2019长春高三一模数学文科

2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 设复数z =（5+i ）（1-i ）（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）A. 4iB. 4C. −4iD. −42. 已知集合A ={x|y =√2−x 2，x ∈R}，B ={x |-1≤x ≤3，x ∈Z }，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点(√2，√6)，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. √2 C. 3 D. √34. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ）A. 12B. 16C. 24D. 325. 若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. √2πB. 2√2πC. 2πD. 4π6. 设x ，y 满足约束条件{x +2y −4≤0，x −y −1≤0，2x +y +1≥0，，则z =-2x +y 的最大值是（ ）A. 1B. 4C. 6D. 77. 已知函数f(x)={sinx ，x ≤π4cosx ，x ＞π4，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)是周期函数B. f(x)奇函数C. f(x)的图象关于直线x =π4对称D. f(x)在x =5π2处取得最大值8. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A. 4B. 13C. 40D. 419. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =1，a （2sin B -√3cos C ）=√3c cos A ，点D 是边BC 的中点，且AD =√132，则△ABC 的面积为（ ）A. √3B. √32C. √3或2√3D. 3√34或√3 10. 已知抛物线C ：y 2=6x ，直线l 过点P （2，2），且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为（ ）A. 13B. 54C. 32D. 1411. 函数f （x ）=x sin2x +cos x 的大致图象有可能是（ ）A.B.C.D.12. 已知x ＞0，函数f （x ）=(e x −a)2+(e −x +a)2e x −e −x的最小值为6，则a =（ ）A. −2B. −1或7C. 1或−7D. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −3b ⃗ ，n ⃗ =3a ⃗ +k b⃗ ，如果m ⃗⃗⃗ ∥n ⃗ ，则k =______． 14. 已知函数f （x ）满足f(x2)=x 3−3x ，则曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为______．15. 已知sin10°+m cos10°=-2cos40°，则m =______．16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }为等差数列，a 7-a 2=10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =225，求n 的值．18. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下： t i 1 2 3 4 5 y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 附：相关系数公式r =∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2=∑t i n i=1y i −nt −y−√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2，参考数据√5695≈75.47．（2）建立y 关于t 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．（参考公式：b ̂=∑(ni=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2=∑t i ni=1y i −nt −y −∑t i 2n i=1−nt−2，a ̂=y −−b ̂t −）19. 在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD ．AB =2AD =4，∠DAB =π3． （1）证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；（2）若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为π6，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C -MNQ 的体积．20. 顺次连接椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为√3且面积为2√2的菱形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （0，-2）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，k OA •k OB =-1，其中O 为坐标原点，求|AB |．21. 已知函数f(x)=lnx +12x 2−(m +1)x +m +12．（1）设x =2是函数f （x ）的极值点，求m 的值，并求f （x ）的单调区间； （2）若对任意的x ∈（1，+∞），f （x ）＞0恒成立，求m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{y =acost x=a(1+sint),（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ=π6（ρ∈R ）．（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =-√3x ，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN 的面积为2√3，求a 的值．23. 已知函数f （x ）=|4x -1|-|x +2|．（1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）+5|x +2|＜a 2-8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=（5+i）（1-i）=6-4i，∴z的虚部是-4．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：，B={-1，0，1，2，3}；∴A∩B={-1，0，1}；∴A∩B中元素的个数为：3．故选：B．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B中元素的个数．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.【答案】A【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即b=a，即有双曲线的e====2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意知，r=h=l，则轴截面的面积为•=1，解得r=1，所以l=；所以该圆锥的侧面积为S圆锥侧=πrl=π．故选：A．设圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出r和l 的值，再计算圆锥的侧面积公式．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-2x+y，得y=2x+z表示，斜率为2纵截距为Z的一组平行直线平移直线y=2x+z，当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z 最大，由解得A（-2，3）此时-2x+y=7，即此时z=7，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．7.【答案】C【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：则由图象知函数f（x）不是周期函数，故A错误，不是奇函数，故B错误，若x＞0，f （+x）=cos （+x）=cos cosx-sinsinx=（cosx-sinx），f （-x）=sin （-x）=sin cosx-cos sinx=（cosx-sinx），此时f （+x）=f （-x），若x≤0，f （+x）=sin （+x）=sin cosx+cos sinx=（cosx+sinx），f （-x）=cos （-x）=cos cosx+sin sinx=（cosx+sinx），此时f （+x）=f （-x），综上恒有f （+x）=f （-x），即图象关于直线对称，故C正确，f（x ）在处f（x）=f （）=cos=0不是最大值，故D错误，故选：C．作出函数f（x）的图象，结合函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=0满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵a（2sinB-cosC）=ccosA，∴2sinAsinB-sinAcosC=sinCcosA，即2sinAsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴2sinA=，即sinA=，即A=或∵点D是边BC的中点，∴=（+），平方得2=（2+2+2•），即=（b2+c2+2bccosA），即13=1+c2+2ccosA，若A=则c2+c-12=0得c=3或c=-4（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==若A=则c2-c-12=0得c=4或c=-3（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==，综上三角形的面积为或，故选：D．根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c 的值进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由y12=6x1，y22=6x2，相减可得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），∵y1+y2=4，∴k===，故选：C．根据点差法和中点坐标公式即可求出本题考查了点差法求出直线的斜率，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得cosx（2xsinx+1）=0，得cosx=0，此时x=或，由2xsinx+1=0得sinx=-，作出函数y=sinx和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵x＞0，∴e x-e-x＞0∴f（x）===（e x-e-x）+-2a≥2-2a，∵函数f（x）=的最小值为6，∴2-2a=6，解得a=-1或7，故选：B．根据基本不等式即可求出函数的最值．本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题13.【答案】−92【解析】解：∵不共线；∴；∵；∴存在实数λ，使；∴；∴根据平面向量基本定理得，；解得．故答案为：．根据不共线即可得出，从而根据得出，存在实数λ，使得，从而得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出k即可．考查共线向量基本定理，平面向量基本定理．14.【答案】18x-y-16=0【解析】解：函数f（x）满足，可得f（x）=8x3-6x，即有f′（x）=24x2-6，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=18，切点为（1，2），可得切线方程为y-2=18（x-1），即为18x-y-16=0．故答案为：18x-y-6=0．由x替换2x，可得f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的解析式的求法，以及导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】−√3【解析】解：sin10°+mcos10°=-2cos40°，整理得：sin10°+mcos10°=-2cos（10°+30°）=-2[]，整理得：m=-，故答案为：-直接利用和角公式的展开式，利用对应关系求出m的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】20π【解析】1解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：如图所示：所以：O为外接球的球心，所以：R，故：S=4=20π故答案为：20π首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步确定几何体的外接球球心，在算出几何体的外接球半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）设数列{a n}为公差为d的等差数列，a7-a2=10，即5d=10，即d=2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40），解得a1=5，则a n=5+2（n-1）=2n+3；（2）b n=1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3-12n+5），即有前n项和为S n=12（15-17+17-19+…+12n+3-12n+5）=12（15-12n+5）=n5(2n+5)，由S n=225，可得5n=4n+10，解得n=10．【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n===（-），运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n ．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由题知t −=3，y −=47，∑t i 5i=1y i =852，√∑(n i=1t i −t −)2=√10，√∑(n i=1y i −y −)2=√2278， 则r =∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2=∑t i n i=1y i −nt −y−√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2=147√22780=1472√5695≈147150.94≈0.97＞0.75． 故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）由（1）得b ̂=∑t i ni=1y i −nt −y −∑t i 2n i=1−nt−2=14.7，a ̂=47−14.7×3=2.9． 所以y 与t 的回归方程为y =14.7t +2.9． 将t =6带入回归方程，得y =91.1≈91，所以预测第6年该公司的网购人数约为91人． 【解析】（Ⅰ）根据表格数据，计算相关系数r 进行判断即可． （Ⅱ）根据线性规划关系公式求出回归系数进行预报即可．本题主要考查线性回归方程的应用，根据表格数据进行计算，考查学生的计算能力． 19.【答案】证明：（1）∵D 1D ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥BC ．又AB =4，AD =2，∠DAB =π3， ∴BD =√22+42−2×2×4×cos π3=2√3，∵AD 2+BD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ． 又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥BD ．又∵D 1D ∩BD =D ，BD ⊂平面D 1BD ，D 1D ⊂平面D 1BD ， ∴BC ⊥平面D 1BD ，而BC ⊂平面D 1BC ， ∴平面D 1BC ⊥平面D 1BD ． 解：（2）∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即∠D 1BD =π6， 而BD =2√3，∴DD 1=2． V C−MNQ =V Q−CMN =14V Q−BDC ，∴三棱锥C -MNQ 的体积V C−MNQ =14×13×12×2√3×2×1=√36．【解析】（1）推导出D 1D ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ⊥BD ．从而BC ⊥平面D 1BD ，由此能证明平面D 1BC ⊥平面D 1BD ．（2）由D 1D ⊥平面ABCD ，得∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即，由，能求出三棱锥C-MNQ 的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解：（1）由题可知，2ab =2√2，a 2+b 2=3，解得a =√2，b =1． 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为y =kx -2， 代入方程x 22+y 2=1，整理得（1+2k 2）x 2-8kx +6=0．由△=64k 2-24（2k 2+1）＞0，解得k 2＞32， 所以x 1+x 2=8k 1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2． k OA ⋅k OB =y 1y2x 1x 2=k 2x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4x 1x 2=−1，解得k 2=5．∴.|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2111．【解析】（1）由题可知，，a 2+b 2=3，解得即可求出椭圆的方程，（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为y=kx-2，代入方程，整理得（1+2k 2）x 2-8kx+6=0．然后根据根与系数的关系以及已知条件求解即可本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式，根与系数的关系，是中档题． 21.【答案】解：（1）由f(x)=lnx +12x 2−(m +1)x +m +12（x ＞0），得f′(x)=x +1x −m −1．∵x =2是函数f （x ）的极值点，∴f′(2)=2+12−m −1=0，故m =32． 令f′(x)=x +1x−52=2x 2−5x+22x＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2．∴f （x ）在（0，12）和（2，+∞）上单调递增，在（12，2）上单调递减； （2）f′(x)=x +1x −m −1（x ＞0），当m ≤1时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 又f （1）=0，∴lnx +12x 2−(m +1)x +m +12＞0恒成立；当m ＞1时，求导可知f′(x)=x +1x −m −1在（1，+∞）上单调递增， 故存在x 0∈（1，+∞），使得f ′（x 0）=0，∴f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， 又f （1）=0，则f （x 0）＜0，这与f （x ）＞0恒成立矛盾． 综上，m ≤1． 【解析】（1）求出原函数的导函数，利用x=2是函数f （x ）的极值点，可得f′（2）=0，由此求得m 值，代入导函数，再由导函数大于0求得原函数的增区间，导函数小于0求得原函数的减区间； （2）求出原函数的导函数（x ＞0），可得当m≤1时，f′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，结合f （1）=0，可知f （x ）＞0恒成立；当m ＞1时，可知存在x 0∈（1，+∞），使得f′（x 0）=0，得到f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，结合f （1）=0，得f （x 0）＜0，这与f （x ）＞0恒成立矛盾，可得m≤1．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.【答案】解：（1）曲线C 1：{y =acost x=a(1+sint),（a ＞0，t 为参数）．转换为直角坐标方程为：（x -a ）2+y 2=a 2， 该曲线为以（a ，0）为圆心a 为半径的圆． 圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ． （2）直线C 3的方程为y =-√3x ， 转换为极坐标方程为：θ=2π3．将θ=π6，θ=2π3代入ρ=2cosθ，解得：|ρ1|=√3a ，|ρ2|=a ，则：S △OMN =12⋅√3a ⋅a ⋅sin(π6+π3)=2√3， 解得：a =2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（1）由题意可得f （x ）={−3x +3，x ≤−2−5x −1，−2＜x ＜143x −3，x ≥14，当x ≤-2时，-3x +3＜8，得x ＞−53，无解；当−2＜x ＜14时，-5x -1＜8，得x ＞−95，即−95＜x ＜14； 当x ≥14时，3x -3＜8，得x ＜113，即14≤x ＜113． 所以不等式的解集为{x|−95＜x ＜113}． （2）f （x ）+5|x +2|=|4x -1|+|4x +8|≥9， 则由题可得a 2-8a ＞9， 解得a ＜-1或a ＞9． 【解析】（1）求出f （x ）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可； （2）求出f （x ）+5|x+2|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

