2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语阶段滚动检测理北师大版

第一节集合命题分析预测学科核心素养从近五年的全国卷的考查情况来看，该节是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，均以集合的基本运算为主，同时考查不等式的求解.本节主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，考查考生的分类讨论思想和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第1页知识点一元素与集合、集合间基本关系1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B•温馨提醒•1.集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C. 2．含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P〖解析〗因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a∉P.〖答案〗D2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A．6个B．5个C．4个D．3个〖解析〗由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．〖答案〗A3．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为()A．1 B．2C．3 D．4〖解析〗由M∪N＝M，得N⊆M.又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N 的个数为4.〖答案〗D知识点二集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}二级结论A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．必明易错1．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．(2，3〗B ．(－∞，1〗∪(2，＋∞)C ．〖1，2)D ．(－∞，0)∪〖1，＋∞)〖解 析〗因为∁U A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪〖1，＋∞)． 〖答 案〗D2．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________． 〖答 案〗{x |x 是直角}3．(易错题)已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．〖解 析〗易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.〖答 案〗0或12授课提示：对应学生用书第2页题型一 集合的概念与关系1.（2021·长沙模拟）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A.M N B.N M C.M ∈ND.N ∈M〖解 析〗对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x ＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M N . 〖答 案〗A2.（2021·西安五校联考）已知集合A ＝{x |－x 2＋2 018x ≥0}，B ＝{x ∈N |y ＝lg （3－x ）}，则集合A ∩B 的子集个数是（ ） A.4 B.7 C.8D.16〖解 析〗A ＝〖0，2 018〗，B ＝{x ∈N |x ＜3}，A ∩B ＝{0，1，2}，故集合A ∩B 的子集个数是8.〖答案〗C3.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为__________. 〖解析〗①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，些时B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意.综上所述，实数m的取值范围为〖－2，2）.〖答案〗〖－2，2）4.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为__________. 〖解析〗因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.〖答案〗（16，＋∞）1.集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、V enn图或图像帮助分析.题型二集合的基本运算集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：（1）集合的基本运算；（2）利用集合运算求参数或范围.〖例1〗（1）（2020·高考全国卷Ⅱ）已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A.{－2，3} B.{－2，2，3} C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－1，0，2，3}〖解析〗 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，∴A ∪B ＝{－1，0，1，2}.又U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U （A ∪B ）＝{－2，3}. 〖答案〗 A（2）（2021·焦作模拟）若集合A ＝{x |2x 2－9x ＞0}，B ＝{y |y ≥2}，则（∁R A ）∪B ＝（ ） A.⎣⎡⎦⎤2，92 B.∅C.〖0，＋∞）D.（0，＋∞）〖解析〗 因为A ＝{x |2x 2－9x ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞92或x ＜0，所以∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以（∁R A ）∪B ＝〖0，＋∞）. 〖答案〗 C解集合运算问题的三个注意点考法（二） 利用集合的运算求参数〖例2〗 （1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（ ） A.－4 B.－2 C.2D.4（2）集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ） A.0 B.1 C.2D.4（3）（2021·南昌模拟）已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为（ ） A.（－∞，－3〗∪〖2，＋∞） B.〖－1，2〗C.〖－2，1〗D.〖2，＋∞）〖解析〗 （1）A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，知－a2＝1，所以a ＝－2.（2）根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. （3）集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.〖答案〗 （1）B （2）D （3）C根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤〖题组突破〗1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A.{x |2＜x ≤3} B.{x |2≤x ≤3} C.{x |1≤x ＜4}D.{x |1＜x ＜4}〖解 析〗A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2＜x ＜4}＝{x |1≤x ＜4}. 〖答 案〗C2.（2021·太原模拟）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （x ＋2）＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A.（－2，1）B.〖－1，0〗∪〖1，2）C.（－2，－1）∪〖0，1〗D.〖0，1〗〖解析〗因为集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝（－2，1〗，A∩B＝〖－1，0），所以阴影部分表示的集合为∁A∪B（A∩B）＝（－2，－1）∪〖0，1〗.〖答案〗C3.（2021·湘东模拟）若集合A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|log2（1－x）≤0}，则A∪B＝（）A.{x|－1≤x＜1}B.{x|－1＜x≤1}C.{0}D.{x|－1≤x≤1}〖解析〗法一：因为B＝{x|log2（1－x）≤0}＝{x|0＜1－x≤1}＝{x|0≤x＜1}，所以A∪B＝{x|－1≤x＜1}.法二：因为1∉A且1∉B，所以1∉（A∪B），故排除选项B，D；又－1∈A，所以－1∈（A∪B），所以排除选项C.〖答案〗A4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}.若（∁U A）∩B＝∅，则m的值为__________.〖解析〗易知A＝{－2，－1}.由（∁U A）∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}.①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件.∴m＝1或2.〖答案〗1或2集合中的核心素养（一）数学抽象——集合的新定义、新运算问题〖例1〗（1）（2021·南阳模拟）定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A.1B.0C.－1D.sin α＋cos α（2）（2021·保定模拟）设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝（）A.{x|0＜x≤1}B.{x|0≤x＜2}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜1}〖解析〗（1）因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为（重复的只列举一次）：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.（2）由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}.〖答案〗（1）B（2）D1.以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.2.解决集合的新定义问题的两个切入点（1）正确理解新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.（2）合理利用集合性质.运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.（二）创新应用——集合的新性质问题〖例2〗设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.（1）若M＝{2，3，6}，则∁U M表示的6位字符串为；（2）已知A＝{1，3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是__________.〖解析〗（1）由已知得，∁U M＝{1，4，5}，则∁U M表示的6位字符串为100110.（2）由题意可知A∪B＝{1，3，6}，而A＝{1，3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4.〖答案〗（1）100110（2）4创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.〖题组突破〗1.设A，B是有限集，定义d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数.命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）.（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立〖解析〗命题①显然正确，通过如图Venn图亦可知d（A，C）表示的区域不大于d（A，B）＋d（B，C）的区域，故命题②也正确.〖答案〗A2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________.〖解析〗由题意知A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，所以A*B＝〖－3，0）∪（3，＋∞）.〖答案〗〖－3，0）∪（3，＋∞）。

