2015届高三元月调研考试数学文试题

山西省大同市2015届高三（上）调研数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，函数f （x ）=ln的定义域为M ，则∁R M 为（ ）A ．（﹣1，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D ． [﹣1，1] 2．设复数z=﹣1﹣i （i 为虚数单位），z 的共轭复数为=（ ）A ．B ． 2C ．D ．13．抛物线y=x 2的准线方程是（ ） A ． y=﹣1B ．y=﹣2 C ．x=﹣1 D ． x =﹣24．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=3，则=（ ）A ． 2B ．C ．D ．35．执行程序框图，如果输入的t ∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（ ）A ． [﹣3，4]B ． [﹣5，2]C ． [﹣4，3]D ． [﹣2，5] 6．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 4cos50°﹣tan40°=（ ）A ．B ．C ．D ． 2﹣18．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2B ．C ．D ． 5πa 29．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ． 向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ． 向右平移个单位长度10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ． 180B ．240 C ． 276 D ． 30011．已知双曲线﹣y 2=1的左右焦点为F 1、F 2，点P 为左支上一点，且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．D 、212．如图，偶函数f （x ）的图象如字母M ，奇函数g （x ）的图象如字母N ，若方程f （f （x ））=0，f （g （x ）=0的实根个数分别为m 、n ，则m+n=（ ）A ． 18B ． 16C ． 14D ． 12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上）13．设非零向量、、满足||=||=||，+=，则=_________．14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为_________．15．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2=_________．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的前n项和为T n，若=，则+= _________．三、解答题：本大题共5个小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．17．（12分）在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2﹣2bccosA=（b+c）2（1）求∠A的大小；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．18．（12分）某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（1，0）点且斜率为1的直线与曲线C交于A、B两点，求弦长AB．21．（12分）已知函数在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数．若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得，求实数a的取值范围．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若，求的值．五、选修4-4：坐标系与参数方程．23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．六、选修4-5：不等式选讲．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤3的解集；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．。

吉林省长春市2015届新高三起点调研考试数学（文）试题考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合{1,2,4}A =，{1,}B x =，若B A ⊆，则x =A. 1B. 2C. 2或4D. 1或2或42. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z = A. 1233i -B. 1233i -+C. 1255i -D. 1255i -+3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x =B. ln()y x =-C. x y xe -=D.2y x x=+4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ⋅=m nA. B. 1-C. 2-D. 4-5. 已知4sin cos 5αα+=，则sin 2α=A. 1225-B. 925-C. 925D.12256. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.323πB. 8πC. 163πD.83π7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =A. 2-B. 2C. 4-D. 48. 若2xa =，12log b x =，则“a b >”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 9. 某圆的圆心在直线2y x =上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为A. 22(2)(4)20x y -+-=正视图侧视图俯视图B. 22(4)(2)20x y -+-=C. 22(2)(4)20x y -+-=或22(2)(4)20x y +++=D. 22(4)(2)20x y -+-=或22(4)(2)20x y +++= 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17 11. 函数ln ||()x f x x=的图像可能是 OyxxOyOy xxOyA B C 12. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最小值为___________.14. 某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为___________.15. 若函数()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<为偶函数，则ϕ=__________.16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为a 的正三棱柱外接球的表面积为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且24a =，3424a a +=.(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ； (2) 若△ABC的面积S =4=+c a ，求b 的值. 19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率； (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体1111ABCD A BC D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点.(1) 求证：11AC ⊥平面MBD ； (2)11D A BC -的体积.21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是MAC 1DBCD 1A150M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=. (1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当a 取正实数时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当4a =-时，直接写出函数()f x 的所有减区间.试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. D4. C5. B6. D7. B8. B9. C 10. C 11. A 12. D 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得2x =或4x =才能满足集合的互异性. 故选C. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】D 由图可知：1z i =，22z i =-，则1212255z i i z i ==-+-. 故选D.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求. 【试题解析】C由||-m n 222||217-=+-⋅=m n m n m n 可知，2⋅=-m n . 故选C.5. 【命题意图】本题考查同角基本关系以及二倍角公式.【试题解析】B 将4sin cos 5αα+=两边平方得，1612sin cos 1sin 225ααα=+=+，可得9sin 225α=-，故选B.6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体体积的运算.