精品全国2019年中考数学真题分类汇编 专题复习(六)几何最值问题(答案不全)

2019年中考数学几何综合型试题分类汇编及答案各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢1.重庆，11，4分)据报道，重庆主城区私家车拥有量近380000辆.将数380000用科学记数法表示为________ 【解析】科学记数法的正确写法是：a×。

【答案】×105【点评】通常易犯的错误是a的整数位数不对。

2.过度包装既浪费资源又污染环境.据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨.把数3120000用科学记数法表示为×105 ×106 ×105 ×107【解析】3120000是一个7位整数，所以3120000用科学记数法可表示为×1000000=×106，故选B.【答案】B【点评】科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|1时，n是正数;当原数的绝对值1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.学生在学习科学记数法时最不容易掌握的就是n的确定，查准是10的几次方。

还有的学生容易把“×10n”忘记而丢失，要明确记清.其方法是确定a，a是只有一位整数的数;确定n;当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时，n为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数.16. 2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________.【解析】科学记数法形式：a×10n 中n的值是易错点，由于378 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5，所以378 000=×105【答案】×105【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数;当原数的绝对值小于1时，n是负数.表示时关键要正确确定a 的值以及n的值.17.从权威部门获悉，中国海洋面积是万平方公里，约为陆地面积的三分之一, 万平方公里用科学计数法表示为平方公里A. B. C. D.【解析】∵万平方公里=×106平方公里，且结果保留两位有效数字∴×106平方公里≈【答案】C.【点评】此题考查对科学计数法和有效数字的理解，把一个绝对值大于10的整数记为a×10n的形式, 这种记数法叫做科学记数法.; 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。

11 + -PC 最小值=HF + FR ”；⑤利用相似形的性质及相关数学知识， 求出FR 的值，进而求出HF + FP + - PC 最小3 3 值.(2)如答图2至答图5,分四种情况讨论，先求出 Q 点坐标，再按要求利用数学知识即可求出符合条件的点Q •的坐标有4个.【解题过程】(1)由题意得 A( — 1 , 0), B(3, 0), C(0, — 3), D(1, — 4)，直线 BD : y = 2x — 6.1如答图1,连接DN 、BN ,贝U S BDN = BD?MN ,而BD 为定值,故当 MN 最大时，3BDN 取最大值•此2111时由 S A BDN = & DFN + S A BFN =—EH ?FN + —BH ?FN = — BE?FN = FN ,从而 Sx BDN 取最大值时，即为 FN 有2 2 2最大值.令 N(m , m 2— 2m — 3),贝U F(m , 2m — 6),从而 FN = (2m — 6)— (m 2— 2m — 3) =— m 2 + 4m — 3=— (m —2)2+ 1,此时，当且仅当 m = 2 , FN 有最大值为1,于 3丘在直角三角形中，设最小的直角边为a ,斜边为3a ,较长直角边为 3,即可求出a =，于是在x解答题 1. ( 2019重庆A 卷，26, 8)如图，在平面在角坐标系中，抛物线 B 的左侧)交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与 (1)连结BD ，点M 是线段 BD 上一动点(点 M 不与端点 y = x 2— 2x — 3与x 轴交与点 A , B (点A 在点 x 轴交于点E . B , D 重合)，过点M 作MN 丄BD 交抛物线于点N (点N 在对称轴的右侧) 当MN 取得最大值时，求 ,过点N 作NH 丄x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点, 1HF + FP + J pC 的最小值；31 42 (2)在(1)中，当MN 取得最大值，HF + FP +」PC 取得小值时，把点 P 向上平移个 单位得到点 Q ,3 2 连结AQ ,把厶AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度:.(0° <：.<360° ),得到△ AOQ ,其中边AQ •交坐 标轴于点G ,在旋转过程中，是否存在一点G ,使得.Q ，=：/Q'OG ?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q ■的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】(1 ［①首先由已知条件求出 A 、B 、C 、 7- 第26题图CA O EB SD第26题备用图1②再由 &B D N = BD?MN ,2FN 取最大值；③ N(m , m 2— 2m — 3),贝U F(m , 2m — 6),FN 最大时点N 、F 、H 的坐标；④利用 OC 为长直角边，构造一MN 取得最大值时，HF+ FP D 的坐标及直线BD 的解析式;转化为由MN 的最大值得到S ABDN 取最大值，进而为 =(2m — 6) — (m 2— 2m — 3) = — (m — 2)2+ 1,求出 MN 个斜边长为短直角边 3倍的直角三角形 OCK ，再由点到直线的垂线段最短，找到“ 是 N(2, — 3) , F(2 , — 2) , H(2 , 0).45 5轴上取点K(— —2 , 0),连接KC ,易求直线KC : y =— 2 2 x — 3.如答图-,过点F 作FR 丄CK 于点R ,4交 OC 于点 P ,作 FT 丄OC ,交 CK 于点 T ,则/ OCK =Z TFR ，于是，由△ PCRACOTFR ，得2“5 4”5、 4.5 2,5、 2,5 4*5、TW ），（亍T ），（「T ）.【知识点】一次函数；二次函数；相似三角形；平移；旋转；勾股定理；最值问题；数形结合思想；构造法；待 定系数法；分类思想；压轴题；原创题.PR OKPC KC a 11a=—,从而PR = - PC ，因此由FH 为定值，再由定点 F 到直线的垂直线最短，可知 MN 取333a得最大值时, 1HF + FP + _PC 最小值=HF + FR .在 y =— 2、. 2 x — 3 中，当 y =— 2, x =-, 4是FTJ2 =2+ -.4在Rt △ FTR 中，由FR 2 2，得 FR = 2方FT 3 3 FT =222 - 42丁（23 —，故 HF + FP7 4.2/7第26题答图3ff A戋（2） （ 4二 25+ 1PC 最小值=2+ 1辽= 3 一 一N26辘答图2\E H ./ iiR0 ” ;GED第26题答图4EC<第 26题答图5/Z因为60度的正弦值就是2，所以可以构造含有60度的直角三角形来转化2题，至于△ PEF的周长最值既可以用点P的坐标结合锐角三角函数表示三边长，也可以用相似三角形之间的周长进行转化，用后一种方法较简单一些。

几何综合东城区27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE . Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH ； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 西城区27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABD C②2NCE BAM ∠=∠．（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQMABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒． （3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=+27点（（27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=. ……………1分∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==分 （2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=， ∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MK ME =. ∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分 丰台区27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE27．解：（1）如图； …………………1分（2）45°； …………………2分 （3）结论：AM CN ． …………………3分 证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=12（180°-∠ACD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ，∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM AG ．∴AMCN ． …………………7分 （其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ． （1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分（2）①证明：C图1连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分 证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证） ∴AE 是等腰直角三角形PAQ 的垂线，角平分线 ∴∠AEP=90°，AE=PE ∵正方形ABCD ∴∠ABC=90° ∠ACB=∠BAC=45° ∠AEP+∠ABC=180° ∴A ，B ，C ，E 四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45° ∴∠AEB=∠CEB=45° ∵BE=BE∴△ABE≌△PBE (SAS) ∴BP=AB 朝阳区27. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………7分 即AF+AE =3CG . 燕山区27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB=6. 准蝶形AMBABM11①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=21AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542>--=a a ax y 得，03549=--a a31=a∴抛物线的解析式是3312-=x y …………………………………5′ ② 由①知，3312-=x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，p y 的取值范围是33〉〈-p p y y 或…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点. （1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ． ①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系，B（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）（1）EDBα∠=……………………………………………1分（2）①补全图形正确……………………………………2分②数量关系：DM DN=…………………………………3分∵,AB AC BD DC==∴DA平分BAC∠∵DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点∴DE DF=，MED NFD∠=∠……………………4分∵2Aα∠=∴1802EDFα∠=︒-∵1802MDNα∠=︒-∴MDE NDF∠=∠∴MDE NDF△≌△……………………5分∴DM DN=③数量关系：sinBM CN BCα+=⋅……………………6分证明思路：a.由MDE NDF△≌△可得EM FN=b. 由AB AC=可得B C∠=∠,进而通过BDE CDF△≌△,可得BE CF=进而得到2BE BM CN=+c.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅……………7分大兴区27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．B121327.（1）证明∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°.∵∠GFB =∠CFA . ………………………………………………1分 ∴ ∠ABG =∠ACF . ………………………………………………2分（2）CG+BG . …………………………………………………3分证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， …………………………4分 ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH .∴ △ABG ≌△ACH . …………………………………………………… 5分 ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GHAG . ………………………………………………………6分 ∴ CG =CH +GH+BG . ………………………………………7分 平谷区27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．图1BB图21427．解：（1）补全图1； (1)B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ····· 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ······· 6 （3）tan 2DF αAE ． (7)怀柔区27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形；BB15B(2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．27.(1)如图………………………………………………1分(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分16 延庆区27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ． （1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ，∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①……3分②猜想：数量关系为：BF =DF +CG ．图1FDEC BA GFDBA17证明：在BF 上取点M 使得BM =DF 连接CM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =DC ．∵∠FBC =∠CDF ，BM =DF ， ∴△BMC ≌△DFC ． ∴CM =CF ，∠1=∠2． ∴△MCF 是等腰直角三角形．∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C 与点G 关于直线DE 对称， ∴CF =GF ，∠5=∠6． ∵BF ⊥DE ，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG =∠MCF ， ∴CM ∥GF ． ∵CM =CF ，CF =GF ， ∴CM =GF ，∴四边形CGFM 是平行四边形， ∴CG =MF ．∴BF =DF +CG ． ……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分 （2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°，∴∠PAH=45°-∠BAE．∵FH⊥AE．∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．…………………………… 4分Array（3）判断：FM=PN．…………………………………… 5分证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．…………………………………………………………… 8分18。

