2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期第1章、勾股定理单元复习学案1

勾股定理教学目标：1 了解勾股定理的定义、作用，能够验证勾股定理2 学会勾股定理的逆定理，证明直角三角形3 通过勾股定理，解直角三角形知识点：一、勾股定理的探索活动一：动脑想一想小明用一边长为cm 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。

②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 1），你能知道斜边的长吗？③观察图形，并填空：⑴正方形P 的面积为 2cm ， 正方形Q 的面积为 2cm ， 正方形R 的面积为 2cm 。

⑵你能发现图中正方形P 、Q 、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示21cm ）⑴正方形P 的面积为 2cm ，正方形Q 的面积为 2cm ， 正方形R 的面积为 2cm 。

⑵正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系是什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P 、Q 、R 的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。

试一试：①在方格图中，画出两条直角边分别为cm 5、cm 12的直角三角形，②再用刻度尺量出斜边长，③验证刚RQ PC BARQPCBA才的结论对这个直角三角形是否成立？知识总结：（1）勾股定理的内容是 （2）直角三角形两边长为3和4，求第三边长 （3）、求出x 的值二、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

第一章勾股定理一、基本知识点：1.勾股定理2.勾股定理的逆定理3.实际应用的勾股定理：（1）求距离；（2）是否够用问题；（3）折叠问题；二、基本方法：1.直接计算求第三边；2.用方程求第三边三、举例：例1.甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东350航行，乙船向南偏东550航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C ,B两岛相距40海里，问：乙船的航速是多少？针对练习9处决裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处。

旗杆折断之前有多高？1.如图，一根旗杆在离地面m例2.已知一辆装满货物的卡车高2.5米，宽1.6米，要开进某一如图所示的桥洞，AD=2.3米。

问这辆卡车能否经过桥洞？说明理由。

针对练习1.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽为3米的卡车能通过该隧道吗？BFECAD 例2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

例3. 有一圆柱，高12cm,底面直径6cm ,在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物，爬行的最短路程是多少？（π=3） 针对练习1.如图，一圆柱高8cm, 底面半径2cm,一只蚂蚁从A 点爬行到B 点吃食物，要爬行的最短的路程是（π取3）（ ） A 、20㎝ B 、10㎝ C 、14㎝ D 、无法确定2.葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘升的路线，总是沿最短路线——螺旋前进的。

难道植物也懂数学？ （1） 如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？ （2） 如果树的周长为8cm ，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？例4. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm 。

八年级数学上册《第一章勾股定理》学案北师大版》北师大版【课前预习】按自学提纲阅读教材。

【课题导入】【学习目标】1、复习巩固勾股定理及其逆定理的内容；2、能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

【自学过程】1、回顾完成以下知识点：（1）勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方，即：a2+b2=c2。

公式变形：a2 = ； b2= 。

（a= ；；）（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。

（3）满足的三个，称为勾股数。

2、尝试完成下列例题：例1、已知在Rt△ABC中，∠C=90。

①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。

例2、已知等边三角形ABC的边长是6cm。

求：(1)高AD的长；(2)△ABC的面积例3、甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东35航行，乙船沿南偏东某角度航行，船速为12海里/时，2小时后，甲、乙两船相距40海里，问乙船的航行方向？（提示：画出方位图）AB例4、如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？【交流评价】小组内交流，互评对错，并帮助改正。

注意分析错误原因，对好的方法、建议、启发，请记录下来。

【达标检测】1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A、2，3，4B、3，4，6C、5，12，13D、4，6，72、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定3、如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是（）A、6cmB、8 cmC、10 cmD、10cm4、在△ABC中，如果AB=5，BC=12，CA=13，则有（）A、∠A=90B、∠B=90C、∠C=90D、不能确定5、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A、8cmB、10cmC、12cmD、14cm6、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是________。

八上期末复习一勾股定理班级学号姓名一、知识点概括：1．勾股定理：直角三角形两边的平方和等于的平方.2．勾股定理的逆定理：在△ ABC中，若 a、 b、 c 三边知足 ___________ ，则△ ABC为 ___________, 斜边为 .3．勾股数：边长为 0.3,0.4,0.5的三角形能否为一个直角三角形?0.3,0.4,0.5是勾股数吗?总结 : 知足 ________的三个 ________，称为勾股数 .4.直角三角形中边的特别关系：（1）在 Rt△ ABC ，∠ C=90°， a=b=5，则 c=（2）在 Rt△ ABC ，∠ C=90°， a=1,c=2, 则 b=（3）在 Rt△ ABC ，∠ C=90°， b=15，∠ A=30 °，则 a=， c=。

