指数与指数函数题型讲解

专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 根式的化简与求值(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定．n a ⎩⎪⎨⎪⎧n 为偶数，a 为非负实数n 为奇数，a 为任意实数，且n a 符号与a 的符号一致【典例1】化简下列各式： ①4(x －2)4； ②5(x －π)5. 【答案】见解析. 【解析】 ①4(x －2)4＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，－x ＋2，x <2.②5(x －π)5＝x －π. 【典例2】化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3.【答案】见解析.【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(2)由a －1知a －1≥0，∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1. 【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对na n的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤热门考点02 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【典例3】计算：．【答案】12. 【解析】．【典例4】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【典例5】（2020·上海高三专题练习）若1a >，0b <，且22b b a a -+=b b a a --=_________. 【答案】2- 【解析】22b ba a-+=()22228b bb b a a a a --+=++=，故226b b a a -+=，()22224b b b b a a a a ---=+-=，1a >，0b <，故0b b a a --<，故2b b a a -=--.故答案为：2-. 【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点03 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数xy a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，xy a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，xy a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C. 故选：C【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（ ）A ．(1,1)B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【答案】D 【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点04 指数函数的性质及应用1.指数函数图象的变化规律指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例8】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A ．【典例9】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.【典例10】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象， 如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1，故选D.【典例11】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤ 【解析】（1）因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，则在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，则1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5.（2）因为[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 则函数2y a =与函数1y m m=+有交点， 而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤. 【典例12】（2020·上海高三专题练习）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【答案】在(),1-∞-上是增函数，在()1,-+∞上是减函数，值域为10,81⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题.解：令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∴2251 3x xy++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x=++=++≥, ∴22513x xy++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤=⎥⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．巩固提升1.（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）．A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.2．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知,a b ∈R ，则“ln ln a b >”是“11()()33a b<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 ∵ln ln a b > ∴0a b >>∵1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴a b >∵0a b >>是a b >的充分不必要条件∴ln ln a b >是1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的充分不必要条件 故选A3．（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.4．（2020·上海高三专题练习）函数()12x f x -的定义域是 （ ） A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．(),-∞+∞【答案】A【解析】120x -≥，解得0x ≤， ∴函数的定义域(],0-∞，故选A.5.（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【答案】B 【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>. 故选：B6．（2020·上海高三专题练习）函数f (x )=x a －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0 <a <1，b >0D ．0 <a <1，b <0【答案】C 【解析】从曲线走向结合指数函数的单调性可知0<a<1, 又f (0)=1－b 1<，所以b >0， 故选：C.7．（2020·上海高三专题练习）已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】此题考查指数函数的图像的性质和指数函数的上下平移；有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是x 轴，即0y =；xy a b =+（1b <-）是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点(0,1)向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A ，如下图所示：8．（2020·上海高三专题练习）若函数1()21x f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值【答案】A 【解析】设21x t =+，则当(),x ∈-∞+∞时为增函数，且1t >；于是()11121xy t t ==>+为减函数，其图象如图所示： 则故121x y =+为减函数且1y <；图象在y 轴上方，0y >，所以原函数既无最小值，也无最大值.故正确答案为A.9．（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.10.（2020·上海高一课时练习）已知实数a ，b 满足01a b <<<，则下列各式中正确的是( ) A ．221333b a b<<B ．122333b a b<<C ．212333a b b<<D ．221333a b b<<【答案】D 【解析】当0α>时，幂函数y x α=在()0,x ∈+∞上为增函数，所以当01a b <<<时有2233a b <， 因为01b <<，所以指数函数xy b =在x ∈R 上为减函数， 因此有 2133b b <， 所以有：221333a b b <<故选：D11.(2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知： ，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.12.（2015·江苏高考真题）不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】,2222,xx-∴<是一个递增函数；故答案为：.13.（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______． 【答案】7 【解析】 ∵函数3x my an -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，令0x m -=，可得x m =，2y n =-，可得函数的图象经过定点(),2m n -.再根据函数的图象经过定点()3,2， ∴3m =，22n -=，解得3m =，4n =，则7m n +=， 故答案为：7．14. （2020·湖北省高一期末）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10 【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n <， 由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =， 故答案为：10.15.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞．16.（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222xx f x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202xxm --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________. 【答案】③ 【解析】对于①：对应法则和值域相同的两个函数，其定义域不一定相同， 如f （x ）＝x 2，x ∈R 与g （x ）＝x 2，x ∈[0，+∞），∴①错误； 对于②： ()222xxf x -=在(),1-∞ 上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增，故②错误；对于③：∵函数()1f x -的定义域为[]0,2，∴111x -≤-≤ ，即()f x 的定义域为[]1,1-，∴111x -≤+≤，即20x -≤≤，∴函数()1f x +的定义域为[]2,0-，∴③正确；对于④：函数f （x ）1x=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，∴④错误； 对于⑤：()42222xxf x =+++，令()222,xt =+∈+∞ 则()4f x t t=+在()2,+∞上单调递增，没有最小值，∴⑤错误. 对于⑥：由|2x ﹣m |12x -＜0，得|2x﹣m |12x ＜，∴11222x x xm --＜＜， 即112222x xx x m -+＜＜在区间[0，1]内恒成立，∵函数f （x ）122xx =-在区间[0，1]内单调递增，∴f （x ）的最大值为32；令g （x ）122xx =+，t ＝2x （1≤t ≤2），则y ＝t 1t+在[1，2]上为增函数，由内函数t ＝2x 为增函数，∴g （x ）122x x =+在区间[0，1]内单调递增，g （x ）的最小值为2．∴322m ＜＜．∴⑥错误.故答案为：③。

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。

如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。

指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。

当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。

当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。

负数$a$没有$n$次方根。

式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。

当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。

根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。

2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。

正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。

正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。

3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。

a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。

ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。

例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。

1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。

指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。

在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。

2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。

注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。

2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。

当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。

此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。

2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。

【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值 【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二 含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)， 求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数 函数 函数 y a x (a 0,a 1)叫做指 数函数 .2. 指数 函数的 性质（ 1 ） 定义域 :实 数 集 合 R ；（ 2）值域 ： y 0 ;（ 3 ）奇偶性 ：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时， 函数 y a x （a 0,a 1）在 （, )上为增函数； 0 a 1时， 函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时 ， y 1, 图 象 恒 过 点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时 ，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域 【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。