001（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0B．4C．6D．8解：作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．002（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC AB，∵O为AC中点，∴AO＝OC，∵N为OA中点，∴ON，∴ON'＝CN'，∴AN'，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．003（2019•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．解：由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积AB×AC BC×AD，∴AD，∴MN的最小值为；故答案为：．004（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．0解：当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴，设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，∴，即：y x2x∴当x时，y最大（）2，∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON＝OB﹣BN＝2，此时，N（0，）b的最大值为．故选：A．005（2019•通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是1．解：过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD MD＝1，HM HD∴CH＝4∴MC∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA' 1故答案为： 1006（2019•玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值1，由此不难解决问题．如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB5，，∴OP，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF1，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值1，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．007（2019•鸡西）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为2．解：由于S△P AB＝S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD＝AC此时最小，有勾股定理可求结果．∵ABCD为矩形，∴AB＝DC又∵S△P AB＝S△PCD∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，连接AC，交MN与点P，此时PC+PD的值最小，且PC+PD＝AC故答案为：2008（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为16．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝8，则AB的最大长度为16．连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．009（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是14．解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．010（2019•黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB：1，将△ABD 沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时（）A．B．C．D．解：设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出．如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD，∴BD＝AC2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM BG＝1，BM GM，∴DM＝BD﹣BM＝2a．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴，即，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y x，∴H（1，0），∴BH4，∴．故选：B．011（2019•十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．解：作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE AE•DH3×4＝6．故答案为6．012（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∵∠P AE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，∴∠P AE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，013（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tan A2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH BD，推出CD BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH，∴DH BD，∴CD BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD BD≥4，∴CD BD的最小值为4．故选：B．014（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是3．方法1、过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论；方法2、先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD5，∵AB•AD BD•AG，∴AG，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴，∴PE∵1，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大，∴最大值为13，故答案为3．方法2、解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH，CH，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴，∴，∴HG，BG，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG EG，而BE＝GE﹣BG＝GE，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH，∴GP'＝HP'+HG，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为13，故答案为：3．015（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．016（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE EC＝1故答案为．017（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．解：根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a，把x代入代数式即可求得．∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴ 2∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a∴a2+a+1的最小值为：（）21；故答案为．018（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D 在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE 交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH，BJ，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴，∴，∴a，∴BC＝2a，故选：A．019（2019•东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3解：将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程．如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．设∠BAB′＝n°．∵4π，∴n＝120即∠BAB′＝120°．∵E为弧BB′中点，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴BF＝AB•sin∠BAF＝63，∴最短路线长为3．故选：D．020（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．解：根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′5，∴MN最大．故答案为：．021（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D （0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y x+2，解方程组即可得到结论．∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y x+2，解得，，∴P（，），故选：C．022（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．解：根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP ⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．023（2019•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x 对称，因为点A，B在反比例函数y（k≠0）的图象上，AB＝4，所以可以假设A（m，），则B（m+4，4），则有，解得k＝m2+4m，推出A（m，m+4），B（m+4，m），可得M（m+2，m+2），求出OM即可解决问题．如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，4），∴，解得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM，∴OM的最小值为．故答案为．024（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．解：根据轴对称，可以求得使得△P AB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△P AB的面积，本题得以解决．，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y x，当x＝0时，y，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（1）×sin45°，∴△P AB的面积是：，故答案为：．025（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，推出四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，解直角三角形即可得到结论．∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C，A′C，∴A'C+B'C的最小值为，故答案为：．026（2019•广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM OA6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．027（2019•乐山）如图，抛物线y x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3 B．C．D．4解：连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP 的中位线得到OQ BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．028（2019•凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．解：先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y（x2﹣12x），整理得y（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．029（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为2．解：首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB OA＝8，∴OP4，∴PQ2．故答案为2．030（2019•内江）若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是26．解：解三元一次方程组，用z表示出x、y，根利用配方法计算即可．，①﹣②得，y＝1+z，把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，则x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，当z＝﹣5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，故答案为：26．031（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO，∴，∴OE，∴AE，作EH⊥AB于H．∵S△ABE•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH，∴AH，∴tan∠BAD，故选：B．。

2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．11．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．12．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．13．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．14．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE ⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．16．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）17．（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2019•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P 落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．21．（2019•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC 于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？22．（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD ＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．2019年全国中考数学真题精选分类汇编：压轴题含答案解析参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E 分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE 上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）PD＝PE＝＝，PC＝3t，CE＝AC＝＝由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，∴PE2+CE2≥PC2即+≥（3t）2，∵t＞0∴0＜t≤；综上所述，t的取值范围为：0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．2．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝＝＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．4．（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；②求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；②应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BDA＝90°∵OA＝OB∴OD＝OB＝OA∴∠OBD＝∠ODB∵EB＝ED∴∠EBD＝∠EDB∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB即：∠EBO＝∠EDO∵CB⊥x轴∴∠EBO＝90°∴∠EDO＝90°∵点D在⊙E上∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC∴∠ANF1＝∠ABC＝90°∴△ANF∽△ABC∴∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝∴即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k∴CM＝CA+AM＝10+3k∴tan∠ACF＝解得：∴AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②方法1：如图4，过G作GH⊥BC于H，∵CB为直径∴∠CGB＝∠CBF＝90°∴△CBG∽△CFB∴∴BC2＝CG•CF∴＝＝＝≤∴当H为BC中点，即GH＝BC时，的最大值＝．方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝，cosα＝，∴sinαcosα＝∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα∵sin2α+cos2α＝1，∴sinαcosα≤，即≤∴的最大值＝．【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．5．（2019•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：＝．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H．想办法证明△ABM≌△CBN（ASA）即可．（2）①如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．利用全等三角形的性质证明CH＝BM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．②如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴＝＝．②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，∵•AM•BP＝•AB•BM，∴PB＝，∵•BH•CN＝•CH•BC，∴CN＝，∵CN⊥BH，PM⊥BH，∴MP∥CN，∵CM＝BM，∴PN＝BP＝，∵∠BPQ＝∠CPN，∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．方法二：易证：＝＝＝，∵PN＝PB，tan∠BPQ＝＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）①易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；②同理可得P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴x Q＝，∴x P＝x Q＝，∴P点横坐标为；②P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．7．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．8．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【分析】（Ⅰ）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c 的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（Ⅱ）将点D（b，y D）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；（Ⅲ）将点Q（b+，y Q）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．9．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED 中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，即可得出答案；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，求出S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，即可得出答案；②当S＝时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝O'A＝（6﹣t），得出方程，解方程即可；当S＝5时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，∴S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，∴S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；②当S＝时，如图③所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，∴O'F＝O'A＝（6﹣t）∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），∴t＝6﹣；当S＝5时，如图④所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），∴S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．10．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣2，5），B（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c 得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB ＝4，求出C′H的长，可得∠C′BH＝60°，求出DH的长，则D坐标可求；（3）由题意可知△C′CB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x 轴上方，连接BQ，C′P．证出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）由题意得：解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，由翻折得C′B＝CB＝4，在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝＝2，∴点C′的坐标为（1，2），tan，∴∠C′BH＝60°，由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝，∴点D的坐标为（1，）．（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，∴∠BCQ＝∠C′CP，∴△BCQ≌△C′CP（SAS），∴BQ＝C′P．∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BQ＝CQ，∴C′P＝CQ＝CP，又∵BC′＝BC，∴BP垂直平分CC′，由翻折可知BD垂直平分CC′，∴点D在直线BP上，设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BP的函数表达式为y＝．②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．。