【试题解析】D 几何体体积=半球体积-圆锥体积=314182422333πππ⋅⋅-⋅⋅=，选D.7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题考查指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b >”，而 “a b >”/⇒ “1x >”，因此“a b >”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 9. 【命题意图】本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识.【试题解析】C 由题意可设圆心为(,2)a a ，半径为R ，则有2224416R a a =+=+或2221644R a a =+=+，解得2a =±，故选C.10. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.11. 【命题意图】本题通过图像考查绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性.【试题解析】A 由条件可知，该函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且ln ||ln ||()()x x f x f x x x--==-=--，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B 、C ，当01x <<时，ln 0x <，从而排除D. 故选A.12. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 114. 96015.4π16.273a π 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数2z x y =+的几何意义为过区域内点的直线2y x z =-+的截距大小，故z 的最小值是1.14. 【命题意图】本题考查用样本对总体的估计.【试题解析】设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，有56080M=，从而估算出M =960. 15. 【命题意图】本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用.【试题解析】由题意可知())(||)42f x x ππϕϕ++<为偶函数，所以()42k k Z ππϕπ+=+∈，根据||2πϕ<，有4πϕ=16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体表面积问题.【试题解析】，圆心到底面的距离为2a，从而其外接圆的半径22227()212a R a =+=，则该球的表面积22743S R a ππ==.三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法.【试题解析】解：(1) 设等比数列的公比为q ，有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =；（5分）(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，从而21(1)(222)(12)222n n n n n T n ++=+++++++=+-. （10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =- 即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin CB C =，即1cos 2B =，3B π=. （6分）(2) 由面积1sin 2S ac B ==4ac =，而4a c +=， 所以2a c ==，由3B π=可得△ABC 为等边三角形，所以2b =.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求.【试题解析】(1) 设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”，则1501005()501501006P A +==++.（6分） (2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个，其中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个，则4()15P B =.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DM BM M ⎫=⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎪⎭⎪⎪⎪ =⎭平面 ； （6分）(2) 由题意知BD =M 到BD则△MBD的面积为12MBD S ∆=，由(1)知11AC ⊥平面MBD所以11111133D A BC MBD V S A C -∆=⋅= （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=， 即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==. （4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以223431443D ck k k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1)解：222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+， 令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12a a x x a a==. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x(-∞)+∞()f x '+-+()f x极大值极小值所以()f x的单调递增区间为(,a-∞，()a a+∞，单调减区间为；当01a <≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞. （9分）(3) 当4a =-时，()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞. （12分）。

武昌区2015届高三年级元月调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题：1. B2.C 3．C 4. B 5.A 6.B 7. A 8.B 9.A 10.C 二、填空题：11.（Ⅰ）200；（Ⅱ）20 12. 4 13． ]4,3[- 14. 5050- 15. 9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x16.（Ⅰ） (4，2)；（Ⅱ）)1,(+-m n m 17. 43三、解答题：18.解：（Ⅰ）71cos -=C ，734cos 1sin 2=-=∴C C . B b C c sin sin =，3π=B ，237348b=∴，即7=b .…………………………（6分） （Ⅱ）方法一：)sin()sin(sin C B C B A +=--=π C B C B sin cos cos sin +=143373421)71(23=⨯+-⨯=， 3614337821sin 21=⨯⨯⨯==∴∆A bc S ABC .………………………………………（12分）方法二：B ac c a b cos 2222-+= ，3cos8287222πa a ⨯-+=∴，即01582=+-a a .3=∴a 或5=a .当5=a 时，712cos 222=-+=ab c b a C ，不合题意. 36238321sin 21=⨯⨯⨯==∴∆B ac S ABC .…………………………………………（12分）19.解：（Ⅰ）由题意知数列{}n a 是首项11=a ，公比2=q 的等比数列， 所以12-=n n a ；因为211=-a b ，422=-a b ，所以数列{}n n a b -的公差为2=d .所以n n d n a b a b n n 2)1(22)1()(11=-+=-+-=-.所以122-+=n n n b .…………………………………………………（6分） （Ⅱ）n n b b b b T ++++= 321)2421()2642(1-+++++++++=n n21)21(12)22(--⨯++=n n n 12)1(-++=n n n .………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）连接BD .ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴.四棱柱1111D C B A ABCD -是直棱柱， ⊥∴B B 1平面ABCD .⊂AC 平面ABCD ，AC B B ⊥∴1.⊥∴AC 平面11BDD B .⊂E D 1 平面11BDD B ，∴E D AC 1⊥.…………………………………………………（6分）（Ⅱ）111111D B A E E D A B V V --= ，⊥1EB 平面1111D C B A ，111111131EB S V D B A D B A E ⋅=∴∆-.1211111111=⋅=∆D A B A S D B A ，32311111==∴-EB V D B A E .21=∴EB .11//D A AD ，111B D A ∠∴为异面直线AD ，E D 1所成的角.在∆Rt 11D EB 中，求得221=ED .⊥11A D 平面11ABB A ，E A A D 111⊥∴.在∆Rt 11D EB 中，求得21222cos 11==∠E D A ， 6011=∠E D A . 所以，异面直线AD ，E D 1所成的角为60.……………………………………………（13分） 21.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2ln 1)(x xx f -='， 由0ln 1)(2=-='xxx f ，得e =x . 