2019高考数学一轮复习第9章解析几何专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题练习理

第十节圆锥曲线的综合应用圆锥曲线中的最值问题[明技法]圆锥曲线中求解最值问题的常用方法(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．[提能力]【典例】(2018·安阳月考)设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△P AB面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2.且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22.又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝32·4－m 22·|m |3＝12⎝⎛⎭⎫4－m 22·m 2 ＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝ 2.当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号， 所以(S △P AB max )＝ 2. [刷好题]1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为________.解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.答案：22．(2018·长春模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →， 所以y 1＝－2y 2. ②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.圆锥曲线中的范围问题 [明技法]圆锥曲线中求解范围问题的常用方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[提能力]【典例】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距长为c ， 则由题设有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)， 将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2，x 1x 2＝13＋k 2.∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤12|AB |， 解得k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413. 故直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－413]∪[413，＋∞)． [刷好题](2018·贵阳月考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 28－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，且椭圆E 的焦距为4.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角为5π6的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若椭圆E的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵椭圆x 2a 2＋y 28－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，a 2＝b 2＋c 2， ∴a 2＞8－a 2，即a 2＞4， 又∵a 2－(8－a 2)＝4，∴a 2＝6， 所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(2)因为直线l 的倾斜角为5π6，则直线l 的斜率k ＝tan 5π6＝－33，∴直线l 的方程为y ＝－33(x －m )(m ＞6)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33(x －m )，x 2＋3y 2＝6，消去y 得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－62，且Δ＝(－2m )2－8(m 2－6)＞0，即m 2＜12， ∵椭圆的右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的内部， ∴FC →·FD →＜0，即(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＜0， ∴4x 1x 2－(m ＋6)(x 1＋x 2)＋m 2＋12＜0， ∴4×m 2－62－(m ＋6)×m ＋m 2＋12＜0，即m 2－3m ＜0，则0＜m ＜3， 又m ＞6，m 2＜12， ∴m ∈(6，3)．实数m 的取值范围(6，3)．。

2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题基丛点练理(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆C的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+=1的离心率为,所以椭圆C的离心率e===,所以a=2,b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0,所以x1+x2=,x1x2=.由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),因为右焦点F在圆的内部,所以·<0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2<0,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)·+(k-2)·+5=<0,所以k<.经检验,当k<时,直线l与椭圆C相交,所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,)2.(xx高考浙江卷)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①将线段AB中点M(,)代入直线方程y=mx+,解得b=-.②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈(-,0)∪(0,),则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线(不与x轴重合)交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=,所以x3==,y3=k(x3-1)=,线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(x-).