中考第七讲因动点产生的相切问题.doc

§1．6 因动点产生的相切问题课前导学一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1例 42 2019年湖南省衡阳市中考第27题如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x=以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．图文解析（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为334y x=+．所以直线AB//CD．在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四边形ACDP总是平行四边形．（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t＝t．解得t＝209．此时OD＝0.6t＝43．所以BD＝433-＝53．作DE⊥AB于E．在Rt△BDE中，sinB＝45，BD＝53，所以DE＝BD·sinB＝43．因此OD＝DE，即圆心D到直线AB的距离等于圆D的半径．所以此时圆D与直线AB相切于点E（如图4）．图2 图3 考点伸展在本题情境下，点P运动到什么位置时，平行四边形ACDP的面积最大？S平行四边形ACDP＝AC·DO＝43(4)55t t-⨯＝21212+255t t-＝2125()3252t--+．当52t=时，平行四边形ACDP的面积最大，最大值为3．此时点P是AB的中点（如图5）．图4 图5例 43 2019年湖南省株洲市中考第23题如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A 在圆上运动，可以体验到，当点A 在直线AB 与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB 与圆有一个交点．还可以体验到，当AO ⊥PM 时，NO 、MQ 是中位线，此时等腰三角形AOM 的高MN 是确定的． 思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO//MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了． 图文解析（1）如图4，连结OA ．当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，OA ⊥AB ，A 为切点．此时在Rt △AOB 中，OA ＝1，OB ＝2，所以AB ABO ＝30°．此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC ＝4．（2）0°≤α≤60°．（3）如图5，连结MQ ，那么∠PMQ ＝90°． 当AO ⊥PM 时，AO//MQ ．由于Q 是OB 的中点，所以12MQ AO =，M 是AB 的中点．所以CM ⊥AB ． 由于O 是PQ 的中点，所以12NO MQ =．所以111244NO MQ AO ===．如图6，连结MO ．在Rt △OMN 中，14NO =，MO ＝1，所以MN 2＝1516．在Rt △AMN 中，AM 2＝AN 2＋MN 2＝2315243()416162+==．所以AM于是在Rt △CAM 中，CM ．图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B画圆O的切线，切点为G．如图8，弧GQ上的每一个点（包括点G、Q）都是符合题意的点A，即线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）．如图9，弧GP上的每一个点A（不包括点Q）与点B连成的线段AB，与圆O都有两个交点A、M．图7 图8 图92019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．62．数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（）A.34B.38C.916D.233．受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示：则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是( )A．2，1 B．1，1.5 C．1，2 D．1，14．分式方程的解是（）A.3B.-3C.D.95．如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（）A.①②B.③④C.①③④D.①②③④6．大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A．B．C．D．7．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环）．下列说法中正确的是（）A．若这5次成绩的中位数为8，则x＝8B ．若这5次成绩的众数是8，则x ＝8C ．若这5次成绩的方差为8，则x ＝8D ．若这5次成绩的平均成绩是8，则x ＝88．如图，要修建一条公路，从A 村沿北偏东75°方向到B 村，从B 村沿北偏西25°方向到C 村.若要保持公路CE 与从A 村到B 村的方向一致，则应顺时针转动的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．100°D ．105°9．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10x 的取值范围是( )A ．x 3=B ．x 3>C ．x 3≥D ．x 0≠11．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，3），C （4，1），如果将Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到Rt △A′B′C′，那么点A 的对应点A'的坐标是（ ）A ．（3，3）B ．（3，4）C ．（4，3）D ．（4，4）12．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，OA ＝4，OC ＝3，直线m ：y ＝﹣34x 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t(秒)，设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若a+b ＝3，a ﹣b ＝7，则ab ＝_____．14．△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S 1（如图1）；在余下的Rt △ADE 和Rt △BDF 中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2（如图2）；继续操作下去…；第2019次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是_____．15．如图，//m n ，1115∠=︒，2100∠=︒，则3∠=______°；16．如图，正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴上，∠ADO ＝30°，OA ＝2，反比例函y ＝kx经过CD 的中点M ，那么k ＝_____．17．不等式﹣13x+1≤﹣5的解集是____． 18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．如图，A 、B 是直线L 上的两点，AB=4厘米，过L 外一点C 作CD ∥L ，射线BC 与L 所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1厘米的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以每秒2厘米的速度沿由C 向D 的方向运动．设P ，Q 运动的时间为t （秒），当t ＞2时，PA 交CD 于E ． （1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长． （2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式．（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？20．如图△ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，以点D 为圆心，BD 为半径作⊙D 交AB 于点E ．（1）求证：⊙D 与AC 相切；（2）若AC ＝5，BC ＝3，试求AE 的长．21．已知x 1、x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求实数a 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 1x 2-x 1=4+ x 2，求实数a 的值． 22．已知关于x 方程x 2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x 1，x 2 （1）求m 的取值范围； （2）若x 1＝2x 2，求m 的值．23．（1）计算：-+；（2）先化简，再求值：211(1)224x x x -+÷--，其中x 1．24．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，几秒种后△DPQ 的面积为31cm 2？25．某足球队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据足球运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受调查的足球运动员人数为______，图①中m 的值为______； (Ⅱ)求统计的这组足球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．﹣10． 14．20181215．1451617．x≥18 18．14三、解答题19．（1）4(2)t EC t -= ，()2224t t QE t-+= ；（2）)2242APQSt t =-+； （3）6. 【解析】【分析】（1）根据题意的出BP=t ，CQ=2t ，PC=t-2．再根据EC ∥AB ，得出EC PC AB PB =最后得出EC 的值，即可表示出CE 和QE 的长．（2）本题关键是得出S 与t 的函数关系式，那么求面积就要知道底边和高的长，我们可以QE 为底边，过P 引l 的垂线作高，根据P 的速度可以用t 表示出BP ，也就能用BP 和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE 的长，我们可以根据Q 的速度用时间t 表示出CQ ，那么只要求出CE 即可．因为EC ∥BA ，那么我们可以用相似三角形的对应线段成比例来求CE 的长，根据三角形PEC 和PAB 相似，可得出关于CE 、AB 、PC 、BC 的比例关系式，有BP 、BC 、AB 的值，那么我们就可以用含t 的式子表示出CE ，也就表示出了QE ，那么可根据三角形的面积公式得出关于S 与t 的函数关系式了．（3）如果QE 恰好平分三角形APQ 的面积，那么此时P 到CD 和CD 到l 之间的距离就相等，那么C 就是PB 的中点，可根据BP=2BC 求出t 的值，然后根据（1）中得出的表示QE 的式子，将t 代入即可得出QE的值．【详解】解：（1）由题意知：BP=t ，CQ=2t ，PC=t-2；∵EC ∥AB ，∴EC PC AB PB= ∴()42t PC AB EC PB t-⋅== ∴()()2224422t t t QE QC EC t t t -+-=-=-=（2）作PF ⊥L 于F ，交DC 延长线于M ，AN ⊥CD 于N ．则在△PBF ∴S △APQ =S △AQE +S △PQE =12QE•AN+12QE•PM=12QE•PF=()222412t t t -+•2t =()2242t t -+（3）此时E 为PA 的中点，所以C 也是PB 的中点则t-2=2，∴t=4()2224t t QE t -+==() 2242444-⨯+=6（厘米）【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形得出表示CE的式子是解题的关键所在．20．（1）见解析；（2）AE＝1．【解析】【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD=FD即可证明：⊙D与AC相切；（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=4-x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．【详解】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD＝DF，∴⊙D与AC相切；（2）解：设圆的半径为x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB4，∵AC，BC，是圆的切线，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：32x=，∴AE＝4﹣3＝1．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．21．（1）a≥0且a≠6；（2）a=24．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）∵一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0有两个实数根，∴（2a ）2-4（a-6）×a≥0，a-6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=26a a -， x 1•x 2=6a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26a a -， 解得，a=24．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a，反过来也成立． 22．（1）m≤5；（2）m ＝4．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝6，x 1x 2＝m+4，结合x 1＝2x 2可求出x 1，x 2的值，再将其代入x 1x 2＝m+4中可求出m 的值．【详解】解：（1）∵关于x 方程x 2﹣6x+m+4＝0有两个实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（m+4）≥0，解得：m≤5．（2）∵关于x 方程x 2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2＝6，x 1x 2＝m+4．又∵x 1＝2x 2，∴x 2＝2，x 1＝4，∴4×2＝m+4，∴m ＝4．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 1＝2x 2，求出x 1，x 2的值．23．（1）；（2． 【解析】【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行计算即可；（2）先通分，进行分式的加法，然后把除法转化为乘法进行化简.化简后代入求值即可.【详解】（1）＝6﹣＝（2）2111224x x x -⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 12(2)2(1)(1)x x x x x --=⋅-+- 21x =+，当x 1时，原式==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.24．运动1秒或5秒后△DPQ 的面积为31cm 2．【解析】【分析】设运动x 秒钟后△DPQ 的面积为31cm 2，则AP=xcm ，BP=（6-x ）cm ，BQ=2xcm ，CQ=（12-2x ）cm ，利用分割图形求面积法结合△DPQ 的面积为31cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论【详解】解：设运动x 秒钟后△DPQ 的面积为31cm 2，则AP=xcm ，BP=（6-x ）cm ，BQ=2xcm ，CQ=（12-2x ）cm ，S △DPQ =S 矩形ABCD -S △ADP -S △CDQ -S △BPQ ， =AB•BC -12AD•AP -12CD•CQ -12BP•BQ， =6×12-12×12x -12×6（12-2x ）-12（6-x ）•2x， =x 2-6x+36=31，解得：x 1=1，x 2=5．答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．(Ⅰ)50，24；(Ⅱ)平均数是14.8；众数为15；中位数为15.【解析】【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100-28-20-10-18=24，据此解答即可；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．【详解】(Ⅰ)9÷18%=50（名）m=100-28-20-10-18=24，故答案为：50，24.(Ⅱ)观察条形统计图，139141215141610175x14.850⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==,∴这组数据的平均数是14.8.∵在这组样本数据中，15出现了14次，出现的次数最多, ∴这组样本数据的众数为15.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有1515152+=,∴这组样本数据的中位数为15.【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（ ）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．（11·孝感）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（1,12），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=； ③244ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43．如图，ABC ∆纸片中，点1A ，1B ，1C 分别是ABC ∆三边的中点，点2A ，2B ，2C 分别是111A B C ∆三边的中点，点3A ，3B ，3C 分别是222A B C ∆三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上)，则飞镖落在阴影部分的概率是( )A.2164B.1132C.2148D.7124．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.5．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则（）A.S1＝S2B.S1＝S3C.S2＝S3D.S1＝S2+S36．如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（）A.25°B.75°C.65°D.55°7．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．38．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．35°B．25°C．65°D．50°9．给出下列各式：①（﹣2）0＝1；②（a+b）2＝a2+b2；③（﹣3ab3）2＝9a2b6；④-21-3⎛⎫⎪⎝⎭＝9，其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④10．不等式组31122x151x xx-+⎧⎨-≤+⎩＜的最大整数解为（）A.-3B.-1C.0D.111．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BD EO AD AO =B ．CO CE CD CB =C ．AB CO BD OD = D ．BD OD BE OE= 二、填空题13．若2x 2x 3-=，则多项式22x 4x 3-+=______．14．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点)，则第2017个菱形的周长=______．15．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．16．一组数据2，2，3，4，4的方差是_____．17．如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O、A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于______．18．计算：的结果是_____．三、解答题19．如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．…（1）请写出：算式⑤；算式⑥；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2m+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．20．关于x的一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A（m，4）和点B（4，1）．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．21．如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝34，∠B＝30°；求AC和AB的长．22．在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D在射线AB上，在构成的图形中，△ACD为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则CD的长是_____．23．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC．（1）试判断△PAD 的形状并说明理由；（2）连接PC ，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC 的长．24．如图，四边形ABCD 是矩形（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE,若2,AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切于点E ，且l ∥BC ．（1）求证：AE 平分∠BAC ；（2）作∠ABC 的平分线BF 交AE 于点F ，求证：BE ＝EF ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．914．806815．1216．81718．1三、解答题19．（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6，（2）40＝8×5；48＝8×6；（3）不成立；【解析】【分析】（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6；（2）（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2＝（2n+1+2n ﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n ；（3）举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12.【详解】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6，（2）（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2＝（2n+1+2n ﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n ，∵n 为整数，∴两个连续奇数的平方差能被8整除；故答案为40＝8×5；48＝8×6；（3）不成立；举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12，∵12不是8的倍数，∴这个说法不成立；【点睛】本题考查了平方差公式的应用；将数进行合理的分解是解决整除问题的关键．对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．20．（1）m ＝1，y ＝4x ；（2）y ＝﹣x+5； 【解析】【分析】（1）把B 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m 的值，从而求出反比例函数的解析式和m 的值；（2）求得A 点坐标，进而把A 、B 点的坐标代入一次函数y ＝kx+b 的解析式，就可求出a 、b 的值，从而求得一次函数的解析式．【详解】（1）∵点B （4，1）在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴1＝4k ， ∴k ＝4． ∴反比例函数的解析式为y ＝4x∵点A （m ，4）在反比例函数y ＝4x 的图象上， ∴4＝4m， ∴m ＝1．（2）点A （1，4）和点B （4，1）在一次函数y ＝ax+b 的图象上，∴441a b a b +=⎧⎨+=⎩解得15a b =-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y ＝﹣x+5．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．21．【解析】【分析】如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △BHC 求出CH 、BH ，在Rt △ACH 中求出AH 、AC 即可解决问题；【详解】解：如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°，∴CH ＝12BC ＝6，BH ， 在Rt △ACH 中，tanA ＝34＝CH AH ， ∴AH ＝8，∴AC 10，【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22或2 【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC时，设CD=x，BD=y．②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC=AD=4，△DCB∽DAC．设CD=x，BD=y，分别构建方程组求解．【详解】①如图1中，当点D在线段AB上，DC＝AD，且△BCD∽△BAC时，设CD＝x，BD＝y，则有：BC CD BD AB AC BC==，∴224y xx y==+，解得：x＝3，y＝3，∴CD．②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC＝AD＝4，△DCB∽DAC．设CD＝x，BD＝y，则：CD BC DB DA AC DC==，∴244x yx ==，解得x＝2，y＝1，∴CD＝2，综上所述，满足条件的CD或2．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到方程组是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题．23．（1）△PAD为等腰直角三角形，理由见解析；（2） .【解析】【分析】(1)结论:△PAD是等腰直角三角形.只要证明∠DAP=90° ，PA=DA,即可解決问题(2))由△BAP≌△CAD,推出PB=CD=3,∠APB=∠ADC=135°,由△PAD是等腰直角三角形,推出∠ADP=45°,∠PDC=135°-∠ADP=90°,由AP=AD=1,推出PD2=AP2+AD2=2,在Rt△PDC中,根据计算即可,【详解】（1）△PAD为等腰直角三角形。