当e 0<<x 时，0ln 1)(2>-='x x x f ；当e>x 时，0ln 1)(2<-='x xx f . A 1B 1C 1D 1 ABCD E所以函数)(x f 在e],0(上单调递增，在),e [+∞上单调递减. ………………………（4分） （Ⅱ）（1）当e 20≤<m ，即2e0≤<m 时，)(x f 在]2,[m m 上单调递增，所以 12)2ln()2()(max -==mm m f x f . （2）当e ≥m 时，)(x f 在]2,[m m 上单调递减，所以1ln )()(max -==mmm f x f . （3）当2m e <<m ，即e 2e<<m 时，)(x f 在]e ,[m 上单调递增，在]2,e [m 上单调递减，所以1e1)e ()(max -==f x f .…………………………………………………（10分） （Ⅲ）由（Ⅰ）知，当),0(+∞∈x 时，1e1)e ()(max -==f x f ，所以在),0(+∞上，恒有 1e 11ln )(-≤-=x x x f ，即e1ln ≤x x 且当e =x 时等号成立. 因此，对),0(+∞∈∀x ，恒有x x e1ln ≤. 因为01>+n n ，e 1≠+n n ，所以n n n n +⋅≤+1e 11ln ，即n nn n +≤+11ln e ， 所以nnn n +≤+1)1ln(e . 即对*∈∀N n ，不等式nnn n +<+1)1ln(e 成立. …………………………………（14分） 22．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分） （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标为(2，0).由题意知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +2. 将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则34221+-=+m m y y ，32221+-=m y y . 于是3124)(22121+=++=+m y y m x x . 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入x tt m y )2(-=， 得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值33．故当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(或)1,3(-．…………………………………（14分）。

广东省广州市2015届高三1月模拟调研数学（文）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y =，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3. 命题“若0x >，则20x >”的否命题是A ．若0x >，则20x ≤B ．若20x >， 则0x >C ．若0x ≤，则20x ≤D ．若20x ≤，则0x ≤4. 设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2- B ．1-C ．13-D ．15- 5. 函数()()1cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6. 一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为A ．1-B ．0C ．1D ．5 7. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．② ④ 8. 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．11a b> B ．()2log 0a b ->C ．1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b-<9. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的 图1 直线与双曲线C的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为 A．3 B ．C ．3D ． 10.已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的C 值为A ．4029B ．4029-C ．8058D ．8058-二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 不等式2230x x --<的解集是 ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin αβ+的值.FEDCBA 17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）18．（本小题满分14分）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积． 图319．（本小题满分14分） 已知首项为32，公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n n T b +6<.20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b+=+. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．()1,3- 1213．2 14．13 15．sin()42πρθ+=三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点， ∴sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. …………………………………………1分∴1a =-. ………………………………………………2分∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分（2）解：∵45f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=. ∴sin 5α=. ………………………………………………7分 ∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos α==. ………………………………………………8分∵345f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴cos β=. ………………………………………………9分 ∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 10β==. ………………………………………………10分HFEDCB∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分=2=. ……………………………………………12分 17．（本小题满分12分）（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A . …………………………………1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． …………3分事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． …………5分 ∴42()105P A ==． …………………………………………6分 （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==． ………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b--+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4a y b x =-=， …………………………………………10分 ∴y关于x的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． …………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ． ………………………………4分 （2）解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ， ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴D E BH ⊥. ………………………………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，D E ⊂平面ADEF ，ADDE D =，∴BH ⊥平面ADEF . ………………………………7分∴BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………8分在Rt △ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH = ………………………………9分∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴ DE AD ⊥. ………………………………10分由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，∴ AD ∥EF . …………………………………………11分 ∴DE EF ⊥. …………………………………………12分∴三棱锥B D -的体积11313336DEFV SB ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． …………………14分19．