09-10下高数期末试卷

高等数学下册试卷 2021．6．30姓名： 学院与专业： 学号：一、填空题[共20分] 1、[4分]00x y →→=2、[4分]22Lx y ds +=⎰ , 其中222:L x y a +=3、[4分] ]向量场()()223(2)A x y i xz y j y z k =+-+++的散度为 . 4、[4分] u =在点()0,1处的du =5、[4分]交换二次积分的积分次序()()()2131321,,x x dx f x y dy dxf x y dy -+=⎰⎰⎰⎰二、[8分] 设22,y z f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂三、[8分] 求函数()22,f x y x y =-在圆域224x y +≤上的最大值与最小值。

四、[8分] 求锥面z =被圆柱面222x y x +=割下部分的曲面面积五、[8分] 计算2adxdy ⎰⎰六、[8分]计算曲面积分I xyzdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为半球面z =的上侧 七[7分] 计算曲线积分()()2211L x dy ydx x y---+⎰，其中L 表示包含点(0,1)A -内的简单闭曲线,沿逆时针方向。

八、[7分]求如下初值问题()()2111,10yy y y y '''⎧=+⎪⎨'==⎪⎩的解九、[7分]求方程24x y y e ''-=的通解十、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）证明阿贝尔定理：若()0000n n n a xx ∞=≠∑收敛, 则当0x x <时,幂级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛; 若10n n n a x ∞=∑发散, 则当1x x >时,幂级数n n n a x ∞=∑发散. 十一、 [7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）将函数()()210f x x x π=-≤≤展开成余弦级数十二、 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）求幂级数13nnn x n∞=+∑的收敛半径和收敛域.十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）计算二重积分Dxy dxdy ⎰⎰, 其中D 是圆域222x y a +≤十一、 [7分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dy dx 及dz dx 十二、 [6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度,并指出z 在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向z 的值不变?参考答案:一、()321201;2;3;;,6ya dx dyf x y dx π--⎰；二、231222222422z y y y f f f x y x x x∂=--∂∂； 三、最大值()2,04f ±=，最小值()0,24f ±=-；五、289a ；六、343R π；七、2π；八、()1112x x y e e --=+；九、2221214x x x y c e c e xe -=++；（非化工类：十、参看教材证明；十一、仿教材例子；十二、仿教材例子）（化工类：十、412a ；十一、()()16,21313x z dy dz xdx y z dx z +=-=++；十二、方向导数5-，梯度{}3,3-，减少最快方向{}3,3-，值不变方向{}1,1±）。

2009—2010学年度第二学期期末试卷高 一 数 学数学试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上；2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos 3π⎛⎫-=⎪⎝⎭A.12-B.12Ｃ. Ｄ2．若向量(2,1),(4,1),//,a b x a b ==+则x 的值为（ ） A ．1 B ．7 C ．-10 D ．-93.sin cos cos sin 126126ππππ+的值为（ ）A.12D.14.若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a = ，AD b = ，则BE =A.12b a +B.12a b +Ｃ.12b a -Ｄ.12a b -5.若0a b <<，则 A.11ab< B.01ab << C. 2ab b > D.b a a b> 6.若向量()1,3a m =+- ，()1,1b m =-，a b = ，则实数m 为A.21-B.2 Ｃ.2- Ｄ.不存在7.1sin cos 8αα=，且24παπ＜＜，则cos sin αα-的值为A.43B.34-C.23D.8.函数()sin y A x ωϕ=+ （其中0A >）的部分图象 如图所示，则此函数解析式为A.2sin 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.2sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.把函数cos 2y x =的图象沿向量平移后得到函数sin(2)36y x π=-+的图象，则向量a是A.,33π⎛⎫ ⎪⎝⎭ Ｂ.,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭Ｃ.,312π⎛⎫⎪⎝⎭Ｄ.,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.若1()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中[]0,2x π∈，则()f x 的值域为A.[]2,2-B.2⎡⎤⎣⎦C.⎡⎣D.⎡-⎣11.已知tan α，tan β是方程240x ++=两根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+等于 A.π-32B.π-32或3π C.3π-或π32 D.3π12.在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC BC ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是（ ）A. 13B. 12C. 23D. 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.若实数0x >，则4x x+的最小值是___ ___.14.ABC ∆中，已知4a =，6b =，3sin 4B =，则A ∠=___ ___. 15.()1,C y 分AB 的比为35，()2,5A -、(),3B x -，则x y += .16.下面五个命题：（1）若α、β都是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；（2）2sin sin y x x=+在()0,x π∈的最小值是 （3）在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形；（4）若0a >，0b >，0m >，且1a b<，则a a mb b m +<+；（5）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的值域是⎡⎤⎣⎦.其中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题序号）. 三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知(1,2)a = ，(1,0)b =-.（1）向量a b λ+ 与a b -共线时，求λ的值；（2）向量a b λ+ 与a b -垂直时，求λ的值.18.（本小题满分12分）已知cos α=，sin β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin α和cos β的值；（2）求αβ+.19.（本小题满分12分）已知正数x 、y 满足3xy x y =++. （1）求xy 的范围；（2）求x y +的范围.20. （本小题满分12分）一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45 距离为10海里的B 处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105 的方向漂移，我军舰艇立即以21海里/时的速度前往营救.求出我军舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，问能否营救成功？21.（本小题满分12分）已知(5sin ,cos )a x x =，(cos ,)b x x =- 其中x R ∈，()f x a b =⋅ .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 图象的对称中心；(3)求()f x 在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.22.（本小题满分12分）是否存在实数a ，使253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由. A。

