2018年河北省保定市高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案(word版)

2018年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={−2, −1, 1, 2}，集合B ={k ∈A|y =kx 在R 上为增函数}，则A ∩B 的子集个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42. 设a 为i −1的虚部，b 为(1+i)2的实部，则a +b =( ) A.−1 B.−2 C.−3 D.03. 已知具有线性相关的变量x ，y ，设其样本点为A i (x i , y i )(i ＝1, 2,……,8)，回归直线方程为y ^=12x +a ，若OA 1→+OA 2→+⋯⋯+OA 8→=(6,2)，（O 为原点），则a ＝（ ）A.18 B.−18C.14D.−144. 已知非向量a →=(x,2x),b →=(x,−2)，则x <0或x >4是向量a →与b →夹角为锐角的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知p:∃n 0∈N,5n 0<100，则¬p 为（ ） A.∀n ∈N ，5n <100 B.∀n ∈N ，5n ≥100 C.∃n 0∈N,5n 0≥100 D.∃n 0∈N,5n 0>1006. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin(θ+π2)−cos(θ+π3)=( )A.4+3√310B.4−3√310C.−4+3√310D.−4−3√3107. 如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A.299−23B.2100−23C.2101−23D.2102−238. 已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数ℎ(x)=g(x)f(x)+1+1，则ℎ(2018)+ℎ(2017)+ℎ(2016)+...+ℎ(1)+ℎ(0)+ℎ(−1)+...ℎ(−2016)+ℎ(−2017)+ℎ(−2018)＝（）A.0B.2018C.4036D.40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.√3+6√2+2√6B.√3+6√2+4√6C.6√3+4√6D.5√3+4√610. 已知向量a→=(sin4x2,cos4x2)，向量b→=(1,1)，函数f(x)=a→⋅b→，则下列说法正确的是（）A.f(x)是奇函数B.f(x)的一条对称轴为直线x=π4 C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)在(π4,π2)上为减函数11. 已知双曲线x29−y2b2=1(b>0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|=()A.8B.4√2C.2√3D.4√312. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，当x∈[0, 1]时，f(x)=−2x+1，设g(x)=(12)|x−1|(−1<x<3)，则函数f(x)与g(x)的图像的所有交点的横坐标之和为（）A.2B.4C.6D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点P(−2, a)到焦点的距离为3，则a =________．甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是________．已知实数x ，y 满足{2x −y −2≥0x +2y +2≥0x −y ≥0 ，若z =3x −2y 取得最小值时的最优解(x, y)满足ax +by =2(ab >0)，则a+4b ab的最小值为________．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =3，b =2，且accosB =a 2−b 2+√74bc ，则B =________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }满足：2a n =a n+1+a n−1(n ≥2,n ∈N +)，且a 1＝1，a 2＝2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足2a n ⋅b n+1=a n+1⋅b n (n ≥1,n ∈N ∗)，且b 1＝1．求数列{b n }的通项公式，并求其前n 项和 T n ．某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．如图，四棱台A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，A 1A ⊥底面ABCD ，A 1B 1=A 1A =√3,AB =2√3，AC =2，平面A 1ACC 1⊥平面C 1CDD 1，M 为C 1C 的中点． （1）证明：AM ⊥D 1D ；（2）若∠ABC =30∘，且AC ≠BC ，求点A 到平面B 1BCC 1的距离．椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且过点(−1,32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P(x, y)为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P ′满足PP ′→=(4−x,0)． ①证明：|PP ′→||PF →|为定值；②设直线y =12x +m 与椭圆C 有两个不同的交点A 、B ，与y 轴交于点M ．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m 的值．已知函数f(x)=x +ax ．(1)判断函数f(x)的单调性；(2)设函数g(x)=ln x +1，证明：当x ∈(0,+∞)且a >0时，f(x)>g(x)．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，多答，按所首题进行评分；在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =ty =1a t 2 (t 为参数，a >0)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l:ρcosθ−ρsinθ+b =0与⊙C 2:ρ=−4cosθ相交于A 、B 两点，且∠AOB =90∘． （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线C 1相交于M 、N ，证明：|C 2M|⋅|C 2N|（C 2为圆心）为定值．已知函数f(x)=|x +1|．（1）解关于x 的不等式f(x)−x 2+1>0；（2）若函数g(x)=f(x −1)+f(x +m)，当且仅当0≤x ≤1时，g(x)取得最小值，求x ∈(−1, 2)时，函数g(x)的值域．参考答案与试题解析2018年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】求出集合B 的元素，利用集合交集的定义进行求解即可． 【解答】集合B ={k ∈A|y =kx 在R 上为增函数}={k ∈A|k >0}={1, 2}， 则A ∩B ={1, 2}，故A ∩B 的子集个数为4个， 2.【答案】 A【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】利用复数的运算法则、有关概念即可得出． 【解答】i −1=−i−i∗i =−i ，则a =−1． (1+i)2=1−1+2i =2i ． ∴ b =0，则a +b =−1+0=−1． 3.【答案】 B【考点】求解线性回归方程 【解析】根据题意计算平均数x 、y ，代入回归直线方程求出a 的值． 【解答】计算x =18×(x 1+x 2+...+x 8)=68=34，y =18×(y 1+y 2+...+y 8)=28=14；回归直线方程为y ^=12x +a ，∴ 14=12×34+a ， 解得a =−18． 4.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 cos <a →，b →>=a →∗b→|a →|∗|b →|，由向量a →与b →夹角为锐角，可得2√5x 2(x 2+4)>0，解得x ．反之由x <0或x >4，向量a →与b →夹角不一定为锐角． 【解答】非向量a →=(x,2x),b →=(x,−2)， ∴ cos <a →，b →>=a →∗b→|a →|∗|b →|=22222=222，由向量a →与b →夹角为锐角，则222>0，解得x <0或x >4．反之由x <0或x >4，向量a →与b →夹角不一定为锐角．例如x =−1时，向量a →与b →夹角为0．因此x <0或x >4是向量a →与b →夹角不一定为锐角的必要不充分条件．5.【答案】 B【考点】 命题的否定 【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以，p:∃n 0∈N,5n 0<100，则¬p 为：∀n ∈N ，5n ≥100． 6.【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 三角函数的化简求值 【解析】根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和，求得两条直角边的乘积．再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于100，联立解方程组可得两条直角边，则可求cosθ，sinθ的值，进而即可化简求值得解．【解答】解：根据题意，大正方形边长=10，小正方形的边长=2． 可得三角形的面积=(100−4)÷4=24． 设三角形两直角边为a 、b ，则12ab =24． 又a 2+b 2=102，联立解得：{a =6b =8 ，或{a =8b =6 ， 所以cosθ=45，sinθ=35．可得：sin(θ+π2)−cos(θ+π3)=12cosθ+√32sinθ=4+3√310． 故选A . 7.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s 和循环变量n ，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n 从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解． 【解答】通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π＝−2+22−23+24− (2100)−2−(−2)×21001−(−2)=2101−23．8.【答案】 D【考点】幂函数的图象 【解析】根据函数f(x)既是二次函数又是幂函数知f(x)＝x 2为R 上的偶函数，又函数g(x)是R 上的奇函数知m(x)=g(x)f(x)+1为R 上的奇函数；得出ℎ(x)+ℎ(−x)＝2，且ℎ(0)＝1，由此求出结果． 【解答】函数g(x)是R 上的奇函数，m(x)=g(x)f(x)+1为定义域R 上的奇函数（1）函数ℎ(x)=g(x)f(x)+1+1， ∴ ℎ(x)+ℎ(−x)＝[g(x)f(x)+1+1]+[g(−x)f(−x)+1+1]＝[g(x)f(x)+1+−g(x)f(x)+1]+2＝2， ∴ ℎ(2018)+ℎ(2017)+ℎ(2016)+...+ℎ(1)+ℎ(0)+ℎ(−1)+...+ℎ(−2016)+ℎ(−2017)+ℎ(−2018)＝[ℎ(2018)+ℎ(−2018)]+[ℎ(2017)+ℎ(−2017)]+...+[ℎ(1)+ℎ(−1)]+ℎ(0) ＝2+2+...+2+1＝2×2018+1 ＝4037． 故选：D ． 9.【答案】 C【考点】球的体积和表面积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由三视图可得该几何体为三棱锥，如图．由题意得，底面是顶角为120∘的等腰三角形BCD ，侧棱AC 垂直于底面，BC =CD =2，BD =2√3，AC =2√6，AB =AD =2√7．则几何体的表面积为12×2×2√6+12×2×2√6+12×2×2×sin120∘+12×√(2√7)2−(√3)2×2√3=4√6+6√3．故选C ．10.【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】运用向量数量积的坐标表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化简函数f(x)，再由奇偶性和对称轴、周期性和单调性，计算可得所求结论． 【解答】向量a →=(sin 4x2,cos 4x2)，向量b →=(1,1)，函数f(x)=a →⋅b →=sin 4x2+cos 4x2=(sin 2x2+cos 2x2)2−2sin 2x2cos 2x2＝1−12(2sin x2cos x2)2＝1−12sin 2x ＝1−14⋅(1−cos2x) =14(3+cos2x)，由f(−x)=14（3+cos(−2x)）=14(3+cos2x)＝f(x)， 可得f(x)为偶函数，则A 错；由2x ＝kπ，可得x =12kπ(k ∈Z)，则B 错； f(x)的最小正周期为T =2π2=π，则C 错；由x ∈(π4, π2)可得2x ∈(π2, π)，则f(x)在(π4,π2)上为减函数，D 正确． 11.【答案】 D【考点】 双曲线的特性 【解析】根据题意画出图形，结合双曲线的性质可得⊙F 的半径，再利用面积法即可求出． 【解答】 双曲线x 29−y 2b 2=1(b >0)的左顶点为A ，虚轴长为8，∴ 2b =8，解得b =4， ∵ a =3，∴ c 2=a 2+b 2=25， 即c =5，∴ F(5, 0)，A(−3, 0)，∴ 双曲线的渐近线方程为y =±43x ， ∵ ⊙F 与双曲线的渐近线相切， ∴ ⊙F 的半径r =√42+32=4，∴ |MF|=4，∵ |AF|=a +c =5+3=8， ∴ |AM|=√82−42=4√3，∵ S 四边形AMFN =2×12|AM|⋅|MF|=12|AF|⋅|MN|， ∴ 2×4√3×4=8⋅|MN|， 解得|MN|=4√3， 12.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶函数图象的对称性【解析】根据f(x)的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点横坐标之和．【解答】解：∵f(x+1)=−f(x)，∴f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，∴f(x)的周期为2．∴f(1−x)=f(x−1)=f(x+1)，故f(x)的图像关于直线x=1对称．)|x−1|(−1<x<3)的图像关于直线x=1对称，又g(x)=(12作出f(x)与g(x)的函数图像如图所示：由图象可知两函数图像在(−1, 3)上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上【答案】±2√2【考点】抛物线的求解【解析】=3，由此能求出抛由题意设抛物线方程为y2=−2px，(p>0)，由已知条件得2+p2物线的方程．【解答】由题意设抛物线方程为y2=−2px，(p>0)，，其准线方程为x=p2∵抛物线上一点P(−2, a)到焦点的距离为3，∴2+p=3，解得p=2，2∴此抛物线的方程为y2=−4x．可得：a2=8，解得a=±2√2．【答案】甲【考点】进行简单的合情推理分别假设三人中做对的是甲、乙、丙，利用三个人中有一个人做对了，有一个说对了，能判断出结果． 【解答】假设三人中做对的是甲，则甲、乙说错了，丙说对了，符合题意； 假设三人中做对的是乙，则乙说错了，皿和丙说对了，不符合题意； 假设三人中做对的是丙，则甲、乙、丙都说对了，不符合题意． 综上，他们三个人中做对的是甲． 【答案】 9【考点】 简单线性规划 【解析】由题意作出可行域，变形目标函数，平移目标函数，求出a +b =1，再构造函数，利用导数求出函数的最值． 【解答】实数x ，y 满足{2x −y −2≥0x +2y +2≥0x −y ≥0 ，作出不等式组所对应的可行域，变形目标函数可得y =32x −z2，a >0， 平移目标函数，当经过点A 时，z 取得最小值， 由{x −y =02x −y −2=0 ，解得x =y =2 ∴ a +b =2， ∴ a +b =1， ∵ ab >0，∴ a >0，b >0， ∴a+4b ab=1b+4a=4a+11−a，设f(a)=4a +11−a ， ∴ f′(a)=−4a 2+1(a−1)2=−(a−2)(3a−2)a 2(a−1)2令f′(a)=0，解得a =2（舍去），或a =23， 当0<a <23时，f′(a)<0，函数f(a)单调递减， 当23<a <1时，f′(a)>0，函数f(a)单调递增， ∴ f(a)min =f(23)=423+11−23=9，故a+4b ab的最小值为9，π6【考点】余弦定理【解析】根据题意，由accosB=a2−b2+√74bc，结合余弦定理分析可得ac×a2+c2−b22ac=a2−b2+√74bc，变形可得b2+c2−a22bc=√74，即cosA=√74，由同角三角函数基本关系式分析可得sinA的值，又由正弦定理分析可得sinB，有a、b的大小关系分析可得B为锐角，即可得答案．【解答】根据题意，△ABC中accosB=a2−b2+√74bc，则有ac×a2+c2−b22ac =a2−b2+√74bc，变形可得：a2+c2−b2=2a2−2b2+√72bc，则有b2+c2−a22bc =√74，即cosA=√74，则sinA=√1−cos2A=34，又由asinA =bsinB，则sinB=b×sinAa，又由a=3，b=2，则sinB=2×3 43=12，又由a>b，则B<π2，则B=π6；三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】由2a n=a n+1+a n−1(n≥2,n∈N∗)知数列{a n}为等差数列，且首项为1，公差为a2−a1＝1，所以a n＝n；∵2nb n+1＝(n+1)b n，∴b n+1n+1=12⋅b nn(n≥1)，∴数列{b nn}是以b11=1为首项，12为公比的等比数列，b nn=(12)n−1，从而b n=n2n−1，T n=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，12T n=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，∴12T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n=2−n+22n，所以T n=4−n+22n−1．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）判断数列是等差数列，然后求解数列的通项公式．（2）利用递推关系式求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】由2a n=a n+1+a n−1(n≥2,n∈N∗)知数列{a n}为等差数列，且首项为1，公差为a2−a1＝1，所以a n＝n；∵2nb n+1＝(n+1)b n，∴b n+1n+1=12⋅b nn(n≥1)，∴数列{b nn}是以b11=1为首项，12为公比的等比数列，b nn=(12)n−1，从而b n=n2n−1，T n=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，12T n=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，∴12T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n=2−n+22n，所以T n=4−n+22n−1．【答案】解：（1）∵x甲=90，x乙=90，S甲2=31.6,S乙2=50，S甲2<S乙2，∴甲的成绩更稳定．