【市级联考】吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（三）数学（文科）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 的值为（）A．B．C．D．2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．3. 在复平面内，复数对应的点位于（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A．6 B．24 C．120 D．7205. 已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A．0 B．10 C．15 D．306. 已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝（）A．B．C．D．7. 若，，，则的大小关系是( ) A．B．C．D．8. 已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A．B．C．D．9. “科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A．2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大B．该企业连续 12 年研发投入逐年增加C．2015﹣2016 年研发投入增值最大D．该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10. 函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．11. 已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为（）A．B．8 C．D．12. 已如函数，若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、双空题13. 已知函数的最小正周期为，则＝_____，若，则＝____．三、填空题14. 已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为_____.15. 我国古代数学名著《九章算术?商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为____．16. 已知数列中，，则＝_____四、解答题17. 在中，，．（1）若，求的面积；（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．18. 某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．分组频数[55，65） 2[65，75） 4[75，85）10[85，95] 4合计20第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．19. 如图，等腰梯形ABCD中，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当四棱锥体积最大时，求点C到平面PAB的距离．20. 已知函数．（Ⅰ）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．21. 如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形面积的最大值．22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线A．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．23. 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．。

吉林省吉林市普通中学2019届高三第一次调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】C2.若，为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 6是3与9的等比中项C. 若，是不共线的向量，且，，则D. 已知角终边经过点，则【答案】C4.已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则A. B. C. D.【答案】A5.若公差为2的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，则A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】B6.已知，，则的值为A. B. C. D.【答案】C7.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则A. 1B.C. 2D.【答案】B8.在小正方形边长为1的正方形网格中，向量，的大小与方向如图所示，则向量，所成角的余弦值是A. B. C. D.【答案】B9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里【答案】B10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A11.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得f(x)为奇函数，再由，＞0，可判断出函数图像，可得答案. 【详解】解：由题意得：，故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又，＞0，故D项不符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键.12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．【答案】14.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则______．【答案】315.设函数，若，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e，1），由可得m的取值范围.【详解】解：如图所示：可得的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e，1），所以，则实数m的取值范围是，可得答案：.【点睛】本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.16.已知数列是等差数列，前n项和为，满足，给出下列四个结论：；；；最小，其中一定正确的结论是______只填序号．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列，点在直线上．求证：数列是等差数列；设，求数列的前20项和．【答案】（1）见解析；（2）330【解析】【详解】解：证明：，数列是公差为3的等差数列；由知：，公差，当时，，当时，，∴．18.已知函数．求函数的最小正周期；当时，求函数的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【详解】解：因为所以函数的最小正周期为．因为由，得，从而所以当时，的最大值为，最小值为．19.设为数列的前n项和，已知，．证明：为等比数列；求的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】证明：，，，即，由题意知，，是首项为2，公比为2的等比数列；由知，，，，．，即n，，成等差数列．20.在中，内角A，B，C的边长分别为a，b，c，且．若，，求的值；若，且的面积，求a和b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】中，，，；由余弦定理得，，解得；由正弦定理，得；由，降幂得，化简得，即；又，得；由解得21.已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)把代入原方程可得，可得，，可得函数在点处的切线方程；(2)，分，两种情况讨论，结合函数的单调性及对任意都有，可得a的取值范围.【详解】解当时，，，，，切线方程为：，整理得：．．在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当时，函数在上单调递增．函数在上的最大值是，由题意得，解得：，，此时a的值不存在；当时，，此时在上递增，在上递减．函数在上的最大值是，由题意得，解得：．综上，a的取值范围是．【点睛】本题主要考查导数的性质及应用，注意分类讨论思想的灵活运用.22.设函数．当时，求函数的单调区间；求函数的极值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】解：当时，函数，，令得：，，当x变化时，，的变化情况如下表：在单调递增，在单调递减，在单调递增-当时，，，函数单调递增，，函数单调递减所以在区间上有极大值，无极小值当时，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增所以，当时，在区间上有，单调递增，无极值当时，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增所以综上，当时，极大值为，无极小值；当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为。

2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题。

1.设复数(5)(1)z i i =+-（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A. 4i B. 4C. 4i -D. -4【答案】D 【解析】 【分析】由复数()()5164z i i i =+-=-，即可得到复数的虚部，得到答案。

【详解】由题意，复数()()51z i i =+-=255i i i -+-64i =-，所以复数z 的虚部为4-，故选D 。

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.已知集合{}|A x y x R ==∈，{|13,}B x x x Z =-≤≤∈集合A B 中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集的运算，求得{}1,0,1A B ⋂=-，即可得到答案。

【详解】由题意，可得集合{|A x x =≤≤，{}1,0,1,2,3B =-，则{}1,0,1A B ⋂=-，故选B 。

【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的运算，得到集合A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

3.已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2C. 3【解析】 【分析】将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得ba 的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为by x a=，将点代入双曲线的渐近线方程得b a =b a =2e ===，故选A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ） A. 12 B. 16C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数.【详解】依题意，总人数为30301050120+++=，其中“不喜欢的男性青年观众”有30人，故306120n=，解得24n =.所以本小题选C. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题.5.若一个圆锥轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）B.C. 2πD. 4π【解析】 【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，，则)2112⨯=，∴r 1l ==，侧面积为πrl =故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积πrl =的应用．6.设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）A. 1B. 4C. 6D. 7【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】由条件画出可行域如图：2z x y =-+表示直线在y 轴上的截距，当l ：2y x z =+平移到过点A 时，z 最大，又由24210x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得()A 2,3-此时，max 7z =. 故选D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是周期函数B. ()f x 奇函数C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 在52x π=处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。

东北师大附中重庆一中吉大附中长春十一高中吉林一中松原实验高中2019届高三联合模拟考试数学（文）科试题本试卷共23题，共150分，共4页，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

写在本试卷上的答案无效。

3. 考试结束后，将答题卡上交。

一．选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】复数，根据共轭复数的概念得到，共轭复数为：。

故答案为：D。

3.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A. 32B. 33C. 34D. 35【答案】A【解析】由题设两组数据的中位数相同可知：，故甲组数的平均数是，应选答案A。

