【优化探究】高考数学总复习 提素能高效题组训练 2-11 文 新人教A版

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-4[命题报告·教师用书独具]1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D2．(2013年郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增，选C.答案：C3．(2013年长沙模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1，选C.答案：C4．(2013年杭州模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：A5．(2013年潍坊质检)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：不妨设函数y ＝log 2x 的图象上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )，如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图象上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，不难知道这个方程有两个实数解，故选C.答案：C 二、填空题6．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∴g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋37．(2013年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝________.解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：38．(2013年宁波模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则f (x )是R 上的单调增函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－19．(2013年潍坊模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．(能力提升)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值． 解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年大同模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出如下命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( ) A ．①② B ．②④ C ．①②③D ．①②④解析：依题意可得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，①正确；由①知f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，则f (x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )＝f (－x )，因此有f (x －6)＝f (－6－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，②正确；依题意知，函数f (x )在[0,3]上是增函数，则函数f (x )在[－3,0]上是减函数，又函数f (x )是以6为周期的周期函数，因此函数y ＝f (x )在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y ＝f (x )的图象可知f (－9)＝f (9)＝f (3)＝f (－3)＝0，故函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案：D2．(2013年哈师大附中月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2<1，由此解得a >8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.答案：D3．(2012年高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：将函数化简，利用函数的奇偶性求解．f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案：2。

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：2-13[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难最值问题1、65、7、1012实际应用问题38不等式恒成立问题24、911一、选择题1．f＝24－32＋1在错误!上的最大值、最小值分别是A．21，－错误!B．1，－错误!C．21,0 D．0，－错误!解析：∵函数f在错误!上有最大值和最小值．∴f′＝83－6＝0，解得＝0或＝错误!或＝－错误!舍去，∴f ma＝f2＝21，f min＝f错误!＝－错误!答案：A2．2022年淄博模拟已知a≤错误!＋n 对任意∈错误!恒成立，则a的最大值为A．0 B．1C．2 D．3解析：设f＝错误!＋n ，则f′＝错误!＋错误!＝错误!当∈[错误!，1时，f′0，故函数f在1,2]上单调递增，∴f min＝f1＝0，∴a≤0，即a的最大值为0答案：A3．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h设造价为＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·错误!＝2πaR2＋错误!，∴′＝4πaR－错误!令′＝0，得错误!＝错误!答案：C4．函数f＝－3e的单调递增区间是A．－∞，－2 B．0,3C．1,4 D．2，＋∞解析：∵f＝－3e，∴f′＝e－2>0，∴>2∴f的单调递增区间为2，＋∞．答案：D5．2022年珠海摸底若函数f＝错误!在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是C．－∞，0]解析：当≤0时，f′＝62＋6，易知函数f在－∞，0]上的极大值点是＝－1，且f－1＝2，故只要在0,2]上，e a≤2即可，即a≤n 2在0,2]上恒成立，即a≤错误!在0,2]上恒成立，故a≤错误!n 2答案：D二、填空题6．函数f＝错误!2－n 的最小值为________．解析：由错误!得>1，由错误!得00，′＝2－错误!令′＝0，解得＝错误!易知，当＝错误!时，其周长最小．答案：错误!9．已知函数f＝3＋，对任意的m∈[－2,2]，fm－2＋f0恒成立，∴f在R上是增函数．又f－＝－f，∴＝f为奇函数．由fm－2＋f0，试判断f在定义域内的单调性；2若f在[1，e]上的最小值为错误!，求a的值；解析：1由题意f的定义域为0，＋∞，且f′＝错误!＋错误!＝错误!∵a>0，∴f′>0，故f在0，＋∞上是单调递增的．2由1可知，f′＝错误!①若a≥－1，则＋a≥0，即f′≥0在[1，e]上恒成立，此时f在[1，e]上为增加的，∴f min＝f1＝－a＝错误!，∴a＝－错误!舍去．②若a≤－e，则＋a≤0，即f′≤0在[1，e]上恒成立，此时f在[1，e]上为减少的，∴f min＝f e＝1－错误!＝错误!，∴a＝－错误!舍去．③若－e0，∴f在－a，e上是增加的．∴f min＝f－a＝n－a＋1＝错误!，∴a＝－错误!