中考数学复习指导：巧求坐标平面内三角形的面积

巧求坐标平面内三角形的面积在平面直角坐标系内求三角形面积是一种常见的题型，它也是坐标系内多边形面积计算的基础．下面分为三种类型介绍其解题方法与技巧，供同学们参考．一、一边在x 轴或y 轴上例1 如图1，△AOC 的三个顶点的坐标分别是A(4，0)，O(0，0)，C(4，4)，求△AOC 的面积．分析 要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高．由图1可知，△AOC 的边AO 在x 轴上，容易求得AO 的长，而AO 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值．解 因为A(4，0)，0(0，0)，所以AO ＝4－0＝4．因为C(4，4)，所以C 点到x 轴的距离为4，即AO 边上的高为4，所以△AOC 的面积为12×4×4＝8． 二、一边与x 轴或y 轴平行例2 如图2，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，－1），B （5，－1），C(3，3)，求△ABC 的面积．分析 由A （1，－1），B(5，－1)两点的纵坐标相同，可知边AB 与x 轴平行，因而AB 的长度易求，作AB 边上的高CD ，则D 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同，也是－1，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得△ABC 的面积．解 因为A ，B 两点的纵坐标相同，所以边AB 平行于x 轴，所以AB ＝5－1＝4．作AB 边上的高CD ，则D 点的纵坐标为－1，所以CD ＝3－（－1）＝4，所以△ABC 的面积为12×4×4＝8． 三、三边都不与坐标轴平行或在坐标轴上 例3 如图3，在直角坐标系中，△ABC 的顶点均在网格点上，其中A 点坐标为(3，－1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(2，2)，则△ABC 的面积为_____．分析本题中△ABC的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解．可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题．解由题意知，B(5，3)，C(2，2)．如图4，过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点E．过点曰分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC的延长线于点D，交EA的延长线于点F．则长方形BDEF的面积为3×4＝12；△BDC的面积为12×1×3＝1.5；△CEA的面积为12×1×3＝1.5；△ABF的面积为12×2×4＝4．所以，△ABC的面积为：长方形BDEF的面积－（△BDC的面积＋△CEA的面积＋△ABF的面积）＝12－(1.5＋1.5＋4)＝5)．。

坐标轴中三角形面积求法坐标轴中三角形面积求法，听起来有点复杂，其实啊，咱们把它说得简单点儿，就像在喝茶聊天一样。

大家好，今天咱们来聊聊这个三角形的面积，特别是在坐标轴里。

这种话题听上去似乎有些学术，其实呢，生活中随处可见，就像你在公园看到的那些小三角形花坛。

咱们得明白，三角形是怎么回事。

你想啊，三角形就像是那几根小棍子拼在一起，形成一个小家伙，尖尖的角，挺可爱的。

不过，面积呢，就是告诉咱们，这个小家伙有多大。

要说面积，很多人可能会想到公式，那一堆数字和符号。

不过，别急，咱们今天就用最简单的方法来搞定它。

想象一下，一个三角形的三个顶点坐标，咱们可以用字母A、B、C来表示。

假设A在( x1, y1)，B在( x2, y2)，C在( x3, y3)。

哎呀，听起来有点麻烦，其实你把这几个点画在坐标轴上，看看它们的相对位置，立马就明白了。

像是在拼图一样，三角形就会在纸上跳出来。

我们用个小公式来求面积。

其实这个公式就像是个秘密武器，能让你轻松搞定这道难题。

三角形面积的计算公式是：面积= 0.5 × | x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2) |。

