3【同步检测】.2独立性检验-北师大版高中数学选修2-3练习

独立性检验同步练习1. (本小题25分) 为了研究吸烟是否与患肺癌有关，对63位肺癌患者及43位非肺癌患者．调查了其中吸烟的人数，得下列2×2列联表，试问：吸烟与患肺癌是否有关(可靠性不低于2. (本小题25分) 通过试验得到在不同灌溉方式下水稻叶子的衰老情况如下表，试分析灌溉3. (本小题25分) 有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品为考察各工厂产品质量水平是否一致，从这两个工厂中分别随机地抽出产品109件和191件，鉴定每件％)质量等级的结果如下表，试分析甲、乙两厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于954 (本小题25分) 在某报纸上有一篇文章．内容是关于调适压力是否能减少心脏病猝发的研究.全部107位受测者流向心脏的血流量均低于常人，所以都有心脏病猝发的风险他们被随机指派到3个组．在接下来的3年内，压力调适组的33人中只有3个人曾经历心脏病猝.发同一时间段内，运动组与一般照顾组的74人中有19人经历了心脏病猝发(1)利用该篇文章中的信息，制作一个描述研究结果的列联表；(2)把卡方检验的统计假设写出来，算出在此假设下所有格子中的估计值，并求出卡方统计量.参考答案：吸烟与患肺癌无关．由公式可得2χ≈9．663 6，又P(2χ≥1. 【解】提出统计假设H6.635)≈0.01．所以推断吸烟与患肺癌有关．2. 【解】提出统计假设H：灌溉水平对叶子衰老没有影响．由公式可得2χ≈2.3435，又P(2χ≥3.841)≈0.05，所以不能推断出灌溉水平对叶子衰老有影响的结论(可靠性不低于95％)：甲、乙两厂的产品质量无显著差别由公式可得2χ≈7.7814，又3. 【解】提出统计假设HP(2χ≥3.841)≈0.05，所以甲、乙两厂的产品质量有显著差别(可靠性不低于95％)．4. 【解】 (1)列联表如下：：调适匪力不能减少心脏病摔发各估计值见下表，卡方统计量为(2)卡方检验的统计假设为H3.843。

独立性检验运用独立性检验的基本思想，可以考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．下面举例说明．例1 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的22名，否定的38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用图形和独立性检验的方法判断． 解析：根据题目所给数据建立如下列联表：性别与态度的关系列联表相应的三维柱形图如图所示，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“性别与态度有关”．根据列联表中的数据得到22170(22382288) 5.622 5.0241106044126K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有97.5％的把握认为“性别与态度有关”．点评：通过三维柱形图，可以直观、粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度，还需要运用独立性检验的方法给出精确地判断． 例2 在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系？解析：（1列联表为：4（2）假设“休闲方式与性别无关”，计算22124(43332721)6.201 5.02470546460K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5％的把握认为“休闲方式与性别有关”．点评：独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度的重要方法．。