．(·高考全国卷Ⅰ改编)设命题：存在∈，>，则綈为( )．存在∈，≤．对任意的∈，>．存在∈，＝．对任意的∈，≤解析：选.因为“存在∈，()”的否定是“对任意的∈，綈()”，所以命题“存在∈，>”的否定是“对任意的∈，≤”．．(·高考湖北卷改编)命题“存在∈(，＋∞)，＝－”的否定是( )．对任意的∈(，＋∞)，≠－．对任意的∉(，＋∞)，＝－．存在∈(，＋∞)，≠－．存在∉(，＋∞)，＝－解析：选.特称命题的否定为全称命题，所以存在∈(，＋∞)，＝－的否定是对任意的∈(，＋∞)，≠－，故选.．将＋＋＝(＋)改写成全称命题是( )．存在，∈，＋＋＝(＋)．存在<，>，＋＋＝(＋)．对任意的>，>，＋＋＝(＋)．对任意的，∈，＋＋＝(＋)解析：选.全称命题含有量词“任意”，故排除、，又等式＋＋＝(＋)对于全体实数都成立，故选.．下列命题中的假命题是( )．存在∈，＝．存在∈，＝．对任意的∈，>．对任意的∈，>解析：选.当＝时，＝，故命题“存在∈，＝”是真命题；当＝时，＝，故命题“存在∈，＝”是真命题；由于＝－时，<，故命题“对任意的∈，>”是假命题；根据指数函数的性质，对对任意的∈，>，故命题“对任意的∈，>”是真命题．．命题：对任意的∈(－∞，]，≤，则( )．是假命题；綈：存在∈(－∞，]，>．是假命题；綈：对任意的∈(－∞，]，≥．是真命题；綈：存在∈(－∞，]，>．是真命题；綈：对任意的∈(－∞，]，≥解析：选.因为对任意的∈(－∞，]，≤＝，所以是真命题．又因为綈：存在∈(－∞，]，>.故选.．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①且；②或；③且(綈)；④(綈)或中，真命题是( )．①③．①④．②④．②③解析：选.当＞时，－＜－，故命题为真命题，从而綈为假命题．当＞时，＞不一定成立，故命题为假命题，从而綈为真命题．由真值表知，①且为假命题；②或为真命题；③且(綈)为真命题；④(綈)或为假命题．故选.．“命题‘存在∈，＋－<’为假命题”是“－≤≤”的( )．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件解析：选.因为“存在∈，＋－<”为假命题，所以“对任意的∈，＋－≥”为真命题．所以Δ＝＋≤，即－≤≤.所以“命题‘存在∈，＋－<’为假命题”是“－≤≤”的充要条件．．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．或(綈)．(綈)或(綈)．或．(綈)且(綈) 解析：选.命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者是命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定，即“且”的否定．选.．(·江西省三校联考)下列四个结论：①若>，则>恒成立；②命题“若－＝，则＝”的逆命题为“若≠，则－≠”；③“命题或为真”是“命题且为真”的充分不必要条件；④命题“对任意的∈，－>”的否定是“存在∈，－≤”．其中正确结论的个数是( )．．．．解析：选.记()＝－，>，则′()＝－≥，函数()在(，＋∞)上是增函数，因此当>时，()>()，即－>，>，①正确；命题“若－＝，则＝”的逆命题为“若＝，则－＝”，②不正确；由命题“或”为真不能得知命题“且”为真，反过来，由命题“且”为真命题可得知命题“或”为真，因此“命题或”为真是“命题且”为真的必要不充分条件，③不正确；命题“对任意的∈，－>”的否定是“存在∈，－≤”，④正确．综上所述，正确结论的个数是，故选.．(·昆明联考)若“：存在∈[，]，≤”是真命题，则实数的最小值是( )．．．－．－解析：选.问题转化为＝在∈[，]的取值范围，则∈[－，]，故选.．(·辽宁省五校联考)下列选项中，说法正确的是( )．命题“存在∈，－≤”的否定是“存在∈，－>”．命题“或为真”是命题“且为真”的充分不必要条件．命题“若≤，则≤”是假命题．命题“在△中，若<，则<”的逆否命题为真命题解析：选中命题的否定是：对任意的∈，－>，故不对；中当为假命题、为真命题时，或为真，且为假，故不对；中当＝时，，∈，故的说法正确；中命题“在△中，若<，则<”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选.．(·山东省实验中学第一次诊断)下列有关命题的叙述错误的是( )．若綈是的充分条件，则是綈的必要条件．若且为假命题，则，均为假命题．命题“对任意的∈，－>”的否定是“存在∈，－≤”．“>”是“<”的充分不必要条件解析：选.易知，正确；且为假，，至少有一个为假，错误；“任意”的否定是“存在”，“>”的否定是“≤”，正确；“>”一定能推出“<”，但当＝－时，满足<，但不满足>，所以“>”是“<”的充分不必要条件，正确．综上可知，选.．(·郑州调研)命题“存在∈，>”的否定是．答案：对任意的∈，≤．已知命题：存在∈，－＝，：对任意的∈，＋＋≥，若或(綈)为假命题，则实数的取值范围是．解析：若或(綈)为假命题，则假真．命题为假命题时，有≤<；命题为真命题时，有Δ＝－≤，。