解答题1.( 20佃广东深圳，22,9分)如图所示，抛物线y = ax?+bx+c过点A (- 1,0),点C (0,3),且OB=OC •(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D , E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3 : 5两部分，求点P的坐标.【思路分析】(1)先求出点B的坐标，然后把A、B、C三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得出a, b, c的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；(2)利用轴对称原理作出点C的对称点，求出四边形CDEA的周长的最小值；(3)方法1:设CP与x轴交于点E,先根据面积关系得出BE : AE=3:5或5:3，求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式，解直线CE与抛物线的解析式联立所得的方程组求出点P的坐标；方法2:设P (x,- X2+2X+3 ),用含x的式子表示四边形CBPA的面积，然后求出CB的解析式，再用含x的式子表示出△ CBP的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x的值，得出P的坐标.【解题过程】解：(1)v 点 C (0, 3) , OB=OC,.••点 B ( 3, 0).2把 A (- 1, 0), C (0, 3), B (3, 0)代入y = ax bx c，得a- b c =0, a = —1,9a+3b c = 0,解得b = 2,lc =3, c = 3.•••抛物线的解析式为y= —X2+2X+3 .2 2■/ y= —X+2X+3=—( x —1) +4,•抛物线的对称轴为x=1.(2)如图，作点C关于x=1的对称点C'( 2, 3),则CD=C D.取A' (—1, 1),又•/ DE=1 可证A D=AE在Rt△ AOC中，AC=.OA2 + OC2=、、12 + 32= "0 .四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE =T0+1 + CD+AE要求四边形ACDE的周长的最小值，就是求CD+AE的最小值.•/ CD+AE=CD+A D,•••当A D, C'三点共线时，C' D+A D 有最小值为 J13 ,•••四边形ACDE 勺周长的最小值「10 +1+、13 .3 十 5S A CBP = — S 四边形 CBPA 或 Sd BP = — S 四边形 CBPA .8 8(3)方法1:由题意知点 P 在x 轴下方，连接 CP ,设PC 与x 轴交于点E , •••直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分， 又VS △CBE ： &CAE =S A PBE ： S A PA6=BE AE , • BE: AE=3:5 或 5:3 ,上 31•••点 E i (― , 0),巳(一，0).2 2设直线CE 的解析式为y=kx+b , ( - , 0)和(0, 3)代入，得2y 3k+b=0, 孙二-2,^2 解得亠°?b=3,?b =3.•直线CE 的解析式为y= — 2x+3.1同理可得，当 E 2 (, 0)时，直线CE 的解析式为y= — 6x+3 .2由直线CE 的解析式和抛物线的解析式联立解得 P i (4, — 5) , P 2 ( 8,— 45)方法2:由题意得令P (x, —x2+2x+3 ),S 四边形 CBPA =S A CAB +S ^PAB =6+— X4 • (x 1 2 — 2x — 3) =2x 3 4— 4x .2直线CB 的解析式为y= — x+3 ,作PH // y 轴交直线 CB 于点H ，则H (x ,— x+3),112 3 2 9SA CBP=2OBPH=2X 3(—X +3+X— 2x — 3)=2x — 2x .、/ 3当 S A CBP = S 四边形CBPA 时，8解得 X !=0 (舍)，X 2=4, 二 P l (4, — 5).、 5当 S ^CBP = — S 四边形CBPA 时，8解得 X 3=0 (舍)，X 4=8, 二 P 2 (8, — 45).【知识点】一次函数、二次函数的综合；线段和最值；动点问题2. ( 20佃广西省贵港市， 题号，分值10分)已知：■ ：ABC 是等腰直角三角形，• BAC =90，将■ ：ABC 绕点C 顺 时针方向旋转得到△ A B C ，记旋转角为：•，当90 ：：: : <180时，作AD _ AC ，垂足为D , A D 与BC 交于点1 如图1,当• CAD =15时，作• A EC 的平分线EF 交BC 于点F .① 写出旋转角:-的度数； ② 求证：EA EC =EF ;2 如图2，在(1 )的条件下，设P 是直线A D 上的一个动点，连接 PA , PF ,若AB =：；；2，求线段PA • PF 的最小值.(结果保留根号)•【思路分析】(1)①解直角三角形求出• ACD 即可解决问题.9x=3 (2x 2— 4x ), 2 89x=5 (2x 2— 4x ),2 8.FCM ACE(SAS)，即可解决问题.(2)如图2中，连接AF , PB , AB，作BM C 交AC的延长线于M .证明△ AEF二△ A EB，推出EF二EB，, 推出B ； F关于AE对称，推出PF ，推出PA P^PA PB^AB，求出AB即可解决问题.【解题过程】(1)①解：旋转角为105 .理由：如图1中，图1:AD _ AC ,..A DC =90 ,7 CAD =15 ,.ACD =75 ,..ACA =105 ,.旋转角为105 .②证明：连接AF ,设EF交CA•于点O •在EF时截取EM =EC，连接CM .'Z CED ./ACE £CA E=45 15、60 ,E CEA = 20 ,：FE 平分.CEA ,Z CEF /FEA'=60 ,.Z FCO =180 -45 -75’ =60 ,Z FCO Z AEO , Z FOC Z AOE ,.：FOC s △AOE ,OF OCAO OE 'OF AOOC - OE，7 COE = FOA ,.：COE s . FOA ,/FAO =• OEC =60 ,■ △A OF是等边三角形，.CF =CA: =AF ,7EM 二EC , CEM =60 ,.CEM是等边三角形，-ECM =60 , CM 二CE ,• /FCA - ■ MCE =60 ,.■ FCM=• ACE ,.FCM =△ ACE(SAS),.FM =A E ,.CE AE =EM FM =EF .(2)解：如图2中，连接AF , PB , AB •，作BM_AC交AC的延长线于M .@2由②可知，EA F=EAB =75 , AE 二AE , AF 二AB ,△ A EF 三△ A EB ,EF =EB ,.B ； F关于AE对称，PF 二PB ,PA PF =PA PB -AB ,在Rt △ CBM 中，CB*=BC =%；2AB =2 , MCB*=30 ,1.B M CB =1 , CM »3 ,2.AB=：AM2BM2=：（.2 3）212= .6 2.6 ..PA PF的最小值为 6 2.6 .【知识点】几何变换综合题2 23.（2019贵州遵义，24，14分）如图，抛物线C i : y=x -2x与抛物线C2 : y=ax+bx开口大小相同，方向相反, 它们相交于点O, C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA=2OB.（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由•（3）M是直线0C上方抛物线C2上的一个动点，连接M0,MC，M运动到什么位置时，△ M0C的面积最大? 并求出最大面积.【思路分析】（1）根据抛物线G : y=x2-2x与抛物线C2 : y=ax2+bx开口大小相同，方向相反，可知a=-1,由抛物线C1与x轴交于点B（2,0），0A=20B.可知A（4,0），将A点代入可以求出抛物线C?的解析式（2）联立抛物线C1与抛物线C2的解析式可以求出点C的坐标，A点关于对称轴的对称点为点0,直线0C与对称轴的交点就是所求的点P；（3）r -1如图，设M(m,-m2+4m),作铅锤高MN交直线0C于点N，贝U MN=-m 2+3m，：•△ MOC的面积=—(3-0) MN从2而可以求解.【解题过程】解：(1厂••抛物线C i : y=x2-2x与抛物线C2 : y=ax2+bx开口大小相同，方向相反,--a=-1,••由抛物线C i与x轴交于点B••• B (2,0),•/ OA=2OB.•- A (4,0),•抛物线C2 : y=ax2+bx•0=-16+4b•b=4•抛物线C2的解析式为y=-x2+4x⑵存在2 2••抛物线C1 : y=x -2x与抛物线C2：y=-x +4x二x1=0,x2=3,• C (3,3),•A(4 , 0)•A关于对称轴直线x=2的对称点为0(0 , 0)•设直线OC : y=kx,过C(3 , 3)•k=1,•直线OC:y=x当x=2 时，y=2•P(2,2)(3)如图，设M(m,-m2+4m),作铅锤高MN交直线OC于点N ,则N(m,m)2•MN=-m +3m ,1— (3-0) MN 1 3 9 •S A MOC=2= — (3-0)( - m23m) = - m2m2 2 28—4< - 5<— 1,二当t = - 5时,△ PBC 的面积的最大值为 272 2 83 当m=3时, 2 此时M r 3 15)S =27 丿,S A MOC 最大= 一 24 8••• M 运动到15 27)位置时，△ MOC 的面积最大，最大面积为 一48【知识点】二次函数解析式，对称点，二次函数的最值4. (2019海南,22题,15分)如图，已知抛物线y = ax 2+bx+5经过A( — 5,0),B( — 4,— 3)两点，与 X 轴的另一个交点为 C, 顶点为D,连接CD.(1) 求该抛物线的表达式；(2) 点P 为该抛物线上一动点(与点B,C 不重合)，设点P 的横坐标为t.①当点P 在直线BC 的下方运动时，求△ PBC 的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点 P 使得/ PBC = / BCD?若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第22题图 【思路分析】(1)由点A,B 可得抛物线表达式；(2)①设出点P 坐标，表示出厶PBC 的面积，通过二次函数的最值求得 面积最大值；②分类讨论点P 坐标,利用平行和点B 坐标求出第一种情况，利用垂直和BC 中点坐标可求得第二种情 况.2d25a - 5b +5 = 0 柘=1【解题过程】⑴‘抛物线y = ax +bx+5经过点A ( - 5,0),B ( - 4，-3),-為a-4b+5 = -3,解得?S = 6，-该抛物线的表达式为 y = X 2+6X +5;22⑵①如图，过点P 作PE 丄X 轴于点E,交直线于点F,在抛物线y = X +6X +5中，令y = 0,则X +6X +5 = 0,解得,X I = - 5冷 =-1, •点C 的坐标为(一1,0),由点B 和点C 坐标可得，直线BC 的表达式为:y = X +1.设点P 的坐标为(t,t 2+6t+5),由题知一 4<t< — 1,则点 F(t,t+1), • FP = (t+1) — (t 2+6t+5) =— t 2— 5t — 4, • S A PBC = S A FPB +S A FPC =1+5227+②存在.T y= X2+6X+5 = (x+3)2—4,二抛物线的顶点D的坐标为(一3, —4),由点C和点D的坐标可得直线CD的表达式为y= 2X+2,分两种情况讨论：当点P在直线CD上方时，有/ PBC =Z BCD,则PB // CD,设直线PB的表达式为y = 2x+b,把点B 坐标代入，得b= 5,二y = 2X+5,令X2+6X+5 = 2X+5,得X I= 0,X2=—4,「.点P 的坐标为(0,5);当点P 在直线BC下方时，有/ PBC = Z BCD,设直线PB与CD交于点M,则MB = MC,过点B作BN丄X轴于点N,则点N(—5 3 4,0), A NB = NC = 3, A MN垂直平分线段BC,设直线MN与BC交于点G,则线段BC的中点G的坐标为(-—,- — ),2 25 3由点N( —4,0)和G(-,-)得,直线NG的表达式为y=—X —4,令2X+2 = —X —4,解得X =—2, A点M的坐标为(一2 21 1 32, —2),由点M和点B的坐标可得，直线BM的表达式为y = X —1,令X2+6X+5 = X—1,解得X1= - — ,X2=—4(舍2 2 23 7 3 7去),二点P的坐标为(-,-).综上所述，存在满足条件的点P坐标为(0,5)和(-,-).2 4 24第22题答图【知识点】二次函数表达式，三角形面积，二次函数最值，平移，垂直冲点坐标公式，交点坐标5. (2019 •湖南张家界，23, 10)已知抛物线y= ax2+ bx+ c (0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y轴交于点C, OC= 3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM丄BC,垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△ PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；1(4)若点Q为线段OC上的一动点，冋AQ-I QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，2请说明理由.