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事实上，根据内积的定义可知 x (x, x) 0 ，并且 x 0 当且仅当 x 0．而
kx (kx, kx) k k(x, x) k 2 (x, x) k (x, x) k x ，
进一步，因为
x y 2 x y, x y x, x 2 Rex, y y, y ，
而由 Cauchy-Schwarz 不等式知
定理 3. 1.1 设 p,q 为共轭指数，则对任意的实数 0, 0 ，
不等式
p q
pq
（3.1.2）
成 立 （ 如 果 p q 2 ， 那 么 （ 3.1.2 ） 就 是 最 基 本 的 不 等 式
2 2 2 ）．
证明 当 0 或 者 0 时，（ 3.1.2）显 然成立，以下假设
（2）对任意的 x V ， x x ；
（3）对任意的 x, y V ， x y x y
（4）对任意的 x, y V ， x y x y ．
如果V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间，而 P 是线性空间 Pn 上
的一种范数，在V 中取定一个基 e1, e2 ,, en ，那么对任意的 x V ，存
a V ，如果数列的极限 lim n
xn a
0 ，则称 n 趋于无穷大时，点
列 {xn } 按范数
以a
为极限，记为 lim n
xn
a ．这一定义显然是 R1
中数列极限的推广，其中起本质作用的就是V 上的范数 ．
例 3.1.1 内积空间是赋范线性空间．即如果V 是实的或复的内积 空间， (x, y) 是V 上的内积，那么 x (x, x) 是V 上的范数．
注 3.1.1 定义 3.1.1 中的条件（1）体现了范数是普通长度概念
的推广，而条件（2）及（3）则分别对应着线性空间V 与 P 上的数
乘运算及V 上的加法运算．
注 3.1.2 设 (V , ) 是一个赋范线性空间，那么利用V 上的范
数 ，可以描述V 中点列的收敛性：设{xn} 是V 中的一个点列，
第3章 矩阵范数及其应用
为了描述线性空间中点列的收敛性，需要引进范数的 概念．它是实数绝对值概念的推广．本章主要介绍线性空间
C n 上的向量范数和 Cmn 上的矩阵范数以及二者之间的相
容性关系等内容，为以后各章的学习奠定必要的理论基础．
3.1 向量范数
3.1.1 向量范数的定义及其基本性质
定 义 3.1.1 设 V 是 数 域 P 上 的 线 性 空 间 ， 如 果 对 于任 意 的 x V ，都有唯一的一个实数 x 与 x 对应，并且满足下列条件：
Rex, y x, y x, xy, y x y ，
所以
x y 2 x 2 2 x y y 2 x y 2 ，
即 x y x y ，所以 x (x, x) 是V 上的范数．
按照范数的三条公理，容易证明范数还具有以下性质：
（1）当 x V 并且 x 0 时， 1 x 1 ； x
否则（3.1.3）显然成立．令非负实数
ak
n
1,
( ak p ) p
k 1
那么由（3.1.2）知
bk n
．
1
( bk q )q
k 1
n
(
ak
1 n
ak p ) p (
bk
1
ak p
n
bk q
n
，
bk q ) q p ak p q bk q
k 1
k 1
k 1
k 1
上式两边对 k 1,2,, n 求和得
0, 0．令
( ) p q ，
pq
那么
( ) q1 ，
所以函数 有唯一驻点
1
p
0 q1 p1 q ，
而 ( ) (q 1) q2 0 ， 因 此 函 数 在 0 点 取 得 最 小 值
(0 ) 0 ，从而( ) (0 ) 0 ，即
p q ．
（1）正定性：对于任意的 x V ， x 0 ，并且 x 0 当且仅 当 x 0；
（2）齐次性：对于任意的． k P, x V ， kx k x ； （3）三角不等式：对于任意的 x, y V ， x y x y ， 则称实数 x 为V 中元素 x 的范数．
赋予范数 的线性空间V 称为赋范线性空间，记为 (V, ) ．
n
1
n
1
n
1
( ak bk p ) p ( ak p ) p ( bk p ) p ．
k 1
k 1Βιβλιοθήκη k 1（3.1.4）3.1.3 Cn上的向量范数
线性空间 C n 上的范数，称为向量范数．下面先介绍一些 C n 上常用
的向量范数．
例 3. 1.2 给定常数 p [1,) ，对任意的 x x1, x2,, xn T Cn ，
pq
利用不等式（3.1.2），我们能够得到下面著名的 Hölder 不等式．
推论 3. 1.1 设 ak ,bk C, k 1,2,, n ， p,q 为共轭指数，那么
n
n
1n
1
ak bk ( ak p ) p ( bk q )q ．
k 1
k 1
k 1
（3.1.3）
证明 假设 a1, a2,, an 不全为零，并且 b1,b2 ,,bn 也不全为零，
在唯一的向量 (x1, x2 ,, xn ) Pn ，使得 x x1e1 x2e2 xnen ，
在此意义下 x 与 (x1, x2 ,, xn ) 一一对应，我们定义
x (x1, x2,, xn ) P ，
（3.1.1）
容易验证 是V 上的一种范数．反之，给定V 上的一种范数 ，按照
（3.1.1）式，也可以得到 P n 上的一种范数．因此，要研究抽象的有限 维线性空间上的范数，只需研究具体的线性空间 P n 上的范数即可．
3.1.2 几个著名的不等式
为了介绍范数理论，我们需要了解一些相关的不等式知识，当然，
它们在许多其它场合也是非常有用的．如果常数 p 1, q 1, 并且 1 1 1，则称 p,q 为共轭指数． pq
n
k1 ( n
ak
1 n
ak p ) p (
bk bk
1
q)q
1 1， pq
k 1
k 1
n
n
1n
1
所以， akbk ( ak p ) p ( bk q )q ．
k 1
k 1
k 1
利用 Hölder 不等式，又可以得到下面的 Minkowski 不等式.
推论 3. 1.2 设 ak ,bk C, k 1,2,, n ，常数 p 1，那么