在上述方程中,令x=0,得y0==.当k<0时,+4k≤-4,当且仅当=4k,k=-时等号成立;当k>0时,+4k≥4,当且仅当=4k,k=时等号成立.所以-≤y0<0或0<y0≤.综上,y0的取值范围是[-,].4.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,离心率为,直线l与椭圆相交于A,B两点,且满足|AF1|+|AF2|=4,k OA·k OB=-,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)求·的最值.解:(1)椭圆的离心率为,所以=,因为2a=|AF1|+|AF2|=4,所以a=2,即c=2,则b2=4.则椭圆的方程为+=1.(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=8(8k2-m2+4)>0,x1+x2=,x1x2=,因为k OA k OB=-,所以=-,所以y1y2=-x1x2=-·=-,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=,所以-=,即-(m2-4)=m2-8k2,所以4k2+2=m2,则·=x1x2+y1y2=-===2-,所以-2≤·<2,当k=0时,(此时m2=2满足Δ>0),即直线AB平行于x轴时,·最小值为-2.当斜率不存在时,x1=x2,y1=-y2,k OA k OB=·=-=-,所以=2,将A坐标代入椭圆方程得=2,所以·的最大值为2.综上·的最大值为2,·的最小值为-2.5.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与椭圆+=1(a>b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:+为定值;(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于,求椭圆长轴长的取值范围.(1)解:设C(x,y),由=α+β,可得(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),所以即有代入α-2β=1,有x+y=1,即点C的轨迹方程为x+y=1.(2)证明:由可得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为以MN为直径的圆过原点O,则·=0,即有x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1-+2·=0,可得a2+b2-2a2b2=0,即有+=2为定值.(3)解:+=2,可得b2=.由a>b>0,即<a2,即a>1,由e≤,则e2=≤,即1-≤,即2a2-1≤4,又a>1,所以1<a≤,即2<2a≤,故椭圆长轴长的取值范围是(2,].6.(xx淄博模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求·的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆C过点(1,),所以+=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),又F2(1,0),得·=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k≠0),M(-,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由得(x1+x2)+2(y1+y2)·=0,则-1+4mk=0,故k=.此时,直线PQ斜率为k1=-4m,PQ的直线方程为y-m=-4m(x+).即y=-4mx-m.联立方程组整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x4=-,x3x4=.于是·=(x3-1)(x4-1)+ y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=++m2+1=.由于M(-,m)在椭圆的内部,故0<m2<.令t=32m2+1,1<t<29,则·=-.又1<t<29,所以-1<·<.综上,·的取值范围为[-1,).7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆C的方程;(2)过点S(0,-)的直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由消去y得x2+(2b-4)x+b2=0.因为直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,所以b=1,因为椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,所以a=b=, 故所求椭圆C的方程为+y2=1.(2)存在.理由:当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+(y+)2=()2,当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.由解得即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).下面证明点T(0,1)就是所求的点.当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1);若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=kx-.由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则又因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-)(kx2-)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=(1+k2)·-k·+=0,所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1).所以在直角坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.。