综上所述，a＝－错误!11．设函数f＝a2n －2＋a，a＞01求f的单调区间；2求所有的实数a，使e－1≤f≤e2对∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．解析：1因为f＝a2n －2＋a，其中＞0，所以f′＝错误!－2＋a＝－错误!由于a＞0，所以f的增区间为0，a，减区间为a，＋∞．2由1知f在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f≤e2对∈[1，e]恒成立．只要错误!解得a＝e12．能力提升已知函数f＝a＋n ，且图象在点错误!处的切线斜率为1e为自然对数的底数．1求实数a的值；2设g＝错误!，求g的单调区间；3当m>n>1m，n∈Z时，证明：错误! >错误!解析：1f＝a＋n ，f′＝a＋1＋n ，依题意f′错误!＝a＝1，所以a＝12因为g＝错误!＝错误!，所以g′＝错误!设φ＝－1－n ，则φ′＝1－错误!当>1时，φ′＝1－错误!>0，φ是增函数，对∀>1，φ>φ1＝0，即当>1时，g′>0，故g在1，＋∞上为增函数．当0φ1＝0，即当00，故g在0,1上为增函数．所以g的单调递增区间为0,1，1，＋∞．3要证错误!>错误!，即证错误!－错误!>n n－n m，即错误!n m>错误!n n，错误!>错误!*因为m>n>1，由2知，gm>gn，故*式成立，所以错误! >错误![因材施教·学生备选练习]1．2022年北京东城模拟已知函数f＝n ，g＝－2＋a－3，其中a为实数．1求函数f在[t，t＋2]上的最小值；2对一切∈0，＋∞，2f≥g恒成立，求实数a的取值范围．解析：1由题知函数f的定义域为0，＋∞，f′＝n ＋1，当∈错误!时，f′0，故f在错误!上单调递增．①当00，则h′＝错误!，当∈0,1时，h′0，故h在1，＋∞上单调递增．所以h在0，＋∞上有唯一极小值h1，即为最小值，所以h min＝h1＝4，因为对一切∈0，＋∞，a≤h恒成立，所以a≤42．2022年沈阳模拟已知f＝n1求g＝错误!∈R的单调区间；2证明：当≥1时，2－e≤f恒成立．解析：1g＝n ＋错误!，∴令g′＝错误!＝0得＝∵>0，∴当≤0时，g′>0∴函数g的增区间为0，＋∞，无减区间；当>0时g′>0得>；g′<0得0<<，∴增区间为，＋∞，减区间为0，．2证明：设h＝n －2＋e≥1，令h′＝n －1＝0得＝e，列表分析函数h的单调性如下：∴h≥≥2－。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-4[命题报告·教师用书独具]1．(2013年潍坊质检)将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：平移后的函数解析式是y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .答案：B2．(2013年福州模拟)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A ，B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为42，则函数f (x )图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝4D ．x ＝2解析：由题|AB |＝42，而最值之差为4，故T 2＝4，T ＝8，由题设f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(0<φ<π)为奇函数，故φ＝π2，令π4x ＋π2＝k π，得x ＝－2＋4k ，k ∈Z ，故x ＝2是一条对称轴．答案：D3．(2013年济南模拟)将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( )A.62B ．－1 C. 2 D ．2解析：∵f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －π4＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝62.答案：A4．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos π6t＋1.令y ＝0.5cos π6t ＋1>1.25(t ∈[0,24])得cos π6t >12.又t ∈[0,24]，π6t ∈[0,4π]，因此0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π或2π≤π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．答案：B5．(2013年惠州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：由图象知A ＝1，34T ＝11π2－π6＝3π4，T ＝π⇒ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D.答案：D 二、填空题6．(2013年北京东城模拟)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：观察图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝3π12，所以T ＝π，从而有ω＝2πT＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入函数解析式f (x )＝2sin(2x ＋φ)得－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，不妨令7π6＋φ＝3π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：627．(2013年杭州模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递减区间是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ·32－sin x ·12 ＝34cos 2x －14sin 2x ＋34＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋34.求此函数的单调递减区间应有2k π≤2x ＋π6≤π＋2k π(k ∈Z )，由此可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12 (k ∈Z )8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由题意知ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．(2013年大庆模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可以得到图象C .解析：由于2×1112π－π3＝3π2，故①正确；由于2×2π3－π3＝π，故②正确；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故函数为增函数，故③正确；将函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可得函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故④不正确．答案：①②③ 三、解答题10．已知函数f (x )＝23·s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 －sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解析：(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 11．