2016年中科大量子力学考研真题(完整版)凯程首发

中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、（共30分）考虑一维束缚态。

(1)证明(,)(,)x t x t ψψ不随时间变化，此处波函数ψ不必是定态。

(2)证明对于定态，动量的期望值为零。

(3)证明如果粒子在0t =时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。

二、（共30分）设波函数()(()ip x x e βψ+ =，而ˆx ，ˆp 分别为x 方向的坐标和动量算符，其中β为实常数。

(1)说明()x ψ是否为ˆp的归一化本征态。

(2)证明ˆ/i p x e x αα''=+ ，及ˆ/i p e x x αα''=- ，其中α为实常数。

(3)化简算符ˆˆ//ˆi p i p e xe αα- 。

(4)化简算符ˆˆ/2/ˆi pi p e x e αα- 。

三、（共30分）一个无自旋粒子的波函数为(2)r K x iy z e αψ-++=，此处222z y x r ++=,其中K ,α为实常数。

（球谐函数：00Y =01Y θ=,11i Y e φθ±±=。

）(1)求粒子的总角动量。

(2)求角动量z 分量即z L ˆ的期望值，及测得 =zL 的概率。

(3)求发现粒子在),(ϕθ方向上Ωd 立体角内的概率。

四、（共30分）(1)一个电子在=0t 的时刻处于自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-131i χ。

在0>t 时刻，在外界加一个磁场0ˆˆ(sin cos )x z B B e e θθ→=+，此时电子的哈密顿量为B S H B ∙-=ˆ2ˆμ，其中ˆS 为自旋算符，B μ为玻尔磁子，求此粒子在任意t 时刻的波函数。

(2)考虑两个自旋为21的粒子处于磁场中，此时系统的哈密顿量为12012ˆˆˆˆˆz z H a b c σσσσ=++∙ ，其中a ，b ，0c 为常数，ˆσ是泡利算符，前两项为粒子处于磁场中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能。

附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试卷名称：量子力学（理论型） 选做五题，毎题20分1、 一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。

（1） 后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2） 体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？ （3） 在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1） 计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-， （2） 证明（ξ为常数 ）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3） 化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。

5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。

2016年中科大自招笔试真题及答案(2016年中科大)解析：原理：小车质量M不变。

用钩码质量m表示小车受到的合外力。

θμθ+-=+mg Mg(sin cos)(m M)a其中μ中小车和木板的摩擦因数，θ为木板的倾斜角。

图中a=0时，m不等于0，说明摩擦斩没有平衡完，应增大木板的倾斜角。

在平衡摩擦力的情形下，有mg=+(m M)a要得到小车的质量不变时，小车的加速度和受到的力成正比，就使m 远小于M(2016年中科大)解析：根据玻意耳定律 0(H h)S (p gh)(H h)S C()p -=--=常数ρ 上提玻璃管，H 增大假设h 不变，空气的压强不变，但V 增大，矛盾 假设h 减小，空气的压强增大，但V 也增大，矛盾 所以，h 增大，空气的压强减小，V 增大。

若管中没有空气，0p gh =ρ上提玻璃管，若H 较小，开始时H=h ，上提玻璃管过程中，h 先增大后减小 拓展：一、克拉珀龙方程 气体符合的规律nRT PV =1、)/(31.8)/(082.0K mol J K mol L atm R ⋅=⋅⋅=2、标准状态：压强为1个标准大气压，温度为0℃时3、严格遵守上式的气体叫理想气体4、标准状态下1mol 任何气体的体积都是22.4升表示气体在某一状态下各物理量之间的关系（知三求一） 二、理想气体状态方程c TPV = 或 222111T VP T V P =（1）、条件:质量一定的某种气体（2）、由克拉珀龙方程可以说明状态方程中的C ＝nR（3）、对一定质量的某种气体，若气体的状态不变，则三个参量就不变，若气体的状态发生变化，则三个参量中至少有二个参量发生变化。

三、特殊过程１、等温变化（玻意耳定律） c pv = 或 2211V P V P = ２、等容变化（查理定律）c T P= 或 T p T P T P ∆∆==2211 ３、等压变化（盖·吕萨克定律）c TV= 或 T V T V T V ∆∆==2211(2016年中科大)解析：（1）、101122m v m v m v =+021v v v =-得 121001223m m v v v m m -==+， 120012253m v v v m m ==+(2)、碰后1做匀速运动 1023x v t =碰后2相对2、3质心做简谐运动，质心做匀速运动2055)66x v t v =+ （3）、令12x x =，解得 4.1t s =拓展1：碰撞 分类1、从能量的角度分：①弹性碰撞②非弹性碰撞2、从速度方向分： ①正碰 ②斜碰 一、一动一静，弹性正碰101122m v m v m v =+ 22210112111222m v m v mv =+ 由上得，021()v v v =-，说明弹性碰时相对速度互换得 121012m m v v m m -=+，120122m v v m m =+几种特殊情况：1、12m m =时，120v v =，210v v =二球速度互换。

