＝∠EHA＝90°，∵EF∥桌面，∴∠EF A＝α＝37°，∴sin37°＝＝，∴EF＝6×＝10（cm），故答案为：10．15．解：如图1所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．在Rt△ADM中，tan∠ADB＝＝2．如图2所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．∵AD＝AB＝，BD＝，∴BD2＝AD2+AB2．∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝1．故答案为：2或1．16．解：连接格点AF、BF．∵AC∥DF，AC＝DF＝1，∴四边形ACDF是平行四边形．∴AF∥CD．∴∠F AB＝∠CEA．∵AF＝2，BF＝，AB＝，∴AB2＝AF2+BF2．∴△AFB是直角三角形．∴tan∠CEA＝tan∠F AB＝＝＝．故答案为：．17．解：如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，∵AB＝CB，BN⊥AC，∴BN平分∠ABC，∵AM⊥BC，PQ⊥AB，∴PM＝PQ，∴S△BPM：S△ABP＝BM：AB，∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，∴AM＝BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴sin45°＝BM：AB＝．∴S△BPM：S△ABP＝．故答案为：．18．解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N．由题意可知MN＝30cm，BC＝60cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，∴sin∠ABE＝sin75°＝≈0.966，∴CM≈58（cm），∴CN＝MN+CM＝88（cm），∴坐垫C离地面的高度为88cm．故答案为：88．19．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，则MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，∵AC＝2000米，∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500．20．解：由题意得：∠D＝90°，∠BCD＝30°，∠A＝90°﹣45°＝45°，AB＝600米，则AD＝BD，△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD＝BD，∴AD﹣BD＝AB，∴BD﹣BD＝600米，解得：BD＝（300+300）米，∴CD＝AD＝BD＝（900+300）米，∴CD+AD＝（1800+600）米，∴（1800+600）÷250≈11（分钟），即某同学从家到学校大约用11分钟，故答案为：11．21．解：（1）在Rt△ABD中，AB＝AD÷sin30°＝0.6÷＝1.2（米），（2）在Rt△ABD中，BD＝AD÷tan30°＝0.6≈1.039（米），在Rt△ACD中，CD＝AD÷tan5.71°≈6（米），∴BC＝CD﹣BD＝6﹣1.039＝4.96（米）．答：求斜坡AB的长为1.2米，斜坡新起点C与原起点B的距离为4.96米．22．解：（1）作MC⊥AB于C，则MC＝BM×cos45°＝60海里，答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60海里；（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，40÷20＝2，答：渔船从A到达码头M的航行时间为2小时．23．解：（1）过C作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：∵∠CBN＝60°，BC＝200m，∴CH＝BC•sin60°＝200×＝100（m），即观测点C到公路MN的距离为100m；（2）该汽车没有超速．理由如下：∵BH＝BC•cos60°＝100（米），∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100m，∴AB＝100﹣100≈73（m），∴车速为＝14.6m/s．∵60千米/小时＝m/s，又∵14.6＜，∴该汽车没有超速．24．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．25．解：∵∠BFC＝30°，∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EFB＝30°，∴BE＝EF＝20m，在Rt△BEC中，∵∠BEC＝60°，∴BC＝BE•sin60°＝20×＝10m．答：宣传条幅BC的长为m．26．解：如图，延长MN交AB于K．设KN＝x，KB＝y，在Rt△MBK中，tan60°＝，∴x+3.6＝y①在Rt△ANK中，tan35°＝，∴x＝0.7（4+y）②，由①②可得x＝7.1（km），∴MK＝7.1+3.6＝10.7（km），答：点M距离海监船航线的最短距离为10.7km．27．解：（1）在Rt△DEF中，由题意知ED＝1.6 m，BD＝2 m，DF＝＝2．答：DF长为2m．（2）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，∴DM＝2•sin35°≈1.14．∵∠DEC＝∠CNB，∠DCE＝∠NCB，∴∠DEC＝∠CBN＝35°，在Rt△DEH中，cos∠DEH＝，∴EH＝1.6•cos35°≈1.31．∴EN＝EH+HN＝1.31+1.14＝2.45≈2.5m．答：E点离墙面AB的最远距离为2.5 m．28．解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之间的距离为279米．29．解：作DH⊥BC于H，设DH＝x米．∵∠ACD＝90°，∴在直角△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝DH÷tan30°＝x，在直角△BDH中，∠DBH＝50°，BH＝，BD＝DH•sin50°＝sin50°x，∵AH﹣BH＝AB＝10米，∴x﹣＝10，∴x＝，∴BD＝＝÷0.766≈15（米），20＞15，∴小明能把风筝捡回来．30．解：如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H，由题意知，AB＝300cm、BE＝AC＝50cm、AH＝50cm、∠AGH＝30°，在Rt△AGH中，∵AG＝2AH＝100cm，∴CG＝AC+AG＝150cm，则CD＝CG＝75cm；∵EG＝AB﹣BE+AG＝300﹣50+100＝350（cm），∴在Rt△EFG中，EF＝EG tan∠EGF＝350tan30°＝350×＝（cm），所以支撑角钢CD的长为75cm，EF的长为cm．。

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (3)一、单选题1．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长为（ ）．A B ．C ．4D ．2．如图，120AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠平分线上，2OP =，若点C ，D 分别在射线OA ，OB 上，PCD 是等边三角形，设PCD 的面积为S ，则S 的最大值和最小值分别是（ ）A ．2；1B ．2CD ．3．在ABC 中，13,cos 2AB AC B ∠===，则BC 边长为（ ） A ．7B ．8C ．7或17D ．8或174．图①、②分别是一把水平放置的椅子的效果图和椅子侧面示意图．椅子高为AC ，椅面宽BE 为60cm ．椅脚高ED 为35cm ，且AC BE ⊥，AC CD ⊥，//AC ED ．从点A 测得点E 的俯角为53︒．则AC 的长可以表示为（ ）A ．3560sin53+︒B ．3560tan53+︒C ．6035tan53+︒D ．3560tan53+︒5．5G 时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G 信号发射塔MN 建在了山坡BC 的平台CD 上，已知山坡BC 的坡度为1:2.4．身高1.6米的小明站在A 处测得塔顶M 的仰角是37︒，向前步行6米到达B 处，再延斜坡BC 步行6.5米至平台点C 处，测得塔顶M 的仰角是50︒，若,,,,,A B C D M N 在同一平面内，且,A B 和,,C D N 分别在同一水平线上，则发射塔MN 的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.20︒≈）A ．17.3米B ．18.9米C ．65.0米D ．66.6米二、解答题6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ． （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan ∠P ＝34，AD ＝6，求⊙O 的半径．7．如图，O 的直径MN ⊥弦AB 于C ，点P 是AB 上的一点，且PB PM =，延长MP 交O 于D ，连结AD ，（1）求证：AD //BM ； （2）若6MB =，O 的直径为10，求sin ADP ∠的值．8．如图，⊙O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，△ABC 的外角平分线AP 交⊙O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点； ②求sin ∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长； （3）若△ABC 为非锐角三角形，求P A •AE 的最大值．9．如图1，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的Rt △EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°． （1）求证：BE ＝CE ．（2）如图2，将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N ． ①求证：△BEM ≌△CEN ．②若AB ＝kCN ，求当△BMN 面积最大时，k 的值．③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin ∠EBG 的值．10．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B 、C 、D 三点，再在桥外确定一点A ，使得AB ⊥BD ，测得AB 之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB ＝60°．（1）求CD 的长（精确到0.1≈1.73≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C 到D 用时2秒，汽车是否超速？说明理由．11．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为山坡的坡角为30，小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离1CF =米，从E 测得树顶部A 的仰角为45︒，树底部B 的仰角为20︒．（1）求DF 的长．（2）求AB 的高度（精确到0.1米）．（参考数值：sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36︒≈︒︒≈≈） 12．如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶A 的仰角为60︒，然后在坡顶D 测得树顶A 的仰角为30，已知斜坡CD 的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i =斜坡CD =，求树AB 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：1.73≈≈）13．已知：如图，在Rt ABC △与Rt DBE 中，90ABC DBE ∠=∠=︒，且点C 是线段DE 的中点．（1）求证：ABD AEB ∽．（2）当tan 0.75BAC ∠=时，求tan E ．（3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线交BE 于点F ，若AF =AD 的长．14．如图，在平行四边形ABCD 中，15AB =，AD DB ⊥，4tan 3A ∠=．点P ，Q 是射线BD 上两个动点，点Q 以每秒3个单位的速度从点B 向终点D 运动，23PQ BQ =，点P 和点B 始终在点Q 两侧，过点P 作PH AB ⊥于点H ，连接HQ ，以PH 、HQ 为邻边作平行四边形PHQG ，设点Q 的运动时间为(s)t ．（1）PH =________（用含t 的代数式表示）； （2）当点G 落在DC 上时，求t 值；（3）点O 为线段BD 中点，当直线OG 平行或垂直于BCD △一边时，求PQG 与BCD △重叠部分的面积；（4）若经过点G 的直线将平行四边形ABCD 的面积两等分，同时该直线将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，直接写出t 的值．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．16．某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为 m ． 17．矩形ABCD 中，∠ACB=30°，直角三角形AEF 中，∠EAF=90，∠AFE=30°． （1）如图①，连接BE 和CF ，求证：△ABE ∽△ACF ；（2）将直角三角形AEF 绕A 旋转至图②位置，使得点F 落在BC 上，此时AF CF =，求此时MFBM的值；（3）将直角三角形AEF 绕A 旋转至图③位置，此时有∠ABF=30°，BF=4，BE =AB 的长度18．如图，△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是O 的切线．（1）求证：∠CDE=12∠BAC ； （2）连接AD ，若tan ∠CAD=13，CE=4，求O 的半径．19．在平面直角坐标系xOy 中，对于ABC ，点P 在BC 边的垂直平分线上，若以点P 为圆心，PB 为半径的⨀P 与ABC 三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P 为ABC 关于边BC 的“Math 点”．如图所示，点P 即为ABC 关于边BC 的“Math 点”．已知点P(0，4)，Q(a ，0)．（1）如图1，a ＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(、D(5，5)中，POQ 关于边PQ 的“Math 点”为 ．