下载文档原格式
第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征举世闻名的天坛和古老的金字塔是由哪些几何体组成的呢？现代城市的建筑都是由各种各样的漂亮的几何体组成的.我们的生活中离不开各种美妙的几何体1.理解空间几何体、多面体和旋转体的概念.2.理解棱柱、棱锥、棱台的相关概念.（难点）3.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征.（重点）观察下面的图片,这些图片中的物体具有怎样的形状？日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？我们如何描述它们的形状？探究点1多面体和旋转体其中（2），（5），（7），（9），（13），（14），（15），（16）具有相同的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.面顶点棱多面体（1），（3），（4），（6），（8），（10），（11），（12）具有同样的特点；组成它们的面不全是平面图形.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.轴旋转体练一练：Ｃ下列命题中正确的是（）Ａ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱Ｂ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱Ｃ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥Ｄ．棱台各侧棱的延长线交于一点[解析]正确理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图：底面底面侧面侧棱顶点探究点2 棱柱的结构特征棱柱棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体．种类较多，可要记清.【提升总结】思考：长方体被截去一部分，剩下的部分是棱柱吗？E CAF解答：是棱柱。
§1.1空间几何体的结构
一．高考要求
认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
二．规律总结
１. 在四棱柱中，有以下关系：
２．如果一个长方体的长、宽、高分别为c b a 、、，对角线长为l ，则有
2
222c b a l ++=
３．利用轴截面是处理旋转体的有效方法，尤其处理球的截面问题时，要注意公式： 222r R d -=其中d 是球心到截面的距离，、ｒR 分别为球，截面圆的半径．
三．走近高考
1．下面是关于四棱柱的四个命题（ ）
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱
②若四个过相对侧棱的截面则该四棱柱是直四棱柱都垂直于底面，
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱
④若四棱柱的两条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱
其中，真命题的编号为
2．如图，在直三棱柱，，，中，011119022=∠===-ABC BB BC AB C B A ABC 111B C AA F E 、分别为、的中点，沿棱柱的表面从F E 到两点的最短
路径的长度为
3．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻.如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是
① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7.
以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号)
参考答案： 1.223 2. ② ④
3. ① ③ ④ ⑤。
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征[提出问题观察下列图片：问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ 提示：由若干个平面多边形围成．问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的． 问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？ 提示：可以． [导入新知] 1．空间几何体1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a 所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b 所示． (4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c 所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．[例1](1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[答案] (3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形答案：D[例2](1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．[答案] (2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：下列说法正确的有( )①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A[例3][解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．1 B．7C．快D．乐答案：B1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例] 如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[答案] (1)(3)(4)(5)[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案：A[随堂即时演练]1．下列几何体中，棱柱的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案：D2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )答案：D3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)答案：③⑤①④5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱，多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 016？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)有1 007个面．[课时达标检测]一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )答案：C2.如图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案：B3．下列说法正确的是( )①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①②B．①③C．②③D．②④答案：B4．(广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案：D5．下列命题正确的是( )A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．答案：三 57．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)答案：(1)不一定(2)不一定三、解答题9．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1MCC1N，下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．。
课时跟踪检测（四十）空间几何体的结构特征 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：482．给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱的任意两条母线的截面是一个矩形；③连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中不正确的个数是________．解析：圆柱的母线一定垂直于圆柱的两个底面，而连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与底面垂直，所以③说法不正确，显然①②④说法正确．答案：13．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是________．解析：反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误．答案：04.(2016·南通调研)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面上的数字是________．解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与4相对，2与2相对，0与3相对，所以正方体的下面上的数字是2.答案：25．如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45°，它的长为22，OA的直观图O ′A ′的长为________．解析：过点A 作AB ⊥Ox 于B ，∵OA ＝22，∠AOB ＝45°，∴OB ＝AB ＝2，线段OB 的直观图O ′B ′＝2，A ′B ′＝1，∠O ′B ′A ′＝135°.∴O ′A ′2＝22＋12－2×2×1×cos 135°，∴O ′A ′＝5＋2 2.答案：5＋2 2二保高考，全练题型做到高考达标1．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．解析：因为等边三角形是一个对称图形，并且中线过其顶点，底边旋转后成为一个圆，所以形成的几何体是一个圆锥．答案：圆锥2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为1∶4，母线长为9；则圆锥的母线长是________．解析：设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，O ′B ′OB ＝CB ′CB ，所以14＝CB ′CB ′＋9，所以CB ′＝3，所以BC ＝3＋9＝12.即圆锥的母线长为12.答案：123．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是________(填序号)．①三棱锥；②四棱锥；③五棱锥；④六棱锥．解析：各个侧面都是等边三角形，故六棱锥的底面的每一条边长都相等，底面是一个六边都相等的六边形．当这个六边形是正六边形时，如图可知AD ＝2AB ＝SA ＋SD ，这时不能构成三角形；当这个六边形不是正六边形时，则AD ，BE ，CF 三条线段中必然有一条大于或等于SA ＋SD ，这时也不能构成三角形，故这个棱锥不可能是六棱锥．序号①②③中都有符合条件的棱锥，故填④.答案：④4．下列关于投影的说法正确的是________(填序号)．①平行投影的投影线是互相平行的；②中心投影的投影线是互相垂直的；③线段上的点在中心投影下仍然在线段上；④平行的直线在中心投影下不平行．解析：①平行投影是指投影线互相平行的投影，故①是正确的；②中心投影的投影线一般是不垂直的；③线段上的点在中心投影下可以重合于一点；④平行的直线在中心投影下可以平行也可以不平行．答案：①5.如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.答案：26．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．解析：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.答案：24 28．(2016·南京师大附中月考)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2. 答案：616a 29.(2016·盐城调研)如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AA 1，C 1B 1的中点，试求沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径．解：若将△A 1B 1C 1沿A 1B 1折起，使得E ，F 在同一平面内，则此时EF ＝72＋ 2.若将侧面沿B 1B 展成平面，则此时EF ＝ 112.若将△A 1B 1C 1沿A 1C 1折起使得E ，F 在同一平面内，则此时EF ＝322.经比较知沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径为322.10.如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．解：作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，如图1，由其轴截面中Rt △OPA 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20 cm.如图2，设∠BOB ′＝α，由于扇形弧 BB'的长与底面圆Q 的周长相等， 而底面圆Q 的周长为2π×10 cm.扇形OBB ′的半径为 OA ＋AB ＝20＋20＝40 cm ，扇形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧 BB '的长度20π为所在圆周长的14. 所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302， 所以B ′M ＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知菱形ABCD 的边长是4，∠DAB ＝60°，则菱形ABCD 的斜二测直观图的面积是________．解析：由已知得BD ＝4，AC ＝43，且AC ⊥BD ，所以其斜二测直观图的面积为S ＝12×43×4×12×sin 45°＝2 6.答案：2 62．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；③四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ； ④四边形BFD 1E 面积的最小值为62. 其中正确的是________(填序号)．解析：四边形BFD 1E 为平行四边形，①显然不成立，当E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点时，②③成立．当E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点时，四边形BFD 1E 的面积最小，最小值为62. 答案：②③④3．(2016·南京调研)一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π c m 2. (1)求圆台的高；(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD ，作AM ⊥BC 于点M ，连结O 1O .由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ， 下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ， ∴AM ＝122－32＝315(cm)． 即圆台的高为315 cm.(2)延长BA ，OO 1，CD 交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l . 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， ∴l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。