北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

09级高数（下）期末考试题及参考答案一、选择题（每小题2分, 共计12分） 1. 微分方程 是( B )（A ）可分离变量方程 （B ）齐次方程 （C ）一阶线性方程 （D ）伯努利方程2. 函数 的定义域是（ A ）（A ）}1),{(22<+=y x y x D （B ）}1),{(22≥+=y x y x D （C ）}1),{(22=+=y x y x D （D ）}1),{(22≤+=y x y x D 3. 对于函数 , 在点 处下列陈述正确的是( C )（A ）偏导数存在⇒连续 （B ）可微⇔偏导数存在 （C ）可微⇒连续 （D ）可微⇔偏导数连续4. 设 : 则三重积分 等于（ B ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππρϕϕρϕθd d d （B ）⎰⎰⎰ππρϕϕρϕθ202013cos sin d d d（C ）⎰⎰⎰2012sin ππρϕρϕθd d d （D ）⎰⎰⎰ππρϕϕρϕθ2013cos sin d d d5. 设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成, L 取负方向, 函数 在D 上具有一阶连续偏导数, 则 A （A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(（B ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x P y Q )( （C ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )( （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )( 二、填空题（每小题2分, 共计12分） 1. 微分方程 的通解为___ ____.2. 设函数 , 则 。

3. 交换积分次序后, ____ ____4. 设平面区域D ： , 则5．设曲线L 是连接 和 的直线段, 则曲线积分 ____ 6. 函数 在 处的泰勒级数为____ _____. 三、求解下列问题（每题7分, 共63分） 1. 求微分方程 的通解 解：令 , 则 , , 分离变量: 两边积分, 得 即 , , 2.设 , 求222y xy x y x x z +++=∂∂，222y xy x y x y z +++=∂∂所以 =∂∂+∂∂y z y x z x 2222y xy x xy x +++2222yxy x y xy ++++2= 3. 设 , 且 具有二阶连续偏导数.求 解： , ,)(2221212112xf f y f xf f yx z++++=∂∂∂2221211)(xyf f f y x f ++++= 4. 求椭球面 在点（1, 1, 1）处的切平面方程和法线方程。