动态直线与圆的相切问题一模对考生中考的水平起到的是预测作用，也是对前一阶段老师教学和学生复习的检测。

考生通过这样一次考试可以查漏补缺。

所以大家要重视这次考试，当作是中考的预考，在备考的过程中要全力以赴。

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动态直线与圆的相切问题是近年中考试卷中的一个亮点。

这类试题既考查学生的动手操作能力和空间想象能力，还考察学生的分类思想，数形结合思想，计算能力等。

解决此类问题的主要思路是在动中取静，在静中探静。

也就是用运动和变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，灵活运用切线的判定方法，结合所学知识解决问题。

灵活运用切线的判定方法，就是根据题目中是否给出直线与圆有公共点的情况，选择不同形式的判定途径，当题设给出直线与圆有公共点时，可根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的直线”来判定。

具体操作上，先连接公共点和圆心，再证明直线垂直于这条半径。

当题设没有给出直线与圆有公共点时，可根据圆心到直线的距离等于半径这一数量关系来判定。

具体操作上，先经过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段长等于圆半径，这条直线就是圆的切线。

类型之一、定圆和动直线相切问题类型之二、动圆和动直线相切问题（12江南，26）在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D 运动的时间是t秒（t＞0）．过点C作CE⊥BO于点E，连接CD、DE．（1）当t为何值时，线段CD的长为4；（2）当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；（3）当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与（2）中的⊙O相切？（2013北塘一模）已知，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点M为边BC的中点，点P 为边CD上的动点（点P异于C，D两点），点P从点C出发，以2cm/s的速度，沿CD作匀速运动．连接PM，过点P作PM的垂线与边DA相交于点E（如图），设点P运动的时间为t（s）（1）DE的长为__________（用含t的代数式表示）；（2）若点P从点C出发的同时，直线BD沿着射线AD的方向以3cm/s的速度从D点出发，以CP长为直径作圆⊙O，当点P到达点D时，直线BD也停止运动．当⊙O与直线BD相切时，求DE的值．（13南长，27，2010连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）。