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版）凯程首发
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下面凯程老师把专业的真题全面展示给大家，供大家估分使用，以及2017年考研的同学使用，本试题凯程首发!
一共只有七道大题
一、在平面转动体系下，给定一个初态波函数，（1）求能量可能值及其概率，（2）求角度在t 时刻的平均值（3）在t=0时，突然改变势函数，求t>0时的能量平均值
二、在&势阱下，反射系数为透射系数两倍时，能量应满足什么条件？
三、给定三个矩阵，问哪几个能组成一组完备本征集，并求出本征态，以及三个矩阵在该表象下的表示
四、自旋，之前真题原题，2004年第五题。

今年科大卷子变化挺大，一般不会出现原题，所以下一届学弟学妹们不要抱有侥幸心理，踏实学习是王道
五、V （x ）=k/z,粒子不能到z<0的空间，求边界条件以及能级
六、微扰一道，表示不太记得了。

布丁考研网的中科大、中科院考研学长团队由数位中国科学技术大学、中国科学院大学的在读硕士、博士研究生组成，我们都亲身亲历过中科大、中科院考研，不仅备考复习经验丰富，手头上有大量的专业课复习资料，而且考入中科大、中科院后，收集到了很多科大、科院本身不对外公布的真题资料。

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我们提供的资料非常全面，下面以中国科学院大学619物理化学（甲）的考研资料为例予以说明：2017年中科院《619物理化学甲》考研真题及复习资料1. 中科院《物理化学甲》历年考研真题（独家更新2016年回忆版及答案解析）1995-1999年中科院物理化学甲真题及答案（官方原版试卷及阅卷答案，电子档发邮箱）2000年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2001年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2002年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2003年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2004年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2005年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2006年中科院物理化学真题（中科院-中科大联合命题，含答案）2007年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，含答案）2008年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，含答案）2009年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2010年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2011年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2012年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，详细答案解析）2013年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，官方阅卷答案，含详细答案解析）2014年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，官方阅卷答案，含详细答案解析）2015年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，官方答案，含详细答案解析）2016年中科院物理化学甲真题（中科院统一命题，回忆版，大题有详细解析）2. 中科院《物理化学甲》考研复习笔记（新增资料，店主推荐！）本笔记是由成功考入中科院的化学所的学长提供，每章均有重点知识点总结，并附有本章易出错的常考题型，并附有详细的解题过程。

《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。

[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。

2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。

力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。

不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。

因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。

3一维粒子的本征态是不简并的。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。

比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。

复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。

量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。

4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。

中国科学院大学2016年招收攻读硕士学位研究生统一考试试题科目名称：量子力学考生须知：1. 本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、（共30分）一个质量为m 的粒子限制在半径为a 的圆周上运动。

（1）求相应的本征值和本征函数。

（2）0t =时，2sin A θψ=，A 为归一化系数，求任意时间t 的波函数()t ψ。

（3）求t 时刻垂直于圆周角动量的平均值。

二、（共30分）质量为m 的粒子在势场00()()(0)V x V x V δ=->中运动（1）求束缚态能级和相应的本征函数。

（2）利用F-H 定理或者维里定理求动能和势能的平均值。

三、（共30分）二维谐振子哈密顿量为222222221()(),22H x y x y μωμ∂∂=-+++∂∂受到微扰2()H xy y λ'=+ （1）求不受到微扰时的本征能量，以及第n 激发态的简并度。

（2）求基态能量的一级微扰。

（3）求第一激发态的一级微扰。

四、（共30分）哈密顿量H B μσ=-，其中00(00)B B B ==，11(00)()B B t δ=，求（1）0t >仍处于激发态、基态的几率（2）0t >时波函数的表达式。

（3）0t >时处于x σ的两个本征态的概率。

五、（共30分）两个电子同处于同一单电子能级中，L 为总轨道角动量，S 为总自旋角动量。

（1）求L 的可能取值。

（2）求S 的可能取值，以及总自旋角动量和总自旋角动量z 分量的共同本征态。

（3）分析L S +的奇偶性。