黄浦区2016年高三数学理科一模试卷

2016年黄浦区高考模拟考数 学 试 卷题号 一 二 三 总分 得分一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）15212i i+-＝ .2、已知：2,tg α=则(2)2tg πα+的值是 .3、若常数ｂ满足1,b >则21n 1lim n nb b b b -→∞+++=L .4、若x30.618=，且a [k k 1k Z ∈+∈，）（），则ｋ的值是 . 5、函数f (x)sin 2x sin 2x =+的最小正周期为 . 6、函数y sin x 3x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 . 7、［理］（123x x （）展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有 项. ［文］不等式x 12log 0-<的解集是 .１０、 某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是 （结果用既约分数表示）.9、从集合{},111k k z k ∈≤≤中任选两个不同元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的ｍ和ｎ，其中落在矩形Ｂ{}(,)11,9x y x y =<<内的椭圆有 个.１２、 已知双曲线2212y x +=的焦点为12,F F ，点Ｍ在双曲线上，且120,MF MF =u u u u r u u u u r g 则点Ｍ到ｘ轴的距离为 .11、已知四面体ABCD,沿棱AB 、AC 、AD 剪开，铺成平面图形， 得到123A A A △（如图），试写出四面体ABCD 应满足的一个性质： . １３、 已知集合A= ax b x>0cx d +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，这里a ，b,c,d 为实数，若{}012A ⊂，，，且{}2.52A=φI，-，则函数ax bcx d++可以是 （只有写出一个满足条件的函数）. 二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分） 13、已知函数f(x)= 12log (0)ax a -≠满足(2)(2)f x f x -+=--，则实数a 的值为 （ ） A ． 1 B. 12-C. 14D. -1 14、“a=b ”直线2y x =+与圆22"()()2x a y b -+-=相切” 的 （ ） A. 充分不必要条件， B .必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件15、已知两线段2a =,b=22,若以a,b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围为（ ） A.(,)63ππB .(0,]6π C. (0,)2π D. (0,]4π16、设b>0,二次函数221y ax bx a =++-的图像为下列之一，则a 的值为 （ ） A. 1 B. 1- C.15-- D. 15-+三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题16分，第22题18分，共86分）17、已知向量{,12},{4,5},{,10},OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r且A 、B 、C 三点共线，求k 的值.18、已知数列{}n a 的通项公式为1133()[()1]()44n n n a n N --+=-∈.求 （1）求数列{}n a 中的最大项及其值； （2）求数列{}n a 中的最小项及其值.19、【理】在直棱柱111ABC A B C -中，已知01,,,90.AB a AC b AA c BAC ===∠= （1）求使11AB BC ⊥的充要条件（用,,a b c 表示）；（2）求证11B AC ∠为锐角；（3）若060,ABC ∠=则11B AC ∠是否可能为045？证明你的结论.【文】设a 为正数，直角坐标平面内的点集{(,)|,,}A x y x y a x y =--是三角形的三 （1）画出A 所表示的平面区域；（2）在平面直角坐标系中，规定,a Z y Z ∈∈且时，(,)x y 称为格点，当8a =时，A 内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）； （3）点集A连同它的边界构成的区域记为A ，若圆222{(,)|()()}(0)x y x p x q r A r -+-=⊆>，求r 的最大值.20、某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与去年促销费m （万元）（0m ≥）满足231x m =-+.已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费m （万元）的函数； （2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？21、已知抛物线2:2a p y x ax a =++-（a 为实常数）. （1）求所有抛物线a p 的公共点坐标；（2）当实数a 取遍一切实数时，求抛物线a p 的焦点方程.【理】（3）是否存在一条以y 轴为对称轴，且过点(1,1)--的开口向下的抛物线，使它与某个a p 只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，说明理由.【文】（3）是否存在直线y kx b =+（,k b 为实常数），使它与所有的抛物线a p 都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由.22、已知函数()y f x =的定义域为R +，对任意,x y R +∈，有恒等式()()()f xy f x f y =+；且当1x >时，()0f x <. （1）求(1)f 的值；（2）求证：当x R +∈时，恒有1()()f f x x=-； （3）求证：()(0,)f x +∞在上为减函数；【以下（4）小题选理科的学生做；选文科的学生不做】（4）由上一小题知：()(0,)f x +∞是上的减函数，因而()f x 的反函数1()f x -存在，试根据已知恒等式猜想1()f x -具有的性质，并给出证明.2006年黄浦区高考模拟考 数 学 试 卷参考答案题号 一 二 三 总分 得分一、填空题（本大题共１２分，每小题４分，共４８分）15212i i+-＝ i .2、已知：2,tg α=则(2)2tg πα+的值是4. 3、若常数ｂ满足1,b >则21n 1lim n n b b b b -→∞+++L 1b - . 4、若x30.618=，且a [k k 1k Z ∈+∈，）（），则ｋ的值是 1- . 5、函数f (x)sin 2x sin 2x =+的最小正周期为 π .6、函数y sin x 3x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 1 . 7、［理］（123x x （）展开式中，含ｘ正整数次项幂的项有 3 项. ［文］不等式x 12log 0-<的解集是 ()()0,11,2⋃ .８、某班有２１名男生，１５名女生.现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是2（结果用既约分数表示）. 9、从集合{},111k k z k ∈≤≤中任选两个不同元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的ｍ和ｎ，其中落在矩形Ｂ{}(,)11,9x y x y =<<内的椭圆有 72 个.１１、 已知双曲线2212y x +=的焦点为12,F F ，点Ｍ在双曲线上，且120,MF MF =u u u u r u u u u r g 则点Ｍ到ｘ轴的距离为3. 11、已知四面体ABCD,沿棱AB 、AC 、AD 剪开，铺成平面图形， 得到123A A A △（如图），试写出四面体ABCD 应满足的一个性质：四面体ABCD 的每组对棱相等（答案不唯一，可填“四面体ABCD 的四个面是四个全等三角形”；或填“四面体每个顶点为公共顶点的三个面角之和为π”） .１４、 已知集合A= ax b x>0cx d +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，这里a ，b,c,d 为实数，若{}012A ⊂，，，且{}2.52A=φI，-，则函数ax b cx d ++可以是 2.11xx -+ （只有写出一个满足条件的函数）.二、选择题（本大题共4题，每小题4分，共16分） 13、已知函数f(x)= 12log (0)ax a -≠满足(2)(2)f x f x -+=--，则实数a 的值为 （ B ） A ． 1 B. 12-C. 14D. -1 14、“a=b ”直线2y x =+与圆22"()()2x a y b -+-=相切” 的 （ A ） A. 充分不必要条件， B .必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件15、已知两线段2a =,b=22,若以a,b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围为（D ）A.(,)63ππB .(0,]6π C. (0,)2π D. (0,]4π16、设b>0,二次函数221y ax bx a =++-的图像为下列之一，则a 的值为 （ B ） A. 1 B. 1- C.15-- D. 15-+三、 解答题 （本大题共6题，第17、18题每题12分，第19、20题每题14分，第21题16分，第22题18分，共86分）17、已知向量{,12},{4,5},{,10},OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r且A 、B 、C 三点共线，求k 的值.{}4,7AB OB OA k =-=--u u u r u u u r u u u r ，{}4,5BC OC OB k =-=--u u u r u u u r u u u r----------------------------4分,,A B C 三点共线，⇔存在实常数l ，使AB lBC =u u u r u u u r-----------------------------------------8分()4475k l k l -=--⎧⎪⇔⎨-=•⎪⎩2357k l ⎧=-⎪⎪⇔⎨⎪=-⎪⎩23k ∴=------------------------------------------------------------------------------------------------12分18、已知数列{}n a 的通项公式为1133()[()1]()44n n n a n N --+=-∈.求（1）求数列{}n a 中的最大项及其值； （2）求数列{}n a 中的最小项及其值.()1当2n ≥时，13310,44n -⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭从而11331044n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故10a =为数列{}n a 的最大项----------------------------------------------------------------------4分()211133311144424n n n n a ---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦134n -⎛⎫ ⎪⎝⎭Q 随n 的增大而减小，又32313424⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--------------------------------------------8分134n -⎧⎫⎪⎪⎛⎫∴⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭中与12距离最近的数是234⎛⎫ ⎪⎝⎭故397631616256a ⎛⎫=•-=-⎪⎝⎭是数列{}n a 的最小项--------------------12分 19、【理】在直棱柱111ABC A B C -中，已知01,,,90.AB a AC b AA c BAC ===∠= （1）求使11AB BC ⊥的充要条件（用,,a b c 表示）； （2）求证11B AC ∠为锐角；（3）若060,ABC ∠=则11B AC ∠是否可能为045？证明你的结论.【文】设a 为正数，直角坐标平面内的点集{(,)|,,}A x y x y a x y =--是三角形的三 （1）画出A 所表示的平面区域；（2）在平面直角坐标系中，规定,a Z y Z ∈∈且时，(,)x y 称为格点，当8a =时，A 内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；（3）点集A 连同它的边界构成的区域记为A ，若圆222{(,)|()()}(0)x y x p x q r A r -+-=⊆>，求r 的最大值.()()()1110,0,,,0,,0,,A c B a c C b c ------2分()1{}{}11,0,,0,,AB a c BC b c ==u u u r u u u u r11AB BC ⊥110AB BC ⇔•=u u u r u u u u r220a c a c ⇔-+=⇔=即11AB BC ⊥的充分条件是a c =---------------------------------------------6分()2{}10,,AC b c =u u u u r ，211111111cos 0AB AC c B AC AB AC AB AC •∠==>••u u u r u u u u rQ u u u r u u u ur u u u r u u u u r 11B AC ∴∠为锐角-------------------------------------------------------------------8分()301111222245cos 2B AC B AC a c b c ∠=⇔∠==+•+ 0060,tan 603,3bABC b a a∠=∴===Q2222232a c a c c ++=解得273a c -+=---------------------------------------------------------------11分 若060,ABC ∠=解当273a c -+=时，01145B AC ∠=--------------14分[文]()1,,x y a x y --是三角形三边长0,0,0()()x y a x y x y a x yx a x y yy a x y x >>-->⎧⎪+>--⎪⇔⎨+-->⎪⎪+-->⎩02022a x a y a x y ⎧<<⎪⎪⎪⇔<<⎨⎪⎪+>⎪⎩---------------------------------------8分 ∴点集A 构成的平面区域为等腰直角三角形ABC ，如上图阴影部分表示（不包括边界）。

