内蒙古赤峰市宁城县2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题

2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县高二上学期期末考试数学（文）试题（必修③⑤，选修2-1.文科卷）（全卷满分150分,考试时间为120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1. 已知a b >，c d >，且c ，d 不为零，那么（Ａ）ad bc > （Ｂ）ac bd > （Ｃ）a c b d ->- （Ｄ）a d b c ->-2．已知集合{}{}2230,430M x x x N x x x =->=-+>,则M N = (A)()0,1 (B)()1,3 (C)()0,3 (D)()3,+∞3．甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（A ）中位数 （B ）众数 （C ）方差 （D ）频率分布4. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为(A)5 (B)11 (C)23 (D)475．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 6．在等比数列{}n a 中，11,a =则“24a =”是“316a =”的(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）978．在ABC △的三边分别为,,a b c ，222a b c bc =+-，则A 等于（Ａ）30 （Ｂ）60 （Ｃ）75 （Ｄ）1209．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5o C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在0o C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均最高气温高于20o C 的月份有5个10．设()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和，则 ()20162f 等于（A ）201622- （B ）201721- （C ）201621- （D ）201722-11．要把半径为半圆形木料截成长方形，为了使长方形截面面积最大，则图中的α=（A ）4π（B ）3π （C ）512π （D ）6π12．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极大值，则函数)(x f x y '=的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.抛物线26y x =的焦点到准线的距离为______________;14 . △ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为__________;15．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值=______________;16. 为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员．就这个问题，有下列说法： ① 2000名运动员是总体；② 每个运动员是个体；③ 所抽取的100名运动员是一个样本；④ 样本容量为100；⑤ 这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥ 每个运动员被抽到的概率相等．上面的说法正确的有_________________．（填写正确说法的序号） αR B O A三、解答题（共6小题，满分70分）17. （本题满分10分）已知命题2:10p x mx ++=有两个不等的实根，命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本题满分10分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．19．（本题满分12分）设{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式（用1,a d 表示）；（Ⅱ）证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列．1O 频数（天）步数(千步)231918171620. （本题满分12分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：图1 表1（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步,19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.21．（本题满分12分）已知动点P 与平面上两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M.N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.22．（本题满分12分） 已知函数()2ln 1f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若不等式2()32f x x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．2016-2017学年度上学期期末素质测试试卷高二文科数学参考答案一、选择题：DACC ABCB DBAD二、填空题：13、3；14、()221043x y y +=≠；15、3；16、④⑤⑥三、解答题17、解：若p 真，则240m ∆=->，∴2m >或2m <-，若p 假，则22m -≤≤.------------------2分若q 真，则216(2)160m ∆=--<，∴13m <<，若q 假，则1m ≤或3m ≥-----------------------.4分依题意知,p q 一真一假．------------------6分若p 真q 假，则2m <-或3m ≥；若q 真p 假，则12m <≤．----------------8分综上，实数m 的取值范围是(,2)(1,2][3,)-∞-+∞ .（10分）18. 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．-----------2分 ∵sin A ≠0，∴s in C ＝32，∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.------------------4分(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①--------------------6分∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②----------------------------9分由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.----------------12分19.解：（Ⅰ）因为1(1)n a a n d =+-，且123n n S a a a a =++++即()()()111121n S a a d a d a n d =++++++-⎡⎤⎣⎦ ①----------2分 121n n n S a a a a -=++++()()()21n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--⎡⎤⎣⎦ ②-----------4分 ①+②得()12n n S n a a =+∴()()()1111111222n n n a a n n S n a a n d na d +-==++-=+⎡⎤⎣⎦-------------7分 （Ⅱ）∵11(1)2n S a n d n =+-----------------------8分 ∴当2n ≥时,11111(1)(2)1222n n S S d a n d a n d n n -⎡⎤⎡⎤-=+--+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-----------------11分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项,2d 为公差的等差数列.-------------12分 20. 解: (I) 小王这8天 每天“健步走”步数的平均数为 16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步） . ……………………6分 （II ）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件.A“健步走”17千步的天数为2天，记为12,,a a “健步走”18千步的天数为1天，记为1,b “健步走”19千步的天数为2天，记为12,.c c5天中任选2天包含基本事件有：12111112212122111212,,,,,,,,,,a a a b a c a c a b a c a c b c b c c c 共10个. 事件A 包含基本事件有：111212,,b c b c c c 共3个. 所以3().10P A = ……………………12分 21. 解：（Ⅰ）设点(,)P x y ，则由题意有1222y y x x ⋅=-+-， ----------2分 整理得曲线C 的方程为221(2).2x y x +=≠± ---------------5分 （Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去--------------6分设11(,)M x y ，()22,N x y ，解得x 1=0,22412k x k -=+ 由,234|214|1||1||22212=++=-+=k k k x x k MN -----------8分 .1:±=k 解得 所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0 .------------12分22.解:（1）函数()2ln 1f x x x =-的定义域为(0,)+∞，----------1分 1()2(ln )2(ln 1)f x x x x x '=+⋅=+，--------------2分 令()0f x '=，得1e x =；令()0f x '>，得1e x >；令()0f x '<，得10e x <<；当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，（10分）当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,)+∞()h x ' + 0 -()h x 单调递增 2- 单调递减所以当1x =时，()h x 取得最大值，max ()2h x =-，所以2a ≥-， 所以实数a 的取值范围是[2,)-+∞．--------------------12分。

- 1 -2016-2017学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（必修③⑤，选修2-1.文科卷）（全卷满分150分,考试时间为120分钟）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1. 已知a b >，c d >，且c ，d 不为零，那么 （Ａ）ad bc >（Ｂ）ac bd >（Ｃ）a c b d ->- （Ｄ）a d b c ->-2．已知集合{}{}2230,430M x x x N x x x =->=-+>,则M N =(A)()0,1 (B)()1,3 (C)()0,3 (D)()3,+∞3．甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（A ）中位数 （B ）众数 （C ）方差 （D ）频率分布 4. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =， 则输出y 的值为(A)5 (B)11 (C)23 (D)47 5．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ） 2 （B ）3（C ）2（D ）23 6．在等比数列{}n a 中，11,a =则“24a =”是“316a =”的(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件- 2 -7．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 8．在ABC △的三边分别为,,a b c ，222a b c bc =+-，则A 等于 （Ａ）30（Ｂ）60（Ｃ）75 （Ｄ）1209．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5o C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在0o C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于20o C 的月份有5个10．设()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和，则 ()20162f 等于（A ）201622- （B ）201721- （C ）201621- （D ）201722-11．要把半径为半圆形木料截成长方形，为了使长方形截面面积最大，则图中的α=（A ）4π （B ）3π（C ）512π （D ）6π12．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极大值，则函数)(x f x y '=的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）BO- 3 -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13. 抛物线26y x =的焦点到准线的距离为______________;14 . △ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为__________;15．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值=______________;16. 为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员．就这个问题，有下列说法： ① 2000名运动员是总体； ② 每个运动员是个体；③ 所抽取的100名运动员是一个样本； ④ 样本容量为100；⑤ 这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样； ⑥ 每个运动员被抽到的概率相等．上面的说法正确的有_________________．（填写正确说法的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17. （本题满分10分）已知命题2:10p x mx ++=有两个不等的实根，命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本题满分10分）- 4 -在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．19．（本题满分12分）设{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式（用1,a d 表示）； （Ⅱ）证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列．20. （本题满分12分）- 5 -步数(千步)小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：图1 表1（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步,19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.21．（本题满分12分）已知动点P与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M.N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.22．（本题满分12分）- 6 -已知函数()2ln 1f x x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小值及曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若不等式2()32f x x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．- 7 -2016-2017学年度上学期期末素质测试试卷高二文科数学参考答案一、选择题：DACC ABCB DBAD二、填空题：13、3；14、()221043x y y +=≠；15、3；16、④⑤⑥ 三、解答题17、解：若p 真，则240m ∆=->，∴2m >或2m <-，若p 假，则22m -≤≤.------------------2分 若q 真，则216(2)160m ∆=--<，∴13m <<， 若q 假，则1m ≤或3m ≥-----------------------.4分 依题意知,p q 一真一假．------------------6分 若p 真q 假，则2m <-或3m ≥；若q 真p 假，则12m <≤．----------------8分 综上，实数m 的取值范围是(,2)(1,2][3,)-∞-+∞.（10分）18. 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．-----------2分 ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32， ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.------------------4分(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①--------------------6分 ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②----------------------------9分 由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.----------------12分- 8 -19.解：（Ⅰ）因为1(1)n a a n d =+-，且123n n S a a a a =++++即()()()111121n S a a d a d a n d =++++++-⎡⎤⎣⎦ ①----------2分121n n n S a a a a -=++++()()()21n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--⎡⎤⎣⎦ ②-----------4分①+②得()12n n S n a a =+ ∴()()()1111111222n n n a a n n S n a a n d na d +-==++-=+⎡⎤⎣⎦-------------7分 （Ⅱ）∵11(1)2n S a n d n =+-----------------------8分 ∴当2n ≥时,11111(1)(2)1222n n S S da n d a n d n n -⎡⎤⎡⎤-=+--+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-----------------11分∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项,2d 为公差的等差数列.-------------12分20. 解: (I) 小王这8天 每天“健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步） . ……………………6分（II ）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件.A“健步走”17千步的天数为2天，记为12,,a a “健步走”18千步的天数为1天，记为1,b “健步走”19千步的天数为2天，记为12,.c c5天中任选2天包含基本事件有：12111112212122111212,,,,,,,,,,a a a b a c a c a b a c a c b c b c c c 共10个.事件A 包含基本事件有：111212,,b c b c c c 共3个. 所以3().10P A =……………………12分 21. 解：（Ⅰ）设点(,)P x y12=-， ----------2分整理得曲线C的方程为221(2x y x +=≠ ---------------5分- 9 -（Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去--------------6分设11(,)M x y ，()22,N x y ，解得x 1=0,22412kx k -=+由,234|214|1||1||22212=++=-+=kk k x x k MN -----------8分 .1:±=k 解得 所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0 .------------12分22.解:（1）函数()2ln 1f x x x =-的定义域为(0,)+∞，----------1分--------------2分令()0f x '=，得；令()0f x '>，得；令()0f x '<，得 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，（10分） 当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x=所以当1-+∞．--------------------12分所以实数a的取值范围是[2,)- 10 -。