（2）方法一：考试有5次，任选2次，基本事件有(87,100)和(87,80)，(87,100)和(84,85)，(87,100)和(100,95)，(87,100)和(92,90)，(87,80)和(84,85)，(87,80)和(100,95)，(87,80)和(92,90)，(84,85)和(100,95)，(84,85)和(92,90)，(100,95)和(92,90)共10个，其中符合条件的事件有(87,100)和(84,85)，(87,100)和(92,90)，(87,80)和(84,85)，(87,80)和(92,90)，(84,85)和(100,95)，(100,95)和(92,90)共6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为610=35．方法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况有(13,7)，(13,1)，(13,5)，(13,2)，(7,1)，(7,5)，(7,2)，(1,5)，(1,2)，(5,2)共10种，其中符合条件的情况有(13,1)，(13,2)，(7,1)，(7,2)，(1,5)，(5,2)共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为610=35．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵x甲=90，x乙=90，S甲2=31.6,S乙2=50，S甲2<S乙2，∴甲的成绩更稳定．（2）方法一：考试有5次，任选2次，基本事件有(87,100)和(87,80)，(87,100)和(84,85)，(87,100)和(100,95)，(87,100)和(92,90)，(87,80)和(84,85)，(87,80)和(100,95)，(87,80)和(92,90)，(84,85)和(100,95)，(84,85)和(92,90)，(100,95)和(92,90)共10个，其中符合条件的事件有(87,100)和(84,85)，(87,100)和(92,90)，(87,80)和(84,85)，(87,80)和(92,90)，(84,85)和(100,95)，(100,95)和(92,90)共6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为610=35．方法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况有(13,7)，(13,1)，(13,5)，(13,2)，(7,1)，(7,5)，(7,2)，(1,5)，(1,2)，(5,2)共10种，其中符合条件的情况有(13,1)，(13,2)，(7,1)，(7,2)，(1,5)，(5,2)共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为610=35．【答案】证明：连接AC1，∵A1B1C1D1−ABCD为四棱台，四边形A1B1C1D1∼四边形ABCD，∴A1B1AB =12=A1C1AC，由AC=2得，A1C1=1，又∵A1A⊥底面ABCD，∴四边形A1ACC1为直角梯形，可求得C1A=2，又AC=2，M为CC1的中点，所以AM⊥C1C，又∵平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，平面A1ACC1∩平面C1CDD1=C1C，∴AM⊥平面C1CDD1，D1D⊂平面C1CDD1，∴AM⊥D1D；在△ABC中，AB=2√3,AC=2,∠ABC=30∘，利用余弦定理可求得，BC=4或BC=2，由于AC≠BC，所以BC=4，从而AB2+AC2=BC2，知AB⊥AC，又∵A1A⊥底面ABCD，则平面A1ACC1⊥底面ABCD，AC为交线，∴AB⊥平面A1ACC1，所以AB⊥CC1，由（1）知AM⊥CC1，AB∩AM=A，∴CC1⊥平面ABM（连接BM），∴平面ABM⊥平面B1BCC1，过点A作AN⊥BM，交BM于点N，则AN⊥平面B1BCC1，在Rt△ABM中可求得AM=√3,BM=√15，所以AN=2√155，所以，点A到平面B1BCC1的距离为2√155．【考点】点、线、面间的距离计算两条直线垂直的判定【解析】（1）连接AC1，证明AM⊥C1C，推出AM⊥平面C1CDD1，然后证明AM⊥D1D；（2）在△ABC 中，利用余弦定理可求得，BC =4，推出AB ⊥AC ，证明AB ⊥CC 1，推出CC 1⊥平面ABM （连接BM ），过点A 作AN ⊥BM ，交BM 于点N ，AN ⊥平面B 1BCC 1，在Rt △ABM 中可求得点A 到平面B 1BCC 1的距离． 【解答】证明：连接AC 1，∵ A 1B 1C 1D 1−ABCD 为四棱台，四边形A 1B 1C 1D 1∼四边形ABCD ， ∴A 1B 1AB=12=A 1C 1AC，由AC =2得，A 1C 1=1，又∵ A 1A ⊥底面ABCD ，∴ 四边形A 1ACC 1为直角梯形，可求得C 1A =2， 又AC =2，M 为CC 1的中点，所以AM ⊥C 1C ，又∵ 平面A 1ACC 1⊥平面C 1CDD 1，平面A 1ACC 1∩平面C 1CDD 1=C 1C ， ∴ AM ⊥平面C 1CDD 1，D 1D ⊂平面C 1CDD 1， ∴ AM ⊥D 1D ；在△ABC 中，AB =2√3,AC =2,∠ABC =30∘，利用余弦定理可求得，BC =4或BC =2，由于AC ≠BC ，所以BC =4， 从而AB 2+AC 2=BC 2，知AB ⊥AC ，又∵ A 1A ⊥底面ABCD ，则平面A 1ACC 1⊥底面ABCD ，AC 为交线，∴ AB ⊥平面A 1ACC 1，所以AB ⊥CC 1，由（1）知AM ⊥CC 1，AB ∩AM =A ， ∴ CC 1⊥平面ABM （连接BM ），∴ 平面ABM ⊥平面B 1BCC 1，过点A 作AN ⊥BM ，交BM 于点N ， 则AN ⊥平面B 1BCC 1，在Rt △ABM 中可求得AM =√3,BM =√15，所以AN =2√155，所以，点A 到平面B 1BCC 1的距离为2√155．【答案】由ca =12得3a 2=4b 2，把点(−1,32)代入椭圆方程为1a +94b =1，∴ 1a +93a =1得a 2=4， ∴ b 2=3，椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；由（1）知x 24+y 23=1,c =1，|PF →|=√(x −1)2+y 2=√(x −1)23(1−x 24)=√14x 2−2x +4=12|x −4|， 而|PP ′→|=|4−x|，∴|PP ′→||PF →|=2为定值；②直线y =12x +m 与椭圆C 联立，{y =12x +m x 24+y 23=1得x 2+mx +m 2−3=0，△=m 2−4(m 2−3)>0⇒−2<m <2， 设A(x 1,12x 1+m),B(x 2,12x 2+m)，则x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=m 2−3， 由①知|AF|=12(4−x 1),|BF|=12(4−x 2)， ∴ |AF|+|BF|=4−x 1+x 22=4+m 2,|MF|=√m 2+1，∵ |AF|，|MF|，|BF|成等差数列， ∴ |AF|+|BF|=2|MF|，即4+m 2=2√m 2+1解得m =125或m =−43， 又因为−2<m <2，所以m =−43． 【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）利用椭圆的离心率以及点的坐标，列出方程求解a ，b ，然后推出椭圆方程． （2）由（1）推出|PF →|，求出|PP ′→|=|4−x|，然后求出|PP ′→||PF →|=2为定值；②直线y =12x +m 与椭圆C 联立，得x 2+mx +m 2−3=0，利用判别式推出−2<m <2，设A(x 1,12x 1+m),B(x 2,12x 2+m)，则x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=m 2−3，利用抛物线的性质以及已知条件，求解m 的值即可． 【解答】由ca =12得3a 2=4b 2，把点(−1,32)代入椭圆方程为1a 2+94b 2=1，∴ 1a 2+93a 2=1得a 2=4， ∴ b 2=3，椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；由（1）知x 24+y 23=1,c =1，|PF →|=√(x −1)2+y 2=√(x −1)23(1−x 24)=√14x 2−2x +4=12|x −4|， 而|PP ′→|=|4−x|，∴|PP ′→||PF →|=2为定值；②直线y =12x +m 与椭圆C 联立，{y =12x +m x 24+y 23=1得x 2+mx +m 2−3=0，△=m 2−4(m 2−3)>0⇒−2<m <2， 设A(x 1,12x 1+m),B(x 2,12x 2+m)，则x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=m 2−3， 由①知|AF|=12(4−x 1),|BF|=12(4−x 2)，∴|AF|+|BF|=4−x1+x22=4+m2,|MF|=√m2+1，∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|=2|MF|，即4+m2=2√m2+1解得m=125或m=−43，又因为−2<m<2，所以m=−43．【答案】(1)解：由题意可得f′(x)=1−ax2=x2−ax2(x≠0)．①若a≤0,f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,0),(0,+∞)上为增函数．②若a>0，则f′(x)>0⇒x2−a>0⇒x<−√a或x>√a，此时f(x)为增函数；f′(x)<0⇒x2−a<0⇒−√a<x<√a(x≠0)，此时f(x)为减函数．∴当a≤0时，函数f(x)在(−∞,0),(0,+∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(−∞,−√a),(√a,+∞)上单调递增，在(−√a,0),(0,√a)上单调递减．(2)证明：令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x+ax−ln x−1(x>0)，ℎ′(x)=1−ax2−1x=x2−x−ax2，设p(x)=x2−x−a=0的正根为x0，∴x02−x0−a=0．∵p(1)=1−1−a=−a<0，∴x0>1．∴ℎ(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(x0)=x0+ax0−ln x0−1=x0+x02−x0x0−ln x0−1=2x0−ln x0−2．令F(x)=2x−ln x−2(x>1)，F′(x)=2−1x =2x−1x>0恒成立，∴F(x)在(1,+∞)上为增函数，又∵F(1)=2−0−2=0，∴F(x)>0，即ℎ(x)min>0，∴当x∈(0,+∞)且a>0时，f(x)>g(x)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由题意可得f′(x)=1−ax2=x2−ax2(x≠0)．①若a≤0,f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,0),(0,+∞)上为增函数．②若a>0，则f′(x)>0⇒x2−a>0⇒x<−√a或x>√a，此时f(x)为增函数；f′(x)<0⇒x2−a<0⇒−√a<x<√a(x≠0)，此时f(x)为减函数．∴ 当a ≤0时，函数f(x)在(−∞,0),(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，函数f(x)在(−∞,−√a),(√a,+∞)上单调递增， 在(−√a,0),(0,√a)上单调递减．(2)证明：令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x +ax −ln x −1(x >0)， ℎ′(x)=1−a x2−1x=x 2−x−a x 2，设p(x)=x 2−x −a =0的正根为x 0，∴ x 02−x 0−a =0． ∵ p(1)=1−1−a =−a <0，∴ x 0>1．∴ ℎ(x)在(0,x 0)上为减函数，在(x 0,+∞)上为增函数，∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=x 0+ax 0−ln x 0−1=x 0+x 02−x 0x 0−ln x 0−1=2x 0−ln x 0−2．令F(x)=2x −ln x −2(x >1)， F ′(x)=2−1x =2x−1x>0恒成立，∴ F(x)在(1,+∞)上为增函数，又∵ F(1)=2−0−2=0，∴ F(x)>0，即ℎ(x)min >0， ∴ 当x ∈(0,+∞)且a >0时，f(x)>g(x)．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，多答，按所首题进行评分；【答案】直线l 和圆C 2的普通方程分别为x −y +b =0，(x +2)2+y 2=4，∠AOB =90∘， ∴ 直线l 过圆C 2的圆心C 2(−2, 0)， ∴ −2+b =0，解得b =2． 证明：曲线C 1:x 2=ay(a >0)， 可知直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =√22t（t 为参数），代入曲线C 1得12t 2−(2√2+√22a)t +4=0， △=12a 2+4a >0恒成立，设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1⋅t 2=412=8，|C 2M|⋅|C 2N|=|t 1⋅t 2|=8为定值． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）推导出直线l 过圆C 2的圆心C 2(−2, 0)，由此能求出b ． （2）曲线C 1:x 2=ay(a >0)，可知直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =√22t（t 为参数），代入曲线C 1得12t 2−(2√2+√22a)t +4=0，由此能证明|C 2M|⋅|C 2N|=|t 1⋅t 2|=8为定值． 【解答】直线l 和圆C 2的普通方程分别为x −y +b =0，(x +2)2+y 2=4，∠AOB =90∘， ∴ 直线l 过圆C 2的圆心C 2(−2, 0)， ∴ −2+b =0，解得b =2． 证明：曲线C 1:x 2=ay(a >0)， 可知直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =√22t（t 为参数），代入曲线C 1得12t 2−(2√2+√22a)t +4=0， △=12a 2+4a >0恒成立，设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1⋅t 2=412=8，|C 2M|⋅|C 2N|=|t 1⋅t 2|=8为定值．【答案】|x +1|−x 2+1>0⇒|x +1|>x 2−1，①{x ≥−1x +1>x 2−1 ⇒−1<x <2，②{x <−1−x −1>x 2−1⇒ϕ， 所以，不等式的解集为{x|−1<x <2}；g(x)=|x|+|x +m +1|=|−x|+|x +m +1|≥|−x +x +m +1|=|m +1|， 当且仅当(−x)⋅(x +m +1)≥0时取等号，∴ 1+m +1=0， 得m =−2，∴ g(x)=|x|+|x −1|，故当x ∈(−1, 2)时，g(x)={−2x +1−1<x <010≤x ≤12x −11<x <2， 所以g(x)在x ∈(−1, 2)时的值域为[1, 3)． 【考点】函数的最值及其几何意义 绝对值不等式的解法与证明 函数的值域及其求法 【解析】（1）通过去掉绝对值符号，转化不等式为二次不等式求解即可．（2）化简函数的解析式，得到分段函数的解析式，然后求解值域即可． 【解答】|x +1|−x 2+1>0⇒|x +1|>x 2−1，①{x ≥−1x +1>x 2−1 ⇒−1<x <2，②{x <−1−x −1>x 2−1⇒ϕ， 所以，不等式的解集为{x|−1<x <2}；g(x)=|x|+|x +m +1|=|−x|+|x +m +1|≥|−x +x +m +1|=|m +1|， 当且仅当(−x)⋅(x +m +1)≥0时取等号，∴ 1+m +1=0， 得m =−2，∴ g(x)=|x|+|x −1|，故当x∈(−1, 2)时，g(x)={−2x+1−1<x<0 10≤x≤12x−11<x<2，所以g(x)在x∈(−1, 2)时的值域为[1, 3)．。

2018年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2}，集合B＝{k∈A|y＝kx在R上为增函数}，则A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）设a为i﹣1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．03．（5分）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i（x i，y i）（i＝1，2，……，8），回归直线方程为，若，（O为原点），则a＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知非向量，则x＜0或x＞4是向量与夹角为锐角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，则¬p为（）A．∀n∈N，5n＜100B．∀n∈N，5n≥100C．D．6．（5分）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）＝（）A．0B．2018C．4036D．40379．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的一条对称轴为直线C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在上为减函数11．（5分）已知双曲线＝1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝（）A．8B．4C．2D．412．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝﹣2x+1，设函数g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g （x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，则a＝．14．（5分）甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是．15．（5分）已知实数x，y满足，若z＝3x﹣2y取得最小值时的最优解（x，y）满足ax+by＝2（ab＞0），则的最小值为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝3，b ＝2，且，则B＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}满足：，且a1＝1，a2＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1＝1．求数列{b n}的通项公式，并求其前n项和T n．18．（12分）某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．19．（12分）如图，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1＝A1A ＝，AC＝2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M为C1C的中点．（1）证明：AM⊥D1D；（2）若∠ABC＝30°，且AC≠BC，求点A到平面B1BCC1的距离．20．（12分）椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足．①证明：为定值；②设直线与椭圆C有两个不同的交点A、B，与y轴交于点M．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m的值．21．