黄浦区2016学年度第一学期高三年级期终调研测试英语试卷（完卷时间： 120分钟满分： 150分）2016年12月9日上午第I卷（共100分）I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Six years ago. B. Seven years ago.C. Eight years ago.D. Nine years ago.2. A. See a film with the woman. B. Attend a charity show.C. Get ready for a charity show.D. Make a new movie.3. A. She is going to be the man’s neighbor. B. She has just moved into a new house.C. She is arranging a family trip.D. She arrived in Canada yesterday.4. A. How to pay the registration fee. B. Why to use a credit card.C. When to send a cheque.D. Where to pay cash.5. A. Film stars. B. Radio hosts.C. Pop singers.D. Composers.6. A. He drove her to the airport. B. He followed her to the airport.C. He bought her a map of the airport.D. He lined out the route to the airport on a map.7. A. The man should apply for a bank loan.B. The man should work in a bank to get money.C. The man should turn to someone available for help.D. The man should take other students’ approaches.8. A. Both the tennis courts and the table tennis tables are free.B. Neither of the tennis courts and table tennis tables are free.C. The table tennis tables are free, but the tennis courts are not.D. The tennis courts are free, but the table tennis tables are not.9. A. In a factory. B. In a school.C. In a gym.D. In a lab.10. A. A stationer’s. B. A paint shop.C. A bookstore.D. A drawing class.Section BDirections: In Section B, you will hear one short passage and two longer conversations. After each passage or conversation, you will be asked several questions. The passage and the conversations will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11.A. To arouse people’s interest in pop music. B. To provide more information about the music.C. To have it lined with the main building.D. To display a separate and different section.12.A. It once experienced serious damage. B. Its rebuilding was an easy job.C. It is owned by a rich family.D. It opens for 362 days every year.13.A. Museum visitors. B. Government workers.C. Music authors.D. Individual donators.Questions 14 through 16 are based on the following conversation.14. A. 4:00 p.m. in the classroom. B. 7:00 p.m. in the classroom.C. 4:00 p.m. in the garden.D. 7:00 p.m. in the garden.15. A. He has classes at that time. B. He is travelling abroad.C. He doesn’t like barbeque.D. He hasn’t prepared a gift.16. A. A watch. B. A card. C. A ball. D. A headphone.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17.A. The tickets have to be booked in advance. B. It will be performed at 6 p.m.C. There will be two performances.D. It will be on at the theatre.18.A. The Piazza. B. The Concert Hall.C. The theatre.D. The Town Hall.19.A. $8. B. $10. C. $15. D. $20.20.A. Art Exhibition. B. Ballet Performance. C. Mask Party. D. Living Theatre.II. Grammar and VocabularySection ADirections: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.Infant Day Care, Good or Bad?The British psychoanalyst John Bowlby maintains that separation from the parents during the sensitive “attachment” period from birth to three may influence a child’s personality and lead to emotional problems in later life. Some people have drawn the conclusion from Bowlby’s work (21) _________ children should not be sent to day care before the age of three because of the parental separation (22) _________ involves, and many people do believe this. But there are also arguments (23) _________ such a strong conclusion.Firstly, experts point out that the isolated love affair between children and parents (24) _________ (find) in modern societies does not usually exist in traditional societies. For example, in some tribal societies, such as the Ngoni, the father and mother of a child did not raise their infant alone – far from it. Secondly, common sense tells us that day care would not be so widespread today (25) _________ parents and care-takers found children had problems with it. Statistical studies of this kind have not yet been carried out, and they have regularly reported that day care had a slightly positive effect on children’s development. But tests (26) ________ have been used to measure this development are not widely enough accepted to settle the issue.But Bowlby’s analysis raises the possibility that early day care has delayed effects. The possibility that such care might lead to, say, more mental illness or crime 15 or 20 years later can only be explored by the use of statistics. Whatever the long-term effects, parents sometimes find the immediate effects difficult (27) _________ (deal) with. Children under three are likely to protest at (28) _________ (leave) their parents and show unhappiness. At the age of three or three and a half almost all children find the change to nursery easy, and this is undoubtedly (29) _________ more and more parents make use of child care at this time. The matter, then, is far from clear-cut, though experience and available evidence (30) _________ (indicate) early care is reasonable for infants.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.First Aid: Difference between Death and LifeFirst aid is emergency care for a victim of sudden illness or injury until more skillful medical treatment is available. It may save a life or improve certain ___31___ signs including pulse, temperature, and breathing. First aid must be ___32___ as quickly as possible. In the case of the critically injured, a few minutes can make the difference between complete recovery and loss of life.First-aid ___33___ depend upon a victim’s needs and the provider’s level of knowledge and skill. Knowing what not to do in an emergency is as important as knowing what to do. For example, ___34___ moving a person with a neck injury can lead to permanent health problems.Despite the variety of injuries possible, several ___35___ of first aid apply to all emergencies. The first step is to call for professional medical help. The victim, if conscious, should be reassured that medical aid has been requested, and asked for permission to provide any first aid. Next, ___36___ the scene, asking other people or the injured person’s family or friends about details of the injury or illness, any care that may have already been given, and ___37___ conditions such as heart trouble. Unless the accident scene becomes unsafe or the victim may suffer further injury, do not move the victim.First aid requires rapid assessment of victims to determine whether ___38___ conditions exist. One method for ___39___ a victim’s condition is known by the acronym ABC, which stands for:A – Airway: is it open and clear?B – Breathing: is the person breathing? Look, listen and feel for breathing.C – Circulation: is there a pulse? Is the person bleeding ___40___? Check skin color and temperature foradditional indications of circulation problems.III. Reading ComprehensionSection ADirections:For