(毕节专版)2019年中考数学复习第3章函数及其图象阶段测评(三)函数及其图象(精练)试题

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第12课时二次函数(时间：45分钟）1．(2018·临安中考)抛物线y＝3（x－1）2＋1的顶点坐标是( A）A．（1，1) B．(－1，1）C．(－1，－1）D．（1，－1）2．（2018·牡丹江中考）将抛物线y＝x2＋2x＋3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是( D）A．（0，3)或（－2，3）B．(－3，0)或（1，0)C．(3，3）或（－1，3）D．(－3，3)或（1，3)3．(2018·山西中考)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a（x－h)2＋k的形式为( B）A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝（x＋4）2＋7 D．y＝（x＋4)2－254．(2018·泸州中考)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量），当x≥2时,y的值随x值的增大而增大，且－2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为（D)A．1或－2 B．－2或错误!C．－错误!D．15．(2018·德州中考）如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（B)6．（2018·枣庄中考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)图象的一部分，且过点A （3，0),二次函数图象的对称轴是直线x＝1,下列结论正确的是（D）A．b2〈4ac B．ac〉0C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝07．(2018·连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h m与飞行时间t s 满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( D)A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B．点火后24 s火箭落于地面C．点火后10 s的升空高度为139 mD．火箭升空的最大高度为145 m8．(2018·宁波中考）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P。

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第三章 函数及其图象
第10课时 一次函数
一次函数的图象与几何变换
1.（2017·毕节中考）把直线y ＝2x －1向左平移1个单位长度，平移后直线的关系式为（ B ）
A .y ＝2x －2
B .y ＝2x ＋1
C .y ＝2x
D .y ＝2x ＋2
一次函数与一元一次不等式
2.（2014·毕节中考）如图，函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ≥ax ＋4的解集为（ A ）
A .x ≥3
2 B .x ≤
3 C .x ≤32
D .x ≥3
一次函数的应用
3.（2018·毕节中考）某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件.
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设该护肤品的日销售利润为w （元），当销售单价x 为多少时，日销售利润w 最大，最大日销售利润是多少？
解：（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧44k ＋b ＝72，48k ＋b ＝64，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160. ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋160；。

第二编 重难点专题突破篇专题一 函数的图象与性质毕节中考备考攻略纵观近5年毕节中考数学试卷,函数的图象与性质是每年的必考内容,其中2014年第14题考查一次函数的图象与一元一次不等式；2015年第14题、2018年第15题考查二次函数的图象与系数的关系；2016年第14题考查二次函数图象与一次函数图象的综合；2017年第18题考查一次函数与反比例函数的交点问题.预计2019年将继续考查函数的图象与性质,可能考查二次函数图象与一次函数图象的综合,也可能考查反比例函数图象与一次函数图象的综合.1.根据函数图象确定系数的取值范围 (1)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与k,b ：(2)反比例函数y ＝kx的图象与k ：(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与a,b,c ：①开口方向⎩⎪⎨⎪⎧向上，a ＞0，向下，a ＜0；②对称轴⎩⎪⎨⎪⎧在y 轴右侧⇔ab<0，y 轴⇔b ＝0，在y 轴左侧⇔ab>0；③与y 轴的交点⎩⎪⎨⎪⎧在x 轴上方⇔c ＞0，在原点⇔c ＝0，在x 轴下方⇔c ＜0；④与x 轴⎩⎪⎨⎪⎧有两个不同交点⇔Δ＝b 2－4ac ＞0，有一个交点⇔Δ＝b 2－4ac ＝0，没有交点⇔Δ＝b 2－4ac ＜0.2.根据函数图象确定方程(组)的解(1)函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标的值－b k 是方程kx ＋b ＝0的解；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x轴交点的横坐标的值是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；(2)两个函数的图象交点的坐标是这两个函数的表达式组成的方程组的解. 3.根据函数图象确定不等式的解集当两个函数的自变量取同一个值时,函数图象在上方的函数值大于图象在下方的函数值.运用“数形结合”思想可以很直观地写出两个函数表达式所形成不等式的解集.中考重难点突破函数图象与系数例1 (2018·遂宁中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示,则以下结论同时成立的是( C )A .⎩⎪⎨⎪⎧abc ＞0，b 2－4ac ＜0 B .⎩⎪⎨⎪⎧abc ＜0，2a ＋b ＞0C .⎩⎪⎨⎪⎧abc ＞0，a ＋b ＋c ＜0D .⎩⎪⎨⎪⎧abc ＜0，b 2－4ac ＞0 【解析】利用抛物线的对称轴在直线x ＝1的右侧得到ab ＜0,b ＜－2a,即b ＋2a ＜0；利用抛物线与y 轴交点在x 轴下方得到c ＜0,即可判断abc ＞0；利用抛物线与x 轴有2个交点可判断b 2－4ac ＞0；利用x ＝1时函数图象在x 轴下方可判断a ＋b ＋c ＜0.函数图象与方程(组)例2 (2018·邵阳中考)如图,一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2,0),与y 轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是__x ＝2__.【解析】一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴交点横坐标的值即为方程ax ＋b ＝0的解.因此由一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2,0)即可知方程ax ＋b ＝0的解.函数图象与不等式例3 (2018·遵义中考)如图,直线y ＝kx ＋3经过点(2,0),则关于x 的不等式kx ＋3＞0的解集是( B )A .x ＞2B .x ＜2C .x ≥2D .x ≤2【解析】方法一：先根据直线y ＝kx ＋3上点(2,0)的得到2k ＋3＝0,解得k ＝－1.5,可得直线的解析式为y ＝－1.5x ＋3,然后解不等式－1.5x ＋3＞0即可；方法二：由图知直线y ＝kx ＋3与x 轴的交点的坐标为(2,0),函数图象在x 轴上方(函数值y ＞0)时自变量x 的取值范围为x ＜2,则不等式kx ＋3＞0的解集可知.1.(2018·怀化中考)函数y ＝kx －3与y ＝kx(k≠0)在同一坐标系内的图象可能是( B )2.(2018·赤峰中考)如图,已知一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象相交于点P,则关于x 的方程－x ＋b ＝kx的解是__x 1＝1,x 2＝2__.(第2题图)(第3题图)3.(2018·大庆中考)如图,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1,0),B(3,0),C(4,y 1),若点D(x 2,y 2)是抛物线上任意一点,有下列结论：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ；②若－1≤x 2≤4,则0≤y 2≤5a ；③若y 2＞y 1,则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( B )A .1B .2C .3D .44.(2018·安顺中考改编)如图,已知直线y ＝k 1x ＋b 与x 轴,y 轴相交于P,Q 两点,与y ＝k 2x的图象相交于A(－2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB.给出下列结论：①k 1k 2<0；②m＋12n ＝0；③S △AOP ＝S △BOQ ；④不等式k 1x ＋b>k 2x 的解集是x<－2或0<x<1.其中正确结论的个数是( C )A .1B .2C .3D .4毕节中考专题过关1.(2018·青岛中考)已知一次函数y ＝b a x ＋c 的图象如图,则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( A )2.(2018·永州中考)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y ＝b x (b≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx(a≠0)的图象大致是( D )3.(2018·达州中考)如图,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1,0),与y 轴的交点B 在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc ＜0；②9a＋3b ＋c ＞0；③若点M(12,y 1),N(52,y 2)是函数图象上的两点,则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25. 其中正确结论有( D )A .1个B .2个C .3个D .4个4.(2018·大连中考)如图,一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x 的图象相交于A(2,3),B(6,1)两点,当k 1x ＋b ＜k 2x时,x 的取值范围为( D )A .x ＜2B .2＜x ＜6C .x ＞6D .0＜x ＜2或x ＞65.(2018·岳阳中考)在同一直角坐标系中,二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象如图,若两个函数图象上有三个不同的点A(x 1,m),B(x 2,m),C(x 3,m),其中m 为常数,令ω＝x 1＋x 2＋x 3,则ω的值为( D )A .1B .mC .m 2D .1m。

