【同步测控 优化设计】高二人教A版数学选修2-2练习：3.1.2复数的几何意义 Word版含答案[ 高考]

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．(·青岛高二检测)在复平面内，复数＝＋对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】∵>，<，∴复数对应的点( ，)在第四象限．故选.【答案】．已知复数＝(－)＋(－－)对应的点在虚轴上，则( )．≠或≠．≠，且≠．＝．＝或＝【解析】由题意，得－＝，得＝或＝.故选.【答案】．在复平面内，为原点，向量对应的复数为－＋，若点关于直线＝－的对称点为点，则向量对应的复数为( )．－－．－＋．＋．－＋【解析】因为复数－＋对应的点为(－)，点关于直线＝－的对称点为(－)，所以对应的复数为－＋.【答案】．已知复数满足－－＝，则复数对应点的轨迹是( )．个圆．线段．个点．个圆【解析】由题意知(－)(＋)＝，即＝或＝－，∵≥，∴＝，∴复数对应点的轨迹是个圆．【答案】．实部为－，虚部为的复数所对应的点位于复平面的( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】由题意可得复数＝－＋，故在复平面内对应的点为(－)，在第二象限，故选.【答案】二、填空题．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若＝－，则＝.【解析】复数＝－对应的点为(，－)，则对应的点为(－)，所以＝－＋.【答案】－＋．已知在△中，，对应的复数分别为－＋，－－，则对应的复数为．【解析】因为，对应的复数分别为－＋，－－，所以＝(－)，＝(－，－)，又＝－＝(－，－)－(－)＝(－，－)，所以对应的复数为－－.【答案】－－．已知－＝＋(，∈)，则－，－，＋的大小关系为. 【导学号：】【解析】由－＝＋(，∈)，得＝，＝－.而－＝＝，－＝＋＝＝，＋＝－＋＝＝，∵<<，∴＋<－<－.【答案】＋<－<－三、解答题．如果复数＝(＋－)＋(－＋)(∈)对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【解】∵复数对应的点在第一象限．。

选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3[答案] C[解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2| [答案] D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42， ∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i [答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2| [答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3) [答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)． 故选C. 二、填空题15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12.三、解答题17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. *18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．[解析] 由已知得，|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ， |z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－22，所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z .所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z .。

3．1.2复数的几何意义[目标] 1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系.2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义．[重点] 复数的几何意义与复数的模．[难点] 复数的几何意义．知识点一复平面[填一填]建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．[答一答]1．实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数．知识点二 复数的两种几何意义[填一填]复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )． 复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →.[答一答]2．(1)在复平面中，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点是Z (a ，b i)吗？(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？提示：(1)不是，在复平面中，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点应该是Z (a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)前提条件是：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与OZ →相等的向量有无数个．知识点三 复数的模[填一填]向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.[答一答]3．(1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数z 满足|z |＝1，那么在复平面内，复数z 对应的点Z 的轨迹是什么？提示：(1)不一定，复数的模是非负数，即|z |≥0，当z ＝0时，|z |＝0；反之，当|z |＝0时，必有z ＝0.(2)点Z 的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆．1．对复数几何意义的理解(1)复数集中的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与平面向量OZ →＝(a ，b )也是一一对应的．(3)注意z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量的起点必须为原点，因为复平面内与OZ →相等的向量有无数个．2．复数与其对应的点的关系复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．类型一 复数与复平面内点的对应关系【例1】 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x 轴上方；(3)在直线x ＋y ＋7＝0上．【思路分析】 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与点Z (a ，b )一一对应知第(1)问要求实部小于0，虚部大于0；第(2)问要求虚部大于0；第(3)问中用实部代x ，虚部代y ，解方程即可．【解】 (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎨⎧ a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a <－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧ a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)>0，解得a >5，或a <－3.