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝lnx+1，证明：当x∈（0，+∞）且a＞0时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，多答，按所首题进行评分；22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+b＝0与⊙C2：ρ＝﹣4cosθ相交于A、B两点，且∠AOB＝90°．（1）求b的值；（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：|C2M|•|C2N|（C2为圆心）为定值．23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x2+1＞0；（2）若函数g（x）＝f（x﹣1）+f（x+m），当且仅当0≤x≤1时，g（x）取得最小值，求x∈（﹣1，2）时，函数g（x）的值域．2018年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2}，集合B＝{k∈A|y＝kx在R上为增函数}，则A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：集合B＝{k∈A|y＝kx在R上为增函数}＝{k∈A|k＞0}＝{1，2}，则A∩B＝{1，2}，故A∩B的子集个数为4个，故选：D．2．（5分）设a为i﹣1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．0【解答】解：i﹣1＝＝﹣i，则a＝﹣1．（1+i）2＝1﹣1+2i＝2i．∴b＝0，则a+b＝﹣1+0＝﹣1．故选：A．3．（5分）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i（x i，y i）（i＝1，2，……，8），回归直线方程为，若，（O为原点），则a＝（）A．B．C．D．【解答】解：计算＝×（x1+x2+…+x8）＝＝，＝×（y1+y2+…+y8）＝＝；回归直线方程为，∴＝×+a，解得a＝﹣．故选：B．4．（5分）已知非向量，则x＜0或x＞4是向量与夹角为锐角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：非向量，∴cos＜，＞＝＝＝，由向量与夹角为锐角，则＞0，解得x＜0或x＞4．反之由x＜0或x＞4，向量与夹角不一定为锐角．例如x＝﹣1时，向量与夹角为0．因此x＜0或x＞4是向量与夹角不一定为锐角的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知，则¬p为（）A．∀n∈N，5n＜100B．∀n∈N，5n≥100C．D．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，，则¬p为：∀n∈N，5n≥100．故选：B．6．（5分）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大正方形边长＝10，小正方形的边长＝2．可得三角形的面积＝（100﹣4）÷4＝24．设三角形两直角边为a、b，则ab＝24．又a2+b2＝102，联立解得：，或，所以cosθ＝，sinθ＝．可得：＝cosθ+sinθ＝．故选：A．7．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π＝﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)＝．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）＝（）A．0B．2018C．4036D．4037【解答】解：函数f（x）既是二次函数又是幂函数，∴f（x）＝x2，∴f（x）+1为偶函数；函数g（x）是R上的奇函数，m（x）＝为定义域R上的奇函数；函数，∴h（x）+h（﹣x）＝[+1]+[+1]＝[+]+2＝2，∴h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…+h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）＝[h（2018）+h（﹣2018）]+[h（2017）+h（﹣2017）]+…+[h（1）+h（﹣1）]+h （0）＝2+2+…+2+1＝2×2018+1＝4037．故选：D．9．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为三棱锥，表面积由4个侧面加一个底面，一条侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，如图：P A＝2，BC＝2，三角形ABC 是等腰三角形，高为1，所以AB＝AC＝2，∴几何体的表面积为：+＝6．故选：C．10．（5分）已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的一条对称轴为直线C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在上为减函数【解答】解：向量，向量，函数＝sin4+cos4＝（sin2+cos2）2﹣2sin2cos2＝1﹣（2sin cos）2＝1﹣sin2x＝1﹣•（1﹣cos2x）＝（3+cos2x），由f（﹣x）＝（3+cos（﹣2x））＝（3+cos2x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则A错；由2x＝kπ，可得x＝kπ（k∈Z），则B错；f（x）的最小正周期为T＝＝π，则C错；由x∈（，）可得2x∈（，π），则f（x）在上为减函数，D 正确．故选：D．11．（5分）已知双曲线＝1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝（）A．8B．4C．2D．4【解答】解：双曲线﹣＝1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，∴2b＝8，解得b＝4，∵a＝3，∴c2＝a2+b2＝25，即c＝5，∴F（5，0），A（﹣3，0），∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵⊙F与双曲线的渐近线相切，∴⊙F的半径r＝＝4，∴|MF|＝4，∵|AF|＝a+c＝5+3＝8，∴|AM|＝＝4，∵S＝2×|AM|•|MF|＝|AF|•|MN|，四边形AMFN∴2×4×4＝8•|MN|，解得|MN|＝4，故选：D．12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝﹣2x+1，设函数g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g （x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1），故f（x）的图象关于直线x＝1对称．又g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x＝1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2＝4．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，则a＝．【解答】解：由题意设抛物线方程为y2＝﹣2px，（p＞0），其准线方程为x＝，∵抛物线上一点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，∴2+＝3，解得p＝2，∴此抛物线的方程为y2＝﹣4x．可得：a2＝8，解得a＝．故答案为：．14．（5分）甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是甲．【解答】解：假设三人中做对的是甲，则甲、乙说错了，丙说对了，符合题意；假设三人中做对的是乙，则乙说错了，皿和丙说对了，不符合题意；假设三人中做对的是丙，则甲、乙、丙都说对了，不符合题意．综上，他们三个人中做对的是甲．故答案为：甲．15．（5分）已知实数x，y满足，若z＝3x﹣2y取得最小值时的最优解（x，y）满足ax+by＝2（ab＞0），则的最小值为9．【解答】解：实数x，y满足，作出不等式组所对应的可行域，变形目标函数可得y＝x﹣，a＞0，平移目标函数，当经过点A时，z取得最小值，由，解得x＝y＝2∴a+b＝2，∴a+b＝1，∵ab＞0，∴a＞0，b＞0，∴＝+＝+，设f（a）＝+，∴f′（a）＝﹣+＝﹣令f′（a）＝0，解得a＝2（舍去），或a＝，当0＜a＜时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减，当＜a＜1时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增，∴f（a）min＝f（）＝+＝9，故的最小值为9，故答案为：9．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝3，b＝2，且，则B＝．【解答】解：根据题意，△ABC中，则有ac×＝a2﹣b2+bc，变形可得：a2+c2﹣b2＝2a2﹣2b2+bc，则有＝，即cos A＝，则sin A＝＝，又由＝，则sin B＝，又由a＝3，b＝2，则sin B＝＝，又由a＞b，则B＜，则B＝；故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}满足：，且a1＝1，a2＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1＝1．求数列{b n}的通项公式，并求其前n项和T n．【解答】解：（1）由知数列{a n}为等差数列，且首项为1，公差为a2﹣a1＝1，所以a n＝n；（2）∵2nb n+1＝（n+1）b n，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，∴，所以．18．（12分）某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．【解答】解：（1）∵，，，∴甲的成绩更稳定．（2）解法一：考试有5次，任选2次，基本事件有10个，分别为：（87，100）和（87，80），（87，100）和（84，85），（87，100）和（100，95），（87，100）和（92，90），（87，80）和（84，85），（87，80）和（100，95），（87，80）和（92，90），（84，85）和（100，95），（84，85）和（92，90），（100，95）和（92，90），其中符合条件的事件有6个，分别为：（87，100）和（84，85），（87，100）和（92，90），（87，80）和（84，85），（87，80）和（92，90），（84，85）和（100，95），（100，95）和（92，90），则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为p＝．解法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为：（13，7），（13，1），（13，5），（13，2），（7，1），（7，5），（7，2），（1，5），（1，2），（5，2）共10种，其中符合条件的情况有（13，1），（13，2），（7，1），（7，2），（1，5），（5，2）共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为p＝．19．（12分）如图，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1＝A1A ＝，AC＝2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M为C1C的中点．（1）证明：AM⊥D1D；（2）若∠ABC＝30°，且AC≠BC，求点A到平面B1BCC1的距离．【解答】（1）证明：连接AC1，∵A1B1C1D1﹣ABCD为四棱台，四边形A1B1C1D1～四边形ABCD，∴，由AC＝2得，A1C1＝1，又∵A1A⊥底面ABCD，∴四边形A1ACC1为直角梯形，可求得C1A＝2，又AC＝2，M为CC1的中点，所以AM⊥C1C，又∵平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，平面A1ACC1∩平面C1CDD1＝C1C，∴AM⊥平面C1CDD1，D1D⊂平面C1CDD1，∴AM⊥D1D；（2）解：在△ABC中，，利用余弦定理可求得，BC＝4或BC＝2，由于AC≠BC，所以BC＝4，从而AB2+AC2＝BC2，知AB⊥AC，又∵A1A⊥底面ABCD，则平面A1ACC1⊥底面ABCD，AC为交线，∴AB⊥平面A1ACC1，所以AB⊥CC1，由（1）知AM⊥CC1，AB∩AM＝A，∴CC1⊥平面ABM（连接BM），∴平面ABM⊥平面B1BCC1，过点A作AN⊥BM，交BM于点N，则AN⊥平面B1BCC1，在Rt△ABM中可求得，所以，所以，点A到平面B1BCC1的距离为．20．（12分）椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足．①证明：为定值；②设直线与椭圆C有两个不同的交点A、B，与y轴交于点M．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m的值．【解答】解：（1）由得3a2＝4b2，把点代入椭圆方程为，∴得a2＝4，∴b2＝3，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，而，∴为定值；②直线与椭圆C联立，得x2+mx+m2﹣3＝0，△＝m2﹣4（m2﹣3）＞0⇒﹣2＜m＜2，设，则，由①知，∴，∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|＝2|MF|，即解得或，又因为﹣2＜m＜2，所以．21．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝lnx+1，证明：当x∈（0，+∞）且a＞0时，f（x）＞g（x）．【解答】解：（1）因为，①若a≤0，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）为增函数；②若a＞0，则或，，∴函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：令，，设p（x）＝x2﹣x﹣a＝0的正根为x0，所以，∵p（1）＝1﹣1﹣a＝﹣a＜0，∴x0＞1，h（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，，令F（x）＝2x﹣lnx﹣2（x＞1），恒成立，所以F（x）在（1，+∞）上为增函数，又∵F（1）＝2﹣0﹣2＝0，∴F（x）＞0，即h（x）min＞0，所以，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，多答，按所首题进行评分；22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+b＝0与⊙C2：ρ＝﹣4cosθ相交于A、B两点，且∠AOB＝90°．（1）求b的值；（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：|C2M|•|C2N|（C2为圆心）为定值．【解答】解：（1）直线l和圆C2的普通方程分别为x﹣y+b＝0，（x+2）2+y2＝4，∠AOB＝90°，∴直线l过圆C2的圆心C2（﹣2，0），∴﹣2+b＝0，解得b＝2．证明：（2）曲线，可知直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C1得，恒成立，设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则，|C2M|•|C2N|＝|t1•t2|＝8为定值．23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x2+1＞0；（2）若函数g（x）＝f（x﹣1）+f（x+m），当且仅当0≤x≤1时，g（x）取得最小值，求x∈（﹣1，2）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）|x+1|﹣x2+1＞0⇒|x+1|＞x2﹣1，①，②，所以，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}；（2）g（x）＝|x|+|x+m+1|＝|﹣x|+|x+m+1|≥|﹣x+x+m+1|＝|m+1|，当且仅当（﹣x）•（x+m+1）≥0时取等号，∴1+m+1＝0，得m＝﹣2，∴g（x）＝|x|+|x﹣1|，故当x∈（﹣1，2）时，，所以g（x）在x∈（﹣1，2）时的值域为[1，3）．。

2017-2018学年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=，n∈A}，则A∩B的子集个数是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 162．已知p：α是第一象限角，q：α＜，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣14．sin15°﹣cos15°=（）A． B． C．﹣ D．﹣5．在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A． B． 1﹣ C． D． 1﹣6．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（）A． 38 B． 38﹣2 C． 38+2 D． 12﹣π7．已知函数f（x+2）是R上的偶函数，当x＞2时，f（x）=x2+1，则当x＜2时，f（x）=（）A． x2+1 B． x2﹣8x+5 C． x2+4x+5 D． x2﹣8x+178．设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A． 2 B． C． 1 D．9．执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A． x B． s C． s D． x10．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（）A．（2，﹣2） B．（﹣4，0） C．（4，0） D．（7，3）11．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（）A．甲合适 B．乙合适C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适12．设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A． 310 B． 212 C． 180 D． 121二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．双曲线2x2﹣y2=1的离心率为．14．已知公比为q的等比数列{a n}，满足a1+a2+a3=﹣8，a4+a5+a6=4，则= ．15．若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为，则k= ．16．由5个元素的构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，M n，每一个M i（i=1，2，…，31）中所有元素的积为m i（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m1+m2+…+m33= ．三、解答题（共8小题，满分0分）17．已知函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知△ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值．18．小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答（1）求小明至少取到1道主观题的概率（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是，答对每道主观题的概率都是，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求x 的分布列和数学期望．