（2）如图2，a=①已知D(0，8)，点E 为POQ 关于边PQ 的“Math 点”，请直接写出线段DE 的长度的取值范围；②将POQ 绕原点O 旋转一周，直线y b =+交x 轴、y 轴于点M 、N ，若线段MN 上存在POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求b 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，若将点P 沿x 轴折叠得到点1P ，再将点1P 绕点R 顺时针旋转90︒得到点P '，则称点P '是点P 关于x 轴－点R 的折旋点． 例如：点(0,1)Q 关于x 轴－点O 的折旋点是点(1,0)Q '-．（1）如图1，点(0,1)A -．①若点B 是点A 关于x 轴－点C 的折旋点，则点B 的坐标为______； ②若点(4,1)D -是点A 关于x 轴－点E 的折旋点，则点E 的坐标为_______； （2）如图2，O 的半径为2.若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于x 轴－点(4,0)S 的折旋点，且点M '在直线y x b =+上，求b 的取值范围； （3）(0,)F t 是y 轴上的动点，F 的半径为2，若F 上存在点N ，使得点N '是点N 关于x 轴－点(4,0)S 的折旋点，且点N '在直线y x =上，直接写出t 的取值范围． 21．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AC 边的中点，41312sin 5BC AD B ===，，．（1）求线段CD 的长； （2）求tan 2ADE ∠的值．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，求此时连杆端点D 离桌面l 的高度比（1）中的高度DE 减少了多少？23．在Rt ABC △中，9034ACB BC AC ∠=︒==，，，点Q 在边AC 上，1CQ =，动点P 从点A 出发，沿射线AC 运动，速度为每秒1个单位长度，当点P 不与点Q 重合时，以PQ 为边构造Rt PQM △，使90PMQ A QPM ∠=∠∠=︒，，且M 与点B 在直线AC 的同侧，设点P 运动时间为t 秒．（1）AB 的长为______；（2）点M 落在AB 边上时，求t 的值；（3）当点P 在线段AC 上时，设PQM 与ABC 重合部分图形的周长为l ，求l 与t 之间的函数关系式；（4）当点M 与ABC 的一个顶点（点C 除外）连线所在的直线平分ABC 面积时，直接写出t 的值．三、填空题24．如图，已知直线2y x =-与抛物线2522y ax x =+-与x 轴交于点,A B （点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ．点P 是x 轴上一动点，点N 为直线AC 上一点，则CP PN +的最小值为________．25．如图，在矩形ABCD 的AB 边取一点E ，将ADE 沿DE 折叠，使得点A 落在BC 边上点F处，延长EF ，与CDF ∠的角平分线交于点G ，DG 交BC 于点H ，已知AB =当12FH BC =时，点G 到直线ED 的距离为_________．26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点D 是边BC 上（不与B ，C 重合）一动点，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，若△DCE 为直角三角形，则BD 的值为_____．27．已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=45，则AC=____．28．如图，已知A B 、两点的坐标分别为(0,2),P ，是AOB 外接圆上的一点，且45AOP ∠=︒，则点P 的坐标为_______________．29．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC 部分构成一个直角三角形，且AC BC =，起重臂AD 可以通过拉伸BD 进行上下调整．现将起重臂AD 从水平位置调整至1AD 位置，使货物E 到达1E 位置（挂绳DE 的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E 升高了24米，且到塔身AH 的距离缩短了16米，测得1AB BD ⊥，则AC 的长为______米．30．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3BC =，D 为斜边AC 的中点，连接BD ，点F 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BE BD ⊥交DF 延长线交于点E ，连接CE ，下列结论：①若BF CF =，则222CE AD DE +=；②若BDE BAC ∠=∠，4AB =，则158CD =；③ABD △和CBE △一定相似；④若30A ∠=︒，90BCE ∠=︒，则DE =________．（填写所有正确结论的序号）【答案与解析】1．B【解析】（1）利用相似三角形，证明证明线段0n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹），如答图②所示．； （2）如答图①所示，利用相似三角形△A 0n B B ∽△AON ，求出线段0n B B 的长度，即点B 运动的路径长．由题意可知，OM=，点N 在直线y=－x 上，AC ⊥x 轴于点M ，则△OMN 为等腰直角三角形，∴ ON=．如答图①所示，设动点P 在O 点（起点）时，点B 的位置为0B ，动点P 在N 点（起点）时，点B 的位置为n B ，连接0B n B ．∵AO ⊥A 0B ，AN ⊥A n B ，∴∠OAC=∠0B A n B ．又∵A 0B =AO•tan30°，A n B =AN•tan30°，∴A 0B ：AO=A n B ：AN=tan30°．∴△A 0B n B ∽△AON ，且相似比为tan30°．∴0B n B =ON•tan30°=×3＝．现在来证明线段0B n B 就是点B 运动的路径（或轨迹）：如答图②所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，A i B ，0B i B ．∵AO ⊥A 0B ，AP ⊥A i B ，∴∠OAP=∠0B A i B ．又∵A 0B =AO•tan30°，A i B =AP•tan30°，∴A 0B ：AO=A i B ：AP ．∴△A 0B i B ∽△AOP ，∴∠A 0B i B =∠AOP ．又∵△A 0B n B ∽△AON ，∴∠A 0B n B =∠AOP ．∴∠A 0B i B =∠A 0B n B ．∴点i B 在线段0B n B 上，即线段0B n B 就是点B 运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段0B n B ，其长度为．故选B本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．要点有两个：确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．2．C【解析】作∠CPD =60°交OA 于C ，交OB 于D ，连接CD ，在OB 上截取OE =OP ，连接PE ，过点D 作DF ⊥PC于点F ，利用ASA 即可证出△CPO ≌△DPE ，从而证出当∠CPD =60°时，△PCD 必为等边三角形，S =24PC ，即当PC 最大时，S 最大；当PC 最小时，S 最小，然后由图易知：当点C 或点D 与O 重合时，PC 最大，求出PC 最大值即可求出S 的最大值；根据垂线段最短易知：当PC ⊥OA 时，PC 最小，求出PC 最小值即可求出S 的最小值．解：作∠CPD =60°交OA 于C ，交OB 于D ，连接CD ，在OB 上截取OE =OP ，连接PE ，过点D 作DF ⊥PC 于点F∵OP 平分AOB ∠,120AOB ∠=︒∴∠COP =∠POE =6201AOB ∠=︒， ∴△OPE 为等边三角形∴OP =PE ，∠OPE =∠OEP =60°∴∠CPD =∠OPE ，∠COP =∠DEP∴∠CPO =∠DPE∴△CPO ≌△DPE∴PC =PD∴△PCD 为等边三角形，即当∠CPD =60°时，△PCD 必为等边三角形此时DF =PD ·sin60°PC∴S =12PC DF ⋅⋅2PC ∴当PC 最大时，S 最大；当PC 最小时，S 最小．由图易知：当点C 或点D 与O 重合时，PC 最大，此时PC =OP =2∴S =24PC ，即S 根据垂线段最短易知：当PC ⊥OA 时，PC 最小，此时PC =OP ·sin ∠COP∴S =24PC S 故选C ．此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短是解题关键．3．C【解析】由B 的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC 的长．解：∵cos B ∠=∴45B ∠=︒，如图，当ABC 是钝角三角形时，∵AB =，45B ∠=︒，∴12AD BD ==，∵13AC =，∴5CD =，∴1257BC BD CD =-=-=，如图，当ABC 是锐角三角形时，12517BC BD CD =+=+=．故选：C ．本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法，需要注意进行分类讨论． 4．D【解析】先证四边形BCDE 是矩形，∠AEB =53°，得BC =DE =35cm ，再由锐角三角函数定义求出AB =BE •tan ∠AEB =60tan 53°，即可得出答案．解：∵AC ⊥BE ，AC ⊥CD ，AC ∥ED ，∴四边形BCDE 是矩形，∠AEB =53°，∴BC =DE =35cm ，在Rt △ABE 中，∠ABE =90°，tan ∠AEB =AB BE，BE =60cm ， ∴AB =BE •tan ∠AEB =60tan 53°，∴AC =BC +AB =35+60tan 53°，故选：D ．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义解答问题，属于中考常考题型．5．B【解析】如图，设C 点处垂线与B 处视线交点为F ，过点F 作FL ⊥MN 于L ，过点E 作EI ⊥MN 于I ，延长MN 交AB 的延长线于H ，设MN xm =，CN ym =，利用三角形函数构建方程求出x 即可解决问题．解：如图，设C 点处垂线与B 处视线交点为F ，过点F 作FL ⊥MN 于L ，过点E 作EI ⊥MN 于I ，延长MN 交AB 的延长线于H ，设MN xm =，CN ym =， 1.6AE CF m ==在Rt CBG △中， ∵152.412CG BG ==，222BC CG BG =+ ∴1312BC BG =， ∵ 6.5BC m =，∴6BG m =，5 2.512CG BG m ==， 在Rt MFL 中，tan 50ML FL ︒=， ∵()1.6ML MN LN MN FC x m =-=-=-，FL CN ym ==， ∴ 1.6 1.2x y -=，则5463y x =-， 在Rt EIM 中，tan 37MI EI ︒=， ∵(12)EI AH AB BG GH y m ==++=+，2.5 1.6(0.9)MI MN NI MN NH IH x x m =+=+-=+-=+， ∴0.90.7512x y +=+，则4162315y x =-， ∴54416263315x x -=-， 解得28418.915x m =≈． 故选：B ．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PC 是⊙O 的切线，见解析；（2）154r =【解析】（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可．（2）先利用锐角三角函数求出PD ，进而求出AP ，再由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP=，由此即可计算．解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ．如图1，∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ，又∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥PD ，∴∠OCP =∠D =90°，∴PC 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34， ∴PD =8tan AD P=∠，AP =10， 设半径为r ，∵OC ∥AD ， ∴OC OP AD AP =，即10610r r -=， 解得r =154， 故半径为154．本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）见解析；（2）35【解析】（1）欲证明AD ∥BM ，只要证明∠D =∠PMB 即可．（2）连接OB ，设OC =x ，BC =y ，利用勾股定理构建方程组求解即可．解：（1）证明：∵PB =PM ，∴∠PMB =∠PBM ，∵∠PBM =∠D ，∴∠PMB =∠D ，∴AD ∥BM ．（2）连接OB ，设OC =x ，BC =y ，∵MN ⊥AB ，∴∠BCO =∠BCM =90°，则有()222225536x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得75x =， ∴MC =857155-=， 由（1）可知，∠ADP =∠ABM ，∴sin ∠ADP =sin ∠ABM =CM BM =1856=35．本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．8．（1）①证明见解析；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80. 【解析】（1）①如图1，由AP 平分,FAB ∠ 证明,PAF PAB ∠=∠ 再结合四边形BCAP 为O 的内接四边形的性质证明,PBC PAF ∠=∠ 可得,PBC PAB ∠=∠ 从而可得答案；②如图2，过P 作PG BC ⊥于G ，交⊙O 于H ，连接OB ，证明,2,BG CG BPC BPG =∠=∠PH 过圆心，再证明,BOG BAC ∠=∠ 由,6,OG BC BC ⊥= 求解132BG BC ==，从而可得答案；（2）如图3，过P 作PG ⊥BC 于G ，连接OC ，求解4,9,OG PG === PC =设∠APC=x ， 证明2E x x x CPE ∠=-==∠， 可得CE PC == （3）如图4，过点C 作CQ ⊥AB 于Q ，证明△ACE ∽△APB ， 可得,AC AEAP AB =所以PA AE AC AB =， 由（1）得：3sin =,5CQ BAC AC ∠=可得13210ABCS AB CQ AB AC ==，可得10,3ABCPA AE S =结合点A 运动到使△ABC 为直角三角形时，△ABC 的面积最大，由AB=10，BC=6，求解8AC =， 可得101016880,332ABCPA AE S ==⨯⨯⨯=从而可得答案． 