(甘志国)二次曲线上的四点共圆问题的完整结论PDF.pdf

四点共圆（限量版）板块一：辅助圆思想平面几何中有很多题中的背景并没出现圆，但是在解题过程中我们会发现，如果能够适当添加辅助圆，不仅能让题目瞬间变得简单，同时还可能会有意想不到的收获，得到很多有趣的结论，而且纵观这几年中考命题趋势，第24题的几何综合题越来越需要我们有辅助圆的思想和思维了，而辅助圆思想又是学习四点共圆的基础.构造辅助圆的基本思路：1、共顶点，等线段想辅助圆（圆的定义）；2、不共线的三点确定一个圆（即做这个三角形的外接圆）；3、利用四点共圆的判定作辅助圆.1、如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠BCD=150°，求∠BAD的度数.DCBA2、（大兴期末）已知四边形ABCD，A B∥CD,且AB=AC=AD=a,BC=b,且2a＞b求cos DBA∠的值.3、（2014年海淀一模）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0180α<<，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，20α=时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（60120m<<），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．图2DCBA图1AB C4、（2011海淀期末）如图，E ，B ，A ，F 四点共线，点D 是正三角形ABC 的边AC 的中点， 点P 是直线AB 上异于A ，B 的一个动点，且满足30CPD ∠=︒，则（ ）A ．点P 一定在射线BE 上B ．点P 一定在线段AB 上C ．点P 可以在射线AF 上 ，也可以在线段AB 上D ．点P 可以在射线BE 上 ，也可以在线段5、（2011西城一模）平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c=-++与x轴交于点A 、点B ， 与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ， 抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA 求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．C6、（2013海淀期中）初三（1）班的同学们在解题过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法．题目：在△ABC中，80ACB∠=︒，求作：40ADB∠=︒．图1 图2仿照他们的做法，利用尺规作图解决下列问题，要求保留作图痕迹．（1）请在图1和图2中分别出作20APB∠=︒；（2）当60ACB∠=︒时，在图3中作出30APB∠=︒，且使点P在直线l上．lACBDACB EA B板块二：四点共圆判定：1、到一定点的距离相等的四个点共圆（圆的定义） 2、共斜边的直角三角形的顶点共圆 （圆的定义）（此判定考察最多）3、同底且同侧张角相等的两个三角形的顶点共圆 （同弧所对圆周角相等逆定理）4、对角互补或有一个外角等于其内对角的四边形的顶点共圆（圆内接四边形逆定理）另注：四点共圆的判定还有很多，我们只讲中考中涉及到的这四种，其实基本上所有的圆幂 定理的逆定理都可以判定四点共圆，比如相交弦定理，切割线定理及推论，托勒密定 理等.有兴趣的同学等暑假我们再讲.用途：圆中的性质很多，知道四点共圆后，我们可以利用其性质去解决一些几何证明题，判 断动点轨迹题及动点最值问题等，就会显得山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村.7、证明判定3和4的成立（反证法）8、（海淀）已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠.连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.图1 (1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时ADBC=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值(用含α的式子表示)； (3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.9（海淀）如图一，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为直径在△ABC 外作半圆1O 和半圆2O ，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心. F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点.（1）连结1122,,,,,O F O D DF O F O E EF ，证明：12DO F FO E △≌△；（2）如图二，过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连结PQ ，若∠ACB =90°,DB =5，CE =3，求线段PQ 的长;（3）如图三，过点A 作半圆2O 的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线F A 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连结P A . 证明：P A 是半圆1O 的切线.图一A B CDE1O 2O 2O 1O AE B DP图二AB CEFDPQ1O 2O 图三10、（海淀期末） 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ） A ． 32π B ．33π C ．34π D ．36π11、（2014年房山一模） 将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P .（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长.12、（2012朝阳）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ． （1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．(0,1)I 图1图2DB EB ABA备用图D F A B E13、（2015北京四中12月月考）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A'MN ，连接A'C ,则A'C 长度的最小值是_______.14、（2013昌平一模）在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3PP 1E A 1A C 115、（2013通州期末）在平面直角坐标系xOy 中，点B (0，3)，点C 是x 轴正半轴上一点，连结BC ，过点C 作直线CP ∥y 轴. （1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O 重合，直角顶点D在线段BC 上，另一个顶点E 在CP 上．求点C 的坐标； （2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O 重合，直角顶点D 在线段BC 上，另一个顶点E 在CP 上，求点C 的坐标．备用图备用图第24题图。

四点共圆问题第四讲四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′)＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明AP =AM ，从而有AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠A DC＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC .A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 123A B C DK M··但已证∠AMB ＝∠BKA ，∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. 分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°?C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ? OC =OK ?∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ，故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ?A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.(4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°.A BO K N CMG故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB . (5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆?∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ . 分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称?MQ ′=MQ . 又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径( ∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2 四点共圆，从而知C ，D ，O 1，B ，O 2五点共圆.)2.△ABC 为不等边三角形.∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于A 1，A 2；同样得到B 1，B 2，C 1，C 2.求证：A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2.(提示：设法证∠ABA 1与∠ACA 1互补造成A ，B ，A 1，C 四点共圆；再证A ，A 2，B ，C 四点共圆，从而知A 1，A 2都是△ABC 的外接圆上，并注意∠A 1AA 2=90°.) 3.设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合).求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.4.在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD . (提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆)A BC D E F KG ······5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B 引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。

四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C B AD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。

四点共圆基本方法第一篇：四点共圆基本方法四点共圆基本方法方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法4 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法5 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，角ABC=角ADC（同弧所对的圆周角相等）。