内蒙古赤峰市宁城县2014-2015学年高二语文上学期期末考试试题阅读下面的文字，完成1～3题大数据时代“大数据时代”的说法并不新鲜，早在2010年，美国数据科学家维克托·迈尔·舍恩伯格在《大数据时代》一书中就系统地提出，以前，一旦完成了收集数据的目的之后，数据就会被认为已经没有用处了。

比如，在飞机降落之后，票价数据就没有用了；一个网络检索命令完成之后，这项指令也已进入过去时。

但如今，数据已经成为一种商业资本，可以创造新的经济利益。

数据能够成为一种资本，与移动互联网有密切关系。

随着智能手机、平板电脑等移动数码产品的“白菜化”，WIFI信号覆盖的无孔不入，越来越多的人不再有“在线时间”和“不在线时间”之分，只要他们愿意，便可几乎24小时一刻不停地挂在线上；在线交易、在线支付、在线注册等。

网络服务的普及固然方便了用户，却也让人们更加依赖网络，依赖五花八门的网上平台。

大数据时代的科技进步，让人们身上更多看似平常的东西成为“移动数据库”，如带有存储芯片的第二代银行卡、信用卡，带有芯片读取功能的新型护照、驾驶证、社保卡、图书证等等。

在一些发达国家，官方为了信息录入方便，还不断将多种“移动数据库”的功能组合成一体。

数字化时代使得信息搜集、归纳和分析变得越来越方便，传统的随机抽样被“所有数据的汇拢”所取代，基于随机抽样而变得重要的一些属性，如抽样的精确性、逻辑思辨和推理判断能力，就变得不那么重要，尽可能汇集所有数据，并根据这些数据得出趋势和结论才至为关键。

简单说，以往的思维决断模式是基于“为什么”，而在“大数据时代”，则已可直接根据“是什么”来下结论，由于这样的结论剔除了个人情绪、心理动机、抽样精确性等因素的干扰，因此，将更精确，更有预见性。

不过，一些学者指出，由于“大数据”理论过于依靠数据的汇集，那么一旦数据本身有问题，在“只问有什么，不问为什么”的模式下，就很可能出现“灾难性大数据”，即因为数据本身的问题，而做出错误的预测和决策。

2013-2014学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（必修⑤，选修1-1.文科卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．设,a b c d >>，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）。

（A ）a b d c ->- （B ）a d b c +>+ （C ）a c b c ->- （D ）a c a d -<- 2．不等式1x x>的解集是 ( )． （A ）()(),10,1-∞- （B ）()()1,00,1- （C ）()1,1- （D ）()(),11,-∞-+∞3.“1ω=” 是函数“22()cos sin f x x x ωω=-最小正周期为π”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．曲线()2x f x =在0x =处的切线方程为（ ）（Ａ）1y x =- （Ｂ）1y x =+ （Ｃ）()1ln 2y x =- （Ｄ）ln 21y x =+5．若双曲线22221x y a b-=）（A ）2y x =± （B）y = （C ）12y x =±（D）y x = 6. 在各项均为正的数列{a n }中，已知125823,,27n n a a a a +=⋅=则通项n a 为（ ） （A ）23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）223n -⎛⎫⎪⎝⎭（D ）232n -⎛⎫⎪⎝⎭7．设,x y 是满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） （A ）20 （B ）50 （C ）1lg 2+（D ）2lg 2-8．下列命题中为真的是（ ）（Ａ）在ABC △中，::sin :sin :sin a b c A B C = （Ｂ）常数列既是等差数列又是等比数列 （Ｃ）函数1y x=的递减区间是(0)(0)-+∞，，∞ （Ｄ）若两个平面与第三个平面都垂直，则这两个平面平行9．在ABC △中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边，60A =，1b =，ABC △的面积a 等于 （ ）（Ｃ）3（Ｄ）2 10．等差数列}{n a 前n 项的和为n S ，已知公差13991,602d a a a =+++=，则100S 等于 （ ）（A ）170 （B ）150 （C ）145 （D ）12011. 已知ABC △的顶点B C ，在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC △的周长是（ ）（A） （B ）6 （C） （D ）12 12．函数ln ()xf x x=的图象是 ( )第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13. 抛物线ay x =2的准线方程是1=y ，则实数a 的值为 ． 14．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．()A()B ()D()C15．已知实数y x z y x x y x y x 20305,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≥+-则目标函数满足的最小值为 ． 16.如图所示,在O 上半圆中,,,AC a CB b CD AB ==⊥,请你利用CD OD ≤写出一个含有,a b 的不等式______________三、解答题（共6小题，满分70分） 17.（本题满分10分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

