2019长春高三一模数学理科

2019年长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )4.抛物线21 2x y=的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12(D).145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12(D)－ 1或－126.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 07.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列(A). 若m//n，n⊂α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若，则双曲线的离心率值为（ ）（A）12 （B）12（C）12（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为 . 15.已知数列，圆，圆，若圆C 2平分圆C 1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y ＝f(x)是奇是函数 ②.y ＝f(x)是周期函数 ,周期为2π ③..y ＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y ＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.(本小题满分12分） 设等差数列的前n 项和为Sn, 且,(1).求数列的通项公式第10题图俯视图侧视图正视图(2).若成等比数列,求正整数n 的值 .18. (本小题满分12分） 已知向量,设函数f(x)= .(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.19. (本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;(2).在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1-MC-D 的大小为存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由20．(本小题满分12分） 已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 的最小值为,求椭圆的方程.21. (本小题满分12分） 已知函数(1).a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x 1 , x 2 ,其中,求h(x 1)- h(x 2)的最小值.E D 1A 1DCBA第19题图请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.(1).求证:E为AB的中点;(2).求线段FB的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为 ,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.2019年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要B 【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B . 2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B . 3.【试题答案】A 【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D .5.【试题答案】C 【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C .6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗-， 1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 计算：21ii -=( ) A . 1i + B .1i - C . 1i -+ D . 1i -- 【答案】C考点：复数的计算.2. 已知{1,2,3,5}{0,2,4,8}A B A C B C ⊆⊆==，，，，则 A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}【答案】D考点：集合的交集、子集运算.3. 已知条件 p : 22210x ax a -+->，条件 q : 2x >,且 q 是p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ． 3a ≤- 【答案】B 【解析】试题分析：∵条件p ：22210x ax a -+->，条件q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，∴q ⇒p ，p ⇒q ，即a ≤2且24410a a -+-≥解不等式组可得：a ≤1故选：B . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4. 某程序图如右图所示，该程序运行后输出的结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C考点：程序框图.5. 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，视图可以是，则该几何体的俯视图可以是( )A .B .C .D .【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 6. 将函数() 2sin +36x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为( )A . () 2sin +134x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．() 2sin 134x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换．7. 已知等差数列{}n a 的公差为 2，若前 17 项和为 17S =34，则12a 的值为( )A .-10B .8C .4D .12【答案】B考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的通项公式．8. 在ABC ∆中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若22, b c sin A C -=，则B =( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【解析】试题分析：∵ sin A C =，∴a =，∵22b c -=，∴cosB =2222a c b ac +-==B =30°，故选A . 考点：余弦定理的应用．9. 在8x ⎛⎝的二项展开式中，常数项为( ) A .1024 B .1324 C .1792 D .-1080【答案】C考点：二项式定理. 10. 已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2,- 1) ,则双曲线的焦距为( )A .BC .2D 【答案】A考点：1.双曲线的简单性质；2.直线与圆锥曲线的关系．11. ABC ∆中，120 , 2, 1BAC AB AC ∠=︒==,D 是边BC 上的一点（包括端点），则•AD BC 的取值范围是( )A. B . C .D.【答案】D 【解析】试题分析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设()101A D A B A C λλλ=+-≤≤,（）．∵∠BAC =120°，AB =2，AC =1，∴•21c o s 1201A B A C =⨯⨯︒=-．∴()[1]()ADBC AB AC AC AB λλ⋅=+-⋅- ()()22211AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-214172λλλλ=----=-+（）．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈．∴•AD BC 的取值范围是[52]-，．故选：D ． 考点：平面向量数量积的运算．12.对函数 f ( x ) ，若,, a b c R ∀∈， f ( a ), f (b ), f ( c ) 为一三角形的三边长，则称 f ( x ) 为“三角型函数”，已知函数()()2 >0 22xxm f x m +=+是“三角型函数”，则实数 m 的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A考点：函数的值．第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.【答案】6 【解析】考点：简单线性规划．14. 已知直线l ⊥平面α，直线 m ⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l ⊥ m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ,则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确命题序号是 .【答案】①③考点：平面的基本性质及推论．