4.已知平面向量,的夹角为，且，，则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.【详解】由题意，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的性质和函数值的取值情况进行分析、判断可得结论．【详解】因为，所以函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，故可排除A，C；又当，，所以，故可排除B．从而可得选项D正确．故选D．【点睛】本题考查用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解．6.已知双曲线的右焦点为，离心率为，若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的离心率为，得，又由双曲线的焦点到一条渐近线的距离为4，得，又由，代入解得，即可到双曲线的标准方程.【详解】由题意知，双曲线的离心率为，即，又由双曲线的焦点到一条渐近线，即的距离为4，得，又由，代入解得，所以双曲线的方程为,故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，执行循环结构的程序框图，逐次计算，即可得到输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可知，第一次循环，，不满足判断条件；第二次循环，，不满足判断条件；第三次循环，，不满足判断条件；第四次循环，，满足判断条件；所以输出，得，故选C．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．8.在中，所对的边分别为，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，求得，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得，进而得到，再利用正弦定，即可求解球的半径.【详解】由题意，因为，所以．由余弦定理得：.又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，其中合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知长方体的底面为正方形，与平面所成角的余弦值为，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，，由,所以与所成角，即为与所成角，在中，即可求解.【详解】由题意，在长方体中，设，则，又，，因为,所以与所成角，即为与所成角，在中，，与所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角，利用平行线转化为两条相交直线所成的角是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题. 10.已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.【详解】由题意，根据，，得是的中点，且.过作于点，则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.设直线交轴于点，根据及是的中点，得.又，所以，即,因此直线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．12.已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，令，得，设,利用导数求得函数的单调性和极值，根据函数有且只有一个极值点，转化为直线与函数的图象有一个交点，即可求解.【详解】由题意，求得函数的导数，令，得，即.设,则，当时，得；当时，得或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，所以或.当时恒成立，所以无极值，所以.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意把函数有且只有一个极值点，转化为直线与函数的图象有一个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x ﹣2y的最大值．详解: 满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，由可得C（，﹣），由：，可得A（﹣4，4），由可得B（2，1），当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．故选：D．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为_______________. 【答案】【解析】【分析】由题意，根据函数的奇偶性，求得，再根据导数的几何意义，即可求解曲线在点处的切线方程，得到答案.【详解】由题意，设，则，则.又由函数是奇函数，所以，即，则，所以，且，由直线的点斜式方程可知，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求得在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，化简得，再由余弦的倍角公式，可得，即可求解，得到答案.【详解】因为，则，所以，，所以，又，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，涉及到三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式的应用，其中解答中熟练应用三角函数的公式，准确运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.若侧面积为的圆柱有一外接球，当球的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______________.【答案】【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径，由圆柱的侧面积，求得，得出，得到得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.因为球体积，故最小当且仅当最小.圆柱的侧面积为，所以，所以，所以，当且仅当时，即时取“=”号，此时取最小值，所以,圆柱的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列是递增的等差数列，，，，成等比数列．（I）求数列的通项公式；（II）若，求数列的前项和.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）设的公差为，由条件列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；（II）由（I）可得，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.【详解】（I）设的公差为，由条件得，∴，∴．（II）由（I）可得，∴．【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和“裂项法”求数列的前n项和，其中解答中根据题意，列出方程组求得的值，求得数列的通项公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”，利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率.附：参考公式与参考数据如下，其中.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图得，“支付宝达人”的人数和男性的人数，得出列联表，利用公式，求得的值，即可作出判断；（II）由题意及分层抽样得到所抽取的8人中，“支付宝达人”有人，利用列举法求得基本事件的总数和至少有一个“支付宝达人”所包含的基本事件的个数，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解.【详解】（I）由频率分布直方图得，“支付宝达人”共有600（0.3+0.2）0.5=150人，故“支付宝达人”中男性为150-120=30人，列联表如下：由表格数据，代入公式可得的观测值所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II）由题意及分层抽样的特点可知，抽取的比例为所以抽取的8人中，“支付宝达人”有人，分别记为；“非支付宝达人”有6人，分别记为从这8人中选取两人，不同的取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种.其中至少有一个“支付宝达人”的取法有，，，，，，，，，，，，，共13种.故所求事件的概率.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中根据题意得出列联表，以及利用列举法列举出基本事件和要求事件的事件数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，分别为的中点，，，.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥的体积.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】【分析】（I）由，为的中点，得，进而得出，又由等腰三角形的性质和面面垂直的性质，证得，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定，即可证得平面平面.（II）由（I）连接，利用等体积法，即可求解.【详解】（I）因为，为的中点，，，四边形为平行四边形.因为，.因为，.又平面平面，平面平面，平面，，又，平面.因为平面，平面平面.（II）因为在中，，，.由（I）知平面，连接，则.又是线段的中点，，故三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理，以及把握几何体的结构特征是解答的关键，同时注意求解三棱锥的体积时“等体积法”的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.20.已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点．（I）求椭圆的方程；（II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）设椭圆的焦距为，依题意，列出方程组，求得的值，即可求解椭圆的标准方程；（II）方法一①设点的坐标为，当时，得到直线的方程，求得点的坐标，进而求得线段的中点为，利用点到直线的距离等于半径，即可证明；②又由可得点Q的坐标，求得线段中点的坐标,利用圆心到直线的距离等于半径，可作出证明.方法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得点P的坐标，进而求得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，再由直线与圆的位置关系的判定，即可得到结论.【详解】（I）设椭圆的焦距为，依题意，，解得，，，故椭圆C的标准方程为.（II）方法一①设点的坐标为，，因为在椭圆上，，，由两点的坐标为，直线的方程为：，当时，则点的坐标为，设线段的中点为，则点的坐标为，有，直线的方程为：，整理为，由，则点到直线的距离为，由，故以为直径的圆与直线相切.②若时，则点的坐标为或，直线的方程为，直线的方程为或.将代入直线的方程得点的坐标为或，线段中点的坐标为或，所以.又点到直线的距离由，故以为直径的圆与直线相切.方法二：由（I）知.依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点的坐标为，由，消去得.，，的坐标为.因为直线与交点为，的坐标为，，所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为.①当直线的斜率存在,即，时，直线的方程为,即，整理得设圆心到直线的距离为，则所以以为直径的圆与直线相切.②当直线的斜率不存在即时，此时直线的方程为.圆心坐标为，圆的半径为，此时以为直径的圆与直线相切.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题，解决问题的能力等.21.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由.【答案】(1) 见解析(2)只有一个零点【解析】【分析】（1）求导，对a分类比较与3的大小，求得及的解集，即可求得g（x）的单调区间；（2）由（1）可知，的单增区间为和，单减区间为得到f(x)的极大值为f(1) <0,，极小值为f(3)<0，又, 得到在上只有一个零点.从而得到函数f（x）只有一个零点．【详解】（1）当即，，所以的单增区间为和，单减区间为，当即，或，所以的单增区间为和，单减区间为，当，，所以的单增区间为（0，）.综上所述：当0<a<时，所以的单增区间为和，单减区间为，当，的单增区间为，当时，所以的单增区间为和，单减区间为（2）当时，，，所以由（1）可知，的单增区间为和，单减区间为所以f(x)的极大值为f(1)=-1<0,，极小值为f(3)<0，当时, 所以在上只有一个零点.综上，只有一个零点.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性的关系，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求的参数方程与的直角坐标方程；（II）射线与交于异于极点的点,与的交点为,求.【答案】（I）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为；（II）. 【解析】【分析】（I）由题意，可得曲线是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，即可求得曲线的参数方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；（II）由（I）得到曲线的极坐标方程为，将射线代入曲线的方程，求得关于的方程，根据极径的几何意义，即可求解.【详解】（I）由，得.所以曲线是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，所以曲线的参数方程为（为参数）.由，得，所以，则曲线的直角坐标方程为.（II）由（I）易得曲线的极坐标方程为，则射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中熟记互化公式，准确运算，以及合理应用极径的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数.（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：【答案】（I）（2，6）；（II）详见解析.【解析】【分析】（I）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；（II）由函数，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（I）当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，无解.综上所述，原不等式的解集为（2，6）.（II）证明：=，即（当且仅当时，等号成立）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值号是解答含绝对值不等式的关键，同时注意基本不等式在不等式证明中的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.。