指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一． 指数幂与根式的互化：题组一：根式化为分数指数幂（1） 化简√a 12√a 12√a =________． (2) 计算2√a⋅√a23=________．(3)若a ＜0，则√ax 3=________． (4)√a √a √a 的值为（ ）题组二：运用分数指数幂进行化简：（1）下列各式中错误的是（ ） 1. A. 225×2 52=2B. (127)−13=3C. √226=√23D. (−18)23=2. 化简（a 23b 12）×（-3a 12b 13）÷（13a 16b 56）的结果（ ）A. 6aB. −aC. −9aD. 9a 23.（1）计算：1612+(181)−0.25−(−12)0 （2）化简：(2a 14b −13)(−3a −12b 23)÷(−14a −14b −23)．(3)（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0．题组三：指数式的条件求值问题：1.已知a 12+a −12=3，求下列各式的值(写出过程)：（1）a 1+a −1 (2)a 2+a −2 (3)a 32+a −32=2.（1）已知x +x−1=3，求x 12+x−12x 2+x −2+3的值．（2）已知2x +2-x =3，则 4x +4-x = ______ ．题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： 1.72.3______ 1.74 ； 0.6−1______ 0.62 ； 1.70.3______ 0.92.3 0.8−0.1______ 1.250.22.已知a =(13)−1.1,b =π0,c =30.9，则a ，b ，c 三者的大小关系是()A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. b <c <a3. 已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则（）A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a题组五：指数函数过定点问题;1．函数f （x ）=2-a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（ ）A. (0,2)B. (1,2)C. (−1,1)D. (−1,2)2.函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点______ ．3.函数y =a −x 2+2x+3(a ＞0，a ≠1）的图象经过定点为______4. 题组六：指数函数解方程（或不等式）;1. 设集合A ={x |-1＜x ＜2}，{x |18＜（12）x ＜1}，则A ∩B =（）A. (0,3)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,+∞)2.（1）不等式3−x 2+2x>13x+4的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______(3)求不等式a 2x -7＞a 4x -1（a ＞0，且a ≠1）中x 的取值范围3.方程4x -6×2x +8=0的解是______ ．题组七：指数函数有关图像问题;1.函数f(x)=a x +b −1(其中0<a <1且0<b <1)的图象一定不经过( ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若函数y =a x +b 的部分图象如图所示，则（ ）A. 0<a <1,−1<b <0B. 0<a <1,0<b <1C. a >1,−1<b <0D. a >1,0<b <13.函数f （x ）=-3|x |+1的图象大致是（ ）A.B.C.D.4．函数y =xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.5.如图①y =a x ,②y =b x ,③y =c x ,④y =d x ,根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )A. B. C.D.题组八：指数函数有关复合函数问题： 1.（1）函数y =(13)x 2−6x 的单调递增区间为______( 2 ) 函数y =2−x2−4x的单调递减区间为_____ 2.（1）函数y =(12)−x2+2x的值域是（ ）A. RB. [12,+∞)C. (2,+∞)D. (0,+∞)（2）函数f(x)=(13)x 2−6x+5的值域为_____ （3）函数y =2x 2−1的值域是______3.求函数y =3−x 2+2x+3的定义域、值域和单调区间．题组九：指数函数与其它函数交汇问题： 1.已知f (x )=a x 1+a x(a ≠0)，则f (−2018)+f (−2017)+⋯+f (2017)+f (2018)=（ ）A. 2018B.40372C. 2019D.403922.已知函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ⩽0，若方程f(x)=m 有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是________.3．若直线y =2a 与函数y =|a x -1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．4.已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a +b =______．5.函数f (x )=4x −2x+1+3的定义域为x ∈[−12,12]． (Ⅰ)设t =2x ,求t 的取值范围； (Ⅱ)求函数f(x)的值域．6.已知函数f(x)=a−2x 1+2x(a ∈R),且x ∈R 时,总有f(−x)=−f(x)成立．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性； (3)求f(x)在[0,2]上的值域．6.已知定义域为R 的函数，f(x)=−2x +b 2x+1+a是奇函数．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数幂的计算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，属基础题. 根据分数指数幂的运算法则进行求解即可.【解答】解：由条件知a≥0，则√a12√a12√a=√a12√a12+12=√a12⋅√a=√a12⋅a12=a12.故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.利用已知条件，通过开方运算，求解即可，利用a12+a−12=√(a12+a−12)2，即可得. 【解答】解：由a+1a=7，可得a＞0，a12+a−12>0，∴a12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数运算及倒序相加法进行求和，属于中档题.由已知f(x)+f(−x)=a x1＋a x+a−x1+a−x=1+a x1+a x=1，再利用倒序相加进行求和即可求解.【解答】解: 由已知有f(x)+f(−x)=a x1＋a x+a−x1+a−x=1+a x1+a x=1，设T=f(−2018)＋f(−2017)＋⋯＋f(2017)＋f(2018)，则T=f(2018)＋f(2017)＋⋯＋f(−2017)＋f(−2018)，两式相加得2T=4037×1，故选B .4.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【解答】 解：2√a⋅√a 23=a 2⋅a −12⋅a −23=a 2−12−23=a 56． 故选C ．5.【答案】A【解析】解：原式=a 32−12b 14−14=a ，故选：A根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数解析式,由已知解析式得到5a +b =3，所求为5a •5b ，利用同底数幂的乘法运算转化即可，属于中档题. 【解答】解：因为f （x ）=5x ，因为f （a +b ）=3，所以5a +b =3， 则f （a ）•f （b ）=5a •5b =5a +b =3. 故选A ．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础． 根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论． 【解答】解：∵f （x ）=3x +3-x ， ∴f （a ）=3a +3-a =4， 平方得32a +2+3-2a =16， 即32a +3-2a =14．即f （2a ）=32a +3-2a =14． 故选B ． 8.【答案】D【解析】解：∵a ＜0，ax 3≥0， ∴x ≤0，∴√ax 3=|x |√ax =-x √ax ，本题考查了根式的化简，属于基础题． 9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题.求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M ，N ，然后直接利用补集和交集的运算求解.【解答】解：由题意，集合M ={x |x 2+x -6＜0}={x |-3＜x ＜2}， N ={x |(12)x ≥4}={x |x ≤-2}，全集为R ， 所以∁R N ={x |x ＞-2}，所以M ∩（∁R N ）={x |-2＜x ＜2}， 所以M ∩（∁R N ）=（-2，2）． 故选B ．10.【答案】A【解析】解：A 、原式=225+52=22910； B 、原式=(3−3)−13=3；C 、原式=√226=(22)16=√23；D 、原式=(−2−3)23=(−2)−2=14．故选：A根式与分数指数幂的互化公式是√x m n =x mn ，分数指数幂公式是x -n=1x n （x ≠0），按公式运算即可．本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题． 11.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了分数指数幂和根式的互化，以及指数幂的运算性质，属于基础题． 【解答】解：√a √a √a =(a ·(a ·a 12)12)12=a 78， 故选C .12.