【思路分析】(1)将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式即可求出 a 、b 、c 的值(当然用两根式做更方便)；(2)先证四边形 AMBD 为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；(3)如答图2，过点P 作PF 丄AB 于点F ，交BC 于点E ,令P(m , m 2-4m + 3)，易知直线BC 的解析式为y = — x + 3,则E(m ,—2 2 .]m + 3), PE = (— m + 3) — (m — 4m + 3) = — m + 3m •再由 S ^PBC = S ^PBE + S ^CPE ，转化为 + 3m),最后将二次函数化为顶点式即可锁定S ^PBC 的最大值与点 P 坐标；(4)解决本问按两步走：一找(如答图3,设0Q = t ，则CQ = 3 — t , AQ + I QC = •一『• 1 • — (3-t)，取CQ 的中点G ,以点Q 为圆心，QG 的长为2 2 11半径作O Q ,则当O Q 过点A 时，AQ + — QC =O Q 的直径最小)、二求(由AQ = — QC ,解关于t 的方程即可) 2 2【解题过程】(1)V 抛物线y = ax 2 + bx + c (a M 0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，•••令抛物线解析为 y = a(x — 1)(x — 3) • •••该抛物线过点 C(0, 3),• 3= a x (0 — 1) x (0— 3)，解得 a = 1 ••抛物线的解析式为 y = (x — 1)(x — 3)，即y = x 2— 4x + 3 • ■/ y = x 2— 4x + 3= (x — 2)2 — 1 , •抛物线的顶点 D 的坐标为(2, — 1) • 综上，所求抛物线的解析式为 y = x 2— 4x + 3,顶点坐标为(2,— 1)•(2)如答图1,连接 AD 、BD ，易知 DA = DB ••/ OB = OC ,/ BOC = 90°,MBA = 45°. •- D(2, — 1), A(3, 0), • / DBA = 45°. • / DBM = 90°. 同理，/ DAM = 90°. 又••• AM 丄 BC , •四边形ADBM 为矩形. 又••• DA = DB , •四边形ADBM 为正方形.1 1 2PE?OB = x 3 x ( — m 2 2(3) 如答图2,过点P 作PF 丄AB 于点F ，交BC 于点E ,令P(m , m 2-4m + 3),易知直线BC 的 解析式为 y =—x + 3,贝U E(m ,- m + 3), PE = (— m + 3) — (m 2-4m + 3) = — m 2 + 3m .2恵1) = 4 --••• G PBC = S PBE + s CPE =丄 PE?BF + 1 PE?OF = 1 PE?OB = 12x 3 x (— m ?+ 3m)-3(m -与+ 27 ,2 2 83•••当m =—时，S ^PBC 有最大值为27 3，此时P 点的坐标为（一，82 （4）如答图3,设1门~ 1OQ = t，则 C Q = 3-t ，AQ + 1Q C =七「尹“），取 CQ 的中点 G ，以点Q 为圆心, QG 的长为半26时」lyt ），解得t = 丁 - 1，于是AQ + ^C 的最小值为3-1= 3-（年―3二次函数；正方形；最值问题；探究问题；勾股定理；一元二次方程的解法；数形结合思想；压轴题.【知识6.(2019 宁夏，26, 3 分)如图，在 △ ABC 中，.A =90 , AB =3 , AC =4，点 M , Q 分别是边 AB , BC 上的动点(点M 不与A ,B 重合)，且MQ _BC ，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ,设艮x . (1)试说明不论x 为何值时，总有/\QBM s' ABC ;(2) 是否存在一点 Q ,使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由; (3) 当x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值.【思路分析】第(1)问中，利用相似三角形的判定定理 AA ，可以证明两个三角形全等； 第(2)问中，因为MN //BQ , 所以当MN 二BQ 时四边形BMNQ 为平行四边形；第(3)问中，用函数表示出四边形 BMNQ 的面积与x 的关系式，然后利用二次函数的性质，可求出四边形 【解题过程】(1)因为 A =90 , MQ _ BC所以.A = . BQM 二 90 ,因为不论x 为何值时，总有.A — BQM , B =/B 所以总有 /\QBM s i\A ABC .(2)解：存在点 Q ,使得四边形 BMNQ 为平行四边形，理由如下: 在Rt£\ABC 中，由勾股定理，得BC 二 AB 2 AC 2 =5因为A QBM s A ABC所以 =BQ _ MQ 即 BM _ x _ MQ BC AB AC ' 5 3 4所以 BM = 5x , MQ =4x ,33因为 MN //BQ ,BMNQ 的面积的最大值.所以 AM =AB - BM -35x3，第26题图所以 /\AMN s 厶ABC ,25x =5 -9因为MN //BC(即 MN //BQ ),故，存在点 Q ,使得四边形 BMNQ 为平行四边形.25x(3)解：由(2),可得MN=5-歹,设四边形BMNQ 的面积为y .则 y = S±BQM S 二MNQ =*BQ QM 扌 MN MQ=1x -45所以当x 为 时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值为32【知识点】二次函数的图象和性质、相似三角形的判定定理、平行四边形的7. (20佃山东东营，25, 12分)已知抛物线y=ax 2+bx — 4经过点A ( 2, 0)B (— 4, 0)与y 轴交于点C .(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 如图1,点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求 点P 的坐标；(3) 如图2,线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ,垂足为D , M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ,使厶 CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.所以当 MN 二BQ 时，四边形 BMNQ 为平行四边形,此时, 5—竺=x ，解得x/ ,934所以当BQ 二45时，四边形BMNQ 为平行四边形,34所以 MNAM ，即ABBCMN 53一里_3_3 ， 所以 MN 所以y 」x 2 即"-丝—埒27327 3275 32x 1 (5 一 型)-x , 2 9 3 75 32 判定定理.由S = S ^AOC + S AOCP +S ^OBP ，可得出关于P 点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值冋题求出点 连接AM 交直线DE 于点G ,此时，△ CMG 的周长最小.求出直线 AM 的解析式，再由△ ADE AOC ，求出点E 的坐标，求出直线 DE 的解析式，则由 AM 、DE 两直线的交点可求得 G 点坐标. 【解题过程】 解：(1)v 抛物线y = ax+bx -4经过点A (- 2, 0) , B ( 4, 0), ... I:：, 'l-l|16a-4b-4=0，'_x解得匕，Nl1 2•••抛物线解析式为 y = x 2- x - 4；2(2)如图1,连接OP ,设点P ( x,寺 J+兀—q ),其中-4v x v 0,四边形ABPC 的面积为S,由题意得C (0,-4),• • S= Sx AOC +S A OCP + S A OBP= -X 2X ^*X 4兀(—(今/pT)=4 - 2x - x 2 - 2x+8 , =-x 2 - 4x+12 , 2=-(x+2)+16 .1 v 0,开口向下，S 有最大值, •••当x =- 2时，四边形ABPC 的面积最大, 此时，y =- 4 ,即 P (- 2, - 4).因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为(-2, - 4).(3)产寺*七T 今(好•顶点 M (- 1，- 一).(2)连接0P ,P 的坐标；(3)利用待如图2,连接AM 交直线DE 于点G ,此时，△ CMG 的周长最小. 设直线AM 的解析式为y = kx+b ,且过点A (2, 0) , M (- 1, -3),2 r 2k+b=0•••直线AM 的解析式为y = 3工-3.cii在 Rt △ AOC 中，一，｛ ,' = 2 •/ D 为AC 的中点，.，•/△ ADE AOC ,• L 丄丄•— V ，• !一广上…' -• - AE = 5,• OE = AE - AO = 5- 2= 3, •- E (- 3, 0), 由图可知D (1 , - 2)设直线DE 的函数解析式为y = mx+n ,irrbn- —2t _3in+n=0•直线DE 的解析式为【知识点】二次函数的综合题；面积最值问题；相似三角形的判定与性质8. ( 20佃年广西柳州市，26，10分)如图，直线y=x-3交x 轴于点A ，交y 轴于点C ,点B 的坐标为(1，0), 抛物线y=x 2+bx+c (0)经过A 、B 、C 三点，抛物线的顶点为 D ，对称轴与x 轴的交点为点 E ,点E 关于原1点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，-CE 的长为半径作圆，点 P 为直线y=x-3上的一个动点.2(1) 求抛物线的解析式；(2)求厶BDP 周长的最小值；【思路分析】(1)直线y = x - 3,令x = 0,贝U y =- 3,令y = 0，贝U x = 3，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,-3),代入抛物线的解析式求解；(2) 过点B 作直线y = x - 3的对称点B ',连接BD 交直线y = x - 3于点P ,直线B ' B 交函数对称轴与点 G , 则此时△ BDP 周长=BD+PB+PD = BD+B ' B 为最小值，用对称求得 B '的坐标，进而求出 B ' B 的长，最后 求得△ BDP 周长的最小值；(3) 如图2所示，连接PF 并延长交圆与点 Q ,此时PQ 为最大值，P 在直线y = x - 3上，设点P (m , m - 3),利用PF=CE 求出点P 的坐标，进而得出直线 PF 的解析式，求得 PF 与抛物线的两个交点，则 S 四边形ABMN =S 梯形NRSM 减去 S ^ARN 减去 S ^SBM ・【解题过程】(1)直线y = x -3，令x = 0，则y =- 3，令y = 0,则x = 3,故点A 、C 的坐标为(3, 0)、(0,-(3)若动点P 与点C 不重合，点 Q 为O F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于 -CE 时，过PQ 两点的直线与2抛物线交于MN 两点，点M 在点N 的左侧，求四边形 ABMN 的面积.).(2)在抛物线对称轴I 上找一点M ，使|MB - MC|的值最大，并求出这个最大值;3),则抛物线的表达式为：y = a (x - 3) (x - 1)= a (x 5 6~ 4x+3),贝V 3a =- 3,解得：a =- 1，故抛物线的表达 式为：y =- x 2+4x - 3…①； (2)过点B 作直线y = x - 3的对称点B ',连接BD 交直线y = x - 3于点P ,直线B ' B 交函数对称轴与点 G , 连接 AB ',则此时△ BDP 周长=BD+PB + PD = BD+B ' B 为最小值，5 2 2PF = 13=( m - 2) + (m - 3)，解得：m = 1,故点P (1,- 2),将点P 、F 坐标代入一次函数表达式并解D ( 2, 1)，则点 G (2,- 1),即：BG = EG ,即点 G 是 BB '的中点，过点 B '( 3,- 2),(1) 求抛物线的解析式; △ BDP 周长最小值=BD+B ' B = ,T"i(3) 如图2所示，连接PF 并延长交圆与点 Q ,此时PQ 为最大值，故点M 、N 的坐标分别为：(9. (20佃贵州省安顺市，26, 14分)如图，抛物线y = -x 2+bx+c 与直线y = 1 x+3分别相交于A , B 两点，且此2 2 x 轴的一个交点为 C ,连接AC , BC .已知A (0, 3), C (- 3, 0).得：直线PF 的表达式为: y =- ■ 7^/34 -26^2^34 x - …②，联立①②并解得： 7+V34 x =-26-2/34 贝U CE = ^L3, FQ = 1CE ，贝U PF = — CE - 2=苗刁，设点 P ( m , m - 3),点 F (- 2, 0),过点M 、N 分别作x 轴的垂线交于点 S 、 R ,贝V S 四边形 ABMN = S 梯形 NRSM T S A ARN - S ^SBM =【知识点】二次函数；一次函数；勾股定理; 中心对称；最短路线；面积抛物线与点A 、B 、C 、E 、F 的坐标为( 3, 0)、(1, 0)、(0,- 3)、(2, 0)、(- 2,(3)点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA ，过点P 作PQ 丄PA 交y 轴于点Q ,问：是否存在点 P 使得以A , P , Q 为顶点的三角形与△ ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路分析】(1)①将A (0, 3), C (- 3, 0)代入y = *x 2+bx+c .(2)分当点B 、C 、M 三点不共线时、当点 B 、C 、M 三点共线时, PG BC iPG BC(3) 分当竺二二丄时、当PG -3时两种情况，分别求解即可.AG AC 3 AG AC解：(1)①将 A (0, 3), C (- 3, 0)代入 y = -x 2+bx+c 得: 2c =39 ，解得:--3b c = 0 1 2 5•••抛物线的解析式是 y =丄x 2+-x+3; 2 21⑵将直线y = 2x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x =0或-4,••• A ( 0, 3), • B (- 4, 1)① 当点B 、C 、M 三点不共线时，|MB - MC|v BC② 当点B 、C 、M 三点共线时，|MB - MC|= BC•当点、C 、M 三点共线时，|MB - MC|取最大值，即为 BC 的长，两种情况分别求解即可;【解题过过点B作x轴于点E,在Rt△ BEC中，由勾股定理得BC= - BE2CE? = 2 ,• |MB - MC|取最大值为.2 ；............................................... 