看上去有点多，但慢慢来，别慌。

这个公式其实就是把每个顶点的坐标代进去，然后做一堆简单的加减乘法。

听起来是不是不那么可怕了？我们用个例子来说明一下。

假设A(1, 2)，B(4, 5)，C(7, 2)。

首先把这些坐标带入公式，像是在做一道简单的数学题。

你会得到：面积= 0.5 × | 1(5 2) + 4(2 2) + 7(2 5) |。

动手算一算，哇，结果会出来的，别说，真的很简单呢！这个小三角形的面积，就像你的心情一样，瞬间就能搞定。

想想在生活中，你经常能看到各种各样的三角形。

有时候在建筑物的屋顶上，有时候在那些美丽的花园里，甚至在吃的东西上，像三角饺子。

这些三角形都和我们的公式有着千丝万缕的联系。

你一旦掌握了这个求面积的方法，就像拥有了一把打开三角形世界的钥匙，随时随地都能找到它们的面积，真是太酷了。

小专题(五)巧求坐标平面内三角形的面积
类型1三角形的一边在坐标轴上
求平面直角坐标系中三角形的面积，关键是确定底和高．其中，在坐标轴上三角形的一边可以作为底，另一点到坐标轴的距离即为对应的高，从而求出面积．
1．如图，△AOC的三个顶点的坐标分别是A(4，0)，O(0，0)，C(4，5)，求△AOC的面积．
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(4，0)，B(－2，0)，C(2，4)，求△ABC的面积．
类型2三角形的一边与坐标轴平行
三角形中平行于坐标轴的一边上的高平行于另一坐标轴，因此可结合平行于坐标轴的线段上点的坐标特点分别求出三角形的底和高，从而求出面积．
3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(5，－1)，C(3，3)，求△ABC的面积．
4．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0，8)，B(－6，3)，C(4，3)．画出△ABC，并求出它的面积
类型3求坐标平面内任意三角形的面积
若三角形的底和高不能直接求出，可运用割补法将三角形的面积转化成能直接求解的图形的面积之和或差来计算．
5．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格点上，其中A点坐标为(3，－1)，B点坐标为(5，3)、C点坐标为(2，2)，则△ABC的面积为________．。

如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。

下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。

先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。

很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。

这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。

位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。

再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。

例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。

分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。

我们不妨试试下面的方法。

分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。

易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。

专题一：如何求坐标平面内三角形的面积一、三角形的一边在坐标轴上例1.已知点A(4.5,5),B(6,0),C(-2,0),求△ABC的面积.例2.已知点A(0,5),B(0,-1),C(-4,-3),求△ABC的面积.二、三角形的一边与坐标轴平行例 3.已知点A(2,3),B(2,-4),C(6,1),求△ABC的面积.例4.已知点A(-4,3),B(2,3),C(0,7),求△ABC的面积.三、坐标平面内任意三角形面积的求法例5.已知点A(-2,1),B(1,-3),C(3,4),求△ABC的面积.变式：已知三角形ABC的三点坐标为A（0，1）B（2，0）C（4，3）（1）求三角形ABC的面积.（2）设点P在坐标轴上，且△ABP于△ABC面积相等，求点P的坐标.1、平面直角坐标系中，已知点A （2，3）在坐标轴上有一点P ，满足△AOP 是等腰三角形，求点P 的坐标。

2、如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，（1）求D 、E 两点的坐标．（2）连接OE 交AD 于点F ，求F 的坐标3、解方程()()221,221 5.x y x y -=-⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 11,32120;24x y x y+⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 34,2312,6.x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩4、（1）()2210610275231---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--π（2）()()220122011)21(814322322----+5、在等式2y ax bx c =++中，当1x =-时，0;y =当2x =时，3;y =当5x =时，60.y =求,,a b c 的值6、已知⎩⎨⎧==34y x 是关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=--=+21by x y ax 的解，求出a +b 的值7、已知22012()x y +与20132--y x 的值互为相反数，求：（1）x 、y 的值；（2）20122013y x +的值．8、已知a ，b ，c 都是实数，且满足(2－a )2＋82++++c c b a ＝0，且ax ２＋bx ＋c ＝0，求代数式3x 2＋6x ＋1的值．。