15. 若动直线 x =a 与函数() f x sin x cos x =和()2cos g x x =的图像分别交于 M ，N 两点, 则 M N 的最大值为 .【答案】12+ 【解析】试题分析：211122222fx sinxcosx sin x g x cos x cos x ====+（），（），所以||AB f x g x =-（）（）111|22|222sin x cos x =-+（）|2|242sin x π=--（）则214sin x π-=-（）时，AB 的最大值为：12．故答案为：12. 考点：1.二倍角的余弦；2.二倍角的正弦；3.三角函数的最值． 16. 若数列{}n a 满足()*1112, 1n n na a a n N a ++===∈-，则该数列的前 2014 项的乘积123201...a a a a = .【答案】-6考点：数列递推式．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知ABC ∆中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的边，3cos cos +cos b A c A a C = ． （Ⅰ）求 cos A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3a =，求 b ， c 的长． 【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）2,3b c ==或3,2b c ==.考点：正弦定理． 18．（本小题满分 12 分）已知数列 {}n a 是公差大于零的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且112233 1,2,1,13a b b a a b ==-=+= （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列 {}n c 前 n 项和 n T .【答案】（Ⅰ）21(*),2(*)n n n a n n N b n N =-∈=∈;（Ⅱ）16(23)2n n ++-⨯.341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分.考点：1.数列的求和；2.等差数列的性质．19．（本小题满分 12 分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的 40 名学生的成绩分组：第 1 组[75,80) ，第 2 组 [80,85) ，第 3 组[85, 90) ，第 4 组 [90, 95) ，第 5 组[95,100) ，得到频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求成绩在第 4，5 组的人数；（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D 的面试，设第 4 组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）8人，4人;（Ⅱ）①122，②23.考点：1.频率分布直方图；2.离散型随机变量及其分布列；3.离散型随机变量的期望与方差．20．（本小题满分 12 分）一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M , N分别是AF、BC 的中点，（Ⅰ）求证：MN // 平面CDEF；（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析;二面角A-CF-B的余弦值．试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB =BC =BF =4,DE =CF=90CBF ∠=︒,连结BE , M 在BE 上，连结CEEM =BM ,CN =BN , 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分（II ）方法一：作BQ ⊥CF 于Q ，连结AQ ，面BFC ⊥面ABFE ，面ABFE ∩面BFC =BF ，AB ⊂面ABFE ，AB ⊥BF ，∴AB ⊥面BCF ，CF ⊂面BCF ，∴AB ⊥CF ，BQ ⊥CF ，AB ∩BQ =B ，∴CF ⊥面ABQ ，AQ ⊂面ABQ ，AQ ⊥CF ，∴∠AQB 为所求的二面角的平面角，（8分）在Rt △ABQ 中，tan ∠AQB=AB BQ ==--------------------------------------9分 ∴cos ∠AQB∴二面角A -CF -B的余弦值为．-------------------------------------------------------12分 （II ）方法二：以EA ,AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，x yz A B CD E F所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F -面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CA x y z y z x y z x z m CF⎧⊥⋅--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，cos ||||m n m n θ⋅===分. 考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．21．（本小题满分 12 分）已知椭圆E ：()22221 0, 0xy ab a b +=>>的离心率 e =1)2P （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y =-x +m ，使直线与椭圆交于 A , B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求m 值，若不存在说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=;（Ⅱ）m =考点：直线与圆锥曲线的综合问题．22．（本小题满分 12 分）已知函数()() = f x ax ln x a R +∈.（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f ( x )在x =1处的切线方程；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间；（III ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20, 1x ∈，使得12()()f x g x <，求 a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）310x y --=;（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞；（III ）31a e <-.考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求闭区间上函数的最值．。

2019学年吉林长春东北师大附中高三理科模拟数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A={x∣ log3x≥0}，B={x∣ x≤1}，则( )A. A∩B=∅B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2. 已知复数a+i1−i为纯虚数，那么实数a=( )A. −1B. −12C. 1 D. 123. “m=1”是“直线mx−y=0和直线x+m2y=0互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A. 134石B. 169石C. 192石D. 338石5. 执行如图的程序框图，若输出S=158，则输入p的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 若(x2+13x3)n(n∈N∗)展开式中含有常数项，则n的最小值是( )A. 3B. 5C. 8D. 107. 一个多面体的三视图如图所示，正视图为等腰直角三角形，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该多面体的表面积为( )A. 2B. 4+2√2C. 4+4√2D. 6+4√2 8. 已知 1 是 lga 与 lgb 的等比中项，若 a >1，b >1，则 ab 有 ( )A. 最小值 10B. 最小值 100C. 最大值 10D. 最大值 1009. 在 △ABC 中，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，AB =4，AC =2，E ，F 为线段 BC 的三等分点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. 109B. 4C. 409D. 56910. 已知点 F 是双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一个焦点，过点 F 且斜率为 √33 的直线 l 与圆x 2+y 2=a 2 相切，则双曲线的离心率为 ( ) A.2√33B. √5C. 2D. 311. 