吉林省长春市2019届高三质量监测数学文科试题（四）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1． 设全集U Z =，{1,1,3,5,7,9},{1,5,7}A B =-=-，则()U A B =ð A. {1,3,9}B. {1,5,7}-C. {1,1,3,9}-D. {1,1,3,5,9}-2． 已知复数1iz i=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为A.12i B. 12i - C. 12D. 12-3． 已知命题2000:,23p x R x x ∃∈+>，则命题p 的否命题为A ．2000:,23p x R x x ⌝∃∈+≤B ．2:,23p x R x x ⌝∀∈+≤C ．2:,23p x R x x ⌝∀∈+<D ．2000:,23p x R x x ⌝∃∈+≥4． 下列各组向量中，可以作为基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e == B. 1213(2,3),(,)24e e =-=-C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 12(1,2),(5,7)e e =-=5． 设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是A. 5-B. 4C. 3-D. 116． 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为 n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n +D.(3)4n n + 7． 以抛物线28y x =上的任意一点为圆心作圆与直线2x =-相切，这些圆必过一定点，则这 一定点的坐标是A. (0,2)B. (2,0)C. (4,0)D. (0,4)8.9． 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A. 143πB. 103πC. 83πD. 53π10．已知锐角α满足cos()cos 24παα-=，则sin cos αα等于A.14B. 14- C.D. -11． 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米A. 894升B. 1170升C. 1275米D. 1467米12．对于定义域为R 的函数()f x ，若同时满足下列三个条件：① (0)0f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有 ()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <， 则称()f x 为“偏对称函数”．现给出下列三个函数：3213()2f x x x =-+；2()1xf x e x =--；3ln(1),0()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．命题“∀x ∈R ，x 2+x+1＞0”的否定是______． 14．已知实数x ，y 满足，则y ﹣2x 的最小值为______．15．已知向量=（1，），=（0，1），则当时，|﹣t •|的取值范围是______．16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *，若满足a n +a n+1+a n+2=s （s 为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s 为3阶公和；若满足a n •a n+1=t （t 为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t 为2阶公积．已知数列{p n }为首项为1的3阶等和数列，且满足；数列{q n }为首项为﹣1，公积为2的2阶等积数列，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中n=a+b+c+d）19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）已知棱锥的高为3，且AB=2，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．20．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，求实数k的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．吉林省长春市2019届高三质量监测数学文科试题（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0 ．【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．14．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．15．已知向量=（1，），=（0，1），则当时，|﹣t•|的取值范围是[1，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算||2，根据t的范围求出||2的最值，开方得出||的最值．【解答】解： =，，．∴||2==t2﹣2t+4=（t﹣）2+1．∴当t=时，||2取得最小值1，当t=﹣时，||2取得最大值13．∴||的最小值为1，||的最大值为．故答案为：．16．已知数列{an }中，对任意的n∈N*，若满足an+an+1+an+2=s（s为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s为3阶公和；若满足an •an+1=t（t为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t为2阶公积．已知数列{pn}为首项为1的3阶等和数列，且满足；数列{qn}为首项为﹣1，公积为2的2阶等积数列，设S n 为数列{pn•qn}的前n项和，则S2016= ﹣7056 ．【考点】数列的求和．【分析】由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=1，p5=2，p6=4，p7=1，…，又pn是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去．同理，q1=﹣1，q2=﹣2，q3=﹣1，q4=﹣2，q5=﹣1，q6=﹣2，q7=﹣1，…，又qn是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去．利用其周期性即可得出．【解答】解：由题意可知，p1=1，p2=2，p3=4，p4=1，p5=2，p6=4，p7=1，…，又pn是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q1=﹣1，q2=﹣2，q3=﹣1，q4=﹣2，q5=﹣1，q6=﹣2，q7=﹣1，…，又qn是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去．由此可知对于数列{pn •qn}，每6项的和循环一次，易求出p1•q1+p2•q2+…+p6•q6=﹣21，因此S2016中有336组循环结构，故S2016=﹣21×336=﹣7056．故答案为：﹣7056．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，利用枚举法得到从5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率．2×2列联表：合计150 50 200得，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，b，从5次交易中，取出2次的所有取法为（A，B）、（A，C）、（A，a）、（A，b）、（B，C）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b）、（a，b），共计10种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（A，b）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b），共计6种，因此，只有一次好评的概率为．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A1，B1，C1，∠BAD=60°．（1）证明：B1为PB的中点；（2）已知棱锥的高为3，且AB=2，AC、BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1﹣ABO外接球的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．【分析】（1）由面面平行的性质可得BD∥B1D1，故，于是B1为PB的中点；（2）由OA，OB，OB1两两垂直可知三棱锥B1﹣ABO外接球是以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体的外接球．于是长方体的对角线长为球的直径．【解答】解：（1）连结B1D1．∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面PBD∩平面ABCD=BD，平面PBD∩平面A1B1C1D1=B1D1，∴BD∥B1D1，∴，∴B1为PB中点．（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，OA⊥OB．∴OB==1，OA==，∵B1，O是PB，BD的中点，∴OB1∥PD，OB1==．∵PD⊥平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD，∵OA⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，∴OA⊥OB1，OB⊥OB1，∴三棱锥B1﹣ABO外接球是以OA、OB、OB1为长、宽、高的长方体外接球，∴三棱锥B1﹣ABO外接球的半径R===．则三棱锥B1﹣ABO外接球的体积为．20．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长分别交直线x=4于P，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意的离心率公式可得e==，设c=t，a=2t，即，其中t＞0，点P为短轴端点，三角形面积取得最大，求得t=1，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得AA1，BA1的方程，令x=4，可得P，Q的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值0．【解答】解：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，因此，解得t=1，则椭圆的方程为；（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得（3+4t2）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，令x=4，可得，，则，，即有，即为定值0．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[e2，+∞），有||＞，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数f（x）的导数，根据导数的几何意义求出a的值，再利用f′（x）=0，求出函数f（x）的极值；（2）由||＞变形得，构造函数，利用导数求出g（x）在定区间上的取值范围即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=，∴，令f'（1）=0，∴=0，解得a=1；令f′（x）=0，则lnx=0，解得x=1，即f（x）有极大值为f（1）=1；（2）由||＞，可得，令，则g（x）=x﹣xlnx，其中x∈（0，e﹣2]，g'（x）=﹣lnx，又x∈（0，e﹣2]，则g'（x）=﹣lnx≥2，即，因此实数k的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a求实数a的取值范围；（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，当a＜0时，要保证f（x）≥﹣a恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a，解得a≥﹣1，∴0＞a≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．。