（本小题满分14分） （1）解：由题意得324224S S S =-+， …………………………………………1分即()()42430S S S S -+-=， 即()4340a a a ++=. …………………………………………2分∴4312a a =-. …………………………………………3分 ∴公比12q =-. …………………………………………4分∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分 另解：由题意得32224S S S=-+，1q ≠， …………………………………………1分∴()()()3241111121111a q a q a q qqq---=-+---. …………………………………………2分化简得2210q q --=，解得12q =-， …………………………………………4分∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分 （2）解：1313222n n n nnb n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， …………………………………………6分 ∴12312336932222n n nn T b b b b =++++=++++，① ……………………………7分()23131136322222n n n n nT +-=++++，② …………………………………………8分 ①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++-111132231212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯--13632n n ++=-， …………………………………………10分 ∴3662n nn T +=-. …………………………………………12分∴ 6662n n nT b +=-<. …………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴21b =.…………………………………………1分∵2222c a b c a ==+， …………………………………………2分∴24a =． …………………………………………3分 ∴椭圆C的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组2214x y ⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． (6)分从而()()()2228414440km k m∆=-+-=,化简得2214m k =+．① (7)分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……………9分∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………………………10分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OM k k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴OM与AB不垂直. ……………………………………12分 ∴点M不是线段AB的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组2214x y ⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． (6)分从而()()()2228414440km k m∆=-+-=,化简得2214m k =+．① (7)分()228414214M km kmx k k =-=-++， …………………………………………………8分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y,得()2221250k xkmx m +++-=.………………………………9分∴12221N x x kmx k +==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分∴ 点N 与点M 不重合. ……………………………………12分∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞，∴()2bf x ax x '=-. …………………………………………1分依题意可得((1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩ …………………………………………2分解得1a b ==. …………………………………………4分（2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈， ∴ 22()mx g x m x x-'=-=. …………………………………………5分① 当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………6分② 当02m <≤时，2()()0m x m g x x-'=≤，则()g x 在(0,1]上单调递减,∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………7分③当2m >时，则20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>，∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增. 故当2x m =时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵2(1)0g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.∴min ()0g x ≠. …………………………………………8分综上所述，存在m 满足题意，其取值范围为(,2]-∞. …………………………………………（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. …………………………………………10分∵ 120x x <<, ∴ 1201x x <<. …………………………………………11分 ∴112212ln x xx x ->. …………………………………………12分 ∴121222(ln ln )x x x x x ->-. …………………………………………13分∵ 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分 证法2：设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x xϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， …………………………………………10分∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减∴2()()0x x ϕϕ<=. …………………………………………11分∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………120x x <<,∴221212(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………13分 21ln ln x x >,∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分。

2015届高三毕业生2015年1月检测文 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合}2,1{=A ，}3,2,1{=B ，}4,3,2{=C ，则()A B C =（ ）A. }3,2,1{B. }4,3,2{C. }4,2,1{D. }4,3,2,1{2．若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）A. 35i +B.35i -C.35i -+D.35i -- 3．下列函数中,在区间)(0,+∞上单调递增的是（ ）A. sin y x =B. 2y x =-C. 3log y x =D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4. 已知(1,3)a =-，)1,2(-=b ，),1(y c =，若)(c b a -⊥，则b 与c 的夹角为（ ） A. 0 B.4π C. 2π D. 43π5．在∆ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若15,10,60=== a b A ，则cos =B （ ）6．在平面直角坐标系中，不等式组2020220x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）A. 3B. 6C. 12D. 18 7．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a 的值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．28．执行如右图所示的程序框图，若输入n ＝7，则输出的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 9．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ）A. x x xlg 221>> B. 21lg 2x x x>> C. x x x lg 221>> D. x x x 2lg 21>> 10．设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，点A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么=||PF （ ）A. 34B. 8C. 38D. 1611．已知四棱锥P －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是侧棱PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( )A. 13B. 23C. 33D. 2312．已知正方形ABCD 的边长是1，点P 、Q 分别在边AB 、DA 上，若APQ ∆的周长是2，则PCQ ∆的面积的最小值是( )A.212- B. 12- C. 213- D. 13- 第Ⅱ卷本试卷分为必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某单位共有老、中、青职工860人，其中青年职工320人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