如图，棱长为 1 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，M 为线段 A 1B 上的动点，则下列结论正确的有( )①三棱锥 M −DCC 1 的体积为定值；② DC 1⊥D 1M ；③ ∠AMD 1 的最大值为 90∘；④ AM +MD 1 的最小值为 2．A. ①②B. ①②③C. ③④D. ②③④12. 已知曲线 C 1:y =e x 上一点 A (x 1,y 1), 曲线 C 2:y =1+ ln (x −m )(m >0) 上 一 点 B (x 2,y 2)，当y 1=y 2 时，对于任意 x 1，x 2，都有 ∣AB ∣≥e 恒成立，则 m 的最小值为 ( )A. 1B. √eC. e −1D. e +1二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −2≤0,x −y +2≥0,y ≥0，则 z =3x +2y 的最大值为 ．14. 已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F，且倾斜角为60∘的直线与抛物线在第一象限交于点M，若∣FM∣=4，则抛物线方程为．15. 将函数f(x)=sinx(x∈[0,2π])的图象向右平移π3个单位后得到函数g(x)的图象，则由函数f(x)与g(x)的图象所围成的封闭图形的面积为．16. 已知各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=1+1a n(n∈N∗)，若a2014=a2016，则a13+ a2016=．三、解答题（共1小题；共13分）17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)=2sinA+2cos(A+B)sinA．Ⅰ求ab的值；Ⅱ若△ABC的面积为√32，且a=1，求a的值．四、填空题（共1小题；共5分）18. 一个总体共有60个个体，其编号为00，01，02，⋯，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请从随机数表的第8行第6列的数字开始，向右读，到最后一列后再从下一行的左边开始继续向右读，依次获取样本号码，直到取满样本为止，则获得的样本号码是．附表：（第8行至第10行）五、解答题（共6小题；共78分）19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2√3，PA⊥PD,Q为PD的中点．Ⅰ证明：CQ∥平面PAB；Ⅱ求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√23，B(0,1)为椭圆的一个顶点，直线l交椭圆于P，Q（异于点B）两点，BP⊥BQ．Ⅰ求椭圆方程；Ⅱ求△BPQ面积的最大值．21. 已知函数f(x)=aln(x+1)+12x2−x，其中a为非零实数．Ⅰ讨论f(x)的单调性；Ⅱ 若 y =f (x ) 有两个极值点 α，β，且 α<β，求证：f (β)α<12．（参考数据：ln2≈0.693）22. 如图，自圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线，切点为 A ，M 为 AP 的中点，过点 M 引圆的割线交圆 O于 B ，C 两点，且 ∠BMP =120∘，∠BPC =30∘，MC =8．Ⅰ 求 ∠MPB 的大小； Ⅱ 记 △MAB 和 △MCA 的面积分别为 S △MAB 和 S △MCA ，求S △MAB S △MCA．23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 C 1：{x =1+cosαy =sinα（ α 为参数），曲线 C 2：x 22+y 2=1．Ⅰ 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C 1，C 2 的极坐标方程； Ⅱ 射线 θ=π6(ρ≥0) 与 C 1 的异于极点的交点为 A ，与 C 2 的交点为 B ，求 ∣AB∣．24. 已知函数 f (x )=∣x −a ∣．Ⅰ 若不等式 f (x )≤2 的解集为 [0,4]，求实数 a 的值；Ⅱ 在（1）的条件下，若 ∃x 0∈R ，使得 f (x 0)+f (x 0+5)−m 2<4m ，求实数 m 的取值范围．答案第一部分1. B2. C3. A4. C5. B6. B7. D8. B9. C 10. C11. A 12. C 第二部分 13. 6 14. y 2=4x 15. 2 16. 2113+1+√52．第三部分17. （1） 因为 sin (2A +B )=2sinA +2cos (A +B )sinA ， 所以 sin [A +(A +B )]=2sinA +2cos (A +B )sinA ， 所以 sin (A +B )cosA −cos (A +B )sinA =2sinA ， 所以 sinB =2sinA ，由正弦定理得 b =2a ， 所以 ab =12．（2） 因为 a =1，所以 b =2，S △ABC =12absinC =12⋅1⋅2⋅sinC =√32， 所以 sinC =√32，cosC =±12，当 cosC =12 时， 所以 cosC =a 2+b 2−c 22ab=1+4−c 24=12，所以 c =√3． 当 cosC =−12 时， 所以 cosC =a 2+b 2−c 22ab =1+4−c 24=−12，所以 c =√7． 故 c =√3 或 c =√7． 第四部分18. 37，55，56，05，07，17，51，28，35，43 第五部分19. （1） 取 PA 的中点 N ，连接 QN ，BN ．因为 Q ，N 是 PD ，PA 的中点， 所以 QN ∥AD ，且 QN =12AD ． 因为 PA =2，PD =2√3，PA ⊥PD ， 所以 AD =√PA 2+PD 2=4， 所以 BC =12AD ．又 BC ∥AD ，所以 QN ∥BC ，且 QN =BC ， 所以四边形 BCQN 为平行四边形，所以 BN ∥CQ ．又 BN ⊂平面PAB ，且 CQ ⊄平面PAB ， 所以 CQ ∥平面PAB ．（2） 取 AD 的中点 M ，连接 BM ； 取 BM 的中点 O ，连接 BO ，PO ．由（1）知 PA =AM =PM =2， 所以 △APM 为等边三角形， 所以 PO ⊥AM ． 同理：BO ⊥AM ．因为 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以 PO ⊥平面ABCD ．以 O 为坐标原点，分别以 OB ，OD ，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 D (0,3,0)，A (0,−1,0)，P(0,0,√3)，C(√3,2,0)，Q (0,32,√32)． 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,−√3)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,52,√32)．设平面 AQC 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以 {√3x +3y =0,52y +√32z =0,令 y =−√3 得 n ⃗ =(3,−√3,5)． 所以 cos⟨PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=√32√3⋅√37=−4√3737． 所以直线 PD 与平面 AQC 所成角正弦值为 4√3737．20. （1） 依题意 b =1，ca=2√23，b 2=a 2−c 2，解得 a =3，所以椭圆方程为 x 29+y 2=1．（2） 解法 1：设 l ：y =kx +m 代入 x 29+y 2=1 可得：(9k 2+1)x 2+18kmx +9m 2−9=0，由 Δ=(18km )2−4(9k 2+1)(9m 2−9)>0，得 9k 2+1−m 2>0， 所以 x 1+x 2=−18km9k 2+1，x 1x 2=9m 2−99k 2+1，BP ⊥BQ ⇒BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=0， 所以 (k 2+1)x 1x 2+k (m −1)(x 1+x 2)+(m −1)2=0， 代入可得：(k 2+1)9m 2−99k 2+1+k (m −1)(−18km9k 2+1)+(m −1)2=0， 整理得 5m 2−m −4=0，m =−45 或 m =1 （ 舍 ）． 直线 l ：y =kx +m 过定点 M (0,−45)，所以 S =12∣BM ∣∣x 1−x 2∣=910√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=910√(18km )2−4(9k 2+1)(9m 2−9)9k 2+1=275√9k 2+1−m 29k 2+1=275√9k 2+9259k 2+1=275√9k 2+925+1625√9k +925≤278.此时 √9k 2+925=1625√9k +25，k 2=7255，k =±√715． △BPQ 面积的最大值为 278．21. （1） fʹ(x )=a x+1+x −1=x 2+(a−1)x+1，x >−1．当 a −1≥0 时，即 a ≥1 时，fʹ(x )≥0,f (x ) 在 (−1,+∞) 上单调递增； 当 0<a <1 时，由 fʹ(x )=0 得，x 1=−√1−a ，x 2=√1−a ，故 f (x ) 在 (−1,−√1−a) 上单调递增，在 (−√1−a,√1−a) 上单调递减，在 (√1−a,+∞) 上单调递增；当 a <0 时，由 fʹ(x )=0 得，x 0=√1−a ，f (x ) 在 (−1,√1−a) 上单调递减，在 (√1−a,+∞) 上单调递增．