8分(3)存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ ABC相似.△ PAG BAC ,• x 1 lx 2 5x 3—3 32 2 解得x 1 = 1 , X 2= 0 ,(舍去)1 2 5•••点P 的纵坐标为一x 12+ x 1+3= 6,2 2•点 P 为(1, 6); △ PAG ABC ,x ---------- =3 ,】x 2 5x 3 -3 2 213解得X 1 =-—(舍去)，X 2= 0 (舍去)，3•此时无符合条件的点 P综上所述，存在点 P (1, 6) . ................................................14分【知识点】一次函数、三角形相似、勾股定理运用，二次函数，分类讨论；数形结合2 、10. (2019吉林省，26, 10分)如图，抛物线 y=(x-1) +k 与x 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C (0, -3), P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且m > 0(1 )求此抛物线的解析式；(2) 当点P 位于x 轴下方时，求△ ABP 的面积的最大值；(3)设此抛物线在点 C 与点P 之间部分(含点 C 和点P )最高点与最低点的纵坐标之差为h①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围； 1 2 5设点 P 坐标为(x , x 2+ x+3) (x >0) 2 2在 Rt △ BEC 中，T BE = CE = 1 ,二/ BCE = 45°, 在 Rt △ACO 中，T AO = CO = 3,「./ ACO = 45°, :丄 ACB =180° - 45°-45°= 90°, AC = 3 ： 过点P 作PQ 丄PA 于点P ,则/ APQ = 90°, 过点P 作PQ 丄y 轴于点G ,vZ PQA=Z APQ = 90° / PAG = Z QAP,." PGA s^ QPA•••/ PGA =Z ACB = 90°* PG BC AC =3时 12分 PGAG BC AC =3时,第26题答图②当h=9时，直接写出△ BCP的面积.【思路分析】(1)由题意知，C点在抛物线上，所以把点C代入解析式即可求出此抛物线的解析式;(2)如图，过点P作PH丄x轴于点H,1 1 1则S^APB=S△APH +S^BPH= PH AH PH BH PH AB2 2 22••• y=(x-1) -4 •••当y=0 时，X1=-1,X2=3「. A(-1 , 0),B(3, 0)/• AB=4 , v P 的横坐标为m,••• P 的纵坐标为(m-1)2-4=m2-2m-3, • P(m,m2-2m-3)• PH=-m2+2m+3，从而可以求ABP 的面积的表达式, 进而求出面积的最大值；(3)由解析式可知抛物线的顶点坐标为( 1 , -4)①分两种情况，当O v m<2时，即点P在点C的下方时，h=-3-(-4)=1;当m> 2 时，点P 在点 C 的上方，h=m2-2m-3-(-4)=m 2-2m+1 ,■《• OCM tlh二).*综上所述②当h=9时，代入①中的关系式求出m的值，代入△ BCP的面积算式，求出△ BCP的面积【解题过程】(1)v y=(x-1)2+k , C ( 0, -3)在抛物线上,• k=-4,•抛物线的解析式为y=(x-1) 2-4⑵如图，过点P作PH丄x轴于点H ,1 1 1PH AH PH BH PH AB 则S^APB=S△APH +S^BPH=222V y=(x-1) 2-4•••当y=0 时，X1=-1,X2=3•A(-1 , 0),B(3 , 0)•AB=4 ,P 的横坐标为m ,••• P 的纵坐标为(m-1)2-4=m 2-2m-3,2• P(m,m -2m-3)• PH=-m 2+2m+3,2 2 S *B = -(- m 2m 3) 4 = -2m 4m 6 , •••当m=1时S 最大=8(3)由解析式可知抛物线的顶点坐标为(1 , -4) ①分两种情况，当 O v m<2时，即点P 在点C 的下方时，h=-3-(-4)=1;当 m > 2 时，点 P 在点 C 的上方，h=m 2-2m-3-(-4)=m 2-2m+1 ,【知识点】二次函数226, 12分)如图，抛物线y 二-x bx c 与x 轴交于点 (1) 求抛物线的表达式；(2) 作射线AC ，将射线AC 绕点A 顺时针旋转90交抛物线于另一点 D ，在射线AD 上是否存在一点 H ，使CHB 的周长最小•若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，点Q 为抛物线的顶点，点 P 为射线AD 上的一个动点，且点 P 的横坐标为t ，过点P 作x 轴的垂线I ,垂足为E ，点P 从点A 出发沿AD 方向运动，直线l 随之运动，当-2 ：：:t ：：:1时，直线l 将四边形ABCQ综上所述②当h=9时，代入①中的关系式 m 2-2m+1=9 , • m i =-2(舍去)，m 2=4, • P6 (4,5)11. (2019广西桂林, A(-2,0)和B(l,0),与y 轴交于点C .分割成左右两部分，设在直线 l 左侧部分的面积为 S ，求S 关于t 的函数表达式.【思路分析】(1)由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为y二Tx • 2)(x -1)，去括号即得到抛物线的表达式.(2) 由于点H 在射线AD 上运动，点C 、B 在射线AD 的同侧，求.CHB 的周长最小即求 CH - BH 最小，作点C 关于直线 AD 的对称点 C •即有CH =CH ，只要点C 乙H 、B 在同一直线上时， CH ・BH =CH - BH =CB 最 小.求点C 坐标，即求直线 AC 解析式，由射线 AD 是由射线AC 旋转90得到可求得直线 AD 解析式.由点A 为 CC •中点求得点C •坐标，即求得直线CB 解析式，把直线AD 与直线CB 解析式联立成方程组， 求得的解即为点 H 坐标.(3) 求点Q 坐标，画出图形，发现随着 t 的变化，直线I 与四边形ABCQ 不同的边相交，即直线I 左侧部分的形 状不相同，需分直线I 分别与线段AQ 、QC 、CB 相交三种情况.当直线I 与线段AQ 相交于点F 时，S 即为.AEF 的面积，求直线 AQ 解析式，即能用t 表示F 的坐标进而表示 AE 、EF 的长，代入面积公式即得到 S 与t 的函数 关系式；当直线I 与线段QC 相交于点G 时，作QM _x 轴于点M , S 为.：AQM 与梯形MEGQ 面积的和，求直 线QC 解析式，用t 表示G 的坐标进而表示 GE 、ME 的长，再代入计算；当直线 I 与线段BC 相交于点N 时，S 为四边形ABCQ 与BEN 面积的差，求直线BC 解析式，用t 表示N 的坐标进而表示 NE 、BE 的长，代入计算即 可.【解题过程】解： (1 )抛物线与x 轴交于点A(_2,0)和B(I,O)2.交点式为 y - ~(x ■ 2)(x -1) - -(x x -2).抛物线的表示式为 y - -x 2 -X • 2(2)在射线 AD 上存在一点 H ，使.CHB 的周长最小.» x =0 时，y = -x 2 -x 2 =2C(0,2).OA =0C =2--CAO =45，直线 AC 解析式为y =x * 2:射线AC 绕点A 顺时针旋转90得射线ADZCAD =90BC 与AD 交点即为满足条件的点..OAD =/CAD -/CAO =45.直线AD解析式为y x_2 :'AC 二AC , AD _CC .C ( ^, -2) , AD垂直平分CC '.CH =CHB在同一直线上时， C CHB =CH BH BC=CH BH BC 设直线BC解析式为y =kx -.-a BC BC最小I -4k a = -2 k a =0 解得:k 2k 二5I _ 252 .直线BC : y x52 2 y x -5 5y - -x -2 解得:8 x 二76 y」7.点H坐标为(-8，-6)2 1 2-x 2 - -(x ) 2-2m n = 0 1 9 解得: m 十n = — 2 43 m 2n =3T 点P 横坐标为t ，PF _x 轴于点El 与线段AQ 相交于点F1 Q.抛物线顶点Q （-丄，9） 2 4设直线BC 解析式为y =rx 23.F(t, t 3)2.S=S AEF =-AE^F =-(t 2)(-t 3^-t 2 3t 3a 22 2 43，直线l 与线段QC 相交于点G ，过点Q 作QM _ x 轴于M9 QM 一41S AQMV AM ^M9 27 4 一16设直线CQ 解y 二 qx 2 把点Q 代入：—A q 亠2 = 9，解得:2 41~21.直线 CQ: y x 22G(t, -S 2)21 .EM =t _(__)2_1S梯形 MEGQ - 2 QM=tGE GE 二丄t21巾 1 丫丄1 )1 . 丄17 MEt 2 t t 2 2t‘ 2「4 2 人 2 丿 4 1627 1 217 t 2t 164162 1 2 t 417 直线I 与线段BC 相交于点N-■ S =S.A QMS 梯形MEGQ把点B 代入：r 2 =0，解得：r =^2 .直线 BC : y - _2x 2 .N(t, 2 2) .BE T _t , NE - 22.S BEN =1 BELNE =1(1 —1)( —2t 2) =t 2 —2t 13 21二t 2 +3t+3(-2 ct, ——) 4 2 1 2 11 1S t 2t ( t, 0)4 4 2 2 11 t -2t (0 :：: t ：：:1)412. (2019广西贺州，26，12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为(-1,0)，且OA =OC 抛物线y =axbx • c(a =0)图象经过 A ， B ，C 三点.(1 )求A , C 两点的坐标； (2) 求抛物线的解析式； (3) 若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD _AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点 标及PD 的最大值.(2) 抛物线的表达式为：y =a(x • 1)(x -4) =a(x 2-3x-4)，即可求解;\'S 梯形 MOCQ丄 QM CO OM 」］9224 2 27 17 ■ S 梯形 MOCQ■ S BOC -'S BEN =16 16 ,1 17 ii2 廿晶，S B OC =2BO LC°6 1 2 9 171 -；t2 —2t 1 =t 2 — 2t 11164综上所述,【知识点】二次函数的图象与性质；旋转的性质；轴对称求最短路径；一次函数的图象与性质；解二元次方程= 4OB ,P 的坐(3) PD 二HP sin PFD 二-^(x -4 - x23x 4，即可求解.【解题过程】解： (1) OA =0C =4OB =4 ,故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0, _4);(2)抛物线的表达式为：y=a(x • 1)(x _4) =a(x7 _3x_4),即_4a = /，解得：a =1，故抛物线的表达式为：y =x2 _3x _4 ；(3)直线CA过点C ,设其函数表达式为：y = kx _4，将点A坐标代入上式并解得：k =1，故直线CA的表达式为：y =x _4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，；OA =OC =4，Z OAC /OCA =45，TPH //y轴，..PHD OCA =45，设点P(x,x2 -3x-4)，则点H(x,x-4)，7-y <0，- PD有最大值，当x=2时，其最大值为2 2，此时点P(2, -6).【知识点】二次函数综合题;一次函数;解直角三角形；图象的面积计算213.(2019内蒙古赤峰，25, 14分)如图，直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x +bx+c 经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得/ APB = Z OCB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.PD 二HP si n. PFD 2(x-4 -x23x 4) 2 x22 2x，2 2【思路分析】(1)直线y =- x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3, 0)、(0,将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解;(2)如图1,作点C 关于x 轴的对称点C ',连接CD '交x 轴于点E , (3)分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解.故函数的表达式为：y =- X 2+2X +3 , 令 y = 0,则 x =- 1 或 3，故点 A (- 1, 0);3),则此时EC+ED 为最小，即可求解;【解题过程】解：(1)直线y =- x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点, 则点B 、C 的坐标分别为(3, 0)、(0,3),将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得: ，解得:直线CD的表达式为：y= 7x- 3,当y= 0 时，x -,故点 E (-，x);(3)①当点P在x轴上方时，如下图2,则此时EC+ED为最小, 将CD的坐标代入一次函数表达式并解得:C',连接CD'交x轴于点E,—3),过点B 作BH 丄AH ，设PH = AH = m , 则 PB = PA_m ,2 2 2由勾股定理得：AB = AH +BH ,16= m 2 + （ m - m ） 2,解得：m ---------------- （负值已舍去）， 则 PB 一m = 1 —,则y p②当点P 在x 轴下方时， 则 y p =-（）;故点P 的坐标为（1,— 一）或（1，— —）.【知识点】 二次函数综合题；一次函数；等腰三角形性质； 点的对称性14. （2019内蒙古赤峰，26, 14分）【问题】如图1，在Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°, AC = BC ,过点C 作直线I 平行于AB . Z EDF = 90。