(2013年北京东城模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)已知在函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,3，求sin ∠MNP 的值． 解析：(1)由题图可知，A ＝1.最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4.又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2， 所以π4＋φ＝π2，φ＝π4.(2)因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (3)＝0， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (3,0)．设Q (1,0)， 连结MN ，NP .在直角三角形MNQ 中，设∠MNQ ＝α， 则sin α＝25，cos α＝15，所以sin ∠MNP ＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×25×15＝45. 12．(能力提升)如图是某市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ．其与季华路一边所在直线l 相切于点M ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为参数，将S 表示成θ的函数； (2)试确定当绿化的面积最大时点A 的位置及其最大面积．解析：(1)如题图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以，当θ＝3时，S 取得最大值S max ＝3 7503m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到季华路一边的距离为150 m.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，则不等式f (x )>1的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋56π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋56π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋π4，k ∈Z 解析：依题意A ＝2,2sin φ＝3且|φ|<π2，∴φ＝π3.由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω12＋π3＝2得πω12＋π3＝π2，∴ω＝2，由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3>1，得2k π＋π6<2x ＋π3<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴k π－π12<x <k π＋π4(k ∈Z )．答案：D2．(2013年德州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为π2，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 B ．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2C ．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2解析：由题意可得最大值为4，最小值为0，故A 错，两对称轴间的最短距离为π2，故T2＝π2，T ＝π，ω＝2，故C 错，把x ＝π6代入应取最值，可知B 对，D 错，故选B. 答案：B3．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析：由函数图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． 又∵点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10在图象上，∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ. ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案：A。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-10[命题报告·教师用书独具]1．(2013年沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析：设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案：D2．(2013年武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案：A3．(2013年福州模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x >a ，x >4，解得4<x <16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a <8，－a 2＋16a ，8≤a <12，故其图象为C.答案：C4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面 3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )， 将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A5．某学校制定奖励条例，对在教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D. 答案：D 二、填空题6．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8 100×827＝2 400元．答案：2 400元7．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当0<x ≤20时y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100. 当x >20时y ＝260－100－x ＝160－x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，即x ＝16时y max ＝156，而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时年利润最大．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ， x >0，x ∈N * 168．(2013年惠州模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10.答案：109．(2013年汕头模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6(万张)2.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y ＝lg 2x ，则这三种门票分别为________万张时为失学儿童募捐纯收入最大．