证明：（1）①如图1，AP 平分,FAB ∠,PAF PAB ∴∠=∠四边形BCAP 为O 的内接四边形，180,PBC PAC ∴∠+∠=︒ 180,PAF PAC ∠+∠=︒ ,PBC PAF ∴∠=∠ ,PBC PAB ∴∠=∠,PC BP ∴=∴ 点P 为BAC 的中点；②如图2，过P 作PG ⊥BC 于G ，交⊙O 于H ，连接OB ，,PB PC =,PB PC ∴=,2,BG CG BPC BPG ∴=∠=∠PH 过圆心，∴PH 是直径，,,BC BC BH BH ==,BPC BAC ∴∠=∠2,BOG BPG BPC ∠=∠=∠ ,BOG BAC ∴∠=∠∵,6,OG BC BC ⊥= ∴132BG BC ==， Rt △BOG 中，∵OB=5，3sin sin .5BG BAC BOG OB ∴∠=∠== （2）如图3，过P 作PG ⊥BC 于G ，连接OC ，由（1）知：PG 过圆心O ，且CG=3，OC=OP=5，∴4,OG == ∴PG=4+5=9，∴PC ===设∠APC=x ，∵点A 为PC 的中点， ∴,AP AC =∴∠ABC=∠ABP=x ， ∵PB PC =，∴2PCB PBC x ∠=∠=， △PCE 中，∠PCB=∠CPE+∠E ， ∴2E x x x CPE ∠=-==∠，∴CE PC ==（3）如图4，过点C 作CQ ⊥AB 于Q ，四边形ACBP 为O 的内接四边形，∴ ∠ACE=∠P ，∠CAE=∠PAF=∠PAB ，∴△ACE ∽△APB ， ∴,AC AEAP AB= ∴PA AE AC AB =， 结合（1）得：3sin =,5CQ BAC AC ∠= ∴3sin ,5CQ AC BAC AC =∠= ∴13210ABCSAB CQ AB AC ==， ∴10,3ABC PA AE S = ∵△ABC 为非锐角三角形，∴点A 运动到使△ABC 为直角三角形时，△ABC 的面积最大， 此时AB 为O 的直径，90,ACB ∠=︒在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴8AC==，此时101016880.332ABCPA AE S==⨯⨯⨯=即PA AE的最大值是80.本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．（1）见解析．（2）①见解析；②1；．【解析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CDE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝45°，进而得到∠BEM＝∠CEN，利用ASA 定理证明△BEM≌△CEN；②根据三角形的面积公式得到S△BMN＝﹣12（x﹣a）2+22a，根据二次函数的性质解答；③作EH⊥BG于H，设NG＝m，根据直角三角形的性质、勾股定理用m表示出BN、BG，根据三角形的面积公式用m表示出EH，根据正弦的定义计算，得到答案．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴BE＝CE；（2）①证明：如图2，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°（矩形的四个角都是90°），∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠MEN﹣∠BEN＝∠BEC﹣∠BEN，即∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，在△BEM和△CEN中，BEM CEN EB EC EBM ECN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BEM ≌△CEN （ASA ）； ②解：设AB ＝a ，∵∠ABE ＝45°，∠A ＝90°， ∴AE ＝AB ＝a ， ∴BC ＝AD ＝2a ， ∵△BEM ≌△CEN ， ∴BM ＝CN ，设BM ＝CN ＝x ，则BN ＝2a ﹣x ， ∴S △BMN ＝12•x （2a ﹣x ） ＝﹣12（x ﹣a ）2+22a ， ∵﹣12＜0， ∴x ＝a 时，△BMN 的面积最大，此时AB ＝CN ，即k ＝1； ③解：如图3，作EH ⊥BG 于H ， ∵EF //BN ，∴∠GBN ＝∠F ＝30°， 设NG ＝m ，则BG ＝2m ，由勾股定理得，BN ＝ENm ， 则EBm ， ∴EG ＝EN +NG）m ，∵S △EBG ＝12×EG ×BN ＝12×BG ×EH ， ∴12×）mm ＝12×2m ×EH ， 解得，EH，在Rt △EBH 中，sin EH EBG EB ∠===．本题考查的是全等三角形的判定和性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、二次函数的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）17.3米；（2）超速，理由见解析 【解析】（1）根据特殊角三角函数先求出BC 和BD 的长，进而可得CD 的长； （2）先进行单位换算，再用路程除以时间求出速度进行比较即可． （1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°，AB ＝15米， ∴BC ＝tan 60AB︒在Rt △ABD 中，∠ABD ＝90°，∠ADB ＝30°， ∴BD＝∴CD ＝BD ﹣BC ＝米， ∴CD 的长为17.3米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝253米/秒， 而＞253， ∴汽车超速．本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用．在直角三角形中，已知一锐角和一边，利用三角函数求得其中一边，再用三角函数或勾股定理可求得第三边． 11．（1）10米；（2）6.4米． 【解析】（1）解直角三角形BCD 来求CD 的长度，则DF=CD+CF ；（2）由（1）求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGE 中即可求得BG 的长，从而求得树高．（1）在Rt BCD 中，cos309CD BC =⋅︒==， 10DF CD CF ∴=+=（米）， 答：DF 的长为10米． （2）在Rt AGE 中，45AEG ∠=︒，10AG EG DF ∴===，在Rt BGE △中，tan 20100.36 3.6BG EG =⋅︒≈⨯=，10 3.6 6.4AB ∴=-=，答：树AB 的高约为6.4米．本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 12．26m 【解析】根据坡度求出30DCE ∠=︒，继而求得，∠ACD ＝90°，根据平行线的性质可得∠FDC ＝30°，继而得∠ADC ＝60°，在Rt ACD 中，解直角三角形可得AC ，在Rt ABC △中，解直角三角形可得AB 的值．解：∵斜坡CD 的坡度i =∴tan 1:3DCE i ∠===， ∴30DCE ∠=︒． ∵60ACB ∠=︒，∴180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒． ∵//DF BE ，∴30FDC DCE ∠=∠=︒， ∴303060ADC ∠=︒+︒=︒．在Rt ACD 中，CD =，tan 60ACCD︒=，∴30(m)AC ==， 在Rt ABC △中，∵sin 60ABAC︒=，∴3015 1.7325.9526(m)2AB =⨯=≈⨯=≈． 答：大树的高度约为26m ．本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数值．13．（1）证明见解析；（2）12；（3）5． 【解析】（1）根据CBE E ∠=∠和ABD CBE E ∠=∠=∠证明ABD AEB ∽相似即可； （2）设3,4(0)BC a AB a a ==>，得出5AC a =，AD=2a ，再根据BD ADEB AB=得出结果； （3）过点F 作FH AE ⊥于点H ，作//FG AB 交AE 于点G ，利用勾股定理及角平分线的性质得出FG=5k ，5,459AG FG k AH AG GH k k k ===+=+=，再利用解直角三角形求解即可．解：（1）点C 是Rt BDE 斜边中点．12BC DC EC DE ∴===， CBE E ∴∠=∠．90ABC DBE ∠=∠=︒，90,90CBE DBC ABD DBC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ABD CBE E ∴∠=∠=∠，ABD AEB ∴∽．（2）在Rt ABC △中，3tan 4BC BAC AB ∠==， 设3,4(0)BC a AB a a ==>，5AC a ∴===．又3CD EC BC a ===，2AD AC CD a ∴=-=．又2142BD AD a EB AB a ===，在Rt DBE 中，1tan 2BD E BE ∠==． （3）过点F 作FH AE ⊥于点H ，作//FG AB 交AE 于点G ，,FGE BAC BAF AFG ∴∠=∠∠=∠，3tan tan 4FGE BAC ∴∠=∠=．∴在Rt FHG 中，3,4(0)FH k HG k k ==>，5FG k ∴===．AF 平分BAE ∠，BAF FAD ∴∠=∠．BAF AFG ∠=∠， FAD AFG ∴∠=∠，5,459AG FG k AH AG GH k k k ∴===+=+=，在Rt EHF 中，1tan 2FH E EH ∠==， 6EH k ∴=，41515203AE AH EH k ∴=+=+⨯=，由（2）得2184AD a AE a ==， 154AD AE ∴==．本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、三角函数和勾股定理在计算中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 14．（1）3t ；（2）32t =；（3）2720或154或17625；（4）1811或1813【解析】（1）先求出9AD =，12BD =，再证明△ADB PHB ∆可得AB ADPB PH=，即可求解； （2）求出4sin 5A ∠=可得4125DB AB ==，再根据PH=GQ,列出方程即可求解，从而可得结论； （3）分三种情况求解即可；（4）分两种情况根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 解：（1）∵∠90=15ADB AB =︒，，tan BD A AD ∠==43， ∴9AD =，12BD = 在△ADB 和△PHB 中，∠90ADB PHB ABD PBH =∠=︒∠=∠， ∴△ADB PHB ∆∴AB AD PB PH =，即AD PBPH AB⋅=∵25533PB BQ PQ BQ BQ BQ t =+=+==∴45315tPH t ==故答案为：3t （2）当点G 落在DC 上时，∵4tan 3A ∠=， ∴4sin 5A ∠=，3sin 5CDB ∠=,在Rt ADB 中，90ADB ∠=︒4sin 5DB A AB ∠==， ∴4125DB AB ==∴在Rt AQG 中，90AGQ ∠=︒()31235GQ t =-， 同理355PH t =，∵PH GQ =, ∴()33123555t =t - ∴32t =（3）①当//OG DC 时，3t 4=，22141212327232555420S t t t ⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪⎝⎭②当//OG BC 或OG DB ⊥时，54t =，2214121251523255544S t t t ⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪⎝⎭③当OG DC ⊥时，2t =，22121831762326529525S ⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭ （4）∵经过点G 的直线将平行四边形ABCD 的面积平分，∴这条直线经过平行四边形ABCD 的对角线的交点，即BD 的中点O ．①如图，当直线OG 经过PH 的中点R 时，直线OG 将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，∵PH //GQ ， ∴12PR PO GQ OQ ==， ∴561632t t -=- ∴1813t =；②如图，当直线OG 经过HQ 的中点N 时，直线OG 将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，∵PG//HQ ， ∴12NQ OQ PG PO ==， ∴631562t t -=-， ∴1811t =；综上所述，满足条件的t 的值为1811或1813． 此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．15．（1）211433y x x =-++；（2）PN m ﹣2）2，当m ＝2时，PN ；（3）M 1（2，103）、M 2（，23﹣）、M 3（2﹣23），S ＝83． 【解析】 （1）由二次函数交点式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN ＝2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解． （3）由三角形的面积公式和平行线的性质知，点M 1、M 2、M 3在与直线BC 平行且与抛物线相交的直线上．利用待定系数法确定直线BC 的解析式，然后通过二次函数图象与几何变换规律求得符合条件的直线，再联立方程组，求得直线与抛物线的交点即可．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ， 即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++；（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN ＝2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）＝﹣6（m ﹣2）2+3，∵﹣6＜0， ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为3． （3）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把B （4，0），C （0，4）代入，得404k b b +=⎧⎨=⎩．解得14k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝﹣x +4设与直线BC 平行的直线的解析式为：y ＝﹣x +n ． 联立得：2411433y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩． 消去y 得：x 2﹣4x +3b ﹣12＝0．当直线与抛物线只有一个公共点时，△＝16﹣4（3b ﹣12）＝0．解得b ＝163． 即：y ＝﹣x +163． 此时交点M 1（2，103）． 直线y ＝﹣x +163是由直线y ＝﹣x +4向上平移163﹣4＝43个单位得到． 同理，将直线y ＝﹣x +4向下平移43个单位可得直线y ＝﹣x +83． 联立28311433y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩．解得11223x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，22223x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴M 2（，23﹣），M 3（2﹣23）． 综上所述，符合条件的点的坐标分别是：M 1（2，103）、M 2（，23﹣）、M 3（2﹣，23）． 此时S ＝83．此题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．16．（1）见解析；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）12．【解析】（1）设CH ＝x ，在Rt △CHF 中根据∠CFH ＝∠FCH ＝45°，可知CH ＝FH ＝x ，在Rt △CHE 中根据tan ∠CEH ＝CH EH可得出x 的值，由CD ＝CH +DH 即可得出结论； （2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）根据小明与小红的计算结果得出古塔底面的半径，进而可得出结论．解：（1）设CH ＝x ，在Rt △CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ，在Rt △CHE 中，∵tan ∠CEH ＝CH EH ， ∴58.8x x ＝tan17°＝0.30， ∴x ＝25.2，即CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH +DH ＝25.2+1.6＝26.8（m ），答：古塔CD 的高度为26.8m ；（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．（3）如图，在EH 上取一点P 使∠CPH ＝35°，则PG ＝30，在Rt △CHP 中，CH ＝25.2，∴PH ＝tan 35CH ︒＝25.20.7＝36， ∴GH ＝PH ﹣PG ＝6，∴该古塔底面圆直径的长度＝2×6＝12（m ）．故答案为：12．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．17．（1）见解析；（2）MF BM =3；（3【解析】（1）易证明△AEF ∽△ABC ，则有AE AF AB AC =，再证明∠BAE=∠CAF ，根据相似三角形的判定即可证的结论；（2）连接BE ，设CF=x ，则x ，AE=AF·tan30°=x ，由（1）中△ABE ∽△ACF 可证得AF AE CF BE =，∠ABE=∠ACF ，进而求得x ，再证明△BME ∽△FMA ，则MF AF MB BE =，进而求解； （3）连接FC ，易证△ABE ∽△ACF ，则tan 30BE AB CF AC ==，解得CF=6，易求得∠FBC=90°，根据勾股定理求得BC ，进而由AB=BC·sin30°求解即可．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC=90°，即∠BAC=∠EAF=90°，∵∠ACB=∠AFE=30°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴AE AF AB AC =即AE AB AF AC=， ∵∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠CAF ，∴△ABE ∽△ACF ；（2）连接BE ，由（1）中方法可证明△ABE ∽△ACF ， ∴AFAE CF BE =，∠ABE=∠ACF 即∠ABE=∠AFE ， 设CF=x ，则，AE=AF·tan30°， 由AFAE CF BE =得：BE x = 解得：BE=3x ， ∵∠EMB=∠AMF ，∠ABE=∠AFE ，∴△BME ∽△FMA ， ∴MF AF MB BE =3=；（3）连接AC ，由（1）中方法可证△ABE ∽△ACF ， ∴tan 30BE AB CF AC==， ∴23=tan 303BE CF = ∵∠ACB=30°，∠BAC=90°∴∠ABC=60°，又∠ABF=30°，∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=90°，在Rt △FBC 中，由勾股定理得BC===∴AB=BC·sin30°=本题考查了相似三角形判定与性质、矩形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.18．（1）见解析；（2）16．【解析】（1）连接OD、AD，则由CA为直径可得AD⊥BC，从而得到AD平分∠BAC，然后根据弦切角定理即可得到解答；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC，∵DE是⊙O 的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90 ，∴∠ADC=∠ODE，∴∠CDE=∠ADO，∵OA= OD，∴∠CAD=∠ADO，∴∠CDE =∠CAD ，∴∠CDE=∠CAD=12∠BAC ； （2）解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∵tan ∠CAD=13， ∴AD=3CD ，∴设DC=x ，则AD=3x ，∴=，∵∠CDE=∠CAD ，∠DEC=∠AED ，∴△CDE ∽△DAE ， ∴CE DC DE DE AD AE ==，即 43x DE DE x AE== ， ∴DE=12，AE=36，∴AC=AE-CE=32，∴⊙O 的半径为16．本题考查的是切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得AD ⊥BC 是解决问题的关键．19．（1）B ，C ；（2）①6DE ≤≤；②4b ≤<-4b -<≤【解析】（1）根据“Math 点”的定义，结合图象判断即可．（2）①首先证明∠PQO ＝30°，当点E 与PQ 的中点K 重合时，点E 是△POQ 关于边PQ 的“Math点”，此时E （，2），当⊙E′与x 轴相切于点Q 时，E′（8），推出DE′＝，观察图象可知，当点E 在线段KE′上时，点E 为△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出点D 到直线E′K 的最小值，即可解决问题．②如图3中，分别以O 为圆心，2和为半径画圆，当线段MN 与图中圆环有交点时，线段MN 上存在△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出直线MN 与大圆或小圆相切时b 的值，即可判断． 解：（1）根据“Math 点”的定义，观察图象可知，△POQ 关于边PQ 的“Math 点”为B 、C ． 故答案为：B ，C ．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（0），∴OP＝4，OQ＝∴tan∠PQO∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2），∵D（0，8），∴DE。

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。

初中数学试卷桑水出品新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1.如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为（）A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm知识点：解直角三角形解析：解答：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=BCAC，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．分析：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC的长度．2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．分析：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．3.如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A.503米B. 1003米C 10031+米 D.10031-米知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中, ∵∠ACB=30°,∴ABBC=tan30°=33.∴BC=3AB. 设AB=x（米）, ∵CD=100,∴BC=x+100. ∴x+100=3x,∴x=10031米.故选D．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．4.某水坝的坡度i=1：3，坡长AB=20米，则坝的高度为（）答案：A．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：如图：∵坡度i=1：3,∴设AC=x，BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x2+（3x）2=202,解得x=10．故选A ．分析：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．画出图形，根据坡度的定义__-直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答． 5. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ．103米B ．10米C ．203米D ．2033米 答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解析：解答：∵在直角三角形ADB 中，∠D=30°, ∴ABBD=tan30°, ∴BD=tan 30ABo=3AB . ∴在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°. ∴BC=tan 60ABo =33AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=3AB-33AB=20. 解得：AB=103． 故选A ．分析：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB 及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503 m 答案：A知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3, ∴BC AC =33.∵BC=50m, ∴AC=503m. ∴AB=22AC BC =100m.故选：A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比． 根据题意可得BCAC =33，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．7. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100（3+1）米 答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100,∵CD⊥AB于点D,∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=CDAD.∴AD=tanCDA=10033=1003.在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°,∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米．故选D．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．8.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组知识点：解直角三角形的应用解析：解答：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用EF FDAB BD，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C ．分析：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出EF 即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EF FDAB BD=即可解答． 9. 如图，△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，则△ABC 的面积是（ ）A.212B. 12C.14D.21 知识点：解直角三角形的应用 解析：解答：过点A 作AD ⊥BC ， ∵△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB ．∴∠B=45°． ∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3．∴CD=2253-=4． ∴BD=3．则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A．分析：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．10.（2011 荆州）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. 5714B.35C.217D.2114知识点：解直角三角形的应用解析：解答：延长BA作CD⊥BD，∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°．∴2AD=AC=2，∴AD=1，CD=3，∴BD=5，∴BC=27，∴sinB=327=2114．故选：D．分析：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．11.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里 知识点：解直角三角形的应用-方向角问题 解析：解答：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°， 在直角三角形ABC 中， BC=ABtan30°=12×33=43（海里）． 故选：D ．分析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC 即可．此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC ． 12. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB=α，那么AB 等于（ ）A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米 知识点：解直角三角形的应用解析：解答：在直角△ABC 中，tan α=AB m，∴AB=mtan α． 故选B ．分析：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算．在直角△ABC 中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．13. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）A. (533+32)m B. (53+32)m C.533m D.4m知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，∴CD=ADtan30°=5×33=533（米）．∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32（米）．故选A．分析：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出CD长，再加上AB长即为树高．14.一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303)知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则AC=12OA=30海里，OC=303海里．因而A所在位置的坐标是（303，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（303-50，30）．故选A．分析：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得点A的坐标，从而根据已知求点B的坐标．15.在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A. 1033km B.533km C.52km D.53km知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sinABACB=532=1033（km）．故选A．分析：本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．1.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是____答案：3知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）．故答案为：103．分析：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC 的长度是____答案：210cm．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．分析：此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．3.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=____答案：2-3．解析：解答：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，∴AD=3x，∴BD=AB-AD=2x-3x=（2-3）x，∴tan15°=BDCD=(23)xx=2-3．故答案为：2-3．分析：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．4.如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）答案：12解析：解答：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．5.如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为____（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．答案：8.1 m．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．分析：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．三、解答题1.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，t an54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）知识点：解直角三角形解析：解答：过点C 作CD ⊥AB 于D ， ∵BC=200m ，∠CBA=30°， ∴在Rt △BCD 中，CD=12BC=100m ，BD=BCcos30°=200×32=1003≈173（m ）， ∵∠CAB=54°， 在Rt △ACD 中，AD=tan 45oCD ≈1001.38≈72（m ）， ∴AB=AD+BD=173+72=245（m ）． 答：隧道AB 的长为245m ．分析：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．首先过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后在Rt △BCD 中，利用三角函数的知识，求得BD ，CD 的长，继而在Rt △ACD 中，利用∠CAB 的正切求得AD 的长，继而求得答案．2. 如图所示，两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30m ，张明同学住在建筑物AB 内10楼P 室，他观测建筑物CD 楼的顶部D 处的仰角为30°，测得底部C 处的俯角为45°，求建筑物CD 的高度．（3取1.73，结果保留整数．）知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．∴PE=BC=30．在Rt△PDE中，∵∠DPE=30°，PE=30，∴DE=PE×tan30°=30×33=103．在Rt△PEC中，∵∠EPC=45°，PE=30，∴CE=PE×tan45°=30×1=30．∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47（m）答：建筑物CD的高约为47 m．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30，在Rt△PDE中，利用∠DPE=30°，PE=30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC=45°，PE=30求得CE的长，利用CD=DE﹢CE即可求得结果．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1（1）如果∠BCD=30°，求AC；10知识点：解直角三角形解析：解答：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，答案：A、C之间的距离为10.3海里．知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=3x，又∵BC=20，即x+3x=20，解得：x=10(3-1)∴AC=2x≈10.3（海里）．答：A、C之间的距离为10.3海里．分析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案．5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD=5米，斜坡AB的坡度i=1：3（指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i=1：1.5，已知该拦水坝的高为6米．（1）求斜坡AB 的长；（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 答案：（1）斜坡AB 的长为610m ；（2）拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610 +313）m ．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析：解答：（1）∵AE BE =i =13,AE=6， ∴BE=3AE=18，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得： AB=22AE BE +=610，答：斜坡AB 的长为610m ； （2）过点D 作DF ⊥BC 于F ， 可得四边形AEFD 是矩形， 故EF=AD ，∵AD=5，∴EF=5， ∵DF CF =i=23， DF=AE=6， ∴CF=32DF=9， ∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32， 在Rt △DCF 中，根据勾股定理得： DC=22DF CF + =313，∴梯形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313，——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》应用解答题专题提升训练（附答案）1．某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度．滑梯的截面如右图所示，已知梯子AE长度为3m，坡度为57°，顶台DE∥AB，且长度为1m，滑坡BD的坡度i＝1：3.2，滑梯的缓冲长度BC为1.5m，求滑梯的水平长度AC．（结果精确到0.1m．参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）2．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m 处有一座房屋．（参考数据；）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？3．如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点A为梯步顶端，点C为梯步底端，AB垂直于水平地面BC，并测得∠ACB＝40°，CB＝5米．要使改建后的梯步与水平面的夹角∠ADC＝36°，求梯步底端向外延伸的长度DC（精确到0.1米，sin36°≈0.588，tan36°≈0.727，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）．4．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1.732，结果精确到1米）？5．高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝的高为20m，坝顶CD的宽为10m．求大坝横截面的周长．7．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.7328．浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．．9．如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°．求电线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．10．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC 处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？（sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8）11．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm．使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长．【参考数据：sin25°＝0.42，cos25°＝0.91，tan25°＝0.47】．12．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）13．如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由45°降为30°，已知原滑滑梯AB的长为5m，点D，B，C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到0.01m）（2）若滑滑梯的正前方能有3m长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有6m长的空地，像这样改造是否可行？说明理由（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）14．如图，身高1.75m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度（∠A＝30°），已知她与树之间的距离为5m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m）15．一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角，且BD＝5m，现再在C点上方2m处加固另一根钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留根号）16．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MB＝m米，梯子的倾斜角度∠MCB＝45°．若梯子斜靠在对面墙上，梯子的倾斜角度∠NCA＝60°．试求该房间的宽和梯子的长度．17．如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平面75°角时．测得该树坡上的树影BC的长为4（）米．求树高．18．如图，为迎接全国文明城市检查，某单位准备在一斜坡EF上安装衣服悬挂“社会主义核心价值观”宣传牌的金属架A﹣C﹣B，若CA与地面垂直，斜坡的坡角∠E＝30°，∠C＝45°，小王测得从A到B的距离是5m，已知每米金属架106元，请你帮该单位算一下安装这副金属架共需多少元（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449，结果保留整数）．19．海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地、渗透塘等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水“释放”并加以利用．我市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地（四边形ABCD），经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D ＝45°，求该绿地边界的周长（结果保留根号）．20．