南昌大学 2009～2010学年第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设()2,3,5a=--，(),1,1b λ=-若a b ⊥，则λ=_____.2. 空间曲线cos xt =，sin y t =，z t =在点,,224π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线方程是_________________. 3. 计算积分220sin yxI dy dx xππ==⎰⎰_______. 4. 设级数1n n a ∞=∑收敛，1n n b ∞=∑发散，则级数()1n n n a b ∞=+∑必是________.5. 函数214y x=+展开成x 的幂级数为__________.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++= 的关系是 （ ）（A ）直线在平面上（B ）直线与平面平行但直线不在平面上 （C ）直线与平面垂直 （D ）直线与平面相交但不垂直2．函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微分，则（ ）（A ）(),f x y 在点()00,x y 处具有连续偏导数（B ）(),f x y 在点()00,x y 处不一定连续（C ）()lim ,→→00x x y y f x y 存在（D ）(),f x y 在点()00,x y 的任一邻域内有界3．设ln =yx z，则==01x y dz = （ ）（A ）e （B ）dx dy --（C ）dx dy -+ （D ）x x e ydx e dy ---+4．若级数()13nn n a x ∞=-∑在1x =处收敛，则此级数在4x =处 （ ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5．函数3322339z x y x y x =-++-的极大值点为（ ）（A ）()1,2 （B ）()3,0- （C ）()1,0 （D ）()3,2-三、(本题满分8分) 求通过两点()11,1,1M 和()20,1,1M -且垂直于平面1xy z ++=的平面方程．四、(本题满分8分) 设(),yzxf xy e =，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ∂∂和2z x y∂∂∂．五、(本题满分8分)计算二重积分D⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Ry += ()0R >所围成的闭区域．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分()231L x y ds -+⎰，其中L 是直线2y x =-从点()1,3--到()1,1-的直线段．七、(本题满分9分)计算曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222xy z R ++=的外侧．八、(本题满分9分) 求微分方程244x y y y e '''-+=的通解．九、(本题满分9分)求幂级数41141n n xn +∞=+∑的收敛域及和函数．十、(本题满分11分) 已知函数(),uu x y =有2222ax y x y bdu dx dy x y x y+-+=-++．（1）求a 、b 的值；（2）计算2222L ax y x y bI dx dy x y x y+-+=-++⎰，其中L 为221xy +=取正向．南昌大学 2009～2010学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设()2,3,5a=--，(),1,1b λ=-若a b ⊥，则λ=4.2. 空间曲线cos xt =，sin y t =，z t =在点,,224π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线方程是x y z π---3. 计算积分22sin yxIdy dx xππ==⎰⎰1.4. 设级数1n n a ∞=∑收敛，1n n b ∞=∑发散，则级数()1n n n a b ∞=+∑必是发散.5. 函数214y x=+展开成x 的幂级数为()2114n nn n x ∞+=-∑.三、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++= 的关系是 （ A ）（A ）直线在平面上（B ）直线与平面平行但直线不在平面上 （C ）直线与平面垂直 （D ）直线与平面相交但不垂直2．函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微分，则（ C ）（A ）(),f x y 在点()00,x y 处具有连续偏导数（B ）(),f x y 在点()00,x y 处不一定连续（C ）()lim ,→→00x x y y f x y 存在（D ）(),f x y 在点()00,x y 的任一邻域内有界3．设ln =yx z，则==01x y dz = （ C ）（A ）e （B ）dx dy --（C ）dxdy -+ （D ）x x e ydx e dy ---+4．若级数()13nn n a x ∞=-∑在1x =处收敛，则此级数在4x =处 （ D ）（A ）敛散性不确定 （B ）发散（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5．函数3322339zx y x y x =-++-的极大值点为（ D ）（A ）()1,2 （B ）()3,0- （C ）()1,0 （D ）()3,2-三、(本题满分8分) 求通过两点()11,1,1M 和()20,1,1M -且垂直于平面1xy z ++=的平面方程．解: 设已知平面法向量为1n ，则()11,1,1n =，()121,0,2M M =取()1122,1,1nn M M =⨯=--所求平面方程为()()()21110x y z -----=即20xy z --=四、(本题满分8分) 设(),yzxf xy e =，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ∂∂和2z x y∂∂∂．解: 令u xy = yv e =u zf x y f x∂=+∂ ()22y yu v u uu uv z xf e f xf xy xf e f x∂=++++∂五、(本题满分8分)计算二重积分D⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Ry += ()0R >所围成的闭区域．解:sin 2002R Dd d πθθρ=⎰⎰⎰⎰()3333320214c o s 339R R d R R πθθπ=--=-⎰ 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分()231L x y ds -+⎰，其中L 是直线2y x =-从点()1,3--到()1,1-的直线段．解: ()()112312321L x y ds x x -⎡-+=--+⎣⎰⎰()1171x d x -=-+=七、(本题满分9分) 计算曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z R ++=的外侧．解:()3332223x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰245000123sin 5R d d r dr R ππθϕϕπ==⎰⎰⎰八、(本题满分9分) 求微分方程244x y y y e '''-+=的通解．解: 先求440y y y '''-+=的通解特征方程为2440rr -+=，特征根122r r ==，所以对应齐次方程的通解为()212x x Y C C e =+又设非齐次方程的特解为22x y Ax e *=，则12A =，所以特解为2212x y x e *= 所以244x y y y e '''-+=的通解为：()2221212xxy Y y C C x ex e *=+=++九、(本题满分9分)求幂级数41141n n xn +∞=+∑的收敛域及和函数．解: （1）()()1limn n n u x u x +→∞=4544145lim41n n n x n x x n ++→∞+=+当41x <时，即11x -<<时原级数绝对收敛当1x =时，级数化为1141n n ∞=+∑，发散当1x =-时，级数化为1141n n ∞=-+∑，发散所以收敛域为()1,1-（2）设41141n n x n +∞=+∑的和函数为()S x ，则()4141444111()41411n n nn n n x x x S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫''==== ⎪++-⎝⎭∑∑∑又()00S=，所以()44111ln arctan 4121xx x S x dx x x x x+==-++--⎰ ()1,1x ∈-十、(本题满分11分)已知函数(),uu x y =有2222ax y x y bdu dx dy x y x y+-+=-++．（1）求a 、b 的值；（2）计算2222L ax y x y bI dx dy x y x y+-+=-++⎰，其中L 为221x y +=取正向．解: （1）()222222P x axy y y x y ∂--=∂+，()2222222Q x xy bx y x x y∂-+-=∂+要使P Qy x∂∂=∂∂，所以1a =，0b =（2）2222202L x y x y I dx dy d x y x yπθπ+-=-=-=-++⎰⎰。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试《 高等数学A （二）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ ） (A) 41 (B) 40(C) 42 (D) 392、设圆域D ：x 2+y 2≤1,f 是域D 上的连续函数，则答 ( )3、如果81lim1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a (A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛；(C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散；答( )--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页4、设Ω为球体x 2+y 2+z 2≤1,f (x ,y ,z )在Ω上连续，I =x 2yzf (x ,y 2,z 3),则I =(A) 4x 2yzf (x ,y 2z 3)d v (B) 4x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v(C) 2x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (D) 0 答 ( )5、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分（ ）二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra2、=-=+++dz z y x xyz 处全微分在)1,0,1(,22223、设L 为圆周122=+y x ，则⎰=Lds x 24、如果幂级数n n x a ∑在x = -2处条件收敛，则收敛半径为R=5、曲面32=+-xy e z z 在（1，2，0）处切平面方程为三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分）已知22)1()1(ln -+-=y x u ，试求：2222yux u ∂∂∂∂+第 3 页 共 6 页2、（本小题8分）求函数223333y x y x z --+=的极值。