解析：函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③把①代入③得x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6，时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，c ＝0.8.由于y ＝lg 2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时为失学儿童募捐纯收入最大．答案：0.6,1,0.8 三、解答题10．(2013年深圳模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．(2013年龙岩一中月考)某分公司经销某品牌产品，每件产品成本3元，且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )． 解析：(1)根据题意可知，L (x )＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知，L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )，令L ′(x )＝0，解得x ＝6＋2a3或x ＝12(舍去)，∵3≤a ≤5，∴8≤6＋2a 3≤283.①当8≤6＋2a 3<9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝9(6－a )，②当9≤6＋2a 3≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3＝4(3－a 3)3.∴Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧96－a ，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33，92≤a ≤5.∴若3≤a <92，则每件产品的售价为9元时，L 最大，最大值为9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则每件产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3元时，L 最大，最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33万元．12．(能力提升)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解析：(1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a， t ≥1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916(小时)．[因材施教·学生备选练习]2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会在伦敦举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解析：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋40020－x ]x －7，0<x ≤20，[2 000－100x －20]x －7，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40025－x x －7，0<x ≤20，10040－xx －7，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －162＋81]，0<x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)． 当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．。

"【优化探讨】2021高考数学 2-12 导数的综合应用提素能高效训练 新人教A 版 理"[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．已知a≤1－xx ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，那么a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：设f(x)＝1－x x ＋ln x ，那么f′(x)＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f′(x)<0，故函数f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min ＝f(1)＝0，∴a≤0，即a 的最大值为0.答案：A2．(2021年石家庄模拟)已知正六棱柱的12个极点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为( )A ．3 3 C ．26D ．23解析：设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，那么可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6×34a 2×h＝332⎝ ⎛⎭⎪⎫9－h 24h ＝332⎝ ⎛⎭⎪⎫－h 34＋9h ，令y ＝－h 34＋9h ，则y′＝－3h 24＋9，令y′＝0，得h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大．答案：D3．(2021年济南模拟)设函数h t (x)＝3tx －2t 32，假设有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，那么x 0＝( )A ．5 C ．3解析：∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g(t)＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，那么g′(t)＝3x 0－3t 12，令g′(t)＝0，得t ＝x 20，易患h t (x 0)max ＝g(x 20)＝x 30，因此，21x 0－147≥x 30，将选项查验可得，正确答案为D.答案：D4．f(x)＝2x 4－3x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值、最小值别离是( ) A ．21，－18B ．1，－18C ．21,0D ．0，－18解析：∵函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有最大值和最小值．∴f′(x)＝8x 3－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝32或x ＝－32(舍去)，∴f(x)max ＝f(2)＝21，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝－18.答案：A5．假设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1x≤0，e ax x>0在[－2,2]上的最大值为2，那么a 的取值范围是( )C ．(－∞，0]解析：当x≤0时，f′(x)＝6x 2＋6x ，易知函数f(x)在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f(－1)＝2，故只要在(0,2]上，e ax ≤2即可，即ax≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a≤ln 2x在(0,2]上恒成立，故a≤12ln 2.