专题一函数的图象与性质纵观近5年毕节中考数学试卷，函数的图象与性质是每年的必考内容, 其中2014年第14题考查一次函数的图象与一元一次不等式；2015年第14题、2018年第15题考查二次函数的图象与系数的关系2016 年第14题考查二次函数图象与一次函数图象的综合；2017年第18题考查一次函数与反比例函数的交点问题•预计2019年将继续考查函数的图象与性质，可能考查二次函数图象与一次函数图象的综合也可能考查反比例函数图象与一次函数图象的综合.1・根据函数图象确定系数的取值范围⑴一次函数y二kx + b的图象与k z b :⑵反比例函数y二kx的图象与k :⑶二次函数y二ax2 + bx + c的图象与a,b,c :①开口方向向上,a>0 ,向下，a v0 ;②对称轴在y轴右侧oabvO , y轴ob二0 ,在y轴左侧oab>0 ;③与y轴的交点在x轴上方oc > 0 ,在原点oc二0 ,在x轴下方oc④与x轴有两个不同交点oA = b2 - 4ac > 0 ,有一个交点oA = b2-4ac = 0 ,没有交点oA = b2 - 4ac < 0.2 •根据函数图象确定方程（组）的解（1）函数y二kx + b的图象与x轴交点的横坐标的值-bk是方程kx + b 二0的解；函数y二ax2 + bx + c的图象与x轴交点的横坐标的值是方程ax2 + bx + c = 0的解；⑵两个函数的图象交点的坐标是这两个函数的表达式组成的方程组的解.3 •根据函数图象确定不等式的解集当两个函数的自变量取同一个值时，函数图象在上方的函数值大于图象在下方的函数值•运用〃数形结合〃思想可以很直观地写出两个函数表达式所形成不等式的解集.中考重难点突破函数图象与系数例1 （2018•遂宁中考）已知二次函数y二ax2 + bx + c（aHO）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（C ）A.abc > 0 , b2 - 4ac < 0B.abc < 0 , 2a + b > 0C.abc>0 , a + b + cvOD.abc<0 , b2 - 4ac>0【解析】利用抛物线的对称轴在直线x = 1的右侧得到ab < 0,b < 2a,即b + 2a v 0 ;利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c < 0,即可判断abc>0;利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2-4ac>0; 利用X二1时函数图象在x轴下方可判断a + b + c V 0.函数图象与方程(组)例2 (2018•邵阳中考)如图，一次函数y = ax + b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知，关于x的方程ax + b = 0的解是_x二2_.【解析】一次函数y二ax + b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax + b二0的解•因此由一次函数y二ax + b的图象与x轴相交于点(2,0)即可知方程ax + b二0的解.函数图象与不等式例3 (2018•遵义中考)如图，直线y=kx + 3经过点(2,0),则关于x的不等式kx + 3>0的解集是(B )A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2【解析】方法一:先根据直线y二kx + 3上点(2Q)的得到2k + 3二0,解得k二・L5,可得直线的解析式为y二・1.5x + 3,然后解不等式- 1.5x + 3 > 0 即可;方法二：由图知直线y二kx + 3与x轴的交点的坐标为(2,0),函数图象在x轴上方(函数值y > 0)时自变量x的取值范围为x < 2,则不等式kx + 3>0的解集可知.1. (2018-怀化中考)函数y二kx - 3与y二kx(kHO)在同一坐标系内的图象可能是（B ）2. （2018•赤峰中考）如图，已知一次函数y二・x + b与反比例函数y二kx（kHO）的图象相交于点P,则关于x的方程-x + b = kx的解是_xl=l,x2 = 2_.（第2题图）（第3题图）3. （2018•大庆中考）如图二次函数y = ax2 + bx + c的图象经过点A（ -1, 0）,B（3,0）,C（4,yl）,若点D（x2,y2）是抛物线上任意一点,有下列结论：①二次函数y二ax2 + bx + c的最小值为-4a ;②若-15x254,则0<y2<5a ;③若y2 >yl则x2 >4 ;④一元二次方程cx2 + bx + a = 0 的两个根为-1和13.其中正确结论的个数是（B ）A.lB.2C.3D.44. （2018•安顺中考改编）如图，已知直线y二klx + b与x轴,y轴相交于P,Q两点与y二k2x的图象相交于A（ - 2小）甩（1小）两点连接OAQB.给出下列结论:®klk2<0 ;②m + 12n = 0 ;③S^AOP 二S^BOQ ;④不等式klx + b>k2x 的解集是xv - 2或Ovxv 1.其中正确结论的个数是（C ）A.lB.2C.3D.4毕节中考专题过关l. （2018-ff岛中考）已知一次函数y二bax + c的图象如图，则二次函数y二ax2 + bx + c在平面直角坐标系中的图象可能是（2. （2018•永州中考）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y二bx （b/ 0）与二次函数y二ax2 + bx（aH0）的图象大致是（D ）3. （2018哒州中考）如图二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴交于点A（ -1,0）,与y轴的交点B在（0,2）与（0,3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x = 2.下列结论:①abc<0 ;②9a + 3b + c>0 ;③若点M（12,yl）zN（52,y2）是函数图象上的两点，则yl<y2;@ -35<a< -25. 其中正确结论有（D ）A.1个B.2个C.3个D.4个4. （2018•大连中考）如图，一次函数y二klx + b的图象与反比例函数y =k2x的图象相交于A（2,3）,B（6/1）两点当klx + b< k2x时,x的冃范围为（D ）A.x<2B.2<x<6C.x> 6D.O vx<2 或x>65. （2018•岳阳中考）在同一直角坐标系中二次函数y二x2与反比例函数y二lx（x > 0）的图象如图若两个函数图象上有三个不同的点A(xl z m)/B(x2z m)z C(x3/m)z M中m 为常数，令3 二xl + x2 + x3,则3的值为（D ）。

第12课时 二次函数毕节中考真题试做二次函数的图象与性质1.（2018·毕节中考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④a－b ＋c ＞0，其中正确的个数是（ D ）A .1B .2C .3D .4二次函数的图象与平移2.（2018·毕节中考）将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ A ）A .y ＝（x ＋2）2－5B .y ＝（x ＋2）2＋5C .y ＝（x －2）2－5D .y ＝（x －2）2＋5二次函数的应用3.（2014·毕节中考）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1≤x≤10），求出y 关于x 的函数关系式；（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次.解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件，∴第x 档次，提高的档次是（x －1）档. ∴y ＝[6＋2（x －1）][95－5（x －1）]，即y ＝－10x 2＋180x ＋400（其中x 是正整数，且1≤x≤10）； （2）由题意，得－10x 2＋180x ＋400＝1 120， 即x 2－18x ＋72＝0， 解得x 1＝6，x 2＝12（舍去）. 答：该产品的质量档次为第6档.二次函数的综合4.（2018·毕节中考）如图，以D 为顶点的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO ＋PA 的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵点B ，C 在直线y ＝－x ＋3上， ∴B （3，0），C （0，3）.又∵点B ，C 在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上， ∴－9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，∴b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）作点A 关于直线BC 的对称点A′，连接A′O，交BC 于点P ，连接A′A，A ′B ，则BC 垂直平分A′A，PO ＋PA 的最小值为A′O.∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴点A （－1，0）. ∴OB ＝OC ＝3，OA ＝4.又∵∠BOC＝90°，∴∠OBC ＝45°， ∴A ′B ＝AB ＝4，∠A ′BC ＝∠ABC＝45°， ∴∠ABA ′＝90°，∴A ′B ⊥AB ，∴A ′（3，4）. ∴直线A′O 的表达式为y ＝43x.∵点P 是直线A′O 和BC 的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝127.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫97，127；（3）在x 轴上存在点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似. ∵点D 是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点， ∴D （1，4）.又∵A（－1，0），B （3，0），C （0，3）， ∴AC ＝10，BC ＝32，BD ＝25，CD ＝2， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2.∴△BCD 为直角三角形，且∠BCD＝90°. ∵OA CD ＝OC BC ＝AC BD ＝22，∠BCD ＝∠COA＝90°， ∴△COA ∽△BCD.①当点Q 与原点重合时，△CQA ∽△BCD ，此时Q （0，0）； ②过点C 作QC⊥AC，交x 轴于点Q.由∠CAO＝∠QAC，∠AOC ＝∠ACQ＝90°，得△COA∽△QCA，则△COA∽△QCA∽△BCD， 则AC AQ ＝AO AC ，即AQ ＝AC 2AO ＝（10）21＝10，则OQ ＝9，此时Q （9，0）. 综上所述，在x 轴上存在点Q （0，0）或（9，0），使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似.毕节中考考点梳理二次函数的概念及解析式1.二次函数的定义一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的形式，则称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.2.