19．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连结BM（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为；（3）求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．20．已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，过右焦点F的直线l交椭圆与P，Q两点（1）求椭圆的方程（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（+）•（﹣）=0？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．23．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）（1）写出曲线C的直角坐标方程（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．24．设函数f（x）=|x﹣a|+1，a∈R（1）当a=4时，解不等式f（x）＜1+|2x+1|；（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥3+2．2015年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=，n∈A}，则A∩B的子集个数是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 16考点：交集及其运算．专题：集合．分析：把A中元素代入B中计算确定出B，进而求出A与B的交集，找出交集的子集个数即可．解答：解：把x=1，2，3，4分别代入得：B={1，，，2}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}，则A∩B的子集个数是22=4．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知p：α是第一象限角，q：α＜，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若α=，满足在第一象限，但α＜不成立，若α=0，满足α＜，但α在第一象限不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据角与象限之间的关系是解决本题的关键．3．已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：==﹣1，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．sin15°﹣cos15°=（）A． B． C．﹣ D．﹣考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正弦公式，进行化简即可．解答：解：sin15°﹣cos15°=sin（15°﹣45°）==﹣，故选：C．点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．5．在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A． B． 1﹣ C． D． 1﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．解答：解：如图正方形的边长为4：图中白色区域是以AB为直径的半圆当P落在半圆内时，∠APB＞90°；当P落在半圆上时，∠APB=90°；当P落在半圆外时，∠APB＜90°；故使∠AMB＞90°的概率P===．故选：A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．6．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（）A． 38 B． 38﹣2 C． 38+2 D． 12﹣π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，求出它的表面积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，且长方体的长为4，宽为3，高为1，圆柱的底面圆半径为1，高为1；所以该组合体的表面积为S长方体﹣2S底面圆+S圆柱侧面=2（4×3+4×1+3×1）﹣2×π×12+2×π×1×1=38．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题，是基础题目．7．已知函数f（x+2）是R上的偶函数，当x＞2时，f（x）=x2+1，则当x＜2时，f（x）=（）A． x2+1 B． x2﹣8x+5 C． x2+4x+5 D． x2﹣8x+17考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数f（x+2）是R上的偶函数，求出对称轴，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x＞2时，求解函数的解析式．解答：解：∵函数f（x+2）是R上的偶函数，函数关于x=2对称，可得f（x）=f（4﹣x），∵x＞2时，f（x）=x2+1，由x＜2时，﹣x＞2，4﹣x＞6，可得∴f（4﹣x）=（4﹣x）2+1=x2﹣8x+17，∵f（x）=f（4﹣x）=x2﹣8x+17．故选：D．点评：本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个中档题．8．设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A． 2 B． C． 1 D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．解答：解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．9．执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A． x B． s C． s D． x考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当k=9，S=1时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=8；当k=8，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=7；当k=7，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=6；当k=6，S=1时，满足输出条件，故S值应不满足条件，故判断框内可填入的条件是s，故选：B点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（）A．（2，﹣2） B．（﹣4，0） C．（4，0） D．（7，3）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．11．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（）A．甲合适 B．乙合适C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；从而可得司机甲两次加油的均价为；司机乙两次加油的均价为；作差比较大小即可．解答：解：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；则司机甲两次加油的均价为=；司机乙两次加油的均价为=；且﹣=≥0，又∵a≠b，∴﹣＞0，即＞，故这两次加油的均价，司机乙的较低，故乙更合适，故选B．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．12．设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A． 310 B． 212 C． 180 D． 121考点：数列的函数特性；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0（n∈N*），设公差为d，则a n=1+（n﹣1）d，其前n 项和为S n=，由于数列{}也为等差数列，可得=+，解出d，可得=，利用数列的单调性即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0（n∈N*），设公差为d，则a n=1+（n﹣1）d，其前n项和为S n=，∴=，=1，=，=，∵数列{}也为等差数列，∴=+，∴=1+，解得d=2．∴S n+10=（n+10）2，=（2n﹣1）2，∴==，由于为单调递减数列，∴≤=112=121，故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．双曲线2x2﹣y2=1的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率．解答：解：由双曲线2x2﹣y2=1可知：a=，b=1，∴c==，双曲线的离心率为：．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力．14．已知公比为q的等比数列{a n}，满足a1+a2+a3=﹣8，a4+a5+a6=4，则= ﹣．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的求和公式可得（1﹣q3）=﹣8，q3（1﹣q3）=4，整体求解可得．解答：解：由题意可得a1+a2+a3=（1﹣q3）=﹣8，①a4+a5+a6=[（1﹣q6）﹣（1﹣q3）]=q3（1﹣q3）=4，②由①②可得q3=，代入①可得（1+）=﹣8，∴=﹣，故答案为：﹣点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及整体代入的思想，属基础题．15．若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为，则k= 1+或1﹣．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限和积分上限，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值解答：解：函数的导数为f′（x）=2x+1，则f′（0）=1，将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k﹣1，若k＞1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]|=[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=（k﹣1）3=，即（k﹣1）3=，即k﹣1==，即k=+1，若k＜1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]|=﹣[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=﹣（k﹣1）3=，即（k﹣1）3=﹣，即k﹣1=﹣=﹣，即k=1﹣，综上k=1+或k=1﹣，故答案为：1+或1﹣点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题16．由5个元素的构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，M n，每一个M i（i=1，2，…，31）中所有元素的积为m i（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m1+m2+…+m33= ﹣1 ．考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题；集合；二项式定理．分析：方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0；从而转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，再一一列举求和即可；方法二：由二项式的推导思想可知，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1．解答：解：方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0，所以可转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，①当子集中有1个元素时，4+3+1﹣1=7，②当子集中有2个元素时，4×3+4×（﹣1）+4×1+3×（﹣1）+3×1+（﹣1）×1=11，③当子集中有3个元素时，+++=﹣7，④当子集中有4个元素时，4×（﹣1）×3×1=﹣12；故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1；方法二：由题可得，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用，属于基础题．三、解答题（共8小题，满分0分）17．已知函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知△ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值．考点：余弦定理；三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+）+，从而求得函数的最大值．（2）根据f（A）=，求得A的值，再根据△ABC的面积为，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值．解答：解：（1）函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cos2x ﹣1）sinxcosx+cos2x=（sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，故函数的最大值为+=．（2）由题意可得f（A）==sin（2A+）+，∴sin（2A+）=．再根据2A+∈（，），可得2A+=，A=．根据△ABC的面积为bc•sinA=，∴bc=4，又∵b+c=5，∴b=4、c=1，或b=1、c=4．利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=13∴a=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．18．小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答（1）求小明至少取到1道主观题的概率（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是，答对每道主观题的概率都是，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求x 的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）确定事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有=“小明所取的3道题都是客观题”利用对立事件求解即可．（2）根据题意X的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求解相应的概率，求出分布列，运用数学期望公式求解即可．解答：解：（1）设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有=“小明所取的3道题都是客观题”因为P（）==P（A）=1﹣P（）=．（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3．P（X=0）=（）2=．P（X=1）=•（）1•（）1+（）2=．P（X=2）=（）2+•（）1•（）1=，P（X=3）=（）2=∴X的分布列为X 0 1 2 3P∴E（X）=0×=2．点评：本题综合考查了离散型的概率分布问题，数学期望，需要直线阅读题意，准确求解概率，计算能力要求较高，属于中档题．19．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连结BM（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为；（3）求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM；（2）建立空间坐标系结合三棱锥M﹣ADE的体积为，建立方程关系即可；（3）求出平面的法向量，结合坐标系即可求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．解答：（1）证明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，∴AM=BM=，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，结合AD⊂平面ADM，可得AD⊥BM．（2）分别取AM，AB的中点O和N，则ON∥BM，在（1）中证明BM⊥平面ADM，∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，∵AD=DM，∴DO⊥AM，建立空间直角坐标系如图：则D（0，0，），A（，0，0），B（﹣，，0），∴=（﹣，，﹣），∵E是线段DB上的一个动点，∴==（﹣λ，，﹣λ），则E（﹣λ，，﹣λ），∴=（﹣λ﹣，，﹣λ），显然=（0，1，0）是平面ADM的一个法向量．点E到平面ADM的距离d==，则=，解得λ=，则E为BD的中点．（3）D（0，0，），M（﹣，0，0），C（﹣，，0），则=（﹣，0，﹣），=（﹣，，0），设=（x，y，z）是平面CDM的法向量，则，令x=1，则y=1，z=﹣1，即=（1，1，﹣1），易知=（0，1，0）是平面ADM的法向量，则cos＜＞==．点评：本题主要考查空间直线的垂直的判断，空间三棱锥的体积的计算，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．20．已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，过右焦点F的直线l交椭圆与P，Q两点（1）求椭圆的方程（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（+）•（﹣）=0？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意可以求出b，根据离心率求出a，即可就出椭圆方程；（2）先假设线段OF上存在M满足条件，先考虑两种特殊情况：l⊥x轴、l与x轴重合，在考虑一般情况：l的斜率存在且不为0，设出l的方程与椭圆方程联立，利用坐标来表示向量的数量积，从而得出答案．解答：（本小题满分12分）解：（1）由椭圆短轴长为2得b=1，又e==，∴a=，所求椭圆方程为…（3分）（2）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0≤m≤1），使得（+）•（﹣）=0成立，即或||=||①当l⊥x轴时，显然线段OF上的点都满足条件，此时0≤m≤1…（5分）②当l与x轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m=0…（6分）③法1：当l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，根据根与系数的关系得，…（8分）设，其中x2﹣x1≠0∵（+）•（﹣）=0∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇒（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0⇒2k2﹣（2+4k2）m=0⇒m=（k≠0）．∴0＜m＜．