答案：D6．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价钱为a 元，侧面的材料每单位面积的价钱为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )解析：如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，那么V ＝πR 2h. 设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb＝2πaR 2＋2πRb·VπR 2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y′＝4πaR－2bVR2. 令y′＝0，得2R h ＝ba .答案：C 二、填空题7．函数f(x)＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧f′x＝x －1x>0，x>0得x>1，由⎩⎪⎨⎪⎧f′x <0，x>0，得0<x<1. ∴f(x)在x ＝1时取最小值f(1)＝12－ln 1＝12.答案：128．已知函数f(x)＝x 3－3x ，假设关于区间[－3,2]上任意的x 1，x 2都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t，那么实数t 的最小值是________．解析：f′(x)＝3x 2－3，令f′(x)＝0，解得x ＝±1，因此1，－1为函数f(x)的极值点．因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝2，因此在区间[－3,2]上，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－18，因此关于区间[－3,2]上任意的x 1，x 2，|f(x 1)－f(x 2)|≤20，因此t≥20，从而t 的最小值为20.答案：209．已知函数f(x)＝e x －ae －x ，假设f′(x)≥23恒成立，那么实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可知，f′(x)＝e x ＋ae －x ≥23恒成立，分离参数可得，a≥(23－e x )e x恒成立，令e x ＝t(t>0)，问题等价于a≥(－t 2＋23t)max ＝3.因此a ∈[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 三、解答题10．(2021年长沙模拟)已知函数f(x)＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f(x 0)<0成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2，x>0.令f′(x)>0，得x>1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)． 令f′(x)<0，得0<x<1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1)． (2)依题意，ma<f(x)max .由(1)知，f(x)在x ∈[1，e]上是增函数， ∴f(x)max ＝f(e)＝ln e ＋1e －1＝1e.∴ma<1e ，即ma －1e<0关于任意的a ∈(－1,1)恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m×1－1e≤0，m×－1－1e≤0.解得－1e ≤m≤1e.∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，1e .11．(2021年云南模拟)设f(x)＝ln(x ＋1)＋ax(a ∈R 且a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)假设a ＝1，证明：x ∈(0,5)时，f(x)<9xx ＋1成立．解析：(1)函数f(x)的概念域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1x ＋1＋a ，当a>0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数； 当a<0时， f′(x)＝ax ＋a ＋1x ＋1，－a ＋1a>－1，由f′(x)>0得，－1<x<－a ＋1a ，由f′(x)<0得，x>－a ＋1a.∴函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a ＋1a 上是增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ，＋∞上是减函数． (2)当a ＝1时，f(x)＝ln(x ＋1)＋x ， 要证x ∈(0,5)时，f(x)<9xx ＋1成立，只需证(x ＋1)ln (x ＋1)＋x 2－8x<0在x ∈(0,5)时恒成立．令g(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)＋x 2－8x ，那么g′(x)＝ln(x ＋1)＋2x －7. 设h(x)＝ln(x ＋1)＋2x －7，x ∈(0,5)，那么h′(x)＝1x ＋1＋2>0，∴g′(x)在(0,5)上单调递增，∴g′(0)<g′(x)<g′(5)，那么－7<g′(x)<ln 6＋3， 即∃x 0∈(0,5)，使g(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0, 5)上单调递增， 而g(0)＝0，g(5)＝6ln 6－15<6ln e 2－15＝6×2－15<0，∴当x ∈(0, 5)时，(x ＋1)ln(x ＋1)＋x 2－8x<0恒成立，即原命题得证． 12．(2021年济南模拟)设函数f(x)＝xe x . (1)求f(x)的单调区间与极值；(2)是不是存在实数a ，使得对任意的x 1、x 2∈(a ，＋∞)，当x 1<x 2时恒有f x 2－f ax 2－a >f x 1－f a x 1－a成立？假设存在，求a 的取值范围；假设不存在，请说明理由．解析：(1)f′(x)＝(1＋x)e x .令f′(x)＝0，得x ＝－1. f′(x)，f(x)随x 的转变情形如下：(x) (－∞，－1) －1 (－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋f(x)极小值∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，单调递增区间是(－1，＋∞)； f(x)极小值＝f(－1)＝－1e.(2)设g(x)＝f x －f ax －a ，由题意，对任意的x 1、x 2∈(a ，＋∞)，当x 1<x 2，时恒有g(x 2)>g(x 1)，即y ＝g(x)在(a ，＋∞)上是单调递增函数．又g′(x)＝f′xx －a －[f x －f a ]x －a 2＝1＋x e x x－a－xe x＋ae ax－a2＝x2＋x－ax－a e x－xe x＋ae ax－a2＝x2e x－axe x－ae x＋ae ax－a2，∴∀x∈(a，＋∞)，g′(x)≥0.令h(x)＝x 2e x －axe x －ae x ＋ae a ，h′(x)＝2xe x ＋x 2e x －a(1＋x)e x －ae x ＝x(x ＋2)e x －a(x ＋2)·e x ＝(x ＋2)(x －a)e x . 假设a≥－2，当x>a 时，h′(x)>0，h(x)为(a ，＋∞)上的单调递增函数， ∴h(x)>h(a)＝0，不等式成立．假设a<－2，当x ∈(a ，－2)时，h′(x)<0，h(x)为(a ，－2)上的单调递减函数， ∴∃x 0∈(a ，－2)，h(x 0)<h(a)＝0，与∀x ∈(a ，＋∞)，h(x)≥0矛盾． 