each blank in the following passages there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Animal RightsEvery conscious being has interests that should be respected. No being who is conscious of being alive should be devalued to thinghood, dominated, and used as a resource or ___41___. The key point of the idea known as animal rights is a movement to extend moral consideration to all ___42___ beings. Nobody should have to demonstrate a specific level of intelligence or be judged beautiful to be given moral consideration. No being should have to be useful to humanity or capable of accepting “duties” in order to be extende d moral consideration. ___43___, what other animals need from us is being free from duties to us.Animal rights is about letting animals live on their own terms. It can be written into our laws, but is not an actual list or bill of rights as we have for human society. It begins with our promises not to act like ___44___ of others. Animal rights is about justice ─ treating animals fairly.Why is animal rights ___45 ___? It is because we humans often act as though we are the only beings on the planet. Although we depend on other animals for our very survival, humans are the only animals that have upset the balance of nature. There are lots of ways that humans ___46___ animals. We domesticate them and use them for food, even though our nutritional needs can be completely supplied by a(n) ___47___ diet. Although other materials are available, we use animal’s skin and other body parts for clothing, furs, hats, boots, jewellery and even pet toys. Humans can talk about it but animals cannot. All animals wish to experience life in its fullness. Unlike many animals who have to kill to survive, humans do not. Why should humans cause ___48___ to other beings when it’s not necessary?As we do, animals protect their children; they feel fear; they warn each other of dangers; they play. We might differ from other animals in some ways, but that doesn’t give us the right to ___49___ them down, take their lands, pollute their waters, or use them for our conveniences. Animals also experience pain and it’s not difficult to observe ___50___ of pain in the way a conscious being reacts to it. We take advantage, cause distress, and act ___51___ when we use animals for amusement. Lots of pets are ___52___ on the streets when their owners no longer find it convenient or affordable to keep or care for them.Whether we admit it or not, it’s a prejudice to think we are ___53___ to animals and that it is our right to control them, which can only make people act mean, hateful or neglectful. However, each of us has within us the power to ___54___. We can adopt a different attitude, one that reshape our destiny. This will have wonderful effects on the planet’s other communities, for life is ___55___ avoiding suffering. It is interacting, singing, pursuing joy. We humans can learn to live responsibly, with respect, kindness and love.41. A. companies B. goods C. insects D. providers42. A. active B. conscious C. intelligent D. strange43. A. Indeed B. Moreover C. Nevertheless D. Otherwise44. A. followers B. friends C. masters D. tutors45. A. necessary B. neglected C. respected D. revolutionary46. A. distinguish B. eliminate C. exploit D. raise47. A. animal-free B. eco-friendly C. low-salt D. well-balanced48. A. conflict B. confusion C. isolation D. misery49. A. calm B. chase C. pull D. tear50. A. signs B. symbols C. symptoms D. performances51. A. differently B. enthusiastically C. gently D. unfairly52. A. abandoned B. chosen C. oppressed D. spoiled53. A. accessible B. appealing C. reasonable D. superior54. A. change B. dominate C. persist D. proceed55. A. contrary to B. more than C. owing to D. rather thanSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have read.(A)①Did English football finally find a new star? At the age of 19, Theo Walcott came onto the scene by scoring a hat-trick for England in a 4-1 victory over Croatia in 2010 World Cup.②Walcott’s lightning speed and accurate shooting turned the teenager into an overnight star. Many thought he was a new dawn for the England team. He was building his fame for his fast pace, with former Barcelona manager Pep declaring that “you would need a gun to stop him.” FIFA World Player of the Year winner Lionel Messi once also described Walcott as “one of the most dangerous players I have ever played against.” In addition to his speed, Walcott also possessed good balance, movement and technique.③It was symbolic that Walcott’s goals came from the right-wing. The position had been played by “golden boy” David Beckham for more than 10 years. No longer were the cheers for Beckham. The fans’hopes now rested on the shoulders of Walcott.④Walcott was born in London to a black British Jamaican father and a white English mother. He grew up as a Liverpool fan due to his father’s support of Liverpool. When Chelsea asked him to be a ball boy, he used the opportunity to meet his Liverpool idols.⑤The teenager’s rise to fame was not completely out of blue. He was part of England’s World Cup team in 2006, but he did not get to play a match. He also spent over two years at Arsenal, where he was fast becoming a key player.⑥But that year, few were expecting the wonderful performance between England and Croatia. The teenager was the first England player to score three goals in a game since Michael Owen did so seven years before.⑦Although England was full of superstars, they had a poor record in major tournaments. But things were beginning to change. The win against Croatia was sweet revenge. Croatia was the team which knocked England out of Euro 2008.⑧Walcott’s wonderful performance lighted England fans’ hope for World Cup victory in South Africa in 2010, since England had not lifted the cup since 1966.⑨But before England fans got too carried away, our reflection on the past history told us that placing a country’s hopes on one teenager was dangerous.56. Which of the following CANNOT account for Walcott’s increasing fame?A. Fast speed.B. Masterly skills.C. Positional sense.D. Unusual family.57. Why did the author mention David Beckham in the 3rd paragraph?A. To show that England football once had a glorious history.B. To illustrate that Walcot t could be entitled “golden boy”.C. To indicate that England fans were difficult to please.D. To imply that people had high expectation on Walcott.58. In the 5th paragraph, the underlined phrase “out of blue” most probably means “________”.A. impoliteB. unexpectedC. impossibleD. unintentional59. What is the author most likely to agree with?A. Walcott might not live up to fans’ expectation.B. Walcott might transfer from Arsenal to Liverpool.C. Croatia might change the history of the World Cup.D. England might be defeated by the opponent in the next round.