角CBE=角D（外角等于内对角）△ABP∽△D CP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0212y p k y y y AB -=-=+；.)图1高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-63 3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立. 高考题1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2214x y +=. (2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y . 可得222212121,144x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4x x x x y y y y +-=-+- 0121212120124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-0012CD y k x ==- 所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ⋅⋅.竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-222y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.(1)确定λ的取值范围；(2)试判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？并说明理由.简解 (1)用点差法可求得直线AB 的方程是1+=x y ，由直线AB 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得1->λ且0≠λ.得直线CD 的方程是3+-=x y ，由直线CD 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得9->λ且0≠λ.所以λ的取值范围是),0()0,1(+∞⋃-.(2)在(1)的解答中已0AB CD k k +=，所以由推论1立得,,,A B C D 四点共圆.笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这五道题及其答案分别是：高考题2 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且PQ QF 45=. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.(答案：(1)x y 42=；(2)01=--y x 或01=-+y x .)高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题))如图1所示，已知O为坐标原点，F 为椭圆12:22=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于B A ,两点，点P 满足=++OP OB OA 0.图1(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：Q B P A ,,,四点在同一圆上.高考题4 (2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设B A ,是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与该椭圆交于D C ,两点.(1)确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；(2)试判断是否存在这样的λ，使得D C B A ,,,四点在同一圆上？并说明理由.(答案：(1)λ的取值范围是),12(+∞，直线AB 的方程是04=-+y x ；(2)当12>λ时时，均有D C B A ,,,四点在同一圆上.)高考题5 (2002年高考江苏卷第20题)设B A ,是双曲线1222=-y x 上的两点，点N )2,1(N 是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点，那么D C B A ,,,四点是否共圆？为什么？(答案：(1)1+=x y ；(2)是.)竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线22y x =及点(1,1)P ，过点P 的不重合的直线12l l 、与此抛物线分别交于点,,,A B C D .证明：,,,A B C D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补.图2推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题6 (2009年高考辽宁卷理科第20(2)题)已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题7 (2004年高考北京卷理科第17(2)题)如图3，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：00212y p k y y y AB -=-=+；.)图3高考题8 (2004年高考北京卷文科第17(2)题)如图3，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.(本文中的所有结论及部分题目在文献[6]中均有论述.)参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-633 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-106 甘志国.二次曲线上的四点共圆问题的完整结论[J].数学通讯，2013(7下):40-41。

第二十四讲 四点共圆(一）【知识要点】四点共圆的判定方法:1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。

2、若一个四边形的一组对角的和等于180度,则这个四边形的四个顶点共圆.3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆.4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

5、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PD PC PB PA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆。

6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点，且PD PC PB PA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆。

7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆.【典例精讲】例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点,且. （1）证明：AB CD //；（2）延长CD 到F ,延长DC 到G ，使得EG EF =，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆。

AB例3、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //,点E ,F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ,若B ，C ,F ，E 四点共圆，求证：GE DG GF AG ⋅=⋅．例4、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ,若O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为( ） A 、522 B 、528 C 、17 D 、无法求出例6、如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已知m AE =，n AC =,AD ，AB 为方程0142=+-mn x x 的两根.(1）证明：C ,B ，D ，E 四点共圆;（2)若︒=∠90A ,4=m ，6=n ,求C ,B ，D ，E 四点所在圆的半径．ABED例7、如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦,垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ． （1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；(2)证明：22AB BM BF AC =⋅+．AB例8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角,且BC AE ⊥,CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1)中的圆交于M 、N ．求证:ND BM =．D例9、如图所示，I 为ABC ∆的内心,求证:BIC ∆的外心O 与A 、B 、C 四点共圆.例10、A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外,1O ，2O ，3O 分别为OAB ∆，OBC ∆,OCA ∆的外心．求证：O ，例13、如图，，，,． （1）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆;（2）若EH KE =,3=CE 求线段KM 的长．CAB例14、在ABC ∆的边AB ，BC ,CA 上分别取D ，E ,F ．使得BEDE =，CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心．（1）证明：D ，E ，F ,O 四点共圆； (2)证明：O 在DEF ∠的平分线上．A例15、如图,CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且AF DC AE BC ⋅=⋅,B 、E 、F 、C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若EA BE DB ==，求过B 、E 、F 、C 的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．D例16、如图，锐角ABC ∆的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线,垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．（1）求证：A ，D ，F ，E 四点共圆；(2）若︒=∠50C ,求DEF ∠的度数．ABCCA【强化训练】1、 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证:(1）2CE CE AC DE BE =⋅+⋅；（2）E ,F ,C ，B 四点共圆．E2、如图，已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．(1）证明A ，P ，O ，M 四点共圆;（2）求APM OAM ∠+∠的大小．A3、如图，已知AB 为半圆O 的直径,BE 、CD 分别为半圆的切线,切点分别为B 、C ,DC 的延长线交BE 于F ，AC 的延长线交BE 于E ．DC AD ⊥，D 为垂足．（1）求证：A 、D 、F 、B 四点共圆;（2）求证：FB EF =．D FB4、如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在AC 上， 且AF AE =．（1)证明:B ，D ，H ，E 四点共圆； (2)证明:CE 平分DEF ∠．D BAC5、如图，已知BA 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ,连接AE 、CE ． 求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．BAF6、如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ,CP 及其延长线交⊙P 于D ,E 两点,过点E 作CE EF ⊥,交CB 的延长线于点F ．（1）求证：B 、P 、E 、F 四点共圆;(2)若9、如图所示,在RtABC 中，︒=∠90ACB ,点O 为三角形外的一点,以O 为圆心，OC 为半径的圆与边AB 相切，切点为E ，圆O 与边BC 相交于D 点,直径EF 与边BC 交于G 点,连接AG ．求证：ED AG //．BA。