【答案】C【解析】解：(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=(−3)÷13×a 23+12−16b 12+13−56=-9a故选：C ．由指数幂的运算法则直接化简即可．13.【答案】D【解析】解：a =(13)−1.1=31.1,b =π0=1,c =30.9，∵指数函数y =3x 在R 上单调递增， ∴31.1>30.9>30=1, 即有a ＞c ＞b ， 即b ＜c ＜a ． 故选：D ．运用指数函数的单调性，可得31.1>30.9>1，即可得到a ，b ，c 的大小关系． 本题考查指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题． 14.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.先求出函数的定义域，再分别讨论x ＞0，x ＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可． 【解答】解：函数f （x ）=e xx 的定义域为：(−∞,0)∪(0,+∞)，排除选项A ．当x ＞0时，函数f （x ）=e xx＞0，选项C 不满足题意．当x ＜0时，函数f （x ）=e xx＜0，选项D 不正确，故选B ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．f （x ）中含有|x |，故f （x ）是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【解答】解：f （x ）是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f （x ）={a x (x >0)−a x (x <0)，∴x ＞0时，图象与y =a x （a >1）在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y =a x （a >1）的图象关于x 轴对称， 故选C ．16.【答案】B【解析】解：函数y =（2a -1）x 在R 上为单调减函数， ∴0＜2a -1＜1 解得12＜a ＜1故选：B ．本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题 17.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，即a 0=1的应用，属于基础题.由x +1=0得x =-1代入解析式后，再利用a 0=1求出f （-1）的值，即可求出答案. 【解答】解：由x +1=0得x =-1，则f （-1）=2-a 0=1， ∴函数f （x ）=2-a x +1的图象恒过定点（-1，1）. 故选C .18.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质及与坐标轴交点位置，是解答的关键．根据已知可分析出函数的奇偶性，进而分析出函数图象的对称性，将x =0代入函数解析式，可判断函数图象与y 轴交点的位置，利用排除法可得函数的图象． 【解答】解：∵函数f （x ）=-3|x |+1，∴f （-x ）=-3|-x |+1=-3|x |+1=f （x ），即函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B 、D ， 当x =0时，f （0）=-30+1=0，即函数图象过原点，故排除C . 故选A .19.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的图象的应用及函数图像的平移变换，属于基础题，由0＜a ＜1可得函数y =a x 的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论. 【解答】解：由0＜a ＜1可得函数y =a x 的图象单调递减，且过第一、二象限， ∵0＜b ＜1， ∴-1＜b -1＜0， ∴0＜1-b ＜1，∵y =a x 的图象向下平移1-b 个单位即可得到y =a x +b -1的图象， ∴y =a x +b 的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限. 故选C .20.【答案】A【解析】【分析】此题考查复合函数的单调性，属于基础题，利用二次函数及指数函数的单调性可得出函数的单调性. 【解答】 解：∵函数y =(13)x 2−9是由函数t =x 2−9与y =(13)t复合而成，又y =(13)t单调递减，所以函数y =(13)x 2−9的单调递增区间为(−∞,0).故选A .21.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数图象恒过定点问题，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题． 由指数式的指数等于0求解x 值，进一步求得y 值得答案． 【解答】解：由x -3=0，得x =3，此时y =a 0+1=2．∴函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（3，2）． 故选：C ． 22.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题． 根据指数函数的单调性判断数的大小即可． 【解答】解：y =1.7x 为增函数，2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A 错误， y =0.6x 为减函数，-1<2,∴0.6-1＞0.62,故B 正确， 由于1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，故C 错误，由于0.8-0.1=1.250.1，对于指数函数y =1.25x 为增函数，0.1<0.2， ∴0.8-0.1<1.252,故D 错误， 故选B .23.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性、指数函数的定义域和值域，属于基础题，令t =-x 2+2x ，则y =(12)t ，再根据t ≤1以及指数函数的单调性求得y 的值域. 【解答】解：令t =−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1，则y =(12)t ， 由于t ≤1，∴y ≥(12)1=12，所以函数y =(12)−x 2+2x的值域是[12,+∞).故选B .24.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用指数函数、幂函数的单调性判断数的大小，属于基础题．解：∵y =(25)x 为减函数，且35>25， ∴b ＜c ，又∵y =x 25在（0，+∞）为增函数， ∴a ＞c ， ∴b ＜c ＜a ， 故选D ． 25.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义及表示形式，指数式的运算，以及指数函数的单调性，交集的运算．可写出18=(12)3，1=(12)0，然后根据指数函数单调性即可求出集合B ={x |0＜x ＜3}，根据交集的定义运算即可得出A ∩B ． 【解答】解：18=(12)3，1=(12)0； ∴由18<(12)x <1得，0＜x ＜3； ∴B ={x |0＜x ＜3}，且A ={x |-1＜x ＜2}； ∴A ∩B =（0，2）． 故选C ． 26.【答案】A【解析】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a ＜1，因为函数y =a x 的图象过定点（0，1），函数y =a x +b 的图象过定点（0，b +1）， ∴-1＜b ＜0， 故选A .根据指数函数的图象和性质即可判断.本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键． 27.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象和性质，比较函数值的大小即可，比较基础． 根据指数函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】解：很显然a ，b 均大于1；且y =b x 函数图象比y =a x 变化趋势小， 故b ＜a ，综上所述：a ＞b ＞1． 故选：C ． 28.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质，作出直线x =1，给出直线与四条曲线的交点坐标是正确解答本题的关键，本题的难点是意识到直线x =1与四条曲线交点的坐标的纵坐标恰好是四个函数的底数，此也是解本题的重点．可在图象中作出直线x =1，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出a 、b 、c 、d 与1的大小关系，选出正确选项【解答】解：由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）故有b＜a＜1＜d＜c故选：B．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象与性质，由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．30.【答案】C【解析】【分析】令x-1=0，求出x的值，从而求出对应的y的值，从而求出定点的坐标．本题考查了指数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：令x-1=0，解得：x=1，故x=1时，y=1，故函数过（1，1），故选C．31.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复合函数求单调区间的问题，复合函数求单调区间时，一般分离成两个简单函数根据同增异减的特性来判断．)z，z=x2-6x+5，根据同增异减性可得答案．将原函数分离成两个简单函数y=(13【解答】解：令z=x2-6x+5是开口向上的二次函数，x∈（-∞，3]上单调递减，x∈[3，+∞）上单调递增．则原函数可以写为：y =(13)t ，t =x 2-6x +5, 因为y =(13)t 单调递减,故原函数的单调递减区间为：[3，+∞）. 故选D ． 32.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的定义，属于容易题. 