规律探索综合题（⼏何）-全国各地2019年中考数学压轴题⼏何⼤题题型分类汇编（解析版）2019全国各地中考数学压轴⼤题⼏何综合⼋、规律探索综合题1.（2019?⼗堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内⼀点，将△CAD绕点C按逆时针⽅向旋转⾓α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同⼀直线上．（1）填空：∠CDE＝（⽤含α的代数式表⽰）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满⾜∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针⽅向旋转⾓α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针⽅向旋转⾓60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三⾓形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（3）如图，当点G在AB上⽅时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下⽅，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．2.（2019?宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，⼜FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直⾓三⾓形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．3.（2019?襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正⽅形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为1；（2）类⽐探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A 落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应⽤：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．（1）①证明：∵四边形ABCD是正⽅形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：结论：＝1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平⾏四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴K＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．4.（2019?天门）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满⾜的等量关系式：AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满⾜的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三⾓形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB⾄点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于圆O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD=AD，∠M=∠ACD=45°，∴MD⊥AD．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；（3）如图③，延长AB⾄点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，⼜AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．5.（2019?岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上⼀动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂⾜分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平⾏四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平⾏四边形PMQN的周长；（3）类⽐探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试⽤含a、b的式⼦表⽰QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接⽤含a、b的式⼦表⽰QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴?BF?EH＝?BE?PM+?BF?PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平⾏四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平⾏四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．6.（2019?常德）在等腰三⾓形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取⼀动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC 交NB的延长线于点F，求证：AM?PF+OM?BN＝AM?PE．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴＝，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴＝，∴+＝+＝1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的⽅法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，⼜∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴＝，∴AM?MB＝OM?MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM?BN，∴AM?PF+OM?BN＝AM?PE．7.（2019?连云港）问题情境：如图1，在正⽅形ABCD中，E为边BC上⼀点（不与点B、C重合），垂直于AE的⼀条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂⾜P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂⾜P在正⽅形ABCD的对⾓线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正⽅形ABCD 的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最⼩值．问题拓展：如图4，在边长为4的正⽅形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正⽅形ABCD 沿着MN翻折，使得BC 的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂⾜分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：∵四边形ABCD是正⽅形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所⽰：∴四边形MBFN为平⾏四边形，∴NF＝MB，∴BF⊥AE，∴∠BGE＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵DN+NF+CF＝BE+EC，∴DN+MB＝EC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所⽰：∵四边形ABCD是正⽅形，。