（2）由（1）知，0<a<1，且α=−√1−a，β=√1−a，所以α+β=0，αβ=a−1．f(β)α=aln(β+1)+12β2−β−β=(β2−1)ln(β+1)β−12β+1．由0<a<1得，0<β<1．构造函数g(x)=(x 2−1)ln(x+1)x−12x+1，x∈(0,1)．gʹ(x)=(1+1x2)ln(x+1)−1x+12=2(x2+1)ln(x+1)−2x+x22x2．设ℎ(x)=2(x2+1)ln(x+1)−2x+x2，x∈(0,1)，则ℎʹ(x)=4x 2x+1+4xln(x+1)，因为0<x<1，所以，ℎʹ(x)>0，故ℎ(x)在(0,1)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即gʹ(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)<g(1)=1−12=12，故f(β)α<12．22. （1）因为MA是圆O的切线，MC是圆O的割线，所以MA2=MB⋅MC，又因为M为AP的中点，所以MA=MP，所以MP2=MB⋅MC，且∠PMB=∠CMP，所以△PMB∼△CMP，所以∠MPB=∠MCP，又因为∠MPB+∠MCP+∠CMP+∠CPB=180∘，且∠BMP=120∘，∠BPC=30∘，所以∠MPB=15∘．（2）因为MA是圆O的切线，所以∠MAB=∠ACM，所以△MAB∼△MCA，所以S△MABS△MCA =MA2MC2，在△CMP中，MC=8，∠CPM=45∘，∠PCM=15∘，由正弦定理得：MP=4(√3−1)，因为MA=MP，所以MA=4(√3−1)，所以S△MABS△MCA =MA2MC2=[4(√3−1)]282=2−√32．23. （1） 曲线 C 1：{x =1+cosα,y =sinα（α 为参数）可化为普通方程：(x −1)2+y 2=1，由 {x =ρcosθ,y =ρsinθ 可得曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2(1+sin 2θ)=2．（2） 射线 θ=π6(ρ≥0) 与曲线 C 1 的交点 A 的极径为 ρ1=2cos π6=√3，射线 θ=π6(ρ≥0) 与曲线 C 2 的交点 B 的极径满足 ρ22(1+sin 2π6)=2，解得 ρ2=2√105， 所以 ∣AB∣=∣ρ1−ρ2∣=√3−2√105． 24. （1） 因为 ∣x −a ∣≤2， 所以 a −2≤x ≤a +2，因为 f (x )≤2 的解集为 [0,4]，所以 {a −2=0,a +2=4,所以 a =2．（2） 因为 f (x )+f (x +5)=∣x −2∣+∣x +3∣≥∣(x −2)−(x +3)∣=5， 因为 ∃x 0∈R ，使得 f (x 0)+f (x 0+5)−m 2<4m ， 即 f (x 0)+f (x 0+5)<4m +m 2 成立， 所以 4m +m 2>[f (x )+f (x +5)]min ， 即 4m +m 2>5， 解得 m <−5，或 m >1，所以实数 m 的取值范围是 (−∞,−5)∪(1,+∞)．。

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知全集U R =，集合{|11}A x x x =<->或，则U A =ðA ． (,1)(1,)-∞-+∞B ． (,1][1,)-∞-+∞C ． (1,1)-D ． [1,1]-2. 若3sin(),25παα-=-为第二象限角，则tan α=A. 43-B. 43C. 34-D. 343. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，则()()0f a f b <B. 若1a b +=，则3是3a 与3b 的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，则m ∥nD. 已知角α终边经过点(3,4)-，则4cos 5α=-4. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B. 12AB AD -C. 12AB AD +D. 12AB AD -5. 已知21tan(),tan()544παββ+=-=, 则tan()4πα+的值为A ． 16B ． 2213C ． 322D ．13186. 在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是A.2B.C. 15D.6137. 若公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且52,9,a a 成等差数列，则20S =A. 2121-B.2021-C. 1921-D. 2221-8. 函数ln ||()x f x=的图象大致是 A.B. C.D.9. 已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1494S a S +=，给出下列四个结论：①70a =；②140S =；③58S S =；④7S 最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①② 10. 若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =A. 12e- B. 122e-C.12eD.122e11. 将函数2()2cos ()16f x x ππ=+-的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为A.13B.23C.76D.5612. 已知等边ABC ∆的边长为2，则|23|AB BC CA ++=A.B.C. D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市2019届高三质量监测数学理科试题（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD.1-2.已知集合{}{}21|412,|28x A x x x x B x -=-+>+=<，则()R AC B =A. {}|4x x ≥B. {}|4x x >C. {}|2x x ≥-D.{}|24x x x <-≥或3.已知函数()2x 2,1=2-1,x -1x x f x ⎧-<-⎪⎨≥⎪⎩，则函数()f x 的值域为A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.R4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图35.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n 的值为：（参考数据： 1.732,sin150.2588,sin7.50.1305=≈≈）A. 48B. 36C. 30D. 246.将函数()cos2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是A. ()F x 是奇函数，最小值为-2B. ()F x 是偶函数，最小值为-2C. ()F x 是奇函数，最小值为()F x 是偶函数，最小值为7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 6+4+C. 4+D.4+8.二项式102x ⎫⎪⎪⎝⎭A. 152B. 152- C. 15 D. -159.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布()26,0.8XN ，则日接送人数在6万到 6.8万之间的概率为（()()()0.6826,20.9544,30.9974P X P X P X μσμσμσ-<=-<=-<=）A. 0.6826B. 0.9544C. 0.9974D.0.341310.球面上有A,B,C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB AC BC =⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC. 814π D.94π11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30，则双曲线C 的渐近线方程为A. 0y ±=B. 0x =C. 20x y ±=D.20x y ±=12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试高三数学考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题：1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x ∈N ｜lnx ＜x ＜1），则A ∩B ＝ A ．{0，1} B ．{1，2} C ．{0，1，2} D ．{0，1，2，3} 2．设复数z 满足2z ii i-=-，则|z|＝A ．1BC ．3 D3．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A ．2BC ．3D 4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n ＝A ．12B ．16C ．24D ．325．在△ABC 中，若点D 满足3BD DC =，点E 为AC 的中点，则ED = A ．5163AC AB + B ．1144AB AC + C ．3144AC AB - D ．5163AC AB - 6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B ＝A ．4B ．13C ．40D ．41 7．