函数y =（a 2−5a +5）a x 是指数函数，所以必须满足{a 2−5a ＋5=1a >0,且a ≠1，解出即可．【解答】解：∵函数y =（a 2−5a +5）a x 是指数函数，∴{a 2−5a ＋5=1a >0,且a ≠1，解得a =4．故选C ．33.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．直接判断a ，b 的大小，然后求出结果． 【解答】解：由题意可知1＞a =0.60.6＞b =0.61.5，c =1.50.6＞1， 可知：c ＞a ＞b ． 故选C ． 34.【答案】5【解析】【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，属于基础题. 利用指数，对数的性质、运算法则求解． 【解答】 解：=1+3×23+lg100 =1+2+2 =5.故答案为5. 35.【答案】7【解析】解：∵2x +2-x =3，∴4x +4-x =（2x +2-x ）2-2=32-2=7． 故答案为：7．直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题． 36.【答案】19【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，考查计算能力，直接利用有理指数幂化简求值即可． 【解答】解：0.027−13-（-17）-2+25634-3-1+（√2-1）0 =103-49+64-13+1 =19．故答案为19． 37.【答案】-6b【解析】解：(−3a 13b 23)·(a 12b 12)÷(12a 56b 16)=−6a 13+12−56b 23+12−16 =−6a 0b 1=-6b故答案为-6b ．本题考查了指数的运算法则，与单项式相乘除的法则相同，系数相乘除作系数，同底数幂相乘除，底不变，指数相加减，即可得出． 38.【答案】x =1或x =2【解析】【分析】求解关于2x 的一元二次方程，然后进一步求解指数方程得答案．本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了一元二次方程的解法，是基础题． 【解答】解：由4x -6×2x +8=0，得 （2x -2）（2x -4）=0， 即2x =2或2x =4． ∴x =1或x =2．故答案为：x =1或x =2． 39.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了根式的化简，属于基础题. 根据根式的特点化简即可.【解答】解：由4＜x ＜7，则式子√(x −4)44+√(x −7)44=|x -4|+|x -7|=x -4+7-x =3， 故答案为3.40.【答案】(−1,4)【解析】【分析】本题考查指数函数单调性的应用，一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．先利用指数函数单调性，得−x 2+2x >−x −4，解不等式即可. 【解答】解：原不等式可化为3−x 2+2x >3−x−4, ∵函数y =3x 为R 上的增函数， ∴−x 2+2x >−x −4, 解得−1<x <4 故答案为(−1,4).41.【答案】（2，2）【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，属基础题，本题也可利用指数函数的图象变换求出．令x -2=0，则x =2，即为定点横坐标，代入函数式可得定点纵坐标． 【解答】解：令x =2，得y =a 0+1=2，所以函数y =1+a x−2的图象恒过定点坐标是（2，2）． 故答案为（2，2）． 42.【答案】（0，3]【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，复合函数的值域，利用换元法求函数的值域，属于基础题. 令t =x 2-1，将求函数y =(13)x2−1的值域的问题转化为求y =(13)t 在[-1，+∞）上的值域问题，再利用函数y =(13)t 的单调性求值域. 【解答】解：令t =x 2-1，t ∈[-1，+∞）， 即y =(13)t ，t ∈[-1，+∞），函数y =(13)t 在区间[-1，+∞）上是减函数， 故y ≤(13)−1=3 ， 故函数y =(13)x2−1的值域是（0，3].故答案为（0，3].43.【答案】（0，2）【解析】【分析】本题考查函数的零点个数，函数的图象的应用，属于中档题. 利用分段函数画出函数的图象，然后判断m 的范围即可. 【解答】解：画出函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ⩽0的图象如下：由函数f（x）=m有3个不等实根，即函数f(x)与直线y=m有3个交点，结合图象得：0＜m＜2，即m∈（0，2）．故答案为（0，2）.44.【答案】0＜a＜12【解析】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜1．2②当a＞1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．．综上：a的取值范围是0＜a＜12故答案为：0＜a＜12先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|a x-1|图象，再由直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．45.【答案】[3，+∞)【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域问题，由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x-8≥0，得2x≥8，则x≥3，∴函数y=y=√2x−8的定义域为[3，+∞)．故答案为[3，+∞)．46.【答案】（2，3）【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，关键是掌握此类问题的求法，是基础题． 由指数式的指数等于0求得x 值，进一步求得y 值，则答案可求． 【解答】解：由x -2=0，得x =2，此时y =3．∴函数y =a x -2+2（a ＞0且a ≠1）一定过定点（2，3）． 故答案为（2，3）．47.【答案】−32【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数， 所以{1+b =0a −1+b =−1，解得b =-1，1a =0不符合题意舍去；当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1a −1+b =0，解得b =-2，a =12， 综上a +b =−32， 故答案为：−32 .48.【答案】（1）解：原式=log 322×8329-52log 53=2-32=-7.（2）解：原式=(32)2×12-1-(32)3×23+(32)2=32-1-94+94=12．【解析】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． （1）利用对数的运算性质即可得出． （2）利用指数的运算性质即可得出．49.【答案】解：（1）√(3−π)44+（0.008）13-（0.25）12×（√2）-4=π-3+0.2-0.5×4 =π-3+0.2-2 =π-4.8．（2）（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0=4×27+（234）43-7-1614-1=108+2-7-2-1=100．【解析】本题主要考查指数式化简求值，是基础题.解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用． （1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．50.【答案】解：（1）原式=53−(23)3×13-1+2−2×(−12)=53−23-1+2=2． （2）原式=lg8×1252×512lg10×(−lg10)=lg102−12=-4．（3）∵a ，b ，c 为正实数，a x =b y =c z =k ＞0，k ≠1． ∴x =lgklga ，y =lgklgb ，z =lgklgc , ∵1x +1y +1z =0，∴lga+lgb+lgc lgk=lg(abc)lgk=0，∴abc =1.【解析】（1）本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数幂的运算性质即可得出．（2）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算性质即可得出．（3）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设a x =b y =c z =k ＞0，可得x =lgk lga ，y =lgk lgb ，z =lgklgc ,再利用对数的运算性质即可得出．51.【答案】解：（1）(214)12−(−0.96)0−(338)−23+(1.5)−2 =32−1−[(32)3]−23+(32)−2=12−(32)−2+(32)−2 =12． （2）∵10x =3，10y =4， ∴102x -y =102x 10y =(10x )210y =94．【解析】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．52.【答案】解：（1）原式=0．82×(−12)+33×23-1-23=54+9-1-8=54．（2）原式=log 3(102×0.81)=log 334=4．【解析】（1）利用指数的运算性质即可得出． （2）利用对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．53.【答案】解：（1）原式=(8116)0.5−1÷(43)2+(2764)23=94−916+916=94.（2）原式=log 3332+lg 1004+lg4+2+1=32+2−lg4+lg4+3=132.【解析】（1）本题考查指数式化简求值，是基础题.利用有理数指数幂的性质及运算法则求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质及运算法则的合理运用.（2）本题考查对数式和指数式的化简求值，是基础题.利用对数的运算性质化简即可.54.【答案】解：（1）（279）12-（2√3-π）0-（21027）−23+0.25−32，原式=√259-1-(6427)−23+(14)−32=53-1-(2764)23+432 =23-916+8=8548.