§2 独立性检验课后作业提升1.关于独立性检验下列说法正确的是( ) A.χ2越大,X 与Y 有关联的可信度越小 B.χ2越小,X 与Y 有关联的可信度越小 C.χ2越接近于0,X 与Y 没有关联的可信度越小 D.χ2越大,X 与Y 没有关联的可信度越大 解析:χ2的值越小时,X 与Y 有关联的可信度越小. 答案:B2.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下数据表:根据数据,则( )A.种子经过处理跟是否生病有关B.种子经过处理跟是否生病无关C.种子是否经过处理决定是否生病D.以上都是错误的 解析:由χ2=-≈0.164<2.706,故种子经过处理跟是否生病无关. 答案:B3.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,从某高中随机抽取300名学生,得到如下列联表:根据以上数据,则()A.性别与是否喜欢数学无关B.有95%的把握认为性别与是否喜欢数学有关C.性别与是否喜欢数学关系不确定D.以上说法都错误解析:χ2=-≈4.514>3.841,故选B.答案:B4.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集的数据是.答案:男正教授人数,副教授人数;女正教授人数,副教授人数5.对电视节目单上的某一节目,观众的态度如下表:根据以上数据,得χ2≈1.224,则得到的结论是.答案:观众是否认同这一节目与性别无关6.有甲、乙两个班级进行一门课的考试,按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下列联表.利用独立性检验估计成绩与班级是否有关联.解:由列联表中所给数据得到,甲班人数为45,乙班人数为45,优秀人数为17,不优秀人数为73, 则χ2=-≈0.653.因为0.653<2.706,所以没有充分的证据认为成绩与班级有关联.7.中国调查网有一项关于午休问题的调查,其结果如下:(单位:人)(1)将题表补充完整,应填入的数据是多少?(2)试分析性别与对午睡的看法是否有关.(3)请再列举一些可能与对午睡看法有关的分类变量(至少两个).解:(1)①69,②446.(2)∵χ2=-≈86.490>6.635,∴至少有99%的把握认为性别与对午睡的看法有关.(3)年龄、职业、季节等.。

第三章 §2一、选择题1．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是( )A ．在100个男性中约有90个人爱喝酒B ．若某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%C ．判断出错的可能性为10%D ．有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒 [答案] C2．提出统计假设H 0，计算出χ2的值，即拒绝H 0的是( ) A ．χ2＝6.635 B ．χ2＝2.63 C ．χ2＝0.725 D ．χ2＝1.832[答案] A[解析] 依据独立性检验的思想及其结论的应用，应选A.3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C[解析] 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C. 二、填空题4．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是____________________________________．[答案] 男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．能以________的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.[答案] 90%[解析] 由列联表可以看出a ＝24，b ＝31，c ＝8，d ＝26，a ＋b ＝55，c ＋d ＝34，a ＋c ＝32，b ＋d ＝57，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝89，代入公式χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689，由于χ2≈3.689>2.706，∴我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系． 三、解答题6．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：[分析] 先计算χ2的数值，然后比较χ2与3.841及6.635的大小，进而得出是否有关的结论．[解析] 由公式得χ2＝540(60×200－260×20)2320×220×80×460＝540(12 000－5 200)22 590 720 000＝2 496 960259 072≈9.638.∴9.638>6.635，∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．[点评]本题利用χ2公式计算出χ2的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断.一、选择题1．(2014·江西理，6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()A．成绩B．视力C．智商D．阅读量[答案] D[解析]根据χ2计算公式可知，阅读量与性别相关数据较大，所以选D.2．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2的一个可能的值为() A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841[答案] C[解析]若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C满足条件．3．分类变量X和Y的列联表如下，则()A.ad－bcB．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强 [答案] C[解析] 由统计量χ2的计算公式计算χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )可知(ad －bc )2越大，则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad －bc )2越大，故选C.4．根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )A.90% C ．97.5% D ．99.9%[答案] D[解析] 由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得其观测值k ＝9 965×(7 775×49－2 099×42)27 817×2 148×9 874×91≈56.632>10.828.故有99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D.5．为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O 型或A 型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B 型或AB 型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系( )A.99.9% B ．99%C ．没有充分的证据显示有关D ．1% [答案] C [解析]χ2＝n (n 11n 22－12n 21)50×30×40×40＝80×(22×12－28×18)50×30×40×40≈1.92<2.706，∴没有充分的证据显示有关．二、填空题6．在一次打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是____________的．填(“有关”或“无关”)[答案] 有关[解析] ∵27.63＞6.635∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大，我们可以有99%的把握这么认为．7．为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89名小学生的情况，得到的数据如下表(单位：人)：[答案] 3.689[解析] χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689.三、解答题8．在某医院，因为患心脏病而住院的655名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．[解析] 问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．计算得到下表(单位：人)由公式计算得χ2＝1437×(214×597－175×451)389×1048×665×772≈16.373.因为16.373>6.635，所以有99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关．9．为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是男生人数的12，男生答对人数占男生人数的56，女生答错人数占女生人数的23.(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？ (2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？ [分析] 若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，说明χ2>6.635；没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，说明χ2≤2.706.设出男生人数，并且它分别表示各类别人数，代入χ2的计算公式，建立不等式求解即可．[解析] 设男生人数为x ，依题意可得2×2列联表如下：(1)若有99%， 由χ2＝3x 2·(5x 6·x 3－x 6·x 6)2x ·x 2·x 2·x ＝3x 8>6.635，解得x >17.693.因为x 2，x 6，x3为整数，所以若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有18人．(2)没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则χ2≤3.841. 由χ2＝3x 2·(5x 6·x 3－x 6·x 6)2x ·x 2·x 2·x ＝3x8≤2.706，解得x ≤7.216.因为x 2，x 3，x6为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．[点评] 本题是逆向型思维问题，即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已知相关性求表中的字母数据问题，同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题，解答时要注意理解“至少”“至多”的含义，充分建立不等式(组)来解决．10．为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表②完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：附：χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[解析]2×2列联表等统计学知识．解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用，需用到组合数公式．(2)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位数进行比较，(3)从频率分布表中读取数值填制2×2列联表并计算χ2与临界值比较，说明是否有关．解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p ＝2C 99198C 100200＝100199.(2)①可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．②表3：χ2＝200×(70×65－35×30)100×100×105×95≈24.56，由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．[点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一定的识图表能力，是今年命题一热点方向．。