专题14圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题．对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用题型一转化为斜率由代数式的结构特征联想县其斜率公式，将代数问题转化为斜率问题，利用图形的直见性使问题得到简化．1．试求函数()f x =的最大值、最小值．【解答】解：设CA ，CB 是椭圆22154x y +=的两条切线，如图所示，C 点坐标为(3,1)--,由椭圆的参数方程可得2sin x ty x=⎧⎪⎨=⎪⎩故()f x 的最大值为CA k ，()f x 的最小值为CB k ，设过C 与椭圆22154x y +=相切的切线方程为y kx m =+．由22154y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(45)105200k x kmx m +++-=，由△0=得m =，所以切线方程为y kx =±因为切线过点(3,1)C --，所以13k -=-所以12k k ==，所以()f x的最大值3()4f x +的最小值为34-．题型二转化为截距利用直线在y 轴上的截距的直观性，可求有关参数的取值范围，进而得到最值．2．已知x ，y 满足2211625x y +，则3z y x =-的最大值为13，最小值为．【解答】解：将所给的函数式改写为3y x z =+，则z 表示直线3y x z =+在y 轴上的截距，x ，y 满足2211625x y +，∴可行域为椭圆2211625x y +=的边界及其内部，画出图形，如图所示，由图可知，z 的最大值，最小值在直线与椭圆相切时取得，联立方程22311625y x z x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2216996164000x zx z ++-=，由△0=得：22(96)4169(16400)0z z -⨯⨯-=，解得13z =±，z ∴的最大值为13，最小值为13-，故答案为：13，13-．题型三转化为三角函数3．设A 、B 分别是椭圆22:12y C x+=的左顶点和上顶点，点P 在C 上，则点P 到直线AB 的距离的最大值为()ABCD 【解答】解：椭圆22:12y C x +=的焦点在y轴上，22a =，21b =，可得a=1b =．∴椭圆的左顶点为(1,0)A-，上顶点为B ，则AB 所在直线方程为11x=-0y -=．P 在椭圆22:12y C x +=上，∴设(cos )P θθ，P ∴到直线AB 的距离d =|2cos()4πθ++=，∴点P 到直线AB3=．故选：D ．4．过点(0,)B b -作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，求这些弦长的最大值.【解答】设椭圆上任意一点M 的坐标为(cos ,sin )a b αα则||BM ===因为a>b>0，所以220b a -<①当2210b b a ω-≤<-，即a ≥时，取22sin ,b b a ωα=-得2max ||a BM c==②当2221b b a <--，即b a <<时，取sin 1,α=-得max ||2.BM b =题型四利用基本不等式5．函数3(0,1)xy aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>上，则m n -的最大值为()A ．6B ．4C ．2D ．1【解答】解：由题意可知，函数3(0,1)xy a a a -=>≠的图象恒过定点(3,1)A ，又 点A 在双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>上，∴911(0,0)m n m n-=>>，919()()()10()104n m m n m n m n m n -=--=-+-=，当且仅当9n m m n =时，即2n =，6m =时，等号成立．故选：B ．6．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若C 的焦距为12，则OAB ∆面积的最大值为()A ．72B ．36C ．18D ．9【解答】解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，C 的焦距为12，212c ∴=，即6c =，22236a b c ∴+==，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，∴不妨取(,)A a b ，B (,)a b -，OAB ∴∆面积221136||2182222a b S a AB a b ab+=⋅=⋅⋅===，当且仅当a b ==时，等号成立，OAB ∴∆面积的最大值为18．故选：C ．7．设O 为坐标原点，点(1,0)A ，动点P 在抛物线24y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA的中点，则直线OM 的斜率的取值范围为()A ．(0，1]B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：设点P 的坐标为2(4P m ，4)(0)m m >，很明显直线的斜率为正数，则：2221244(2,2),111241242OM m m M m m k m m m m+====+++，当且仅当12m =时等号成立即直线OM 的斜率的取值范围为(0，1]．故选：A ．8．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是()A ．32[32B ．2[2C ．3[3D ．11[,32【解答】解：由题意的定义可得：12||||2PF PF a +=，再由均值不等式可得：2221212||||2||||(()22PF PF aPF PF a +⋅==，12||||PF PF ⋅的最大值为2a ，由题意可得22223c a c 可得21132e ，解得3232e，故选：A ．9．已知函数log (1)1(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n+=上，则m n +的最小值为()A ．12B ．10C ．9D ．8【解答】解：对于函数log (1)1(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象，令11x -=，求得2x =，1y =，可得它的图象恒过定点(2,1)A ．因为点(2,1)A 在椭圆221(0x y m m n+=>，0n >，)m n ≠上，则411m n +=，则414()(559n m m n m n m n m n +=+⋅+=+++=，当且仅当2m n =时，等号成立，故m n +的最小值为9，故选：C ．10．抛物线2:4E y x =的焦点为F ，E 的准线l 与x 轴交于点A ，M 为E 上的动点．则||||MF MA 的最小值为()A ．1B ．32C ．22D ．12【解答】解：由题意可得焦点(,0)F a ，准线x a =-，过点M 作MH ⊥准线，所以||||cos ||||MF MH AMH MA MA ==∠，因为//HM AF ，所以cos cos ((0,))2AMH MAF MAF π∠=∠∠∈，求cos MAF ∠的最小值等价于求MAF ∠的最大值，设(,)M x y，21tan 144y y MAF y a y x a a a y a∠====+++，所以tan (0MAF ∠∈，1]，所以(0MAF ∠∈，4π．