直角坐标系下的面积元

图3 定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dxx f x f S b a ⎰-=)]()([下上③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面积为()dc A y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限．(2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y22x 及直线y x 4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

解：已知在[21,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰221ln = dx x ⎰-221ln + dx x ⎰21ln例4 求抛物线 y 2=x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。

直角坐标系中三角形面积的计算
直角坐标系中三角形面积的计算方法很简单，只需知道三角形的三个顶点的坐标，就可以通过向量叉积求出面积。

具体步骤如下：
1. 假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

2. 计算向量AB和向量AC的坐标，即AB=(x2-x1,y2-y1)，
AC=(x3-x1,y3-y1)。

3. 求出向量AB和向量AC的叉积，即AB×
AC=(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)。

4. 取向量AB和向量AC的叉积的绝对值，再除以2，就是三角
形的面积。

公式为：S=|AB×AC|/2。

需要注意的是，如果向量AB和向量AC的叉积为负数，说明三角形是逆时针方向的，此时需要取绝对值。

以上就是直角坐标系中三角形面积的计算方法，简单易懂。

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精品文档第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。

2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。

3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。

4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。

二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要1、重积分的定义⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i ni i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。

⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i ni i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。

2、重积分的几何意义当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体体积。

当1),(≡y x f 时，⎰⎰Dd σ表示平面区域D 的面积。

当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰ΩdV表示空间区域Ω的体积。

3、重积分的可积性若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。

4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。

（Ⅰ）线性性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g k d y x f k d y x g k y x f kσσσ),(),()],(),([2121，其中k 1,k 2为常数。

极坐标系下的面积元素推导潘花;仇海全【摘要】针对极坐标系下面积元素的表示,讨论一种新的推导方法.首先,阐述直角坐标系下积分区域划分的方法,总结分割方法的实质;然后,给出极坐标系中分割区域的方法,结合微元法,推导出极坐标系下面积元素的表示形式.【期刊名称】《重庆科技学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(020)006【总页数】3页(P110-112)【关键词】极坐标系;积分区域;面积元素;区域分割【作者】潘花;仇海全【作者单位】安徽科技学院数学系,安徽凤阳 233100;安徽科技学院数学系,安徽凤阳 233100【正文语种】中文【中图分类】O172在高等数学理论中，极坐标可用于计算二重积分[1]。

在各类高等数学教材中，通常根据二重积分的定义[1]，即特殊“和式”的极限，通过分割积分区域、近似替换、求和、取极限等步骤，得出极坐标系下面积元素的表达形式。

这种表达方式过于抽象，学生不易很快掌握。

在此给出一种推导方法，更直观地阐述极坐标系下面积元素表示的基本概念，帮助学生理解和掌握。

1 常用的极坐标系下面积元素的推导方法二重积分的定义式为[1]：在大多高等数学教材中，介绍极坐标系下面积元素的表示时，首先介绍积分区域D的分割[1]。

如图1所示，将区域D任意分割成n个小区域，从中任取一小区域，将其面积记为Δσi。

图1 常见积分区域分割近似替换小区域的面积：Δ σi令在圆周上任取一点该点的直角坐标设为(ξi,ηi)，则有对所有小区域的面积求和，得到整个积分区域面积的近似表达式；最后，对得到的和式取极限，则有最终得到极坐标系下二重积分的表示形式[1]：其中，ρdρdθ即极坐标系中的面积元素。

在杨慧卿编著的教材中[2]，采用的分割方法与上述方法相同，分割图形如图2所示。

在分割得到的小区域中，任意选取小区域Δσ，将该小曲边四边形的面积用长方形的面积近似表示为Δσ≈rdrdθ[2]，由此得到极坐标系下的面积元素。

电磁场与电磁波复习第一部分知识点归纳第一章矢量分析1、三种常用的坐标系（1）直角坐标系微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →→→→++=面积元：⎪⎩⎪⎨⎧===dxdy dS dxdzdS dydzdS zyx ，体积元：dxdydzd =τ（2）柱坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===dz dl rd dl drdl z r ϕϕ，面积元⎪⎩⎪⎨⎧======rdrdzdl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z zz r z r ϕϕϕϕ，体积元：dzrdrd d ϕτ=（3）球坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθθϕθd r dl rd dl drdl r sin ，面积元：⎪⎩⎪⎨⎧======θϕθϕθθθϕϕθθϕrdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：ϕθθτd drd r d sin 2=2、三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标系与柱坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=⎪⎩⎪⎨⎧===z z x y yx r zz r y r x arctan,sin cos 22ϕϕϕ（2）直角坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧===z yz y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222222ϕθθϕθϕθ（3）柱坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθθϕϕθ22'22''arccos ,cos sin z r z zr r r z r r 3、梯度（1）直角坐标系中：za y a x a grad z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μμμμμ（2）柱坐标系中：za r a r a grad z r∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μϕμμμμϕ1（3）球坐标系中：ϕμθθμμμμϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→sin 11r a r a r a grad r 4.散度（1）直角坐标系中：zA y A x A A div zy X ∂∂+∂∂+∂∂=→（2）柱坐标系中：z A A r rA r r A div zr ∂∂+∂∂+∂∂=→ϕϕ1)(1（3）球坐标系中：ϕθθθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=→A r A r A r rr A div r sin 1)(sin sin 1)(1225、高斯散度定理：⎰⎰⎰→→→→=⋅∇=⋅ττττd A div d A S d A S，意义为：任意矢量场→A 的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场→A 在限定该体积的闭合面上的通量。

突破数学压轴题解题策略平面直角坐标系中的面积问题解题策略1【专题攻略】面积问题是初中常考内容，一般应用以下几种方法解决：一是“直接法”，即套用求面积的公式.二是常用“割补法”.割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可.补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分.三是“平行线转化法”，即利用平行线之间的距离处处相等，同底等高模型转化面积来解决.在平面直角坐标系中求面积时，必然会用到线段长度，这里会涉及到利用两点之间的距离公式来求距离.在平面直角坐标系中有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），则AB2=（x 1- x2）2 + （y1– y2）2 .若两点平行于坐标轴，则两点之间的距离可以直接用横或纵坐标的差来求.【复习回顾】：例1如图Δ ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求ΔABC的面积.例2如图2，点C为平面直角坐标系中的任意一点，已知点A （-5，0），点B （3, 0）Δ ABC的面积为12，试说明点C的坐标特点.例3如图Δ ABC三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.y >6 -5 - D4 - 3 - 2 - 1 -x-1 01 2 3 4 5 6 7 -1- -2 - 图4图5例4如图4，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为（0，2），（1，0），（6，2）（2, 4）求四边形 ABCD 的面积.类型3 三边均不与坐标轴平行例5在图5的直角坐标系中，Δ ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为 （2，一 1），则Δ ABC 的面积为 ________________________ .y,:4(?1)〆o123 4 1例6如图，已知Δ ABC中，A（4，1），B （4，5），C （-1，2），求Δ ABC的面积.例7如图，以O A为边的ΔOAB的面积为2，试找出符合条件得且顶点是第一象限格点的点C，你能找出几个这样的例8已知：A（0,1）,B（2,0）,C（4，3）.（1）在坐标系中描出各点，画出ΔABC（2）求ΔABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标.。