平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。

首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。

则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。

下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。

设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。

我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。

除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。

具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。

3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。

以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。

总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。

这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。

无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。

平面直角坐标系内三角形面积的求法初探建始县长梁初级中学 刘代荣 123997795285在平面直角坐标系内求三角形面积的问题，一般要根据三角形各顶点坐标的特征确定方法，如果有一边平行或在坐标轴上时，就选择这一边为底和这边上的垂线段为高求其面积，如果不具备上述条件,则应通过作适当的辅助线转化为特殊图形的面积之差（或和）求解．现举例说明如下．一. 三角形有一边在坐标轴上例1. 如图1，已知A （-2，0），B （4，0），C （2，3），求的面积． 分析：由于A 、B 两点的纵坐标都是0， 所以AB 边在x 轴上．因此，将AB 作为三角形的底边，过点C 作轴，垂足为D ，再根据坐标的意义分别求出AB 的长和AB 边上的高CD 的长，即可解决问题．解：如图，过点C 作轴，垂足为D ，因为A （-2，0），B （4，0），所以426AB =+=又因为C （2，3），所以点C 到x 轴的距离为3，即AB 边上的高CD=3 所以16392ABC S =创=． 说明：当三角形有一边在坐标轴上，即在x 轴（或y 轴）上时，求面积的关键就是求出另一个顶点到x 轴（或y 轴）的距离，这个距离就等于这个点的纵坐标（或横坐标）的绝对值．二. 三角形有一边平行于坐标轴例2. 如图2，已知A （-5，-2），B （2，2），C （2，-3），求的面积．分析：由于B 、C 两点的横坐标都是2，所以线段BC 平行于y 轴，因此，我们以BC 为三角形的底边，过点A 作AD BC ^，垂足为D ，再根据坐标的意义分别求出BC 的长和BC 边上的高AD 的长，即可求出这个三角形的面积． 解：过点A 作AD BC ^，垂足为D ．因为B （2，2），C （2，-3），所以235BC =+=．又因为A （-5，-2），所以点A 到BC 的距离为52+，即BC 边上的高AD=5． 所以，15512.52ABC S =创=． 说明：当三角形有一边平行于x 轴或y 轴时，关键是求出另一个顶点到这边的距离．三. 三角形没有一边在坐标轴上也没有一边平行于坐标轴例3. 如图3， 已知A （-5，-2），B （4，3），C （2，-3），求的面积． 分析：由于A 、B 、C 三个点中既没有横坐标相同的点也没有纵坐标相同的点，也就是就是说不存在一边平行于x 轴（或y 轴）．因此，我们通过构造某边上的高，求出其高，再求面积就有点困难了．我们可以采用割补法，把不规则图形向规则图形进行转化．具体办法是：分别过A 、B 、C 三个点中纵坐标最大的和最小的点作x 轴的平行线；再分别过A 、B 、C三个点中横坐标最大的和最小的点作y 轴的平行线，这样ABC 的面积就可以转化成一个矩形的面积与与几个有一边平行于x 轴（或y 轴）的三角形的面积之差了解：如图，过点C 作FD ∥x 轴，过点B 作BE ∥x 轴，过点A 作EF ∥y 轴，过点B 作BD ∥y 轴，则四边形BEFD 是一个矩形．因为A （-5，-2），B （4，3），C （2，-3），所以可以算出BE=9，BD=6，CD=2，CF=7，AF=1，AE=5．所以ABC ABE AFC DBC S S S S S =---矩形BEFD1119695176222222=?创-创-创= 说明：三角形没有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）时，往往把图形进行转化．通常是作出“包围”这个三角形的矩形．具体办法是：分别过三个顶点中纵坐标最大的点和最小的点作x 轴的平行线；再分别过三个顶点中横坐标最大的点和最小的点作y 轴的平行线，这样三角形的面积就可以转化成一个矩形的面积与几个有一边平行于x 轴（或y 轴）的三角形的面积之差了．总之，在坐标平面内求三角形的面积要善于转化．转化是数学中的重要思想，在学习数学的过程中，转化的思想无处不在，掌握了转化的思想，学习数学就会事半功倍．。

如何求平面直角坐标系中三角形的面积在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。

下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。

方法一：行列式法行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。

设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

首先将三个顶点的坐标依次排列成行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)然后将A点的坐标复制到下方形成两行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。

行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。

方法二：海伦公式海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。

假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。

首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。

根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。

总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。

三角形的面积计算在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑工程中，需要计算地基的面积以确定施工方案；在地理测量学中，需要求解地理图形的面积和边长，以准确描述地理实体特征。

因此，掌握求解三角形面积的方法是十分重要的。

总结起来，通过行列式法和海伦公式，我们可以准确求解平面直角坐标系中的三角形面积。

无论是使用繁琐的行列式法，还是简便的海伦公式，都能满足求解三角形面积的需求。

巧用三角形面积的坐标公式解题有人曾说，“三角形就是数学。

”这句话充分体现了三角形在数学中的重要性，三角形几何学中的很多公式是解决各种问题的基础。

在本文中，我们将介绍“坐标公式”，它是一种非常有用的公式，可以帮助我们计算三角形的面积。

三角形的面积可以通过“坐标公式”来计算。

这种公式假定三个顶点的坐标是(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)。

坐标公式通过如下公式计算三角形的面积：S= 1/2|x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)|坐标公式能够计算出三角形的面积，但它最大的优势是能够计算出非标准三角形的面积。

例如，如果三角形的三个顶点坐标不是整数，坐标公式仍然可以得到准确的答案。

此外，坐标公式还可以通过重新定义三个顶点的坐标来应用。

这意味着，我们可以轻松计算出同一个三角形的面积，只要坐标不变，就可以得到正确的结果。

另外，我们可以使用坐标公式来计算出一个三角形的外接圆半径。

使用三角形的三个顶点坐标，可以通过如下公式计算出外接圆半径： R = (xy1+xy2+xy3)/2从这里可以看出，坐标公式不仅可以用来计算三角形的面积，还可以用来计算出外接圆半径，从而更加方便地计算出各种关于三角形的参数。

此外，坐标公式还可以用来解决一些基本的几何问题。

例如，我们可以用坐标公式来解决求两点之间的距离、求两点之间的平行四边形面积以及求三角形余弦定理的问题。

总之，坐标公式是一种非常强大的公式，它可以用来计算三角形的面积和外接圆半径，以及解决一些基本的几何问题。

因此，它是一种很有用的公式，可以为几何学的学习和应用带来极大的帮助。