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为A ．24+ B ．24- C ．1 D ．128．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，(2sin )cos a B C A ，点D 是边BC 的中点，且AD =△ABC 的面积为A B ．2 C D ．410．函数f （x ）＝xsin2x ＋cosx 的大致图象有可能是A．B．C．D．11．已知四棱锥S—ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，BC二面角S—BC—A的大小为π3．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A．B．4πC．8πD．16π12．已知函数f （x ）＝ex －e －x ，若对任意的x ∈（0，＋∞），f （x ）＞mx 恒成立，则m 的取值范围为 A ．（－∞，1） B ．（－∞，1] C ．（－∞，2） D ．（－∞，2]第Ⅱ卷二、填空题：13．二项式51)x的展开式中x －2的系数是________．14．设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪++⎩≤≤≥，则23y z x +=+的最大值是________．15．已知sin10°－mcos10°＝2cos140°，则m ＝________．16．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意不同的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0），则x 0的取值范围是________．（用p 表示） 三、解答题： （一）必考题：17．已知数列{a n }为等差数列，a 7－a 2＝10，a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{b n }的前n 项和为S n ，若225n S =，求n 的值．18．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．（1）若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点E 使得平面CDE 上平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 附：相关系数公式()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑75.47≈．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率； ②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20．顺次连接椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0形．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为12-（O 为坐标原点），线段OA 上有一点M 满足||2||3OM OA =，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求||||BM BN 的值． 21．已知函数f （x ）＝x 2－2x ＋2alnx ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123()()ln 202f x f x +++>． （二）选考题：22．在直角坐标系xOy 中，曲线1(1sin ),:cos x a t C y a t=+⎧⎨=⎩（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2π:6C θ=（ρ∈R ）． （1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN的面积为a 的值．23．已知函数f （x ）＝|4x －1|－|x ＋2|． （1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）＋5|x ＋2|＜a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（理科）1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D10．A 11．C 12．D 13．－10 14．5 15． 16．（p ，＋∞） 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为a 7－a 2＝10， 所以5d ＝10，解得d ＝2．因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以26121a a a =，即（a 1＋5×2）2＝a 1（a 1＋20×2），解得a 1＝5． 所以a n ＝2n ＋3．（2）由（1）知111(23)(25)n n n b a a n n +==++， 所以111()22325n b n n =-++， 所以1111111[()()()]2577923255(25)n nS n n n =-+-++-=+++， 由25(25)25n n =+，得n ＝10． 18．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D （0，0，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0），O （1，1，0）． （1）因为点E 是D 1O 的中点，所以点E 的坐标为11(,,1)22． 所以1(1,1,2)OD =--，11(,,1)22DE =，(0,2,0)DC =． 设(,,)p x y z =是平面CDE 的法向量，则0,0,p DE p DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即110,2220.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩， 取x ＝2，则z ＝－1，所以平面CDE 的一个法向量为(2,0,1)p =-． 所以111cos ,||||(OD p OD p OD p ⋅===．所以直线OD 1与平面CDE所成角的正弦值为15． （2）假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设1D E EO λ=． 显然(1,1,0)OC =-，1(1,1,2)OD =--． 设(,,)m x y z =是平面CD 1O 的方向量，则10,0,m OC m OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,20,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩．取x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以平面CD 1O 的一个法向量为(1,1,1)m =． 因为1D E EO λ=，所以点E 的坐标为2(,,)111λλλλλ+++．所以2(,,)111DE λλλλλ=+++，(0,2,0)DC =．设(,,)n x y z =是平面CDE 的法向量，则0,0,n DE n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,11120.x y z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩． 取x ＝1，则2z λ=-，所以平面CDE 的一个法向量为(1,0,)2n λ=-．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m n ⊥，即0m n ⋅=，102λ-=，解得λ＝2．所以λ的值为2．即当1||2||D E EO =时，平面CDE ⊥平面CD 1O ． 19．解：（1）由题知3t =，47y =，51852i ii t y==∑==，则()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑1470.970.75150.94==≈≈>．故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，故所求概率为631()()64P P A P A =-=． ②若选择方案一，则需付款1000－100＝900（元），若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．33311(700)()28P X C ===；223113(800)()228P X C ==⨯=；123113(900)()228P X C ==⨯⨯=；03311(1000)()28P X C ===．所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 因为850＜900，所以选择方案二更划算．20．解：（1）由题可知2ab =a 2＋b 2＝3，解得a =b ＝1．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），||||BM BN λ=．N （x 3，y 3）， ∵23OM OA =，∴1122(,)33M x y ， ∴121222(,)33BM x x y y =--，3232(,)BN x x y y =--． 