综上，a 的取值范围为[－2，＋∞)． [B 组 因材施教·备选练习]1．(2021年哈师大附中模拟)已知f(x)＝ln x1＋x －ln x ，f(x)在x ＝x 0处取最大值，以下各式正确的序号为( )①f(x 0)<x 0 ②f(x 0)＝x 0 ③f(x 0)>x 0 ④f(x 0)<12⑤f(x 0)>12A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤解析：f′(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1′＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1－ln x1＋x 2＝－ln x ＋x ＋11＋x 2， 由题意可知f′(x 0)＝0，即ln x 0＋x 0＋1＝0，ln x 0＝－(x 0＋1)， 故f(x 0)＝ln x 01＋x 0－ln x 0＝－x 0ln x 01＋x 0＝x 01＋x 01＋x 0＝x 0.令函数g(x)＝ln x ＋x ＋1(x>0)，那么g′(x)＝1x＋1>0，故函数g(x)为增函数，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32>32－ln e ＝12>0＝g(x 0)，∴x 0<12，即f(x 0)<12.应选B.答案：B2．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：在(1，＋∞)上，f(x)＋2>0；(3)求证：ln 22·ln 33·ln 44·…·ln n n <1n(n≥2，n ∈N *)． 解析：(1)依照题意知，f′(x)＝a 1－x x(x>0)， 当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f(x)不是单调函数．(2)证明：当a ＝－1时，f(x)＝－ln x ＋x －3，因此f(1)＝－2，由(1)知f(x)＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，因此当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，即f(x)>－2，因此f(x)＋2>0.(3)证明：由(2)得－ln x ＋x －3＋2>0，即－ln x ＋x －1>0，因此ln x<x －1对一切x ∈(1，＋∞)恒成立．∵n≥2，n ∈N *，那么有0<ln n<n －1，∴0<ln n n <n －1n， ∴ln 22·ln 33·ln 44·…·ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1n (n≥2，n ∈N *)．。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：10-1[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．答案：C2．在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12解析：令“能上车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C3．(2013年赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A.18B.38C.58D.78解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.答案：D4．(2013年温州五校联考)从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，从集合{1,2,3}中随机选取一个数记为b ，则b >a 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：分别从两个集合中取一个数a ，b ，共有15种取法，其中满足b >a 的取法有3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.答案：D5．(2013年江南十校联考)第26届世界大学生运动会于2011年8月12日在中国深圳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析：利用对立事件“2名大学生全来自B 大学”去求， ∴P ＝1－615＝35.答案：C 二、填空题6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E ) ＝15＋15＋15＝35. 答案：357．(2013年南通模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：238．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为________． 解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.749．(2013年广东六校联考)盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球．若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3个白球为A ，B ，C,1个黑球为d ，则从中随机摸出两只球的所有可能情况有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd ，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.答案：12三、解答题10．某战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A (不中靶)的概率为多少？(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？解析：(1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，根据对立事件的概率公式得到A 的概率为1－0.95＝0.05. (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件， ∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.11．(2013年长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解析：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)解法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.解法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.12．(能力提升)(2012年高考安徽卷)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解析：(1)如下表所示．频率分布表(2)(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．[因材施教·学生备选练习]1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：P (a ，b )的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P (C 2)＝16，落在直线x ＋y ＝3上的概率P (C 3)＝26，落在直线x＋y ＝4上的概率P (C 4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P (C 5)＝16.答案：D2．(2013年南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13。