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的长；（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）参考答案1．解：作ME⊥AC于M，DN⊥AC于N，则四边形MNDE为矩形，则MN＝DE＝1，EM＝DN，在Rt△AEM中，∠EAM＝57°，AE＝3，∴EM＝AE×sin57°≈3×0.84＝2.52（m），AM＝AE×cos57°≈3×0.55＝1.65（m），在Rt△DNB中，i＝1：3.2，即＝，∴BN＝2.52×3.2＝8.064（m），又∵BC＝1.5m，∴AC＝AM+MN+NB+BC＝1.65+1+8.064+1.5＝12.214≈12.2（m），答：AC的长度约为12.2m．2．解：（1）∵坡度为的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角为45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×18＝9（m），∴tan30°＝＝＝，解得：DC＝9，故DB＝DC﹣BC＝9﹣9≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除．3．解：由题意可得：tan40°＝＝≈0.839，解得：AB≈4.195，tan36°＝＝≈0.727，∴DB≈5.77（米），故DC＝DB﹣BC＝5.77﹣5≈0.8（米），答：梯步底端向外延伸的长度约为0.8米．4．解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，∴BE＝BD＝200m，∴DE＝＝200≈346（m），答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上．5．解：设AH的长为x米，则CH的长为（x﹣2）米．在Rt△ABH中，AH＝BH•tan45°，∴BH＝x，∴DH＝BH﹣BD＝x﹣10；在Rt△CDH中，CH＝DH•tan65°，∴x﹣2＝2.14（x﹣10），解得：x＝17.01≈17.0．答：立柱AH的长约为17.0米．6．解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，∴AE＝15m，∴AD＝＝25（m），∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，∴BF＝40m，∴BC＝＝20（m），则周长C＝AD+DC+BC+AB＝（100+20）m，答：大坝横截面的周长为（100+20）m，7．解：在Rt△CDE中，∵sin∠C＝，cos∠C＝∴DE＝sin30°×DC＝×14＝7（m），CE＝cos30°×DC＝×14＝7≈12.124≈12.12，∵四边形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m在Rt△ABF中，∵∠B＝45°∴DE＝AF＝7m，∴BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．8．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠A＝30°，AB＝60，∴BD＝AB＝30，∴AD＝BD＝30，在Rt△CBD中，tan49°＝，sin49°＝，∴CD≈26，BC≈40，∴AC＝AD+CD≈78．9．解：作DF⊥AE于点F，则四边形ABDF是矩形．DF＝AB＝8（米），EF＝AE﹣AF＝AE﹣BD＝12﹣6＝6（m）．在直角△DEF中，DE＝＝＝10（m）．在直角△BCD中，sin∠DCB＝，则DC＝＝BD＝4（m）．则电线CDE的总长L＝DE+DC＝10+4（m）．答：电线CDE的总长L是（10+4）m．10．解：在Rt△CDB中，tan∠BDC＝，∴BC＝BD tan40°≈4，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，∴BE＝BD tan∠BDE＝5，∴CE＝BE﹣BC≈4.66（m），答：广告牌EC的高度约为4.66m．11．解：由题意得：AD⊥CD，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，∴sin25°＝＝，∴CF＝30×0.42＝12.6（cm），∴CD＝CF+FD+2＝CF+AB+2＝12.6+40+2＝54.6（cm）答：光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长54.6cm．12．解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH＝＝＝，∴∠CAH＝30°，即新坡面的坡角α为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH＝＝，∴BH＝CH＝6米，∵＝，∴AH＝CH＝6≈10.392（米），∴AB＝AH﹣BH＝6﹣6＝4.392（米），∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．13．解：（1）Rt△ABC中，AC＝AB×sin45°＝（m），Rt△ADC中，BC＝AB×cos45°＝（m），AD＝＝5（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后滑滑梯会加长2.07 m；（2）这样改造能行．在直角△ACD中，CD＝＝（m），因为CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59．因此，像这样改造是可行的．14．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：CD＝≈2.89（m），故CE＝DC+DE＝2.89+1.75≈4.6（m），答：这棵树大约有4.6m．15．解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，BD＝5，∴BC＝BD＝5．∵在Rt△BED中，∠EBD＝90°，BE＝BC+CE＝5+2＝7，BD＝5，∴ED＝＝＝（m）．答：钢缆ED的长度为m．16．解：∵CB⊥MB，∠BCM＝45°，∴∠BMC＝45°，∵MB＝m米，∴CB＝m米，∴MC＝＝＝m米，∵NC＝CM，∴NC＝m米，∵∠NCA＝60°，∴∠ANC＝30°，∴AC＝m米，∴AB＝AC+BC＝m+m＝m（米）；答：该房间的宽是m米，梯子的长度是m米．17．解：过点B作BE⊥AC于E，以B为顶点，BE为一边，在∠ABE的内部作∠EBN＝60°，交AE于N．∵∠D＝30°，∠AMH＝75°，∴∠DCM＝∠AMH﹣∠D＝45°，∴∠ECB＝∠DCM＝45°．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝90°，∠ECB＝45°，BC＝4（﹣1），∴BE＝CE＝BC＝2﹣2，在Rt△BNE中，∵∠BEN＝90°，∠EBN＝60°，∴∠BNE＝30°，∴EN＝BE＝6﹣2，BN＝2BE＝4﹣2，∵∠BNE＝30°，∠A＝90°﹣∠AMH＝15°，∴∠ABN＝∠BNE﹣∠A＝15°，∴AN＝BN＝4﹣4，在Rt△ABE中，∵∠BEA＝90°，BE＝2﹣2，AE＝2+2，∴AB＝＝8（米），答：树高为8米．18．解：延长CA至D，则CD⊥ED，作BG⊥AC，∵∠E＝30°，∴∠CAB＝60°，则∠ABG＝30°，∵AB＝5，∴AG＝AB＝，∵∠C＝45°，∴CG＝BG＝AG＝，∴BC＝BG＝，∴AC+BC＝AG+CG+BC＝++≈2.5+4.33+6.12＝12.95米，∴安装这副金属架共需12.95×106≈1373元．19．解：连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20米，∠ACB＝60°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝60°，在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝20×＝10（米），CE＝AC•cos60°＝20×＝10（米），在Rt△AED中，∠D＝45°，∴DE＝＝＝10（米），AD＝＝＝10（米），∴AB+BC+CD+AD＝20+20+10+10+10＝（50+10+10）米，∴该绿地边界的周长为（50+10+10）米．20．解：（1）∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝27cm，AC＝36cm，∴BC＝＝＝45（cm），∴下管BC的长为45cm；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为F，∵AE＝18cm，AB＝27cm，∴BE＝AE+AB＝45cm，在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，∴EF＝BE•sin75°≈45×0.97＝43.65（cm），∴座垫E离地面的距离＝43.65+30≈74（cm），∴座垫E离地面的距离约为74cm．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图某河堤迎水坡AB坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB长是（）A．5 m B．10m C．5m D．8 m2．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42米B．14米C．21米D．42米3．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．4sinα米C．米D．4cosα米4．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠1，那么钢管AB的长为（）A．B．C．m•cos∠1D．m•sin∠15．如图，测得一商场自动扶梯的长为l，自动扶梯与地面所成的角为θ，则该自动扶梯到达的高度h为（）A．l•sinθB．C．l•cosθD．6．如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（）A．米B．米C．sinα米D．cosα米7．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．24海里/时B．8海里/时C．24海里/时D．8海里/时二．填空题9．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．10．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．11．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）12．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为m．13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）14．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．15．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为米．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81】16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为．三．解答题17．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．18．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC＝24米，PD＝26米，CD ＝10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD＝60°，∠P AD＝30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．19．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）20．如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且cos∠DCB＝．（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？21．某综合实验小组利用大厦AC测量楼前一棵树EF的高，小明在大厦的B点能透过树梢F看到小强同学在G点，小明上升到达C点透过F点看到小文同学在D点，已知G，D，E，A在同一直线上，AC⊥AG，EF⊥AG测得GD＝6米，∠C＝27°，∠G＝38.5°，则树的高度约为多少米？（参考数据：tan27°＝0.50，tan38.5°＝0.80）．22．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）参考答案一．选择题1．解：∵tan∠CAB＝＝＝，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，又∵BC＝5m，∴AB＝2BC＝10m，故选：B．2．解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）故选：A．3．解：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，故选：B．4．解：在Rt△ABC中，sin∠1＝，∴AB＝，故选：A．5．解：∵sinθ＝，∴h＝l•sinθ，故选：A．6．解：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AB＝2.8m，∠ACD＝α，∴AD＝AC•sin∠ACD＝2.8sinα＝sinα米，故选：C．7．解：如图所示，在Rt△ABD中，tan B＝＝．故选：A．8．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AB＝48海里，∴AC＝AB＝24海里，则这艘船航行的速度为24÷3＝8（海里/小时），故选：D．二．填空题9．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．10．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．11．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），故答案为：7.5m．12．解：∵tan∠ADB＝，∴BD＝＝AB（m），∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝AB（m），∵CD＝BD﹣BC，∴6＝AB﹣AB（m），∴AB＝9（m），故答案为9．13．解：在直角三角形中，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701（m），∴CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m），故答案为：1.1．14．