三种表示方法（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）；（2）顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a≠0），其中二次函数的顶点坐标是（h ，k ）； （3）两点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（a≠0），其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标. 3.三种表达式之间的关系顶点式――→ 配方 一般式――→因式分解两点式4.二次函数表达式的确定（1）求二次函数表达式一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式； ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为y ＝a （x －h ）2＋k 的形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设为y ＝a （x －x 1）（x －x 2）的形式. （2）步骤：①设二次函数的表达式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式.二次函数的图象及其性质5.图象性质6.系数a ，b ，c 与二次函数图象的关系二次函数图象的平移7.平移步骤（1）将抛物线解析式转化为顶点式y ＝a （x －h ）2＋k ，确定其顶点坐标； （2）保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标（h ，k ）即可. 8.平移规律二次函数与一元二次方程的关系9.二次函数与一元二次方程及b 2－4ac 的关系. 没有交点1.（2016·毕节中考）一次函数y ＝ax ＋c （a ≠0）与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）2.（2018·成都中考）关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是（ D ）A .图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B .图象的对称轴在y 轴的右侧C .当x<0时，y 的值随x 值的增大而减小D .y 的最小值为－33.（2018·安顺模拟）如图，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的对称轴是直线x ＝－1，下列结论：①ab ＞0，②a ＋b ＋c ＞0， ③当－2＜x ＜0时，y ＜0. 正确的个数是（ D ）A .0个B .1个C .2个D .3个4.（2018·哈尔滨中考）将抛物线y ＝－5x 2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为（ A ）A .y ＝－5（x ＋1）2－1B .y ＝－5（x －1）2－1C .y ＝－5（x ＋1）2＋3D .y ＝－5（x －1）2＋35.（2018·安徽中考）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2（单位：元）.（1）用含x 的代数式分别表示W 1，W 2；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？ 解：（1）W 1＝（50＋x ）（160－2x ）＝－2x 2＋60x ＋8 000，W 2＝19（50－x ）＝－19x ＋950； （2）由题意，得W 总＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8 950. ∵－2＜0，－412×（－2）＝10.25，∴当x ＝10时，W 总最大，W 总的最大值为－2×102＋41×10＋8 950＝9 160.答：当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9 160元.6.（2015·毕节中考）如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0），B （3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M′.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.解：（1）将A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； （2）∵y＝x 2－2x －3＝（x －1）2－4， ∴点M 的坐标为（1，－4）， ∴点M′的坐标为（1，4）. 设直线AM′的解析式为y ＝kx ＋b ， 将A ，M ′点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.∴直线AM′的解析式为y ＝2x ＋2. 联立直线AM′与抛物线的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝x 2－2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝12.∴点C 的坐标为（5，12）. ∴S △CAB ＝12×4×12＝24；（3）存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形. 由APBQ 是正方形，A （－1，0），B （3，0），得P （1，－2），Q （1，2）或P （1，2），Q （1，－2）. ①当顶点P （1，－2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2－2，将A 点坐标代入，得 4a －2＝0，解得a ＝12.此时抛物线的解析式为y ＝12（x －1）2－2；②当顶点P （1，2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋2，将A 点坐标代入，得 4a ＋2＝0，解得a ＝－12.此时抛物线的解析式为y ＝－12（x －1）2＋2.综上所述，存在抛物线y ＝12（x －1）2－2或y ＝－12（x －1）2＋2，使得四边形APBQ 为正方形.中考典题精讲精练二次函数的图象与性质例1 （2014·毕节中考）抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是（ B ）A .开口向下B .对称轴是y 轴C .都有最高点D .y 的值随x 值的增大而增大【解析】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象具有如下性质：①若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的开口向上，当x ＜－b 2a 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x ＞－b2a 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＝－b 2a 时，y 取最小值4ac －b 24a ，即顶点是抛物线的最低点；②若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的开口向下，当x ＜－b 2a 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＞－b 2a 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x ＝－b2a 时，y 取最大值4ac －b 24a ，即顶点是抛物线的最高点.抛物线y ＝2x 2开口向上，对称轴为y 轴，有最低点，顶点为原点；抛物线y ＝－2x 2开口向下，对称轴为y 轴，有最高点，顶点为原点；抛物线y ＝12x 2开口向上，对称轴为y 轴，有最低点，顶点为原点.二次函数图象的平移例2 （2018·安顺模拟）将抛物线y ＝－2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ D ）A .y ＝－2（x ＋1）2B .y ＝－2（x ＋1）2＋2C .y ＝－2（x －1）2＋2D .y ＝－2（x －1）2＋1【解析】根据二次函数平移的特点“左加右减、上加下减”的方法可以得出抛物线平移后的解析式.二次函数图象与系数的关系例3 （2018·恩施中考）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图，下列判断中： ①abc ＞0； ②b 2－4ac ＞0； ③9a －3b ＋c ＝0；④若点（－0.5，y 1），（－2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2； ⑤5a －2b ＋c ＜0. 正确的个数是（ B ）A.2B.3C.4D.5【解析】对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点的位置：抛物线与y轴交于点（0，c）.抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个不同交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.①∵对称轴在y轴左侧，∴ab＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0. ∴abc＜0；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0；③∵抛物线与x轴交于（－3，0），∴9a－3b＋c＝0；④∵点（－0.5，y1），（－2，y2）均在抛物线上，－1.5＞－2，∴y1＜y2；⑤∵抛物线的对称轴为x＝－1，经过（1，0），∴－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，∴b＝2a，c＝－3a.∴5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a＜0.二次函数的应用例4（2018·衢州中考）某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 m处达到最高，高度为 5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式，代入点（16，0）可求出b的值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝a （x －3）2＋5（a≠0），将（8，0）代入y ＝a （x －3）2＋5，得25a ＋5＝0，解得a ＝－15.∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝－15（x －3）2＋5（0＜x ＜8）；（2）当y ＝1.8时，－15（x －3）2＋5＝1.8，解得x 1＝－1（舍去），x 2＝7.答：为了不被淋湿，身高1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心7 m 以内； （3）当x ＝0时，y ＝－15（x －3）2＋5＝165.设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝－15x 2＋bx ＋165.∵该函数图象过点（16，0）， ∴0＝－15×162＋16b ＋165，解得b ＝3.∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝－15x 2＋3x ＋165＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1522＋28920.答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920m .二次函数的综合例5 （2017·毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （－1，0），B （4，0），C （0，－4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积.【解析】（1）由A ，B ，C 三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可知点P 在线段OC 的垂直平分线上，则可求得点P 的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点P 的坐标；（3）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用点P 的坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及点P 的坐标.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A （－1，0），B （4，0），C （0，－4）三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝－4，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝－4. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，则PO ＝PC ，此时P 点即为满足条件的点.∵点C （0，－4），∴D （0，－2），∴点P 的纵坐标为－2.把y ＝－2代入y ＝x 2－3x －4，解得x ＝3＋172或x ＝3－172（舍去）.∴存在点P ，使△P OC 是以OC 为底边的等腰三角形，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋172，－2；（3）设P 点坐标为（t ，t 2－3t －4）.过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，则S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝12PF·OE ＋12PF·BE＝12PF·（OE ＋BE ）＝12PF·OB.∵B（4，0），C （0，－4），∴直线BC 的解析式为y ＝x －4， ∴F （t ，t －4）.∴PF ＝（t －4）－（t 2－3t －4）＝－（t －2）2＋4. 当t ＝2时，PF 有最大值4.∴S △PBC 有最大值12×4×4＝8，此时t 2－3t －4＝－6.∴当点P 运动到点（2，－6）时，△PBC 的面积最大，最大面积为8.1.已知一次函数y ＝b a x ＋c 的图象如图，则二次函数y ＝ax 2＋bx －c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）2.（2018·上海中考）下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是（ C ）A .开口向下B .对称轴是y 轴C .经过原点D .在对称轴右侧部分是下降的3.（2018·北部湾中考）将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为（ D ）A .y ＝12（x －8）2＋5B .y ＝12（x －4）2＋5C .y ＝12（x －8）2＋3D .y ＝12（x －4）2＋34.（2018·广安中考）抛物线y ＝（x －2）2－1可以由抛物线y ＝x 2平移而得到，下列平移正确的是（ D ）A .先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B .先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C .先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D .先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5.（2018·滨州中考）如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，B （－1，0），有下列结论：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a－b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的个数是（ B ）A .1B .2C .3D .4,（第5题图）6.（2018·白银中考）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1.对于下列说法：①ab＜0；②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④a＋b≥m（am＋b）（m为实数）；⑤当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是（A）,（第6题图）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.（2018·北京中考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c （a≠0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（B）A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m8.（2018·滨州中考）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：（1）当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝1，x 2＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s ； （2）当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝0，x 2＝4. ∴x 2－x 1＝4.答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s ； （3）y ＝－5x 2＋20x ＝－5（x －2）2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时，y ＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s 时最大，最大高度是20 m .9.（2018·毕节模拟）已知抛物线y ＝ax 2＋ax ＋b （a≠0）与直线y ＝2x ＋m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b. （1）求b 与a 的关系式和抛物线的顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N ，求△DMN 的面积与a 的关系式；（3）当a ＝－1时，直线y ＝－2x 与抛物线在第二象限交于点G ，点G ，H 关于原点对称，现将线段GH 沿y 轴向上平移t 个单位长度（t ＞0），若线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求t 的取值范围.解：（1）∵点M （1，0）在抛物线y ＝ax 2＋ax ＋b 上， ∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴y ＝ax 2＋ax －2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－9a 4，∴抛物线顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－9a 4；（2）∵点M （1，0）在直线y ＝2x ＋m 上， ∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2， ∴y ＝2x －2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝ax 2＋ax －2a ，则ax 2＋（a －2）x －2a ＋2＝0， 解得x ＝1或x ＝2a －2.∴N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －2，4a －6.∵a ＜b ，∴a ＜－2a ，∴a ＜0.如图1，设抛物线的对称轴交直线MN 于点E ，∴点E 的横坐标为＝－12.又∵点E 在直线y ＝2x －2上，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3. 设△DMN 的面积为S.∵M （1，0），N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－2，4a －6，∴S ＝S △DEN ＋S △DEM ＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －2－1|·|－9a 4－（－3）|＝274－3a －278a ；（3）当a ＝－1时，抛物线的解析式为y ＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∵点G 为抛物线与直线y ＝－2x 的交点， ∴－x 2－x ＋2＝－2x ，解得x 1＝2，x 2＝－1， ∴G （－1，2）.∵点G ，H 关于原点对称， ∴H （1，－2）.设直线GH 平移后的解析式为y ＝－2x ＋t ， 当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y ＝－2x ＋t ，得t ＝2.∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时，方程－x 2－x ＋2＝－2x ＋t ，即x 2－x －2＋t ＝0有两个不相等的根，∴Δ＝1－4（t －2）＝9－4t ＞0，∴t ＜94.∴2≤t ＜94.。

