河北、河南、山西三省2015高三联考 数学理科试题(扫描版含答案)

2015年高考考前质量监测试题（三）理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4． 只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题（每题5分）1. A2. C3. A4. B5. D6. B7. A 8. D 9. D 10. C 11. B 12. C二、填空题（每题5分）13．2－2i 14．24x ＋y 2＝1 15. -2 16. 43三、解答题17． 解：(Ⅰ)由A C A CB cos cos sin sin sin 2=-，可得AC A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-， 即B C A A C A C A B sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =. ⋯⋯6分 （Ⅱ）由215-=⋅AC BA ，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ．又A bc c b a cos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ．则81)(2=+c b ，即9=+c b ． ⋯⋯12分18．（Ⅰ）证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，则EF ∥CD ，EF =CD ．又AB ∥CD ，AB =CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE .由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD .由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面P AD .⋯⋯4分所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD .所以BF ⊥平面PCD . ⋯⋯6分 (Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A （-1,0,0），B （-1，2，0），C （1，4，0），P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以1110,0.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取1x =，则1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以2222220,0.x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩ 取21x =，则(1,1,=-m ；则cos ,⋅<>==m n m n m n ，所以二面角A PB C --的正弦值为.⋯⋯12分 19．解：(Ⅰ)由题意可知，若选甲题，则得0分、10分的概率均为0.5，0.5；若选乙题，则得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.⋯⋯2分又选择甲或乙题的概率均为，故得分X 的分布列如下：于是00.2550.170.0580.290.05100.35 6.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.⋯⋯6分(Ⅱ)设A 同学选择方案一、二后的得分分别为,Y Z ，则,Y Z 的分布列分别为⋯⋯10分故50.5100.57.5EY =⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此选择方案二更有利于A 同学取得更高的分数.⋯⋯12分 20. 解：（Ⅰ）设l ：x =my +1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将x = my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2-4my -4=0.⋯⋯2分 ∵Δ>0，∴y 1+ y 2= 4m ，y 1y 2=－4.则x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB⋅=0可得x 1x 2+（x 1+x 2）+ y 1y 2+1=0，∴m =0.则l ：x =1，所以AB =4. ⋯⋯6分（Ⅱ）由于∆ NFB 与∆ NF A 有公共底NF ，可得|FB |=2|F A |，由相似可得y 2=－2y 1由（Ⅰ）知y 1y 2= -2y 12=－4，∴12=y y ⎧⎪⎨-⎪⎩ 或12=y y ⎧⎪⎨⎪⎩ ⋯⋯9分由y 1+y 2= -= 4m ，得m = －；或由y 1+y 2== 4m ，得m = .故直线l 的方程为4x ±y -4＝0． ⋯⋯12分 21．（Ⅰ）解：函数()lg x a =，则'(g x 1a a x x x --=．当0a ≤时，'()0g x <,函数()gx 在定义域上单调递减；当0a >时，由g '(x )<0得x a >，此时()gx 单调递减；由g '(x )>0得0x a <<，此时()gx 单调递增；综上，当0a ≤时，()gx 单调递增区间为（0，)∞+；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+∞). ⋯⋯4分（Ⅱ）证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+．因为对任意的0(,21x x <总存在0>x ，使得0'()fx =成立， 所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-. ∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln 121212--+=x x x x x x ．⋯⋯9分 由(Ⅰ)得，当1a =时，()ln g x =，当且仅当1x =时，等号成立. 2221111,ln 10x x x x x x >∴-+<．又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <．⋯⋯12分 选做题22．（Ⅰ）直线PC 与圆O 相切．⋯⋯1分 证明：连接OC ，OD ，则∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴=，∴∠BOD =90°，即∠OED +∠ODE =90°．∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ．∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°，∴直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯5分（Ⅱ）解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC ACEB AE ，EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =．⋯⋯10分 23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x +y 2=1，其右焦点为（1，0），而直线l 过该点，所以直线l 与曲线C 相交.⋯⋯5分 (Ⅱ)将代入椭圆方程+y 2=1得3t 2+2t -2=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2,则t 1t 2=－，∴|P A |⋅|PB |=.由对称性可知，|PE |⋅|PF |＝ .∴|P A |⋅|PB |＋|PE |⋅|PF |＝．⋯⋯10分24．解：（Ⅰ）∵|x +3|+|x +2|≥|(x +3)－(x +2)|=1，当(x +3)(x +2)≤0，即-3≤x ≤－2时取等号，∴a+b+c≤1，即a+b+c的取值范围是（-∞，1]．⋯⋯5分（Ⅱ）∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+ b²+c²=(a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca)≥1-2( a²+ b²+c²)，∴a²+ b²+c²≥．⋯⋯10分。