2014-2015学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x∈Z|x2＜9}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）i是虚数单位，计算=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i3．（5分）若a、b∈R则a＜b是a2＜b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时，f（x）=2x，则f（﹣5）=（）A．2B．﹣C．﹣2D．5．（5分）某中学准备从高一、高二共2014名学生中选派50名学生参加冬令营活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2014名学生中，每个人入选的概率（）A．都相等，且为B．都相等，且为C．均不相等D．不全相等6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．7．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4D．128．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．1410．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，且f（）=0，则ω的最小值为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥y轴，则双曲线的离心率为（）A．B．+1C．+1D．12．（5分）设函数f（x）=在[﹣2，2]上的最大值为2，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，0）D．[0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+a3+…+a10，则m=．14．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b=4，c=3，则△ABC的外接圆的直径为．15．（5分）设实数x和y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为．16．（5分）设函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的取值范围是．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=2，，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，a n=log2（b n+1﹣b n），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．19．（12分）某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（1）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（2）求甲、乙两队全体成绩为“优秀”的运动员的跳高成绩的平均数和方差．（3）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中均来自甲队的概率．20．（12分）已知椭圆E：=1（a＞0），过x轴上一点Q（t，0），且斜率为k≠0的动直线l交椭圆E于A、B两点，A′与A关于x轴对称，直线BA′交x轴于点P，当t=0，k=时，|AB|=．（1）求a；（2）若t≠0，则|OP|•|OQ|是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣xlnx+2．（1）求函数g（x）=f′（x）的极值；（2）若存在区间[a，b）⊆[，+∞），使[a，b]上的值域是[ka，kb]，求k的取值范围．22．（10分）如图PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）若OA=1，PC=PA，求PC的长．23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程式为ρ=2，P是曲线C上的动点，A（2，0），M是线段AP的中点，曲线C1的极坐标方程为ρsin（）=m．（Ⅰ）求点M轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求实数m的取值范围．24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，解不等式：f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（2）若存在x，使得不等式f（x﹣a）+f（x+a）≤1﹣a成立，求a的取值范围．2014-2015学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x∈Z|x2＜9}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：由B中不等式解得：﹣3＜x＜3，x∈Z，即B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．2．（5分）i是虚数单位，计算=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：===i．故选：C．3．（5分）若a、b∈R则a＜b是a2＜b2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＜b”不能推出“a2＜b2”，如a=﹣1，b=1时，故充分性不成立．由“a2＜b2”不能推出“a＜b”，如22＜（﹣3）2，不能推出2＜﹣3，故必要性不成立．综上可得，“a＜b”是a2＜b2的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时，f（x）=2x，则f（﹣5）=（）A．2B．﹣C．﹣2D．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x）∴f（6+x）=f（﹣x）又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴f（6+x）=f（﹣x）=﹣f（x）∴f（12+x）=f（x）则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3），f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6，∴f（﹣5）=﹣2故选：C．5．（5分）某中学准备从高一、高二共2014名学生中选派50名学生参加冬令营活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2014名学生中，每个人入选的概率（）A．都相等，且为B．都相等，且为C．均不相等D．不全相等【解答】解：根据简单随机抽样与系统抽样方法的特点，得；每个人入选的概率都相等，且等于=．故选：B．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．7．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4D．12【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；长方体的长宽高分别为4，2，2，∴长方体的体积为4×2×2=16，∴该几何体的体积为V=16+8π．故选：A．9．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则•（O为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．14【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）=0，∴x1x2=；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）=0，∴y1y2=；∴•=x1x2+y1y2====﹣7；故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，且f（）=0，则ω的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵﹣==，∴T=π，∴ω=2．故选：A．11．（5分）已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2px（p＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥y轴，则双曲线的离心率为（）A．B．+1C．+1D．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直y轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（p，）∵点A在双曲线上∴=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2，∴e=1+故选：B．12．（5分）设函数f（x）=在[﹣2，2]上的最大值为2，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，0）D．[0，]【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数f（x）在[﹣1，0]上导数为负，在（﹣∞，﹣1]上导数为正，故函数f（x）在[﹣2，0]上的最大值为f（﹣1）=2；要使函数f（x）=在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得a∈（﹣∞，ln2）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+a3+…+a10，则m=46．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，a m=a1+a2+a3+..+a10，∴a m=d+2d+3d+4d+5d+6d+7d+8d+9d=45d=a46．∴m=46．故答案为：46．14．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b=4，c=3，则△ABC的外接圆的直径为．【解答】解：∵由已知及三角形面积公式可得：3=，∴可解得：sinA=，∴已知△ABC是锐角三角形，可得：cosA==，∴由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA=16+9﹣12=13，可解得：a=，∴由正弦定理可得：2R===．故答案为：．15．（5分）设实数x和y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（4，6），C（6，4）设z=F（x，y）=2x+3y，将直线l：z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z=F（4，2）=14最小值故答案为：1416．（5分）设函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的取值范围是（0，1）．【解答】解：∵a＞b＞0，f（a）=f（b），∴a＞1，lga=﹣lgb，ab=1，b=，∵则=1，a＞1，∴a2+1＞2，∴0＜＜1，1∈（0，1）故答案为：（0，1）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=2，，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，a n=log2（b n+1﹣b n），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵首项a1=2，，，成等比数列，∴，∴，∴（2+d）2=2（2+3d），化为d2﹣2d=0，解得d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）∵a n=log2（b n+1﹣b n），﹣b n=22n=4n，∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b4﹣b3）+（b3﹣b2）+（b2﹣b1）+b1=4n ﹣1+4n﹣2+…+42+4+1==．∴数列{b n}的前n项和S n=﹣=﹣﹣．18．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC （2分）∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，（5分）又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（6分）（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，．（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，（10分）∴=．（12分）19．（12分）某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（1）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（2）求甲、乙两队全体成绩为“优秀”的运动员的跳高成绩的平均数和方差．（3）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中均来自甲队的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，成绩在190cm以上的运动员只有2个人，且频率为0.005×10=0.05，所以全体运动员总人数a==40（人）．由频率直方图知，成绩在[160，170）的频率为0.03×10=0.3，所以落在此范围内的频数为0.3×40=12人，因为甲队落在此范围内有3人，所以乙队中在此范围内的人数为9人，所以b=9（人）．（Ⅱ）由题意知，甲、乙两队全体成绩为“优秀”的运动员共有6人，可能成绩分别为：186，188，186，187，192，193．所以平均数=189（cm），方差=8．（Ⅲ）由题意知，甲、乙两队全体成绩为“优秀”的运动员共有6人，分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2，从中随机抽取2人有：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共15种情况，其中全来自甲队的有6种，则P==，所以所选取运动员中均来自甲队的概率．20．（12分）已知椭圆E：=1（a＞0），过x轴上一点Q（t，0），且斜率为k≠0的动直线l交椭圆E于A、B两点，A′与A关于x轴对称，直线BA′交x轴于点P，当t=0，k=时，|AB|=．（1）求a；（2）若t≠0，则|OP|•|OQ|是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．【解答】解：（1）当t=0，k=时，直线l的方程为：y=x，代入椭圆方程可得：=1，化为x2=，y2=，∵|AB|=，∴=4（x2+y2）=4，化为a2=4，a＞0，解得a=2．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x1，y1），直线BA′的方程为：，令y=0，解得x P=x2+=，直线l的方程为：y=k（x﹣t），联立，化为（1+2k2）x2﹣4k2tx+2k2t2﹣4=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．∴x P====．∴|OP|•|OQ|==4为定值．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣xlnx+2．（1）求函数g（x）=f′（x）的极值；（2）若存在区间[a，b）⊆[，+∞），使[a，b]上的值域是[ka，kb]，求k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=f′（x）=2x﹣lnx﹣1，g′（x）=；∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x时，g′（x）＞0；∴是g（x）的极小值；（2）由（1）知g（x）的极小值，也是最小值为ln2＞0，即f′（x）＞0；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵存在区间[a，b]⊆[，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]；∴f（a）=ka，f（b）=kb，；∴方程x2﹣xlnx+2=kx有两个不同实数根；解出k=，设h（x）=，x，则函数h（x）和函数y=k有两个不同交点；；∴时，h′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0；∴h（2）=3﹣ln2是h（x）的极小值，也是最小值，又h（）=；∴k的取值范围为．22．（10分）如图PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）若OA=1，PC=PA，求PC的长．【解答】（1）证明：∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C，又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．（2）解：由（1）知∠BAP=∠C，又∵∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，∴=，∵PC=，∴，∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，Rt△BAC中，tan∠C==，∴∠C=30°，∴∠ABC=60°，∠APC=30°，∵OA=1，∴PC=PB+BC=1+2=3．23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程式为ρ=2，P是曲线C上的动点，A（2，0），M是线段AP的中点，曲线C1的极坐标方程为ρsin（）=m．（Ⅰ）求点M轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2，可得x2+y2=4．可设曲线C的参数方程为，设P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）则，消去θ可得点M的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2=1（x≠2）；（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρsin（）=m，可化为x+y﹣m=0，与x2+y2=4联立可得2x2﹣2mx+m2﹣4=0，∵曲线C1与曲线C2有两个公共点，∴△=4m2﹣8（m2﹣4）＞0，∴﹣2＜m＜2．24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，解不等式：f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（2）若存在x，使得不等式f（x﹣a）+f（x+a）≤1﹣a成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2即为|x﹣2|+|x|≤2，当x≥2时，不等式即为x﹣2+x≤2，解得x≤2，即有x=2；当0＜x＜2时，不等式即为2﹣x+x≤2，成立，即有0＜x＜2；当x≤0时，不等式即为2﹣x﹣x≤2，解得x≥0，即有x=0．则原不等式的解集为[0，2]；（2）f（x﹣a）+f（x+a）≤1﹣a设g（x）=f（x﹣a）+f（x+a）=|x﹣2a|+|x|，由|x﹣2a|+|x|≥|x﹣2a﹣x|=|2a|，得g（x）的最小值为|2a|．从而存在x，使得不等式f（x﹣a）+f（x+a）≤1﹣a成立，即存在x∈R，使得g（x）≤1﹣a成立，即有|2a|≤1﹣a，即有，解得﹣1≤a ≤．所以a的取值范围为[﹣1，]．第21页（共21页）。