(B)✓OverviewExplore Stewart Island and the surrounding bays in our modern mini-buses. Our guides enjoy sharing their local knowledge of the history and environment of Stewart Island. Highlights include Lee Bay, the gateway to Rakiura National Park, beautiful Horseshoe Bay and amazing views of Paterson Inlet from Observation Rock.✧More information♦Departure location: Oban Visitor Centre.♦What to bring: Comfortable walking shoes or boots, waterproof jacket, warm sweater or fleece jacket, sunscreen or sunglasses, insect repellent and camera.♦Car parking: Vehicle parking is available at Oban (extra cost—reservations recommended).♦Wheelchair access: Available.♦Children ticket: Children under ten go free for travel as long as they are accompanied by an adult.✧Reviews♦“There was so much to see and learn that it was hard to take everything in. The bays we stopped at were beautiful with golden sandy beaches, the forests were overpowering and we expecteddinosaurs to appear at any time, the views from lookout point were splendid and the anchor pointwith Bluff brought a smile. Thank you to Chris and the experienced team for such an informativetour.”Ron P♦“Any visitor to Stewart Island could do no better than take one of the guided tours from the Oban Visitor Centre—especially if you only have limited time available. We had the delightful andextremely informative Kylie conduct a small number on one of the village tours. This is a beautifulplace—a few fascinating shops and restaurants, wonderful walks and warm and friendly people.”Michael Mason ♦“I love finding out about places and the guide was full of information and stories as we visited every interesting place and view in Oban (it didn’t take too long...). A great way to start a visit as it helpsyou know where everything is.”Kiwieric60. If a traveler plans to leave a car at Oban, he had better ________.A. refer to the guides firstB. use wheelchair accessC. make a reservationD. walk to the center in advance61. Herry, a six-year-old boy, wanted to have a sightseeing of the Stewart Island with his parents. How muchshould they pay for the mini-bus tour?A. $135.B. $90.C. $ 45.D. Free.62. If a traveler takes the guided tour, he can experience all the following EXCEPT ________.A. breath-taking sceneryB. charming walksC. dinosaur samplesD. detailed tour guide(C)①What does it say about the future of meat when the country’s largest processor of chicken, pork, and beef buys a stake(股份) in a start-up that aims to “perfectly replace animal protein with plant protein”?②Tyson Foods announced this week that it purchased a 5 percent stake in Beyond Meat, the Southern California-based food-tech start-up that made headlines earlier this year with its veggie burger that reportedly cooks and tastes like real beef.③To be sure, Beyond Meat’s meatless creations have yet to take the country by storm. Although the 100 percent plant-based burgers have achieved plenty of positive press since they appeared for the first time in May, so far they’re only available at Whole Foods stores in seven states. Even though the company’s “chicken” strips, “beef” pies, and meatless frozen dinners are available nationwide, Beyond Meat is hardly a household name.④That may be what makes the news of Tyson’s investment all the more noteworthy. While the two companies declined to give details about the deal, it’s doubtful that Tyson’s 5 percent stake made much of dent(凹陷) in the meat giant’s coffers(金库). The company posted $41.4 billion in sales last year; prior to the deal with Tyson, Beyond Meat had reportedly raised $64 million in project capital funding—about what Tyson earns before lunch on any given day.⑤Tyson is doing pretty great. The company reported record third-quarter earnings per share in August and says that it expects overall meat production to increase 2 to 3 percent during the next financial year. But like a big oil company shelling out cash to invest in wind power, Tyson’s toe-in-the-water move to team up with a start-up devoted to bringing more plant-based protein to American dinner tables seems to suggest the meat industry is starting to see which way the winds are blowing.⑥Sales of plant-based protein, which totaled an estimated $5 billion last year, continue to pale compared with the market for meat in America—but vegetarian alternatives to meat are booming, with sales growing at more than double the rate for food products overall. The steady drumbeat of news about the negative health impacts, environmental problems, and animal welfare concerns associated with meat consumption appears to be sinking in. According to a survey released in April, more than half of Americans surveyed said they plan to eat more plant-based foods in the coming year.63. Beyond Meat’s veggie burger made headlines probably because __________.A. it makes perfect use of animal proteinB. it uses high tech in the making processC. it tastes as good as a genuine beef burgerD. it represents the diet trend in South California64. Which of the following statements is TRUE regarding the state of Beyond Meat?A. It is the creator of the country’s first 100 percent plant-based burgers.B. It has been well received as its products are available nationwide.C. It is far from being a match to real food processing giants like Tyson.D. It provides high-quality dining experience in selected Whole Foods stores.65. What can we infer from paragraph 4?A. The purchase of the stake barely costs a thing for Tyson.B. The 5 percent stake in Beyond Meat means a lot to Tyson.C. Tyson’s investment hasn’t caught the attention of the media as expected.D. Tyson is relying on this investment to raise more project capital funding.66. What does the passage mainly talk about?A. Meat will still take over the market in spite of other alternatives.B. A major American meat company is betting on plant-based protein.C. Tyson and Beyond Meat work together to build a global meat giant.D. Plants have been found to contain protein that does more good to human beings.Section CDirections:Read the following passage. Fill in each blank with a proper sentence given in the box. Each sentence can be used only once. Note that there are two more sentences than you need.Would You B ully(欺负) a Driverless Car or Show It Respect?Say you’re driving down a two-way street and there’s a truck unloading a delivery in the opposite lane. The oncoming traffic needs to pull out into your lane to overtake.What do you do?