专题七动点产生的相切问题1.如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，43t=+；如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，433t=+．图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图62.如图，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？答案 （1）因为2AQ t AB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC=．因此PQ //BC ． （2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-． 如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-．如图5，当P 、C 重合时，t ＝2． 因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点． 当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图5专题八 动点产生的线段和差问题1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案 （1）212y x x =-+。

例 2010年福州市中考第22题如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线216y x bx c =++过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点（点P 与点C 不重合）．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“10福州22”，可以看到，点C 在抛物线上，四边形O 1COP 是正方形．拖动点Q 在抛物线上运动，可以体验到，两圆可以外切一次，可以内切一次，切点都是P ．请打开超级画板文件名“10福州22”，思路点拨1．在坐标平面内，充分利用同角的余角相等，用等角的正切值相等列方程．利用∠CAO ＝∠OBA 相等，列方程求点C 的坐标．点C 的坐标影响后续的计算，确定无误后再做第（3）题．2．第（3）题根据几何法确定点Q 是存在的，就是直线O 1P 与抛物线的交点．3．计算点Q 的坐标充分利用同角的余角相等，用等角的正切值相等列方程．满分解答(1) 因为抛物线216y x bx c =++过O (0,0)、A (5,0)两点， 所以抛物线的解析式为2115(5)666y x x x x =-=-． (2) 因为点A 与点C 关于直线y ＝2x 对称，所以OA ＝OC ＝5．过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ．设点C 的坐标为(m ,n )．由△ADC ∽△BAO ，得2AD BA CD OA==．因此52m n -=． 在Rt △COD 中，由勾股定理，得2225m n +=．解关于m 、n 的方程组，得3m =-，4n =．经检验，点(3,4)C -在抛物线2156y x x =-上． (3)直线O 1P 与抛物线的两个交点，就是我们要求的点Q ． 过点C 作AB 的垂线，垂足为M ．在Rt △BCM 中，4tan 3CM B BM ==． 由B (5,10)、C (－3,4)，可以计算出BC 的中点O 1的坐标为(1,7)． 设点Q 的坐标为215,66x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 过点O 1作x 轴的垂线，过点Q 做y 轴的垂线，两条垂线相交于点N ，那么∠Q ＝∠B ． 因此14tan 3O N Q QN ==，即143O N QN =，214(5)7(1)63x x x --=-． 整理，得23500x x +-=．解得32092x -±=． 如图4，点Q 1的横坐标为32092x -+=，点Q 2的横坐标为32092x --=．图3 图4 考点伸展第（3）题求点Q 的坐标，容易想到代数法，但是运算量很大． 第一步，求点O 1的坐标；第二步，求直线OC 的解析式；第三步，求经过点O 1，与直线OC 平行的直线O 1P 的解析式；第四步，解直线O 1P 与抛物线的解析式组成的方程组．。

1.7 因动点产生的相切问题例1 2012年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P 可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，43t=+；如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，433t=+．图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6例2 2012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案 （1）因为2AQ tAB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ． （2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-． 如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-．如图5，当P 、C 重合时，t ＝2． 因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点． 当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图5。

2019-2020 年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题如图 1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上必然点，点P为⊙O上不同样于点A 的动点．（ 1）当tan A 1时，求 AP的长；2（ 2）若是⊙Q 过点、，且点Q在直线上（如图2），设＝，＝，求y关于P O AP AP x QP yx的函数关系式，并写出函数的定义域；（ 3）在（ 2）的条件下，当tan A 4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q 3相外切，且OM⊥ OQ，试求⊙ M的半径的长．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在⊙ O上运动，能够体验到，等腰三角形 QPO与等腰三角形OAP保持相似， y 与 x 成反比率．⊙ M、⊙ O和⊙ Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点P 在⊙ O上运动，能够体验到，y 与 x成反比率．拖动点P 使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为，⊙M与⊙O相内切，2同时与⊙ Q相外切．拖动点P 使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙2Q都内切．思路点拨1．第（ 1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（ 2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（ 3）题先把三个圆心距摆列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，依照勾股定理列方程．满分解答（ 1）如图 4，过点 O 作 OH ⊥ AP ，那么 AP ＝2AH ．在 Rt △ OAH 中， OA ＝ 3， tan A 1，设 OH ＝ m ， AH ＝ 2m ，那么 m ＋ (2 m ) ＝ 3 ．2222解得 m 35．因此 AP 2AH4m12 5．55（ 2）如图 5，联系 OQ 、 OP ，那么△ QPO 、△ OAP 是等腰三角形．又因为底角∠ P 公用，因此△ QPO ∽△ OAP ．因此 QP OP，即y3 ．POPA3 x由此获取 y9．定义域是 0＜ x ≤ 6．x图 4图 5（ 3）如图 6，联系，作的垂直均分线交AP 于 ，垂足为 ，那么 、 是⊙OPOPQDQPQOQ的半径．在 Rt △ QPD 中， PD1PO3 ，tan P tan A4，因此QP5 ．2 232如图 7，设⊙ M 的半径为 r ．由⊙ M 与⊙ O 内切， r O 3 ，可得圆心距 OM ＝ 3－r ．由⊙ M与⊙ Q外切，r QP 5，可得圆心距QM5r．Q22在 Rt△QOM中，QO 5， OM＝3－ r ，QM5r ，由勾股定理，得22( 5r)2(3 r) 2(5)2．解得r9 ．2211图6图7图8考点伸展如图 8，在第（ 3）题情况下，若是⊙M与⊙ O、⊙ Q都内切，那么⊙M的半径是多少？同样的，设⊙ M的半径为 r ．由⊙ M与⊙ O内切，r O 3 ，可得圆心距OM＝ r －3．由⊙ M与⊙ Q内切，r Q QP 5，可得圆心距QM r 5 ．22在 Rt△QOM中，由勾股定理，得(r5)2(r 3) 2(5)2．解得 r ＝9．22例 2 2012年河北省中考第25 题如图 1，A( － 5,0) ，B( － 3,0) ，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°， CD// AB，∠ CDA＝90°．点P 从点 (4,0)出发，沿x轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为t Q秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙ P 与四边形 ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心P在点 Q左侧运动，能够体验到，⊙P 能够与直线BC、直线 DC、直线 AD相切，不能够与直线AB相切．答案（ 1）点C的坐标为 (0,3) ．（ 2）如图 2，当P在B的右侧，∠BCP＝ 15°时，∠PCO＝ 30°，t 4 3 ；如图 3，当P在B的左侧，∠BCP＝ 15°时，∠CPO＝ 30°，t 4 3 3 ．图2图3（3）如图 4，当⊙P与直线BC相切时，t＝ 1；如图 5，当⊙P与直线DC相切时，t＝ 4；如图 6，当⊙P与直线AD相切时，t＝ 5.6 ．图4图5图6例 3 2012年无锡市中考模拟第28 题如图 1，菱形ABCD的边长为 2 厘米，∠DAB＝ 60°．点P从A出发，以每秒 3 厘米的速度沿AC向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q也从点 A出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动．当点 P 到达点 C时， P、 Q都停止运动．设点P运动的时间为t 秒．（ 1）当P异于A、C时，请说明PQ// BC；（ 2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P由 A 向 C运动，能够体验到，⊙P 与线段 BC的地址关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，订交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12 无锡 28”，拖动点P由 A 向 C运动，能够体验到，⊙P 与线段 BC的地址关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，订交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案（ 1）因为AQt ， AP3t t ，因此 AQAP．因此 PQ// BC．AB2AC 2 32AB AC（ 2）如图2，由PQ＝PH＝1PC，得t1(2 33t)．解得 t 4 3 6 ．22如图 3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．因此 Q是 AB的中点， t ＝1．如图 4，由＝，得t233t ．解得t 33．PQ PC如图 5，当P、C重合时，t＝ 2．因此，当 t 4 3 6或 1＜t≤3 3 或 t ＝2时，⊙ P 与边 BC有1个公共点．当 4 36＜ t ≤1时，⊙ P 与边 BC有2个公共点．图2图3图4图5。