2014-2015学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题只有一个正确选项，满分36分）1．（3分）复数（3+4i）i（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A．1B．2C．3D．44．（3分）已知对任意实数x不等式|x+2|+|x﹣2|＞m恒成立求实数m的取值范围（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）5．（3分）设双曲线﹣=1（a＞b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x 6．（3分）若a＞b＞0，则下列不等式一定不成立的是（）A．＜B．log2a＞log2bC．a2+b2≤2a+2b﹣2D．b＜＜＜a7．（3分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．8．（3分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．9．（3分）已知使函数y=x3+ax2﹣a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a 的值为（）A．0B．±3C．0或±3D．非以上答案10．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）11．（3分）若函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）12．（3分）设F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题，（每小题5分，共20分）13．（5分）用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是．14．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．15．（5分）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形．16．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是．三、解答题，（共70分）17．已知复数z1=a﹣4i，z2=8+6i，为纯虚数．（1）求实数a的值；（2）求|z1•z2|的值．18．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．19．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．20．用数学归纳法证明等式：…=对于一切n 都成立．∈N+21．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间[，e]内有两个不等实根，则实数m的取值范围是（其中e为自然对数的底数）．22．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，不过原点O的斜率为﹣的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点P（2，1）且直线OP平分线段AB．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△OAB面积取最大值时直线l的方程．2014-2015学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，满分36分）1．（3分）复数（3+4i）i（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：（3+4i）i=3i+4i2=﹣4+3i对应点的坐标为（﹣4，3）所以在第二象限故选：B．2．（3分）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m，n均为偶数，则m+n为偶数，即m，n均为偶数”⇒“m+n是偶数”为真命题但m+n为偶数推不出m，n为偶数，如m=1，n=1．“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分而不必要条件故选：A．3．（3分）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1）；∴f′（1）=2×1+f′（2）×（1﹣1）=2．故选：B．4．（3分）已知对任意实数x不等式|x+2|+|x﹣2|＞m恒成立求实数m的取值范围（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【解答】解：∵|x+2|+|x﹣2|≥|x+2﹣（x﹣2）|=4，当且仅当﹣2≤x≤2时，等号成立，故|x+2|+|x﹣2|的最小值为4，∵对任意实数x不等式|x+2|+|x﹣2|＞m恒成立，∴4＞m，即m＜4，故选：B．5．（3分）设双曲线﹣=1（a＞b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，即2b=2，2c=2，则b=1，c=，则a==，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x，故选：A．6．（3分）若a＞b＞0，则下列不等式一定不成立的是（）A．＜B．log2a＞log2bC．a2+b2≤2a+2b﹣2D．b＜＜＜a【解答】解：若a＞b＞0，对于A，则＜，正确；对于B，log2a＞log2b，正确；对于C，由（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，故a2+b2≥2a+2b﹣2，故C错误；对于D，＜=a，＞，＞=b，故b＜＜＜a．，故D正确；故选：D．7．（3分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选：B．8．（3分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．9．（3分）已知使函数y=x3+ax2﹣a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a 的值为（）A．0B．±3C．0或±3D．非以上答案【解答】解：函数的导数为y′=3x2+2ax=0，解得x=0或x=，当x=0时，函数值y=0，即﹣a=0，此时a=0，当x=时，函数值y=0，即（）3+a（）2﹣a=0，整理得a3﹣9a=0，即a（a2﹣9），解得a=0或a=±3，故选：C．10．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），∴a﹣b=0且a＜0则b＜0，∵，∴（ax+b）（x﹣2）＞0，即a（x+1）（x﹣2）＞0，解得：﹣1＜x＜2，∴不等式的解集为（﹣1，2）故选：B．11．（3分）若函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）【解答】解：解法1：f′（x）=﹣ax﹣2=，由题意知f′（x）＜0有实数解，∵x＞0，∴ax2+2x﹣1＞0有正的实数解．当a≥0时，显然满足；当a＜0时，只要△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，综上所述，a＞﹣1．解法2：f′（x）=﹣ax﹣2=，由题意可知f′（x）＜0在（0，+∞）内有实数解．即1﹣ax2﹣2x＜0在（0，+∞）内有实数解．即a＞﹣在（0，+∞）内有实数解．∵x∈（0，+∞）时，﹣=（﹣1）2﹣1≥﹣1，∴a＞﹣1．故选：C．12．（3分）设F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵F1、F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，∴EF2=b，且EF1⊥EF2，∵E在椭圆上，∴EF1+EF2=2a．又∵F1F2=2c，∴F1F22=EF12+EF22，即4c2=（2a﹣b）2+b2．将c2=a2﹣b2代入得b=a．e2===1﹣（）2=．∴椭圆的离心率e=．故选：D．二、填空题，（每小题5分，共20分）13．（5分）用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是a，b都不能被5整除．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为：a，b都不能被5整除．14．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案为：．15．（5分）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形．【解答】解：由题意可得，f（1）=2+1f（2）=3+2+1f（3）=4+3+2+1f（4）=5+4+3+2+1f（5）=6+5+4+3+2+1…f（n）=（n+1）+n+（n﹣1）+…+1=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e x+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e x+≥0，是增函数．∴①正确；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）=e x+=0有根x0，且f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴函数有极小值也是最小值，②正确；③画出函数y=e x，y=alnx的图象，由图可知③不正确；④由②知，a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且当x在定义域内无限趋于0和趋于+∞时f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）=e x+alnx=0有两个根，④正确．故答案为：①②④．三、解答题，（共70分）17．已知复数z1=a﹣4i，z2=8+6i，为纯虚数．（1）求实数a的值；（2）求|z1•z2|的值．