当4MAF π∠=时，cos MAF ∠最小值为22，所以||||MF MA最小值为2．故选：C ．题型五构造二次函数利用解析几何中的代数和识，把问题转化为关于某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识来求最值．11．抛物线22y x =上的点到直线50x ++=距离的最小值是()A ．3B ．85C ．74D ．43【解答】解：因为点P 在抛物线22y x =上，设200(,)2y P y ，则点P到直线50x ++=的距离20220000|5||10||(7|244y y y d +++++===0y R ∈ ，∴当0y =74min d =．故选：C ．12．已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则||PQ 的最小为()A ．2B ．102C ．1024-D ．104【解答】解：设圆225(1)8x y -+=的圆心为A ，则(1,0)A ，设(,)P x y ，则222||(1)AP x y =-+，椭圆22193x y +=，∴2233x y =-，∴22222||2132433x AP x x x x =-++-=-+，[3x ∈-，3]，令22()243h x x x =-+，求导4()203h x x '=-=，解得32x =，()h x ∴在[3-，3)2单调递减，3(,3]2单调递增，()h x ∴在32x =时最小，即2||AP 最小值为52，10||2min AP ∴=，101010||||244min min PQ AP r =-=-=．故选：D ．13．已知抛物线21:4C y x =，过抛物线焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线2y x =-于E ，F 两点，则||EF 的最小值()A ．253BC ．12825D【解答】设AB 的方程为1y kx =+代入214y x =，得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，12||x x -=联立1112,84E y x x y y x x x =-⎧⎪⇒=⎨=-⎪⎩；同理可得284F x x =-，所以||EF ==，令43(0)k t t -=≠，34t k +=，||EF =，当0t >时，||EF =，当0t >时，82||5EF =，故||EF故选：D ．14．已知直线l 与抛物线24y x =交于A ，B 两点（点A 在第一象限，点B 在第四象限），与x 轴交于点(,0)M m ，若线段AB 的中点的横坐标为3，则m 的取值范围是()A ．(0，3]B ．(-∞，3]C ．(0，6]D ．(1，6]【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线方程为(0)x ty m m =+>．联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ty m --=，所以124y y t +=．所以21212()242x x t y y m t m +=++=+，因为A 、B 中点横坐标为3，所以126x x +=，故2323m t =-，又0m >，所以m 的取值范围(0，3]．故选：A ．15．P 为双曲线221x y -=左支上任意一点，EF 为圆22:(2)4C x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．9【解答】解：设(,)P x y ，且1x -，则221x y -=，设直线EF 的方程为2x my =+，222(2)4x my x y =+⎧⎨-+=⎩整理可得：22(1)4m y +=，解得y =设2E +，(2F +，，则2PE PF x ⋅=-，)(2y x ⋅+-，)y -222222244(2)2412(1)311m x y x x x m m=-+--+=--=--++，因为1x -，所以2(1)4x -，所以可得22(1)32435x --⨯-=，当直线的斜率为0时，则设(0,0)E ，(4,0)F ，这时(PE PF x ⋅=- ，)(4y x --，22)(4)241y x x y x x -=--+=-+，与上面类似，综上所述：5PE PF ⋅，故选：C ．16．在过动直线2x y t +=（其中(0,3])t a ∈与定直线2x y a -=的交点Q 的等轴双曲线系：22x y λ-=中，当t 取何值时，λ达到最大值与最小值？【解答】解：由22x y ax y t -=⎧⎨+=⎩得交点22(,)55t a t a Q +-，交点Q 坐标代入双曲线，222222142522()()[3(]552533t a t a a a x y t λ+-=-=-=--+，(0t ∈，3]a ，当43a t =，13max λ=又因为(0t ∈，3]a ，所以445333a aat -<-，所以45||33a a t -；当3t a =时，0min λ=，故43at =，达到最大值，3t a =时，达到最小值．17．已知抛物线2:C y x =，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B分别为切点，则MA MB的最小值为()A ．14-B ．18-C ．116-D ．12-【解答】解：设切线MA 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程得20y ty m --=，由直线与抛物线相切可得△240t m =+=，则2(4t A ，)2t ，2(4t B ，)2t -，将点A 的坐标代入x ty m =+，得24t m =-，2(4t M ∴-，0)，∴2(2t MA MB = ，2)(22t t ，4222111)(2444216t t t t -=-=--，则当212t =，即2t =±时，MA MB 的最小值为116-故选：C ．题型六利用几何图形的性质18．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求RAB ∆的最大面积．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 所在的直线方程为2py x =-，将其代入抛物线22y px =，得22304p x px -+=，∴212123,4p x x p x x +==，12|||4AB x x p ∴=-=，当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时RAB ∆的面积有最大值．设直线l 方程为y x b =+，代入抛物线方程得2220y py pb -+=，由△2480p pb =-=，得2p b =，这时(,)2pR p ，它到AB 的距离为22h p =，RAB ∴∆的最大面积为21||2AB h = ．19．