2019年全国各地中考数学压轴题汇编几何综合(含答案)一．选择题（共10小题）1．（2019•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11B．10C．9D．8选：C．2．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E 在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．5解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EF A＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．3．（2019•台湾）如图表示A、B、C、D四点在O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝67.5°，∴∠ABF＝123.25°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．4．（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0B．4C．6D．8解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9，故选：D．5．（2019•台湾）如图的△ABC中，AB＞AC＞BC，且D为BC上一点．今打算在AB上找一点P，在AC上找一点Q，使得△APQ与△PDQ全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接AD，作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求（乙）过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q 两点即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确解：如图1，∵PQ垂直平分AD，∴P A＝PD，QA＝QD，而PQ＝PQ，∴△APQ≌△DPQ（SSS），所以甲正确；如图2，∵PD∥AQ，DQ∥AP，∴四边形APDQ为平行四边形，∴P A＝DQ，PD＝AQ，而PQ＝QP，∴△APQ≌△DQP（SSS），所以乙正确．故选：A．6．（2019•福建）如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°解：连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．7．（2019•台湾）如图，将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．根据图中标示长度与角度，求梯形纸片中较短的底边长度为何？（）A．4B．5C．6D．7解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝8，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝8，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝8，∴AE＝CF＝×（20﹣8）＝6，故选：C．8．（2019•台湾）如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH ≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，故选：D．9．（2019•台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．10．（2019•台湾）如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I．今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A'B'C的顶点A′落在L上，且其内心为I′．若∠A＜∠B＜∠C，则下列叙述何者正确？（）A．IC和I′A′平行，II′和L平行B．IC和I′A′平行，II′和L不平行C．IC和I′A′不平行，II′和L平行D．IC和I′A′不平行，II′和L不平行解：作ID⊥BA'于D，IE⊥AC于E，I'F⊥BA'于F，如图所示：则ID∥I'F，∵△ABC的内心为I，△A'B'C的内心为I′，∴ID＝IE＝IF，∠ICD﹣∠ACB，∠I'A'C＝∠B'A'C，∴四边形IDFI'是矩形，∴II'∥L，∵∠A＜∠B＜∠C，∴∠A'＜∠B'＜∠C，∴∠ICD＞∠I'A'C，∴IC和I'A'不平行，故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2019•上海）如图，在正边形ABCDEF中，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2+．解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴＝2，∵＝+，∴＝2+，故答案为2+．12．（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝20°．解：∵∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADC＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，故答案为：2013．（2019•上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A 落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是2．解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF＝∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．故答案为：2．14．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．15．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，∴AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，∴∠C1D1B1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1D∽△BCD，∴＝，即＝2，解得x＝，∴AD的长为，故答案为．16．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）三．解答题（共14小题）17．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．18．（2019•江西）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．解：（1）如图1，EF为所作；（2）如图2，∠BCD为所作．19．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴＝，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．20．（2019•江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．（1）证明：连接OC，∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB＝CD，∵OA＝OB，∴CD＝OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圆的切线；（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，理由：如图2，连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA+∠BAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE，∵∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．21．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE ⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．22．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．①填空：∠BAO＝160°．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），∴sin∠MBC＝，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．23．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．24．（2019•江西）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝60°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，故答案为：60°；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠F AE＝60°，∴∠F AD＝∠EAB，故答案为：＝；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB＝∠FMB＝90°，∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，∴∠AFN＝∠EFM，∵EF＝EA，∠F AE＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上；（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠AGF＝60°，∴∠FGE＝∠AGE＝30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，∴GN＝2AN，∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝AH＝GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD，∴BC＝GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB＝AN＝NE，∴GE＝3AB，∴＝3．25．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．26．（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．27．（2019•台湾）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高图柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．解：（1）设敏敏的影长为x公分．由题意：＝，解得x＝100（公分），经检验：x＝100是分式方程的解．∴敏敏的影长为100公分．（2）如图，连接AE，作FB∥EA．∵AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF＝150公分，设BC＝y公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分．∴＝，∴y＝180（公分），∴AC＝AB+BC＝150+180＝330（公分），答：高图柱的高度为330公分．28．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．29．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．30．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形。