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：2-8[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难作图14、10、11识图26、7用图35、8、912一、选择题1．把函数＝f＝－22＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是A．＝－32＋3 B．＝－32＋1C．＝－12＋3 D．＝－12＋1解析：把函数＝f的图象向左平移1个单位，即把其中换成＋1，于是得＝[＋1－2]2＋2＝－12＋2，再向上平移1个单位，即得到＝－12＋2＋1＝－12＋3答案：C2．2022年毫州模拟若当∈R时，函数f＝a||始终满足0错误!未定义书签。

因为函数f为奇函数，故函数f的图象关于原点对称，如图所示．因为f＋1的图象可以看作由函数f的图象向左平移1个单位得到，需将函数f的图象至少向左平移4a2个单位才能满足不等式f＋1≥f恒成立，所以4a2≤1，故a∈错误!答案：B二、填空题6．如图，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为0,0，1,2，3,1，则f错误!的值等于________．解析：由图象知f3＝1，∴错误!＝1∴f错误!＝f1＝2答案：27．2022年苏州模拟设奇函数f的定义域为[－5,5]．若当∈[0,5]时，f的图象如下图，则不等式f10时|g |>1结合图象知＝f与＝|g |图象交点共有10个．答案：10三、解答题10．设函数f＝＋错误!的图象为C1，C1关于点A2,1对称的图象为C2，C2对应的函数为g．求g的解析式．解析：设点in{a，b}＝错误!若函数f＝min{||，|＋t|}的图象关于直线＝－错误!对称，则t的值为A．－2 B．2C．－1 D．1解析：画出函数f＝min{||，|＋t|}的图象，如图中的粗体线所示．显然0,0和－t,0关于直线＝－错误!对称，故有错误!＝－错误!，所以t＝1答案：D2．2022年西安模拟若定义在R上的偶函数f满足f＋2＝f，且当∈[0,1]时，f＝，则方程f－og3 ||＝0的根的个数是A．6 B．4C．3 D．2解析：函数＝f的图象与函数＝og3 ||的图象如图所示，由图示可得，函数＝f－og3 ||的零点有4个，故应选B答案：B3．已知正方形ABCD的边长为2错误!，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B­边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点不包括端点，且BN＝＝，则三棱锥N­AMC的体积＝f的函数图象大致是解析：由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N­AMC的高为ON＝2－，△AMC的面积为错误!·MC·AC·in 45°＝错误!，故三棱锥N­AMC 的体积为＝f＝错误!·2－·错误!＝错误!－错误!2＋2错误!0<<2，函数f的图象为开口向下的抛物线的一部分，故选B答案：B。

《优化探究》2022高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：2-7[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难对数式的化简与求值1、3 6对数函数的图象与性质24、10、12对数函数的应用5、7、8、9111．化简：错误!＋og2错误!，得A．2 B．2－2og23C．－2 D．2og23－2解析：错误!＝错误!＝|og23－2|＝2－og23，而og2错误!＝－og23，则两者相加即为B 项．答案：B2．2022年合肥模拟函数＝错误!的大致图象是解析：由于错误!＝－错误!，所以函数＝错误!是奇函数，其图象关于原点对称．当>0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C答案：C3．2022年温州模拟已知函数f＝错误!，则f错误!＝B．eC．－错误!D．－e解析：由题意得，f错误!＝f错误!＝f－1＝e－1＝错误!答案：A4．已知a＝，b＝og1.10.7，c＝，则a，b，c的大小关系为A．a1.10.71.10.9＝0，a错误!＝错误!，则og错误!a＝________解析：∵a错误!＝错误!，∴og错误!a错误!＝og错误!错误!，∴错误!og错误!a＝og错误!错误!2＝2，∴og错误!a＝3答案：37．已知函数f＝错误!则使函数f的图象位于直线＝1上方的的取值范围是________．解析：当≤0时，3＋1>1⇒＋1>0，∴－10时，og2>1⇒>2，∴>2综上所述，的取值范围为－12答案：{|－12}8．2022年平顶山模拟定义在R上的奇函数f，当∈0，＋∞时，f＝og2，则不等式f1，∴[m2，n]＝错误!，f错误!＝错误!＝2|og2n|＝2fn．所以f在区间[m2，n]上的最大值为f错误!＝2fn．∴2|og2n|＝2∵n>1，∴n＝2，m＝错误!故n＋m＝错误!答案：错误!三、解答题10．已知函数f＝og a＋1－og a1－，a>0且a≠11求f的定义域；2判断f的奇偶性并予以证明．解析：1f＝og a＋1－og a1－，则错误!解得－10，且a≠1的最大值是1，最小值是－错误!，求a的值．解析：由题意知f＝错误!og a＋1og a＋2＝错误!og错误!＋3og a＋2＝错误!错误!2－错误!当f取最小值－错误!时，og a＝－错误!，又∵∈[2,8]，∴a∈0,1．∵f是关于og a的二次函数，∴函数f的最大值必在＝2或＝8时取得．若错误!错误!2－错误!＝1，则a＝2－错误!，此时f取得最小值时，＝2－错误!－错误!＝错误!∉[2,8]，舍去．若错误!错误!2－错误!＝1，则a＝错误!，此时f取得最小值时，＝错误!－错误!＝2错误!∈[2,8]，符合题意，∴a＝错误!12．能力提升已知函数f＝og a＋1a>1，若函数＝g图象上任意一点成立，求m的取值范围．解析：1设，即og a错误!≥m设F＝og a错误!，∈[0,1，由题意知，只要F min≥m即可．∵F在[0,1上是增函数，∴F min＝F0＝≤0即为所求．[因材施教·学生备选练习]1．2022年合肥模拟函数f＝－2n错误!的图象可能是解析：由错误!>0得函数的定义域为－1,1，因此排除选项A、B，又因为＝错误!＝－1＋错误!在0,1上单调递增，所以f在0,1上单调递减，由此排除C选项，故选D答案：D2．2022年淄博模拟设方程og4－错误!＝0，og错误!－错误!＝0的根分别为1，2则A．0<12<1 B．12＝1C．1<12<2 D．12≥2解析：依题意得og41－错误!1＝0，og错误!2－错误!2＝0，即og41＝错误!1，og错误!2＝错误!2，由图象可知0<2<1<1，所以og41＝错误!1，og42＝－错误!2，于是og41＋og42＝错误!1－错误!2，即og412＝错误!1－错误!2，而错误!1<错误!2，所以og412<0，即0<12<答案：A3．已知函数f＝og44＋1＋2∈R是偶函数．1求的值；2若方程f＝m有解，求m的取值范围．解析：1由函数f是偶函数，可知f＝f－，∴og44＋1＋2＝og44－＋1－2，即og4错误!＝－4，∴og4 4＝－4，∴＝－4，即1＋4＝0，对一切∈R恒成立，∴＝－错误!2由m＝f＝og44＋1－错误!＝og4错误!＝og4错误!，∵2＋错误!≥2，∴m≥og42＝错误!故要使方程f＝m有解，m的取值范围为错误!。