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a b Ω+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为()A．1)2B．22C．1(4D ．11(,54【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称，所以可得2(D x -，2)y -，所以2221121222211212AB ADy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，将A ，B 的坐标代入可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a-=--，由题意可得：224354b a -<-<-，即223445b a <<，可得：2234145c a <-<，解得：5(5c e a =∈，1)2，故选：A ．20．设(,)P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数式-的最小值为()AB．-C-D3-【解答】解：表示点(,)P x y 到点(0,1)的距离与点(,)P x y 到点2(3,0)F 的距离之差，又双曲线22154x y -=的左右焦点左右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，根据双曲线定义可得212PF PF a =-，212PA PF PA PF a ∴-=-+，(,)P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，1122PA PF a AF a ∴-+-+=，故选：B ．21．已知点P 是抛物线24y x =上的一个动点，点P 到点的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为()A ．1B C ．2D ．1【解答】解：抛物线24y x =，抛物线的焦点坐标(1,0)．依题点P 到点A 的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P 到点A 的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，11=．故选：A ．22．已知抛物线2y ax =的焦点为(0,1)，直线1y kx =+与该抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由2y ax =，可得21x y a =，则114a =，即14a =，易知直线1y kx =+过该抛物线的焦点(0,1)，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段AB 的最小值为14a=，故选：D ．23．已知双曲线22:18x C y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,3)A ，当MAF∆的周长最小时，MAF ∆的面积为()A ．607B ．9C ．37D ．4【解答】解：如图，设C 的右焦点为F '，由题意可得a =，3c =，因为||||2MF MF a '-==，所以||||MF MF '=+，||AF =．MAF ∆的周长为||||||||||||10MA MF AF MA MF AF ''++=+++，即当A ，M ，F '三点共线时，MAF ∆的周长最小，此时直线AF '的方程为3y x =-+，联立方程组22318y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得17y =或1y =-，即此时M 的纵坐标为17，故MAF ∆的面积为111160||||||||6(322277M FF OA FF y ''⋅-⋅=⨯⨯-=．故选：A．题型七利用圆锥曲线的定义24．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点(1,1)A ，则||||PA PF +的最小值为()A ．3BC12D1【解答】解：由椭圆的方程可得24a =，焦点(1,0)F -，因为A 在椭圆内部，设右焦点F '，则(1,0)F '，则||||||2||2||||413PA PF PA a PF a PA PF ''+=+-+-=-=，当且仅当P ，A ，F '三点共线时取等号，故选：A ．25．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，设A 和B 是C 上的两点，且M 是线段AB 的中点，若||6AB =，则M 到y 轴的距离的最小值是()A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：因为C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，过A 作准线1x =-的垂线，垂足为E ，过B 作准线的垂线，垂足为D ，过M 作准线的垂线，垂足为K ，根据抛物线定义可得：||||||||||6AF BF AE BD AB +=+=，则1||(||||)32MK AE BD =+，所以，线段MN 的中点M 到C 的准线1x =-的距离最小值为3，故点M 到y 轴的距离最小值为312-=．故选：A．26．双曲线22:148x y C -=，已知O 是坐标原点，A 是双曲线C 的斜率为正的渐近线与直线233x =的交点，F 是双曲线C 的右焦点，D 是线段OF 的中点，若B 是圆221x y +=上的一点，则ABD ∆的面积的最小值为()A．2-B．33-C ．2D．13-【解答】解：由双曲线22:148x y C -=的方程知24a =，28b =，2a ∴=，b =c ==，所以斜率为正的渐近线方程为y =，与直线233x =的交点A 的坐标为2326((,33，AD点D的坐标为，所以直线AD的方程为y x =--，AD ==点B 是圆221x y +=的动点，当点B 到直线AD 的距离最小时ABD ∆的面积的最小，又点B 到直线AD113=-，所以ABD ∆的面积的最小值为126223(1)232S ==．故选：A ．27．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线(1)52x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则||||MF MN +的最小值为()A．3B．2-C．2+D．