河北省石家庄市正定中学2015届高三数学文1月月考试卷1．定义{}|,A B z z xy x A ⨯==∈∈且y B ，若{}{}|12,1,2A x x B =-<<=-，则A B ⨯=（ ）A.{}|12x x -<<B.{}1,2-C.{}|22x x -<<D. {}|24x x -<< 2．下列命题中，真命题是（ ）A.00,0x R x ∃∈≤B.,xex R e x ∀∈>C.0a b -=的充要条件是1ab= D. 若p q ∧为假，则p q ∨为假3．设,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面（ ） A.若α∥,,,a b βαβ⊂⊂则a ∥b B.若α⊥,a β∥β，则a α⊥ C.若,,a a b a α⊥⊥∥,β则b ∥β D.若α⊥,,,a b βαβ⊥⊥则a b ⊥ 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D.75. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （ ） A.16643π-B.32643π-C.6416π-D.64643π-6． 将函数()2sin(2)4h x x π=+的图象向右平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线0x =对称 B.关于直线8x π=对称C.关于点3(,2)8π对称D.关于点(,2)8π对称7.已知函数0(),x f x xe =10()'(),f x f x =21()'(),,f x f x =⋅⋅⋅1()()()n n f x f x n N *-'=∈ 则2014'(0)f =（ ）A.2013B.2014C.2 015D.2 016 8.已知数列{}n a 为等比数列，则123:p a a a <<是45:q a a <的（ ）俯视图侧视图正视图第（5）题(第4题)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P 00(,)x y 且(0)OP r r =>，定义：00cos y x si rθ-=，称“cos si θ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx ，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线34x π=对称；④该函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,则这些性质中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q 是正整数，前n项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A.4517 B. 13517 C. 9017 D.2701711.如图，过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点，交其准线于 点C，且4AF =+，则p =（ ）A.1B.2C.52D. 3 12.对于函数()f x ，若存在区间[]m,n ()m n <，使得()f x 在区间[]m,n 上的值域为[]m,n λλ，则称()f x 为“λ倍函数”，若()(1)xf x a a =>为“1倍函数”，则a 的取值范围为（ ）A.B.)eC.1(1,)ee D.1(,)ee e 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知函数1()ln2x f x x -=-，则78()()55f f +=__________ 14.若向量a,b 是单位向量，则向量a b -在向量a b +方向上的投影是________15.已知变量,x y 满足约束条件121x y x ≤+≤⎧⎨≤-⎩，则xy 的取值范围是_________16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段EF ,GH 分别在AB ，1CC 上移动，且12EF GH +=，则三棱锥EFGH 的体积最大值为__________ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分10分)等比数列 {}n a 中， 130(),4n a n N a a *>∈=，且 31a +是 2a 和 4a 的等差中项，若21log n n b a +=.(1)求数列 {}n b 的通项公式； (2)若数列 {}n c 满足 121211n n n n c a b b +-+=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和;18. (本小题满分12分)已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(． (1)求函数()f x 的对称中心；(2)在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．19. (本小题满分12分)如图, 四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心, 1A O ⊥平面ABCD.1AB AA ==(1) 证明: 1A C ⊥平面11BB D D ； (2) 求三棱柱111ABD A B D -的体积.20. (本小题满分12分)已知函数 3()sin ,()6x f x x g x x ==-(1)求曲线 ()y f x =在点 (,())44P f ππ处的切线方程； (2)证明：当0x >时， ()()x f x g x >>．1A21. (本小题满分12分)如图，已知点A 是离心率为的椭圆C ：的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．22. (本小题满分12分) 已知函数1()ln f x x x=+. （1）求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）若mx x f x g +=)()(在[)1,+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围； （3）若在],[e 1上至少存在一个0x ，使得0002x ex f kx>-)(成立，求实数k 的取值范围.\18．解：（Ⅰ） x x x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=→-→- 1)62sin(22sin 312cos ++=++=πx x x对称中心为(,1)212k ππ-（k ∈z ）………………6分 （Ⅱ） 31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πCC 是三角形内角 ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C ∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a 将32=ab 代入k 式可得：71222=+aa 解之得：432或=a ∴23或=a ∴32或=bb a > ∴2=a 3=b ……………………12分19.(1)证明1,,A AO ABCD BD C ABCD ⊥∈平面平面 11,AO BD AO AC ∴⊥⊥BD AC BD AC O ⊥⋂=又，11,BD A AC BD AC ∴⊥∴⊥平面111RT AOA A =在中,11RT AOC A =在中2221111A A A C AC A A A C∴+=∴⊥1111111//,,,,A A B B AC B B B B BD B B B BD B BBD ∴⊥⋂=⊂又平面 111AC BD D ⊥平面B ………8分（2）10A ABCD ⊥平面11111=12ABD A B D V -∴=….12分，又222a b c =+， ….1分解得∴0m ≠，设11(,)D x y ，的斜率之和为定值0. …… 12分22．（1）ln 24y x =+ ……4分（2）2221111x x mx m x x x g mx x x mx x f x g -+=++-='⇒++=+=)(ln )()( ∵)(x g 在其定义域内为单调函数，∴012≥-+x mx 或者012≤-+x mx 在[1，＋∞）恒成立．…………7分21x x m -≥∴或者21x xm -≤∴在[1，＋∞）恒成立． 01412≤-≤-xx∴m 的取值范围是1,04m m ≤-≥或。

黄冈市2015年高三年级元月质量检测文 科 数 学2015.1.12一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1．设集合1{|0,}1xA x x R x+=>∈-，{|B x y ==，全集U R =，则()R A B =ð（ ）A ．{|11}x x -≤≤B ．{|11}x x -<<C ．{1,1}-D ．{1}2．下列各选项中，正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为“若21230x x x <---≤，则” C ．已知命题2:10p x R x x ∃∈+-<使，则p ⌝为：x R ∃∈使得210x x +-≥D ．设,a b 是任意两个向量，则“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分不必要条件 3．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数4．设等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为（ ） A ．154B ．152C ．74D ．725．若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 A6．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4),(1,3)AB AC ==，则AD BD ⋅等于（ ） A ．6B ．8C ．－8D ．－67．已知M 是ABC ∆内一点且23AB AC ⋅=30BAC ∠=︒，若,MBC MCA MAB∆∆∆和的面积分别为1,2,x y ，则14x y +的最小值是（ ）A ．20B ．18C ．16D ．1988（1）已知函数()g x 是偶函数，()(2)f x g x =-且当2x ≠时，其导函数()f x '满足(2)()0x f x '->，若13a <<，则 B A ．3(4)(3)(log )a af f f << B ．3(3)(log )(4)a af f f << C ．3(log )(3)(4)a af f f <<D ．3(log )(4)(3)a af f f <<9．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 是线段FP的中点且M 到坐标原点距离为8c，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．4(1,]3B ．(1,8]C ．45(,)33D ．(2,3]10．已知31,()3||a f x x x a ≥=+-，若函数()[1,1]f x -在上的最大值和最小值分别记为M 、m ，则M －m 的值为 C A ．8B ．334a a --+C ．4D ．332a a -++二、填空题（本大题有7个小题，每题5分，共35分）。