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．C．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．164．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．29．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．C．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．解答：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．点评：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）A．6 B．8 C．9 D．16考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．解答：解：由题意，a5=log8=3，∵{a n}是等差数列，∴a4+a6=2a5=6，故选：A．点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴（k+2）﹣3k=0，解得：k=1，∴•=1×2+1×2=4，故选D点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）A．8 B．C．3 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，∵|AB|=2，圆的半径为3∴圆心到渐近线的距离为2，即=2，解得b= a∴c=3a，∴双曲线的离心率为e==3．故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15考点：循环结构；选择结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 i S循环前 1 0第一圈是 2﹣1第二圈是 3 3第三圈是 4﹣6第四圈是 5 10第五圈否故最后输出的S值为10故选C．点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．解答：解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）A．B．C．1 D．2考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．解答：解：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）∴AF的方程是y=（x﹣1），设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，利用韦达定理x3x1=1，∴x3=，∴y3=k0（x3﹣1）=﹣，即C（，﹣），同理D（，﹣），∴k2==2k1，∴=．故选：B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：先表示出和，和，再表示出，，从而表示出，求出其范围，从而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的范围，进而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值．解答：解：∵x1＜x2，∴，，又∵x3＜x4，∴，，∴，；∴；又，∴；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈故选：B．点评：本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴a C51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）考点：回归分析．专题：计算题；概率与统计．分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的定义域及其求法．专题：导数的综合应用．分析：设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．解答：解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，∴g（x）＜g（），x∈（0，π），或g（x）＞g（﹣），x∈（﹣π，0），∴，或．故x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．故答案为：（﹣，0）∪（，π）点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式求得数列的通项公式，得到数列的奇数项和偶数项，然后代入T2014，分组后利用等比数列的求和公式得答案．解答：解：由S n=（﹣1）n a n+，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣．n为偶数时，a n﹣1=；n为奇数时，2a n+a n﹣1=，∴a2=a4=…=a2014=0．∴T2014=（﹣a1+a2﹣a3+…+a2014）+（++…+）=﹣（a1+a3+…+a2013）+（++…+）=﹣（）+（++…+）=﹣+=．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的前n项和，训练了数列的分组求和，是中档题．三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．（1）求cosC的值；（2）求b的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．解答：解：（1）由正弦定理得：===2，即c=2a=4，∵cos（A+B﹣C）=cos（π﹣2C）=﹣cos2C=﹣2cos2C+1=，∴cosC=﹣；（2）由余弦定理得：cosC=，把a=2，c=4，cosC=﹣代入得：b=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵AC⊂平面PAC，∴面PAC⊥面PBC（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．∴，，．由，得，由==，∴，解得m=．则，．设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，∴=（1，，1）．取平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∴===．∴．∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示对应的概率，求出Y的分布列，计算“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率；（2）分析X的可能取值，求出X的分布列与数学期望．解答：解：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示概率，得Y的分布列如下；Y 2 3 4 6PA表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件A对应两种情形：①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟；②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟；∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）=×+×=；（2）X的取值为0、1、2，X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟，∴P（X=0）=P（Y＞4）=；X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟，∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）=×++=；X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟，∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=×=；∴X的数学期望是E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是得出随机变量的可能取值，把随机变量与事件结合起来，是中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调区间．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出函数g（x）的单调性极值与最值．因此函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．由于在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，可得：函数f（x）在（0，e]上不单调，于是．解得①，此时，当x变化时，可得函数f（x）的单调性极值与最值．