33长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(-1+ 3i )(3 - i ) = A.10 B.-10 C.10i D.-10i 2. 已知集合 M = {0,1}，则满足条件 M N = M 的集合 N 的个数为A. 1B. 2C. 3D.43. 函数 f (x ) = 3sin x + 3 cos x 的最大值为，A.B.2C.2 D.44. 下列函数中是偶函数，且在区间(0, +∞) 上是减函数的是A.y =| x | +1B.y = x -2C.y = 1 - xxD.y = 2|x |5. 已知平面向量a 、b ，满足| a |=| b |= 1，若(2a - b ) ⋅ b = 0 ，则向量a 、b 的夹角为A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒ 6. 已知 S 是等比数列{a } 前n 项的和，若公比 q = 2 ，则a 1 + a 3 + a 5=nn61 123 A.B.C.D.37377. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，异面直线 A 1C 1 与 B 1C 所成角的余弦值为A.B.1 C.2 D.32228. 在∆ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若b = a cos C +1，则角 A 为 2A. 60︒B. 120︒C. 45︒D. 135︒9. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单 位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 y = 1.16x - 30.75 ，以下结论中不正确的为S6 7 8 9 10 11 12 13 14 15臂展开始输入kn =1, S =kn < 4 ?否是输出Sn =n +1结束S =S -Sn190185180175170165160155150145A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，C.可估计身高为190 厘米的人臂展大约为189.65 厘米，D.身高相差10 厘米的两人臂展都相差11.6 厘米，10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S = 2.5 (单位:升)，则输入的k 值为，A. 4.5B. 6C. 7.5D. 1011.已知双曲线xa2y2-=1(a > 0, b > 0) 的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、b2B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为k1、k2，若k1k2= 3 ，则双曲线的渐近线方程为，A.y =±xB.y =±2xC.y =±3xD.y =±2x12.已知函数f (x) =上所有零点的和为x -1与g(x) = 1- sinπx ，则函数x - 2F (x) =f (x) -g(x) 在区间[-2, 6]222 A. 4 B. 8 C. 12 D.16二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. log 2 4 + log 4 2 = .214. 若椭圆C 的方程为 x+ y= 1，则其离心率为.4 315. 函数 f (x ) = ln x + x 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程为.16. 已知一所有棱长都是的三棱锥，则该三棱锥的体积为.三、解答题：共 70 份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22~23 选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.(本小题满分 12 分)已知 S n 是等差数列{a n } 的前 n 项和， a 3 = 7 ， S 3 = 27 .（1）求数列{a n } 的通项公式a n ；(2)设b = 13 - a ,求 1 + 1 + 1 + + 1. n nb b b b b b b b18. (本小题满分 12 分)1 2 2 3 3 4 n n +1在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， PA = PD = 2 ,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠A = 60︒ , E 是 AD 的中点. (1) 求证: BE ⊥ 平面 PAD ； (2)求点 E 到平面 PAB 的距离.19. (本小题满分 12 分)平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为 y 2= 2 px ( p > 0) .(1) 过抛物线C 的焦点 F 且与 x 轴垂直的直线交曲线C 于 A 、 B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 H .求证: | QH |2=| AB | ⋅ | OH | ；(2) 过点 D (2, 2) 的直线与抛物线C 交于 M 、N 两点且OM ⊥ ON ，OD ⊥ MN .求抛物线C 的方程.3 2 ⎩ 20. (本小题满分 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气 温位于区间[20, 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率，；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = e x- 1x 2+ ax (a ∈ R ) .2（1） 当 a > -1 时，试判断函数 f (x ) 的单调性；（2） 若 a < 1- e ，求证：函数 f (x ) 在[1, +∞) 上的最小值小于 1；2（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选讲⎧x = 1+ t cos α 已知直线l 的参数方程为t0≤α< π），以原点为极点， x 轴 ⎨y = t sin α（ 为参数，的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+1 = 2ρcos θ+ 4ρsin θ.（1） 求圆C 的直角坐标方程；（2） 若直线l 与圆C 相交于 A 、 B 两点，且| AB |= 2，求α的值.23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲已知 a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2 . (1)求证： a 2+ b 2≥2 ；(2)1+ .2y 长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. C 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C (-1+ 3i )(3 - i ) = 10i .故选 C. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D M N = M 有 N ⊆ M .故选 D. 3. C 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意可知函数最大值为2 4. . B 【命题意图】本题主要考查函数的性质. . 故选 C. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除 C ，在(0, +∞) 上是减函数，排除 A ，D.故选 B.5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知 2a ⋅ b - b 2= 0, cos < a , b >= 1.故选 C.26. A 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识.1【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于 37. B 【命题意图】本题考查线面成角..故选 A【试题解析】B 由题意知成角为 π 1，余弦值为 3 2.故选 B.8. A 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.1【试题解析】A 由正弦定理可知cos A = 9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识., A = 60︒ .故选 A.2【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选 D. 10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知 k = 10 .故选 D. 11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知3 = y 2x 2 - a 2 x 2 , a 22 - = 1，从而渐近线方程为 3a 2y = ± 3x .故选 C.12. D 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.【试题解析】D 函数 g (x )，f (x ) 的图象关于(2,1) 点对称，则 F (x ) = 0 共有 8 个零点， 其和为 16. 故选 D.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.5 【命题意图】本题考查对数运算.2 5【试题解析】由题意可知值为 .2114.【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.21 【试题解析】 a = 2,b = 3, c = 1, e = .233 b b 0 0 ⎩ 15.y = 2x -1【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.【试题解析】由题意可得 f '(x ) = 1+1, f '(1) = 2, f (1) = 1, y = 2x -1 .x16.1 【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识. 3【试题解析】由题意可知其V = 1 1⨯ ( 2)2 ⨯3 ⨯ 2 3 = 1 .三、解答题17.(本小题满分 12 分)3 22 3 3【命题意图】本题考查数列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由 a 1 + 2d = 7, 3a 1 + 3d = 27 ，解得a 1 = 11, d = -2 ，可得 a n = 13 - 2n .1 11 1 1（2）由（1） b n = 2n ， n n +1= = 4n (n +1) ( - 4 n n +1) ，所求式等于 1 b 1b 2 + 1 b 2b 3 + 1 b 3b 4 + ⋅⋅⋅ + 1 b n b n +1 = 1 (1- 4 1 ) . n +118.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接 BD ，由 PA = PD = 2 ， E 是 AD 的中点，得 PE ⊥ AD ，由平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，可得 PE ⊥ 平面 ABCD ， PE ⊥ BE ，又由于四边形ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠A = 60 ，所以 BE ⊥ AD ，从而 BE ⊥ 平面 PAD .（2）在∆PAB 中， PA = AB = 2, PB = 6,S ∆PAB =15 ，2V= 1 ⨯ 3 ⨯ 1 ⨯1⨯ = 1 ，所以点 E 到平面 PAB 的距离为 15 .P - ABE3 2 2 519.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设Q (x 0 , y 0 ), H (x 0 , 0),| QH |=| y 0 |,| OH |= x 0 ,| AB |= 2 p ，从而| QH |2 = y 2= 2 px =| AB || OH |.（2）由条件可知， MN : y = - x + 4 ，联立直线 MN 和抛物线C ， 有 ⎧ y = -x + 4 ， 有 y 2 + 2 py - 8 p = 0 ， 设 M (x , y ), N (x , y ) ， 由 OM ⊥ ON 有⎨ y 2= 2 px1 12 2x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ，有(4 - y 1 )(4 - y 2 ) + y 1 y 2 = 0 ，由韦达定理可求得 p = 2 ，所以抛物线C : y 2= 4x . 20.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 2 +16 + 36 0.6 ， 所以这种酸奶一天的需求90量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y =6 450-4 450=900； 若最高气温位于区间 [20,25），则 Y =6 300+2（450-300）-4 450=300；3 3 2 (2 + 2)2( ) 若最高气温低于 20，则 Y =6 200+2（450-200）-4 450= -100. 所以，Y 的所有可能值为 900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为36 + 25 + 7 + 4= 0.8 ，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.9021.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法， 考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得 f '( x ) = e x - x + a ，设 g ( x ) = f '(x ) = e x - x + a ，则 g '( x ) = e x - 1， 所以当 x > 0 时 g '( x ) > 0 ， f '( x ) 在(0, +∞) 上单调递增， 当 x < 0 时 g '( x ) < 0 ， f '( x ) 在(-∞, 0) 上单调递减，所以 f '(x ) ≥ f ' (0) = 1 + a ，因为 a > -1 ，所以1 + a > 0 ，即 f '( x ) > 0 ， 所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递増.（6 分）（2）由（1）知 f '( x ) 在[1, +∞) 上单调递増，因为 a < 1 - e ，所以 f '(1) 所以存在t ∈(1, +∞) ，使得 f '(t ) = 0 ，即e t - t + a = 0 ，即 a = t - e t ， 所以函数 f ( x ) 在[1, t ) 上单调递减，在(t , +∞) 上单调递増，= e -1 + a < 0 ，所以当 x ∈[1, +∞) 时 f ( x )min= f ( t ) = e t - 1 t 2 + at = e t - 1 t 2 + t t - e t = e t (1 - t ) + 1t 2， 2 2 2令 h ( x ) = e x (1- x ) + 1x 2 ,x > 1 ，则 h '( x ) = x (1 - e x ) < 0 恒成立，2所以函数 h ( x ) 在(1, +∞) 上单调递减，所以h ( x ) < e (1 - 1) + 1 ⨯12 = 1 ，2 2所以e t (1 - t ) + 1 t 2 < 1，即当 x ∈[1, +∞) 时 f ( x ) 2 2 min< 1 ，2故函数 f ( x ) 在[1, +∞) 上的最小值小于 1.（12 分）222. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 （1）圆 C 的直角坐标方程为 x 2+ y 2- 2x - 4y + 1 = 0 .（2）将直线 l 的参数方程代入到圆 C 的直角坐标方程中，有 t 2- 4t sin α= 0 ，由π 2π AB = 2 得sin α= ，所以α= 或α= .2 3 323.(本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1） a 2+ b 2≥ 1(a + b )2= 2 .22 1 a + b 2 13 b a 3 （2） + = ⨯ ( + ) = + + ≥ + = ，a b 2 a b ≥ 1+ 2.2 a 2b 2 42。