第1课时集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系①a属于集合A，用符号语言记作a∈A.②a不属于集合A，用符号语言记作a∉A.(3)常见集合的符号表示(4)集合的表示法：列举法、描述法、2．集合间的基本关系A B或B A∅⊆A，∅B(B≠∅)[1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝( )A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}解析：∵∁U M＝{2,3,5}，∴N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．答案：C2．(教材改编题)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B等于( )A．{x|3≤x<4} B．{x|x≥3}C．{x|x>2} D．{x|x≥2}解析：∵B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|5x≥15}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<4}，故选A.答案：A3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为( ) A．1 B．4C．1或4 D．36解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，解得x＝1或4，故选C.答案：C4．用符号∈或∉填空：(－1,1)________{y|y＝x2}；(－1,1)________{(x，y)|y＝x2}．解析：∵{y|y＝x2}中元素是数，而(－1,1)表示一组有序实数对或一个点，∴(－1,1)∉{y|y＝x2}．(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．答案：∉∈5．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的值为________．解析：A∪B＝A⇔B⊆A，若B＝∅，则m＝0，若B ≠∅，则－1m ＝－1或－1m＝2，∴m ＝1或m ＝－12.答案：0,1，－12考点一 集合的基本概念[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 审题视点 (1)令x ∈A ，y ∈A 逐个求解x －y . (2)讨论B 中每个元素分别为3，注意互异性．解析 (1)①当x ＝0时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为0，－1，－2； ②当x ＝1时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为1,0，－1； ③当x ＝2时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为2,1,0. 综上可知，x －y 的值可能为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C. (2)∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈B ，∴当a ＋2＝3即a ＝1时，B ＝{3,5}，满足题意． 当a 2＋4＝3时，a 2＝－1无意义，故a ＝1. 答案 (1)C (2)1(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意分类讨论思想的应用．1．(2016·淮北质检)定义集合运算：A ※B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A ※B ＝{0,2,4}，∴它的所有元素之和为6. 答案：D2．(2015·高考湖北卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }＝{(x ，y )|x ＝±1，y ＝0；或x ＝0，y ＝±1；或x ＝0，y ＝0}，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }＝{(x ，y )|x ＝－2，－1,0,1,2；y ＝－2，－1,0,1,2}．A ⊕B 表示点集．由x 1＝－1,0,1，x 2＝－2，－1,0,1,2，得x 1＋x 2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能． 同理，由y 1＝－1,0,1，y 2＝－2，－1,0,1,2，得y 1＋y 2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能． 当x 1＋x 2＝－3或3时，y 1＋y 2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x 1＋x 2＝－2，－1,0,1,2时，y 1＋y 2可以为－3，－2，－1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点， 故A ⊕B 共有5×2＋5×7＝45个元素． 答案：C考点二 集合间的基本关系[例2] (1)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. (2)若集合P ＝{x |3＜x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x ＜3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( ) A ．(1,9) B ．[1,9] C ．[6,9)D ．(6,9]审题视点 (1)先化简A ，然后根据A ⊆B 借助数轴求解， (2)首先分析P 与Q 的关系，构造集合端点符合的不等式．解析 (1)由log 2x ≤2得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.(2)依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＜3a －5，2a ＋1＞3，3a －5≤22.解得6＜a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]，选D. 答案 (1)4 (2)D(1)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．(2)①通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏． ②对于集合的包含关系，B ⊆A 时，别忘记B ＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．1．已知集合A ＝{}1，2，3，B ∩A ＝{}3，B ∪A ＝{}1，2，3，4，5，则集合B 的子集的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：由题意知B ＝{}3，4，5，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8(个)． 答案：C2．(2013·高考福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：利用命题的真假判断充要条件． ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ， ∴a ∈B 且a ≠1， ∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件． 答案：A考点三 集合的基本运算[例3] (1)(2014·高考广东卷)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,2} C ．{－1,0,1,2}D ．{－1,0,1}(2)(2014·高考山东卷)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2]B ．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)审题视点(1)用Venn图求并集．(2)先将集合化简，再求交集．解析(1)根据题意画出Venn图，如图所示．故M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．答案(1)C (2)C在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.答案：D2．(2015·高考山东卷)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝( )A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)解析：由题意知B＝{x|1＜x＜3}，又因为A＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，即A∩B＝(2,3)．答案：C以集合为背景的新定义题[典例] 对于数集X＝{－1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P.例如{－1,1,2}具有性质P.(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1＝1.解题指南首先借助题目中给的实例理解“性质P”，再选取a1，利用“试解”的方法寻找a2，从而求x.【规范解答】(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，所以x＝2b，从而x＝4.4分(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y.设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0.由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一为－1，另一为1，故1∈X.6分假设x k＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n.选取a1＝(x1，x n)∈Y并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋tx n＝0，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1.8分若s＝－1，则x1＝tx n＞t≥x1，矛盾；若t＝－1，则x n＝sx1＜s≤x n，矛盾．所以x1＝1.12分阅卷点评读准题意，合理转化是突破该题的关键点．创新点评(1)本题为新定义问题，命题设制新颖．(2)内容创新：以元素与集合的关系为背景，以向量的数量积运算为载体，通过新定义将二者有机地结合起来，考查阅读理解能力和知识迁移运用能力．(3)根据逻辑分析，推理的方法，考查了创新意识和解决问题的能力．备考建议(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此问题的前提．(2)剥去新概念、新方法的外表，将陌生转化为熟悉，是解决此问题的关键．◆一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．◆两种方法Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．如全集U＝R，A＝{x|a≤x≤a＋1}，B＝{x|x<－1}，若A∩(∁U B)＝∅，则a的范围为a<－2.◆三个防范(1)注意区分几种常见集合．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)注意空集的特殊性．空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．课时规范训练[A级基础演练]1．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(∁U B)＝( )A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}∁U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．解析：∁U B＝{2,5}，A∩()答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.答案：A3．