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．15．解：过点A作AM⊥CD于点M，则∠DAM＝∠ADE＝39°，如图所示．在Rt△ADM中，AM＝16，∠DAM＝39°，∴DM＝AM•tan∠DAM＝16×0.81＝12.96，∴AB＝CM＝CD﹣DM＝31﹣12.96＝18.04≈18.0．故答案为：18.0．16．解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝4（千米），∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．答：A、B两点间的距离约为11千米．18．解：此车超过了每秒25米的限制速度，理由如下：∵PC＝24米，PD＝26米，CD＝10米，242+102＝262，∴PC2+CD2＝PD2，∴△PCD是直角三角形，∠PCD＝90°，∴∠PCB＝90°，在Rt△PCB中，∠PBD＝60°，sin∠PBD＝，∴PB＝＝＝16≈27.7（米），∵∠P AD＝30°，∴∠APB＝∠PBD﹣∠P AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠APB＝∠P AD，∴AB＝PB≈27.7米，∵27.7＞25，∴此车超过了每秒25米的限制速度．19．解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．20．解：（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB＝，∴∴设BC＝3x，DC＝5x，∴BD＝，∵BD＝4m，∴4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5米；（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+4＝6.8（米）．∴灯的顶端E距离地面6.8米．21．解：∵AC⊥AG，EF⊥AG，∴∠A＝∠FED＝90°，∴AC∥EF，∴∠DFE＝∠C＝27°，在Rt△GEF和Rt△DEF中，tan∠G＝＝，即＝0.80，tan∠DFE＝＝0.5，即DE＝0.5EF，∴＝0.8，解得EF＝8（米）．答：树的高度约为8米．22．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。

2020人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用训练题一．选择题（共10小题）1．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为（）A．B．C．D．3．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线P A，PB固定，量得∠P AO＝α，∠PBO ＝β，则拉线P A，PB的长度之比＝（）A．B．C．D．4．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．5．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（）A．50m B．100m C．120m D．130m6．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从M出发，走了13米到达N处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是（）A．1：5B．12：13C．5：13D．5：127．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A 处看高处C处，那么点C在点A的（）A．俯角67°方向B．俯角23°方向C．仰角67°方向D．仰角23°方向8．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+9．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米10．如图，某轮船由东向西航行，在A处测得灯塔M在它的北偏西75°方向上，继续航行8海里到达B处，此时测得灯塔M在它的北偏西60°方向上，则BM＝（）A．8海里B．4海里C．4海里D．4海里二．填空题（共4小题）11．如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为．12．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为米．13．小明沿着坡度i＝1：2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是米．14．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝米（结果保留根号）．三．解答题（共9小题）15．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．（1）求∠B的度数；（2）求△ABC的面积；（3）求tan C．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．17．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？18．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）19．水务部门为加强防汛工作，决定对马边河上某电站大坝进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为20米，∠B＝60°，背水面DC的长度为20米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）．20．某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．21．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．22．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）23．如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A 城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）参考答案一．选择题（共10小题）1．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，故选：B．2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：由勾股定理得：AC＝＝5，∴tan A＝＝；故选：D．3．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线P A，PB固定，量得∠P AO＝α，∠PBO ＝β，则拉线P A，PB的长度之比＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，在直角△P AO中，∠POA＝90°，∠P AO＝α，则P A＝．如图，在直角△PBO中，∠POB＝90°，∠PBO＝β，则P A＝．所以＝＝．故选：D．4．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长BA、FE，交于点D，∵AB⊥BC，EF∥BC，∴BD⊥DF，即∠ADE＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AED＝37°，在Rt△ADE中，∵sin∠AED＝，AE＝1.2米，∴AD＝AE sin∠AED＝1.2×sin37°≈0.72（米），则BD＝AB+AD＝1.18+0.72＝1.9（米），故选：A．5．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（）A．50m B．100m C．120m D．130m 【解答】解：如图，根据题意知AB＝130米，tan B＝＝1：2.4，设AC＝x，则BC＝2.4x，则x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50或x＝﹣50（负值舍去），即他的高度上升了50m，故选：A．6．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从M出发，走了13米到达N处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是（）A．1：5B．12：13C．5：13D．5：12【解答】解：过点N作HG⊥地面AB于G再作MH⊥NG于H，由题意得，MN＝13，NH＝5，由勾股定理得，MH＝＝＝12，∴该斜坡的坡度为5：12，故选：D．7．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A 处看高处C处，那么点C在点A的（）A．俯角67°方向B．俯角23°方向C．仰角67°方向D．仰角23°方向【解答】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；故选：D．8．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝AB•tanα＝a tanα，在Rt△ABD中，BD＝AB•tanβ＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ．故选：C．9．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米【解答】解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x﹣x＝60，解得x＝＝30（），答：这段河的宽约为30（）米．故选：B．10．如图，某轮船由东向西航行，在A处测得灯塔M在它的北偏西75°方向上，继续航行8海里到达B处，此时测得灯塔M在它的北偏西60°方向上，则BM＝（）A．8海里B．4海里C．4海里D．4海里【解答】解：由题意得，∠BAM＝90°﹣75°＝15°，∴∠M＝180°﹣90°﹣60°﹣15°＝15°，∴∠BAM＝∠M，∴BM＝AB＝8（海里），故选：A．二．填空题（共4小题）11．如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为2．【解答】解：连接BC，则AB⊥BC，在Rt△ABC中，AB＝＝，BC＝＝2，∴tan∠BAC＝＝＝2，故答案为：2．12．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为210米．【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，在Rt△ABE中，∴sinα＝，∴AE＝AB×sin20°≈68，在Rt△BCG中，∴sinβ＝，∴BG＝BC×sin45°≈142，∴他下降的高度为：AE+BG＝210，故答案为：21013．小明沿着坡度i＝1：2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是2米．【解答】解：设小明上升的高度为x米，∵坡度i＝1：2.5，∴小明前行的水平宽度为2.5x米，由勾股定理得，x2+（2.5x）2＝292，解得，x＝2，故答案为：2．14．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝（100+100）米（结果保留根号）．【解答】解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×＝100（米），∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；故答案为：（100+100）．三．解答题（共9小题）15．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B为锐角且．（1）求∠B的度数；（2）求△ABC的面积；（3）求tan C．【解答】解：（1）∵∠B为锐角且，∴∠B＝60°；（2）作AD⊥BC于D，如图所示：∵∠B＝60°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝3，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×4×3＝6；（3）∵BC＝4，BD＝3，∴CD＝BC﹣BD＝1，∴tan C＝＝＝3．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，由勾股定理得，AB＝＝4，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，17．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？【解答】解：在Rt△BCE中，∵BC＝3，∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝BC•cos45°＝3×＝3，在Rt△BDE中，DE＝BE•tan30°＝，∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，答：胡同左侧的通道拓宽了（3﹣）米．18．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【解答】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，答：B到水平桌面OM的距离为45cm．19．水务部门为加强防汛工作，决定对马边河上某电站大坝进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水面AB的长为20米，∠B＝60°，背水面DC的长度为20米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度．（计算结果保留根号）．【解答】解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．在Rt△ABF中，AB＝20米，∠B＝60°，sin∠B＝，∴AF＝20×＝10，DG＝10．∴S△DCE＝×CE•DG＝5×10＝25，需要填方：100×25＝2500（立方米）；（2）在直角三角形DGC中，DC＝20，∴GC＝＝＝30，∴GE＝GC+CE＝35，坡度i＝＝＝．答：（1）需要土石方2500立方米．（2）背水坡坡度为．20．某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．∴AB＝＝＝（米）；（2）∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，∴∠GDM＝∠HBM，∴，∵DG＝EF＝2m，∴GM＝1m，∴DM＝，BM＝BF+FM＝3.5+（2.5﹣1）＝5m，设MH＝xm，则BH＝2xm，∴x2+（2x）2＝52，∴x＝m，∴DH＝＝m．21．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．