（2）由题意：0＜x ＜1， ∴x 12−x −12＜0所以：（x 12−x −12）2=x +x -1-2． ∵x +x -1=3, ∴（x 12−x −12）2=1, 故得x 12−x −12=-1.【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． （1）利用指数幂的运算性质即可得出． （2）由题意0＜x ＜1，且x +x -1=3，判断x 12-x−12的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．55.【答案】解（1）原式=(94)12−1−(278)−23+(110)−2=32-1-49+100=180118．（2）∵（x 12+x −12）2=x +x -1+2=5， ∴x 12+x −12=√5， ∴（x +x -1）2=x 2+x -2+2=9， ∴x 2+x -2=7， ∴x 12+x−12x 2+x −2+3=√510.【解析】本题考查了幂的运算性质，属于基础题. （1）根据幂的运算性质计算即可， （2）根据幂的运算性质计算即可．56.【答案】解：（1）（2a23b12）（-6a12b13）÷（-3a16b56）（a ＞0，b ＞0）=4a 23+12−16b 12+13−56 =4a ．（2）2(lg √2)2+lg √2×lg5+√(lg √2)2−lg2+1 =lg √2（lg2+lg5）+√(lg √2−1)2 =lg √2+1−lg √2 =1．【解析】本题考查指数、对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式性质、运算法则的合理运用． （1）利用指数式性质、运算法则求解． （2）利用对数性质、运算法则求解．57.【答案】解：1612+(181)−0.25−(−12)0 =4+3-1 =6．(2a 14b −13)(−3a −12b 23)÷(−14a −14b −23) = 24a 14−12+14b −13+23+23 = 24b ．【解析】本题考查指数性质、运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意指数性质、运算法则的合理运用． 利用指数性质、运算法则直接求解．58.【答案】解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）． 令u =f （x ）=3+2x -x 2=4-（x -1）2≤4． ∴y =3u 是u 的增函数，当x =1时，u max =f （1）=4，而u ∈(−∞,4)． ∴0＜3u ≤34，即值域为（0，81]．（3）当x ≤1时，u =f （x ）为增函数，y =3u 是u 的增函数，根据同增异减原则.即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）； 其证明如下：任取x 1，x 2∈（-∞，1]且令x 1＜x 2,则f(x 1)f(x 2)=3−x 12+2x 1+3÷3−x 22+2x 2+3=3−x 12+2x 1+3+x 22−2x 2−3=3(x 22−x 12)+2(x 1−x 2)= 3(x 1−x 2)(2−x 1−x 2)∵x 1＜x 2，x 1，x 2∈（-∞，1] ∴x 1-x 2＜0，2-x 1-x 2＞0 ∴（x 1-x 2）（2-x 1-x 2）＜0 ∴3(x 1−x 2)(x 1+x 2+2)＜1∴f （x 1）＜f （x 2）∴原函数单调增区间为（-∞，1]同理可证，原函数单调减区间为[1，+∞）．即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）.【解析】根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x -x 2换成u ，通过二次函数的知识求得u 的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y =3u 的单调性即可求解利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，比较f （x 1），f （x 2）的大小，或f （x 1）＜f （x 2）则是增函数；反之则为减函数）证明即可本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．59.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）=0，即b−1a+2=0⇒b =1，∴f(x)=1−2x a+2x+1， 又由f （1）=-f （-1）知1−2a+4=−1−12a+1⇒a =2． 所以a =2，b =1．经检验a =2，b =1时，f(x)=−2x +12x+1+2是奇函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1−2x 2+2x+1=−12+12x +1，易知f （x ）在（-∞，+∞）上为减函数．又因为f （x ）是奇函数，所以f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0等价于f （t 2-2t ）＜-f （2t 2-k ）=f （k -2t 2），因为f （x ）为减函数，由上式可得：t 2-2t ＞k -2t 2．即对一切t ∈R 有：3t 2-2t -k ＞0，从而判别式Δ=4+12k <0⇒k <−13．所以k 的取值范围是(−∞,−13)．【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,属于中档题.（Ⅰ）利用奇函数的定义，在f （x ）=-f （-x ）中运用特殊值求a ，b 的值；（Ⅱ）首先确定函数f （x ）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k 的取值范围． 60.【答案】解：（1）∵f （-x ）=-f （x ），∴a−2−x1+2−x =-a−2x 1+2x ，即a⋅2x −11+2x =2x −a1+2x， ∴a =1，∴f （x ）=1−2x1+2x ；（2）函数f（x）为R上的减函数. ∵f（x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x2＞x1，∴f（x2）-f（x1）=1−2x21+2x2−1−2x11+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，∵x2＞x1，∴2x2>2x1＞0，∴f(x2)−f(x1)<0即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）为R上的减函数；（3）由（2）知，函数f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（2）≤f（x）≤f（0），即−35≤f（x）≤0，即函数的值域为[-35，0].【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解，利用定义法是解决本题的关键.（1）根据条件建立方程关系即可求a的值；（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数f（x）的单调性；（3）结合函数的单调性即可求f（x）在[0，2]上的值域.61.【答案】解：（Ⅰ）∵t=2x在x∈[−12，12]上单调递增,∴t∈[√22，√2] ；（Ⅱ）函数可化为：f（x）=g（t）=t2-2t+3 ,∵g（t）在[√22，1]上单减，在[1，√2]上单增，比较得g（√22）＜g（√2），∴f（x）min=g（1）=2，f（x）max=g（√2）=5-2√2，∴函数的值域为[2，5-2√2].【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于基础题.解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2x，x∈[−12，12]单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（Ⅱ）由于函数f（x）=4x-2x+1+3是一个复合函数，可由t=2x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t2-2t+3，此时定义域为t∈[√22，√2]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．62.【答案】解：由a2x-7＞a4x-1知需要进行分类，具体情况如下：当a＞1时，∵y=a x在定义域上递增，∴2x-7＞4x-1，解得x＜-3；当0＜a＜1时，∵y=a x在定义域上递减，∴2x-7＜4x-1，解得x＞-3；综上得，当a＞1时，x的取值范围为（-∞，-3）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（-3，+∞）．【解析】根据不等式需要对a进行分两类：a＞1时和0＜a＜1时，再分别利用指数函数的单调性列出不等式求解，最后要把结果分开表示．本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解，关键是根据底数判断函数的单调性，考查了分类讨论思想．63.【答案】解：（1）根据题意，f(x)=(12x−1+12)x，则有2x-1≠0，解可得x≠0，则函数的定义域为{x|x≠0}，（2）设任意x≠0，∵f(−x)=(12−x−1+12)(−x)=(2x1−2x+12)(−x)=(2x−1+11−2x+12)(−x)=(11−2x−12)(−x)=(1 2x−1+12)x=f(x)．∴f（x）为偶函数；（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），当x＞0时，2x-1＞0，则f(x)=(12x−1+12)x＞0，又由f（x）为偶函数，则当x＜0时，f（x）＞0，综合可得：f（x）＞0．【解析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，判定函数的奇偶性时要先分析函数的定义域．（1）根据题意，由函数的解析式可得2x-1≠0，解可得x的范围，即可得答案；（2）由（1）的结论，进而分析f（-x）=f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；（3）根据题意，当x＞0时，分析易得f(x)=(12x−1+12)x＞0，结合函数的奇偶性分析可得答案．。