又∵BM BN λ=，∴1212323222(,)(,)33x x y y x x y y λ--=--， 即312213x x x λλλ-=+，312213y y y λλλ-=+．∵点N （x 3，y 3）在椭圆C 上，∴21221221()213()123x x y y λλλλλλ-+-++=，即22222121212122224(1)4(1)()()()192232x x x x y y y y λλλλλ--+++++=．（*） ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在椭圆C 上，∴221112x y +=，①222212x y +=，② 又直线OA ，OB 斜率之积为12-，∴121212y y x x =-，即121202x x y y +=，③ 将①②③代入（*）得2224(1)19λλλ-+=，解得1318λ=． 21．（1）解：因为函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， 所以2'()220af x x x=-+=在（0，＋∞）上有两个根x 1，x 2，且x 1＜x 2， 即x 2－x ＋a ＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的根x 1，x 2． 所以140,0,a a ∆=->⎧⎨>⎩解得104a <<． （2）证明：由题可知x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）是方程x 2－x ＋a ＝0的两个不等的实根， 所以12121,,x x x x a +=⎧⎨=⎩其中104a <<．故2212111222()()22ln 22ln f x f x x x a x x x a x +=-++-+＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋2aln （x 1x 2） ＝2alna －2a －1，令g （a ）＝2alna －2a －1，其中104a <<．故g'（a ）＝21na ＜0， 所以g （a ）在1(0,)4上单调递减，则13()()ln 242g a g >=--，即 123()()ln 202f x f x +++>．22．解：（1）消去参数t得到C1的普通方程：（x－a）2＋y2＝a2．C1是以（a，0）为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ带入C1的普通方程，得到C1的极坐标方程ρ＝2acosθ．（2）C3的极坐标方程5π3θ=（ρ∈R），将π6θ=，5π3θ=代入ρ＝2cosθ，解得1ρ，ρ2＝a，则△OMN的面积为21ππsin()2632a⨯⨯+==a＝2．23．解：（1）由题意可得33,21 ()51,2,4133,4x xf x x xx x⎧⎪-+-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，当x≤－2时，－3x＋3＜8，得53x>-，无解；当124x-<<时，－5x－1＜8，得95x>-，即9154x-<<；当14x≥时，3x－3＜8，得113x<，即11143x<≤．所以不等式的解集为911 {|}53x x-<<．（2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9，则由题可得a2－8a＞9，解得a＜－1或a＞9．。

吉林省长春2019届上学期第一次质量检测试题高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,3 【答案】C .考点：集合间的基本运算；2.已知向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，若a b a b →→→→+=-，则实数λ的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【答案】C . 【解析】试题分析：因为向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，所以(22,2)a b λ→→+=+，(2,0)a b →→-=-，于是由a b a b →→→→+=-2=，解之得1λ=-，故应选C .考点：平面向量的坐标运算；【方法点晴】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若469,11a a ==，则9S 等于( )A ．180B ．90C ．72D ．10【答案】B .考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和；4.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是( ) A ．2y x = B ．2xy = C.21log y x= D ．sin y x = 【答案】C . 【解析】试题分析：对于选项A ，函数2y x =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项B ，函数2xy =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项C ，函数21log y x=为偶函数且在(),0-∞上单调递增的函数，符合题意；对于选项D ，函数sin y x =为奇函数，不符合题意，故应选C .考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性. 5.设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为（ ） A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1- 【答案】D . 【解析】试题分析：因为复数i z --=122(1)1(1)(1)i i i i -+==-+---+，所以1z i -=--，于是(1)1i z i i i -⋅=--=-，所以在复平面内z i ⋅对应的点坐标为()1,1-，故应选D . 考点：1、复数的基本概念；2、复数的四则运算. 6.如图所示，程序框图的功能是（ ） A ．求{n 1}前10项和 B ．求{n 21}前10项和 C ．求{n 1}前11项和 D ．求{n21}前11项和 第6题图【答案】B .考点：1、算法与程序框图；7.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B.92 C.32D.3【答案】C .【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、搞分别为1、2、2的直角梯形，一条边长为x 的侧棱垂直于底面.于是其体积为12(12)3322x ⨯+⨯=，解之得32x =，故应选C .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积. 8.有下列关于三角函数的命题： 1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；2:P 函数3sin()2y x π=-与函数cos y x =的图像相同； 300:,2cos P x x π∃∈=R ；4:P 函数|cos |y x =()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A. 1P ，4P B ．2P ，4P C ．2P ，3P D ．1P ，2P【答案】D .考点：1命题的真假判断与应用；9.设,,a b c 是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A. 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B. 当b α⊂时，若b β⊥，则βα⊥C. 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D. 当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 【答案】B .考点：1、空间中直线与平面之间的位置关系； 2、空间中直线与直线之间的位置关系；3、空间中平面与平面之间的位置关系.10.下列四个结论正确的个数是（ ）①若n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=r ②由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积是2ln 2③已知随机变量ξ服从正态分布(),,12σN (),79.04=≤ξP 则()21.02=-≤ξP ④设回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均增加2.5个单位A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D . 【解析】试题分析：对于①，因为n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关性最强，所以相关系数为1-，即①为正确的；对于②，由定积分的几何意义知，由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积可表示为22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，即②为正确的；对于③，由正态分布的对称性知，(2)(4)1(4)10.790.21P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，即③为正确的；对于④，因为回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均减少2.5个单位，所以④不正确，故应选D . 