【解答】解：过C作CF⊥AM于F，过C作CH⊥AD于H，则四边形AHCF是矩形，所以AF＝CH，CF＝AH．在Rt△BCF中，BC＝1，∠CBF＝37°．BF＝BC cos37°＝0.8，CF＝BC sin37°＝0.6，在Rt△BAE中，∠BEA＝53°，所以AE＝AB，在Rt△CDH中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝F A＝0.8+AB，∴AD＝AH+DH＝0.6+0.8+AB＝1.4+AB，∵AD＝AE+DE＝AB+2.4，∴1.4+AB＝AB+2.4，AB＝4，答：匾额悬挂的高度是4米．22．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．23．如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A 城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）【解答】解：计划修建的这条高速铁路穿越保护区，理由如下：作PH⊥AC于H，由题意得，∠PBH＝60°，∠P AH＝30°，∴∠APB＝30°，∴∠BAP＝∠BP A，∴PB＝AB＝150，在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，∴PH＝PB•sin∠PBH＝75≈129.9，129.9＞120，∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，BC＝a，则AB的长为（）A．a B．2a C．a D．a2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（）A．B．C．D．3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．2D．34．如图，在离铁塔200米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+200sinα）米B．（1.5+200cosα）米C．（1.5+200tanα）米D．（1.5+）米5．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i＝1：2（坡度i＝坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A 的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是（）（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）A．27.1米B．30.8米C．32.8米D．49.2米6．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 7．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（）A．200米B．米C．米D．米8．如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（）海里．A．4B．8C．16D．24二．填空题9．在△ABC中，sin B＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为．10．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则（1）AD＝；（2）sin∠BAD＝．11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为米．12．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF＝m（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，）13．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）14．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为km．15．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C 的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为千米．（≈1.732，结果保留一位小数）16．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，BC可分别绕点A，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，点C到AD的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，）三．解答题17．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）18．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上运动，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．①若tan∠ABC＝2，AB＝3，AE＝2，求BD长？②若直线DE与直线BC所夹锐角的正切值是，cos∠BAC＝，BC＝4，求BD的长．22．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？23．如图，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器，先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，要求AD与水平线的夹角α为48°，且两支架之间的水平距离为150cm．现测量出屋顶斜面BC与水平面的夹角β为30°，支架AB的高度为20cm，求支架CD的高度．（结果精确到1cm．参考数值：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）24．西山公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米．（1）为保证斜坡的坡度为1：3，斜面AD的长度应为多少米？（2）如果给该地下停车场送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：）参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝＝，BC＝a，∴AC＝2a，由勾股定理得，AB＝＝a，故选：C．2．解：如图，过B、D分别作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，则∠BEO＝∠DFO＝90°．在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOD＝60°，∴BE＝OB•sin∠BOE＝OB•sin60°＝OB，在Rt△DOF中，∠AOD＝60°，∴DF＝OD•sin∠BOE＝OD•sin60°＝OD．∵AC＝BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AC•BE+AC•DF＝×2×OB+×2×OD＝OB+OD＝（OB+OD）＝BD＝×2＝．故选：C．3．解：由网格以及勾股定理可得，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝8+2＝10＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴tan∠BAC＝＝，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则CE＝AD＝1.5米，AE＝CD＝200米，在Rt△ABE中，∠BAE＝α，∴BE＝AE•tanα＝200tanα（米），∴BC＝BE+EC＝（1.5+200tanα）米，∴铁塔的高BC为（1.5+200tanα）米，故选：C．5．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝8米，DE＝40米，BF＝CG＝2米，在Rt△CDG中，i＝1：2，∴DG＝4米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝52米，∠E＝43°，∴AF＝FE•tan34°≈52×0.67＝34.84（米），∴AB＝AF﹣BF＝34.84﹣2≈32.8（米）；即建筑物AB的高度约为32.8米．故选：C．6．解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．7．解：作BE⊥MD于点E，如图所示，由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，AM＝BE，∴＝2，解得AM＝200米，∴BE＝200米，∵tan∠BDE＝，∴tan30°＝，解得DE＝200米，∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）米，故选：C．8．解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝8海里，即船与灯塔C距离为8海里．故选：B．二．填空题9．解：当点D在线段BC的延长线上时，∵AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sin B＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若点D在线段BC上时，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案为：2或6．10．解：如图，连接AC，根据题意得：，而，∵AD⊥BC，∴，解得：，∴，设AD＝4x，则AB＝5x，∴，∴．故答案为：，．11．解：设他下降的高度AC为x米，∵斜坡的坡度为i＝1：2，∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：x＝±6（负值舍去），∴他下降的高度为6米，故答案为：6．12．解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°，设CH＝xm，在Rt△CGH中，∠CGH＝∠EGD＝45°，∴GH＝CH＝xm，在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝0.53，解得：x≈45.1，∴灯塔的高CF＝45.1+10＝55.1≈55（m）．答：灯塔的高为55米．13．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EP A＝60°，∠CAB＝30°，P A＝30海里，∴∠P AB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△P AB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此时与灯塔P的距离约为50海里．故答案为：50．14．解：∵太阳射来的光线可以看作平行线，∴∠AOB＝∠1≈7.2°．设地球的半径为R千米，由题意得＝800，解得R＝，∴地球的周长约为2π×＝40000（千米）．故答案为：40000．15．解：如图，过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，∴∠ADB＝45°，∵AB＝12×＝8（千米），∴AE＝4（千米）．BE＝4（千米），∴DE＝BE＝4（千米），∴AD＝（4+4）（千米），∵∠C＝90，∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝2+2≈5.5（千米）．故答案为：5.5．16．解：当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，如图：在Rt△ABC中，BC＝AB＝×18＝9（cm），当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，如图：过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，则FG＝CE，∠BGC＝90°，在Rt△ABF中，AB＝18cm，∠BAD＝60°，∴BF＝AB•sin60°＝18×＝9（cm），∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，在Rt△BCG中，BC＝9cm，∴BG＝BC•sin70°≈9×0.94＝8.46（cm），∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.1（cm），∴点C到AD的距离为7.1cm，故答案为：7.1．三．解答题17．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．18．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．21．解：①如图1中，作DF⊥AB于F．∵tan∠B＝2＝，设BF＝k，DF＝2k，则AF＝3﹣k，在Rt△ADF中，AD＝AE＝2，∴（2）2＝（2k）2+（3﹣k）2，∴k＝或，∵BD＝k，∴BD＝1或5．②如图②中，作DF⊥AB于F，BH⊥AC于H，∵∠AED＝∠ACD，∴∠EDC＝∠CAE＝∠BAD，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH＝＝，设AH＝m，AB＝3m，则CH＝2m，BH＝2m，在Rt△BCH中，（2m）2+（2m）2＝16，解得m＝，∴AB＝2，∵tan∠BAD＝＝，设DF＝n，AF＝3n，易知tan B＝＝，∴BF＝n，∵AF+BF＝AB＝2，∴4n＝2，∴n＝，∴BD＝n＝．22．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．23．解：过点A作AF⊥DC于点F，过点B作BE⊥DC于点E，∵矩形ABEF中，AF＝BE＝150cm，AB＝EF＝20cm．Rt△DAF中，∠DAF＝48°，DF＝AF•tan48°≈150×1.11≈166.5（cm），Rt△CBE中，∠CBE＝30°，CE＝BE°tan30°＝150×≈86.5（cm），∴DE＝DF+EF＝166.5+20＝186.5（cm），DC＝DE﹣CE＝186.5﹣86.5＝100（cm），答：支架CD的高约为100cm．24．解：（1）∵斜坡的坡度为1：3，∴＝，∵BD＝CD﹣CB＝2.2（米），在Rt△ABD中，AB＝3BD＝6.6（米），故AD＝＝≈7.04（米），答：斜面AD的长度应约为7.04米．（2）过C作CE⊥AD，垂足为E，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∴tan∠BAD＝tan∠DCE＝＝，设DE＝x米，则EC＝3x米，在Rt△CDE中，3.22＝x2+（3x）2，解得：x≈1.012，则3x＝3.036，∵3.036＞2.8，∴货车能进入地下停车场．。