长春市2019届高三毕业班第一次调研测试数学（文）试题考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）已知集合2{|20}A x x x =--≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B = A. (0,2] B. (,1)(2,)-∞-+∞ C. [1,1)-D. (1,0)(0,2)-已知复数1z ai =+()a ∈R （是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且5z z ⋅=，则a = A. 2B. 2-C.D. 如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A. c x >？ B. x c > ？ C. c b > ？D. b c >？一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C. (66π+俯视图D. (926π+直线1l 与2l 相交于点A ，点B 、C 分别在直线1l 与2l 上，若AB 与AC 的夹角为60 ，且2AB =，4AC = ，则BC =A.B.C.D. 若(1,4)x ∈，设12a x =，23b x =，c =a 、b 、c 的大小关系为A. c a b >>B. b a c >>C. a b c >>D. b c a >>在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n =A. 11B. 12C. 14D. 16已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +=，那么k 的值为A. 2B.C.D. 4关于函数()sin(2)4f x x π=+与函数3()cos(2)4g x x π=-，下列说法正确的是 A. 函数()f x 和()g x 的图像有一个交点在y 轴上B. 函数()f x 和()g x 的图像在区间(0,)π内有3个交点C. 函数()f x 和()g x 的图像关于直线2x π=对称D. 函数()f x 和()g x 的图像关于原点(0,0)对称若两个正实数,x y 满足211x y +=，并且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 A. (,2][4,)-∞-+∞B. (,4][2,)-∞-+∞C. (2,4)-D. (4,2)-如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB AD =，3DAB π∠=，则以A 、B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率e =A.1B.1C.D.若直角坐标平面内的两个不同点M 、N 满足条件： ① M 、N 都在函数()y f x =的图像上； ② M 、N 关于原点对称. 则称点对[,]M N 为函数()y f x =的一对“友好点对”.（注：点对[,]M N 与[,]N M 为同一“友好点对”）已知函数32log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨-- ⎩≤，此函数的“友好点对”有 A. 0对B. 1对C. 2对 D . 3对A BD C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).若实数,x y 满足11211x y x y x ⎧⎪⎪-+⎨⎪+⎪⎩≤≤≥≤，则2z x y =+的最大值是____________.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若(2)cos cos 0a c B b C +⋅+⋅=，则B 的值为____________.若一个正方体的表面积为1S ，其外接球的表面积为2S ，则12S S =____________.定义在R 上的函数()f x 满足()(5)0f x f x --=，当(1,4]x ∈-时，2()2x f x x =-，则函数()f x 在[0,2013]上的零点个数是____________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.（本小题满分12分）函数()sin()(0,0,)()22f x A x A x ππωϕωϕ=+>>-<<∈R 的部分图像如图所示.⑴ 求函数()y f x =的解析式；⑵ 当[,]6x ππ∈--时，求()f x 的取值范围. （本小题满分12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，且22112S a +=.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4nn a b =，求数列21{}n n b b +⋅的前n 项和n T . （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，112AA AC AC ===，AB BC =，AB BC ⊥，O 为AC 中点.⑴ 证明:1AO ⊥平面ABC ； ⑵ 若E 是线段1A B 上一点，且满足1111112E BCC ABC A B C V V --=，求1A E 的长度.（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点到直线0x y ++=的距离为⑴ 求椭圆的方程；⑵ 过()1,0-M 作直线交椭圆于B A ,两点，交x 轴于N 点,满足75NA NB=-,求直线的方程.（本小题满分12分） 已知函数2()(22)x f x e ax x =--，a ∈R 且0a ≠. ⑴ 若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；⑵ 当0a >时，求函数(|sin |)f x 的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为BD 中点，连结AG分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ． ⑴ 求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；O CBAC 1B 1A 1⑵ 求证：.22CE EF AG GF =（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为512x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）.⑴ 求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程；⑵ 设曲线C 与直线相交于P 、Q 两点，以P Q 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()f x ⑴ 当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；⑵ 若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围. 2019年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 2. B 3. A 4. A 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. D 11. B 12. C简答与提示：C220x x --≤可得12x -≤≤，由ln(1)y x =-可知10x ->，1x <则A B 为[1,1)-，故选C.B 由2(1)(1)15ai ai a +-=+=可得2a =±，又1i a +在第四象限，则2a =-，故选B. A 由于要取a ，b ，c 中最大项，输出的x 应当是a ，b ，c 中的最大者，所以应填比较x 与c 大小的语句c x >，故选A.A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2该几何体体积为()(281111223236V ππ+⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⨯==⎪⎝⎭，故选A.B 由题意ABC ∆中60A ∠=︒，2AB =，4AC =，由余弦定理可知BC = B. B 由于1x >，所以根据指数函数性质21321x x >>，即1b a >>；又14x <<，所以12<<，所以01<，即1c <，所以b a c >>，故选B.C 由3312314a a a a q ==与312456112a a a a q ==可得93q =，333111324n n n n a a a a q --+⋅⋅=⋅=，因此36436813n q q -===，所以14n =，故选C.A 当||||OA OB AB +=时，O ，A ，B 三点为矩形的三个顶点，可知OA OB ⊥，由图可知直线过(2,0)点，此时2k =，故选A.D3cos(2)cos(2)cos[(2)]44224y x x x πππππ=-=--=-- sin(2)4x π=-与sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于原点对称，故选D.D 2142(2)228y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即224y x =时等号成立.由222x y m m +>+恒成立，则228m m +<，2280m m +-<，解得42m -<<，故选D. B 由题可知，双曲线离心率||||||AB e DB DA =-，设||||AD BC t ==则||2AB t =，||22cos60CD t t t =-=，||BD ==，所以||1||||AB e DB DA ===-，故选B.C 由题意， 当0x >时，将3()log f x x =的图像关于原点对称后可知3()l o g ()g x x =--(0)x < 的图像与0x <时2()4f x x x =--存在两个交点，故“友好点对”的数量为2，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 514. 23π15. 2π16. 1207简答与提示：由题可知可行域为如图所示阴影部分，由目标函数为122z y x =-+可知，当直线过(1,2)点时，2z 取得最大值，即z 取得最大值，为max 1225z =+⋅=.由正弦定理可将(2)cos cos 0a c B b C ++=转化为2s i n c o s s i n c o ss A B C B B C ⋅+⋅+=，经计算2s i n c o s s i AB BC ++=得2sin cos sin 0A B A +=，又A 为ABC ∆内角，可知sin 0A ≠，则1cos 2B =-，则23B π∠=. 设正方体棱长为a ，则正方体表面积为216S a =，其外接球半径为正方体体对角线长的12，即为，因此外接球表面积为22243S r a ππ==，则2122623S a S aππ==. 由()(5)0f x f x --=可知()f x 是以5为周期的周期函数，又2()2xf x x =-在(1,4]x ∈-区间内有3个零点，故()f x 在任意周期上都有3个零点，故(3,2013]x ∈上包含402个周期，又[0,3]x ∈时也存在一个零点2x =，故零点数为340211207⨯+=.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分） (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得1A =，24362T πππ=-=，所以2T π=，则1ω=；将(,1)6π代入得1sin()6πϕ=+，而22ππϕ-<<，所以3πϕ=，因此函数()sin()3f x x π=+； (6分)(2) 由于[,]6x ππ∈--，2336x πππ-+≤≤，所以11sin()32x π-+≤≤，所以()f x 的取值范围是1[1,]2-.( 12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)设等比数列的公比为q ，由题意123a =，22112S a +=，所以221213323q q ++⋅=，即13q =，因此111212()333n n n n a a q --=⋅=⋅=.(6分)(2) 2233log log 324n nn a b n-===-，所以21111111()22(2)4(2)82n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++，1111111111111()(1)813241128212n T n n n n n n =-+-++-+-=+---++++1311()8212n n =--++.(12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)112AA AC AC ===，且O 为AC 中点， 1AO AC ∴⊥，又 侧面11AAC C ⊥底面ABC ，交线为AC ，11AO A AC ⊂面， ∴1AO⊥平面ABC . (6分)(2)11111111124E BCC ABC A B C A BCC V V V ---==，因此114BE BA =，即1134A E A B=，又在1Rt AOB ∆中，1AO OB ⊥，1AO =1BO =可得12A B =，则1A E 的长度为32.(12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线及椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：⑴设右焦点为(,0)c，则=，c=±，c=或c=-舍去)(2分)又离心率ca=，=，a=b==故椭圆方程为22182x y+=. (4分)⑵设),(11yxA，22(,)B x y，0(,0)N x，因为75NA NB=-，所以1012027(,)=(,)5x x y x x y---，1275y y=-①(6分)易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设的方程为10y kx k()=-≠，联立22148y kxx y=-⎧⎨+=⎩消x得222(41)2180k y y k+++-=②(8分)因为0∆>，所以直线与椭圆相交，于是122241y yk+=-+③，21221841ky yk-=+④，由①③得，22541yk=+，12741yk=-+代入④整理得42890k k+-=，21k=，所以直线的方程是1y x=-或1y x=--. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的几何意义，用导数来研究函数的单调性、极值等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得：22()()(22)(22)x xf x e ax x e ax x'''=⋅--+⋅--22(22)(22)()(2)x x x e ax x e ax ae x x a =--+-=-+； (3分)(1)由曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，结合导数的几何意义得(2)0f '=，即22(2)(22)a e a ⋅⋅-+=22240a ae a -⋅=，解得1a =； (6分)(2) 设|sin |(01)x t t =≤≤，则只需求当0a >时，函数()(01)y f t t =≤≤的最小值.令()0f x '=，解得2x a =或2x =-，而0a >，即22a >-.从而函数()f x 在(,2)-∞-和2(,)a +∞上单调递增，在2(2,)a -上单调递减. 当21a ≥时，即02a <≤时，函数()f x 在[0,1]上为减函数，min(1)(4)y f a e ==-； 当201a <<，即 2a >时，函数()f x 的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值， 2min 2()2a y f e a ==-.综上可知，当02a <≤时，函数(|sin |)f x 的最小值为(4)a e -；当2a >时，函数(|sin |)f x 的最小值为22a e -. (12分)(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知AD 为⊙M 的直径，连接AB ，则BAE BCE ∠=∠， 90=∠=∠ABC CEF ，由点G 为弧BD 的中点可知FCE BAE GAD ∠=∠=∠，故CEF ∆∽AGD ∆，所以有GD EF AG CE =，即GD CE EF AG ⋅=⋅. (5分)(2)由(1)知ADG CFE DFG ∠=∠=∠，故A G D ∆∽DGF ∆，所以CE EF AG DG DG GF ==，即.22CE EF AG GF = (10分)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于C ：由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，进而224x y x +=；对于：由512x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），得5)y x =-，即50x -=.(5分)(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，则弦心距32d ==，弦长||PQ ==，因此以PQ 为边的圆C的内接矩形面积2||S d PQ =⋅=(10分)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1) 当5=a时，()f x =，由|1||2|50x x +++-≥得1220x x -⎧⎨-⎩≥≥或2120x -<-⎧⎨-⎩≤≥或2820x x <-⎧⎨--⎩≥，解得1x ≥或4x -≤．即函数)(x f 的定义域为{x|1x ≥或4x -≤}. (5分)(2) 由题可知|1||2|x x a +++-≥恒成立，即|1||2a x x +++≤恒成立，而|1||2||(1)(2)|1x x x x ++++-+=≥，所以1a ≤，即a 的取值范围为(,1]-∞.(10分)。