(3)点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，∴a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0， 即a 3＋2a 2－15a －30＝0， ∴(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2，或a ＝±15.∴a ＝－2，或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.(1)已知a ∈R ，则复数(a 2＋a ＋1)－(a 2－2a ＋3)i 对应的点在复平面内的第四象限．解析：由a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0， －(a 2－2a ＋3)＝－(a －1)2－2<0，故复数对应的点在第四象限．(2)已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围为(1,2)．解析：因为复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，所以⎩⎨⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1<x <5，x <2.所以1<x <2. 即1<x <2为所求实数x 的取值范围．类型二 复数与向量的对应关系【例2】 已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A1，将向量OA1→平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.(1)求向量OA1→对应的复数；(2)求点A2对应的复数．【思路分析】根据复数与点、复数与向量的对应关系求解．【解】(1)∵向量OA→对应的复数是4＋3i，∴点A对应的复数也是4＋3i，因此点A坐标为(4,3)，∴点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，故向量OA1→对应的复数是4－3i.(2)依题意知OA1→＝AA2→，而OA1→＝(4，－3)，设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，∴点A2对应的复数是8.(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)是与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ→.一一对应的.(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应复数可能改变(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝a－3i(a∈R)，z1，z2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，且OZ 1→⊥OZ 2→，则a ＝－4.(2)在复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将向量OA →向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→对应的复数是1＋i.解析：(1)依题意OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(a ，－3)，由于OZ 1→⊥OZ 2→，所以OZ 1→·OZ 2→＝0，即－3a －12＝0，解得a ＝－4.(2)在复平面内，一个向量作平移变换，从一个位置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向量都是相等向量，对应的复数也都相等，所以O ′A ′→＝OA →.因此，向量O ′A ′→对应的复数仍然是1＋i.类型三 复数模的计算【例3】 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【解】 方法1：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法2：如图，利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7<a <7.利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.已知复数z 满足|z |＝1，|z －1|＝1，求复数z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1，(a －1)2＋b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12b ＝32或⎩⎨⎧ a ＝12b ＝－32，∴z ＝12±32i.复数模的几何意义【例4】 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z |＝2；(2)2<|z |<3.【解】 (1)因为|z |＝2，即|OZ |＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.(2)不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎨⎧ |z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.【解后反思】解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．(1)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．解析：由已知得|z－i|＝5，令z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋(y－1)i|＝5.∴x2＋(y－1)2＝25.∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．(2)已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为22＋1.解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为22＋1.1．复数z＝3＋i2对应的点在复平面的(B)A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限内解析：由于z＝3＋i2＝3－1，它是一个实数，因此其对应的点在复平面的实轴上．2．已知复数z＝2－a i(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z ＝a －2i 对应的点在( C )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：复数z ＝2－a i 对应的点是(2，－a )，在直线x －3y ＋4＝0上，所以2＋3a ＋4＝0，a ＝－2，于是复数z ＝a －2i ＝－2－2i ，对应的点在第三象限．3．复数z ＝sin20°＋isin70°的模等于1.解析：|z |＝sin 220°＋sin 270°＝sin 220°＋cos 220°＝1＝1.4．若复数z 的实部为－8，模等于17，那么复数z 对应的点在第二或三象限．解析：依题意设z ＝－8＋b i(b ∈R )， 则有(－8)2＋b 2＝17，解得b ＝±15，即z ＝－8＋15i 或z ＝－8－15i ，因此z 对应的点在第二或第三象限．5．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点．(1)位于第二象限？(2)位于直线y ＝x 上？解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎨⎧ a 2＋a －2<0a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.。