因动点产生的相切问题例 1 2019年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点． （1）当1tan 2A =时，求AP 的长；（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到，等腰三角形QPO 与等腰三角形OAP 保持相似，y 与x 成反比例．⊙M 、⊙O 和⊙Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到， y 与x 成反比例．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为0.82，⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为9，⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切． 思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程． 满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m)2＝32．解得355m =．所以125245AP AH m ===． （2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA =，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？ 同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3．由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．例2 2019年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD//AB ，∠CDA ＝90°．点P 从点Q(4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．（1）求点C 的坐标；（2）当∠BCP ＝15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P 在点Q 左侧运动，可以体验到，⊙P 可以与直线BC 、直线DC 、直线AD 相切，不能与直线AB 相切．答案 （1）点C 的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P 在B 的右侧，∠BCP ＝15°时，∠PCO ＝30°，43t =+；如图3，当P 在B 的左侧，∠BCP ＝15°时，∠CPO ＝30°，433t =+．图2 图3（3）如图4，当⊙P 与直线BC 相切时，t ＝1； 如图5，当⊙P 与直线DC 相切时，t ＝4； 如图6，当⊙P 与直线AD 相切时，t ＝5.6．图4 图5 图6例3 2019年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ//BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图一 动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案 （1）因为2AQ t AB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ//BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-．如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1． 如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点．当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图5。

2019中考数学复习高频考点因动点产生的相切问题一. 圆与圆的位置关系问题,一般无法先画出比较准确的图形.解这类问题,一般分三步走:二．直线与圆的位置关系问题,一般也无法先画出比较准确的图形.解这类问题,一般也分三步走:如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,圆O的半径为1,点C在y 轴的正半轴上,如果圆C既与直线AB相切,又与圆O相切,求点C的坐标. “既……,又……”的双重条件问题,一般先确定一个,再计算另一个.例1.假设圆C与直线AB相切于点D,设CD=3m, BD=4m, BC=5m,那么点C的坐标为(0, 4-5m).罗列三要素: 对于圆O, r=1;对于圆C, R=3m;圆心距OC=4-5m.分类列方程: 两圆外切时,4-5m=3m+1;两圆内切时,4-5m=3m-1.把这个问题再拓展一下,如果点C在y轴上,那么还要考虑点C在y轴负半轴.相同的是,对于圆O, r=1;对于圆C, R=3m;不同的是,圆心距OC=5m-4.例2.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm, AD=8cm.点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边做正方形PQMN,使得点N落在射线PD上.点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3cm/s,以O为圆心,0.8cm为半径作☉O.点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位: s).(1) 如图1,连结DQ,当DQ平分∠BDC时,t的值为;(2) 如图2,连结CM,若△CMQ是以CQ为底边的等腰三角形,求t的值;(3) 请你继续进行探究,并解答下列问题:①证明: 在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;②如图3,在运动过程中,当QM与☉O相切时,求t的值;并判断此时PM与☉O是否也相切?说明理由.图1 图2 图31. 图形中有多个3∶4∶5的直角三角形.2. 先确定☉O 与QM 相切时的时间t ,就可以把此刻所有的线段长都罗列出来.3. 根据面积法分割△MPQ ,可以计算点O 到PM 的距离不等于圆的半径.也可以通过计算证明点O 不在∠PMQ 的平分线上.例3.如图1,抛物线y =-x 2+mx +n 的图象经过点A (2, 3),对称轴为直线x =1,一次函数y =kx +b 的图象经过点A ,交x 轴于点P ,交抛物线于另一点B ,点A 、B 位于点P 的同侧.(1) 求抛物线的解析式;(2) 若PA ∶PB =3∶1,求一次函数的解析式;(3) 在(2)的条件下,当k >0时,抛物线的对称轴上是否存在点C ,使得☉C 同时与x 轴和直线AP 相切,如果存在,请求出点C 的坐标,如果不存在,请说明理由.图1 备用图1. 第(1)题的解析式中待定两个系数,已知两个条件,列方程(组)就好了.2. 第(2)题:把PA∶PB=3∶1转化为A、B两点到x轴的距离之比.3. 第(3)题:根据半径等于圆心到直线的距离列方程,而半径是圆心到直线AP的距离.例4.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, cosB=, BC=3, P是射线AB上的一个动点,以P为圆心、PA为半径的☉P与射线AC的另一个交点为D,直线PD交直线BC 于点E.(1) 当PA=1时,求CE的长;(2) 如果点P在边AB上,当☉P与以C为圆心、CE为半径的☉C内切时,求☉P 的半径;(3) 设线段BE的中点为Q,射线PQ与☉P相交于点F,点P在运动过程中,当PE∥CF时,求AP的长.图1 备用图备用图思路:1. 认识本题的情境图很关键,保持PA=PD, PB=PE, PQ垂直平分BE.2. 设AP=5m可以使得计算过程简便一些.3. 第(2)题:把☉P与☉C的三要素设法用m表示出来,再根据内切列关于m 的方程.4. 第(3)题读懂图形很重要:由于PF∥DC,当PE∥CF时,四边形PFCD的两组对边分别平行,而且邻边PF与PD是同圆的半径.例5.已知△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,点A在第一象限,点B在x轴正半轴上,OA=OB=6, ∠AOB=30°.(1) 求点A、B的坐标;(2) 开口向上的抛物线经过点O和点B,设其顶点为E,当△OBE为等腰直角三角形时,求抛物线的解析式;(3) 设半径为2的☉P与直线OA交于M、N两点,已知MN=2, P(m, 2)(m>0),求m的值.思路：1. 第(2)题:设顶点式求抛物线的解析式比较简便.2. 第(3)题的情境下, △PMN是底角为30°的等腰三角形.真题反馈1.3.5.。