东北师大附中重庆一中吉大附中长春十一高中吉林一中松原实验高中2019届高三联合模拟考试数学（文）科试题本试卷共23题，共150分，共4页，考试时间120分钟.一．选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 ( )A. B. C. D.2.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.3.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A. 32B. 33C. 34D. 354.已知平面向量,的夹角为，且，，则 ( )A. B. C. D.5.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.已知双曲线的右焦点为，离心率为，若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）A. B. C. D.8.在中，所对的边分别为，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径为（）A. B. C. D.9.已知长方体的底面为正方形，与平面所成角的余弦值为，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（）A. B. C. D.11.已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（）A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量，满足约束条件则的最大值为__________．14.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为_______________.15.已知，则的值为_______________.16.若侧面积为的圆柱有一外接球，当球的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列是递增的等差数列，，，，成等比数列．（I）求数列的通项公式；（II）若，求数列的前项和.18.2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”，利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率.附：参考公式与参考数据如下，其中.19.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，分别为的中点，，，.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥的体积.20.已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点．（I）求椭圆的方程；（II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切.21.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求的参数方程与的直角坐标方程；（II）射线与交于异于极点的点,与的交点为,求.23.已知函数.（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-=A. 10B. 10-C. 10iD. 10i - 2.已知集合{0,1}M =，则满足条件MN M =的集合N 的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 3.函数()3sin f x x x =的最大值为， A.B. 2C.D. 44.下列函数中是偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数的是A. ||1y x =+B. 2y x -= C. 1y x x=- D. ||2x y = 5.已知平面向量a 、b ，满足||||1==a b ，若(2)0-⋅=a b b ，则向量a 、b 的夹角为 A. 30︒ B. 45︒ C. 60︒ D. 120︒ 6.已知n S 是等比数列{}n a 前n 项的和，若公比2q =，则1356a a a S ++=A.13 B. 17 C. 23 D. 377.在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线11AC 与1B C 所成角的余弦值为 A. 0 B.12 C.2 D.28. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1c o s 2b a Cc =+，则角A 为 A. 60︒ B. 120︒ C. 45︒ D. 135︒9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为， A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 1011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐进线方程为，A. y x =±B. y =C. y =D. 2y x =± 12.已知函数1()2x f x x -=-与()1sin g x x π=-，则函数 ()()()F x f x g x =-在区间[2,6]-上所有零点的和为X YA. 4B. 8C. 12D. 16 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.24log 4log 2+= .14. 若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为 . 15.函数()ln f x x x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为 .16.的三棱锥，则该三棱锥的体（想）积为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，37a =，327S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设13n n b a =-,求12233411111n n b b b b b b b b +++++. 18. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点. (1)求证: BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离.19. (本小题满分12分)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>.(1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.20. (本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)216362574最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率，； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.21. (本小题满分12分) 已知函数21()()2xf x e x ax a =-+∈R . （1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12； （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲 已知0a >，0b >，2a b +=. (1)求证：222a b +≥；(2)1.长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D MN M =有N M ⊆.故选D. 3. C 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意可知函数最大值为故选C. 4. . B 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. A 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识.【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于13.故选A 7. B 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】B 由题意知成角为3π，余弦值为12.故选B.8. A 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】A由正弦定理可知1cos ,602A A ==︒.故选A. 9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a=-=-，从而渐近线方程为y =.故选C.12. D 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.【试题解析】D 函数()()g x f x ，的图象关于(2,1)点对称，则()0F x =共有8个零点，其和为16. 故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52【命题意图】本题考查对数运算. 【试题解析】由题意可知值为52.14. 12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.15. 21y x =-【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.【试题解析】由题意可得1()1,(1)2,(1)1,21f x f f y x x''=+===-. 16.13【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识. 【试题解析】由题意可知其2111323V =⨯⨯=.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由1127,3327a d a d +=+=，解得111,2a d ==-，可得132n a n =-. （2）由（1）2n b n =，111111()4(1)41n n b b n n n n +==-++，所求式等于1223341111111(1)41n n bb b b b b b b n ++++⋅⋅⋅+=-+. 18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD . （2）在PAB ∆中，2,2PAB PA AB PB S ∆====，1111322P ABE V -=⨯=，所以点E 到平面PAB19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为216360.690++=， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y =6450-4450=900； 若最高气温位于区间 [20,25），则Y =6300+2（450-300）-4450=300；若最高气温低于20，则Y =6200+2（450-200）-4450= -100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+， 设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>， 所以函数()f x 在R 上单调递増.（6分）（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=.23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b ++=⨯+=++≥，12+.。

高考数学精品复习资料2019.5吉林市高三第一次摸底考试数学文试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．计算：i（i+1）=（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣12．若A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣1}，则正确的是（）A．A⊆B B．A∩B=∅C．（∁R A）∩B=B D．（∁R A）∪B=B 3．已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4C．5D．65．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（+）﹣1 B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1 D．g（x）=2sin（﹣）﹣17．已知曲线y=在点P（1，4）处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为（）A．4x﹣y+9=0或4x﹣y+25=0 B．4x﹣y+9=0C．4x+y+9=0或4x+y﹣25=0 D．以上都不对8．已知，则的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．29．已知等差数列{a n}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A．8 B．6C．4D．210．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于（）A．﹣1 B．1C．﹣D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．412．一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角保型函数”，给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=2x；④f（x）=lgx，其中是“三角保型函数”的是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为_________．14．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是_________．15．已知正项等比数列{a n}的公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为_________．16．若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n+1，求数列{}前n项和T n．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，a=3，求b，c的长．19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．（12分）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A﹣CDEF的体积．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）对任意a≤﹣3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b的取值范围．数 学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．6 14. ①③ 15.3216.12+ 17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，数列{}n b 的公比为q由已知得：22(1)112213q d d q -+=⎧⎨++=⎩，解得：10242d d q q =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， --------------------3分 因为0d >，所以2,2d q ==，112(1)21,222n n n n a n n b -=+-=-=⨯=即21(*),2(*)nn n a n n N b n N =-∈=∈ ------------------------------------------6分 （Ⅱ）1111133557(21)(21)n T n n =++++⨯⨯⨯-+11111111111(1)()()()232352572212111(1)22121n n n n n =-+-+-++--+=-+=+----------------------------------------------------10分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理得：B C A A B sin )sin(cos sin 3=+=0sin ≠B1cos 3A ∴= ----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题意得：1sin 2ABC S bc A ∆==6bc = ------------------ 8分由余弦定理得： 222222cos ,9()2,53a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--+= 联立上述两式,解得：2,3b c ==或3,2b c ==. ---------------------------12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为数学科目的成绩为B 的考生有10人， 10÷0.25=40所以语文成绩为A 的人数为：40(10.37520.150.025)3⨯-⨯--= ---------------4分 （Ⅱ）400.0753,400.2510,400.37515,400.14,400.28⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=等级为A,B,C,D,E 的人数分别为3，10，15，4，8，所以考生中数学科目平均分为------------------------------------------8分-------------------------------12分20．（本小题满分12分）解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=90CBF ∠=︒ ,连结BE, M 在BE 上，连结CEEM=BM,CN=BN, 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------6分 （Ⅱ）-----------------------12分 21．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由题意：c e a ==且223114a b+=，又222c a b =- 解得：224,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2214x y += （1） （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y22222214()40584404x y x m x x mx m y x m⎧+=⎪⇒+--=⇒-+-=⎨⎪=-+⎩ （*） 所以21212844,55m m x x x x -+== --------------------------------------------------7分222212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+245m -=-----------------------------------9分由125OA OB =， 得2211221212121244412(,)(,),,,255555m m x y x y x x y y m --=+=+==± ----------11分又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,m m m ∆=--⨯-><<所以2m =± ------------------------------------------12分22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）22()323()3f x x ax x x a '=+=+---------------------------------------------------------2分 当0a =， ()0f x '≥，函数递增区间是(,)-∞+∞当0a >，递增区间是2(,),(0,)3a -∞-+∞当0a <，递增区间是2(,0),(,)3a-∞-+∞ --------------------------------------------------------6分 （Ⅱ） 因为3a ≤-，所以223a -≥所以无论23a b -<，还是23a b -≥，只需(1)()f f b ≥就能使得()1f 是函数()f x 在区间 []1,b ()1b >上的最大值， --------------------------------------------------------------------8分化简得3210b ab a +--≤ 令2323()(1)1,1,(3)3(1)10g a b a b b g b b =-+->∴-=--+-≤2(1)(22)0,11b b b b ---≤<≤+所以b 的取值范围是(1,1+． ------------------------------------------------------------12分。