指数函数考纲解读 1.结合指数幂的运算与根式的互化，考查指数幂的大小比较，指数方程，指数不等式的求解；2.结合指数函数的图象变换考查指数函数的性质；3.结合指数函数的值域考查参数的求解．[基础梳理]1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫作根式，这里n 叫作根指数，a 叫作被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒x ＝⎩⎨⎧n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质 ①(na )n ＝a (n ∈N *)． ②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质在x轴上方，过定点(0,1)[三基自测]1．下列各式化简正确的为()A. B.4(m－n)4＝m－nC．23×31.5×612＝6 D．答案：C2．函数f(x)＝1－e x的图象大致是()答案：A3．1.70.2、0.91.7、1由大到小的排列顺序为________．答案：1.70.2＞1＞0.91.74．若函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点A⎝⎛⎭⎫2，13，则f(－1)＝________.答案：35．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)函数y＝e x－1与y＝a有且只有一个交点，则a的范围为__________．答案：(0，＋∞)[考点例题]考点一 指数幂的化简与求值|易错突破[例1] 求值与化简： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－(0.01)0.5；(2)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.[易错提醒][纠错训练]1．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)的结果为( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y解析：416x 8y 4＝(16x 8y 4)14＝[24(－x )8·(－y )4]14＝24·14·(－x )8·14·(－y )4·14＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .答案：D2．(2018·杭州五校联考)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 解析：原式＝2·432a 32b －3210a 32b －32＝85.答案：85考点二 指数函数的图象及应用|方法突破[例2] (1)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )(2)(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．[解析] (1)∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>0， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x <－1，此函数的图象可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象可知A 正确．故选A.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] (1)A (2)[－1,1] [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，故选B.答案：B2．在本例(2)中，将曲线变为y ＝|2x －1|，与直线y ＝b 有且只有一个公共点，则b 的范围是________．解析：y ＝|2x －1|其图象如图所示，要使y ＝b 与曲线只有一个公共点必须b ≥1或b ＝0， 当b ＝0或b ≥1时，y ＝b 与曲线只有一个公共点． 答案：{0}∪[1，＋∞)考点三 与指数函数相关的综合问题|模型突破角度1 指数型函数的定义域、值域[例3] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________． [解析] (1)设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为关于t 的减函数，所以0＜y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．(2)因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. [答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤34，57 [模型解法]角度2 指数型函数的单调性[例4] (1)(2018·河南百校联考)已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )[解析] 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为递增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79＝⎝⎛⎭⎫97>⎝⎛⎭⎫97＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．选B.[答案] B(2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．与x 有关，不确定[解析] 由f (x ＋1)＝f (1－x )知：函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b ＝2；由f (0)＝3知：c ＝3.∴f (b x )＝f (2x )，f (c x )＝f (3x )．当x >0时，3x >2x >1，结合函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，知f (3x )>f (2x )，即f (b x )<f (c x )；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1， ∴f (3x )＝f (2x )，即f (b x )＝f (c x )；当x <0时，3x <2x <1，结合函数f (x )在(－∞，1)上单调递减， 知f (3x )>f (2x )，即f (b x )<f (c x )． 综上知：f (b x )≤f (c x )，选A.[模型解法]角度3 指数函数的奇偶性[例5] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减 (2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a[解析] (1)易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.(2)由f (x )＝2|x－m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1单调递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .[答案] (1)C (2)C[模型解法][高考类题](2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：因为a＝2＝4，c＝25＝5，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以4<5，即a<c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以4<4，即b<a，所以b<a<c，故选A.答案：A[真题感悟]1.[考点二](2016·高考全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()解析：易知y＝2x2－e|x|是偶函数，设f(x)＝2x2－e|x|，则f(2)＝2×22－e2＝8－e2，所以0<f(2)<1，所以排除A，B；当0≤x≤2时，y＝2x2－e x，所以y′＝4x－e x，又(y′)′＝4－e x，当0<x<ln 4时，(y′)′>0，当ln 4<x<2时，(y′)′<0，所以y′＝4x－e x在(0，ln 4)单调递增，在(ln 4，2)单调递减，所以y′＝4x－e x在[0,2]有－1≤y′≤4(ln 4－1)，所以y′＝4x－e x在[0,2]存在零点ε，所以函数y＝2x2－e x在[0，ε)单调递减，在(ε，2]单调递增，排除C，故选D.答案：D2.[考点二](2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析： 由2x ＝3y ＝5z ，可设(2)2x ＝(33)3y ＝(55)5z ＝t ，因为x ，y ，z 为正数，所以t >1，因为2＝623＝68，33＝632＝69，所以2<33；因为2＝1025＝1032，55＝1025，所以2>55，所以55<2<33.分别作出y ＝(2)x ，y ＝(33)x ，y ＝(55)x 的图象，如图．则3y <2x <5z ，故选D. 答案：D3.[考点三](2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝__________.解析：当a >1时，f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0无解， 当0<a <1时，f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2.∴a ＋b ＝12－2＝－32.答案：－32。

