2018秋人教版九年级数学上册课件：小专题2 一元二次方程根的判别式与根的方法(共13张PPT)

有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x2+（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b2-4ac=（m-2）2 -4×2（-2+m）
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3+√2=0 • 例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程
一元二次方程判别式
课件作 主讲
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？

当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
一元二次方程根的判别式 解：a=1，b=-4，c=-7 化简得 x2-4x-12=0
4a 2
>0，方程有两个不等的
一元二次方程根的判别式Δ= b2－4ac
=49>0 下列说法正确的是（ ）
b 若Δ<0，方程无实数根. 实数根 x 1
21.2.2 公式法 ——根的判别式及求根公式
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子ax2+bx+c=0的根有以下三种
情况：
一元二次方程根的判别式
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
①当b －4ac>0时，b 4ac ax2+bx+c=0(a≠0)
2
2 别是（ ）
9x2+12x+4=0； Δ=b2-4ac =122-4×9×4 =0 方程有两个相等的实数根
2x2+4x－3=2x－4； 化简得 2x2+2x+1=0
Δ=b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0

2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.

第6讲 一元二次方程的解法及 根的判别式
A D
B
解析：∵2是一元二次方程x2－3x＋k＝0的一个根，∴22－3×2＋k＝0，解得k＝2.故选B.
A
解析：方程整理得：x2－6x＝6，配方得：x2－6x＋9＝15，即(x－3)2＝15，故选A. 【思路点拨】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值；一元二 次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
No Image
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……

D
解析：∵Δ＝(－4)2－4×3×1＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D. C
9 解析：根据题意得Δ＝(－6)2－4c＝0，解得c＝9.故答案为9.
【思路点拨】当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相 等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
D 解析：∵x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－3.故选D.

典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，

15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年8月2021/8/102021/8/102021/8/1 08/10/ 2021
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/ 8/1020 21/8/1 0August 10, 2021
真题演练
2.（2018•湘潭）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个 不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0， 即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出 实数m的取值范围． 【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实 数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m＞0， 解得：m＜1．
作业
1、当m为何值时,方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0有 实数根？
2:已知关于x的方程 x2(m2)x2m0
（1）试无论m取何值，方程总有实数根？ （2）若等腰三角形的一边a=3，另两边b，c 恰好是这个方程的两根，求三角形的周长
真题演练
1.（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根 的情况是（ ） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/10 2021/8/102021/8/10 2021/8/108/10/2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/ 8/1020 21/8/1 0

例2．2已若知关关于于xx的的方一程元二方次方程程 有两个相等的实数根，则 b2 4ac __=___ 0;
例4 已知：关于x的方程
变式1 如果关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，
当 例2
若关于x的方程 时，方程有两个不相方等的程实数没根；有实数根，则 b2 4ac ___<__ 0.
例6 如果关于x的一元二次方程 a 1 x2 2bx c 1 x2
有两个相等的实数根，判断以正数a，b，c为边长的三角形的形状.
解： a 1 x2 2bx c 1 x2 ,
a ax2 2bx c cx2 , ax2 cx2 2bx a c 0,
整理，得 a c x2 2bx a c 0.
x b . 2a
例4 已知：关于x的方程 mx2 4x 1 0 有实数根．
例已6知关如于果x关（的于一x2元的）二一次元若方二程次方方程程的根为有理数，求正整数m的值．
②当
时， 方程为一元二次方程．
（2）解：∵m≤4 且m为正整数， （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
变式3 如果关于x的一元二次方程 x2 4x k 5 0 有实数根，
求k的取值范围.
b2 4ac 0
解：∵一元二次方程有实数根， ∴ b2 4ac 36 4k 0.
∴ k 9.
例2 若关于x的方程 a 1 x2 2a 1 x a 5 0 有两个实数根，求正整数a的值.
m 4. ∴m的取值范围是m≤4且 m 0.
综上所述， m≤4.
例4 已知：关于x的方程 mx2 4x 1 0 有实数根． （2）若方程的根为有理数，求正整数m的值． （2）解：∵ m为正整数， ∴m可取1，2，3，4．

x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上

当方程有两个相等的实数根时， 0 ； 当方程没有实数根时， 0 .
掌握新知
例1 不解方程，判别下列方程的根的 情况：
13x2 5x 2;
2 4x2 2x 1 0;
4
34 y
2
1 y 0.
例2：按要求完成下列表格：
方程
2y2 2 4y
Δ的值
0 0
根的 情况
有两个相等 的实数根
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
巩固练习
1式.方△程＝___4_x_2 _-2_33x_， 2它的的0根根的的判情别况
无实数根
是__________2x_2__．mx 1 0
2.已知方程
的判
别式的值是16，则m＝_2__3 __．
3.方程 9x 2 (k 6)x k 1 有0 两个 相等的实数根，则k＝ __0或__24__．
实数根： 当b2
x1
x2
b 2a
;
4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况 b2 4ac
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
4．如果关于x的方程 x 2 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 __c _ 2_45_．
5.已知关于x的方程 x2 (2k 1)x k 2 1 0
有两个不相等的实数根，试确定的取值。
6.求证：关于 x的方程 k 2 x2 2kx (k 2 1) 0

58
结束寄语
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！
再见！
一元二次方程根的判别式
教学目标：
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行 有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 的范围。
重点：一元二次方程根的判别式的产生过程
及意义。
难点：利用判别式进行推理论证；求一元二
次方程中字母系数的取值范围。
结论与小结
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式，通常用“△”表示。
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1）2x2+5x+7=0 (2)3x2+x=0 (3)x2-4kx=2k+3 提示：步骤：第一步：写出判别式△； 第二步：根据△的正负写结论。
解：（1）∵△=b2-4ac=52-4×2×7=-31＜0 ∴原方程没有实数根。
（2）∵△=b2-4ac=12-4×3×0=1＞0 ∴原方程有两个不等的实根。
（3）∵△=b2-4ac=（-4k)2-4×1×[(2k+3)]
=16k2+8k+12 =（4k)2+8k+1+11 =(4k+1)2+11＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根。
问题二：已知方程及其根的情况，求字
母的取值范围。 当方程有两个相等的实数根时，△=b2-4ac=0
二次项系数 a ，一次项系数 b ，常数项 c .
解一元二次方程的方法：
①直接开平方法 ③配方法
②因式分解法
④公式法
思考
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)