【解答】解：（1）复数z1=a﹣4i，z2=8+6i，则==为纯虚数，∴，解得a=3．∴实数a的值是3；（2）∵z1=3﹣4i，z2=8+6i，∴z1•z2=（3﹣4i）•（8+6i）=48﹣14i，∴|z1•z2|=．∴|z1•z2|的值是50．18．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，不等式f（x）≥3可得或或，解得：x≤1或x≥4即x∈（﹣∞，1]∪[4，+∞）．（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，则f（x）=|x+a|+|x﹣2|≥2，可得|x+a|+|x﹣2|≥|a+2|≥2，解得a≥0或a≤﹣4．19．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，…（2分）又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=﹣．…（6分）令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1，∵直线l与x轴的交点是M，∴M（2，0），∴|MC|==，…（8分）∵N是曲线C上一动点，∴|MN|≤|MC|+r=．故MN的最大值为．…（10分）20．用数学归纳法证明等式：…=对于一切n ∈N都成立．+【解答】证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．（2）假设n=k时，等式成立，即…=，那么n=k+1时，…====，即n=k+1时，等式成立．由（1）（2）可知，等式：…=对于一切n∈N+都成立．21．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间[，e]内有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（1，2+] （其中e为自然对数的底数）．【解答】解：函数f（x）=alnx﹣bx2的导数f′（x）=﹣2bx，由切线方程得f′（2）=﹣4b，f（2）=aln2﹣4b．∴﹣4b=﹣3，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2=2ln2﹣4．解得a=2，b=1．则f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则h′（x）=﹣2x，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在[，e]内，当x∈[，1）时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数．则方程h（x）=0在[，e]内有两个不等实根的充要条件是，即1＜m≤2+．故答案为：（1，2+]．22．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，不过原点O的斜率为﹣的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点P（2，1）且直线OP平分线段AB．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△OAB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知设直线l的方程为y=﹣，由题意2a=4，解得a=2，联立，得（b2+9）x2﹣12nx+4n2﹣4b2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1+y2=﹣（x1+x2）+2n=﹣，∵点P（2，1），∴直线OP：x=2y，∵且直线OP平分线段AB，∴，即=﹣，解得b2=3．∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）原点O到直线y=﹣的距离d=，=n，=，|AB|=•=•，∴△OAB面积S==|n|•=•，∴当n=时，△OAB面积S取最大值．∴△OAB面积取最大值时直线l的方程为y=﹣．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年内蒙古赤峰市宁城县高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 函数y=√x+√1−x的定义域为（）A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.{x|x≥1或x≤0}2. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（）A.y=x3B.y=x−1C.y=3|x|D.y=log3x3. 已知a=2−13，b=log213，c=log1213，则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b4. 圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2−4x+8y+4=0的位置关系是（）A.相交B.外切C.内切D.相离5. 若f(x)=x2−2(a−1)x+2在(−∞, 3]上是减函数，则a的取值范围是（）A.a>4B.a<4C.a≥4D.a≤46. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A.16πB.16C.163D.16π37. 函数f(x)＝x2−2x零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.48. a、b是两条异面直线，A是不在直线a、b上的点，则下列结论成立的是（）A.过A有且只有一个平面同时平行于直线a，bB.过A至少有一个平面同时平行于直线a，bC.过A有无数个平面同时平行于直线a，bD.过A且同时平行于直线a，b的平面可能不存在9. 过点P(−√3, −1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A.(0, π6] B.[0, π3] C.[0, π6] D.(0, π3]10. 如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，那么异面直线BD1与AD所成角的正切值（）A.√3B.2C.√5D.√611. 已知函数f(x)=4−x2，y=g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=log2x，则函数f(x)⋅g(x)的大致图象为（）A. B.C. D.12. 已知函数f(x)=ln x，如果x1，x2∈R+，且x1≠x2，下列关于f(x)的性质；①(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0；②f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)；③f(−x)=f(x)；④f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)．其中正确的是（）A.①②B.①③C.②④D.①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）点A(−1, 0)关于直线x+y=1的对称点为________．若2a=5b=10，则1a +1b=________．函数f(x)=10x和g(x)=lg x的图象关于直线l对称，则l的解析式为________．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个三棱锥D−ABC，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的体积为________．三、解答题：（共6个题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共70分）已知集合A={x|18≤2x+1≤16}，B={x|m+1≤x≤3m−1}．(1)求集合A；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．已知函数f(x)是定义在[−3, 3]上的奇函数，且当x∈[0, 3]时，f(x)=x2−2x （1）求f(x)的解析式；（2）在右侧直角坐标系中画出f(x)的图象，并且根据图象回答下列问题（直接写出结果）①f(x)的单调增区间；②若方程f(x)=m有三个根，则m的范围．已知点P到两个定点M(−1, 0)、N(1, 0)距离的比为√2，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB // 平面AEC；（3）若PA=4，求点E到平面ABCD的距离．已知圆C的方程是x2+y2=1，点A(1, 0)，直线l与圆C相交于P、Q两点（不同于A），（1）若∠PAQ=90∘，则直线l必经过圆心O；（2）若直线l经过圆心O，则∠PAQ=90∘．已知定义域为R的函数f(x)=b−2xa+2x+1是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并用函数的单调性定义证明；, 3]都有f(kx2)+f(2x−1)>0成立，求实数k的取值范围．（3）若对于任意x∈[12参考答案与试题解析2014-2015学年内蒙古赤峰市宁城县高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据二次根式的性质得到不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：{x≥01−x≥0解得：0≤x≤1，故选：C．2.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】运用常见函数的单调性和奇偶性及定义，即可得到在定义域内既是单调函数，又是奇函数的函数．【解答】解：对于A．则为奇函数，由y′=3x2≥0，则y在R上递增，则A满足；对于B．则为奇函数，在x>0上递减，在x<0上递减，不为单调函数，则B不满足；对于C．f(−x)=3|−x|=f(x)，则为偶函数，则C不满足；对于D．为对数函数，不具奇偶性，则D不满足．