∴综上所述：①当l⊥x轴时，存在0≤m≤1适合题意②当l与x轴重合时，存在m=0适合题意③当l的斜率存在且不为零时存在0＜m＜适合题意…（12分）点评：本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系，本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键，同时考查了学生分情况讨论的思想．21．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可．解答：解：（1）由函数f（x）=e x﹣ax+a，可知f′（x）=e x﹣a，①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f min（x），∵f min（x）=2a﹣alna，∴b≤2a﹣alna，∴ab≤2a2﹣a2lna，设g（a）=2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=4a﹣（2alna+a）=3a﹣2alna，由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．所以，即当，时，ab的最大值为．点评：本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP •PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．解答：解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．23．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）（1）写出曲线C的直角坐标方程（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，利用即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，，利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4，即可得出．解答：解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x即为直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴，∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴t1＜0，t2＜0．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4，由，可得∈，∴≤1，∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．设函数f（x）=|x﹣a|+1，a∈R（1）当a=4时，解不等式f（x）＜1+|2x+1|；（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥3+2．考点：绝对值不等式的解法；不等式的证明．专题：综合题；不等式．分析：对第（1）问，将a=3代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．解答：（1）解：当a=4时，不等式f（x）＜1+|2x+1|即为|x﹣4|＜|2x+1||①当x≥4时，原不等式化为x﹣4＜2x+1，得x＞﹣5，故x≥4；②当﹣≤x＜4时，原不等式化为4﹣x＜2x+1，得x＞1，故1＜x＜4；③当x＜﹣时，原不等式化为4﹣x＜﹣2x﹣1，得x＜﹣5，故x＜﹣5．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）；（2）证明：由f（x）≤2得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+═a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+=）=3+（+）≥3+2，当且仅当m=1+，n=1+时，取等号，故m+2n≥3+2，得证点评： 1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。

衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C =U I （ ） A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,42.设i 是虚数单位，若5()2ii x yi i+=-，x ，y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i --C ．2i +D ．2i -+3.已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且456718a a a a +++=，则下列命题正确的是（ ） A ．5a 是常数B ．5S 是常数C ．10a 是常数D ．10S 是常数4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．316B ．38C ．14D ．185.已知点F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，点F 到渐近线的距离是点F 到左顶点的距离的一半，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2或5 3B．53C．2D．26.已知函数[]2sin,,0,()1,(0,1],x xf xx xπ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩则1()f x dxπ-=⎰（）A．2π+B．2πC．22π-+D．24π-7.执行如图程序框图，则输出的S的值为（）A2021B2019C．505D．50518.已知函数23()sin cos30)f x x x xωωωω=->的相邻两个零点差的绝对值为4π，则函数()f x的图象（）A．可由函数()cos4g x x=的图象向左平移524π个单位而得B．可由函数()cos4g x x=的图象向右平移524π个单位而得C．可由函数()cos2g x x=的图象向右平移724π个单位而得D．可由函数()cos2g x x=的图象向右平移56π个单位而得9.61(23)(1)xx-+的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．73-B．61-C．55-D．63-10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π11.设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为（ ） A ．pB ．12C ．2D ．3212.若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[0,)+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[0,2)x ∈时，212,01,()2(2),12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数21()2ln 2g x x x x m =-+++，若[]16,8x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5(,]2-∞B ．13(,]2-∞ C ．3(,]2-∞-D ．13[,)2+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2sin ,cos )a αα=r ，(1,1)b =-r ，且a b ⊥r r ，则2()a b -=r r ．14.已知x ，y 满足约束条件20,20,4180,x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数53z x y =-的最小值为 ．15.在等比数列{}n a 中，2412a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为17，设(1)nn n b a =-，*n N ∈，则数列{}n b 的前2018项和为 ．16.有一个容器，下部是高为5.5cm 的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为6cm 的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求a 及角A 的大小；（2）求||AD u u u r的值．18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证：1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为7． 19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：2y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 的坐标为1(0,)2，问直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 21.已知函数()2(1)xf x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数． （1）若函数()f x 在区间[]0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；（2）已知函数2()(1)1xg x e a x bx =----，且(1)0g =，若函数()g x 在区间[]0,1上恰有3个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos ,1sin x a y a θθ=-=⎧⎨=-+⎩（θ是参数，a 是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)4πρθ=-．（1）求圆1C 的极坐标方程和圆2C 的直角坐标方程； （2）分别记直线l ：12πθ=，R ρ∈与圆1C 、圆2C 的异于原点的交点为A ，B ，若圆1C 与圆2C 外切，试求实数a 的值及线段||AB 的长． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =+．（1）求不等式()10|3|f x x ≤--；（2）若正数m ，n 满足2m n mn +=，求证：()(2)16f m f n +-≥．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）答案一、选择题1-5:BADAB 6-10:DCBAB 11、12：CB二、填空题13.185 14.2- 15.100841312- 16.312256cm π三、解答题17.解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，即2sin cos sin()sin B A A C B -=+=， 在ABC ∆中，sin 0B >， 所以1cos 2A =-， 又(0,)A π∈，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=，所以a =（2）由1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得2212()33AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 4441421()99929=++⨯⨯⨯-=，所以2||3AD =u u u r ．18.解：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形， 于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O =I ，所以BD ⊥平面1A AC ， 又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥， 又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．（2）由112A B A D ==，及22BD AB ==，知11A B A D ⊥，于是111222AO A O BD AA ===，从而1A O AO ⊥， 结合1A O BD ⊥，AO BD O =I ， 得1A O ⊥底面ABCD ， 所以OA 、OB 、OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)A ，(1,0,0)C -，(0,2,0)DB =u u u r，11(1,0,1)BB AA ==-u u u r u u u r ，11(1,1,0)DC DC ==-u u u u r u u u r， 由11(1,0,1)DD AA ==-u u u u r u u u r ，易求得1(1,1,1)D --． 设111D E DC λ=u u u u r u u u u r （[]0,1λ∈），则(1,1,1)(1,1,0)E E E x y z λ++-=-，即(1,1,1)E λλ---． 设平面1B BD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由10,0,n DB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r得0,0,y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,0,1)n =r ， 设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则sin |cos ,|DE n θ=<>u u u r r 227142(1)1λλ==⨯+--+， 解得12λ=或13λ=-（舍去）. 所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为7.19.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布2(,)N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826． ②根据题意得1~(4,)2X B ，04411(0)()216P X C ===；14411(1)()24P X C ===；24413(2)()28P X C ===；34411(3)()24P X C ===；44411(4)()216P X C ===.∴X 的分布列为∴1()422E X =⨯=． 20.解：（1）由已知可得22222sin 4,c ac a b c π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得22a =，221b c ==，故所求的椭圆方程为2212x y +=． （2）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(12)860k x kx +++=，则2226424(12)16240k k k ∆=-+=->，解得k <或k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122812k x x k +=-+，122612x x k=+， 则1112AD y k x -=，2212BDy k x -=，所以122112121()2AD BDy x y x x x k k x x +-++=12121232()2kx x x x x x ++=6603k k -==，所以AD BD k k +为定值，且定值为0． 21.解：（1）'()2(1)xf x e a =--，当函数()f x 在区间[]0,1上单调递增时，'()2(1)0xf x e a =--≥在区间[]0,1上恒成立，∴min 2(1)()1xa e -≤=（其中[]0,1x ∈），解得32a ≤； 当函数()f x 在区间[]0,1上单调递减时，'()2(1)0xf x e a =--≤在区间[]0,1上恒成立，∴max 2(1)()xa e e -≥=（其中[]0,1x ∈），解得12ea ≥+． 综上所述，实数a 的取值范围是3(,][1,)22e -∞++∞U ． （2）'()2(1)()xg x e a x b f x =---=．由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间0(0,)x 内不单调， 所以()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ， 同理，()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 所以()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点． 由（1）知，当32a ≤时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意． 当12ea ≥+时，()f x 在区间[]0,1上单调递减，故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意，所以3122e a <<+． 令'()0f x =，得ln(22)(0,1)x a =-∈，所以函数()f x 在区间[]0,ln(22)a -上单调递减，在区间(ln(22),1]a -内单调递增． 记()f x 的两个零点为1x ，2x 12()x x <,因此1(0,ln(22)]x a ∈-，2(ln(22),1)x a ∈-，必有(0)10f b =->，(1)220f e a b =-+->． 由(1)0g =，得a b e +=，所以1()1()102f a b e =-+=-<，又(0)10f a e =-+>，(1)20f a =->，所以12e a -<<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,2)e -．22.解：（1）圆1C ：1cos ,1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为222(1)(1)x y a +++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式并化简，得圆1C 的极坐标方程为22sin()204a πρθ++-+=．由圆2C 的极坐标方程)4πρθ=-，得22cos 2sin ρρθρθ=+． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=代入上式，得圆2C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=．（2）由（1）知圆1C 的圆心1C (1,1)--，半径1r a =；圆2C 的圆心2(1,1)C ，半径2r =12||C C == ∵圆1C 与圆2C 外切，a =a =即圆1C的极坐标方程为)4πρθ=-+， 将12πθ=代入1C，得sin()124ππρ=-+，得ρ= 将12πθ=代入2C，得cos()124ππρ=-，得ρ=故12||||AB ρρ=-=23.解：（1）此不等式等价于1,221(3)10,x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+-≤⎩或13,221(3)10,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-≤⎩或3,21310.x x x >⎧⎨++-≤⎩ 解得8132x -≤<-或132x -≤≤，或34x <≤， 即不等式的解集为8,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）∵0m >，0n >，2m n mn +=，21(2)2(2)28m n m n m n ++=⋅≤，即28m n +≥， 当且仅当2,2,m n m n mn =⎧⎨+=⎩即4,2m n =⎧⎨=⎩时取等号．∴()(2)|21||41|f m f n m n +-=++-+|(21)(41)|m n ≥+--+|24|m n =+2(2)16m n =+≥， 当且仅当410n -+≤，即14n ≥时取等号， ∴()(2)16f m f n +-≥．。