___67___ Eventually one of us feels charitable and slows down to allow the oncoming car to overtake and give permission with a quick flash of headlights or a wave of the hand.But what if the car waiting patiently behind the parked truck is a driverless or autonomous vehicle (A V)? Will this robot car be able to understand what you mean when you flash your lights or wave your hands?Its sensors could decide that it’s only safe to overtake when there’s no oncoming traffic at all. On a busy road at school home time, this may be never, leading to increasingly angry drivers queuing behind. ___68___ This is one of the conclusions to be drawn from research carried out by Dr Chris Tennant of the psychological and behavioural science department at the London School of Economics.His Europe-wide survey finds that nearly two-thirds of drivers think machines won’t have enough common sense to interact with human drivers, and more than two-fifths think a robot car would remain stuck behind our assumed parked truck for a long time.Driving isn’t just about technology and engineering, it’s about human interactions and psychology. The road is a social space. ___69___ “If you view the road as a social space, you will consciously negotiate your journey with other drivers. People who like that negotiation process appear to feel less comfortable engaging with AVs than with human drivers,” says Mr Tennant in his report.___70___ A statistic often trotted out(动不动就搬出) is that human error is responsible for more than 90% of accidents, with our tendency to road anger, tiredness and lack of concentration.IV. Summary WritingDirections: Read the following passage. Summarize the main idea and the main point(s) of the passage in no more than 60 words. Use your own words as far as possible.Super Size MeFast food, otherwise known as junk food, is a huge passion for a large number of people across the Western world. But what would happen if you ate lots of junk food, every day? Would it seriously damage your health? These were the questions which led Morgan Spurlock, an independent film-maker, to do an experiment, which he made into a documentary film entitled Super Size Me.The main basis of his experiment was that Spurlock promised to eat three McDonald’s meals a day, every day, for a month. He could only eat food from McDonald’s and every time an employee asked if he would like to “super size” the meal, he had to agree. “Super sizing” refers to the fact that with this type of meal you get a considerable larger portion of everything.Spurlock knew that by eating three McDonald’s meals a day, he would consume a lot of fat and a great deal of salt and sugar in each meal—much more than he needed. Although Spurlock knew he would put on a bit of weight, and that this diet was unhealthy, he wasn’t quite prepared for just how unhealthy it turned out to be. The changes in his body were horrifying in the first week, he put on 4.5 kilos and by the end of the thirty days he had gained nearly 14 kilos, bringing his total weight to a massive 98kg.Spurlock says “I’d love people to walk out of the movie and say, ’Next time I’m not going to “super size”. Maybe I’m not going have any junk food at all. I’m going to sit down and eat dinner with my kids, with the TV off, so that we can eat healthy food, talk about what we’re eating and have a relationship with each other.’” Food for thought indeed.第II卷（共40分）V. TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1.这款手表不防水。

2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分,满分60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D B C A BDAC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分.)13. 35 14.2211612x y += 15. 1(0,)216. 2015 三、解答题(本大题共6小题，满分70分.) 17、【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x （Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 22252,..863663622,,2sin cos cos(),2152cos sin sin 0,sin .102510sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==-<<∴= 而所以解得分在中解得分分18、∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB∴EF AE ⊥，EF BE ⊥ 又A E E B ⊥∴,,EB EF EA 两两垂直以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-,,x y z∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=∴B D E G ⊥-----------------6分()2由已知得(2,0,0)EB = 是平面DEF 的法向量,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =- 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>===∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33----------------12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。

2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= ．3．直线=3的一个方向向量可以是．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ．7．若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是．9．在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= ．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．12．已知k∈Z，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞218．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（共5小题，满分74分）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．23．已知a1，a2，…，a n是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{b n}满足b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记S n=c1+2c2+…+nc n．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S n；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，证明：b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+na n≥S n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为（0，2）．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】直接将不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解出后再用区间表示即可．【解答】解：不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解得，0＜x＜2，即原不等式的解集为{x|0＜x＜2}，用区间表示为：（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；矩阵和变换．【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是（B，﹣A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量．【解答】解：∵直线=3，∴x﹣2y﹣3=0．∴直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用熔化前后球的体积的不变性，建立等式关系进行求解即可．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用，利用体积相等是解决本题的关键，比较基础．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；极限思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= 1 ． 【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象，从而结合图象解得． 【解答】解：作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点， 则a ﹣1=0， 故a=1； 故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．若函数f （x ）=+为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 a ＞1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）=f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a=1，函数f（x）=+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（1，﹣2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数可知图象经过点（﹣2，1），再由反函数可得．【解答】解：∵当x+2=0，即x=﹣2时，总有a0=1，∴函数f（x）=a x+2的图象都经过点（﹣2，1），∴其反函数的图象必经过点P（1，﹣2）故答案为：（1，﹣2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题．9．在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为70 （结果用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，∴2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= 2．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，可得cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，由范围A，B，C∈（0，π），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：①，或②，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．