专题一 指数与指数函数题型一 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 【例1】化简：(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝________(用分数指数幂表示)． 【解析(a 2·5a 3)÷(a ·10a 9)＝(a 2·a 35)÷(a 12·a 910)＝a 135÷a 75＝a 135－75＝a 65.【例2】614＋0.002－12－10×(5－2)－1－295-⎪⎭⎫ ⎝⎛＋[(－2)3]－23的值为________． 【解析】原式＝225⎪⎭⎫⎝⎛＋50012－10×(5＋2)－1＋(23)－23＝52＋105－105－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.【例3】．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．【解析】由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47. 因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.题型二 指数函数的图象及应用1．准确把握指数函数图象的特征(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11-，. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系，如图所示其中0<c <d <1<a <b ，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．如举例说明3.2．关注含参指数型函数图象恒过定点问题 (1)依据：恒等式a 0＝1(a ≠0)．(2)方法：求形如f (x )＝M ·a kx ＋b ＋N 的图象恒过的定点，首先由kx ＋b ＝0求定点的横坐标，计算定点纵坐标．3．有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【例1】已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0) 【解析】由x －1＝0得x ＝1，f (1)＝4＋2a 0＝6.所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点(1,6)．【例2】函数f (x )＝2|x －1|的大致图象为( )【解析】因为f (x )＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，2x －1，x >1，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A ，C ，D.【例3】若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．【解析】方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.题型三 指数函数的性质及应用考查视角一 比较指数幂的大小 比较幂值大小的常见类型及解决方法【例1】(2020·许昌四校联考)设a ，b 满足0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中正确的是( ) A ．a a ＜a b B ．b a ＜b b C ．a a ＜b a D ．b b ＜a b 【解析】指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)为减函数，因为a ＜b ，所以a a ＞a b ，A 错误； 指数函数y ＝b x (0＜b ＜1)为减函数，因为a ＜b ，所以b a ＞b b ，B 错误； 幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a ＜b ，所以a a ＜b a ，C 正确； 由幂函数y ＝x b (0＜b ＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a ＜b ，所以b b ＞a b ，D 错误．【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 【解析】因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ； 又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c . 综上得b <a <c .故选A.考查视角二 解指数不等式利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解【例3】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．【解析】因为f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x－4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，，解得x >4或x <0，所以不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考查视角三 指数型复合函数的单调性 1.两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．(2)形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)型函数最值问题，可令t ＝f (x )，则y ＝a t ，先由x 的取值范围求t 的取值范围，再求y ＝a t 的最值． 2．对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性(1)若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间； (2)若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间． 【例4】已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．【解析】令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2m 上单调递增，在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞2-m ，上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4【例5】已知函数f (x )＝34231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ax .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝34-231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x ，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝)(31x h ⎪⎭⎫⎝⎛，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 巩固提升1.(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝(43)3，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解析】因为c＝(43)3＝334＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.2．(2020·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·a x＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )A．3 B．1C．－1 D．－2【解析】因为函数f(x)＝2·a x＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.3.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a【解析】因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a<c<b.故选B.4．(2020·安徽皖江名校模拟)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则有( )A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0【解析】令f(x)＝e x－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为e a＋πb≥e－b＋π－a，所以e a－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.5.已知函数f(x)＝a x，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2【解析】∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 6.(2019·凌源模拟)设a ＝7375⎪⎭⎫⎝⎛，b ＝7573⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝7373⎪⎭⎫⎝⎛，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b【解析】因为函数y ＝x73⎪⎭⎫⎝⎛在R 上单调递减．所以7573⎪⎭⎫ ⎝⎛＜7373⎪⎭⎫ ⎝⎛，即b ＜c .又函数y ＝x 37在(0，＋∞)上单调递增，所以7373⎪⎭⎫ ⎝⎛＜7375⎪⎭⎫⎝⎛，即c ＜a .综上，b ＜c ＜a .7.若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 【解析】∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x ＋2－x ＋2)＝0，∴a ＝1，∴f (x )>3，即为2x ＋12x －1>3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解．∴x 的取值范围为(0,1)．8.设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【解析】对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )最大值小于或等于K 令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.9.(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3【解析】设C (0，y C )，因为AC ⊥CO ，则设A (x A ，y C )，于是B (x A ，2y C )，E ⎪⎭⎫⎝⎛C A y x ，21 因为平行四边形OABC 的面积为8，所以y C ·x A ＝8，因为点E ，B 在y ＝a x 的图象上，则axA ＝2y C ，a xA2＝y C ，所以y 2C ＝2y C ，解得y C ＝2或y C ＝0(舍去)，则x A ＝4，于是a 4＝4，因为a >0，所以a ＝ 2.10.已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2 【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0， 所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， 所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1， 所以2a ＋2c <2，故选D.11．函数y ＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________． 【解析】因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上． 令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1.故a b ∈(0，1)．12.定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．【解析】∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]， ∴0∈[a ，b ]．2和－2至少有一个属于区间[a ，b ]，故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．即区间[a ，b ]长度的最小值为2. 13.(2020·中山一中摸底)化简：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝________. 【解析】原式＝(2a 23·b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a .14.已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．【解析】由题意知f (x )在R 上是单调递增函数，当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增； 当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减； 当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增． 故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．15.若不等式(m 2－m )2x －x⎪⎭⎫⎝⎛21＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是___．【解析】(m 2－m )2x －x⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜1可变形为m 2－m ＜x⎪⎭⎫⎝⎛21＋221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x.设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21(t ≥2)，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.16.不等式2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a x axx 恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】由题意，y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21是减函数，因为2221212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a x axx 恒成立，所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2>0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)<0，即(a －2)(a －2＋4)<0，即(a －2)(a ＋2)<0， 故有－2<a <2，即a 的取值范围是(－2，2)．17.已知实数a ，b 满足等式a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b⎪⎭⎫⎝⎛31，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ，其中可能成立的关系式有________．(填序号) 【解析】函数y 1＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21与y 2＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛31的图象如图所示．由a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b⎪⎭⎫⎝⎛31得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．18.设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________． 【解析】令t ＝a x (a >0，且a ≠1)， 则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,，此时f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa 1,上为增函数．所以f (t )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 1＝211⎪⎭⎫⎝⎛+a －2＝14.所以211⎪⎭⎫⎝⎛+a ＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1， 此时f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3. 19.已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡181，. 故y ＝2t 2－t －1＝2241⎪⎭⎫ ⎝⎛-t －98，t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡181，，故值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡089-， (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0， 过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正， 综上得a >0.20．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数， 又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13，故k 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞31--，.。