2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知00:,5100n p n N ∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,5100n n N ∀∈<B ．,5100n n N ∀∈≥ C. 00,5100n n N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．410+ B ．410- C. 410-+ D ．410--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223- C. 101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D ．10. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b-=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ）A ．8B ．．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a = ． 14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是 ．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为 ． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且227cosB a ac b =-，则B = ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.19. 如图，四棱台1111A BC D ABCD -中，1A A ⊥底面111,2ABCD AB A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点. （1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-.①证明：PP PF'为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.21. 已知函数()a f x x x=+. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当 ()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB二、填空题13. ± 14. 甲 15. 9 16.6π（或30°） 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n n b -=，1221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222n n n n nT --=+++++， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙， 22S S <甲乙， ∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=， 另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种，其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况， 则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A BC D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，02,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ， 则AN ⊥平面11B BCC ，在Rt ABM ∆中可求得AM BM ，所以AN =所以，点A 到平面11B BCC的距离为5. 20.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-， 由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴1244,22x x mAF BF MF ++=-=+= ∵,,AF MF BF 成等差数列， ∴2AF BF MF +=，即42m +=125m =或43m =-， 又因为22m -<<，所以43m =-. 21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x -'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数； ②若0a >，则()200f x x a x '>⇒->⇒<或x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x =-=+-->，()22211a x x a h x x x x--'=--=， 设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数， 又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >， 所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==， 所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+，当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

2018年高三第一次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则的子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】，所以，其子集个数为，选D.2. 设为的虚部，为的实部，则（）A. -1B. -2C. -3D. 0【答案】A【解析】因为，所以；因为，所以；因此，选A.3. 已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，因此，选B.4. 已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】向量与夹角为锐角充要条件为且向量与不共线，即，故或是向量与夹角为锐角的必要不充分条件，选B.5. 甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.6. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直角三角形中较小的直角边长为，则选A.7. 如图所示的程序框图中，输出的为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】执行循环得：,选C.8. 已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（）A. 0B. 2018C. 4036D. 4037【答案】D【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，因此，因此选D.9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD，侧棱AC垂直底面，,设三角形BCD外接圆圆心为O，则,因此外接球的半径为,即外接球的表面积为，选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.10. 已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A. 是奇函数B. 的一条对称轴为直线C. 的最小正周期为D. 在上为减函数【答案】D【解析】，所以是偶函数，不是其对称轴，最小正周期为，在上为减函数，所以选D. 【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间11. 已知双曲线的左顶点为，虚轴长为8，右焦点为，且与双曲线的渐近线相切，若过点作的两条切线，切点分别为，则（）A. 8B.C.D.【答案】D【解析】,因为到双曲线的渐近线距离为，所以：，设MN交x轴于E，则,选D.【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.12. 令，函数，满足以下两个条件：①当时，或；②，，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,当时，,所以当时，，,所以因为，，所以当时，值域包含，所以，选B.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 的展开式中的系数是5，则__________．【答案】-1【解析】的展开式中的系数是，所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14. 甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是__________．【答案】甲【解析】若甲做对了，则甲乙说错了，丙说对了，符号题意；若乙做对了，则乙说错了，甲丙说对了，不符号题意；若丙做对了，则丙说错了，甲乙说对了，不符号题意；因此做对了的是甲.15. 已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为__________．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(2,2)时取最小值，此时最优解为(2,2)，即当且仅当时取等号，即的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16. 已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足，则__________．【答案】3【解析】因为，所以因为，所以O为三角形ABC重心，设AC中点为M，则B,O,M三点共线，由面积关系得三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且.求数列的通项公式，并求其前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由等差数列定义可得为等差数列，再根据得公差，最后根据等差数列通项公式求数列的通项公式；（2）根据条件变形得等比数列，再根据等比数列通项公式求得，即得数列的通项公式，最后根据错位相减法求前项和试题解析：（1）由知数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；（2）∵，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，∴，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知三位顾客各买了一件衣服.（1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设为打折后两位顾客的消费总额，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）先求打6折的概率，再根据独立重复试验求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：打5，6，7，8折的概率分别为，（1）事件为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以；（2）的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，，，，，，，，所以的分布列为元. 19. 如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若，且，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据平几知识求，再根据面面垂直性质定理得平面即得；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的正弦值.试题解析：（1）证明：连接，∵为四棱台，四边形四边形，∴，由得，，又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，又为的中点，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知，如图，以为原点建立空间直角坐标系，，由于平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，设，所以，，∴，即二面角的正弦值为.20. 椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，是椭圆的左、右顶点，点满足.①证明：为定值；②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值.【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②.3.【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程，与离心率联立方程组解得a.b,（2）①根据两点间距离公式，代入椭圆方程化简可得，再求比值即可，②先设，根据点斜式可得直线，方程，分别与椭圆方程联立解得两点坐标，再根据焦半径公式可得，最后根据基本不等式求最小值.试题解析：（1）由得，把点代入椭圆方程为，∴得，∴，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，而，∴为定值；②设若，则，若，因为，直线，直线，由整理得，∴，得，由整理得，∴，得，由①知，∴，∵（当且仅当即时取等号）∴，即的最小值为3.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，证明: .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程解得情况：根据判别式与零大小先进行一级讨论，再根据根与零大小进行二级讨论，（2）由韦达定理得，化简差函数，再利用导数研究差函数单调性，根据单调性证明不等式.试题解析：（1），令，①即时，，故恒成立，所以在上单调递增；②当即时，恒成立，所以在上单调递增；③当时，由于的两根为，所以在为增函数，在为减函数，综上：时，函数在为增函数；时，函数在为增函数，在为减函数；（2）由（1）知，且，∴，而，∴，设，则，所以在上为减函数，又，所以，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与相交于两点，且.（1）求的值；（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1），先将直线极坐标方程化为直角坐标方程，再由条件得直线过圆的圆心，解得的值； (2）代入消元得曲线的普通方程，设直线参数方程标准形式，代入，由韦达定理以及参数几何意义得.试题解析：（1）解：直线和圆的普通方程分别为，，∴直线过圆的圆心，所以；（2）证明：曲线，可知直线的参数方程为（为参数）代入曲线得，恒成立，设两点对应的参数分别为，则，所以为定值.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若函数，当且仅当时，取得最小值，求时，函数的值域.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式求最小值，确定m的值，再根据分段函数图像与性质求函数值域.试题解析：（1），①，②，所以，不等式的解集为；（2），当且仅当时取等号，∴，得，∴，故当时，，所以在时的值域为.。

2018年高三第一次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14-4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A B C 、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ． 8 B ．7 C. 6 D ．56.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．410+ B ．410- C. 410-+ D ．410-- 7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223- C. 101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．36π C. 40π D ．400π 10. 已知向量44sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b -=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ）A ．8 B．．12. 令11t x dx -=⎰，函数()()122413321log 2x x f x x t x ⎧⎛⎫+≤- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+>- ⎪⎪⎝⎭⎩，()()()2142212x x ax a x g x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩满足以下两个条件：①当0x ≤时，()0f x <或()0g x <；②(){}|0A f x x =>，(){}|0B g x x =>，A B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13. ()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a = ．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是 ．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为 ． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cosB a ac b =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=，则OA = ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知A B C 、、三位顾客各买了一件衣服.（1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）A B 、两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X 为打折后两位顾客的消费总额，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求二面角111B CC D --的正弦值.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，A B 、是椭圆的左、右顶点，点P '满足()4,0PP x '=-.①证明：PP PF'为定值；②设Q 是直线4x =上的任一点，直线AQ BQ 、分别另交椭圆C 于M N 、两点，求MF NF +的最小值.21. 已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明: ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222n n n n nT --=+++++， ∴2111111122121222222212nn n n n nn n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-. 18.