吉林省长春市普通高中2019届高三数学质量检测试题（三）文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由诱导公式可得，故选B.2.已知集合，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求出A与B的交集即可．【详解】找出A与B的交集即可．解：集合，则，故选：D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.在复平面内，复数对应的点位于（）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，按判断框循环运行，不符合时输出即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，一次运行：，此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行：，此时，循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题.5.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A. 0B. 10C. 15D. 30 【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．【详解】解：、是两个单位向量，且夹角为，则（2）•（﹣2）＝﹣4+5．故选：A．【点睛】本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．7.若，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指对函数的单调性即可比较大小.【详解】解：因为，所以，故选：B．【点睛】本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题.8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加C. 2015﹣2016 年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据图形给出的信息，分析判断即可．【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．10.函数部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性排除；判断时，的符号可排除，从而得到结果.【详解】定义域为：为奇函数，可排除；当时，，可排除，从而可得正确本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数图象的识别问题，解题常用方法为排除法，排除法验证的顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.11.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为（）A. B. 8 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由，知的最小值为，由此能求出结果．【详解】解：抛物线的准线方程为，∵，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，∵点A在抛物线上，∴A的坐标∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为，∴，∴的最小值：．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．12.已如函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出，然后可将和代入到确定的表达式，得到和的关系式，再用表示，则可只用表达，再构造函数与的表达式一致，通过求导方法判断出的值域即可得到的取值范围．【详解】解：根据题意，画出分段函数图象如下：由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1．否则不满足∴，∴，∵，∴，∴，，．构造函数，．则．∵，∴，∴，∴，∴．∴．∴在上是单调递增函数．∴．∴．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．二、填空题.13.已知函数的最小正周期为，则＝_____，若，则＝____．【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．【详解】由周期公式，可得ω=2，由，得，所以，平方得，∴故答案为：2；．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．14.已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为____．【答案】①②④【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为2，故②正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．16.已知数列中，，则＝_____【答案】【解析】【分析】根据递推公式，可配凑出，从而得到为等差数列，通过求解前项和求得结果.【详解】可知：数列为等差数列，首项为，公差本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列前项和问题，关键是能够采用倒数法，将递推公式整理为等差数列定义式形式，从而配凑出等差数列，利用等差数列相关知识求解得到结果.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，．（1）若，求的面积；（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．【详解】（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，，所以，所以．（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得解得：所以．【点睛】本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化能力与计算能力．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．【答案】(Ⅰ) 第一车间60人，第二车间300 人(Ⅱ) 第二车间工人生产效率更高(Ⅲ) 【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于的人数；（II）分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；（III）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（I）估计第一车间生产时间小于的人数为（人），估计第二车间生产时间小于的人数为（人）；（II）第一车间生产时间平均值约为（），第二车间生产时间平均值约为（）；∵，∴第二车间工人生产效率更高；（III ）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于的工人有6人，其中生产时间小于的有2人，分别用、代表生产时间小于的工人，用、、、代表生产时间大于或等于，且小于的工人；抽取2人基本事件空间为共15个基本事件； 设事件A ＝“2人中至少1人生产时间小于”，则事件共9个基本事件；∴．【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19.如图，等腰梯形ABCD 中，，E 为CD 中点，以AE为折痕把折起，使点D 到达点P 的位置（P平面ABCE ）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当四棱锥体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【答案】证明见解析；.【解析】 【分析】通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得，可知翻折后，，从而可得平面，进而证得结论；求解出三棱锥体积后，利用求出结果.【详解】证明：在等腰梯形中，连接，交于点四边形为平行四边形等边三角形在等腰梯形中，,翻折后可得：又平面，平面，平面平面当四棱锥的体积最大时平面平面又平面平面，平面,平面又设点到平面的距离为【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解.在立体几何问题中，证明线线垂直通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利用体积桥的方式建立方程.20.已知函数．（Ⅰ）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．【答案】的极小值点为，无极大值点；且.【解析】【分析】求导后可知当时，取最大值，从而求得，得到，根据函数单调性求得极值点；有解，可知，通过导数可得到，设函数，只需，求得，可知且即可，从而得到的取值范围.【详解】当时，取最大值此时在上，，单调递减；在上，，单调递增的极小值点为，无极大值点且在上，，单调递减在上，，单调递增关于不等式有解令在上，，单调递增；在上，，单调递减可知：且的取值范围是且【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，重点考查了利用导数解决能成立问题，关键在于能将能成立的不等式转变为最值与定值的关系，再利用导数求得函数最值，从而求解得到结果.21.如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足．（1）求椭圆C方程；（2）求四边形面积的最大值．【答案】；.【解析】【分析】根据离心率和的长度求得，从而得到椭圆方程；四边形的面积可以表示为：，通过假设直线分别求得和，从而将问题转化为函数最值求解问题，从而得到结果.根据不同的假设直线的方式，会构成不同的函数，得到不同的解法.【详解】又且，解得：，因此椭圆的方程为法一：设，，直线……①；直线……②由①②解得：又四边形的面积当时，的最大值为法二：设直线，则直线……①直线与椭圆的交点的坐标为则直线的斜率为直线……②由①②解得：四边形的面积：当且仅当时，取得最大值【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的四边形面积最值的求解.解决椭圆中最值或取值范围问题时，能够根据条件将所求面积构造成关于某一变量的函数关系是解题的关键，得到函数关系后，采用求解函数值域的方式得到最值或取值范围.22.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．【答案】（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．【详解】（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）通过和两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：；法一：设，利用，可得，从而推得，求得最大值；法二：构造出，利用可得，从而求得最大值；法三：构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.【详解】（Ⅰ）①当时，②当时，③当时，综上：的解集为（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知即又且则，设同理：，，即当且仅当时取得最大值法二：由（Ⅰ）可知即又且当且仅当时取得最大值法三：由（Ⅰ）可知即由柯西不等式可知：即：当且仅当即时，取得最大值【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式部分最值问题的关键是配凑出符合基本不等式或柯西不等式的形式，从而求得结果.。

长春市普通高中2019届高三质量监测（三）数学试题卷及答案详析（文科）长春市2019年高三质量监测（三） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. D3. A4. B5.C6. A7. B8. B9. D 10. A 11. A12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查诱导公式.【试题解析】A 1sin 2102︒=-.故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D {|12},{0,B x x AB =-<<=.故选D. 3. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A 12iz +=.故选A. 4. 【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B 可知. 故选B.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 151,5,15d a S =-==.故选C.6. 【命题意图】本题主要考查平面向量. 【试题解析】A 可知. 故选A.7. 【命题意图】本题考查函数性质的相关知识.【试题解析】B 可知. 故选B.8. 【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系.【试题解析】B 可知.故选B9. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D 可知ABC 正确.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识.【试题解析】A 确定函数为奇函数，可排除C ，D ，代入特殊值，排除B. 故选A. 11. 【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识.【试题解析】A 做O 点关于准线的对称点M ，则所求距离和的最小值为|AM|.故选A. 12. 【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.【试题解析】C 先确定121x x <<，借助条件等式，用2x 表示1x ，1211ln 3x x =-，得到关于2x 的函数关系式122211ln 3x x x x +=-+，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13. 242,25-14. 2 15.①②④16. 222n n -三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】解：6sinC=，所以sin 1C =，2C π∠=，所以2BC ==，所以122S =⨯⨯=（6分） （Ⅱ）设DC x =，则2BD x =，则2AD x =，所以222(2)(2)6222x x x x +-=⋅⋅解得：x =所以3BC DC ==（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min 内（不含75min ） 生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030⨯+⨯=人，故第一车间工人中有60人， 第二车间工人中有300名工人中在75min 内生产完成一件产品；（4分） （II ）第一车间样本平均时间为60270480109047820x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲（min ）， 第二车间样本平均时间为600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=乙（min ）， ∵x x >甲乙，∴乙车间工人生产效率更高；（8分）（III ）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min 的工人有6人， 其中生产时间小于65min 的有2人， 分别用A 1、A 2代表生产时间小于65min 的工人， 其余用B 1、B 2、B 3、B 4代表， 抽取2人基本事件空间为Ω={（A 1,A 2），（A 1,B 1），（A 1,B 2），（A 1,B 3），（A 1,B 4）， （A 2,B 1），（A 2,B 2），（A 2,B 3），（A 2,B 4），（B 1,B 2），（B 1,B 3），（B 1,B 4），（B 2,B 3），（B 2,B 4）， （B 3,B 4）}共15个基本事件，设事件A =“2人中至少1人生产时间小于65min”，则事件A ={（B 1,B 2），（B 1,B 3），（B 1,B 4），（B 2,B 3），（B 2,B 4），（B 3,B 4）}共6个基本事件，∴63()1()1155P A P A =-=-=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）证明：在PAE △中，OP AE ⊥，在BAE △中，OB AE ⊥，AE POB ∴⊥平面，PB POE ⊂平面，所以AE PB ⊥；（6分）（Ⅱ）设点C 到平面PAB 的距离为d ，由题意得，OP ABCE ⊥平面时，四棱锥P -ABCE 体积最大，OP OB ==PB ∴=1AP AB ==，PABS∴=，又111338P ABCABC V OPS -===，33C PAB PABV d S -∴===. （12分）AB CEOP20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：22()(0)af x x x x'=-+> （1）∵0a >，∴当14ax =时，()f x '取最大值28a ，∴2=28a ，∵0a >，∴4a =∴此时222442()x f x x x x -'=-+=，在1(0,)2上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1(,+)2∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()f x 极小值点为12x =. （4分）（Ⅱ）∵22()(0)ax f x x x -'=>且0a >.∴在2(0,)a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，在2(,+)a∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴22()()ln f x f a a a a≥=+∵关于x 的不等式()2f x <有解，∴2ln 2a a a+<，∵0a >，∴22ln 10a a +-<令()ln 1g x x x =+-，∴11()1xg x x x-'=-=，在(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,+)∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()(1)0g x g ≤=，∴22ln 10a a +-<可解得20a >且21a≠∴a 的取值范围是0a >且2a ≠. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）2e =，a ∴=，又a =222a b c =+， 218a ∴=，29b =，因此椭圆C 的方程为221189x y +=. （4分） （Ⅱ）法一：设000(,)(0)M x y x ≠，11(,)N x y ，11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，∴直线1NB ：0033x y x y +=-+……① 直线2NB ：0033xy x y -=--……②由①，②解得：20109y x x -=，又22001189x y +=，012x x ∴=-， 四边形21MB NB 的面积1212013||(||||)3||22S B B x x x =+=⨯，20018x <≤，∴当218x =时，S 的最大值为2. （12分） 法二：设直线1MB ：3(0)y kx k =-≠，则直线1NB ：13y x k=--……①直线1MB 与椭圆C ：221189x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++，则直线2MB 的斜率为222263312112221MBk k k k k k --+==-+， ∴直线2NB ：23y kx =+……②由①，②解得N 点的横坐标为2621N kx k =-+，因此四边形21MB NB 的面积12222112||6||54||54||(||||)3()122121212||||M N k k k S B B x x k k k k k =+=⨯+==≤++++，当且仅当||2k =S取得最大值2. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>1112ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=，即4cos ρθ=，所以()22400x x y x -+=≠. （5分）（Ⅱ）将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中，221(2)4(2)(1)02t -+++= 即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根，所以123t t =-，所以1233AP AQ t t ⋅==-=. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】解：（1）①当12x <时，21()324,32f x x x =-+≤∴-≤< ②当112x ≤<时，1()4,12f x x x =≤∴≤<③当1x ≥时，()324,f x x =-≤∴12x ≤≤综上：()4f x ≤的解集为2{|2}3x x -≤≤.（5分）（II ）法一：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m =又,,,a b c R +∈且12a b c ++=，则2221a b c ++=，设x =，yz =，222x y xy +≥，2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++， 同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++，2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=，2222()22221212x yz x y z xyyz zxa b c∴++=+++++≤+++++，x y z ∴++≤≤当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分）法二：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2fx ∴=即12m =，∴,,,a bc R +∈且12a b c ++=，444212121333()222a a a =++++++≤++= 当且仅当16a b c ===时，取得最大值（10分）法三：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即12m =12a b c ∴++=，(21)(21)(21)4a b c ∴+++++=由柯西不等式可知()())2222222111111++⋅++≥≤当且仅当212121a b c +=+=+，即16a b c ===时，取得最大值（10分）。