故选A．3.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数式的运算性质得到0<a<1，由对数的运算性质得到b<0，c>1，则答案可求．【解答】解：∵0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213=log23>log22=1，∴c>a>b．故选D.4.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的圆心距与两圆半径和与差的关系判断两圆位置关系．【解答】解：圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1，的圆心C1(−1, 0)，半径等于1．圆C2:x2+y2−4x+8y+4=0化为(x−2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2, −4)，半径等于4．两圆的圆心距等于√(2+1)2+(−4−0)2=5，而5=1+4，故两圆相外切，故选B．5.【答案】C【考点】二次函数的性质【解析】运用二次函数的性质得出a−1≥3，即可求解．【解答】解：∵f(x)=x2−2(a−1)x+2在(−∞, 3]上是减函数，∴a−1≥3，即a≥4，故选：C6.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥，圆锥的底面面积S=π×2×2=4π，圆锥的高ℎ=4，故圆锥的体积V=13Sℎ=16π3，故选：D7.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】函数f(x)＝x2−2x零点个数可化为函数y＝x2与y＝2x的图象的交点个数，作图求解．【解答】函数f(x)＝x2−2x零点个数可化为函数y＝x2与y＝2x的图象的交点个数，作函数y＝x2与y＝2x的图象如下，有三个交点，8.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线a和点A确定一个平面，若b平行于这个平面，则a含于这个平面，故不存在过A且同时平行于直线a，b的平面．故选D．9.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=−√3与圆没有交点，则直线斜率k一定存在，设为k，则过P的直线方程为y+1=k(x+√3)，即kx−y+√3k−1=0，若过点P(−√3, −1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，即√3k−1|√1+k2≤1，即|√3k−1|≤√1+k2，平方得k2−√3k≤0，解得0≤k≤√3，即0≤tanα≤√3，解得0≤α≤π3，故选：B．10.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】连结BA1，由AD // A1D1，知∠BD1A1是异面直线BD1与AD所成角，由此能求出异面直线BD1与AD所成角的正切值．【解答】解：连结BA1，∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，∴AD // A1D1，∴∠BD1A1是异面直线BD 1与AD所成角，∵A1D1⊥A1B，A1B=√22+42=2√5，∴tan∠BD1A1=A1BA1D1=2√52=√5，∴异面直线BD1与AD所成角的正切值为√5．故选：C．11.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用函数奇偶性的性质判断函数f(x)⋅g(x)的奇偶性，然后利用极限思想判断，当x→+∞时，函数值的符号．【解答】因为函数f(x)=4−x 2为偶函数，y =g(x)是定义在R 上的奇函数， 所以函数f(x)⋅g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所∞以排除A ，B ． 当x →+∞时，g(x)=log 2x >0，f(x)=4−x 2<(0) 所以此时f(x)⋅g(x)<(0) 所以排除C ，选D ． 12. 【答案】 A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】根据对数函数的图象和性质即可判断 【解答】解：因为函数f(x)为增函数，所以(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0；故①正确 因为函数f(x)为凸函数，所以f(x 1)+f(x 2)2<f(x 1+x 22)；故②正确，④错误，因为函数f(x)即不是奇函数也不是偶函数，故③错误． 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】 (1, 2) 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】设出A(−1, 0)关于直线x +y =1的对称点，求出AB 中点的坐标，然后由AB 得中点在直线x +y =1上，且AB 的连线与直线l 垂直列方程组求解． 【解答】解：设A(−1, 0)关于直线x +y =1的对称点为B(x 0, y 0)， 由中点坐标公式得：AB 中点为(x 0−12,y 02)，则AB 的中点在直线x +y =1上且AB 连线与直线x +y =1垂直． 则{x 0−12+y 02=1y 0x 0+1=1，即{x 0+y 0=3x 0−y 0=−1，解得{x 0=1y 0=2．∴ 点A(−1, 0)关于直线x +y =1的对称点为(1, 2)．故答案为：(1, 2)． 【答案】 1【考点】对数的运算性质 【解析】首先分析题目已知2a =5b =10，求1a +1b 的值，故考虑到把a 和b 用对数的形式表达出来代入1a +1b ，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案． 【解答】解：因为2a =5b =10， 故a =log 210，b =log 5101a+1b=log 102+log 105=log 1010=1.故答案为：1． 【答案】 y =x 【考点】 反函数 【解析】利用互为反函数的图象关于直线y =x 对称的性质即可得出． 【解答】解：∵ 函数f(x)=10x 和g(x)=lg x 互为反函数，其图象关于直线l 对称， ∴ 直线l 为y =x ． 故答案为：y =x ． 【答案】125【考点】球的表面积和体积 【解析】运用直角三角形的性质可得AC 的中点到B ，D 的距离相等，则三棱锥的外接球的球心与AC 中点重合，求出半径，再由体积公式计算即可得到． 【解答】解：由直角三角形的性质可得， AC 的中点到B ，D 的距离相等，则三棱锥的外接球的球心O 与AC 中点重合， 则球的半径为√32+422=52，则球的体积为43π×(52)3=1256π．故答案为：1256π．三、解答题：（共6个题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共70分） 【答案】解：(1)∵ 18≤2x+1≤16，∴ 2−3≤2x+1≤24， ∴ −3≤x +1≤4， ∴ −4≤x ≤3，∴ A ={x|−4≤x ≤3}．(2)若B =⌀，则m +1>3m −1，解得m <1，此时满足题意； 若B ≠⌀，∵ B ⊆A ，∴ 必有{m +1≤3m −1，−4≤m +1，3m −1≤3.解得1≤m ≤43．综上所述m 的取值范围是m ≤43． 【考点】其他不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】(1)利用指数函数y =2x 的单调性即可求出集合A ．(2)先对集合B 分B =⌀与B ≠⌀两种情况讨论，再利用B ⊆A 即可求出答案． 【解答】解：(1)∵ 18≤2x+1≤16，∴ 2−3≤2x+1≤24， ∴ −3≤x +1≤4， ∴ −4≤x ≤3，∴ A ={x|−4≤x ≤3}．(2)若B =⌀，则m +1>3m −1，解得m <1，此时满足题意； 若B ≠⌀，∵ B ⊆A ，∴ 必有{m +1≤3m −1，−4≤m +1，3m −1≤3.解得1≤m ≤43．综上所述m 的取值范围是m ≤43． 【答案】 解：（1）令x <0，则−x >0， ∵ x >0时，f(x)=x 2−2x ，∴ f(−x)=(−x)2−2(−x)=x 2+2x ， 又f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴ f(−x)=−f(x)=−x 2−2x ． 当x =0时，f(x)=x 2−2x =0， ∴ f(x)={x 2−2x ，0≤x ≤3−x 2−2x ，−3≤x <0．（2）观察图象知：①单调增区间为[−3, −1]，[1, 3]．②若方程f(x)=m 有三个根，则函数y =f(x)与函数y =m 有三个交点， ∴ m 的范围为(−1, 1)【考点】函数奇偶性的性质 【解析】（1）令x <0，则−x >0，由x >0时，f(x)=x 2−2x ，可求得f(−x)，而f(x)为定义在R 上的奇函数，从而可求得x <0时的解析式，最后用分段函数表示函数f(x)的解析式即可． （2）分两段画，每一段都是抛物线的一部分； （3）观察图象直接写出结果， 【解答】 解：（1）令x <0，则−x >0， ∵ x >0时，f(x)=x 2−2x ，∴ f(−x)=(−x)2−2(−x)=x 2+2x ， 又f(x)为定义在R 上的奇函数， ∴ f(−x)=−f(x)=−x 2−2x ． 当x =0时，f(x)=x 2−2x =0， ∴ f(x)={x 2−2x ，0≤x ≤3−x 2−2x ，−3≤x <0．（2）观察图象知：①单调增区间为[−3, −1]，[1, 3]．②若方程f(x)=m有三个根，则函数y=f(x)与函数y=m有三个交点，∴m的范围为(−1, 1)【答案】解：（1）设点P的坐标为(x, y)，由题设有|PM||PN|=√2，即√(x+1)2+y2=√2√(x−1)2+y2．整理得x2+y2−6x+1=0；（2）∵点N到PM的距离为1，|MN|=2，∴∠PMN=30∘，直线PM的斜率为±√33，直线PM的方程为y=±√33(x+1)．联立{y=−√33(x+1)x2+y2−6x+1=0，整理得x2−4x+1=0．解得x=2±√3．