由于x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由题意当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．由f′（x）＜0，解得0＜x＜2；由f′（x）＞0，解得2＜x．∴函数f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；单调递减区间为（0，2）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当1＜x时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．∵g（0）=0，g（1）=1，1＞g（e）=e•e1﹣e=e2﹣e＞0，∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．∵在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，∴函数f（x）在（0，e]上不单调，∴．∴①，此时，当x变化时，列表如下：xf′（x）﹣0 +f（x）单调递减极小值单调递增∵x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由于对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．令h（a）=a﹣2，，h′（a）=．令h′（a）=0，解得a=0．当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）为增函数；当a∈时，h′（a）＜0，函数h（a）为减函数．∴当a=0时，函数h（a）取得极大值即最大值，h（0）=0．即②式在恒成立．由③式解得a≤，④．由①④可得：当a∈时，对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠AC D=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．∵△ACD∽△AFC，∴，而AD=2，∴AC=4．由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），∴42=2×（2+2r），解得r=3．点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B2（C3（D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32-（B）32（C）12-（D）12（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A）∀n∈N, 2n>2n（B）∃ n∈N, 2n≤2n（C）∀n∈N, 2n≤2n（D）∃ n∈N, 2n=2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（5）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B) 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（理科）一.选择题本大题共60分，每小题5分1．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i2．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）dx等于（）A．3 B．6 C．9 D．3e4．（5分）已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．7．（5分）具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是（）A．①③B．②④C．①④D．①③④8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5 C．D．1510．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣） D．（，2π）11．（5分）如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]12．（5分）设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（）A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x1＜x2二.填空题，共20分，每题5分13．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．14．（5分）已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=．15．（5分）已知函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=．16．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．三.解答题，共70分，6小题．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．20．（12分）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．21．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．晋冀豫三省2015届高三上学期联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题本大题共60分，每小题5分1．（5分）已知复数z1=1+i，z2=2﹣2i，则•等于（）A．8 B．﹣4i C．4﹣4i D．4+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：求出两复数的共轭复数，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．解答：解：∵z1=1+i，z2=2﹣2i，∴，∴•===．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答：解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评：本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．3．（5分）dx等于（）A．3 B．6 C．9 D．3e考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：dx=3lnx=3lne2﹣3ln1=6，故选：B点评：本题主要考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题4．（5分）已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出⊥的充要条件是x=±，从而得到答案．解答：解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x2=0⇒x=±，故x=±是⊥的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．5．（5分）在递增的等比数列{a n}中，a1+a n=34，a2a n﹣1=64，且前n项和S n=42，则项数n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2a n﹣1=64，可得a1a n=64．与a1+a n=34联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1，a n．由前n项和S n=42，利用=42，解得q．再利用通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a n﹣1=64，∴a1a n=64．又a1+a n=34，联立，又递增的等比数列{a n}，解得a1=2，a n=32．∵前n项和S n=42，∴=42，即=42，解得q=4．∴32=2×4n﹣1，解得n=3．故选：D．点评：本题考查了等比数列的性质、通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：三棱锥的正视图如图所示，即可得出该三棱锥的正视图面积=．解答：解：三棱锥的正视图如图所示，∴该三棱锥的正视图面积==2．故选：B．点评：本题考查了三视图的有关知识、三角形面积计算公式，属于基础题．7．（5分）具有性质：f（）=﹣f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=lnx；④y=中所有满足“到负”交换的函数是（）A．