．复数的几何意义．复平面．()定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．()实轴：轴叫做实轴．()虚轴：轴(除去原点)叫做虚轴．．复平面内的点与复数的对应关系．()实轴↔实数．()虚轴(除原点)↔纯虚数．()各象限的点↔非纯虚数．．复数的两种几何形式(点的横坐标是，纵坐标是)．()复数＝＋(，∈)↔点(，)．()复数＝＋(，∈)↔向量．．复数的模．向量的模叫做复数＝＋(，∈)的模，记作＝．若＝，那么＝＋(，∈)是一个实数，它的模等于．．复数－对应的点在直线()．＝上．＝－上．＋＝上．＋＝上解析：－对应的点(，－)，满足方程＋＝.故选.．若＝(，－)，则对应的复数()．等于．－．在虚轴上．既不在实轴上，也不在虚轴上解析：对应的复数为－，在虚轴上．故选.．在复平面内，复数－对应的点与原点的距离是．解析：－对应的点为(，－)，＝.()根据复数相等的定义，任何一个复数＝＋(、∈)，都可以由一个有序实数对(，)唯一确定．因为有序实数对(，)与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．()基本概念．①复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．②实轴：坐标系中的轴叫实轴．在它上面的点都表示实数．③虚轴：坐标系中的轴叫虚轴．除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．注：()习惯上，用大写字母表示点，小写字母表示复数．()复数＝＋用复平面内的点(，)表示，复平面内点的坐标是(，)，而非(，)．例如，复平面内的点(－，)表示复数－＋；反之，复数－＋对应复平面内的点的坐标是(－，)．()复数与点对应．每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数＝＋复平面内的点(，)．()复数与向量的应用．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．设复平面内的点表示复数＝＋，连接，向量是。

§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定. 教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OBOA =( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)b Z(a ，b)a o yx表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B .例2．（2003上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2004北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

3.1.2 复数的几何意义课时演练·促提升A组1.在复平面内,复数6 +5i, -2 +3i对应的点分别为A,B.假设C为线段AB的中点,那么点C对应的复数是()A.4 +8iB.8 +2iC.2 +4iD.4 +i解析:复数6 +5i对应A点坐标为(6,5), -2 +3i对应B点坐标为( -2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2 +4i.应选C.答案:C2.以下复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z = -2 -iB.z =2 -3iC.z =3 +2iD.z = -3 -2i解析:A中|z| =<3;B中对应点(2, -3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第|一象限;D中对应点( -3, -2)在第三象限,|z| =>3.答案:D3.向量对应的复数为z1 = -3 +2i,对应的复数z2 =1 -i,那么||为()A.B.C.2 D.解析:因为向量对应的复数为z1 = -3 +2i,对应的复数为z2 =1 -i,所以 =( -3,2), =(1, -1),那么 =( -2,1),所以|| =.答案:A4.复数z满足|z|2 -2|z| -3 =0,那么复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2 -2|z| -3 =0,∴(|z| -3)(|z| +1) =0,∴|z| =3,表示一个圆,应选A.答案:A5.0<a<2,复数z =a +i(i是虚数单位),那么|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析:|z| =.∵0<a<2,∴0<a2<4,∴1<,即1<|z|<.应选B.答案:B6.在△ABC中,对应的复数分别为 -1 +2i, -2 -3i,那么对应的复数为.解析:因为对应的复数分别为 -1 +2i, -2 -3i,所以 =( -1,2), =( -2, -3).又 =( -2, -3) -( -1,2) =( -1, -5),所以对应的复数为 -1 -5i.答案: -1 -5i7.复数z1 =x +y i,z2 =x +(x -3y)i,x,y∈R.假设z1 =z2,且|z1| =,那么z1 =.解析:因为z1 =z2,所以y =x -3y,即x =4y.又|z1| =,即17y2 =17,解得y =1,x =4或y = -1,x = -4,所以z1 =4 +i或z1 = -4 -i.答案:4 +i或 -4 -i8.在复平面内,假设复数z =(m2 -m -2) +(m2-3m +2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.解:(1)假设复数z的对应点在虚轴上,那么m2 -m -2 =0,所以m = -1或m =2.此时z =6i或z =0.(2)假设复数z的对应点在实轴负半轴上,那么解得m =1,即z = -2.9.z0 =x +y i(x,y∈R),z =(x +3) +(y -2)i,且|z0| =2,求复数z对应点的轨迹.解:设z =a +b i(a,b∈R),那么即∵z0 =x +y i(x,y∈R),且|z0| =2,∴x2 +y2 =4,∴(a -3)2 +(b +2)2 =4,∴复数z对应的点的轨迹是以(3, -2)为圆心,2为半径的圆.B组1.向量 =(,1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为()A. - +iB.2iC.1 +iD. -1 +i解析:向量 =(,1),设其方向与x轴正方向夹角为θ,tan θ =,那么θ =30°,按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°,又|| =2,故旋转后对应的复数为2i,应选B.答案:B2.向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,那么z =.解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y = -x上,设z = -a +a i(a>0).∵|z| =1,即 =1,∴a2 =.而a>0,∴a =.∴z = -i.答案: -i3.复数z =1 +cos α +isin α(π<α<2π)的模的取值范围为.解析:|z| =,∵π<α<2π,∴ -1<cos α<1.∴0<2 +2cos α<4.∴|z|∈(0,2).答案:(0,2)4.复数z满足z +|z| =2 +8i,那么复数z =.解析:设z =a +b i(a,b∈R),那么|z| =,代入方程得,a +b i + =2 +8i,∴解得∴z = -15 +8i.答案: -15 +8i5.设z =log2(1 +m) +ilo(3 -m)(m∈R),(1)假设z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(2)假设z在复平面内对应的点在直线x -y -1 =0上,求m的值.