文科数学参考答案及评分标准一、选择题1—5 CDABB 6—10 ACBCA 11—12 BC 二、填空题 13.29-，14.3，15.0432=-+y x ，16.93 三．解答题17. 解：（1）有题意可得2362a a a =⋅又因为11-=a 2=∴d …… 2分32-=∴n a n n n s n 22-= …………………4分 （2）)121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分 )]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n12)1211(21--=---=n n n …………10分 18. 解： (1)1cos 231()22cos2x-1=sin(2)12226x f x x x x π+=+-=++- ()sin(2)16f x x π∴=+-………2分∴最小正周期为π………4分 令z=26x π∴+.函数()sin z 1f x =-的单调递增区间是-2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由-222262k x k πππππ+≤+≤+， 得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ………6分（2）当]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，]1,21[)62sin(-∈+πx ]0,23[)(-∈x fm x f =)( ]0,23[-∈∴m ………12分19.解：（1）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以VC ⊥BC ， 又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，又因为VC ，AC ⊂平面VAC ，VC ∩AC=C ，所以BC ⊥平面VAC. …………………4分（2）如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面VAC ，则∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；…………………………………6分令AC=a,则MN=2；因为VC=2，M 为VC 中点，所以，,解得a=1…………………………10分因为MN ∥BC,所以123ABCB ACMM ABC N ABC SNC VV V ---====12分 20.解：（1）由题意得，10060.00036.020024.00012.050=+++⨯+⨯）（x 0044.0=∴x .…………2分设该小区100个家庭的月均用电量为S则+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=225500044.0175500060.0125500036.075500024.0S=⨯⨯+⨯⨯325500012.027*******.09+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186.……6分（2）6100500012.0=⨯⨯ ，所以用电量超过300度的家庭共有6个.…………8分分别令为甲、A 、B 、C 、D 、E ，则从中任取两个，有（甲，A ）、（甲，B ）、（甲，C ）、（甲，D ）、（甲，E ）、（A,B)、（A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E)、(D,E)15种等可能的基本事件，其中甲被选中的基本事件有（甲，A ）、（甲，B ）、（甲，C ）、（甲，D ）、（甲，E ）5种.…………10分∴家庭甲被选中的概率31155==p .…………12分 21.解：（1）由题意得：22=a c ，得c b =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-b a ba ，得1=c ，所以22=a ，所以椭圆C 方程为1222=+y x . ……………4分（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：)10(222<<=+r r y x当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为b kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x b kx y 得 222(12)4220k x bkx b +++-=，令),(),,(2211y x Q y x P221214kbk x x +-=+，22212122k b x x +-=…………6分 OQ OP ⊥02121=+∴y y x x021421)22)(1(2222222=++-+-+∴b kb k k b k 22322+=∴k b .………8分 因为直线PQ 与圆相切，2221k b r +=∴=32所以存在圆3222=+y x 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合3222=+y x . 综上所述，存在圆心在原点的圆3222=+y x 满足题意.…………12分 22. (本小题满分12分)已知a ∈R ，函数321()(2)3f x x a x b =+-+，()4ln g x a x =．(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线重合，求a ，b 的值；(2)设()'()()F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，都有2121()()2()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．解：(1)2()2(2)f x x a x '=+-，(1)23f a '=-.4()ag x x'=，(1)4g a '= 由题意，(1)(1)f g ''=，423a a =-，32a =-.又因为(1)0g =，0c ∴=.(1)0f =,得196b =………………… 4分(2)由 2121()()2()F x F x a x x ->-可得，2211()2()2F x ax F x ax ->- 令()()2h x F x ax =-，只需证()h x 在(0,)+∞单调递增即可…………8分()()2h x F x ax =-=22(2)4ln 2x a x a x ax +---2=44ln x x a x --2244()x x ah x x--'=只需说明2244()0x x ah x x --'=≥在()0,+∞恒成立即可……………10分 即24-24a x x ≤+，211(1)22a x ≤--+故，12a ≤- ………………………………………………………12分（如果考生将1212()()f x f x x x --视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）。

荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（文）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、导数、充分、必要条件、集合、命题、简单的线性规划等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则AB =A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】B解析：因为{}{}{}{}260,1,2,3,4,5,6,303A x N x B x R x x x x =∈==∈->=>≤或x<0，所以A B ={4，5，6},则选B .【思路点拨】先明确集合A 中的元素及集合B 中的元素范围，再求交集.【题文】2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2xx R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件【知识点】命题A2 【答案】【解析】D解析：因为0xe >,所以A 是假命题，当x=2π-时，22sin 13sin x x+=-<，所以B 错误，当x=2时，222=2，所以C 错误，则只有D 正确，所以选D.【思路点拨】判断命题的真假若直接推导不方便时，可利用特例法进行排除判断.【题文】3．若m ，n 是两条不重合的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是 A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若//m n ，//n α，则//m α C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n α⊥，则//m α 【知识点】平行关系 垂直关系G4 G5 【答案】【解析】C解析：A 选项，直线m 还可能在平面α内，所以错误；B 选项，直线m 还可能在平面α内，所以错误；C 选项由线面垂直的性质可知正确，所以应选C.【思路点拨】判断垂直关系与平行关系时，能直接利用定理判断的可用定理判断，不能直接利用定理判断的可用反例法排除.【题文】4．