【解答】解：∵cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，cos（A+2C﹣B）≤1，sin（B+C﹣A）≤1，∴cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，∵A，B，C∈（0，π），∴A+2C﹣B∈（﹣π，3π），B+C﹣A∈（﹣π，2π），∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C﹣B=0或2π，B+C﹣A=，∴结合三角形内角和定理可得：①，或②，由①可得：A=，B=，C=，由②可得：A=，B=﹣，C=，（舍去），∴由AB=2，利用正弦定理可得：，解得：BC=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，先求出基本事件总数，再求出选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数，由此能求出选择的2天恰好为连续2天的概率．【解答】解：某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，基本事件总数为n==10，选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数m=4，∴选择的2天恰好为连续2天的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知k∈Z，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ±1．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角代换化简表达式，转化方程无解，通过k是整数求解即可．【解答】解：曲线x2+y2=k2，令x=kcosθ，y=sinθ，代入曲线xy=k，曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，可得k2sinθcosθ=k，不成立．即sin2θ=不成立， 1，k∈Z，可得k=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查曲线与方程的关系，考查分析问题解决问题的能力．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合•=•=•，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入•=•，得，即．再代入•=•，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞【考点】不等式比较大小．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．【解答】解：取x=0可得=1=，故A错误；取x=0可得=1=，故B错误；取x=1可得==，故D错误；选项C，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故正确．故选：C【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b），∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2）＞0，即2[（1﹣k）x+2﹣b]＞0恒成立，即（1﹣k）x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选：A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC•BC=6，周长c=4+3+5=12，于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132．（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，所以∠A′AH=60°，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈[﹣，]．综上x∈[﹣，0）∪（0，]．点M横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，化简可得函数的解析式，由0≤y≤4求得x的范围；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值．【解答】解：（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，即有tan∠COF=，tan∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，即有y=，由y≤4，解得x≥，则函数的解析式为y=，（≤x≤4）；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=4×5﹣×5y﹣×4x﹣×（4﹣y）（5﹣x）=20﹣•﹣2x﹣（5﹣x）•=20+（≤x≤4），令t=x+4（≤t≤8），即有S=20+（5t+﹣80）≥20+（2﹣80）=20﹣20．当且仅当5t=即t=4，此时x=4﹣4，△OEF的面积取得最小值，且为20﹣20．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．已知a1，a2，…，a n是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{b n}满足b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记S n=c1+2c2+…+nc n．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S n；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，证明：b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+na n≥S n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）可用反证法证明，假设存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}，由条件结合奇数、偶数的概念即可得证；（2）由题意可得{c k}：n，n﹣1，n﹣2，…，1，再由累加法即可得到S n；（3）由（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，展开即可证得b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）；再由排序定理：乱序之和不小于倒序之和．【解答】解：（1）证明：当n为正偶数时，存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}，由b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），可得a k=，由n为正偶数，可得n+1为奇数，不为整数，a k为整数，故不成立，则当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）{c k}：n，n﹣1，n﹣2， (1)由S1=1，S2﹣S1=3，S3﹣S2=6，S4﹣S3=10，…，S n﹣S n﹣1=3+，n＞1．累加可得，S n=1+3+6+10+…+[3+]=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）]=×n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；（3）证明：由（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，可得12+22+…+n2﹣2（b1+2b2+…+nb n）+（b12+b22+…+b n2）≥0，即有b1+2b2+…+nb n≤ [（12+22+…+n2）+（b12+b22+…+b n2）]=12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）；由排序定理可得，乱序之和不小于倒序之和，由a1+2a2+…+na n为乱序之和，S n=c1+2c2+…+nc n为倒序之和．即可得到a1+2a2+…+na n≥S n．【点评】本题考查数列的求和方法，以及数列不等式的证明，考查反证法的运用和综合法的运用，考查推理能力，属于中档题．21。

黄浦区2016学年度第一学期高三年级期终调研测试物理试卷2017年1月12日（本试卷共4页，满分100分，考试时间60分钟。

）考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

2、第一大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第二、第三大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、第19、20题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共40分，1-8题每小题3分，9-12题每小题4分，每小题只有一个正确选项。

）1．在国际单位制（SI）中，下列属于基本单位的是（）（A）千克（B）牛顿（C）库仑（D）焦耳2．奥斯特首先通过实验（）（A）提出了单摆的周期公式（B）测出了万有引力恒量G（C）发现了电流周围存在磁场（D）发现了电磁感应现象3．质量为2kg的质点仅受两个力作用，两个力的大小分别为3N和5N。

则该质点的加速度的值可能为（）（A）0.5m/s2（B）0.75m/s2（C）3.5m/s2（D）4.5 m/s24．下列事例中属于利用静电现象的是（）（A）油罐车上连接地线（B）复印机复印文件资料（C）屋顶安装避雷针（D）印染厂车间保持湿度5．三段材质完全相同且不可伸长的细绳OA、OB、OC，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB水平，A端、B端固定。

若逐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的绳（）（A）必定是OA（B）必定是OB（C）必定是OC （D）可能是OB，也可能是OC6．根据分子动理论可知，在使两个分子间的距离由很远（r＞10-9m）变到很难再靠近的过程中，分子间的作用力的大小将（）（A）先减小后增大（B）先增大后减小（C）先增大后减小再增大（D）先减小后增大再减小fr/m 10-1010-9斥力引力分子力ABOC7．如图所示，P 为固定的点电荷，周围实线是其电场的电场线。

适用精选文件资料分享2016 届 10 月高三数学第一次联考理试卷（有答案）皖南八校 2016 届高三第一次联考数学理试题一、选择题：本大题共 12 小题；每题 5 分，共 60 分． 1 ．在复平面内，复数（4＋5i ）i（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2 ．已知会集 A＝｛ x｜2－3x－2x2＞0｝，B＝｛x｜y＝ln（x2 一 1）｝，则 A B＝ A ．一（2，一 1）B．一（，一 2）U（1，＋） C．（一 1，）D．（一 2，一 1）U（l ，＋）3．在△ ABC中， AB＝1，AC＝3，B＝600，则 cosC＝ A ．一B．C．一D． 4 ．设，则 A ．b＜c＜a B ．a＜b＜c C ．c＜a＜b D．a＜c＜b5．要获得函数 f （x）＝的图象，只需将函数 g （x）＝的图象 A ．向左平移个单位B．向左平移个单位 C．向左平移个单位D．向左平移个单位 6 ．已知数列｛ an｝满足a1＝1，an－1＝2an（n≥2，n N＊），则数列｛ an｝的前 6 项和为 A 、63B．127C．D． 7 、已知，则的值为A、－B、－C、D、－ 8 、已知平行四边形 ABCD的对角线分别为 AC，BD，且，点 F 是 BD上凑近 D的四均分点，则 9 、以下函数中，在区间（ 0,1 ）上单调递加的有A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个 10 、以下命题中是真命题的为 A ．“存在”的否定是‘不存在” B ．在△ ABC中，“ AB2＋ AC2＞BC2”是“△ ABC为锐角三角形”的充分不用要条件 C ．任意 D 、存在 11?己知实数 x，y 满足，直线（2＋）x 一（3＋）y＋（l 一 2）＝0（ R）过定点 A ，则的取值范围为 A、［，7］B、［，5］C、（－，］［7，＋］D、（－，］［5，＋］ l2 ．已知函数，若关于 x 的方程 f （x）＝g（x）有独一解 x0，且 x0（0，＋），则实数 a 的取值范围为 A?（一一 1）B．一（ l ，0）C．（0，1）D．（1，＋）第 II卷（非选择题共90 分）本卷包含必考题和选考题两部分．第（ 13）题一第（ 21）题为必考题，每个题目考生都一定作答．第（ 22）题一第（ 24）题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13 ．由曲线与曲线围成的平面地域的面积为? 14 ．已知函数图象关于原点对称．则实数 a 的值构成的会集为15 ．已知直角梯形ABCD中， AB∥CD，∠ BCD＝600，E是线段 AD上凑近 A 的三均分点， F是线段 DC的中点，若 AB＝2，AD＝，则＝16 ．设数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝2Sn＋2n，则数列｛an｝的通项公式 an ＝三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程及演算步骤． 17 ．（本小题满分12 分）已知函数．（I ）求函数 f（x）的分析式；（II ）若在〔一〕内，函数 y＝f （x）十 m有两个零点，务实数 m的取值范围．18．（本小题满分 12 分）已知等差数列｛ an｝的前 n 项和为 Sn，且a1＝1，S10＝55．（I ）求数列｛an｝的通项公式；（II ）若数列｛bn｝满足 b1＝l ，，求数列的前 n 项和 Tn．19．（本小题满分 12 分）已知函数 f （x）= ＋b，x ［一 l ，l ］的最大值为 M．（I ）用 a，b 表示 M；（II ）若 b= ，且对任意 x [0 ， 2 ] ，sin2x 一 2x 十 4≤M，务实数 a 的取值范围．20．（本小题满分 12 分）在△ ABC中， a，b， c 分别为内角 A， B ，C的对边，AM是 BC边上的中线， G是 AM上的点，且．（I ）若△ABC 三内角 A、B、C满足 sinA ：sinB ：sinC ＝：1：2，求 sinC 的值．（II ）若，当 AG取到最小值时，求 b 的值．21．（本小题满分 12 分）设函数 f （x）＝（I ）求函数 f （x）的极值；（II ）已知 g（x）＝f （x＋1），当 a＞0 时，若对任意的 x≥0，恒有 g（x））≥ 0，务实数 a 的取值范围．请考生在第（ 22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分．做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上． 22 ．（本小题满分 10 分）选修 4 一1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，过点B 作圆O的切线BC，任取圆 O上异于 A、B 的一点 E，连接 AE并延长交 BC于点 C，过点 E 作圆 O的切线，交边 BC于一点 D．（I ）求证：OD／／ AC；（II ）若 OD交圆 0 于一点 M，且∠ A＝600，求的值?23．（本小题满分 10 分）选修 4 一 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程是以 O为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 ? （I ）求曲线 C的直角坐标方程；（II ）若直线 l 过点（ 2，3），求直线 l 被圆 C 截得的弦长．24．（本小题满分10 分）选修4 一5：不等式选讲已知函数f （x）＝｜ 2x＋1｜， g（x）＝｜ 3x 一 a｜（ a R）．（I ）当 a＝2 时，解不等式： f （x）＋ g（x）＞ x＋6；（II ）若关于 x 的不等式 3f （x）＋2g（x）≥6在 R上恒建立，务实数 a 的取值范围?。