①③B．②④C．①④D．①③④考点：进行简单的合情推理；函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：对所给的函数结合：f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的函数，进行验证即可．解答：解：显然，函数：①y=x﹣；设f（x）=y，则f（）=﹣f（x）的函数，故满足“到负”交换的概念；对于②：满足f（）=f（x），不合乎题意，对于③：y=lnx，显然，f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；对于④：y=‘当0＜x＜1时，f（）=﹣x=﹣f（x），当x＞1时，0＜＜1，f（）==﹣f（x），当x=1时，=1，∴x=1，∴f（）=﹣f（x），满足该“到负”交换的概念；故选：D．点评：本题重点考查了合情推理、函数的性质等知识，属于中档题，解题关键是理解“到负”交换的函数这一个概念．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥O A，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．（5分）已知m＞0，n＞0，且2m，，3n成等差数列，则m+++n的最小值为（）A．B．5 C．D．15考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差中项的性质可得2m+3n=5，化简式子m+++n后，由“乘1法”和基本不等式求出它的最小值．解答：解：因为2m，，3n成等差数列，所以2m+3n=5，所以m+++n=++=+，因为m＞0，n＞0，所以=（2m+3n）（）=（13+）≥（13+2）=5（当且仅当时取等号），则，所以m+++n≥5+=，则m+++n的最小值为，故选：C．点评：本题考查等差中项的性质，“乘1法”和基本不等式求最值问题，考查推理与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y中对称，则y=f（x）在下列哪个区间上是减函数（）A．（0，）B．（，π）C．（﹣，﹣） D．（，2π）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，结合所给函数图象关于y轴对称，得到该θ=﹣，然后，化简函数即可．解答：解：∵函数f（x）的图象关于y中对称，∴当x=0时，函数f（x）取得最大（或最小）值，此时，f（x）=2sin（θ﹣），∵|θ|＜，∴θ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）﹣cos（x）=﹣2cos，∴函数f（x）在区间（﹣，﹣）上为减函数，故选：C．点评：本题重点考查了三角函数公式、三角恒等变换等公式、属于中档题．11．（5分）如果变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，]∪[，+∞）D．[，]考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为动点与定点连线的斜率问题，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，求出斜率得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，3），联立，得C（1，6），联立，得B（），令z==，则z+1=，表示可行域内的点（x，y）与点（）连线的斜率，当连线过点（1，6）时，z﹣1取最大值，当连线过点（）时，z﹣1取最小值．∴的取值范围是[]．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）设函数，若f（x1）＞f（x2），则下列不等式必定成立的是（）A．x1+x2＞0 B．x12＞x22C．x1＞x2D．x1＜x2考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题；证明题．分析：由题意可得：f（x）=f（|x|），结合导数可得f′（|x|）＞0，所以f（|x|）在上为增函数，又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），进而根据函数的单调性得到答案．解答：解：由题意可得：f（x）=f（|x|），因为当时，f′（|x|）=sinx+xcosx＞0，所以此时f（|x|）为增函数．又由f（x1）＞f（x2），得f（|x1|）＞f（|x2|），故|x1|＞|x2||，所以x12＞x22．故选B．点评：本题考查运用奇函数、偶函数与增函数的概念与性质解决问题．二.填空题，共20分，每题5分13．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α=．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先求得sin（+α）=cosα=，则有cos2α=2cos2α﹣1=．解答：解：sin（+α）=cosα=，则cos2α=2cos2α﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考察了二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．14．（5分）已知||=4，||=3，且与夹角为，则•=﹣10．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意根据向量数量积运算即可求得结论．解答：解：•=•（）=﹣=4×3×cos﹣42=6﹣16=﹣10．故答案为﹣10．点评：本题主要考查向量的运算法则及数量积运算，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），设g（x）=，若g（t）=2，则实数t=3．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出函数的解析式，通过g（t）=2，利用分段函数列出方程，分别求出t的值即可．解答：解：函数f（x）=2x﹣kxα﹣2（k，α∈R）的图象经过点（1，0），所以2﹣k﹣2=0，解得k=0，所以g（x）=，∵g（t）=2，∴当t≤0时，g（t）=2t﹣2=2，解得t=2（舍去）；当t＞0时，g（t）=log2（t+1）=2，解得t=3．综上，t=3．故答案为：3．点评：本题考查分段函数的解析式的求法，分段函数的应用，函数的零点，考查计算能力．16．（5分）已知等差数列{a n}满足a2=3，点（a4，a8）在直线2x+y﹣29=0上，设b n=a n+，数列{b n}的前n项和为S n，则点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为．考点：数列与解析几何的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，从而求出等差数列{a n}，进而求数列{b n}的通项及前n项和公式，再由题意验证最小距离即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，a1=1，d=2；则a n=2n﹣1，b n=a n+=2n+2n﹣1，则S n=（1+2）+（3+4）+…+（2n+2n﹣1）=（1+3+5+…+2n﹣1）+（2+4+8+…+2n）=+=n2+2n+1﹣2，易验证点（3，S3）即（3，23）到直线2x+y﹣24=0的距离最小，即d==，即点（n，S n）到直线2x+y﹣24=0的最小距离为，故答案为：．点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法及数列的前n项和的求法，用到了拆项求和数列求和公式，属于中档题．三.解答题，共70分，6小题．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若S△ABC=，求c．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）结合正弦定理和余弦定理即可证明：△ABC为钝角三角形；（2）根据三角形的面积公式即可求c．解答：解：（1）∵sinA+sinB=2sinC，∴由正弦定理得a+b=2c，∵a=2b，∴3b=2c，即c=，则a最大，则cosA===，则A为钝角，故△ABC为钝角三角形；（2）∵cosA=，∴sinA=，∵S△ABC==，即=，b，解得b=，则c=．点评：本题主要考查解三角形的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用．18．（12分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由新定义得到不等式，求解不等式后结合不等式的解集列关于a，b的方程，则答案可求；（2）把不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立看作是关于t的一次不等式，然后由t取﹣1和1时对应的代数式大于0求得x的取值范围．