专题复习（六）几何最值问题（2018荆州）（2018新疆建设兵团）轴对称求最值（2018苏州）二次函数最值（2018铜仁）（2018十堰）垂线段最短（2018贵阳）二次函数求最值（2018泸州）如图5，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 13 .轴对称求最短路径（2018天津）轴对称求最短路径（2018滨州）轴对称求最短路径（2018宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立。

依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2 +PG2的最小值为（ D ）应用结论在GF 边找一点即可A.10B.192 C.34 D.10（2018内江）圆中直径最长（2018兰州）（2018龙东地区）（2018自贡）如图，在⊿ABC 中，AC BC 2,AB 1===,将它沿AB 翻折得到⊿ABD ,则四边形ADBC 的形状是 菱 形，点P E F 、、分别为线段AB AD DB 、、的任意点，则PE PF +的最小值是.平行线之间垂线段最短（2018泰安）（2018广州）如图11，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹，不写作法) （2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE;②若CD=2，AB=4，点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值。

（2018荆门）（2018陕西）（2018扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，OE AB ⊥于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点F 是AO 的中点，3OE =，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE PF +取最小值时，直接写出BP 的长.。

专题复习（八）几何综合探究题（压轴）类型1　类比探究的几何综合题类型2　与图形变换有关的几何综合题类型3　与动点有关的几何综合题类型4　与实际操作有关的几何综合题类型5　其他类型的几何综合题类型1　类比探究的几何综合题（2019河南）（2019吉林）（2019烟台）（2019广西北部湾）（2019武汉）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，，M 是BC 上一点，连接AM n BCAB =(1) 如图1，若n ＝1，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM ＝BN(2) 过点B 作BP ⊥AM ，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q① 如图2，若n ＝1，求证：BQBM PQ CP =② 如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan ∠BPQ 的值（用含n 的式子表示）（2019襄阳）（2019常德）（2019岳阳）（2019 德州）（2019 青岛）23．（本小题满分10 分）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a⨯b 的方格纸（a⨯ b的方格纸指边长分别为a，b 的矩形，被分成a⨯b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b 为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在 2 ⨯2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2⨯2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3⨯2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3⨯2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2 ⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3⨯2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ⨯ 4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在 a ⨯ 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在 a ⨯ 2 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的2⨯2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ⨯ 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．探究四：把图①放置在 a ⨯ 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a⨯ 3 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的2⨯ 2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ⨯ 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在 a ⨯ b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b ，c （a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 a ⨯b ⨯c 个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体．答案：（2019 威海）（2019 台州）（2019 绍兴）答案：（2019 绍兴）答案：（2019 嘉兴）23．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图 1，在△中，⊥ 于点，正方形 的边在上，顶点 ， 分ABC AD BC D PQMN QM BC P N 别在，AB 上，若 ，，求正方形 的边长．AC 6BC =4AD =PQMN (2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△，在上任取一点，画正方形 ，使，在边上， 在△ 内，连结 并延ABC AB P 'P Q M N ''''Q 'M 'BC N 'ABC BN '长交 于点N ，画⊥于点，⊥ 交于点，⊥ 于点，得到四边形AC NM BC M NP NM AB P PQ BC QP ．小波把线段 称为“波利亚线”．PQMN BN (3)推理：证明图2 中的四边形 是正方形．PQMN (4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线 上截取 ，连结 ，(如图 3)．当 BN NE NM -EQ EM 3tan 4NBM ∠=时，猜想∠的度数，并尝试证明．QEM 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．答案：（2019 南京）答案：（2019 连云港）27．(本题满分14分)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE 的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P'处．若正方形ABCD 的边长为4 ，AD 的中点为S ，求P'S 的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B'C'恰好经过点A ，C'N 交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H ．若AG ＝，请直接写出FH 的长．52答案：（2019淄博）（2019贵港）（2019齐齐哈尔）（2019绥化）（2019黑龙江龙东）1.（2019德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．解：（1）连接AG，∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，∴∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH，AB=AD，∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，∴HD=EB，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，∴=cos30°=，∵GC=2OG，∴=，∵HGND为平行四边形，∴HD=GN，∴HD：GC：EB=1：：1．（2）如图2，连接AG，AC，∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=30°，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∽△CAG，∴HD：GC=AD：AC=1：，∵∠DAB=∠HAE=60°，∴∠DAH=∠BAE，在△DAH和△BAE中，∴△DAH≌△BAE（SAS）∴HD=EB，∴HD：GC：EB=1：：1．（3）有变化．如图3，连接AG，AC，∵AD：AB=AH：AE=1：2，∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG，∴AD：AC=AH：AG=1：，∵∠DAC=∠HAG，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∽△CAG，∴HD：GC=AD：AC=1：，∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE，∵DA：AB=HA：AE=1：2，∴△ADH∽△ABE，∴DH：BE=AD：AB=1：2，∴HD：GC：EB=1：：2类型2　与图形变换有关的几何综合题（2019十堰）（2019山西），把△ADE 沿D E翻折，点A的对应（2019郴州）如图1，矩形A BCD 中，点E为A B 边上的动点（不与A，B 重合）点为A1 ，延长EA1交直线D C 于点F，再把∠BEF 折叠，使点B的对应点B1落在E F 上，折痕EH 交直线B C 于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线M N 是矩形A BCD 的对称轴，若点A1恰好落在直线M N 上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF 内一点，且∠DGF=150°，试探究DG，EG，FG 的数量关系．图1 图2 图3（2019淮安）（2019吉林）（2019包头）（2019自贡）25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①线段DB 和DG 之间的数量关系是 DB=DG ；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BDBF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，∠ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1图2 图3（2）①BDBF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-21∠BDF=∠BDG-∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=.∴BG=，∴a 3a 323232==aa BD BG ∴BF+BE=BD.3②GM 的长度为.理由：∵，FC=2DC=4，CM=BC=，∴GM=3191==BE GF 3234319（2019济宁）（2019 金华）24.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 。