考点：1、命题的真假判断；2、线性回归方程；3、定积分的几何意义；4、正态分布.11.直线2:,:21+==x y l x y l 与圆C 02222=--+ny mx y x 的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则=m （ ）A .0或1 B. 0或1- C ． 1- D ． 1 【答案】B .考点：1、直线与圆的位置关系；【易错点晴】本题主要考查了直线与圆相交的性质问题，属于易错题.其解题中易错点有三：其一是没能观察发现题意隐藏的条件即直线1l 与2l 平行，否则解答无法进行；其二是一定要正确地画出图形，并结合图形进行解答，否则很容易出现错误；其三还应全面、准确地考虑问题，学生容易出现只片面的考虑其中一种情况，进而导致错误的出现.12.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)1f =，)(x f '为()f x 的导函数，又知)(x f y '= 的图像如图所示，若两个正数b a ,满足，1)2(<+b a f ，则12++a b 的取值范围是（ ） A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,32 C ．]25,41[ D ．⎪⎭⎫⎝⎛25,41【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数的几何意义3、线性规划.【思路点晴】本题属于线性规划中的延伸题，主要考查导函数的几何意义、线性规划等综合知识，属较难题. 对于可行域内求线性目标函数的最值，其解题的思路为：首先利用导数与函数的关系可得关于,a b 的不等关系式，然后画出关于,a b 的可行域，再结合直线斜率的几何意义可知，式子12++a b 表示的几何意义是可行域中的点与(1,2)--的连线的斜率问题，运用数形结合思想即可得出结论.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式5的展开式中常数项为 ． 【答案】10-. 【解析】试题分析：因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r r C C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.考点：1、二项式定理.14.记集合(){}()221,1,,00x y A x y x y B x y x y ⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为,M N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________． 【答案】π21.考点：1、几何概型的概率计算公式； 15.已知数列{}n a为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为【答案】2π. 【解析】试题分析：因为π=⎰，所以201320150a a π+==⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++22220142012201420142016201320132015201522a a a a a a a a a =++=++220132015()a a =+2π=，故应填2π.考点：1、等比数列的性质；2、定积分；【思路点晴】本题综合考查了等比数列及其性质和定积分的计算，是数列与定积分的综合应用，属中档题.解答该题基本思路：首先运用定积分的几何意义求出已知的定积分，然后利用等比数列的性质即若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，建立起所求的未知问题与已知条件之间的联系，最后运用平方和公式即可求出所求答案.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有()()13-=-x f x f 成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-, 给出下列命题(1) ()f x 在[2,2]-上有5个零点；(2) 点(2016,0)是函数()y f x =的一个对称中心； (3) 直线2016x =是函数()y f x =图像的一条对称轴； (4)()()π<f f 2.9. 则正确的是 ．【答案】(1)、(2)、(4).00.841π<<-<，所以(0.8)(4)f f π>-，所以(9.2)()f f π<，即命题（4）正确. 故应填(1)、(2)、(4).考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性；3、函数的对称性；4、函数的单调性.【易错点晴】本题综合考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的单调性，是函数的图像及其性质的综合应用，属较难题.解答该题应注意以下几个易错点：其一是未能读懂题意，不能将题目表达式转化为所学的函数性质问题如函数的周期性和单调性；其二是对函数的图像未能准确把握，不能正确理解函数的对称中心和对称轴的基本概念.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满分10分) 在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-= A.10B.10- C.10i D.10i -2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M N M =的集合N 的个数为A.1B.2C.3D.43.4.A.y =5.A.30︒6.A.3-7.A.18.分到A.69.求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，10.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为， A.4.5B.6C.7.5D.1011.B 外任意A.y x =±12.(0)a f =A.c b >>13.24log 4log 2+=.14.若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为. 15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S =.16.为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2b a Cc =+.(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=,求a 的最小值.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒(1)求证:(2)19.((1)Q 作x (2)C 的方程.20.(气温([20,25)，需求量为（1（2n （单21.(已知函数21()(,)2x f x e bx ax a b =-+∈R .（1）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12； （3）若()f x 在R 单调函数，求ab 的最小值.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知0a >，0b >，2a b +=. (1)22(2)1.C 2.D N M =有3.A 本题考查三角函数的相关知识由题意可知函数最大值为4.B 本题主要考查函数的性质 5.C 6.C 7.D 8.B 【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B. 9.D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10.D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11.C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C.12.A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0x x g x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<.故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52.14.12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.15.1016.17.( cos （2 2≥18.( 由平面⊥PAD 2的菱形，∠A （2(0,0,3)，A ，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=. 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而220||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===.因此X（2 200 当 因此 当 因此 所以21.(设(g 当x 所以因为（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12.（8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()xf x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0xf x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=- 当0b =时，0ab =；当0b <时，()0x g x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<22.(32=AB 得sin α23.(。