总结：①在中， 30°所对的边是边的一半。

②在 Rt△ ABC 中，若∠ A=45 ° ,∠ C=90 ° ,则△ ABC 是一个三角形。

此中，二、典例解说：例 1、已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。

例 2、一个直角三角形的周长为9，斜边为 4，求这个三角形的面积。

例 3、如图，在矩形 ABCD中， AB＝ 5cm，在边 CD上适入选定一点E，沿直线 AE把△ ADE折叠，使2点 D 恰巧落在边 BC上一点 F 处，且△ ABF的面积是 30cm ．求此时 EC的长．例 4．已知ABC为等腰直角三角形，∠A＝90,AB=AC, D 为 BC 的中点， E 为 AB 上一点， BE＝12， F 为 AC上一点， FC=5，且∠ EDF＝90，求 EF的长度。

A E例 5、如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点B离点C F的距离为 5，一只蚂蚁假如要沿着BCD长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是_____________B 5C2015A 10例 6、已知，如图，在四边形2 2 2 ABCD中，∠ ABC=90°， CD⊥ AD于点 D,且 CD+AD=2AB.(1) 求证AB=BC;(2) 当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.例 7、如图，等边三角形内一点， =3， =4， =5，求∠APBABC P AP BP CP的度数 .作业：一、选择题1 / 31、以下说法中正确的有（）（ 1）假如∠ A ：∠ B ：∠ C=3： 4：5，则△ ABC 是直角三角形；（ 2）假如∠ A+∠ B=∠ C ，那么△ ABC1 1 1,4,是直角三角形；（ 3）假如三角形三边为 3 5，则 ABC 是直角三角形；（ 4）假如三边长分别是 m2n 2 , 2mn , m 2 n 2 ，则 ABC 是直角三角形。

八上第一章《勾股定理》复习学案一．教学目标1、在研究图形性质过程中，进一步发展空间观念。

2 、初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

二、学习过程（一）、构建动场本章知识要点及结构：1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c．2．勾股定理的逆定理：（用于判定直角三角形）在△ABC中，若,,a b c三边满足________________，则△ABC为________________．3．勾股数：满足________________的三个___________，称为勾股数．列举几组勾股数：____________________________________________________________.4．三角形内角和为_______°（二）、自主学习，交流探究（一）勾股定理的计算1、如图，三角形为直角三角形，字母A所代表的正方形的面积为( )A、4B、8C、16D、642、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（）A、第三边一定为10B、三角形的周长为24C、三角形的面积为24D、第三边有可能为10（二）直角三角形的判定3、下列结论错误的是（）.A．三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三个边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三个边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形D．三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形4、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对ABC5、在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积 . 解:小结：如何判断一个三角形是直角三角形．判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断． （1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：①在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得∠A ＝__________°，根据定义可判断△ABC 是__________三角形．②在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，∠A ＝__________°，∠B ＝__________°，∠C ＝__________°，所以△ABC 是__________三角形． （2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形，它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：①△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而22222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是____________三角形，但这里要注意的是b 所对的角∠_______＝90°．②若△ABC 三条边的比为::5:12:13a b c =，△ABC 是直角三角形． ③若△ABC 三条边的比为a:b:c=1: 2:3，△ABC 是直角三角形．（三）勾股定理的应用6、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.7、如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端B 到地面O 距离为24米，若梯子顶端B 下滑了9米到B ′点，则梯子的底部A 在水平方向上到A ′应滑动（ ） A ．11米B ．12米C ．13米D ．14米ABCD（三）、综合建模通过以上问题的交流，同学们自己建立本章的知识结构图．三边的关系： 定理→应用直角三角形 直角三角形的判别（四）、当堂检测1．若△ABC 中，∠C=90°， （1）若a =5，b =12，则c = ； （2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2、三角形三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则最长边上的高为 cm.3．一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________米。

1．勾股定理：
直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————
勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
2
2
2,
2
2
2
2
2
-
=
=
=,c
a=
a+
-
a
c
,b
c
a
c
b
b
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
思路与技巧搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，
根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在
中，其中BC为底面直径．
：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．
29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，的直角三角形的斜边长为29.
CD
4
_________________________________________即可．
方法指导：可设BD长为xcm，然后寻找含
利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
1。

第一章勾股定理综合复习恩江中学八年级数学备课组高秋秀一、教学目标：进一步熟练运用勾股定理和它的逆定理进行计算。

二、教学重难点：能灵活运用勾股定理的相关知识解决实际问题。

三、教学过程（一）知识点梳理勾股定理：1.直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的验证—通过从不同角度求同一图形的面积（常见图形如下）勾股定理的逆定理1、 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（注意长边对的角是直角）2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.（二）精讲精练考点一、勾股定理的证明例1、 4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理， 你能说明其中的道理吗？•请试一试．考点二、勾股定理的应用求解 1 、若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长_________2、从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（ ）A. 5，9，12B. 5，9，13C. 5，12，13D. 9，12，173．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、折叠问题2、如图所示，在长方形ABCD 中，AB=16，BC=8，将长方形沿AC 折叠，使D落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，求AF 的长．考点四、最短路径【知识要点】1、内容：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；2、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。