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【知识点】三角函数的图象C4 【答案】【解析】B解析：因为πsin(2)=sin236y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可知用6x π+换x 即可得到函数y=sin2x 的图象，所以向左平移6π个长度单位，则选B.. 【思路点拨】由函数解析式判断两个函数的图象的左右平移，只需观察x 的变换，结合左加右减进行判断.【题文】5．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点 【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】C解析：由二次函数的图象可知，若a,b 在二次函数的两个零点外侧，则有()0,()0f a f b >>，所以函数()f x 在区间(,)a b 内可能有两个零点，所以选C. 【思路点拨】判断二次函数的零点，可结合其图象进行判断. 【题文】6．曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A ．2eB ．22eC ．24eD ．292e 【知识点】导数的应用B12 【答案】【解析】A解析：因为121'2x y e =，所以切线斜率为212e ，则切线方程为()22142y e e x -=-，切线与两坐标轴的交点坐标分别为()()22,0,0,e -，所以围成的三角形面积为22122e e ⨯⨯=，则选A.【思路点拨】可先利用导数求出切线方程，再结合切线与坐标轴的交点求三角形面积.【题文】7．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则y x a-的最大值是A ．23 B ．25 C ．16D ．14【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】B【思路点拨】由题设条件，目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC 上取到，即x+ay=0应与直线AC 平行，进而计算可得a 值，最后结合目标函数yx a-的几何意义求出答案即可．【题文】8．在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且OA 与OB 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为A ．14-B ．25C ．25或43- D ．52【知识点】向量的数量积F3 【答案】【解析】C解析：设直线l 的一个方向向量为()1,v k =，由题意可得OA v OB v vv••=,∴|1+4k|=|-3+k|，解得k=25或43-,故选C ． 【思路点拨】可先结合直线的斜率设出直线的方向向量坐标，再利用向量的投影得到斜率的方程，解答即可.【题文】9．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤，若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为第7题图A ．991B ．992C ．993D ．999【知识点】数列求和D4 【答案】【解析】D)99,,p 的“蔡查罗和”为99100099S ++=∴129999000S S S +++=，则100项的数列()12999,,,,p p p “蔡查罗和”为(999999S +++=,故选【题文】10．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．2D ．98【知识点】双曲线的性质H6 【答案】【解析】A解析：双曲线的渐近线为：y=±b a x ，设焦点F （c ，0），则A （c ，bc a ），B （c ，－bca），P （c ，2b a ），∵OP OA OB λμ=+，∴（c ，2b a ）=（（λ+μ）c ，（λ－μ）bca ），∴λ+μ=1，λ－μ=b c ，解得λ=2c b c + ，μ=2c b c -，又由316λμ⋅=，得2c b c +×2c b c -=316，解得2234a c =∴e=3c a =，所以选A. 【思路点拨】可结合向量关系寻求点的坐标关系，得到a,b,c 的关系再求离心率即可.【题文】二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)【题文】11．若|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ▲ ．【知识点】分段函数B1【答案】【解析】－1解析：因为当x ＞1时，f(x) ＞3，所以若()2f x =，则1,12x x ≤-=，解得x=－1. 【思路点拨】可先分析分段函数当x ＞1时的函数值的取值范围，再由所给函数值求自变量的值.【题文】12．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C = ▲ ． 【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】23π解析：因为sinA:sinB:sinC=a:b:c=7:8:13,设a=7k,b=8k,c=13k，则22249641691cos 2782k k k C k k +-==-⨯⨯，又C 为三角形内角，所以C=23π.【思路点拨】利用正弦定理把角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求角即可.【题文】13．已知b 克糖水中含有a 克糖（0>>a b ），若再添加m 克糖（0m >），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式 ▲ ． 【知识点】不等式的性质E1【答案】【解析】()00a a m b a m b b m+<>>>+且 解析：：∵b g 糖水中有a g 糖，糖水的浓度为ab；b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），则糖水的浓度为a m b m ++；又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴a a mb b m+<+.【思路点拨】b g 糖水中有a g 糖（b ＞a ＞0），若再添m g 糖（m ＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即可.【题文】14．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线， 则切线长的最小值为 ▲ ． 【知识点】直线与圆的位置关系H4 【答案】【解析】17解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小值即为圆心到直线的距离为321322++=，此时的切线长为()232117-=.【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【题文】15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 ▲ ．【知识点】三视图G2 【答案】【解析】3π32+ 解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为211122ππ⨯=，侧面面积为第15题图212224ππ⨯+=+3π2+【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【题文】16．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ▲ ．【知识点】导数的应用B12 【答案】【解析】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：因为()()()21211'222x x f x x x x +-=-=,由x ＞0可知函数的极值点只有x=12,若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则1012112a a ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得312a ≤<，所以实数a 的范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【思路点拨】因为所给函数已知，则可先求出函数的极值点，再结合函数的定义域及极值点得到关于a 满足的条件求解即可.【题文】17．已知函数21()(2),()(1,2)1x x x f x x g x a a x x -+==>-≥≥．①若[)02,x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ；②若[)12,x ∀∈+∞，[)22,x ∃∈+∞使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【知识点】函数的值域 基本不等式B3 E6 【答案】【解析】①[3,+ ∞);②(解析：①因为()211111213111x x f x x x x x x -+==+=-++≥+=---，当且仅当x=2时等号成立，所以若[)02,x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的取值范围为[3,+ ∞); ②因为当x ≥2时,f(x) ≥3，g(x) ≥2a ,若[)12,x ∀∈+∞，[)22,x ∃∈+∞使得12()()f x g x =，则231a a ⎧≤⎨>⎩，解得a∈(【思路点拨】①可转化为函数的值域问题进行解答；②可转化为两个函数的值域关系进行解答.【题文】三、解答题(本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【题文】18．（本小题满分12分） 已知向量2(cos,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，设函数()f x m n = （Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（Ⅱ）若角B 是△ABC 中的最小内角，求()f B 的取值范围． 