上海市黄浦区2016年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m= ．2．计算： = ．3．函数的反函数f﹣1（x）= ．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为（结果用反函数值表示）6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V= ．8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f （﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）= ．9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b= ．13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A．2B．3C．4D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．21．已知函数f（x）=a x+，其中 a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．22．已知数列{a n}的通项公式为 a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．23．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m= 1 ．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2．计算： = ．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．函数的反函数f﹣1（x）= （x﹣1）3．【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵ =y，∴x=（y﹣1）3，∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．故答案为（x﹣1）3．【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan （结果用反函数值表示）【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．【解答】解：把极坐标方程ρ（cosθ+2sinθ）=1与ρsinθ=1化为普通方程是x+2y=1与y=1；又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为，所以直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan．故答案为：arctan．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键．6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，∴∠CAB=，又∵||=1，∴||=2||cos=，∴向量在上的投影为||cos=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V= ．【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．正六棱柱的底面积S==．∴多面体的体积V=Sh==．故答案为．【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．8．已知函数f （x ）=x 3+lg （+x ），若f （x ）的定义域中的a 、b 满足f （﹣a ）+f（﹣b ）﹣3=f （a ）+f （b ）+3，则f （a ）+f （b ）= ﹣3 ．【分析】由已知得f （x ）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f （a ）+f （b ）．【解答】解：∵f（x ）=x 3+lg （+x ），∴f（﹣x ）=﹣x 3﹣lg （+x ）=﹣f （x ），∵f（x ）的定义域中的a 、b 满足f （﹣a ）+f （﹣b ）﹣3=f （a ）+f （b ）+3， ∴2[f（a ）+f （b ）]=﹣6， ∴f（a ）+f （b ）=﹣3． 故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．9．在代数式（4x 2﹣2x ﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于 15 ．【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．【分析】不妨设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），a2=b2+c2．∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，∴a﹣c=5，a+c=15，∴b2=a2﹣c2=5×15=75．∴b=5．则椭圆的短轴长为10．故答案为：10．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b= ．【分析】由已知得（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b．【解答】解：∵设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），ξ的数学期望Eξ=，∴（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，解得a=，b=0，∴a+b=．故答案为：．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用．13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031 ．【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．【解答】解：由方程组消y可得，4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，当x≤﹣a时，4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，故x=b﹣a﹣4032，故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；即a≤4031时，有一个解；否则无解；当﹣a＜x≤1时，4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，故x=4032﹣a﹣b，故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；即2015≤a≤4030，有一个解，否则无解；当1＜x≤b时，4033﹣2x=x+a+b﹣1，故3x=4034﹣a﹣b，故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；即≤a≤2014，方程有一个解，否则无解；当x＞b时，4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，故5x=4034﹣a+b，故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031．【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为128 ．【分析】由题意可得a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，从而解得．【解答】解：∵a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），∴a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27=128，故答案为：128．【点评】本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴ =0，故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi（a、b∈R）的形式，分析实部和虚部的大小关系．【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，此复数的实部为 m﹣1，虚部为 m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选 D．【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得 a=4，b=3，c=6．再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由题意可得sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，而当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；当0＜x＜时，sin（2πx）＞0，当＜x＜1时，sin（2πx）＜0，问题变成了求在0＜x＜时，sin（3πx）与sin（4πx）同号得区间，及＜x＜1时，sin（3πx）与sin（4πx）异号的区间．然后由三角函数的象限符号求解即可．【解答】解：要使原函数有意义，则sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；即sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0．若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜，取k=0，得0＜x＜；若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即＜x＜1+k，取k=0，得＜x＜1；∴只需sin（3πx）与sin（4πx）在（0，）上同号，在（）上异号．若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得＜x＜；若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即＜x＜，取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即+＜x＜，取k=0，得＜x＜．取k=1，得．∴满足sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0且在[0，1]内的区间为：（0，），（），（），（），共4个．∴n的值为4．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，在直角△PAO中，PO=AB=18，由，解得h≈47.13cm，三根钢管总长度为≈163.25cm．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，f（x）的最大值为，可得： =，联立即可解出a，b的值．（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，结合范围x0∈[0，2π]，即可得解．【解答】解：（1）∵f（）=（a+b）=，∴a+b=2，①∵f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中tanφ=，∴f（x）的最大值为，可得： =．②∴联立①②可得：，，（2）∵a=1，∴可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，∴tan（kπ+）=tan==b，故φ=，故f（x）=2sin（x+）．∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，又∵x0∈[0，2π]．∴x0=0或或2π．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．21．已知函数f（x）=a x+，其中 a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（1）函数f（x）=a x+，其中 a＞1，令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，=1﹣，x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，x→﹣1时，﹣→+∞，故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．已知数列{a n}的通项公式为 a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f（n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n 中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴b n===n+﹣（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，联立不等式组，解得：6＜k2＜12，∴k2=7，8，9，10，11；（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴c n=a n+|a n|=，∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），∴i、j∉（k1，k2），又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，∴=，∴0＜i＜k1＜k2＜j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0∵当k1≤n≤k2时c n=0，∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，∴k2≥6，即k2的最小值为6．