代入y=−√33(x+1)，得点P的坐标为(2+√3，−1−√3)或(2−√3，1−√3)；联立{y=√33(x+1)x2+y2−6x+1=0，求得点P的坐标为(2+√3，1+√3)或(2−√3，−1+√3)．∴直线PN的方程为y=x−1或y=−x+1．【考点】轨迹方程【解析】（1）设出点P的坐标为(x, y)，由题设有|PM||PN|=√2，代入两点间的距离公式后整理得答案；（2）由点N到PM的距离为1，结合|MN|=2可得∠PMN=30∘，从而求得直线PM的斜率，写出直线PM的方程．联立直线方程和圆的方程求得P的坐标，然后由直线方程的两点式求得直线PN的方程．【解答】解：（1）设点P的坐标为(x, y)，由题设有|PM||PN|=√2，即√(x+1)2+y2=√2√(x−1)2+y2．整理得x2+y2−6x+1=0；（2）∵点N到PM的距离为1，|MN|=2，∴∠PMN=30∘，直线PM的斜率为±√33，直线PM的方程为y=±√33(x+1)．联立{y=−√33(x+1)x2+y2−6x+1=0，整理得x2−4x+1=0．解得x=2±√3．代入y=−√33(x+1)，得点P的坐标为(2+√3，−1−√3)或(2−√3，1−√3)；联立{y=√33(x+1)x2+y2−6x+1=0，求得点P的坐标为(2+√3，1+√3)或(2−√3，−1+√3)．∴直线PN的方程为y=x−1或y=−x+1．【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA，又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB；（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E为PD中点，∴PB // EO，又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB // 平面AEC；（3）解：取AD中点F，连接EF．因为点E是PD的中点，所以EF // PA．又因为PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．所以线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离．又因为PA=4，所以EF=2．所以点E到平面ABCD的距离为2．【考点】点、线、面间的距离计算 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的性质【解析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明AC ⊥平面PAB ，从而可得AC ⊥PB ； （2）连结BD ，与AC 相交于O ，连结EO ，证明PB // EO ，即可证明PB // 平面AEC ；（3）取AD 中点F ，连接EF ．证明EF ⊥平面ABCD ，所以线段EF 的长度就是点E 到平面ABCD 的距离． 【解答】（1）证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，∴ AC ⊥PA ， 又AC ⊥AB ，PA ∩AB =A ，∴ AC ⊥平面PAB ．又PB 在平面PAB 内，∴ AC ⊥PB ；（2）证明：连结BD ，与AC 相交于O ，连结EO ， ∵ ABCD 是平行四边形，∴ O 是BD 的中点， 又E 为PD 中点，∴ PB // EO ，又PB 在平面AEC 外，EO 在AEC 平面内， ∴ PB // 平面AEC ；（3）解：取AD 中点F ，连接EF ．因为点E 是PD 的中点，所以EF // PA ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD ． 所以线段EF 的长度就是点E 到平面ABCD 的距离． 又因为PA =4，所以EF =2． 所以点E 到平面ABCD 的距离为2．【答案】 证明：（1）设直线AP 的方程是x =my +1， 代入x 2+y 2=1得(m 2+1)y 2+2my =0，因为y ≠0，所以y =−2mm 2+1，从而得P(1−m 21+m 2, −2m1+m 2)， 因为∠PAQ =90∘，所以直线AQ 的方程x =−1m x +1， 以−1m 代换点Q 坐标中的m ，得Q(m 2−11+m 2, 2mm 2+1)，当m 2≠1时，直线OP 、OQ 的斜率分别为k 1，k 2，显然k 1=k 2=2mm 2−1， 即直线l 经过圆心O ；当m 2=1时，P(0, 1)，Q(0, −1)，显然直线l 经过圆心O ， 综上若∠PAQ =90∘，则直线l 必经过圆心O ．（2）若直线l 经过圆心O ，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 显然，直线AP ，AQ 的斜率存在， 直线AP 的斜率为k 1=y 1x 1−1，直线AQ 的斜率为k 2=−y 1−x 1−1=y 1x 1+1，则k 1⋅k 2=y 1x 1−1⋅y 1x 1+1=y 12x 12−1，由x 12+y 12=1，即有k 1⋅k 2=−1，则∠PAQ =90∘．【考点】直线和圆的方程的应用 【解析】（1）设直线AP 的方程是x =my +1，代入圆的方程，求得P 的坐标，再由垂直设出AQ 的方程，同样求得Q 的坐标，再由斜率相等，即可得到直线l 必经过圆心O ；（2）若直线l 经过圆心O ，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，求出直线AP ，AQ 的斜率，运用两直线垂直的条件，即可得证．【解答】 证明：（1）设直线AP 的方程是x =my +1， 代入x 2+y 2=1得(m 2+1)y 2+2my =0，因为y ≠0，所以y =−2mm 2+1，从而得P(1−m 21+m 2, −2m 1+m 2)，因为∠PAQ =90∘，所以直线AQ 的方程x =−1m x +1， 以−1m 代换点Q 坐标中的m ，得Q(m 2−11+m 2, 2mm 2+1)，当m 2≠1时，直线OP 、OQ 的斜率分别为k 1，k 2，显然k 1=k 2=2mm 2−1， 即直线l 经过圆心O ；当m 2=1时，P(0, 1)，Q(0, −1)，显然直线l 经过圆心O ， 综上若∠PAQ =90∘，则直线l 必经过圆心O ．（2）若直线l 经过圆心O ，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 显然，直线AP ，AQ 的斜率存在， 直线AP 的斜率为k 1=y 1x 1−1，直线AQ 的斜率为k 2=−y 1−x 1−1=y 1x1+1，则k 1⋅k 2=y 1x 1−1⋅y 1x 1+1=y 12x 12−1，由x 12+y 12=1，即有k 1⋅k 2=−1，则∠PAQ =90∘．【答案】解：（1）因为f(x)在定义域为R 上是奇函数，所以f(0)=0， 即−1+b2+a =0，解得b =1，又由f(−1)=−f(1)，即1−12a+1=−1−2a+22，解得a =2…（2）由（1）知f(x)=1−2x2+2x+1=−12+12x +1，则f(x)在(−∞, +∞)上为减函数，任取x 1、x 2∈R ，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=12x 1+1−12x 2+1=2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)因为函数y =2x 在R 上是增函数，且x 1<x 2，则2x 2−2x 1>0，又(2x 1+1)(2x 2+1)>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴ f(x)在(−∞, +∞)上为减函数…（3）因为f(x)是奇函数，所以不等式：f(kx 2)+f(2x −1)>0 等价于f(kx 2)>−f(2x −1)=f(1−2x)，… 因f(x)为减函数，由上式推得：kx 2<1−2x ． 即对一切x ∈[12, 3]有：k <1−2x x 2恒成立，…设g(x)=1−2x x =1x −2x ，令t =1x ，t ∈[13, 2]，则有g(t)=t 2−2t ，t ∈[13, 2]，所以g(x)min =g(t)min =g(1)=1，则k <−1， 即k 的取值范围为(−∞, −1)… 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 函数恒成立问题【解析】（1）根据奇函数的性质得：f(0)=0和f(−1)=−f(1)，列出方程组，求出a 、b 的值； （2）由（1）求出解析式并化简，判断出函数的单调性，再利用单调性的定义进行证明；（3）利用奇函数的性质将不等式进行转化，再由单调性列出关于x 的不等式，由x 的范围分离出常数k ，再构造函数g(x)=1−2x x 2，利用换元法、二次函数的性质求出函数的最小值．【解答】 解：（1）因为f(x)在定义域为R 上是奇函数，所以f(0)=0， 即−1+b2+a =0，解得b =1，又由f(−1)=−f(1)，即1−12a+1=−1−2a+22，解得a =2… （2）由（1）知f(x)=1−2x 2+2x+1=−12+12x +1，则f(x)在(−∞, +∞)上为减函数，任取x 1、x 2∈R ，设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=12x 1+1−12x 2+1=2x 2−2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)因为函数y =2x 在R 上是增函数，且x 1<x 2，则2x 2−2x 1>0，又(2x 1+1)(2x 2+1)>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴ f(x)在(−∞, +∞)上为减函数…（3）因为f(x)是奇函数，所以不等式：f(kx 2)+f(2x −1)>0 等价于f(kx 2)>−f(2x −1)=f(1−2x)，…因f(x)为减函数，由上式推得：kx 2<1−2x ． 即对一切x ∈[12, 3]有：k <1−2x x 恒成立，…设g(x)=1−2x x 2=1x 2−2x ，令t =1x ，t ∈[13, 2]，则有g(t)=t 2−2t ，t ∈[13, 2]，所以g(x)min =g(t)min =g(1)=1，则k <−1， 即k 的取值范围为(−∞, −1)…。