专题三 规律探索与阅读理解毕节中考备考攻略规律探索与阅读理解指的是给出一定条件,让考生认真分析、仔细观察、综合归纳、大胆猜想,得出结论,并加以验证的数学探索题.纵观近5年毕节中考数学试卷,规律探索与阅读理解多次出现,其中2014年第18题考查数的规律,2017年第20题考查式的计算规律,2018年第20题考查式的计算规律.预计2019年将继续考查规律探索与阅读理解,有可能考查图形规律的探索.从特殊情况入手探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.中考重难点突破数的规律例1 (2018·绵阳中考)将全体正奇数排成一个三角形数阵.根据以上排列规律,数阵中第25行的第20个数是( A )A .639B .637C .635D .633【解析】根据三角形数阵可知,第n 行奇数的个数为n 个,则前(n －1)行奇数的总个数为1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2,第n 行(n≥3)从左向右的第m 个数为第⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n －1）2＋m 个奇数,即2[n （n －1）2＋m －1]＋1＝n 2－n ＋2m －1.把n ＝25,m ＝20代入计算,即可得出答案.式的计算规律例2 (2018·成都中考)已知a ＞0,S 1＝1a ,S 2＝－S 1－1,S 3＝1S 2,S 4＝－S 3－1,S 5＝1S 4,…(即当n 为大于1的奇数时,S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时,S n ＝－S n －1－1),按此规律,S 2 018＝__－a ＋1a__.【解析】S 1＝1a ,S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ,S 3＝1S 2＝－a a ＋1,S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1,S 5＝1S 4＝－(a＋1),S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a,S 7＝1S 6＝1a ,…,由此得出规律：S n 的值每6个一循环.由2 018＝336×6＋2,可得S 2 018＝S 2,继而可得出答案.图形的变化规律例3 (2018·重庆中考A 卷)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③个图案中有8个三角形,…,按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为( C )A.12B.14C.16D.18【解析】第①个图案中三角形的个数为2＋2＝2×2＝4； 第②个图案中三角形的个数为2＋2＋2＝2×3＝6； 第③个图案中三角形的个数为2＋2＋2＋2＝2×4＝8； ……第○,n )个图案中三角形的个数为2(n ＋1). 把n ＝7代入2(n ＋1)即可得出答案.坐标的规律例4 (2018·广州中考)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令,从原点O 出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1 m ,其行走路线如图所示,第1次移动到A 1,第2次移动到A 2,…,第n 次移动到A n ,则△OA 2A 2 018的面积是( A )A .504 m 2B .1 0092 m 2 C .1 0112m 2 D .1 009 m 2【解析】依题可得A 2(1,1),A 4(2,0),A 8(4,0),A 12(6,0),…, ∴A 4n (2n,0),∴A 2 016(即A 4×504)的坐标为(1 008,0). ∴A 2 018(1 009,1).∴A 2A 2 018＝1 009－1＝1 008.∴S △OA 2A 2 018＝12×1×1 008.,1.(2018·十堰中考)如图是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是( B )A .210B .41C .5 2D .2512.(2018·宜昌中考)1261年,我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律,则a,b,c 的值分别为( B )A .a ＝1,b ＝6,c ＝15B .a ＝6,b ＝15,c ＝20C .a ＝15,b ＝20,c ＝15D .a ＝20,b ＝15,c ＝63.(2018·滨州中考)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2, 1＋122＋132＝1＋12×3, 1＋132＋142＝1＋13×4, ……请利用你所发现的规律,计算：1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋192＋1102,其结果为__9910__.4.(2018·随州中考)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10,…)和“正方形数”(如1,4,9,16,…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m ＋n 的值为( C )A .33B .301C .386D .5715.(2018·东营中考)如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,…和B 1,B 2,B 3,…分别在直线y ＝15x ＋b 和x 轴上.△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,…都是等腰直角三角形,如果点A 1(1,1),那么点A 2 018的纵坐标是__ ⎛⎭⎪⎫322 017__.6.(2018·桂林中考)将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m 行,第n 列的自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2),….按此规律,自然数2 018记为__(505,2)__.行 \ 列第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 1011 12第4行16 15 14 13……………第n行…………毕节中考专题过关1.(2018·枣庄中考)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 1415 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17……则2 018在第__45__行.2.(2018·张家界中考)观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64, 27＝128, 28＝256,…,则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末位数字是( B)A.8B.6C.4D.03.(2018·德州中考)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用下图的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.(a＋b)0 (1)(a＋b)1………………1 1(a＋b)2……………1 2 1(a＋b)3…………1 3 3 1(a＋b)4………1 4 6 4 1(a＋b)5……1 5 10 10 5 1根据“杨辉三角”请计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为( B)A.84B.56C.35D.284.(2018·绍兴中考)某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品,将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合).现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉,如果作品有角落相邻,那么相邻的角落共享一枚图钉(例如,用9枚图钉将4张作品钉在墙上,如图).若有34枚图钉可供选用,则最多可以展示绘画作品( D)A.16张B.18张C.20张D.21张5.(2018·重庆中考B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去,第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( B)…A.11B.13C.15D.176.(2018·绍兴中考)利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,如图2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a×23＋b×22＋c×21＋d×20,如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是( B)7.(2018·济宁中考)如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是( C)8.(2018·烟台中考)如图,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为( C)A.28B.29C.30D.319.(2018·遵义中考)每一层三角形的个数与层数的关系如下图所示,则第 2 018层的三角形个数为__4__035__.10.(2018·白银中考)如图是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,则第2 018次输出的结果为__1__.11.如图,在数轴上,A1,P两点表示的数分别是1,2,A1,A2关于点O对称,A2,A3关于点P对称,A3,A4关于点O对称,A4,A5关于点P对称,…,依此规律,则点A14表示的数是__－25__.。

第 11课时反比率函数毕节中考考情及展望近五年中考考情2019 年中考展望年份考察点题型题号分值2018反比率函数系数k 的几何意义选择题93估计将考察反比率函2017反比率函数与一次函数的交点填空题185数与一次函数的交点2016反比率函数系数k 的几何意义选择题103问题 .2015未独自考察2014未独自考察毕节中考真题试做反比率函数系数k 的几何意义kP（－ 3， 2），点 Q（ 2，a）都在反比率函数 y＝（k≠0）的图象上，过点 Q分 x 别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（B）A.3B.6C.9D.12反比率函数与一次函数的交点2.（2017·毕节中考）如图，已知一次函数y＝ kx － 3（k≠0）的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点，与反123比率函数y＝x（ x＞ 0）交于 C点，且 AB＝ AC，则 k 的值为2Ｗ .毕节中考考点梳理反比率函数的观点k1. 一般地，假如两个变量x， y之间的对应关系能够表示成y＝ x（ k 为常数，且k≠0）的形式，那么称y是 x 的反比率函数，反比率函数的自变量x 不可以为零.反比率函数的图象与性质2.函数的图象分析式ky＝ x（k≠0， k为常数）k k＞ 0k＜ 0图象3. 函数的性质函数ky＝x（k≠0）系数k＞ 0k＜0所在象限第一、三象限（ x， y 同号） .第二、四象限（ x， y 异号） .增减性在每一象限内， y 的值随 x 值的增大而在每一象限内， y 的值随 x 值的减小Ｗ .增大而增大Ｗ .对称性对于y＝－ x 对称 .对于 y＝ x对称 .4.k 的几何意义k的几何意义k设 P（ x， y）是反比率函数 y＝x图象上任一点，过点 P 作 PM⊥x轴于点 M， PN⊥y 轴于点 N，则 S 矩形PNOM＝|xy|.方法点拨（1）反比率函数与一次函数图象的综合应用的四个方面：①探究同一坐标系中两函数的图象常用清除法；②探究两函数的表达式常利用两函数的图象的交点坐标；③探究两图象交点的坐标常利用解方程（组）来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法；④两个函数值比较大小的方法是以交点为界线，察看交点左、右两边地区的两个函数图象上、下地点关系，进而写出函数值的大小.