解:(1)由,得即解得 -1<m<0,故m的取值范围是( -1,0).(2)由得,点(l og2(1 +m),lo(3 -m))在直线x -y -1 =0上,即log2(1 +m) -lo(3 -m) -1 =0,故log2[(1 +m)(3 -m)] =1,即(1 +m)(3 -m) =2.整理得m2-2m -1 =0,解得m =1±,且当m =1±时都能使1 +m>0,且3 -m>0,故m =1±.6.在复平面内,O是原点,复数z1 = -1 +2i,z2 =1 -i,z3 =3 -2i,它们所对应的点分别是A,B,C,假设 =x +y(x,y∈R),求x +y的值.解:由,得 =( -1,2), =(1, -1), =(3, -2),所以x +y =x( -1,2) +y(1, -1) =( -x +y,2x -y).由 =x +y,可得解得即x +y =5.7.复数z =2 +cos θ +(1 +sin θ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解:设复数z =2 +cos θ +(1 +sin θ)i对应的点为Z(x,y),那么即所以(x -2)2 +(y -1)2 =1.所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：向量AB →对应的复数是2＋i ， 则BA →对应的复数为－2－i ， ∵CA →＝CB →＋BA →，∴CA →对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：D2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ， 故z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限． 答案：D3．设复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．5 B. 5 C ．6D. 6解析：z 1－z 2＝(cos θ－sin θ)＋2i ，所以|z 1－z 2|＝(cos θ－sin θ)2＋4＝5－sin 2θ， 因此当sin 2θ＝－1时，|z 1－z 2|取最大值6，故选D. 答案：D4．设复数z 满足|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，则复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．圆 B ．半圆 C ．直线D ．射线解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 由|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|得 (x －3)2＋(y ＋4)2 ＝(x ＋3)2＋(y －4)2， 化简可得3x －4y ＝0，所以复数z 在复平面上对应点的轨迹是一条直线． 答案：C5．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22D.12解析：由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，d ＝|－1|12＋12＝22. 答案：C6．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：17．设实数x ，y ，θ满足以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：∵x ＋y i ＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)， ∴x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2 ＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos(θ＋φ)， 其中sin φ＝45，cos φ＝35.∴(x 2＋y 2)max ＝50＋50＝100. 答案：1008．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析：因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a －b ＝－4.答案：－4 9．计算：(1)(2－12i)＋(12－2i)；(2)(3＋2i)＋(3－2)i ； (3) (1＋2i)＋(i ＋i 2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解析：(1)原式＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i.(2)原式＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i. (3)原式＝(1＋2i)＋(i －1)＋32＋42 ＝(1－1＋5)＋(2＋1)i ＝5＋3i.(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i.10．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数1,2＋i ，－1＋2i.D 为BC 的中点． (1)求向量AD →对应的复数； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由条件知在复平面内B (2,1)，C (－1,2)． 则D (12，32)，点D 对应的复数是12＋32i ，AD →＝OD →－OA →＝(12，32)－(1,0)＝(－12，32)，∴AD →对应复数为－12＋32i.(2)AB →＝OB →－OA →＝(1,1)， |AB →|＝2，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，|AC →|＝8＝22， BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，|BC →|＝10， ∴|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2， ∴△ABC 为直角三角形．∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2. [B 组 能力提升]1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x >0)，符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z11 1＝x的点Z 在复平面上所表示的曲线的形状是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由已知可得|z －1|＝x ，∴|x －1＋y i|＝x . ∴(x －1)2＋y 2＝x 2.∴y 2＝2x －1. 答案：C2．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析： 由|z －4i|＝|z ＋2|得 |x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|， ∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2， 即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x＋2y＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2.答案：C3．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )A ．10B ．25C ．100D ．200解析：根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100. 