解：打5，6，7，8折的概率分别为112111,,,32632336==⨯⨯， （1）事件A 为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以()223122339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）X 的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，()11120006636P X ==⨯=，()11122002639P X ==⨯⨯=，()111122400263339P X ==⨯⨯+⨯=，()111110526002233663618P X ==⨯⨯+⨯⨯==，()111122800233369P X ==⨯+⨯⨯= ，()11130002639P X ==⨯⨯=，()11132006636P X ==⨯=， 所以X 的分布列为()200022002400260028003000320026003699189936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元.19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，02,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，()()()(130,0,0,,0,2,0,,0,,22A B C C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由于AM ⊥平面11C CDD ，所以平面11C CDD的法向量为30,2AM ⎛= ⎝⎭， 设平面11B BCC 的法向量为(),,m x y z =，()BC =-，(10,CC =-，102000BC m y CC m y ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩设y =()1,3,1m =，32cos ,55m AM m AM m AM===，∴sin ,m AM =即二面角111B CC D --20.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②设()4,Q m 若0m =，则4MF NF +=， 若0m ≠，因为()()2,0,2,0A B -， 直线():26m QA y x =+，直线():y 22mQB x =-， 由()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()222227441080m x m x m +++-=， ∴()224108227M m x m --=+，得2225427m x m-+=+， 由()2222143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222344120m x m x m +-+-=， ∴2241223N m x m -=+，得22263N m x m -=+，由①知()()114,422M N MF x NF x =-=-， ∴222224222125426484844448122273308130M N x x m m m MF NF m m m m m m ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-+-+=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，∵228118m m +≥=（当且仅当29m =即3m =±时取等号） ∴224818130m m≤++，即MF NF +的最小值为3.21.解：（1）()()()()()()2221211011a x ax x a x f x x x x x x +-+-+'=-=>++， 令()()221p x x a x =+-+，①20a -≥即2a ≤时，()1p x >，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当()2240a ∆=--≤即04a ≤≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；③当4a >时，由于()0f x '=的两根为0x =>， 所以()f x在220,,22a a ⎛⎛⎫---++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在⎝⎭为减函数，综上：4a ≤时，函数()f x 在()0,+∞为增函数；4a >时，函数()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为增函数，在⎝⎭为减函数；（2）由（1）知4a >，且12122,1x x a x x +=-=， ∴()()()()()()122112121212121211ln ln ln 1111ax x ax x ax ax f x f x x x x x a x x x x ++++=-+-=-=-++++，而()1222222ln ln 22222212a ax x a a a f f a a -+---⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+， ∴()()121222ln 2ln 2222222f x f x x x a a a a f a ++--⎛⎫-=-++=-+⎪⎝⎭， 设()()2ln2422a ah a a -=-+>，则()()2114022222a h a a a -'=-=<--， 所以()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C xay a =>，可知直线l 的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C 得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==， 所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，高中经典试题()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

2018年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知集合1，，集合在R上为增函数，则的子集个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：集合在R上为增函数，，则，故A的子集个数为4个，故选：D．求出集合B的元素，利用集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件是解决本题的关键．2.设a为的虚部，b为的实部，则A. B. C. D. 0【答案】A【解析】解：，则．．，则．故选：A．利用复数的运算法则、有关概念即可得出．本题考查了复数的运算法则、有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为2，，，回归直线方程为，若，为原点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：计算，；回归直线方程为，，解得．故选：B．根据题意计算平均数、，代入回归直线方程求出a的值．本题考查了平均数与线性回归方程的应用问题，是基础题．4.已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：非向量，，，由向量与夹角为锐角，则，解得或．反之由或，向量与夹角不一定为锐角例如时，向量与夹角为0．因此或是向量与夹角不一定为锐角的必要不充分条件．故选：B．，，由向量与夹角为锐角，可得，解得反之由或，向量与夹角不一定为锐角．本题考查了向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有种情况，，乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有种情况，则不同的安排方法种数有种；故选：B．根据题意，分2种情况讨论：，乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C 社区即可，，乙不去A社区，则乙必须去C社区，分别求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，大正方形边长，小正方形的边长．可得三角形的面积．设三角形两直角边为a、b，则．又，联立解得：，或，所以，．可得：．故选：A．根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和，求得两条直角边的乘积再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于100，联立解方程组可得两条直角边，则可求，的值，进而即可化简求值得解．此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解，属于中档题．7.如图所示的程序框图，输出S的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：通过分析知该算法是求和，由于．故选：C．题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．8.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是R上的奇函数，函数，则A. 0B. 2018C. 4036D. 4037【答案】D【解析】解：函数既是二次函数又是幂函数，，为偶函数；函数是R上的奇函数，为定义域R上的奇函数；函数，，．故选：D．根据函数既是二次函数又是幂函数知为R上的偶函数，又函数是R上的奇函数知为R上的奇函数；得出，且，由此求出结果．本题考查了函数的奇偶性与应用问题，是中档题．9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由已知中三视图，可得该几何体是有一个侧棱PA垂直于底面ABC，棱锥的高为，底面是一个底边边长为腰长为2的等腰三角形的三棱锥，底面外接圆的半径为，设球心到底面的距离为，则，，几何体的外接球的表面积为，故选：C．由已知中三视图，可得该几何体是有一个侧棱PA垂直于底面ABC，棱锥的高为，底面是一个底边边长为腰长为2的等腰三角形的三棱锥，底面外接圆的半径为2，求出外接球的半径，即可确求出球的表面积．此题考查了由三视图求面积、体积，根据三视图正确画出几何体是解本题的关键．10.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是A. 是奇函数B. 的一条对称轴为直线C. 的最小正周期为D. 在上为减函数【答案】D【解析】解：向量，向量，函数，由，可得为偶函数，则A错；由，可得，则B错；的最小正周期为，则C错；由可得，则在上为减函数，D正确．故选：D．运用向量数量积的坐标表示，以及二倍角的正弦公式、余弦公式，化简函数，再由奇偶性和对称轴、周期性和单调性，计算可得所求结论．本题考查向量数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、余弦公式的运用，考查余弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.已知双曲线的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且与双曲线的渐近线相切，若过点A作的两条切线，切点分别为M，N，则A. 8B.C.D.【答案】D【解析】解：双曲线的左顶点为A，虚轴长为8，，解得，，，即，，，双曲线的渐近线方程为，与双曲线的渐近线相切，的半径，，，，，四边形，解得，故选：D．根据题意画出图形，结合双曲线的性质可得的半径，再利用面积法即可求出．本题考查了双曲线的简单性质，以及直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12.令，函数，满足以下两个条件：当时，或；，，，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，函数在上单调递增，在上单调递减，令可得或，由条件可知在上恒成立，，即，解得．由的单调性可知：当时，，故A，由于，故而在上单调递增，在上单调递增，在上的值域为，，即，，由条件可知：，解得：，综上：．故选：B．求出的解析式，判断成立的条件和在上的值域A，从而得出在上恒成立，再计算在上的值域B，列出不等式组即可得出a的范围．本题考查了分段函数的单调性与值域，考查二次函数的性质，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.已知的展开式中的系数为5，则______．【答案】【解析】解：因为的展开式中的系数为5，则，即，解得；故答案为：．根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a．本题考查了二项式定理的运用；关键是明确项产生的可能，计算系数．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了”请问他们三个人中做对了的是______．【答案】甲【解析】解：假设三人中做对的是甲，则甲、乙说错了，丙说对了，符合题意；假设三人中做对的是乙，则乙说错了，皿和丙说对了，不符合题意；假设三人中做对的是丙，则甲、乙、丙都说对了，不符合题意．综上，他们三个人中做对的是甲．故答案为：甲．分别假设三人中做对的是甲、乙、丙，利用三个人中有一个人做对了，有一个说对了，能判断出结果．本题考查推理的应用，考查简单的合情推等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.已知实数x，y满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为______．【答案】9【解析】解：实数x，y满足，作出不等式组所对应的可行域，变形目标函数可得，，平移目标函数，当经过点A时，z取得最小值，由，解得，，，，，，设，令，解得舍去，或，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，故的最小值为9，故答案为：9．由题意作出可行域，变形目标函数，平移目标函数，求出，再构造函数，利用导数求出函数的最值．本题考查简单线性规划，导数和函数的最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属中档题16.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，O为内一点，且满足，则______．【答案】3【解析】解：由余弦定理可得，，且，，，，，满足，可得O为的重心，且，即为，则，故答案为：3．运用余弦定理可得，由同角平方关系可得，再由题意可得O为的重心，，由三角形的面积公式，解方程可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角形的重心的向量表示，以及重心的性质，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17.已知数列满足：，且，．求数列的通项公式；若数列满足，且求数列的通项公式，并求其前n项和．【答案】解：由知数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，，所以．【解析】判断数列是等差数列，然后求解数列的通项公式．利用递推关系式求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的通项公式以及是；求和，错位相减法的应用考查计算能力．18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球小球除编号外其它都相同，顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数已知A、B、C三位顾客各买了一件衣服．求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；、B两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X为打折后两位顾客的消费总额，求X的分布列和数学期望．【答案】解：打5，6，7，8折的概率分别为，事件A为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，所以；的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，，，，，，，，X元【解析】事件A为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，利用独立重复试验概率公式求解即可．的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200，求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．本题考查独立重复实验概率的求法，离散型随机变量的期望以及分布列的求法，考查计算能力．19.如图，四棱台中，底面ABCD，，，平面平面，M为的中点．证明：；若，且，求二面角的正弦值．【答案】证明：连接，为四棱台，四边形～四边形ABCD，，由得，，又底面ABCD，四边形为直角梯形，可求得，又，M为的中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，；解：在中，，，，利用余弦定理可求得，或，由于，，从而，知，如图，以A为原点建立空间直角坐标系，，由于平面，平面的法向量为，设平面的法向量为，，，由，取，得，，，即二面角的正弦值为．【解析】连接，由已知求得，再由底面ABCD，可得四边形为直角梯形，可求得，进一步得到，再由面面垂直的性质可得平面，从而得到；在中，求解三角形可得，知，以A为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角的正弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．20.椭圆：的离心率为，且过点．求椭圆C的方程；设为椭圆C上任一点，F为其右焦点，A、B是椭圆的左、右顶点，点满足．证明：为定值；设Q是直线上的任一点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求的最小值．【答案】解：由得，把点代入椭圆方程为，得，，椭圆的标准方程为；证明：由知，，而，为定值；设若，则，若，因为，，直线：，直线：，由整理得，，得，由整理得，，得，由知，，当且仅当即时取等号，即的最小值为3．【解析】根据离心率可得a与b的关系，再把点代入，即可求出a，b，方程即可求出；根据距离公式求分别求出以及，即可证明，根据直线的椭圆的关系和韦达定理，结合基本不等式即可求出．本题考查了椭圆的简单性质，直线和椭圆的位置关系，向量的模，基本不等式，考查了转化能力和运算能力，属于难题．21.已知函数讨论函数的单调性；若有两个极值点，，则证明：．【答案】解：函数，的定义域为，令，，由，得，由，得或，当时，，，上是单调递增函数；时，的两根为，，当时，，在上，，，是增函数；当时，，，，，是增函数，，，，是减函数，，，，是增函数．综上所述：当时，的增区间是；当时，的增区间是，，减区间为有两个极值点，，由知，，的两个根为，，则，，，，令，，当时，，在上递减，．【解析】的定义域为，，令，当时，，，上是单调递增函数；时，的两根为，，由此利用导数性质能求出的单调区间．有两个极值点，，由，，的两个根为，，则，得到，从而，，令，，由此利用导本题考查函数的单调性的求法，考查不等式的证明，考查导数的运算法则、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识和应用意识，是中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：与：相交于A、B两点，且．求b的值；直线l与曲线相交于M、N，证明：为圆心为定值．【答案】解：直线l和圆的普通方程分别为，，，直线l过圆的圆心，，解得．证明：曲线：，可知直线l的参数方程为为参数，代入曲线得，恒成立，设M、N两点对应的参数分别为、，则，为定值．【解析】推导出直线l过圆的圆心，由此能求出b．曲线：，可知直线l的参数方程为为参数，代入曲线得，由此能证明为定值．本题考查实数植的求法，考查两线段积为定值的证明，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数，当且仅当时，取得最小值，求时，函数的值域．【答案】解：，，，所以，不等式的解集为；，当且仅当时取等号，，得，，故当时，，所以在时的值域为．【解析】通过去掉绝对值符号，转化不等式为二次不等式求解即可．化简函数的解析式，得到分段函数的解析式，然后求解值域即可．本题考查分段函数的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。