（ 2）在平面直角坐标系中求三角形的面积时，往常以坐标轴上的边为底，相对极点的横坐标（或纵坐标）的绝对值为高；假如没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其切割后求解.反比率函数分析式确实定5.求分析式的一般步骤k（1）设所求的反比率函数为 y＝x（k≠0）；（2）依据已知条件列出含 k 的方程；（3）由代入法求待定系数 k 的值；（ 4）把k 代入函数分析式ky＝ x中 .6. 求分析式的两种门路（ 1）依据问题中两个变量间的数目关系直接写出；（2）在已知两个变量x， y拥有反比率关系ky＝ x（x≠0）的前提下，依据一对x， y 的值，列出一个对于k 的方程，求得k 的值，确立出函数的分析式.7. 利用反比率函数解决实质问题，第一是成立函数模型反比率函数的应用. 一般地，成立函数模型有两种思路：一是经过问题提k供的信息，知道变量之间的函数关系，在这类状况下，可先设出函数的分析式y＝x（k≠0），再由已知条件确立分析式中 k 的取值即可；二是问题自己的条件中不确立变量间是什么关系，此时要经过剖析找出变量的关系并确立函数分析式 .1.2的是（ D ）对于反比率函数 y＝－，以下说法不正确x．．．. 图象散布在第二、四象限A. 当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大B. 图象经过点（ 1，－ 2）C. 若点 A（ x1， y1），B（ x2， y2）都在图象上，且x1<x2，则 y1<y2 DkD ）2. （2018·阜新中考）反比率函数y ＝ x 的图象经过点（3，－ 2），以下各点在图象上的是（A . （－ 3，－ 2）B . （3，2）C . （－ 2，－ 3）D . （－ 2， 3）3. 如图，点A 是反比率函数ky ＝ x 的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B. 点C 为 y 轴上的一点，连接AC ， BC.若△ ABC 的面积为 3，则A .3B . －3C .6D . －6k 的值是（D）k4. （2018·襄阳中考）如图，已知双曲线y 1＝x 与直线 y 2＝ax ＋ b 交于点 A （－ 4， 1）和点 B （ m ，－ 4） .（ 1）求双曲线和直线的分析式；（ 2）直接写出线段 AB 的长和 y 1>y 2 时 x 的取值范围 .k解：（ 1）∵双曲线 y 1＝ x 经过点 A （－ 4， 1），∴ k ＝－ 4×1＝－ 4.∴双曲线的分析式为y 1＝－ 4.x4∵双曲线y＝－x经过点 B（ m，－ 4），∴－ 4m＝－ 4，解得 m＝ 1.∴B（ 1，－ 4）.∵直线 y2＝ ax ＋ b 经过点 A（－ 4， 1）， B（ 1，－ 4），－4a＋ b＝ 1，a＝－ 1，∴解得a＋ b＝－ 4，b＝－ 3.∴直线的分析式为y2＝－ x－ 3；（2） AB＝ 5 2.y 1＞ y2时 x 的取值范围是－ 4＜ x<0 或 x＞1.中考典题精讲精练反比率函数的图象与性质a－ b例 1（2018·广州中考）一次函数y＝ ax＋b 和反比率函数y＝x在同向来角坐标系中大概图象是（ A ）【分析】先由一次函数的图象确立a， b 的正负，再依据 a－ b 判断双曲线所在的象限 . 能一致的是正确的，矛盾的是错误的 . 当一次函数 y＝ ax＋ b 的图象经过第一、二、三象限时，a＞ 0， b＞ 0，当 x＝－ 1 时， y＜ 0，即－ a＋ b＜ 0，则 a－ b＞ 0，此时函数 y＝a－b的图象经过第一、三象限；当一次函数y＝ ax＋ b 的图象经过第一、二、xa－ b四象限时， a＜ 0， b＞ 0，此时 a－ b＜ 0，函数 y＝x的图象经过第二、四象限.反比率函数系数k 的几何意义例 2（2016·毕节中考）如图，点 A 为反比率函数4y＝－图象上一点，过 A 作 AB⊥x轴于点 B，连结 OA，x则△ ABO的面积为（D）. － 4.4. － 2.2A B C Dk【分析】比率系数k 的几何意义：①在反比率函数y＝x图象中任取一点，过这一点向x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| ；②在反比率函数的图象上随意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所组成的三角形的面积是2|k| ，且保持不变 . 由题意，得 S ＝2|k|.1△ ABO1反比率函数与一次函数的交点k例 3（2018·安顺模拟）已知：如图，反比率函数y＝x的图象与一次函数y＝ mx＋b 的图象交于 A（ 1，3）， B（ n，－ 1）两点 .（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；（ 2）依据图象回答：当x 取何值时，反比率函数的值大于一次函数的值.【分析】（ 1）反比率函数ky＝ x的图象与一次函数y＝mx＋ b 的图象交于A（ 1，3）， B（n，－ 1）两点，把A点坐标代入反比率函数表达式，即可求出k，获得反比率函数的表达式. 将B（ n，－ 1）代入反比率函数的表达式求得 B 点坐标，而后再把A，B 两点的坐标代入一次函数的表达式，利用待定系数法求出一次函数的表达式；（ 2）依据图象，分别在第一、三象限求出反比率函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.【答案】解：（ 1）∵ A（ 1， 3）在函数ky＝ x的图象上，3∴k＝ 3，∴ y＝x.3又∵ B（ n，－ 1）在 y＝的图象上，∴ n＝－ 3，即 B（－ 3，－ 1） .∵一次函数过A（ 1， 3）， B（－ 3，－ 1）两点，3＝ m＋ b，m＝ 1，∴解得－ 1＝－ 3m＋b，b＝ 2.3∴反比率函数的表达式为y＝x，一次函数的表达式为y＝ x＋ 2.（ 2）从图象上可知，当x＜－ 3 或 0＜ x＜ 1 时，反比率函数的值大于一次函数的值.kB ）1. （2018·大庆中考）在同向来角坐标系中，函数y＝x和 y＝ kx－ 3 的图象大概是（2. （2018·日照中考）已知反比率函数8y＝－ x，以下结论：①图象必经过（－2， 4）；②图象在第二、四象限内；③y 的值随x 值的增大而增大；④当x＞－ 1 时，则y＞ 8.此中错误的结论有（B）A.3个B.2个C.1个D.0个3. （2018·安顺模拟）如图，A， B 是双曲线ky＝x上的点，分别过A，B 两点作x 轴， y 轴的垂线段.S 1， S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3＝ 1，且S1＋ S2＝ 4，则k＝ 3 Ｗ .第 3题图第4题图4.如图，在以 O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边 OC， OA分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，反比率函kC ）数 y＝x（ x＞ 0）与 AB订交于点 D，与 BC订交于点 E，若 BD＝ 3AD，且△ ODE的面积是 9，则 k＝（2424A.7B.9C.5D.3k5.（2018·毕节模拟）如图，已知直线y＝ x＋ 4 与双曲线 y＝x（x＜ 0）订交于 A， B 两点，与 x 轴， y 轴分别订交于 D，C 两点，若AB＝ 2 2，则 k＝－3Ｗ.6. （2018·白银中考）如图，一次函数y＝ x＋ 4 的图象与反比率函数ky＝x（ k为常数且k≠0）的图象交于A（－ 1， a）， B 两点，与x 轴交于点 C.（ 1）求此反比率函数的表达式；3（ 2）若点 P 在 x 轴上，且S△ACP＝2S△BOC，求点 P 的坐标 .解：（ 1）把点 A（－ 1， a）代入 y＝x＋ 4，得 a＝ 3，∴ A（－ 1， 3） .k把 A（－ 1， 3）代入反比率函数y＝x，得 k＝－ 3.3∴反比率函数的表达式为y＝－x；（ 2）联立两个函数的表达式，得y＝ x＋4，x＝－ 1，x＝－ 3，3解得或y＝－x，y＝ 3y＝ 1.∴点 B 的坐标为B（－ 3， 1） .当 y＝x＋ 4＝ 0 时， x＝－ 4，∴点 C（－ 4，0） .3设点P 的坐标为（m， 0）. ∵S△ACP＝ 2S△BOC，1∴ ×3×|m－（－23 14） | ＝× ×4×1，2 2解得m1＝－ 6， m2＝－ 2.∴点 P（－ 6， 0）或（－ 2， 0） .。

第12课时 二次函数毕节中考真题试做二次函数的图象与性质1.（2018·毕节中考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④a －b ＋c ＞0，其中正确的个数是（ D ）A .1B .2C .3D .4二次函数的图象与平移2.（2018·毕节中考）将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ A ）A .y ＝（x ＋2）2－5B .y ＝（x ＋2）2＋5C .y ＝（x －2）2－5D .y ＝（x －2）2＋5二次函数的应用3.（2014·毕节中考）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次.解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是（x－1）档.∴y＝[6＋2（x－1）][95－5（x－1）]，即y＝－10x2＋180x＋400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意，得－10x2＋180x＋400＝1 120，即x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12（舍去）.答：该产品的质量档次为第6档.二次函数的综合4.（2018·毕节中考）如图，以D为顶点的抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B 两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3.（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵点B，C在直线y＝－x＋3上，∴B（3，0），C（0，3）.又∵点B，C在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，∴－9＋3b＋c＝0，c＝3，∴b＝2，c＝3.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；（2）作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′O，交BC于点P，连接A′A，A′B ，则BC 垂直平分A ′A ，PO ＋PA 的最小值为A ′O.∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴点A （－1，0）. ∴OB ＝OC ＝3，OA ＝4.又∵∠BOC ＝90°，∴∠OBC ＝45°， ∴A ′B ＝AB ＝4，∠A ′BC ＝∠ABC ＝45°， ∴∠ABA ′＝90°，∴A ′B ⊥AB ，∴A ′（3，4）. ∴直线A ′O 的表达式为y ＝43x.∵点P 是直线A ′O 和BC 的交点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝127.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫97，127；（3）在x 轴上存在点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似. ∵点D 是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点， ∴D （1，4）.