答案：C4．已知复数z 1＝1－2i 和z 2＝4＋3i 分别对应复平面内的A ，B 两点，求： (1)A ，B 两点间的距离；(2)线段AB 的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式． 解析：(1)|A B →|＝|z 2－z 1|＝|(4＋3i)－(1－2i)| ＝|3＋5i|＝34.所以A ，B 两点间的距离为34.(2)线段AB 的垂直平分线上任一点Z 到A ，B 两点的距离相等， 设点Z 对应的复数为z ， 由复数模的几何意义， 知|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，代入上式，得 |(x －1)＋(y ＋2)i|＝|(x －4)＋(y －3)i|， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝(x －4)2＋(y －3)2.整理上式可得线段AB 的垂直平分线的方程为3x ＋5y －10＝0.所以线段AB 的垂直平分线方程的复数形式为|z －(1－2i)|＝|z －(4＋3i)|，实数表示的一般形式为3x ＋5y －10＝0.5．设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，a ∈R ，A ＝{z ||z －z 1|<2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，已知A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解析：因为z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i ，|z －z 1|<2， 即|z －(1＋2a i)|<2，|z －z 2|≤22， 即|z －(a －i)|≤22，由复数减法及模的几何意义知，集合A 是以(1,2a )为圆心，2为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B 是以(a ，－1)为圆心，22为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A ∩B ＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即(1－a )2＋(2a ＋1)2≥32，解得a ≤－2或a ≥85.。

3。

1.2复数的几何意义Q错误!错误!18世纪,瑞士人阿甘达(J.Argand，1768—1822）注意到负数是正数的一个扩充,它是将方向和大小结合起来得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．高斯不仅将复数a＋b i表示为复平面的一点（a，b),而且阐述了复数的几何加法和乘法,这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法，那么复数与什么一一对应呢？X错误!错误!1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义（1）每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定,当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系．（2）若复数z＝a＋b i(a、b∈R），则其对应的点的坐标是(a，b），不是(a，b i)．（3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系．如图，在复平面内，复数z＝a＋b i(a、b∈R）可以用点Z（a，b)或向量O错误!表示．复数z＝a＋b i(a、b∈R）与点Z（a，b)和向量O错误!的一一对应关系如下：3．复数的模复数z＝a＋b i（a、b∈R)对应的向量为O错误!,则O错误!的模叫做复数z的模，记作｜z｜且|z|＝错误!.当b＝0时,z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋b i所对应的点Z(a,b)到原点（0,0)的距离.Y错误!错误!1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是( B ) A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[解析] 在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为（a,－b）和（－a，－b）关于y 轴对称．2．复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ C ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］z＝－1－2i对应点Z(－1,－2)，位于第三象限。

技能演练基础强化1．下面四个式子中，正确的是()A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|C．|2－i|>2i4D．i2>－i解析在复数集内，虚数与实数，虚数与虚数没有大小关系，所以A、D不正确．在B中，|2＋3i|＝22＋32＝13，|1－4i|＝12＋(－4)2＝17，∵13<17，∴B不正确．在C中，|2－i|＝5，而2i4＝2，而5>2，∴C正确．答案 C2．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为()A．(0,1) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)答案 A3．复数z＝|z|的充要条件是()A．z为纯虚数B．z为实数C．z是正实数D．z是非负实数答案 D4．复数z＝3＋i2对应点在复平面()A．第一象限内B．第四象限内C．实轴上D．虚轴上答案 C5．两个不相等的复数z1＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝c＋d i(c，b∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为()A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d解析z1＝a＋b i的对应点P1(a，b)，z2＝c＋d i的对应点P2(c，d)，∵P1与P2关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.答案 A6．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．一个圆B．两个圆C．两点D．线段解析由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)(|z|－2)＝0，∴|z|＝1，或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．答案 B7．复数2－3i对应的点在哪条直线上()A．y＝x B．y＝－xC．3x＋2y＝0 D．2x＋3y＝0解析复数2－3i对应点的坐标z(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0，∴点z在直线3x＋2y＝0上．答案 C8．复数z＝3＋4i对应的向量OZ→所在直线的斜率为________．答案43能力提升9．已知复数z＝x－2＋y i的模为22，求点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)．解 由题意可得|z |＝22， 即(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8，故点(x ，y )的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝8.10．