【知识点】向量的数量积 解三角形C8 F3【答案】【解析】（Ⅰ）π3、π；（Ⅱ）(－1,0] 解析：因为向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x xm n =-=，函数()f x m n=．所以21cos ()cos cos 2222x x xx f x x +=-=- …………………2分 11π1cos sin()2262x x x =--=--……………………4分 （1）由()0f x =，得π1sin()62x -=．ππ=+2π66x k -∴， 或π5π=+2π66x k k Z -∈，…………………6分π=+2π3x k ∴， 或=π+2πx k k Z ∈，，又[]0,πx ∈，π3x ∴=或π．所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π3、π．…………………8分（2）由已知得π(0,],3B ∈从而πππ(]666B -∈-，……………………………………10分 π11sin()(,]622B -∈-∴， π1()sin()(1,0]62f B B =-+∈-∴……………12分【思路点拨】一般研究三角函数的性质时，通常先化简成一个角的三角函数再进行解答.【题文】19．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =或612n n a -=；(Ⅱ)5解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，………2分2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩…………4分 当12,2q a =⎧⎨=⎩时， 2nn a =； 当11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或612n n a -=．…………………6分(Ⅱ)∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2nn a =，∴122log 22n n n n b n ==-⋅，∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅③ ……………8分2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅ ④ 由③－④，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅………10分1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥ 故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5.……………………12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路. 【题文】20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证://SB 平面ACM ；（Ⅱ）求证：直线SC ⊥平面AMN ；（Ⅲ）求直线CM 与平面AMN 所成角的余弦值．【知识点】平行关系 垂直关系 直线与平面所成角G4 G5 G11【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）13解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．第20题图ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线． ∴//ME SB ． ………………………2分 又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ， ∴SB //平面ACM ． ………………………4分（Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥……………………6分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面.AMN …………………8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知CN ⊥面AMN ，则直线CM 在面AMN 内的射影为NM ，∴CMN ∠为所求的直线CM 与面AMN 所成的角． …………………10分 又2SA AB ==，∴在Rt CDM ∆中2,2CD MD == ∴6CM =又2223SC SA AC =+=由SNM SDC ∆∆∽可得MN SM CD SC =∴63MN =．∴1cos 3MN CMN CM ∠==…12分∴直线CM 与平面AMN 所成角的余弦值为13．…………13分 【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求直线与平面所成角时可找出其对应的平面角再进行解答. 【题文】21．（本小题满分14分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1(1)120y x =+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数；②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立．（Ⅱ）函数模型2log 2y x =-符合公司要求解析：（Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x =，则该函数模型满足的条件是：①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数； ②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立．………………………5分（Ⅱ）（1）对于函数模型1(1)120y x =+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①； 但当80x =时，5y =，因此，当80x >时，5y >，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．……………7分（2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数．满足条件①∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立．满足条件②…9分设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 11110010x ∴≤≤∴2log 121()0105105e h x '<-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的，因此 2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5xf x ≤恒成立．满足条件③故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求．…………12分【思路点拨】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，可先将文字语言转化为数学符号语言，再用数学方法定量计算得出所要求的结果. 【题文】22．（本小题满分14分）如图，已知圆E :22(16x y ++=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点，直线OB l OA ,,的斜率分别为0(,,,21>k k k k 其中 )0(,,,21>k k k k 其中．△OAB 的面积为S ，以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列，求SS S 21+的取值范围．【知识点】圆 椭圆 直线与圆锥曲线位置关系 等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）5π[)4+∞，解析：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||23EF >=， 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．…………………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，223c a b =-=，则1b =，……3分 所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．…………………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k …………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km 由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k………………………8分 此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而(2,0)(0,2)m ∈-．故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+= 第22题图||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=…………………10分 又22221212144x x y y +=+= 则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π 2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值．……………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：S S S 21+⋅+∞∈),45[π……………………14分 【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若出现定义条件，注意利用定义判断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.。