3【解答】解：由题可得抛物线焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过点M 作MD 与准线垂直，交于点D ，直线(1)52x m y m +-=-整理得(2)5m y y x +=-+，联立2050y y x +=⎧⎨-+=⎩可得32x y =⎧⎨=-⎩，即该直线过定点(3,2)-，设(3,2)P -，连接FP ，取FP 中点E ，则(2,1)E -，||EP =，若FN l ⊥，则N 在以FP 为直径的圆上，该圆方程为(2)2(1)22x y -++=，又由||||MF MD =，得||||||||MF MN MD MN +=+，如图，||||MD MN +的最小值为圆(2)2(1)22x y -++=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线1x =-垂直并交于点D '，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M ’，则||D N ''即为||||MD MN +的最小值，即||||MD MN +的最小值为||3ED r '-=．故选：D ．28．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>0y -=，右焦点为F ，点M 在双曲线左支上运动，点N 在圆22(3)1x y ++=上运动，则||||MN MF +的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：由题意双曲线2221(0)4x y b b-=>0y -=，可得2a =，则b =可得双曲线221412x y -=，焦点为(4,0)F ，(4,0)F '-，由双曲线的定义可得||2||4||MF a MF MF =+'=+'，由圆22(3)1x y ++=可得圆心(0,3)C -，半径1r =，||||4||||MN MF MN MF +=++'，连接CF '，交双曲线于M ，圆于N ，可得||||MN MF +取得最小值，且为||5CF '==，则||||MN MF +的最小值为4518+-=．故选：C ．。

专题层级快练(七十一)．(·绵阳二诊)若点和点分别为椭圆＋＝的中心和左焦点，点在椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )．．．答案解析由题意得(－，)，设(，)，则·＝(，)·(＋，)＝＋＋，又点在椭圆上，故＋＝，所以＋＋－＝＋＋＝(＋)＋，又－≤≤，所以当＝时，(＋)＋取得最大值，即·的最大值为. ．(·四川成都七中模拟)若直线过抛物线：＝的焦点交抛物线于，两点，则＋的取值范围为( )．{}．(，]．[，＋∞) ．[，]答案解析由题意知抛物线：＝的焦点的坐标为(，)，准线方程为＝－.设过点的直线的斜率存在，则直线的方程为＝(－)．代入抛物线方程，得(－)＝，化简得－(＋)＋＝.设(，)，(，)，则＝.根据抛物线性质可知，＝＋，＝＋，∴＋＝＋＝＝.当直线的斜率不存在时，直线的方程为＝，把＝代入＝得＝±，∴＋＝.故选.．(·云南曲靖一中月考)已知点为圆：＋－－＋＝上的动点，点到某直线的最大距离为.若在直线上任取一点作圆的切线，切点为，则的最小值是．答案解析由：＋－－＋＝，得(－)＋(－)＝，由圆上动点到某直线的最大距离为，可知圆心(，)到直线的距离为.若在直线上任取一点作圆的切线，切点为，则要使最小，需⊥，∴的最小值是＝.．(·河南百校联盟质检)已知椭圆：＋＝(>>)的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点(，)．()求椭圆的方程；()椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线＝上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和△的面积分别为，.求的最大值．答案()＋＝()解析()∵(，)在椭圆上，∴＋＝，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，∴××＝，＝，解得＝，＝，∴椭圆的方程为＋＝.()由()可知(，)，设(，)，(，)，(，)．则当≠时，直线的方程为＝.所以＝－，直线的方程为＝－(－)，即＋－＝(≠)，由得(＋)－＋－＝.则Δ＝(－)－(＋)(－)＝(＋)>，＋＝，＝.＝·＝·＝.又＝，∴＝·＝·＝.由得＝，∴＝××＝.∴＝·＝＝<.当＝时，直线：＝，＝，＝××＝，＝××＝，＝.综上，的最大值为.．(·山东潍坊期末)已知点为圆(＋)＋＝的圆心，为圆上一动点，(，)，点，分别是线段，上的点，且满足·＝，＝.()求动点的轨迹的方程；()过点的直线(与轴不重合)与轨迹交于，两点，线段的中点为，连接并延长交轨迹于点(为坐标原点)，求四边形的面积的最小值．答案()＋＝()解析()由题意，垂直平分，∴＋＝，∴动点的轨迹是以(－，)，(，)为焦点的椭圆，且长轴长为＝，焦距＝，所以＝，＝，＝.轨迹的方程为＋＝.()设(，)，(，)，(，)，直线的方程为＝＋，与椭圆方程联立，可得(＋)＋－＝，∴＋＝－，＝－.由弦长公式可得＝－＝，又＝－，∴(，－)．直线的方程为＝－，代入椭圆方程得＝，∴(，－)，到直线的距离＝，到直线的距离＝，∴＝(＋)＝≥，当＝时取得最小值.∴四边形的面积的最小值为.．(·河南新乡一调)设为坐标原点，已知椭圆：＋＝(>>)的离心率为，抛物线：＝－的准线方程为＝.()求椭圆和抛物线的方程；()设过定点(，)的直线与椭圆交于不同的两点，，若在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围．答案()＋＝()∈(－，－)∪(，)解析()由题意得＝，∴＝，故抛物线的方程为＝－.。

2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理题型一 范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x2x ＋2＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2016·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2⇒－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12.又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝12|MN |d＝12·|m |1＋k 2·1＋k 2·|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m 2－2＋1.故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)． 题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 (2016·锦州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________________________________________________________________________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋－2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 (2016·山东)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝m 2－k 2＋x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2km 2－k 2＋x 0＋m .