当实数m 取何值时，在复平面内与复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 对应点满足下列条件？(1)在第三象限； (2)在虚轴上；(3)在直线x －y ＋3＝0上．解 复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点的坐标为Z (m 2－4m ，m 2－m －6)．(1)点Z 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4m <0，m 2－m －6<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <4，－2<m <3，∴0<m <3.(2)点Z 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝0，或m ＝4. (3)点Z 在直线x －y ＋3＝0上， 则(m 2－4m )－(m 2－m －6)＋3＝0， 即－3m ＋9＝0，∴m ＝3.品 味 高 考11．若复数(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析 ∵(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1. 答案 A12．已知0<a <2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)解析 |z |＝a 2＋1，∵0<a <2， ∴1＜a 2＋1＜5，∴1＜a 2＋1＜ 5. 答案 C。

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．3．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．基础梳理1．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋b i(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0), 它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．想一想：实轴与虚轴的交点是原点，对吗？解析：对，原点既在实轴上，又在虚轴上，但虚轴上的点，除了原点，都表示纯虚数．2．复数的几何意义想一想：复数z＝1－2i所对应的点在第__________象限．解析：因为复数z＝1－2i所对应的点是Z(1，－2)，所以复数z＝1－2i 所对应的点在第四象限．答案：43．复数的模→的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|且|z|＝a2＋b2．向量OZ想一想：已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模|z|＝1，则复数z所对应的的轨迹是________．解析：因为|z|＝1，即x2＋y2＝1，所以x2＋y2＝1，所以复数z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆．答案：以原点为圆心，半径为1的圆自测自评1．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(B)A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i解析：∵a＝(1，－2)，∴复平面内对应的点Z(1，－2)，∴a对应的复数为Z＝1－2i.2．已知复数z＝a＋3i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(A)A．－1＋3i B．1＋3iC．－1＋3i或1＋3i D．－2＋3i解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，a2＋（3）2＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋3i.3．两个不相等的复数z1＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(A) A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠0，b≠d解析：z1＝a＋b i的对应点P1(a，b)，z2＝c＋d i的对应点P2(c，d)，因为P1与P2关于y轴对称，所以a＝－c，b＝d.故选A.基础巩固1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是(D )A.π6 B ．－π6 C.2π3 D.5π6解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)，∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π. 2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，所以A (6，5)，B (－2，3)，又C 为线段AB 的中点，所以C (2，4)，所以点C 对应的复数是2＋4i.3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于(D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．4．若复数3－5i，1－i和－2＋a i在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝5．能力提升5．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：设z＝5＋b i(b∈R)，则|z|＝25＋b2，又|4－3i|＝42＋（－3）2＝5，∴25＋b2＝5，∴b＝0，故选A.6．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(C)A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数解析：∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．7．已知复数z＝x＋2＋(y－1)i的模为23，则点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)是__________．解析：由题意可得|z|＝23，即（x ＋2）2＋（y －1）2＝23，化简得(x ＋2)2＋(y －1)2＝12，所以点(x ，y )的轨迹方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝12.答案：(x ＋2)2＋(y －1)2＝128．复数z ＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为________．解析：|z |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，cos α2<0， ∴|z |＝－cos α2. 答案：－cos α29．实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 在复平面内的对应点：(1)在x 轴上方？(2)在直线x ＋y ＋5＝0上？解析：(1)由题意得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)由题意得(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，解得m ＝－3±414. 10．若复数z ＝(3＋2sin θ)＋(1－2cos θ)i(θ∈R)，则复数z 对应点的轨迹是什么？解析：令⎩⎨⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝1－2cos θ.消去θ，得 (x －3)2＋(y －1)2＝4.所求轨迹是以(3，1)为圆心，2为半径的圆．。