(2016·天津河西区训练)设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是( )A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∪Q＝Q D．P∩Q P解析：根据集合的定义可知P∩Q＝{2,3,4,5,6}，所以只有D选项正确．答案：D4．(2015·高考江苏卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.答案：55．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．解析：M ＝{x |－1≤x ≤3}，M ∩N ＝{1,3}． 答案：26．已知集合M ＝{}1，m ，N ＝{}n ，log 2n ，若M ＝N ，则(m －n )2 016＝__________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.即(m －n )2 016＝1或0.答案：1或07．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B . 解：(1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝±3. 检验知：a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ， ∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，所以a ＝－3.8．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.[B 级 能力突破]1．(2016·辽宁沈阳期中)已知集合M ＝{x |x >x 2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝4x 2，x ∈M，则M ∩N ＝( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1 C.{}x | 0<x <1D.{}x | 1<x <2解析：对于集合M ，由x >x 2，解得0<x <1， ∴M ＝{x |0<x <1}．∵0<x <1，∴1<4x<4.∴12<4x 2<2.∴N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪12<y <2. ∴M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1，故选B. 答案：B2．(2016·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－94，B ＝{x |x <0}，则A⊕B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：∵A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94， ∴A ⊕B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94或x ≥0.答案：C3．(2016·合肥模拟)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：图中阴影部分表示集合B ∩(∁R A )，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <32，∴∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}． 答案：D4．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1. ∴A 中的元素为椭圆x 24＋y 216＝1上的点，A ∩B 中的元素为椭圆和指数函数y ＝3x图像的交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}，共4个，故选A.答案：A5．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.答案：0或146．(2016·河南郑州质检)已知集合A ，B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：按照上述定义，若M ＝{－解析：由给出的定义知，集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ，或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 014,2 015，－2 015,2 016}．答案：{－2 014,2 015，－2 015,2 016}7．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))＞0}，N ＝{x ∈R |g (x )＜2}，则M ∩N 为______． 解析：函数f (g (x ))＝(3x －2)2－4(3x－2)＋3 ＝(3x )2－8·3x ＋15＝(3x －3)(3x－5)．由f(g(x))＞0得(3x－3)(3x－5)＞0，所以3x＞5或3x＜3，所以x＞log35或x＜1，所以M＝{x|x＞log35或x＜1}．由g(x)＜2得3x－2＜2，即3x＜4，解得x＜log34，所以N＝{x|x＜log34}．所以M∩N＝{x|x＞log35或x＜1}∩(x|x＜log34)＝{x|x＜1}．答案：{x|x＜1}第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．(2)特点：能判断真假、陈述句．(3)分类：真命题、假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件前提：条件为p，结论为q.定义：(1)若p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，称p是q的充要条件，q也是p的充要条件．(3)若p q ，且q p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．[基础自测]1．(教材改编题)给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 答案：A2．“x >2”是“1x <12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x >2则1x <12，但1x <12x >2.如当x ＝－1时，1x ＝－1<12，但x 不大于2.答案：A3．命题“若a <b ，则a －1<B －*4/5”的逆否命题是( ) A ．若a －1≥B －*4/5，则a ≥bB ．若a >b ，则a －1>B －*4/5C ．若a －1>B －*4/5，则a >bD ．若a ≥b ，则a －1≥B －*4/5解析：“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，故选A. 答案：A4．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的________条件． 解析：m ＝2⇒A ∩B ＝{4}，但A ∩B ＝4 m ＝2.答案：充分不必要5．(教材改编题)下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 解析：①a >ba 2>b 2，为假．②a 2>b 2⇒|a |>|b |，为真．③a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，为真． 答案：②③考点一四种命题及其关系[例1] (1)命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是( )A．若a＞b，则2a≤2b B．若2a＞2b，则a＞bC．若a≤b，则2a≤2b D．若2a≤2b，则a≤b(2)(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)审题视点(1)根据否命题的定义改写．(2)先判断命题的真假，再利用含逻辑联结词命题真假的判断进行求解．解析(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”．(2)法一：取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵綈p为真命题，綈q为假命题，∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．法二：由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．答案(1)C (2)A在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．(2014·高考陕西卷)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.答案：B2．(2016·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中正确的命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.答案：D考点二 充分条件与必要条件的判断[例2] (1)(2014·高考安徽卷)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知p ：|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ，q ：1a＜1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件审题视点 (1)根据ln(x ＋1)＜0求出x 的范围后判断． (2)利用集合的包含关系判断．解析 (1)∵ln(x ＋1)＜0，∴0＜x ＋1＜1，∴－1＜x ＜0.∵x ＜0是－1＜x ＜0的必要不充分条件，故选B. (2)∵|x －10|＋|9－x |≥1，∴当|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R 时，a ≤1，∴綈p 是a ＞1， 由1a<1，得a ＞1或a ＜0，∴綈p q .答案 (1)B (2)A判断p 是q 的什么条件，基本方法是利用定义，即①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；②若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件；⑤若p q ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；⑥若pq ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，而大范围不能推出小范围．1．(2015·高考湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件． 答案：C2．(2016·广西南宁测试)已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：由|x |<2，得－2<x <2.q ：由x 2－x －2<0，得－1<x <2.∵{x |－1<xx |－2<x <2}，∴p 是q 的必要而不充分条件，故选B. 答案：B考点三 充分条件、必要条件的应用[例3] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 审题视点 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 解 法一：由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≤－21＋m >10，即m ≥9或m >9. ∴m ≥9.本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2]D.⎝⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞)解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1； 由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条，即条件q 对应的x 取值集合是条件p对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－a 2＋a ＋6≥0，f＝－a 2＋a ＋2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤3，－1≤a ≤2.