解答：解：（1）由（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0，得（x+1）（a+1﹣x）＞0，∴（x+1）（x﹣a﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜a+1，∵不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，∴b=﹣1，a+1=1， a=0；（2）由（1）知，A=（﹣1，1），令g（t）=xt+（x2﹣2x+1），对于任意的t∈（﹣1，1），不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，当x=0时，上式显然成立；当x≠0时，则，即，解得：或．∴实数x的取值范围是．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，训练了更换主元法思想方法，是中档题．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0）．（1）判断函数f（x）在（0．+∞）上的单调并用函数单调性定义加以证明；（2）若a＞函数f（x）在[，5a]上的值域是[，5a]，求实数a的值．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）代入点的坐标，求得f（x），再由单调性的定义，即可证得f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由函数的单调性，即可得到最值，解方程，即可求得a．解答：解：（1）函数f（x）=（a＞0，x＞0）的图象过点（a，0），则0=，则b=1，则f（x）==，f（x）在（0．+∞）上为增函数，理由如下：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=﹣（）=，由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（0．+∞）上为增函数；（2）由于f（x）在（0．+∞）上为增函数，则函数f（x）在[，5a]上的值域是[f（），f（？5a）]，即有，解得，a=．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．20．（12分）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．解答：解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，则△ACD为直角三角形．∵△ABC是正三角形，∴取BC的中点M，连结MO，则MO∥CD，∴MO⊥面ABC，以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2，AD=4，∴AM=，∴B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），在Rt△ACD中，CD=．∴BE=CD=，即E（1，2，0）则，∵点F在线段AB上，∴设BF=xBA，（0≤x≤1）则∴F（1﹣x，0，），则，，设面CEF的法向量为，则由得，，令a=，则b=﹣1，c=，即，平面BCE的法向量为，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为，即，∴，平方得，解得：，解得x=﹣1（舍去）或x=．即F是线段AB的中点时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．21．（12分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）在中，令n=1，n=2，得，解得a n=2n﹣1，由足=，能求出a1，d和T n．（II）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．由此解得λ＜25；当n为奇数时，要使不等式恒成立，需不等式恒成立，解得λ＜﹣21．由此能够求出λ的取值范围．解答：解：（I）在中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，（3分）（II）（1）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（8分）（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵是随n的增大而增大，∴取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（10分）综合（1）（2）可得λ＜﹣21∴λ的取值范围是{λ|λ＜﹣21}．（12分）点评：本题考查等差数列的首项、公差的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列与不等式的综合运用．解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、等价转化法的合理运用．22．（12分）设函数f（x）=．（1）求函数f（x）在[，2]上的最值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（2）化简不等式f（x）﹣1＜a为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，求导讨论函数的单调性，从而求函数的最小值，证明最小值小于0即可．解答：解：（1）f′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=x•e x，故h（x）=（x﹣1）e x+1在（0，+∞）上是增函数，又∵h（0）=0，故f（x）=在（0，+∞）上是增函数，则函数f（x）在[，2]上的最小值为f（）=2﹣2，最大值为f（2）=e2﹣；（2）证明：f（x）﹣1=，不等式f（x）﹣1＜a可化为e x﹣（a+1）x﹣1＜0，令g（x）=e x﹣（a+1）x﹣1，则g′（x）=e x﹣（a+1），令e x﹣（a+1）=0解得，x=ln（a+1），故当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0，当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0，则当x=ln（a+1）时，g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1），令m（a）=（a+1），（a≥0），则m′（a）=﹣＜0，则当a＞0时，m（a）＜m（0）=0；故g min（x）=a﹣（a+1）ln（a+1）＜0，故存在正数x，使不等式f（x）﹣1＜a成立．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

2015年高考考前质量监测试题（三）理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4． 只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题（每题5分）1. A2. C3. A4. B5. D6. B7. A 8. D 9. D 10. C 11. B 12. C二、填空题（每题5分）13．2－2i 14．24x ＋y 2＝1 15. -2 16. 43三、解答题17． 解：(Ⅰ)由A C A CB cos cos sin sin sin 2=-，可得AC A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-， 即B C A A C A C A B sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =. ⋯⋯6分 （Ⅱ）由215-=⋅AC BA ，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ． 又A bc c b a cos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ．则81)(2=+c b ，即9=+c b ． ⋯⋯12分18．（Ⅰ）证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，则EF ∥CD ，EF =CD ．又AB ∥CD ，AB =CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE .由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD .由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面P AD . ⋯⋯4分所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD .所以BF ⊥平面PCD . ⋯⋯6分(Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A （-1,0,0），B （-1，2，0），C （1，4，0），P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以11130,0.x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取13x =，则(3,0,1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以22222230,0.x y z x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩取21x =，则(1,1,3)=--m ； 则15cos ,5⋅<>==m n m n m n ，所以二面角A PB C --的正弦值为.⋯⋯12分 19．解：(Ⅰ)由题意可知，若选甲题，则得0分、10分的概率均为0.5，0.5；若选乙题，则得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.⋯⋯2分又选择甲或乙题的概率均为，故得分X 的分布列如下： X0 5 7 8 9 10 P 0.25 0.1 0.05 0.2 0.05 0.35于是00.2550.170.0580.290.05100.35 6.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.⋯⋯6分(Ⅱ)设A 同学选择方案一、二后的得分分别为,Y Z ，则,Y Z 的分布列分别为 Y5 10 Z 5 7 8 9 10 P0.5 0.5 P 0.2 0.1 0.4 0.1 0.2 ⋯⋯10分故50.5100.57.5EY =⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此选择方案二更有利于A 同学取得更高的分数.⋯⋯12分 20. 解：（Ⅰ）设l ：x =my +1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将x = my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2-4my -4=0.⋯⋯2分 ∵Δ>0，∴y 1+ y 2= 4m ，y 1y 2=－4.则x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB ⋅=0可得x 1x 2+（x 1+x 2）+ y 1y 2+1=0，∴m =0.则l ：x =1，所以AB =4. ⋯⋯6分（Ⅱ）由于∆ NFB 与∆ NF A 有公共底NF ，可得|FB |=2|F A |，由相似可得y 2=－2y 1由（Ⅰ）知y 1y 2= -2y 12=－4，∴12=2,=22,y y ⎧⎪⎨-⎪⎩ 或12=2,=2 2.y y ⎧-⎪⎨⎪⎩ ⋯⋯9分由y 1+y 2= -= 4m ，得m = －；或由y 1+y 2== 4m ，得m = .故直线l 的方程为4x ±y -4＝0． ⋯⋯12分 21．（Ⅰ）解：函数()lg x a =，则'()g x 1a a x x x --=．当0a ≤时，'()0g x <,函数()gx 在定义域上单调递减；当0a >时，由g '(x )<0得x a >，此时()gx 单调递减；由g '(x )>0得0x a <<，此时()gx 单调递增；综上，当0a ≤时，()g x单调递增区间为（0，)∞+；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+∞). ⋯⋯4分（Ⅱ）证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+．因为对任意的0(,21x x <总存在>x ，使得0'()fx =成立， 所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-. ∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=--- 11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln121212--+=x x x x x x ． ⋯⋯9分 由(Ⅰ)得，当1a =时，()l ng x =，当且仅当1x =时，等号成立. 2221111,ln 10x x x x x x >∴-+<． 又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <． ⋯⋯12分选做题22．（Ⅰ）直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯1分证明：连接OC ，OD ，则∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴=，∴∠BOD =90°，即∠OED +∠ODE =90°． ∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ．∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°，∴直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯5分 （Ⅱ）解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC AC EB AE ，EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =．⋯⋯10分 23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x +y 2=1，其右焦点为（1，0），而直线l 过该点，所以直线l 与曲线C 相交.⋯⋯5分 (Ⅱ)将代入椭圆方程+y 2=1得3t 2+2t -2=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2,则t 1t 2=－，∴|P A |⋅|PB |=.由对称性可知，|PE |⋅|PF |＝ .∴|P A |⋅|PB |＋|PE |⋅|PF |＝．⋯⋯10分 24．解：（Ⅰ）∵|x +3|+|x +2|≥|(x +3)－(x +2)|=1，当(x +3)(x +2)≤0，即-3≤x ≤－2时取等号，∴a +b +c ≤1，即a +b +c 的取值范围是（-∞，1]．⋯⋯5分 （Ⅱ）∵a +b +c 最大值是1，∴取a +b +c =1时．∵a ²+ b ²+c ²=(a +b +c )²-(2ab +2bc +2ca )≥1-2( a ²+ b ²+c ²)， ∴a ²+ b ²+c ²≥．⋯⋯10分。

2015年山西省高考理科数学试卷及答案D(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(23-，23)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD=，则(A )1433AD AB AC =-+ (B )1433AD AB AC=-(C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC=-(8)函数f (x )＝(8)cos (ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为(A )(kπ−14,kπ+34,)，k ∈z (b )(2kπ−14,2kπ+34)，k ∈z(C )(k −14,k +34)，k ∈z (D )(2k −14,2k +34)，k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(A)5 (B)6 (C)7 (D)8（10）25x x y++的展开式中，52x y的系数为()(A)10 (B)20 (C)30 (D)60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ＋20π，则r＝(A )1 (B )2 (C ) 4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1)B . [33,24e -)C . [33,24e )D . [32e，1)2015年山西高考理科数学试题第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw11x +∑(x 1－x)211x +∑(w 1－w )211x +∑(x 1－x )(y －y )11x +∑(w 1－w )(y－y )46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w 1 x ， ，w ＝1811x w +∑ (Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由 高三网 )(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：(1)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ABCF ED年宣传费(千元)年销售量(2)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min{},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； (2)若OA 3，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C，2C 的极坐标方程；(2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积CD AE BO(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围一、选择题A卷选择题答案：（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）DB卷选择题答案：（1）D （2）A （3）C （4）A （5）D （6）B（7）D （8）A （9）C （10）C （11）B （12）A二、填空题（13）1 （14）（15）3（16）三、解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+22325()24x y ±+=（18）解：（I ）连结BD ，设BD AC=G ，连结EG ，FG ，EF. 在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°， 可得3.由BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC.又AE ⊥EC ，所以3EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中， 可得2DF=22.在Rt ∆FDG 中，可得FG=62在直角梯形BDFE 中，由BD=2，2DF=22， 可得FE=32.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.ACFG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ⊂平面所以平面AEC AFC ⊥平面（1）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得2(03,0),(102),(10(03,0)2A E F C -，，，，，所以 2(132),(13,2AE CF ==-，，故3cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为33. （19）解（高三网 ）：（I ）由散点图可以判断，y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的XX 、XX 号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1(B C ) (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝(A )2-(B )2(C )12-(D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为 (A )∀n ∈N ，2n >2n (B )∃n ∈N ，2n ≤2n (C )∀n ∈N ，2n ≤2n (D )∃n ∈N ，2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648(B )0.432(C )0.36(D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(B )((C )(3-，3) (D )(3-，3)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积与为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则(A )1433AD AB AC =-+ (B )1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D )4133AD AB AC =-(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为(A )()，k (b )()，k(C )()，k (D )()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5(B )6(C )7(D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是() A .[32e -，1)B . [33,24e -)C . [33,24e )D . [32e，1)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为.2rr正视图俯视图r2r(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为.(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n 项和(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图与一些统计量的值.xyw11x +∑(x 1－x )211x +∑(w 1－w )211x +∑(x 1－x )(y －y )11x +∑(w 1－w )(y －y )46.656.36.8289.8 1.6 1469108.8表中w 1x 1， ，w ＝18111x w +∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果与表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：A B C FED 年宣传费(千元)年销售量/t（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量与年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1v 1)，(u 2v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围2a 243n n n a S +=+2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案选择题答案 一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题（13）1 （14） 22325()24x y ±+=（15）3（16）二、解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+（18）解：（I ）连结BD ，设BDAC=G ，连结EG ，FG ，EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以EG=3，且EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中， 可得BE=2故DF=22.在Rt ∆FDG 中，可得FG=62.在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=22， 可得FE=322.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.ACFG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ⊂平面所以平面AEC AFC ⊥平面（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得2(03,0),(102),(10(03,0)A E F C --，，，，，所以 2(132),(13,2AE CF ==-，，故3cos ,3AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅ 所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为33.（19）解：（I ）由散点图可以判断，y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。