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．23．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．【分析】（1）由题意可得直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，运用二次项系数小于0和判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；（2）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围；（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，由题意可得曲线上点P（x0，y0）满足﹣＜1，代入y0，整理成x0的二次不等式，运用换元法和二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，可得直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，可得1﹣k2＜0，且△=4k2+8（1﹣k2）＜0，即有k2＞2，解得k＞或k＜﹣；（2）若C（a，b）过点（2，1），可得﹣=1，即为a2=，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立，解得y=±，可得r=，化简可得r2====，令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，即有r＞2；（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即为K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料|y|=m|x|+，由曲线|xy|=mx 2+1（m ＞0）上的点都在C （a ，b ）的外部，可得曲线上点P （x 0，y 0）满足﹣＜1，即为b 2x 02﹣a 2（m 2x 02+2m+）＜a 2b 2， 即有（b 2﹣a 2m 2）x 04﹣（2a 2m+a 2b 2）x 02﹣a 2＜0，令t=x 02，即有（b 2﹣a 2m 2）t 2﹣（2a 2m+a 2b 2）t ﹣a 2＜0，对t≥0恒成立，t=0时，﹣a 2＜0显然成立；t ＞0时，b 2﹣a 2m 2＜0，且﹣a 2＜0，＜0，由m ＞0，可得m 2＞，解得m ＞．【点评】本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立思想的解法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（文科） 2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ． 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ． 3．直线321x y=的一个方向向量可以是 ． 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ． 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ． 6．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．7．若函数()f x a 的取值范围为 ．8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ． 9．在()n a b +的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）．10．在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC = ．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天 恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．12．已知*k ∈N ，若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．13．已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r，且||||MF MA =u u u u r u u u r ，则m = ．14．若非零向量a r ，b r ，c r 满足230a b c ++=r r r r ，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r ，则b r 与c r的夹角为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( )．A ．1123x x> B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的 条件分别为 [答] ( )．A ．1k =，2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠，2b <D ．1k ≠，2b >18．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ，3l ，4l 的长 分别为1a ，2a ，3a ，4a ，则 [答] ( )．A ．对任意的d ，均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形B ．对任意的d ，均不存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形C ．对任意的d ，均存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形D ．对任意的d ，均不存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内 写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3， 侧棱AA '的长为10．（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积．（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积． ABC A 'B 'C 'H20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ． （1）用α表示A 、B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 横坐标的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设CF x =，AE y =． （1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值． O AB CFEAxy OB1已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =L ）．（1）当3n =时，写出数列{}n a 和{}n b ，使得223a b =．（2）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a ．（3）若1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，写出k c （1,2,,k n =L ），并用含n 的式子表示122n c c nc +++L ． （参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++L ．）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）若4a =，3b =，且ACBD 为正方形，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 的方程为0bx ay -=，2l 和1l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，证明：222212222a b d d a b +=+．（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．数学试卷（文科） 2016年1月一、填空题（本大题满分56分）1．(0,2) 2．π 3．(2,1) 4 5．126．1 7． (1,)+∞8．(1,2)- 9．70 10． 11．25 12．1 13．11214．43π 二、选择题（本大题满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． [解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长， 而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，（2分）周长43512c =++=，（4分） 于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全．（6分）（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分）因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得sin 60A H AA ''=⋅︒=（9分）又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积6V S A H '=⋅=⨯（12分） 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． [解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）其中222k k αππ<<π+（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-u u u r ，(sin ,cos )MB m αα=--u u u r，因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠，得cos sin 4m αααπ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，（10分）此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z ）得cos 242απ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭．因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-U ．（12分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． [解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5y AOE ∠=，直角三角形COF 中，tan 4xCOF ∠=． 正方形OABC 中，由4EOF π∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，代入并整理得5(4)4x y x -=+．（4分） 因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x-+≤≤， 从而449x ≤≤．（6分）因此，5(4)4x y x -=+ （449x ≤≤）． （2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）将5(4)4x y x-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦，（10分）当449x ≤≤时，3244x x +++≥1)x =时，上式等号成立．（12分） 因此，三角形池塘OEF面积的最小值为1)平方米，此时1)x =米．（14分） 综上，a ，b 满足的关系式为22111a b +=． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． [解]（1）12a =，23a =，31a =；12b =，21b =，33b =．（2分） 11a =，23a =，32a =；13b =，21b =，32b =．（4分） [证明]（2）若k k a b =（1,2,,k n =L ），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=．（6分） 当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数． 因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a ．（10分） [解]（3）(1)k c n k =--（1,2,,k n =L ）．（12分）因为(1)k c n k =+-，于是122(1)12[(1)2][(1)]n c c nc n n n n n +++=+-++-+++-L L （14分）222(12)(1)(12)n n n =++++-+++L L （16分）2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（18分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22,1169y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得221214425x x ==．根据对称性，可得正方形ACBD 的面积21745625S x ==．（4分） [证明]（2）由题设，直线2l 的方程为0bx ay +=，（6分）于是1d =，2d =，（8分）22222222221222222222()()2()2bx ay bx ay b x a y a b d d b a b a b a a b -+++=+==++++． （10分）[解]（3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b +=．（11分） ② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x y a b+=，整理得222222222000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分） 同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b 满足的关系式为22111a b+=．。