石家庄2009～2010学年度第二学期期末考试试卷高一数学（A 卷）（时间120分钟，满分150分）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线313y x =+的倾斜角是 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π2．如果a 〈0,b>0,那么下列不等式中正确的是 A ．a b -<B ．11ab< C ．22ab < D ．||||a b >3．右图所示几何体可以由下列哪个平面图形绕直线l 旋转一周得到的4．在等比数列{}na 中，若na >0且3764a a=，则5a 的值为A ．2B ．4C ．6D ．8 5．原点到直线x+2y-5=0的距离为 A ．1 B 3 C ．2 D 56．已知,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A ．l ,,l ααββ⊥⊥⊂若则 B ．l////l ααββ⊂若，，则 C ．l ,//l ααββ⊥⊥若，则 D ．l//,l ααββ⊥⊥若，则7．下图是一系列有机物的结构简图，图中“小黑点”表示原子,两黑点之间的“短线"表示化学键，按图中结构第10个图中有化学键的个数是8．如图是正方体的平面展开图，则该正方体中BM 与CN 所成的角是A ．30°B ．15°C ．60°D ．90°9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，下列条件中能够判断ABC ∆是等腰三角形的为 A ．asinB=bsinA B ．acosB=bsinA C ．asinA=bsinB D ．asinB=bcosB 10．当x>1时，不等式1x+a x 1≥-恒成立，则实数a 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．6第II 卷(非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。