中考数学复习考点知识与题型专题讲义25 因动点产生的相切问题（基础）1．已知：如图①，在边长为1的正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点M ，直线EF 经过点A ，且与BD 平行，点O 是AC 上一动点 以O 为圆心，OA 为半径画圆．（1）直线EF 与⊙O 相切吗？请说明理由；（2）如图②，当⊙O 与BC 相切于点N 时 求⊙O 的半径．【分析】（1）由正方形的性质可以得出∠MBA ＝∠MAB ＝45°，由BD ∥EF 就可以得出∠DBA ＝∠BAF ＝45°，就可以得出∠MAF ＝90°，进而得出结论；（2）连结ON ，就可以得出ON ⊥BC ，得出∠CNO ＝90°，由正方形的性质就可以得出∠ABC ＝90°，进而得出ON ∥AB ，就有△CON ∽△CAB ，就有ON AB =CO AC ，设⊙O 的半径为x ，就有ON ＝AO ＝x ，由勾股定理就可以得出AC =√2，进而代入比例式就可以求出结论．【解答】解：（1）EF 与⊙O 相切．理由：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠MBA ＝∠MAB ＝45°．∵BD ∥EF ，∴∠DBA ＝∠BAF ，∴∠BAF ＝45°，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥EF，∴直线EF与⊙O相切；（2）如图2，连结ON．∵⊙O与BC相切于点N，∴ON⊥BC，∴∠CNO＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠CNO＝∠ABC，∴ON∥AB，∴△CON∽△CAB，∴ONAB=COAC．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√2．设⊙O的半径为x，则有ON＝AO＝x，OC=√2−x，∴x1=√2−x√2，解得：x＝2−√2．答：⊙O的半径为2−√2．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，平行线的性质的运用，圆的切线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用切线的性质求解是关键．2．如图，▱ABCD 中，∠A ＝45°，AB =√2+1，点P 为射线AB 上一动点，⊙P 的半径为r ，且始终经过点B ．（1）如图1，设⊙P 与边BC 的另一交点M ，作PN ⊥AD 于N ，若点P 在运动过程中，线段MN 恰好能与线段CD 重合，求BC 的长；（2）如图2，作CE ⊥AB 于E ，若点P 从点A 至点E 的运动过程中，只有一次与直线AD 相切的机会，求BC 的取值范围（结果中分母可带根号）．【分析】（1）由线段MN 恰好能与线段CD 重合，推出四边形ABMN 是平行四边形，推出∠A ＝∠MNG ＝45°，易知△BGP ，△MNG ，△MGP 都是等腰直角三角形，可得MN ＝AB ＝PC ＝PB =√2+1，BC =√2PB ＝2+√2；（2）当P 与E 重合时，⊙P 与AD 相切于点N ，连接PN ．设PC ＝PB ＝r ，则有√22r ＝r ﹣（1+√22），解得r ＝3+2√2，BC ＝3√2+4，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵线段MN 恰好能与线段CD 重合，∴四边形ABMN 是平行四边形，∴∠A ＝∠MNG ＝45°，易知△BGP ，△MNG ，△MGP 都是等腰直角三角形，∴MN ＝AB ＝PC ＝PB =√2+1，∴BC =√2PB ＝2+√2．（2）当P 与E 重合时，⊙P 与AD 相切于点N ，连接PN ．设PC ＝PB ＝r ，则有√22r ＝r ﹣（1+√22），解得r ＝3+2√2， ∴BC ＝3√2+4，由题意可知若点P 从点A 至点E 的运动过程中，只有一次与直线AD 相切的机会，BC 的取值范围为0＜BC＜3√2+4．【点评】本题考查圆的有关知识，平行四边形的性质、切线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．3．如图，点P是Rt△ABC斜边AC的中点，动点E、F分别在AB、BC上且保持∠EPF＝45°，若以P为圆心的圆与AB相切，试探究动直线EF与⊙P的位置关系，并证明你的结论．【分析】由题意可证明△PEB∽△FPC，△PEB∽△FPC，则得出点P到AB和EF的距离相等，即可得出结论．【解答】解：直线EF与⊙P相切，理由如下：在△PEB和△FPC中，∠EPF+∠FPC＝135°，∠EPB+∠PEB＝135°，∴∠FPC＝∠PEB．又∵∠PBE＝∠C，∴△PEB∽△FPC．∴BECP=EPCF．∵△PEB∽△FPC，∴BECP=PEPF．∴BEBP=PEP．又∵∠EPB＝∠EPF＝45°，∴△BEP∽△PEF．∴∠BEP＝∠PEF．∴点P到AB和EF的距离相等．∵AB与⊙O相切，∴点P到EF的距离等于⊙O的半径．∴EF与⊙P相切．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及切线的性质，是一道综合题，难度偏大．4．在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数y=kx图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）当⊙P运动到与x轴也相切于K点时，如图1，判断四边形OAPK的形状，并说明理由．（2）当⊙P运动到与x轴相交于B、C两点时，已知B、C两点的坐标分别为B（1，0）、C（3，0），且四边形ABCP为菱形，如图2，求反比例函数的解析式．【分析】（1）先利用切线的性质得出四边形OAPK是矩形，再判断出P A＝PK即可得出结论；（2）先求出BC＝2，再用菱形的性质得出AP＝PC＝BC＝2，另为用圆的性质得出PB＝PC，用勾股定理求出PD即可得出点P坐标，最后代入即可．【解答】解：（1）四边形OAPK是正方形，理由：∵P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．∴∠OAP＝90°，∵⊙P运动到与x轴也相切于K点，∴∠OKP＝90°，∵∠AOK＝90°，∴∠OAP＝∠AOK＝∠OKP＝90°，∴四边形OAPK是矩形，∵⊙P和x，y轴都相切，∴AP＝KP，∴矩形OAPK是正方形．（2）如图，∵B（1，0）、C（3，0），∴BC＝2，∵四边形ABCP为菱形，∴AP＝PC＝BC＝2，连接BP，∴BP＝PC＝BC＝2，∴△PBC是等边三角形，过点P 作PD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝1，在Rt △BPD 中，BP ＝2，PD =√3，∴P （2，√3），∵点P 是反比例函数y =k x 图象上，∴k ＝2×√3=2√3，∴反比例函数的解析式为y =2√3x ． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了切线的性质，菱形，矩形，正方形的判定，勾股定理，等边三角形的性质．待定系数法，掌握特殊四边形的性质和判定以及等边三角形的性质是解本题的关键．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 是AB 上的动点，⊙O 过点B 交AB 于点D ，OE ⊥AC ，垂足为E ，DE 的延长线交BC 的延长线于点F ．（1）若BC ＝3，AC ＝4，当DE 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径；（2）当BF ＝BD 时，AC 是⊙O 的切线吗？为什么？【分析】（1）根据勾股定理得到AB ＝5，由DE 与⊙O 相切，得到∠ODE ＝90°，推出△ODE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到OE =5r 3，OE =15−3r 5，于是列方程得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到OD BD =OE BF ，根据分式的性质得到OE ＝OD ，然后根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵DE与⊙O相切，∴∠ODE＝90°，∴∠ACB＝∠ODE，∵OE⊥AC，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠B，∴△ODE∽△ABC，∴OEAB=ODBC，设⊙O的半径为r，∴OE5=r3，∴OE=5r 3，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OEBC=AOAB，∴OE3=5−r5，∴OE=15−3r 5，∴5r3=15−3r5，∴r=45 34；（2）AC是⊙O的切线，理由：∵OE∥BF，∴△DOE∽△DBF，∴ODBD=OEBF，∵BD＝BF，∴OE＝OD，∵OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．6．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（A在B点的右侧），与y轴交于点C．（1）抛物线总经过一个定点D，请直接写出点D的坐标．（2）已知⊙P是以AC为直径的圆，动点Q在抛物线上，当m＝3时，是否存在点Q，使得直线AQ与⊙P相切，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当m＝2时，抛物线的顶点为E，对称轴EF与AC交于点H，与x轴交于点F，设过H的直线与抛物线交于M（x1，y2）、N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并证明．【分析】（1）抛物线解析式化为y ＝﹣（x +1）（x ﹣1﹣m ），即可得到点D 坐标；（2）利用圆的切线的判定即可得到AQ ⊥AC ，进而得出AQ 解析式，结合抛物线解析式即可得到点Q 坐标；（3）先确定出点H 坐标，进而设出过点H 的直线解析式结合抛物线解析式，用根与系数的关系求出W 最小时的k 值，即是当|x 1﹣x 2|的值最小的k 的值，进而得出直线方程，便可判断出MN 与x 轴的位置关系．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +m +1＝﹣[x 2﹣1﹣m （x +1）]＝﹣（x +1）（x ﹣1﹣m ）， ∴当x ＝﹣1时，y ＝0，∴抛物线总经过一个定点D ，点D 的坐标为（﹣1，0）；当m ＝3时，抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4①，∴A （4，0），B （﹣1，0），C （0，4），∴直线AC 解析式为y ＝﹣x +4，∵使得直线AQ 与以AC 为直径的⊙P 相切，∴AQ ⊥AC ，∴直线AQ 的解析式为y ＝x ﹣4②，联立①②得，{x =4y =0（舍）或{x =−2y =−6， ∴Q （﹣2，﹣6）；（3）MN ∥x 轴，理由：当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4③，∴E（1，4），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵C（0.3），A（3，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴H（1，2），设过点H的直线的解析式为y＝kx+b，∵H（1，2），∴过点H的直线的解析式为y＝kx+2﹣k④，联立③④得，x2+（k﹣2）x﹣（k+1）＝0，∴x1+x2＝﹣（k﹣2），x1x2＝2﹣k，设W＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（k﹣2）2+4（k+1）＝k2+8，∴当k＝0时，最小为8，即：|x1﹣x2|的值最小为2√2，此时k＝0，∴过点H的直线的解析式为y＝2，∴MN∥x轴．