解得－1≤a ≤2，故选C.答案：C2．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．因考虑充分必要条件不全面致误[典例] 设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解题指南 ①弄清题目中谁是条件，谁是结论： 条件是“|a·b |＝|a ||b |”，结论是“a ∥b ”． 解题目标是什么？判定|a·b |＝|a ||b |⇒a ∥b 还是a ∥b ⇒|a·b |＝|a ||b |. ②探究转化关系一方面：由|a·b|＝|a||b|，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a与b的关系．另一方面：由a∥b，计算|a·b|.解析若|a·b|＝|a||b|，若a，b中有零向量，显然a∥b；若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴〈a，b〉＝π或0，∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b.若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，其中，若a，b有零向量也成立，即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．答案 C【回顾反思】①此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面．②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b|＝|a|·|b|⇒a∥b后，还要探究a∥b⇒|a·b|＝|a||b|，结合充要条件的概念，才能正确作答．◆一个等价由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．◆三种方法命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．课时规范训练[A级基础演练](x＋2)<0”的( )1．(2015·高考重庆卷)“x>1”是“log12A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x >1⇒log 12(x ＋2)<0，log 12(x ＋2)<0⇒x ＋2>1⇒x >－1，∴“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件．答案：B2．(2016·安徽马鞍山一模)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A. 答案：A3．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：借助函数的导数证明必要性成立，举反例说明充分性不成立．令f (t )＝sin t －t ，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，所以f (t )＝sin t －t 在[0，π]上是减函数，f (t )≤f (0)＝0，所以sin t <t (0<t <π)．令t ＝2x ，则sin 2x <2x (0<x <π2)，所以2sin x cos x <2x ，所以sin x cos x <x .当k <1时，k sin x cos x <x ，故必要性成立；当x ＝π3时，k sin 2x <2x可化为k <2×π3sin2π3＝4 3 π9，而43π9>43，取k ＝43，不等式成立，但此时k >1，故充分性不成立．答案：B4．有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________．解析：命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．答案：15．(2016·随州模拟)若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________． 解析：由x 2－2x －8>0得x >4或x <－2，由条件可知m ≤－2，∴m 的最大值为－2.答案：－2 6．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是__________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，则a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④7．(2016·开封调研)已知命题P ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题P 的否命题为：“若ac ＜0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题P 的否命题是真命题．证明如下： ∵ac ＜0，∴－ac ＞0⇒Δ＝b 2－4ac ＞0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． ∴该命题是真命题．8．已知“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：∵|x －a |<1， ∴a －1<x <a ＋1. ∵x 2－6x <0，∴0<x <6.又∵|x －a |<1是x 2－6x <0的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a ＋1≤6，∴1≤a ≤5.经检验，当1≤a ≤5时，由x 2－6x <0不能推出|x －a |<1. 所以所求实数a 的取值范围为[1,5]．[B 级 能力突破]1．(2015·高考湖北卷)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：利用充分条件和必要条件的概念，结合特殊值进行推理判断．若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，所以p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，所以p 不是q 的必要条件，故选B.答案：B2．(2015·高考四川卷)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b>3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．答案：B3．(2015·陕西五校联考)已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：令A ＝{x |2x －1≤1}，得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12，故选A.答案：A4．已知条件p ：(1－x )(x ＋1)>0，条件q ：lg(1＋x ＋1－x 2)有意义，则綈p 是綈q 的________条件． 解析：由(1－x )(x ＋1)>0，得－1<x <1，即条件p ：－1<x <1，则綈p ：x ≤－1或x ≥1. 由⎩⎨⎧1＋x ≥01－x 2≥01＋x ＋1－x 2>0，得－1<x ≤1.即条件q ：－1<x ≤1，则綈q ：x ≤－1或x >1. ∴綈p 綈q ，但綈q ⇒綈p .∴綈p 是綈q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分5．以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，该命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④6．(2016·长沙模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，另一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，∵方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f (3)<0，解得m >9，即：方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >97．已知条件p ：|5x －1|>a ，条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件p ：即5x －1<－a 或5x －1>a ， ∴x <1－a 5或x >1＋a 5，条件q ：2x 2－3x ＋1>0， ∴x <12或x >1.令a ＝4，即p ：x <－35或x >1.此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q .对应的命题是若p 则q .(答案不唯一)第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词、存在量词与全称命题、特称命题2．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．要说明一个全称命题是错误的，只要举出一个反例即可，要说明特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是正确的即可．3．逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“或”、“且”、“非”．(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断.[基础自测]1．已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：存在x∈R，sin x≥1B．綈p：任意x∈R，sin x≥1C．綈p：存在x∈R，sin x>1D．綈p：任意x∈R，sin x>1解析：全称量词的否定应为存在量词．答案：C2．已知命题：p：3≥3；q：3>4，则下列选项正确的是( )A ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，綈p 为真B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，綈p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为假解析：∵命题p ：3≥3是真命题，q ：3>4是假命题，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为假． 答案：D3．如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，那么( ) A ．命题p 和q 都是假命题 B ．命题p 和q 都是真命题 C ．命题p 和q 真假不相同D ．以上答案都不对解析：据“p 或q ”一真则真，“p 且q ”一假则假知p 和q 一真一假． 答案：C4．命题：“存在x ∈R ，使得e x＋2x －3＝0”的否定是________． 解析：“存在量词”的否定是“全称量词”，“＝”的否定是“≠”． 答案：任意x ∈R ，e x＋2x －3≠05．(教材改编题)命题“方程x 2－2x －3＝0有且只有一个根是奇数”的否定是________． 解析：一元二次方程最多有两个根，所以“有且只有一个”的否定是“有两个或没有”．答案：方程x 2－2x －3＝0有两个根是奇数或没有奇数根考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断[例1] (2014·高考湖南卷)已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④审题视点 先判定p 与q 的真假，再根据真值表求解．解析 当x ＞y 时，－x ＜－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题．当x ＞y 时，x 2＞y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题，③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．故选C.答案 C根据p ，q 的真假，判断所给命题的真假，考察综合运用知识分析问题的能力及逻辑思维能力．1．已知命题p ：存在实数x ，使sin x ＝π2成立；命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集为(1,2)．给出下列四个结论：。