同理x 2＝m 2－k 2＋x 0，y 2＝－6k m 2－k 2＋x 0＋m . 所以x2－x 1＝m 2－k 2＋x 0－m 2－k 2＋x 0＝－32k 2m 2－k 2＋k 2＋x 0，y 2－y 1＝－6k m 2－k 2＋x 0＋m －2k m 2－k 2＋x 0－m ＝－8kk 2＋m 2－k 2＋k 2＋x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2017·开封月考)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意，由圆过定点F 可知轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A 在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )A ．(14，1]B ．(14，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．(14，1＋22]答案 D解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝(14＋|AF |cos θ)＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝1－cos θ.由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<1－cos θ≤12－2＝1＋22， 即|AF |的取值范围是(14，1＋22]．2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C ．4 D ．5 答案 B解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]答案 C解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝c a≤3. 又e >1，所以1<e ≤3.故选C.4．(2016·成都质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.5．(2017·郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2. 由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12， ∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 6．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1， 半焦距c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号， 因为|GF 2|＝－2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2， 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝m 2＋1－3k 2，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14. ∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 8．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h ＋t 2. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1. 9．如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ， 即mx ＋2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4， 所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝m 2＋y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2， 所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m 2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.。

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2019年高三理科数学高考大题精练：圆锥曲线：范围（最值）问题（附解析）精练例题[2019·江南十校]已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，B 为其短轴的一个端点，1F ，2F 分别为其左右两个焦点，已知三角形12BF F 121cos 3F BF ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线22:0,3l y kx m m k ⎛⎫=+≠≠ ⎪⎝⎭与椭圆C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，M 为线段PQ 的中点，且22123x x +=，求OM PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）22132x y +=；（2）52．【解析】（1）由2222212222411cos 3233a c c F BF a c a a -∠==⇒=⇒=，222bc =，12121cos sin 3F BF F BF ∠=⇒∠=，结合1222132F BF S a a ===△，22b ⇒=， 故椭圆C 的方程为22132x y +=．另解：依题意：12122F BF S cb bc =⨯==△221212212cos 2cos1233F BF b F BF a ∠∠=-=⇒=， 解得23a =，22b =，故椭圆C 的方程为22132x y +=．（2）联立()()2222222223263602432032236y kx mk x kmx m Δk m k m x y =+⇒+++-⎧⎨⎩=⇒=+->⇒+>+=．