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了定点的确定方法，圆的切线的性质，函数极值的确定，解本题的关键是解方程组，难点是建立方程组．7．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D的坐标为（1，﹣1），P是第四象限内抛物线上一动点，以PB为直径的圆经过点D，求经过点P且和这个圆相切的直线的解析式．【分析】根据题意可以求得线段PB 的中点坐标，然后根据以PB 为直径的圆经过点D ，P 是第四象限内抛物线上一动点，可以求得点P 的坐标，从而可以求得经过点P 且和这个圆相切的直线的解析式．【解答】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（1，﹣1），P 是第四象限内抛物线上一动点，∴设点P 的坐标为（a ，a 2﹣2a ﹣3），∴线段PB 的中点坐标是（a+32，a 2−2a−32），∵以PB 为直径的圆经过点D ，∴√(a 2−2a−32+1)2+(a+32−1)2=√(a 2−2a−3−0)2+(a−3)22， 解得，a ＝2或a ＝﹣2（舍去），∴点P 的坐标是（2，﹣3），设过点P （2，﹣3）和点B （3，0）的直线的解析式为y ＝kx +b ，∴{2k +b =−33k +b =0解得，{k =3b =−9即过点P （2，﹣3）和点B （3，0）的直线的解析式为y ＝3x ﹣9，∴可设过点P （2，﹣3）且和这个圆相切的直线的解析式为：y =−13x +c ，∴﹣3=−13×2+c ，得c =−73，即过点P 且和这个圆相切的直线的解析式为：y =−13x −73．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．8．如图．在矩形ABCD中，AB＝3．BC＝6，DE平分∠ADC交BC于E，点P是射线BC上的动点．（1）当∠ADP＝30°，求BP的长；（2）以点P为圆心，PD为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABPD的边（或边所在的直线）相切时，求BP的长．【分析】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝3，AD∥BC，由平行线的性质得到∠DPC＝∠ADP，由∠ADP＝30°，得到∠DPC＝30°，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由题意知，若⊙P与四边形ABPD的边（或边所在的直线）相切时，有以下两种情况：①如图1，当⊙P与AD相切于点D时，有PD⊥AD，即点P与点C重合，根据切线的性质得到PB＝BC＝6；②当⊙P与AB相切时，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，然后由勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3．BC＝6，∴CD＝AB＝3，AD∥BC，∴∠DPC＝∠ADP，∵∠ADP＝30°，∴∠DPC＝30°，∴PC=CDtan30°=3√33=3√3，∴PB＝BC﹣PC＝6﹣3√3；（2）由题意知，若⊙P 与四边形ABPD 的边（或边所在的直线）相切时，有以下两种情况： ①如图1，当⊙P 与AD 相切于点D 时，有PD ⊥AD ，即点P 与点C 重合，此时PB ＝BC ＝6；②当⊙P 与AB 相切时，由题意，得∠ABO ＝90°，∴点B 为切点，如图2，PB 2＝PD 2＝PC 2+CD 2＝（6﹣PB ）2+33，解得：PB =154，综上所述：当⊙P 与四边形ABPD 的边（或边所在的直线）相切时，BP 的长为6或154．【点评】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．9．如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，BC ＝6，AC ＝8．（1）若D 是AB 上的定点，以BD 为直径的⊙O 恰好切于AC 于E ，求⊙O 的半径；（3）若⊙O 的圆心是AB 上的动点，求⊙O 的半径r 在怎样的取值范围内能使⊙O 与AC 相切，且与BC 所在直线相交．（第（2）小题直接写答案，不必计算过程）【分析】（1）连接OE，得到OE⊥AC．根据OE∥BC，得到相似三角形，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；（2）此题首先可以求得圆和AC，BC相切时，确定r的最小值，再进一步根据BC的长确定r的最大值．【解答】解：（1）如图1，连接OE，得到OE⊥AC．则OE∥BC．∴OEBC=OAAB，即r6=10−r10，解得：r=15 4．（2）如图2，设⊙O和AC，BC相切于点M，N，连接OM，ON．设此时圆的半径是r，OB＝x．∵OM∥BC，∴△AMO∽△ACB，∴OMBC=OAAB．即r6=10−x10．∵ON∥AC，∴ONAC=OBAB．即r8=x10，解得：r=24 7．又∵BC＝6，∴247＜r≤6．【点评】此题考查了切线的性质和相似三角形的判定和性质以及直线与圆的位置关系，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2√2．∠BAC＝90°，以A为圆心1为半径作圆，O为BC上的一动点，以O为圆心OB为半径作圆．若⊙O与⊙A相切，求OB的长．【分析】作AE⊥BC交BC于E，根据勾股定理得到关系式，根据两圆的位置关系把数据代入计算即可．【解答】解：如图：作AE⊥BC交BC于E∵AB＝AC＝2√2，∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝CE＝2，连接AO，当两圆外切，∵AO2＝EO2+AE2，∴（BO+1）2＝（2﹣BO）2+4，解得，BO=7 6；当两圆内切时，∵AO2＝EO2+AE2，∴（BO﹣1）2＝（BO﹣2）2+4，解得，BO=7 2．【点评】本题考查的是两圆的位置关系和勾股定理的应用，若P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径，两圆外离，则P＞R+r；两圆外切，则P＝R+r；两圆相交，则R﹣r＜P＜R+r；两圆内切，则P＝R﹣r；两圆内含，则P＜R﹣r．11．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE，CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于点H，直线FH交⊙O于点G．（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；（2）当FH∥BE时，求FG的长．【分析】（1）连接EF，F A，由CE为圆的切线且又和EB垂直，可知CE∥F A，推出∠CEF＝∠AFE，而∠AFE＝∠FEB可得∠CEF＝∠BEF，所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFB为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为EA∥CF，可知四边形CEAF 为平行四边形，即AD＝BF＝2.5；（2）作OM ⊥FG 于点M ，连接OF ，先证明△ABE ∽△CDE ，得出AE CD ，求出AE ＝1或AE ＝4；①当AE ＝1时，证明△CFH ∽△CBE ，得出比例式CH CE ，求出CH 、OM ，根据勾股定理求出FM ，即可得出FG ＝2FM =3√55；②当AE ＝4时，同①得出△CFH ∽△CBE ，得出CH CE，求出CH =√55，得出OM ，由勾股定理求出FM ，即可得出FG ．【解答】解：（1）如图1，连接EF ，F A ，∵CE 为圆的切线且又和EB 垂直，∴CE ∥AF∴∠CEF ＝∠AFE ；又∵∠AFE ＝∠FEB ，∴∠CEF ＝∠BEF ，∴EF 为∠BEC 的平分线；∵∠EFB ＝90°，∴EF ⊥BC ，∴BE ＝CE∴△BEC 为等腰三角形，∴BF 为BC 的一半；∵EA ∥CF ，∴四边形CEAF 为平行四边形，即EA ＝CF ＝2.5；（2）解：如图2，作OM⊥FG于点M，连接OF，∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90°，∠HFC＝∠EBF，又∵∠HFC+∠FCH＝90°，∠EBF+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠FCH，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠FCH+∠DCE＝90°，∴∠AEB＝∠DCE，∴△ABE∽△CDE，∴AE CD，∴AE 2，解得：AE＝1或AE＝4；①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4，∴BE=√5，CE＝2√5，OF=√5 2，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5，∵FH∥BE，∴△CFH∽△CBE，∴CHCE，即2√5，∴CH =8√55， ∴OM ＝EH ＝CE ﹣CH =2√55， ∴FM =√OF 2−OM 2=3√510， ∴FG ＝2FM =3√55；②当AE ＝4时，BF ＝4，DE ＝CF ＝1， ∴BE ＝2√5，CE =√5，OG =√5， ∵△CFH ∽△CBE ， ∴CH CE，即√5，∴CH =√55，∴OM ＝EH ＝CE ﹣CH =4√55， ∴FM =√OG 2−OM 2=3√55， ∴FG ＝2FM =6√55； 综上所述：FG 的长为：3√55或6√55； 【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论和证明三角形相似才能得出结果．12．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点D 是反比例函数y =2√3x（x ＞0）图象上一个动点，以D 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A．（1）如图①，⊙D 运动到与x 轴相切于点H 时，判断四边形OHDA 的形状，并说明理由； （2）如图②，⊙D 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ，当四边形ABCD 是菱形时，求⊙D 的半径．