考点11指数与指数函数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．【知识点】1．根式(1)一般地，如果x n＝a，那么叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)叫做，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．n＝.当n＝，当n|a|＝{a，a≥0，－a，a<0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：mna＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：mna－＝＝1a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s＝；(a r)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质过定点，即x＝0时，y＝1当x >0时， ；当x <0时，当x <0时， ；当x >0时，在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，(－1，1a).2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．【核心题型】题型一　指数幂的运算(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例题1】（2024·广东·模拟预测）若3xy =，则= ．【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数221(1)e e ()()212(1)x xx x f x x -++-=-+，则221(log 6)(log 6f f +=．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2,1,2,1,x x f x fx x ì£ï=í->ïî则72f æö=ç÷èø．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：（1）22.5315006.π04-éùæöêúç÷=（20,0a b >>=（3 设11223x x -+=，则1x x -+的值为 题型二　指数函数的图象及应用对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝1xa ，y ＝log a （x ＋12）（a ＞0，且a ≠1）的图象可能是（ ）A ． B ．C ．D ．【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数()22x xx f x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数x y a =，对数函数log b y x =的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）A ．01a b <<<B ．01a b<<<C ．01b a <<<D ．01a b<<<【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数a y x =，x y b =，log c y x =在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（ ）A ．12log sin ac b b <<B ．12log sin ac b b <<C ．12sin log ab b c<<D ．12sin log ab c b<<题型三　指数函数的性质及应用(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．命题点1　比较指数式大小【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设0.40.8,a -=0.5log 0.8,b =0.4log 0.9c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知5log 2a =，lg4b =，1e 2-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c b a<<【变式2】（2024·北京房山·一模）已知,,R a b c Î，则下列命题为假命题的是（ ）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若0a b >>，则0.40.4a b >C ．若a b >，则1122a cb c++æöæö<ç÷ç÷èøèøD ．若0,0a b c >>>，则b bc a a c+>+【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若 1.5320.31log 12,log 6,,a b c d ====（ ）A ．a b c >>B ．b a d >>C ．c a b>>D ．b c a>>命题点2　解简单的指数方程或不等式【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数()1xf x a =+（0a >且1a ¹）在区间[]1,2上的值域为[]3,5，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．13【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数2()224x x f x a =-×+，若()0f x ³恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4]-¥B ．(,2]-¥C ．[4,)+¥D ．[2,)+¥【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数()sin f x x x =+，若x ÎR ，不等式()202x x m f f æ+->çè恒成立，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()2,+¥C ．[)3,+¥D ．()4,+¥【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合{}2log 1A x x =£，集合{}e 2x B x =£，则A B =I （ ）A ．1ln22x x ìü££íýîþB ．{}01x x <£C ．{}0ln2x x <£D ．{}02x x <£命题点3　指数函数性质的综合应用【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数()121x f x a =-+是奇函数.(1)求a 的值；(2)求()f x 在[]1,3-上的值域.【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数3()(21)x f x a b -=-+的图象恒经过定点(3,2)-．(1)求b 的值；(2)当()f x 在R 上是增函数，求a 的范围．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数()|24||3|f x x x =-++．(1)求不等式()112128f x æö£ç÷èø的解集；(2)若()1f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式()()22log 2log 82x x +£-.(1)求不等式的解集A ；(2)若当x A Î时，不等式 1114242x xm -æöæö-+³ç÷ç÷èøèø总成立，求m 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024·四川绵阳·二模）51x ö÷ø的展开式中，x 的系数为（ ）A ．5-B ．10-C ．5D ．102．（2024·内蒙古包头·一模）已知()()303x x bf x b b -=>+是奇函数，则b =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算：021.105lg252lg2-+-++=．（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024高三下·全国·专题练习）已知420102()cos (11)20101x xf x x x x ×+=+-££+，设函数()f x 的最大值是M ，最小值是N ，则（ ）A ．8M N +=B ．8M N -=C ．6M N +=D ．6M N -=二、多选题5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数()(0x xf x a ka a -=->且1)a ¹进得研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 有可能是奇函数，也有可能是偶函数C ．函数()f x 在定义域内单调递减D ．函数()f x 不一定有零点6．（2024·山东临沂·一模）已知函数()()221x f x a a =+Î-R ，则（ ）A ．()f x 的定义域为()(),00,¥-+¥U B ．()f x 的值域为RC ．当1a =时，()f x 为奇函数D ．当2a =时，()()2f x f x -+=三、填空题7．（2023·上海金山·一模）若0x >时，指数函数()23xy m =-的值总大于1，则实数m 的取值范围是 .8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]2.12=，[]3.14-=-.已知函数123()12xx f x ++=+，则()1f éù-=ëû ，函数[]()y f x =的值域为 .四、解答题9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像(1)22x y +=；(2)21x y x +=-.10．（2024高三·全国·专题练习）化简：(1)21103227()(0.002)2)8---+-+；11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数()222x x f x -+=，()222x xg x --=.(1)若存在()0,x Î+¥，使得()122xf x t =×+成立，求实数t 的取值范围；(2)若不等式()()220f x bg x +³，对任意的[]1,2x Î恒成立，求实数b 的取值范围.12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数()xf x a b =+，()log a g x x =，()0,1a a >¹，其中,a b 均为实数.(1)若函数()f x 的图像经过点()0,2A ，()1,3B ，求,a b 的值;(2)如果函数()f x 的定义域和值域都是[]1,0-，求a b +的值.(3)若a 满足不等式215222a a +->，且函数()21g x -在区间[]1,3上有最小值2-，求实数a 的值.综合提升练一、单选题1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知0a >且1a ¹，下列等式正确的是（ ）A ．236a a a--×=B ．623a a a=C ．639a a a+=D．32a-=2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知()221xax f x =-为奇函数，则()1f =（ ）A ．23B ．23-C ．2D ．-23．（2024·全国·模拟预测）已知函数()3xf x =，若()()353log 6,log 10,2a f b f c f æö===ç÷èø，则（ ）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．b c a<<4．（2024·江苏南通·二模）已知函数()22,3,32x x x f x x f x -ì+£ï=íæö>ç÷ïèøî，则()2log 9f =（ ）A ．83B ．103C ．809D ．8295．（2023·江西南昌·三模）设函数()()01xf x a a =<<，()()log 1b g x x b =>，若存在实数m满足：①()()0f m g m +=；②()()0f n g n -=，③||1m n -£，则12m n -的取值范围是（ ）A ．11(,)24--B．1(,2-C ．31(,42--D．1()2-6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数12(0x y a a -=+>且1)a ¹的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．92D ．527．（23-24高三上·云南楚雄·x ，则32612x x x ++=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．238．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）Aa =B ．log )log lo (g a a a MN M N =＋C32a= D ．39485log 2log 2log 3lo ()g 3(4)+×+=二、多选题9．（2024·广西柳州·三模）若a b >，则（ ）A ．330a b ->B ．()ln 0a b ->C ．e 1a b ->D ．0a b ->10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数()2121x x f x -=+，则（ ）A ．不等式()13f x <的解集是()1,1-B ．x "ÎR ，都有()()f x f x -=C ．()f x 是R 上的递减函数D ．()f x 的值域为()1,1-11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f (x )＝e e 2x x--，则下列结论正确的是（ ）A ．|f (x )|是偶函数B ．-f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数三、填空题12．（2024·北京房山·一模）若对任意,R m n Î，函数()f x 满足()()()f m f n f m n =+，且当m n >时，都有()()f m f n <，则函数()f x 的一个解析式是．13．（2024·全国·模拟预测）已知1212log log 169x x x -=，99log log 1612y y y -=，则xy= ．14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数12()122x xx f x a +-=--+，存在实数12,,,n x x x L 使得()()11n i n i f x f x -==å成立，若正整数n 的最大值为8，则正实数a 的取值范围是 .四、解答题15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简(1)计算：101223510.06420.124-æöæö+--+ç÷ç÷èøèø；(2)化简（用分数指数幂表示）0,0)a b >>16．（2023高三·全国·专题练习）已知()2xf x =的图象，指出下列函数的图象是由()f x 的图象通过怎样的变换得到的.(1)12x y +=；(2)21x y =+；(3)2x y -=；(4)2x y =.17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数()()22255m mf x m m x -=-+在()0,¥+上单调递减，函数()2xg x k =-．(1)求m 的值；(2)记集合()[]{},1,2A y y f x x ==Î，集合()[]{},1,1B y y g x x ==Î-，若A B A =I ，求实数k 的取值范围．18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：(1)()21122log 2log (1)1x x x -->--．(2)143237x x £-×+£．19．（23-24高三下·全国·自主招生）131232112,log 2,332a a S a a S a S a ìüìüìüïïïïæö=<=<=<íýíýíýç÷èøîþïïïïîþîþ，求()312S S S ÇU 拓展冲刺练一、单选题1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()e e 43x xf x x --=-B ．()e e 34x xf x x --=-C ．()e e 43x xf x x -+=-D ．()1x f x x =-2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）A ．0,e cos x x x ">>B ．22,a b a b ">>C ．0,cos e xx x $>³D ．33,a b a b $><3．（2024·陕西西安·一模）已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -££时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）．A ．1,33æöç÷èøB ．[)10,3,3æùÈ+¥çúèûC ．[)10,53,æù+¥çúèûU D ．1,35éùêúëû4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则（）A ．a<0，0b <，0c <B ．a<0，0b ³，0c >C ．33a c-<D ．332a c +<5．（2024·全国·模拟预测）若24x y -=x ，R y Î，则x y -的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．54D ．4二、多选题6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数()()e e x xf x x a -=+×是奇函数或偶函数，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）A B ．π3ln 23log 3>C ．17<D ．12e ln ππ-æö>ç÷èø三、填空题8．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数2123y x x =++-+的最小值为 .四、解答题9．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知函数()e x f x =．(1)若函数f的值域为[)1,+¥，求m 的取值范围；(2)若过点()2,n 可以作曲线()y f x =的两条切线，求n 的取值范围．10．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数()19log 2a xf x bx-=+，()2423x x g x m +=×-+.(1)若()lg y g x =éùëû的值域为R ，求满足条件的整数m 的值；(2)若非常数函数()f x 是定义域为()2,2-的奇函数，且[)11,2x "Î，[]21,1x $Î-，()()1212f xg x ->-，求m 的取值范围.。