§1.1集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn图)，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B ⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}知识拓展1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)题组二 教材改编2．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.答案 {x |x 是直角}3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为3，故选C. 5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一 集合的含义1．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________.答案0或1解析若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，不符合题意．综上可知，a＝0或a＝1.2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．6答案 B解析当a＝0时，a＋b＝1,2,6；当a＝2时，a＋b＝3,4,8；当a＝5时，a＋b＝6,7,11.由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例 (1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0答案 D解析 由题意知，A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________________________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.题型三集合的基本运算命题点1 集合的运算典例(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案 A解析∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.(2)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.命题点2 利用集合的运算求参数典例 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是______．答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}， 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题典例已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为( ) A．77 B．49C．45 D．30答案 C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案 B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B答案 C解析由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.2．(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q 等于( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,2) 答案 A解析 ∵P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}， ∴P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}． 故选A.3．(2018届齐鲁名校协作体联考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋4x －1≤0，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A ．(0,4] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[－4,1]答案 B解析 ∵A ＝{x |－4≤x <1}，B ＝{y |y >0}，∴A ∩B ＝(0,1)，故选B. 4．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－4，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 答案 D解析 由A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}＝{x |1<x <4}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， 得A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，故选D. 5．(2018·潍坊调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}答案 B解析 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A 去掉A ∩B 部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．(2017·郑州平顶山二模)已知复数f (n )＝i n(n ∈N ＋)，则集合{z |z ＝f (n )}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数答案 A解析 复数f (n )＝i n(n ∈N ＋)，可得f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N .集合{z |z ＝f (n )}中元素的个数是4.7．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．(2017·广东、广西、福建十校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}，∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．10．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________． 答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－32.11．(2017·南阳模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 D解析 ∵A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m <1－m ，即m <13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________． 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，当集合M ∩N 的长度取最小值时，M 与N 应分别在区间[0,1]的左、右两端．取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.。