【分析】（1）四边形OHDA 是正方形．当⊙D 分别与两坐标轴相切时，DA ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，且DA ＝DH ，可判断结论； （2）连接DB ，设点D （x ，2√3x），过点D 作DG ⊥BC 于G ，则半径DB ＝DC ，由菱形的性质得DC ＝BC ，可知△DBC 为等边三角形，在Rt △DBG 中，∠DBG ＝60°，DB ＝DA ＝x ，则DG =√32x ，利用√32x =2√3x 解方程求x 即可． 【解答】（1）四边形OHDA 是正方形． 证明：如图1，∵⊙D 分别与两坐标轴相切，∴DA ⊥OA ，DH ⊥OH ， ∴∠DAO ＝∠OHD ＝90°， 又∵∠AOH ＝90°，∴∠DAO ＝∠DHO ＝∠AOH ＝90°， ∴四边形OHDA 是矩形， 又∵DA ＝DH ，∴四边形OHDA 是正方形；（2）解：如图2，连接DB ，设点D 的横坐标为x ，则其纵坐标为2√3x，过点D 作DG ⊥OC 于G ，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BC ＝DA ＝DB ＝DC （半径）， ∴△DBC 为等边三角形，在Rt △DBG 中，∠DBG ＝60°，DB ＝DA ＝x ，DG =√32x ，∴√32x =2√3x ． 解得：x ＝±2（负值舍去）， ∴DA ＝BC ＝DC ＝2， ∴⊙D 的半径为2．【点评】本题考查了反比例函数的综合运用以及菱形、圆的性质和正方形的判定等知识，利用数形结合解题得出P 点横坐标是解题关键．13．已知点C 是线段BD 上一动点，分别以线段BC 和线段DC 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ，⊙O 是△ABC 的外接圆． （1）如图，求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若△CDE 的边DE 所在直线恰好与圆O 相切，线段BD ＝4，求圆O 的半径．【分析】（1）连结OC，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ECD＝60°，则∠ACE＝60°，再根据等边三角形的内外心重合得到∠ACO＝30°，则∠OCE＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，根据垂径定理得BH＝CH，设OH＝a，则CH=√3a，OC＝2a，所以BC＝2√3a，OF⊥FD，由△CDE为等边三角形得∠CED＝60°，∠D＝60°，则∠CEF＝120°，易得∠COF＝60°，于是可判断△OCF为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠OFC＝60°，FC＝OC＝2a，可计算出∠CFD＝30°，则∠FCD＝90°，由此得到CD=√33FC=2√33a，根据BD＝4，得出a的值，即可得出圆O的半径OC．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝60°，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴点O是等边△ABC的外心和内心，∴∠ACO=12∠ACB＝30°，∴∠OCE＝30°+60°＝90°，∴OC⊥CE，∴CE为⊙O的切线；（2）解：作OH⊥BC于H，连结OF、OC、FC，如图2，∵OH⊥BC，∴BH＝CH，设OH＝a，则CH=√3a，OC＝2a，∴BC＝2√3a，∵DF与⊙O切于点F，∴OF⊥FD，∵△CDE为等边三角形，∴∠CED＝60°，∠D＝60°，∴∠CEF＝120°，而∠OCE＝∠OFE＝90°，∴∠COF＝60°，∴△OCF为等边三角形，∴∠OFC＝60°，FC＝OC＝2a，∴∠CFD＝30°，∴∠FCD＝90°，∴CD=√33FC=2√33a，∵BD＝4，∴CD+BC＝4，∴2√33a+2√3a＝4，∴a=√3 2，∴OC＝2a=√3．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．14．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1，A、B点的对应点分别是A1、B1．（1）在图中画出直线A1B1．（2）点P是直线A1B1上的一个动点，当以点P为圆心，半径为2的圆与y轴相切时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）首先确定A1和B1的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；（2）当以点P为圆心，半径为2的圆与y轴相切，则x＝2或﹣2，代入解析式即可求解．【解答】解：（1）如图，；（2）A 1的坐标是（0，1），B 1的坐标是（2，0），设直线A 1B 1的解析式是y ＝kx +b ，根据题意得：{b =12k +b =0，解得：{b =1k =−12，则直线A 1B 1的解析式是y =−12x +1，当x ＝2时，y =−12×2+1＝0，则P 的坐标是（2，0）；当x ＝﹣2时，y =−12×（﹣2）+1＝2，则P 的坐标是（﹣2，2）． 故P 的坐标是（2，0）或（﹣2，2）．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及圆的切线的性质，正确确定P 的横坐标是关键．15．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y =√3x +6与两坐标轴分别交于A 、B 两点，M 为y 轴正半轴上一点，⊙M 过A 、B 两点，交x 轴正半轴于点C ，过B 作x 轴的平行线l ，N 点的坐标为（﹣10，5），⊙N 与直线l 相切于点D ． （1）求∠ABO 的度数及圆心M 的坐标；（2）若⊙M 保持不动，⊙N 以每秒1个单位的速度沿直线l 向右平移，同时直线AB 沿x 轴负方向向左匀速平移，当⊙N 第一次与⊙M 相切时，直线AB 也恰好与⊙N 第一次相切，在这个过程中，求直线AB 每秒平移了多少个单位长度？（3）如图（2），P为直线l上的一个动点，且在y轴的左侧，过P作AB的垂线分别交线段BC、x轴于Q、R两点，过P作x轴的垂线，垂足为S（S在A点的左侧），当P点运动时，BQ﹣AS的值是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求其值变化的范围．【分析】（1）由直线AB方程可知A，B两点的坐标，在Rt△AOB中利用三角函数可求得∠ABO，设⊙M交y轴负半轴于点N，进一步可求得BN的长度，可求得M的坐标；（2）由条件可求得⊙N的圆心移动的距离，可求得其移动的时间，进一步求出直线AB移动的距离，则可求得其平移的速度；（3）由条件可证明CR＝CQ，且∠PRS＝30°，可求得PS及PR，SR的长度，且可证明△ABC为等边三角形，所以得出SA﹣BQ为定值．【解答】解：（1）直线y=√3x+6中令x＝0，可得y＝6，令y＝0可得x＝﹣2√3，∴OA＝2√3，OB＝6，∴tan∠ABO=AOBO=√33，∴∠ABO＝30°，如图1，连接MA，则MA＝MB，且OM＝OB﹣MB＝6﹣MA，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AM2＝AO2+（6﹣MA）2，解得MA＝4，则OM＝2，所以M坐标为（0，2）；（2）N 点坐标为（﹣10，5），且D 到x 轴的距离等于OB ，故⊙N 的半径为1， 当⊙N 与⊙M 第一次相切时，即在y 轴左边与⊙M 相外切， 如图2，连接MN ，过N 作NE ⊥x 轴，过M 作NE ⊥NE ，交于点E ，则由两圆相外切可知MN ＝4+1＝5，NE ＝5﹣2＝3，由勾股定理可求得ME ＝4，即此时N 点的坐标为（﹣4，5），所以⊙N 的移动距离为﹣4﹣（﹣10）＝6，其移动速度为每秒1个单位长度，所以⊙N 移动的时间为6秒，设直线AB 移动后与x 轴、y 轴相交于点A ′、B ′，由题意可知直线A ′B ′为两圆的公切线，设切点为F ，则FM ＝4，在Rt △MFB ′中，∠A ′B ′O ＝∠ABO ＝30°，所以MB ′＝2MF ＝8，所以OB ′＝2+8＝10， 所以直线A ′B ′的解析式为y =√3x +10，令y ＝0可得x =−10√33，所以OA ′=10√33， 由（1）知OA ＝2√3，所以AA ′＝OA ′﹣OA =4√33， 其移动时间为6秒，所以其速度为4√33÷6=2√39，即求直线AB 每秒平移了2√39个单位长度；（3）在图1中BO ⊥AC ，且BO 过圆心M ，∴AO ＝OC ＝2√3=AB ，且∠BAO ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，AC ＝BC ， ∵PR ⊥AB ，∴∠BQC ＝∠CQR ＝30°，∠ARP ＝30°， ∴CR ＝CQ ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝AC ﹣CR ＝4√3−CR ， ∵PS ⊥SR ， ∴PS ＝OB ＝6， ∴PR ＝2PS ＝12，在Rt △PSR 中可求得SR ＝6√3，∴SA ＝SR ﹣AC ﹣CR ＝6√3−4√3−CR ＝2√3−CR ， ∴BQ ﹣SA ＝4√3−CR ﹣（2√3−CR ）＝2√3， ∴BQ ﹣AS 的值不改变，其值为2√3．【点评】本题主要考查切线的性质及等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质的综合应用，在第（2）问中确定出直线AB 移动的距离是解题的关键，在第（3）问中证明CQ ＝CR 是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（a ，0），（0，b ），且a ：b ＝4：3，点C 是AB 的中点，以OC 为直径作圆D ，且圆D 的直径为52，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）过点C 作圆D 的切线EF ，交x 轴于E ，交y 轴于F ，求EF 的长；（3）P 是线段OA 上的动点（不与O 、A 重合），设P 的横坐标为x ，那么当x 分别取何值时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相交、相切或相离？