2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测(一)理科数学试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(-1+31)(3-1)=A.10B. -10C. 101D. -101【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算展开得到表达式，即可得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到:(-1+31)(3-1)= -3 + i + 9i + 3=10i.故答案为：C.【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.己知集合M = {0,l },则满足条件MUN = M的集合N的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意得到：M u N = M有N c 写出集合M的子集即可.【详解】根据题意得到：MUN = M有NCM,即找集合M的子集个数，有：0, {0}, {1}, {0, 1}共有4个集合是M的子集.故答案为：D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识.纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算.解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素.二是考查抽彖集合的关系判断以及运算.兀3 .函数f(x) = sin(x + -) + sinx 的最大值为，A. 筋B. 2C. 2、$D. 4【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的两角和的止弦公式和化一公式得到函数表达式为：^sin|x + A /3-从而得到最大值.故最大值为：不. 故答案为：A.【点睛】本题主要考查由函数y=Asin (cox+q ))的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，考查了 函数y 二Asin (o )x+(p )的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般釆用的是整体思想，将®x+(p 看做一个整体，地位等同于sinx 中的x.4. 下列函数屮是偶函数，且在区间(0, + oo)上是减函数的是A. y = |x|+lB. y =x -2C. y = —xD. y = 2凶【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式，判断f(x)和f(・x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.【详解】A.f(x) = |x|十l,f*(-x) = |-x|+1 =f(x),函数是偶函数，在(0,十8)上是增函数，故不正确；B. y = x'2»是偶函数，f(-x) = (-x)-2 = f(x)，在区间(0, + °°)上是减函数，故正确；C. y = --x, f(-x) = -- + x = -f(x),是奇函数，故不正确； x xD. y = 2冈，f(_x) = 2卜"=f(x)，是偶函数，但是在(0, + g)上是增函数，故不正确；故答案为:B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着=-sinx H --- osx + sinx = -sinx H ---- c osx 2 2 2 2 =点sin^x + -j < \&.再按照定义域验证f(x)和f(・x)的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续, 接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.已知平面向量、b,满足|a| = |b| = l,若(2a-b) • b = 0,则向量、b的夹角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】【分析】根据向量的点积运算得到(2a - b) • b = 2cos9-l,进而得到角的余弦值，求出角.【详解】设向量夹角为，根据向量的点积运算得到：(2n・b)・b= 2a - b-b2 = 2cos0-l = 0=>cosG =-2故夹角为：60°.故答案为：C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平而向量数量积公式有两种形式，一是a-b = |a||b|cos9,二是a • b = XjX2 + y^,主要应用以下几个方面：(1)求向量的夹角，a，b 亠」 a • bcos。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D.3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 15. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其2142S =⨯⨯=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.20. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-. 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，12≥+. 长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：17. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 18. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D. 19. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 20. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.21. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 22. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 23. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 24. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.25. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 26. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 27. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 28. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：29. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 30. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.31. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 32. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其21422S =⨯⨯⨯=. 三、解答题24. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.25. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.26. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.27. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 28. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）29. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 30. (本小题满分10分)数学（理科）试题+参考答案及评分标准 第11页（共11页） 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=. （2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，1≥+.。