且122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+；依题意()()()()2222212121222262632333232m km x x x x x x k k--+=⇒+-=⇒-=++，化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；设()00,M x y ，由()()22112222012121222120222362233236x y x y y x x y y k x x y x y ⎧⎪⎨+=-⇒-=--⇒==--+=⎪⎩， 又00y kx m =+，解得31,2k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭22222943142k m OM m m +-⇒==， ()()()()()2222222221222222243222111251132432k m m PQ kx x kOM PQ m m m k+-+⎛⎫⎛⎫=+-=+=⇒⋅=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+，52OM PQ ⋅≤．当且仅当221132m m -=+，即m =时，OM PQ ⋅的最大值为52．模拟精炼1．[2019·柳州模拟]已知点()1,0F-，直线:4l x=-，P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，且1122PF PM PF PM⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作直线1l（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围．（O为坐标原点）2．[2019·雷州期末]如图，已知抛物线2:2C y px =和()22:41M x y -+=，过抛线C 上一点()()000,1H x y y ≥作两条直线与M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为174． （1）求抛物线C 的方程；（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．3．[2019·周口调研]已知直线2py x =-与抛物线()2:20C y px p =>交于B ，D 两点，线段BD 的中点为A ，点F 为C 的焦点，且OAF △（O 为坐标原点）的面积为1． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()2,2G 作斜率为()2k k ≥的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线OM ，ON 分别交直线2y x =+于P ，Q 两点，求PQ 的最大值．答案与解析1．【答案】（1）22143x y +=；（2）30,2⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）设动点(),P x y ，则()4,M y -，由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2214PF PM ∴=，即2214PF PM ∴=，()2221144x y x ∴++=+，化简得22143x y +=．（2）由（1）知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1322OAB S AB OF ∴=⋅=△， 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为()10x my m =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y ⎧⎪⎨-+=⎪⎩=，得()2234690m y my +--=． 则21441440Δm =+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，1211122OABS OF y y =⋅-=⨯△=令()211m t t +=>，则OAB S ==△，令()196f t t t =++，则()219f t t'=-，当1t >时，()0f t '>，()196f t t t∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f∴>=，32OAB S ∴<△，综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤⎥⎝⎦．2．【答案】（1）2y x =；（2）14-；（3）11-．【解析】（1）∵点M 到抛物线准线的距离为17424p +=，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =． （2）∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点()4,2H ，∴HE HF k k =-， 设()11,E x y ，()22,F x y ，∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-．212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． （3）设点()()2,1H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为()()22242715x m y m m m -+-=-+，……①M 方程：()2241x y -+=．……②①-②得：直线AB 的方程为()()()22422442714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距()1541t m m m=-≥， ∵t 关于m 的函数在[)1,+∞单调递增，∴min 11t =-． 3．【答案】（1）24y x =；（2） 【解析】（1）设()11,B x y ，()22,D x y ，则12121y y x x -=-． 由2112y px =，2222y px =两式相减，得()()121212()2y y y y p x x -+=-． ∴12121222x x y y p p y y -+=⋅=-，所以点A 的纵坐标为122y y p +=， ∴OAF △的面积1122pS p =⨯⨯=，解得2p =．故所求抛物线的标准方程为24y x =．（2）直线l 的方程为()22y k x -=-．由方程组()2224y k x y x-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，得24880ky y k --+=． 设233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则344y y k +=，3488y y k =-．直线OM 的方程为34y x y =，代入2y x =+，解得3324y x y =-，所以33328,44y P y y ⎛⎫⎪--⎝⎭．同理得44428,44y Q y y ⎛⎫⎪--⎝⎭．所以484PQ y =-==-== 因为2k ≥，所以1102k <≤，所以当112k =，即2k =时，PQ 取得最大值。