2013—2014学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（必修⑤，选修1—1.文科卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页．全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分)1．设,a b c d >>，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）。

（A ）a b d c ->- （B ）a d b c +>+ （C)a c b c ->- (D ）a c a d -<- 2．不等式1x x>的解集是 ( ）．（A ）()(),10,1-∞- (B ）()()1,00,1- （C ）()1,1- （D ）()(),11,-∞-+∞3.“1ω=” 是函数“22()cos sin f x x xωω=-最小正周期为π"的（ ）（A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．曲线()2xf x =在0x =处的切线方程为（ )（Ａ)1y x =- （Ｂ)1y x =+ （Ｃ）()1ln 2y x =- （Ｄ)ln 21y x =+5．若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（）（A ）2y x =± （B ）y = （C ）12y x =± （D ）2y x =±6。

在各项均为正的数列{a n }中，已知125823,,27nn aa a a +=⋅=则通项n a 为（ ）(A ）23n⎛⎫⎪⎝⎭(B ）123n -⎛⎫⎪⎝⎭（C)223n -⎛⎫⎪⎝⎭（D ）232n -⎛⎫⎪⎝⎭7．设,x y 是满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） (A ）20 （B ）50 （C ）1lg 2+ （D ）2lg 2-8．下列命题中为真的是( ） (Ａ）在ABC △中，::sin :sin :sin a b c A B C =（Ｂ）常数列既是等差数列又是等比数列 （Ｃ）函数1y x=的递减区间是(0)(0)-+∞，，∞(Ｄ)若两个平面与第三个平面都垂直,则这两个平面平行9．在ABC △中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边，60A =，1b =，ABC △的面积等于3,则a等于( ） （Ａ)13（Ｂ）21 （Ｃ）2133（Ｄ）21210．等差数列}{na 前n 项的和为nS ,已知公差13991,602d a aa =+++=，则100S 等于（ ）（A)170 （B)150 （C)145 （D ）12011。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知a b >，c d >，那么一定正确的是（ ） （Ａ）ad bc > （Ｂ）ac bd >（Ｃ）a c b d ->- （Ｄ）a dbc ->-【答案】D考点：不等式性质2.在等比数列{}n a 中，11a =，48a =，那么{}n a 的前5项和是 （A ）31- （B ）15 （C ）31 （D ）63 【答案】C 【解析】试题分析：()55131451121,88231112a q a a q q S q--==∴=∴=∴===-- 考点：等比数列求和3.某市有大、中、小型商店共1500家，它们的家数之比为1：5：9，要调查商店的每日零售额情况，要求从抽取其中的30家商店进行调查，则大、中、小型商店分别抽取家数是 （A ）2，10，18 （B ）4，10，16 （C ）10，10，10 （D ）8，10，12 【答案】A 【解析】试题分析：∵有大型、中型与小型商店共1500家，它们的家数之比为1：5：9． 用分层抽样抽取其中的30家进行调查， ∴大型商店要抽取130215⨯=，中型商店要抽取5301015⨯=，小型商店要抽取9301815⨯= 考点：分层抽样4.一个几何体的顶点都在球面上，这个几何体的三视图如右图所示，该球的表面积是（A ）19π （B ）38π （C ）48π（D 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为长方体，三条边长为2,3,5，所以外接球半径满足()2222223538R =++=2438S R ππ∴==考点：三视图5.在△ABC 中，15a =，10b =，60A = ，则cos B =（A ）13 （B （C （D 【答案】C考点：正弦定理解三角形6.函数()2xf x =的图像在0x =处的切线方程是（A ）1y x =+ （B ）21y x =+ （C ）ln 21y x =- （D ）ln 21y x =+ 【答案】D 【解析】 试题分析：()()''2ln 20ln 2ln 2x fx f k =∴=∴=()01f = ，所以直线方程为()1ln 20y x -=-，所以直线方程为ln 21y x =+ 考点：导数的几何意义7.某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（A ） 23 （B ） 34（C ） 45 （D ）56【答案】C考点：程序框图8.△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为( )（A ）22143x y +=(y ≠0) （B ） 22143y x +=(y ≠0) （C ） 22154x y += (y ≠0) （D ） 22154y x += (y ≠0) 【答案】A 【解析】试题分析：由三角形周长为6可知4AC BC AB +=>C ∴的轨迹为以,A B 为焦点的椭圆2224,222,13,4a c a c b a ∴==∴==∴==，所以轨迹方程为()221043x y y +=≠ 考点：轨迹方程9.设等差数列245,4,3,77的前n 和为n S ，若使得n S 最大，则n 等于 （A ）7 （B ）8 （C ）6或7 （D ）7或8 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知155,7a d ==-()554051777n a n n ⎛⎫∴=+-⨯-=-+⎪⎝⎭，令0n a ≥得8n ≤，所以n 等于7或8考点：等差数列求和10.设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：由导函数图像可知，当0x <时()'0f x >，函数单调递增，当02x <<时()'0f x <，函数单调递减，当2x >时()'0fx >，函数单调递增，所以图像D 正确考点：函数导数与单调性11.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（A ）5 （B ）6（C ）7（D ）8【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：三角形顶点坐标为()()11,,2,1,1,122⎛⎫---⎪⎝⎭，当2z x y =+过点()2,1-时取得最大值3，当过点()1,1--时取得最小值3- 6m n ∴-= 考点：线性规划问题12.在△ABC 中,两直角边和斜边,,a b c 满足条件a b cx +=,试确定实数的取值范围 （A）(（B）(（C）)2 （D）【答案】A 【解析】试题分析：由a b cx +=得，a bx c+=， 由题意得在△ABC 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，由正弦定理得：()()sin sin 90sin sin sin cos 45sin sin 90A A a b AB A A A cC +-++===+=+由A ∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），所以sin （A+45°）∈⎤⎥⎦，即2sin(A+45°)∈(，所以(a bc+∈，所以(x ∈ 考点：1.正弦定理解三角形；2.三角函数基本公式第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.1229log 4+=_____ ______． 【答案】5考点：指数式对数式运算14.抛物线240x y +=的准线方程是__________ 【答案】1y = 【解析】试题分析：抛物线方程变形为242412px y p =-∴=∴=，准线方程为1y = 考点：抛物线方程及性质15.为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被样本数据在[3.8,4.2)内的人数是 ．【答案】6 【解析】试题分析：由频率直方图得，在[5.0，5.4]内的频率为0.10×0.4=0.04，∴被抽查的学生总数是2500.04=；由频率和为1，得：样本数据在[3.8，4.2）内的频率是：1-（0.15×0.4+1.25×0.4+0.7×0.4+0.10×0.4）=0.12；样本数据在[3.8，4.2）内的人数是50×0.12=6． 考点：频率分布直方图16.已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ___【答案】 【解析】试题分析：设三角形的三边分别为x-4，x ，x+4，则()()()222441cos120242x x x x x +--+==--，化简得：x-16=4-x ，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14 则△ABC 的面积S=12×6×10sin120°= 考点：1.数列的应用；2.正弦定理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）解不等式组26803 2.1x x x x ⎧-+>⎪⎨+>⎪-⎩，【答案】{}1245x xx <<<<，或考点：分式不等式，一元二次不等式解法18.（本题满分12分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC ，求AB ． 【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）2AB = 【解析】试题分析：（Ⅰ）借助于三角形内角和可将sin()A C +转化为sin B ，从而可求得A 角大小；（Ⅱ）由面积公式可得到关于边AB 的关系式，由余弦定理可得到关于AB 的第二个关系式，解方程组可求得AB 的长度 试题解析：（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=．…………2分 所以原式化为B A B sin cos sin 2=． 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分考点：1.三角函数基本公式；2.余弦定理解三角形 19.（本题满分12分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和n S 公式; (Ⅱ) 证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过q 是否为1，利用错位相减法求解数列{}n a 的前n 项和n S 公式；（Ⅱ）设q ≠1，求出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前3项，利用等比中项，推出矛盾，说明不是等比数列试题解析：设{}n a 的前n 项和为n S ，当1q =时，11111n n S a a q a q na -=+++= ；--------------------1分 当1q ≠时，1111n n S a a q a q -=+++ ． ①1111n n n qS a q a q a q -=+++ ， ②----------------3分①-②得()()111n n q S a q -=-，所以 ()111n n a q S q-=-．----------5分所以 ()11, 1,1, 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩----------------------------7分（Ⅱ）证：由{}n a 是公比为q 的等比数列有10a ≠，若对任意的n N +∈，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前三项，有()()22311111111a q a q a q q ⎡⎤--⎢⎥=⋅--⎢⎥⎣⎦，--------------------9分 化简得 2210q q -+=，即()210q -=，----------------10分 但1q ≠时，()210q ->，这一矛盾说明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．---------------------12分考点：1.等比数列的证明；2.错位相减法求和20.国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）； （Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一 天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数) 【答案】（Ⅰ）甲城市方差大于乙城市方差；（Ⅱ）35（Ⅲ）1125试题解析：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.…………2分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………5分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）,（57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125．…………12分 考点：1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.茎叶图21.（本题满分12分）已知动点P 到定点(),0F p 和到直线x p =-(0)p >的距离相等。