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在存在一个、至少有一个、有一个、∃34判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) (1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（×）(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √）(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( √)（4）全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．( ×）(5）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（√）(6)∃x0∈M，p（x0)与∀x∈M，綈p(x）的真假性相反．( √)1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称，则下列判断正确的是( ) A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案C解析函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!＝π，故命题p为假命题;x ＝错误!不是y＝cos x的对称轴,命题q为假命题，故p∧q为假．故选C。

2．已知命题p：对任意x∈R，总有｜x｜≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ）A．p∧（綈q) B．（綈p）∧qC．(綈p)∧(綈q）D．p∧q答案A解析由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题,故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．3．（2015·浙江）命题“∀n∈N＊，f（n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是（)A．∀n∈N＊，f（n)∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N＊且f（n0)＞n0D．∃n0∈N＊，f(n0)∉N*或f(n0）＞n0答案D解析写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃，并且否定结论,注意把“且"改为“或"．故选D。

第一章 检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U A B =U ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2、设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（ ）A ．[-4,+∞)B ．(-2, +∞)C ．[-4,1]D ．(-2,1]3、设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（ ）A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉4、设全集(){}{},1,03,-<=<+==x x B x x x A R U 则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}13-<<-x xB ．{}03<<-x x C ．}01|{<≤-x xD ．{}3-<x x5、若全集为实数集R ，集合12{|log (21)0},R A x x C A =->则=A ．1(,)2+∞ B ．(1,)+∞ C ．1[0,][1,)2+∞U D ．1(,][1,)2-∞+∞U 6．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数7、已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I （ ） A.｛1，4｝ B.｛2，3｝ C.{9，16} D.｛1，2} 8、设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、设点),(y x P ,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10、给出下列四个命题： （1）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；（2）命题:R,sin 1.p x ∀∈≤则:R,p x ⌝∃∈使sin 0x >； （3）“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；（4）命题:p “R,x ∃∈，使3sin cos 2x x +=”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．111、设z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <12．给定两个命题q p ,,p q ⌝是的必要而不充分条件,则p q ⌝是（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13已知集合{}{}{}2,3,6,8,2,3,2,6,8C A B ===,则()C A B ⋃⋂=_____14.已知P ：|x －a|＜4；q ：(x －2)(3－x)>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ． 15．已知11{|2}82x A x -=<<，2{|log (2)1}B x x =-<，则A B =U ________________． 16、设T S ,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足;(i)}|)({S x x f T ∈=;(ii)对任意S x x ∈21,,当21x x <时,恒有)()(21x f x f <. 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合: ①*N,N A B ==;②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ; ③{}01,R.A x x B =<<=其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B .（1）求集合A ，B ；（2）若集合A ，B 满足A B B =I ,求实数a 的取值范围.18、(本小题满分12分)已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |212x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分10分)已知:p 128x <<；:q 不等式240x mx -+≥恒成立，若p ⌝是q ⌝的必要条件，求实数m 的取值范围.20、(本小题满分12分)设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0<a ；命题q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.21．(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lg(ax 2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x 2+x>2+ax,对∀x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值 范围.22．(本小题满分12分)已知全集U=R ，非空集合{23x A xx -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0.（1）当12a =时，求(U B ）A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.参考答案1、【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算。