又∵A （－1，0），B （3，0），C （0，3）， ∴AC ＝10，BC ＝32，BD ＝25，CD ＝2， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2.∴△BCD 为直角三角形，且∠BCD ＝90°. ∵OA CD ＝OC BC ＝AC BD ＝22，∠BCD ＝∠COA ＝90°， ∴△COA ∽△BCD.①当点Q 与原点重合时，△CQA ∽△BCD ，此时Q （0，0）； ②过点C 作QC ⊥AC ，交x 轴于点Q.由∠CAO ＝∠QAC ，∠AOC ＝∠ACQ ＝90°，得△COA ∽△QCA ，则△COA ∽△QCA ∽△BCD ，则AC AQ ＝AO AC ，即AQ ＝AC2AO ＝（10）21＝10，则OQ ＝9，此时Q （9，0）. 综上所述，在x 轴上存在点Q （0，0）或（9，0），使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似.毕节中考考点梳理二次函数的概念及解析式1.二次函数的定义一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的形式，则称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.2.三种表示方法（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）；（2）顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k （a ≠0），其中二次函数的顶点坐标是（h ，k ）； （3）两点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0），其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标.3.三种表达式之间的关系顶点式――→ 配方 一般式――→因式分解两点式4.二次函数表达式的确定（1）求二次函数表达式一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式；①当已知抛物线上任意三点时，通常设为y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为y ＝a （x －h ）2＋k 的形式； ③当已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设为y ＝a （x －x 1）（x －x 2）的形式.（2）步骤：①设二次函数的表达式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式.二次函数的图象及其性质5.图象性质6.系数a，b，c与二次函数图象的关系二次函数图象的平移7.平移步骤（1）将抛物线解析式转化为顶点式y＝a（x－h）2＋k，确定其顶点坐标；（2）保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标（h，k）即可.8.平移规律二次函数与一元二次方程的关系9.二次函数与一元二次方程及b2－4ac的关系1.（2016·毕节中考）一次函数y＝ax＋c（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（D）2.（2018·成都中考）关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是（D）A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为－33.（2018·安顺模拟）如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－1，下列结论：①ab＞0，②a＋b＋c＞0，③当－2＜x＜0时，y＜0.正确的个数是（D）A.0个B.1个C.2个D.3个4.（2018·哈尔滨中考）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（A）A.y＝－5（x＋1）2－1B.y＝－5（x－1）2－1C.y＝－5（x＋1）2＋3D.y＝－5（x－1）2＋35.（2018·安徽中考）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）.（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？解：（1）W1＝（50＋x）（160－2x）＝－2x2＋60x＋8 000，W2＝19（50－x）＝－19x ＋950；（2）由题意，得W总＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8 950.∵－2＜0，－412×（－2）＝10.25，∴当x ＝10时，W 总最大，W 总的最大值为－2×102＋41×10＋8 950＝9 160.答：当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9 160元.6.（2015·毕节中考）如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0），B （3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM ′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.解：（1）将A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； （2）∵y ＝x 2－2x －3＝（x －1）2－4， ∴点M 的坐标为（1，－4）， ∴点M ′的坐标为（1，4）. 设直线AM ′的解析式为y ＝kx ＋b ， 将A ，M ′点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2. ∴直线AM ′的解析式为y ＝2x ＋2. 联立直线AM ′与抛物线的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝x2－2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－1，y1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝5，y2＝12. ∴点C 的坐标为（5，12）.∴S △CAB ＝12×4×12＝24；（3）存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形.由APBQ 是正方形，A （－1，0），B （3，0），得P （1，－2），Q （1，2）或P （1，2），Q （1，－2）.①当顶点P （1，－2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2－2，将A 点坐标代入，得4a －2＝0，解得a ＝12.此时抛物线的解析式为y ＝12（x －1）2－2；②当顶点P （1，2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋2，将A 点坐标代入，得4a ＋2＝0，解得a ＝－12.此时抛物线的解析式为y ＝－12（x －1）2＋2.综上所述，存在抛物线y ＝12（x －1）2－2或y ＝－12（x －1）2＋2，使得四边形APBQ为正方形.中考典题精讲精练二次函数的图象与性质例1 （2014·毕节中考）抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2共有的性质是（ B ）A .开口向下B .对称轴是y 轴C .都有最高点D .y 的值随x 值的增大而增大【解析】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象具有如下性质：①若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上，当x ＜－b 2a 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＝－b 2a 时，y 取最小值4ac －b24a，即顶点是抛物线的最低点；②若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向下，当x ＜－b 2a 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＞－b2a 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x ＝－b 2a 时，y 取最大值4ac －b24a ，即顶点是抛物线的最高点.抛物线y ＝2x 2开口向上，对称轴为y 轴，有最低点，顶点为原点；抛物线y ＝－2x 2开口向下，对称轴为y 轴，有最高点，顶点为原点；抛物线y ＝12x 2开口向上，对称轴为y 轴，有最低点，顶点为原点.二次函数图象的平移例2 （2018·安顺模拟）将抛物线y ＝－2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ D ）A .y ＝－2（x ＋1）2B .y ＝－2（x ＋1）2＋2C .y ＝－2（x －1）2＋2D .y ＝－2（x －1）2＋1【解析】根据二次函数平移的特点“左加右减、上加下减”的方法可以得出抛物线平移后的解析式.二次函数图象与系数的关系例3 （2018·恩施中考）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图，下列判断中：①abc ＞0； ②b 2－4ac ＞0； ③9a －3b ＋c ＝0；④若点（－0.5，y 1），（－2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2； ⑤5a －2b ＋c ＜0. 正确的个数是（ B ）A .2B .3C .4D .5【解析】对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点的位置：抛物线与y轴交于点（0，c）.抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ＝b2－4ac ＞0时，抛物线与x轴有2个不同交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.①∵对称轴在y轴左侧，∴ab＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0. ∴abc＜0；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0；③∵抛物线与x轴交于（－3，0），∴9a－3b＋c＝0；④∵点（－0.5，y1），（－2，y2）均在抛物线上，－1.5＞－2，∴y1＜y2；⑤∵抛物线的对称轴为x＝－1，经过（1，0），∴－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，∴b＝2a，c＝－3a.∴5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a＜0.二次函数的应用例4（2018·衢州中考）某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 m处达到最高，高度为 5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式，代入点（16，0）可求出b的值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝a （x －3）2＋5（a ≠0），将（8，0）代入y ＝a （x －3）2＋5，得25a ＋5＝0，解得a ＝－15.∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝－15（x －3）2＋5（0＜x ＜8）；（2）当y ＝1.8时，－15（x －3）2＋5＝1.8，解得x 1＝－1（舍去），x 2＝7.答：为了不被淋湿，身高1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心7 m 以内； （3）当x ＝0时，y ＝－15（x －3）2＋5＝165.设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝－15x 2＋bx ＋165.∵该函数图象过点（16，0）， ∴0＝－15×162＋16b ＋165，解得b ＝3.∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝－15x 2＋3x ＋165＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1522＋28920.答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920m .二次函数的综合例5 （2017·毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （－1，0），B （4，0），C （0，－4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积.【解析】（1）由A ，B ，C 三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可知点P 在线段OC 的垂直平分线上，则可求得点P 的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点P 的坐标；（3）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用点P 的坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及点P 的坐标.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A （－1，0），B （4，0），C （0，－4）三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝－4，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝－4. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，则PO ＝PC ，此时P 点即为满足条件的点.∵点C （0，－4），∴D （0，－2），∴点P 的纵坐标为－2. 把y ＝－2代入y ＝x 2－3x －4，解得x ＝3＋172或x ＝3－172（舍去）.∴存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋172，－2；（3）设P 点坐标为（t ，t 2－3t －4）.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，则S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝12PF·OE ＋12PF·B E ＝12PF ·（OE ＋BE ）＝12PF·OB .∵B （4，0），C （0，－4），∴直线BC 的解析式为y ＝x －4， ∴F （t ，t －4）.∴PF ＝（t －4）－（t 2－3t －4）＝－（t －2）2＋4. 当t ＝2时，PF 有最大值4.∴S △PBC 有最大值12×4×4＝8，此时t 2－3t －4＝－6.∴当点P 运动到点（2，－6）时，△PBC 的面积最大，最大面积为8.1.已知一次函数y ＝b a x ＋c 的图象如图，则二次函数y ＝ax 2＋bx －c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）2.（2018·上海中考）下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是（ C ）A .开口向下B .对称轴是y 轴C .经过原点D .在对称轴右侧部分是下降的3.（2018·北部湾中考）将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为（ D ）A .y ＝12（x －8）2＋5B .y ＝12（x －4）2＋5C .y ＝12（x －8）2＋3D .y ＝12（x －4）2＋34.（2018·广安中考）抛物线y ＝（x －2）2－1可以由抛物线y ＝x 2平移而得到，下列平移正确的是（ D ）A .先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B .先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C .先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D .先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5.（2018·滨州中考）如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A ，B （－1，0），有下列结论：①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b 2－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的个数是（ B ）A .1B .2C .3D .4,（第5题图）6.（2018·白银中考）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x ＝1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a ＋b ＝0；③3a ＋c ＞0；④a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 为实数）；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0.其中正确的是（ A ）,（第6题图）A .①②④B .①②⑤C .②③④D .③④⑤7.（2018·北京中考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.如图记录了某运动员起跳后的x 与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（B）A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m8.（2018·滨州中考）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x （单位：s）之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：（1）当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝1，x 2＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是1 s 或3 s ； （2）当y ＝0时，0＝－5x 2＋20x ， 解得x 1＝0，x 2＝4. ∴x 2－x 1＝4.答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s ； （3）y ＝－5x 2＋20x ＝－5（x －2）2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时，y ＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s 时最大，最大高度是20 m .9.（2018·毕节模拟）已知抛物线y ＝ax 2＋ax ＋b （a ≠0）与直线y ＝2x ＋m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b.（1）求b 与a 的关系式和抛物线的顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N ，求△DMN 的面积与a 的关系式； （3）当a ＝－1时，直线y ＝－2x 与抛物线在第二象限交于点G ，点G ，H 关于原点对称，现将线段GH 沿y 轴向上平移t 个单位长度（t ＞0），若线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求t 的取值范围.解：（1）∵点M （1，0）在抛物线y ＝ax 2＋ax ＋b 上， ∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴y ＝ax 2＋ax －2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－9a4，∴抛物线顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－9a 4；（2）∵点M （1，0）在直线y ＝2x ＋m 上， ∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2， ∴y ＝2x －2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝ax2＋ax －2a ，则ax 2＋（a －2）x －2a ＋2＝0， 解得x ＝1或x ＝2a －2.∴N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －2，4a －6.∵a ＜b ，∴a ＜－2a ，∴a ＜0.如图1，设抛物线的对称轴交直线MN 于点E ，∴点E 的横坐标为＝－12.又∵点E 在直线y ＝2x －2上，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3. 设△DMN 的面积为S.∵M （1，0），N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－2，4a －6，∴S ＝S △DEN ＋S △DEM ＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －2－1|·|－9a 4－（－3）|＝274－3a －278a ；（3）当a ＝－1时，抛物线的解析式为y ＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∵点G 为抛物线与直线y ＝－2x 的交点， ∴－x 2－x ＋2＝－2x ，解得x 1＝2，x 2＝－1， ∴G （－1，2）.∵点G ，H 关于原点对称， ∴H （1，－2）.设直线GH 平移后的解析式为y ＝－2x ＋t ， 当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y ＝－2x ＋t ，得t ＝2.∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时，方程－x 2－x ＋2＝－2x ＋t ，即x 2－x －2＋t ＝0有两个不相等的根，∴Δ＝1－4（t －2）＝9－4t ＞0，∴t ＜94.∴2≤t ＜94.。