2018年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数}，则A∩B的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）设a为i﹣1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．03．（5分）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i（x i，y i）（i=1，2，……，8），回归直线方程为，若，（O为原点），则a=（）A．B．C．D．4．（5分）已知非向量，则x＜0或x＞4是向量与夹角为锐角的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，则¬p为（）A．∀n∈N，5n＜100 B．∀n∈N，5n≥100C．D．6．（5分）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则=（）A．B．C． D．7．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=（）A．0 B．2018 C．4036 D．40379．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的一条对称轴为直线C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在上为减函数11．（5分）已知双曲线=1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|=（）A．8 B．4 C．2 D．412．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，则a=．14．（5分）甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是．15．（5分）已知实数x，y满足，若z=3x﹣2y取得最小值时的最优解（x，y）满足ax+by=2（ab＞0），则的最小值为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=3，b=2，且，则B=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}满足：，且a1=1，a2=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1=1．求数列{b n}的通项公式，并求其前n项和T n．18．（12分）某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．19．（12分）如图，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1=A1A=，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M为C1C的中点．（1）证明：AM⊥D1D；（2）若∠ABC=30°，且AC≠BC，求点A到平面B1BCC1的距离．20．（12分）椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足．①证明：为定值；②设直线与椭圆C有两个不同的交点A、B，与y轴交于点M．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m的值．21．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=lnx+1，证明：当x∈（0，+∞）且a＞0时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，多答，按所首题进行评分；22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+b=0与⊙C2：ρ=﹣4cosθ相交于A、B两点，且∠AOB=90°．（1）求b的值；（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：|C2M|•|C2N|（C2为圆心）为定值．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x2+1＞0；（2）若函数g（x）=f（x﹣1）+f（x+m），当且仅当0≤x≤1时，g（x）取得最小值，求x∈（﹣1，2）时，函数g（x）的值域．2018年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数}，则A∩B的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：集合B={k∈A|y=kx在R上为增函数}={k∈A|k＞0}={1，2}，则A∩B={1，2}，故A∩B的子集个数为4个，故选：D．2．（5分）设a为i﹣1的虚部，b为（1+i）2的实部，则a+b=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0【解答】解：i﹣1==﹣i，则a=﹣1．（1+i）2=1﹣1+2i=2i．∴b=0，则a+b=﹣1+0=﹣1．故选：A．3．（5分）已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i（x i，y i）（i=1，2，……，8），回归直线方程为，若，（O为原点），则a=（）A．B．C．D．【解答】解：计算=×（x1+x2+…+x8）==，=×（y1+y2+…+y8）==；回归直线方程为，∴=×+a，解得a=﹣．故选：B．4．（5分）已知非向量，则x＜0或x＞4是向量与夹角为锐角的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：非向量，∴cos＜，＞===，由向量与夹角为锐角，则＞0，解得x＜0或x＞4．反之由x＜0或x＞4，向量与夹角不一定为锐角．例如x=﹣1时，向量与夹角为0．因此x＜0或x＞4是向量与夹角不一定为锐角的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知，则¬p为（）A．∀n∈N，5n＜100 B．∀n∈N，5n≥100C．D．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，，则¬p为：∀n∈N，5n≥100．故选：B．6．（5分）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则=（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，大正方形边长=10，小正方形的边长=2．可得三角形的面积=（100﹣4）÷4=24．设三角形两直角边为a、b，则ab=24．又a2+b2=102，联立解得：，或，所以cosθ=，sinθ=．可得：=cosθ+sinθ=．故选：A．7．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=（）A．0 B．2018 C．4036 D．4037【解答】解：函数f（x）既是二次函数又是幂函数，∴f（x）=x2，∴f（x）+1为偶函数；函数g（x）是R上的奇函数，m（x）=为定义域R上的奇函数；函数，∴h（x）+h（﹣x）=[+1]+[+1]=[+]+2=2，∴h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…+h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=[h（2018）+h（﹣2018）]+[h（2017）+h（﹣2017）]+…+[h（1）+h（﹣1）]+h （0）=2+2+…+2+1=2×2018+1=4037．故选：D．9．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为三棱锥，表面积由4个侧面加一个底面，一条侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，如图：PA=2，BC=2，三角形ABC是等腰三角形，高为1，所以AB=AC=2，∴几何体的表面积为：+=6．故选：C．10．（5分）已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的一条对称轴为直线C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在上为减函数【解答】解：向量，向量，函数=sin4+cos4=（sin2+cos2）2﹣2sin2cos2=1﹣（2sin cos）2=1﹣sin2x=1﹣•（1﹣cos2x）=（3+cos2x），由f（﹣x）=（3+cos（﹣2x））=（3+cos2x）=f（x），可得f（x）为偶函数，则A错；由2x=kπ，可得x=kπ（k∈Z），则B错；f（x）的最小正周期为T==π，则C错；由x∈（，）可得2x∈（，π），则f（x）在上为减函数，D 正确．故选：D．11．（5分）已知双曲线=1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|=（）A．8 B．4 C．2 D．4【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，∴2b=8，解得b=4，∵a=3，∴c2=a2+b2=25，即c=5，∴F（5，0），A（﹣3，0），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∵⊙F与双曲线的渐近线相切，∴⊙F的半径r==4，∴|MF|=4，∵|AF|=a+c=5+3=8，∴|AM|==4，∵S=2×|AM|•|MF|=|AF|•|MN|，四边形AMFN∴2×4×4=8•|MN|，解得|MN|=4，故选：D．12．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称．又g（x）=（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，则a=．【解答】解：由题意设抛物线方程为y2=﹣2px，（p＞0），其准线方程为x=，∵抛物线上一点P（﹣2，a）到焦点的距离为3，∴2+=3，解得p=2，∴此抛物线的方程为y2=﹣4x．可得：a2=8，解得a=．故答案为：．14．（5分）甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了．”请问他们三个人中做对了的是甲．【解答】解：假设三人中做对的是甲，则甲、乙说错了，丙说对了，符合题意；假设三人中做对的是乙，则乙说错了，皿和丙说对了，不符合题意；假设三人中做对的是丙，则甲、乙、丙都说对了，不符合题意．综上，他们三个人中做对的是甲．故答案为：甲．15．（5分）已知实数x，y满足，若z=3x﹣2y取得最小值时的最优解（x，y）满足ax+by=2（ab＞0），则的最小值为9．【解答】解：实数x，y满足，作出不等式组所对应的可行域，变形目标函数可得y=x﹣，a＞0，平移目标函数，当经过点A时，z取得最小值，由，解得x=y=2∴a+b=2，∴a+b=1，∵ab＞0，∴a＞0，b＞0，∴=+=+，设f（a）=+，∴f′（a）=﹣+=﹣令f′（a）=0，解得a=2（舍去），或a=，当0＜a＜时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减，当＜a＜1时，f′（a）＞0，函数f（a）单调递增，∴f（a）min=f（）=+=9，故的最小值为9，故答案为：9．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=3，b=2，且，则B=．【解答】解：根据题意，△ABC中，则有ac×=a2﹣b2+bc，变形可得：a2+c2﹣b2=2a2﹣2b2+bc，则有=，即cosA=，则sinA==，又由=，则sinB=，又由a=3，b=2，则sinB==，又由a＞b，则B＜，则B=；故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}满足：，且a1=1，a2=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且b1=1．求数列{b n}的通项公式，并求其前n项和T n．【解答】解：（1）由知数列{a n}为等差数列，且首项为1，公差为a2﹣a1=1，所以a n=n；（2）∵2nb n=（n+1）b n，+1∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，∴，所以．18．（12分）某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）．（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”．若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率．【解答】解：（1）∵，，，∴甲的成绩更稳定．（2）解法一：考试有5次，任选2次，基本事件有10个，分别为：（87，100）和（87，80），（87，100）和（84，85），（87，100）和（100，95），（87，100）和（92，90），（87，80）和（84，85），（87，80）和（100，95），（87，80）和（92，90），（84，85）和（100，95），（84，85）和（92，90），（100，95）和（92，90），其中符合条件的事件有6个，分别为：（87，100）和（84，85），（87，100）和（92，90），（87，80）和（84，85），（87，80）和（92，90），（84，85）和（100，95），（100，95）和（92，90），则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为p=．解法二：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为：（13，7），（13，1），（13，5），（13，2），（7，1），（7，5），（7，2），（1，5），（1，2），（5，2）共10种，其中符合条件的情况有（13，1），（13，2），（7，1），（7，2），（1，5），（5，2）共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为p=．19．（12分）如图，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，A1A⊥底面ABCD，A1B1=A1A=，AC=2，平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，M为C1C的中点．（1）证明：AM⊥D1D；（2）若∠ABC=30°，且AC≠BC，求点A到平面B1BCC1的距离．【解答】（1）证明：连接AC1，∵A1B1C1D1﹣ABCD为四棱台，四边形A1B1C1D1～四边形ABCD，∴，由AC=2得，A1C1=1，又∵A1A⊥底面ABCD，∴四边形A1ACC1为直角梯形，可求得C1A=2，又AC=2，M为CC1的中点，所以AM⊥C1C，又∵平面A1ACC1⊥平面C1CDD1，平面A1ACC1∩平面C1CDD1=C1C，∴AM⊥平面C1CDD1，D1D⊂平面C1CDD1，∴AM⊥D1D；（2）解：在△ABC中，，利用余弦定理可求得，BC=4或BC=2，由于AC≠BC，所以BC=4，从而AB2+AC2=BC2，知AB⊥AC，又∵A1A⊥底面ABCD，则平面A1ACC1⊥底面ABCD，AC为交线，∴AB⊥平面A1ACC1，所以AB⊥CC1，由（1）知AM⊥CC1，AB∩AM=A，∴CC1⊥平面ABM（连接BM），∴平面ABM⊥平面B1BCC1，过点A作AN⊥BM，交BM于点N，则AN⊥平面B1BCC1，在Rt△ABM中可求得，所以，所以，点A到平面B1BCC1的距离为．20．（12分）椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上任一点，F为其右焦点，点P'满足．①证明：为定值；②设直线与椭圆C有两个不同的交点A、B，与y轴交于点M．若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，求m的值．【解答】解：（1）由得3a2=4b2，把点代入椭圆方程为，∴得a2=4，∴b2=3，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，而，∴为定值；②直线与椭圆C联立，得x2+mx+m2﹣3=0，△=m2﹣4（m2﹣3）＞0⇒﹣2＜m＜2，设，则，由①知，∴，∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|=2|MF|，即解得或，又因为﹣2＜m＜2，所以．21．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=lnx+1，证明：当x∈（0，+∞）且a＞0时，f（x）＞g（x）．【解答】解：（1）因为，①若a≤0，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）为增函数；②若a＞0，则或，，∴函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：令，，设p（x）=x2﹣x﹣a=0的正根为x0，所以，∵p（1）=1﹣1﹣a=﹣a＜0，∴x0＞1，h（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，，令F（x）=2x﹣lnx﹣2（x＞1），恒成立，所以F（x）在（1，+∞）上为增函数，又∵F（1）=2﹣0﹣2=0，∴F（x）＞0，即h（x）min＞0，所以，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，多答，按所首题进行评分；22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+b=0与⊙C2：ρ=﹣4cosθ相交于A、B两点，且∠AOB=90°．（1）求b的值；（2）直线l与曲线C1相交于M、N，证明：|C2M|•|C2N|（C2为圆心）为定值．【解答】解：（1）直线l和圆C2的普通方程分别为x﹣y+b=0，（x+2）2+y2=4，∠AOB=90°，∴直线l过圆C2的圆心C2（﹣2，0），∴﹣2+b=0，解得b=2．证明：（2）曲线，可知直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C1得，恒成立，设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则，|C2M|•|C2N|=|t1•t2|=8为定值．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x2+1＞0；（2）若函数g（x）=f（x﹣1）+f（x+m），当且仅当0≤x≤1时，g（x）取得最小值，求x∈（﹣1，2）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）|x+1|﹣x2+1＞0⇒|x+1|＞x2﹣1，①，②，所以，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}；（2）g（x）=|x|+|x+m+1|=|﹣x|+|x+m+1|≥|﹣x+x+m+1|=|m+1|，当且仅当（﹣x）•（x+m+1）≥0时取等号，∴1+m+1=0，得m=﹣2，∴g（x）=|x|+|x﹣1|，故当x∈（﹣1，2）时，，所以g（x）在x∈（﹣1，2）时的值域为[1，3）．。