【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB ＝2OC ＝5，设OA ＝4t ，则OB ＝3t ，利用勾股定理得到AB ＝5t ，则5t ＝5，解得t ＝1，即可得到点坐标为（4，0），B 点坐标为（0，3）；（2）⊙D 交x 轴于H ，连接CH ，如图1，先根据线段中点坐标公式得到C 点坐标为（2，32），再根据圆周角定理由OC 为直径得到∠OHC ＝90°，则OH ＝2，CH =32，然后根据切线的性质得OC ⊥EF ，易证得Rt △OCH ∽Rt △OEC ，利用相似比可计算出OE =258，CE =158，再利用CH ∥OF 证明△ECH ∽△EFO ，于是可利用相似比可计算出EF ；（3）先讨论相切的条件：若⊙P 与AB 相切于G 点时，连接PG ，如图2，根据切线的性质得PG ⊥AB ，易证得Rt △APG ∽Rt △ABO ，利用相似比得到x 3=4−x 4，解得x =127，然后根据直线与圆的位置关系即可得到当0＜x ＜127时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相离；当x =127时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相切；当127x ≤4时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相交．【解答】解：（1）在Rt △AOB 中，∵点C 是AB 的中点，∴OC =12AB ，∴AB ＝2OC ＝2×52=5，设OA ＝4t ，则OB ＝3t ，∴AB =√OA 2+OB 2=5t ，∴5t ＝5，解得t ＝1，∴A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（0，3）；（2）⊙D 交x 轴于H ，连接CH ，如图1，∵点C 是AB 的中点，∴C 点坐标为（2，32）， ∵OC 为直径，∴∠OHC ＝90°，即CH ⊥x 轴，∴OH ＝2，CH =32，∵EF 为⊙D 的切线，C 为切点，∴OC ⊥EF ，∵∠COH ＝∠EOC ，∴Rt △OCH ∽Rt △OEC ，∴OC ：OE ＝OH ：OC ＝CH ：CE ，∴OE =OC 2OH =(52)22=258，CE =OC⋅CH OH =52⋅322=158， ∵CH ∥OF ，∴△ECH ∽△EFO ，∴CE EF =EH EO ，即158EF =258−2258，∴EF =12524；（3）若⊙与AB 相切于G 点时，连接PG ，如图2，P 点坐标为（x ，0）∵与AB 相切于G 点，∴PG ⊥AB ，∵∠P AG ＝∠BAO ，∴Rt △APG ∽Rt △ABO ，∴PG OB =AP AO，即x 3=4−x 4， 解得x =127，∴当0＜x ＜127时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相离；当x =127时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相切；当127x ≤4时，以OP 为半径的圆P 与直线AB 相交．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和直线与圆的位置关系的判定方法；理解坐标与图形性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．17．如图，在平面直角坐标系中，动点P 从点A （0，10）出发，以3个单位/秒的速度沿y 轴向点O 匀速运动，动点Q 从点B （5，0）同时出发，以1单位/秒的速度沿x 轴向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t 秒．以P 、Q 为圆心作⊙P 和⊙Q ，且⊙P 和⊙Q 的半径分别为4和1．（1）若⊙P 与Rt △AOB 的一边相切，求此时动点P 的坐标；（2）若⊙P 与线段AB 有两个公共点，求t 的取值范围；（3）是否存在某一时刻t ，使⊙Q 与Rt △AOB 的边AB 相切？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①若⊙P与AB相切于点H，连接PH，如图1①，易证△AHP∽△AOB，根据相似三角形的性质就可求出t的值，就可得到点P的坐标；若⊙P与OB相切于点O，如图1②，容易求出OP的值，就可得到点P的坐标．（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，过点P作PH⊥AB于点H，如图2，根据相似三角形的性质可得到PH的长（用t的代数式表示），由⊙P与线段AB有两个公共点可得AP≥4且PH＜4，由此就可求出t的取值范围．（3）若⊙Q与Rt△AOB的边AB相切于点G，连接QG，如图3，根据相似三角形的性质可求出t 的值．【解答】解：（1）①若⊙P与AB相切于点H，连接PH，如图1①，则PH⊥AB于点H．∵A（0，10）即OA＝10，B（5，0）即OB＝5，∠AOB＝90°，∴AB=√OA2+OB2=√100+25=5√5．∵∠AHP＝∠AOB＝90°，∠P AH＝∠BAO，∴△AHP∽△AOB，∴PHOB=APAB．∵PH＝4，AP＝3t，∴45=5√5，∴t=4√53．此时OP＝OA﹣AP＝10﹣4√5，点P的坐标为（0，10﹣4√5）．②若⊙P与OB相切于点O，如图1②，则有OP＝4，点P的坐标为（0，4）．综上所述：当⊙P与Rt△AOB的一边相切时，点P的坐标为为（0，10﹣4√5），（0，4）．（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，过点P作PH⊥AB于点H，如图2，∵A（0，10）即OA＝10，B（5，0）即OB＝5，∠AOB＝90°，∴AB=√OA2+OB2=√100+25=5√5．∵∠AHP＝∠AOB＝90°，∠P AH＝∠BAO，∴△AHP∽△AOB，∴PHOB=APAB，∴PH5=5√5，∴PH =3√55t ． ∵⊙P 与线段AB 有两个公共点，∴{3t ≥43√55t ＜4， 解得：43≤t ＜4√53． ∴当⊙P 与线段AB 有两个公共点时，t 的取值范围为43≤t ＜4√53．（3）若⊙Q 与Rt △AOB 的边AB 相切于点G ，连接QG ，如图3，则有QG ⊥AB ．∵∠QGB ＝∠AOB ＝90°，∠GBQ ＝∠OBA ，∴△BGQ ∽△BOA ，∴QG AO =QB AB ， ∴110=5√5， ∴t =√52． 此时√52＜103，符合要求． ∴当t =√52时，⊙Q 与Rt △AOB 的边AB 相切．【点评】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解不等式组等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．18．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边CD 上的动点P 重合（点P 不与点C 、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上，连结AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F．⊙O过点M、C、P（1）若∠AMP＝90°，求证：BM＝CP；（2）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求CP的长．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，证出∠BAM＝∠CMP，由折叠的性质得出AM ＝PM，由AAS证明△ABM≌△MPC，即可得出结论；（2）连接HO并延长交BC于J，根据折叠的性质知：MN垂直平分AP，可得：AM＝PM，AM为⊙O的切线，可得：∠AMP＝∠CMP+∠AMB＝90°，又∠BAM+∠AMB＝90°，可得：∠CMP＝∠BAM，∠B＝∠C＝90°，可证：△ABM≌△MCP，MC＝AB，BM＝CP，由AD为⊙O的切线，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，设PD的长为x，则PC＝AB﹣x，OJ=12PC，OH＝AB﹣OJ可求出⊙O的半径，在Rt△MCP中，运用勾股定理可将PD的长求出，即可得出CP 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵∠AMP＝90°，∴∠AMB+∠CMP＝90°，∴∠BAM＝∠CMP，由折叠的性质得：MN垂直平分AP，∴AM ＝PM ，在△ABM 和△MPC 中，{∠B =∠C∠BAM =∠CMP AM =PM，∴△ABM ≌△MPC （AAS ），∴BM ＝CP ；（2）解：∵AM 是⊙O 的切线，∴∠AMP ＝90°，∴∠CMP +∠AMB ＝90°，∵∠BAM +∠AMB ＝90°，∴∠CMP ＝∠BAM ，由折叠的性质得：MN 垂直平分AP ，∴MA ＝MP ，∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△ABM ≌△MCP ，∴MC ＝AB ＝4设PD ＝x ，则CP ＝4﹣x ，∴BM ＝PC ＝4﹣x ，连接HO 并延长交BC 于J ，如图2所示：∵AD 是⊙O 的切线，∴∠JHD ＝90°，∴HDCJ 为矩形，∴OJ ∥CP ，∴△MOJ ∽△MPC ，∴OJ：CP＝MO：MP＝1：2，∴OJ=12（4﹣x），OH=12MP＝4﹣OJ=12（4+x），∵MC2＝MP2﹣CP2，∴（4+x）2﹣（4﹣x）2＝16，解得：x＝1，即PD＝1，∴PC＝3．【点评】本题考查了切线的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识；证明三角形全等和三角形相似是解题关键．19．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB 交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【分析】（1）由题意可求∠AOD＝90°，即可求∠C＝45°，即可求∠CFB的度数；（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．【解答】解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE＝180°∴∠AOD＝90°∵∠AOD＝2∠C∠C＝45°∵∠CFB＝∠CAB+∠C∴∠CFB＝75°（2）如图：连接OC∵AB是直径，点F是CD的中点∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF=12OC=12，CF=√3OF=√32，∴CD＝2CF=√3，AF＝OA+OF=3 2，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴S△CED=12×3×√3=3√32【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−√33x+2√3交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求∠OAB的度数；（2）点M是直线y=−√33x+2√3上的一个动点，且⊙M的半径为2，圆心为M，判断原点O与⊙M的位置关系，并说明理由；（3）当⊙M与y轴相切时，直接写出切点的坐标．【分析】（1）分别求出A与B的坐标，求出OA与OB的长，利用直角三角形性质判断即可；（2）求出点O与圆心M的距离，与半径比较大小即可；（3）分M在第一象限与第二象限两种情况，利用切线的性质及直角三角形的性质确定出切点坐标即可．【解答】解：（1）直线y=−√33x+2√3，令x＝0，得到y＝2√3；令y＝0，得到x＝6，∴OA＝6，OB＝2√3，在Rt△AOB中，tan∠OAB=2√36=√33，。