高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案理（含解析）北师大版[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．[常用结论]1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )(3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4)直线y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点组成的集合是{1,4}. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3C [因为B ＝{0,2,4}，所以A ∪B ＝{0,1,2,4}，元素个数为4，故选C.]4．(教材改编)已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x －1＜0}，则A ∩B ＝________. (－2,1) [∵A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x －1＜0}＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}．]5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.]集合的基本概念1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.][规律方法]1用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合., 2集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 集合的基本关系【例1】 (1)(2019·长春质检)已知集合M ＝{0,1}，则满足条件M ∪N ＝M 的集合N 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．(1)D (2)(－∞，1] [(1)由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，即找集合M 的子集个数，故满足题意的集合N 有：∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，B ≠∅，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．] [规律方法]1若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.,2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A．A B B．B AC．A⊆B D．B＝AB[由题意知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，因此B A.]集合的基本运算►考法1 集合的交、并、补运算【例2】(1)(2019·陕西模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝( )A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1} D．{x|x＞2}(2)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(1)B(2)D[(1)∵A＝{x|x2－3x＋2≥0}＝{x|x≥2或x≤1}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}．∴A∪B＝R，故选B.(2)法一：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁U B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A ＝{3,9}．法二：本题也可以利用Venn图帮助理解，如图所示．]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是( ) A．[－1,2) B．(－∞，2]C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)B(2)D[(1)由A∪B＝A，得B⊆A，所以m∈A.因为A＝{1,3，m}，所以m＝m或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.(2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(1)设集合A＝{x|－1＜x≤2}，B＝{x|x＜0}，则下列结论正确的是( ) A．A∪B＝{x|x＜0}B．(∁R A)∩B＝{x|x＜－1}C．A∩B＝{x|－1＜x＜0}D．A∪(∁R B)＝{x|x≥0}(2)(2019·河北六校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x＜3} B．{x|－3＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|－2＜x≤1}(1)C(2)D[(1)由题知，A＝(－1,2]，B＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，2]，A∩B＝(－1,0)，(∁R A)∩B＝(－∞，－1]，A∪(∁R B)＝(－1，＋∞)，故选C.(2)依题意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－2＜x≤1}，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}B[法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则( )A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅A[∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.]3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}C[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.]4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z)，则A∪B＝( ) A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[因为B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]。

【创新设计】2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算练习理北师大版基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2015·安徽卷)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)等于( )A.{1，2，5，6}B.{1}C.{2}D.{1，2，3，4}解析由题意得，∁U B＝{1，5，6}，A＝{1，2}，故A∩(∁U B)＝{1}.答案 B2.(2016·沈阳监测)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3解析集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图像，可得图像有两个交点，即A∩B的元素个数为2.答案 C3.(2016·长春监测)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D. [1，2)解析由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.答案 A4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}，集合B＝{2，3}，则A∪B 等于( )A.{2}B.{1，2，3}C.{－1，0，1，2，3}D.{0，1，2，3}解析A＝{x|－1＜x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，故A∪B＝{0，1，2，3}.答案 D5.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个解析P＝M∩N＝{1，3}，故P的子集共有4个.答案 B6.(2016·宜春检测)设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是( )A.P⊆QB.Q⊆PC.P＝QD.P∪Q＝R解析由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P⊆Q，故选A.答案 A7.(2015·宝鸡一模)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.[2，＋∞)D.(2，＋∞)解析∵B＝{x|1≤x＜2}，∴∁R B＝{x|x＜1或x≥2}.又A∪(∁R B)＝R，如图只要a≥2.答案 C8.(2015·西安模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.故选D.答案 D二、填空题9.(2015·湖南卷)已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪(∁U B)＝________.解析由已知可得∁U B＝{2}，故A∪(∁U B)＝{1，2，3}.答案{1，2，3}10.设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B ＝________.解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A)∩B＝{7，9}.答案{7，9}11.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.答案 －1 112.设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__________. 解析 由题意得a ＋2＝3，则a ＝1.此时A ＝{－1，1，3}，B ＝{3，5}，A ∩B ＝{3}，满足题意.答案 1能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2016·皖南八校联考)设集合M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，N ＝{x |y ＝lg x }，则下列结论中正确的是( )A.M ∩N ≠∅B.M ∩N ＝∅C.M ∪N ＝ND.M ∪N ＝M 解析 因为M 为点集，N 为数集，所以M ∩N ＝∅.答案 B14.(2015·余姚三模)设全集为U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x －1＞0，则(∁U A )∩B 等于( )A.[－2，1]B.(2，＋∞)C.(1，2]D.(－∞，－2)解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＞1}，则(∁U A )∩B ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩{x |x ＞1}＝{x |x ＞2}.答案 B15.(2015·湖北卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30 解析 当x 1＝0时，y 1∈{－1，0，1}，而x 2，y 2∈{－2，－1，0，1，2}，此时x 2＋x 2∈{－2，－1，0，1，2}，y 1＋y 2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，则A ⊕B 中元素的个数为5×7＝35.当x 1＝±1时，y 1＝0，而x 2，y 2∈{－2，－1，0，1，2}，此时x 1＋x 2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，y 1＋y 2∈{－2，－1，0，1，2}.由于x 1＋x 2∈{－2，－1，0，，1，2}，y 1＋y 2∈{－2，－1，0，1，2}时，A ⊕B 中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为2×5＝10，则A ⊕B 中元素的个数为35＋10＝45.答案 C16.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________.解析由于集合B中的元素是指数函数y＝b x的图像向上平移一个单位长度后得到的函数图像上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝b x＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图像只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).答案(1，＋∞)。

计时双基练一集合A组基础必做1．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合，选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合，选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合，对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合。

答案 B2．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析因为A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B A。

答案 D3．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0,1}。

解lg x≤0，得0<x≤1，故N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，选A。

答案 A4．(2015·安徽卷)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁U B)＝( )A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析由题意得∁U B＝{1,5,6}，则A∩(∁U B)＝{1}，因此选B。

答案 B5．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析由条件知，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝4时，3n＋2＝14，所以A∩B＝{8,14}，故选D。