2021年高中数学第3章独立性检验的基本思想同步练习北师大版选修2-3【选择题】1、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是( )A、100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B、1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C、在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D、在100个吸烟者中可能没有一个患肺癌的人2、经过对的统计量的研究，得到了若干个临界值，当时，我们认为事件A与B（）A、有95%的把握认为A与B有关系B、有99%的把握认为A与B有关系C、没有充分理由说明A与B有关系D、不能确定3、下表是性别与喜欢数学与否的统计列联表，依据表中的数据，得到（）A、 B、 C、 D、4、如果根据性别与是否爱好物理的列联表，得到，所以判断性别与物理有关，那么这种判断出错的可能性为（）A、5%B、15%C、20%D、25%【填空题】5、在成立时，若则k =_____________.6、随机抽样340人，性别与喜欢韩剧列联表如下表，则性别与喜欢韩剧有关的频率约为______________________________【解答题】7、在500名患者身上试验某种血清治疗SARS的作用，与另外500名未用血清的患者进行比较研究，结果如下表：问该种血清能否起到治疗SARS的作用？8、恋上网吧是中学生中普遍存在的一种现象,恋上网吧对学生的学业，身体健康都有不良的影响，下表是性别与恋上网吧的列联表试判断性别与恋上网吧是否有关.参考答案1、D2、C3、D4、A5、0.7086、0.757、因为，所以我们有95%的把握认为这种血清能起到治疗SARS的作用。

8、性别与恋上网吧有关。

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第三章§2一、选择题1.独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是( )A．在100 个男性中约有90 个人爱喝酒B．若某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%C．判断出错的可能性为10%D．有90%的把握认为10 个男性中有9 个人爱喝酒[答案] C2.提出统计假设H0，计算出χ2 的值，即拒绝H0的是( )A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832[答案] A[解析] 依据独立性检验的思想及其结论的应用，应选A.3.通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110n(ad－bc)2 110 × (40 × 30－20 × 20)2由K2＝算得，K2＝≈7.8.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) 60 × 50 × 60 × 50 附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案] C[解析] 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.二、填空题4.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是．[答案] 男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．5.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．能以的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.[答案] 90%[解析] 由列联表可以看出a＝24，b＝31，c＝8，d＝26，a＋b＝55，c＋d＝34，a＋c＝32，b＋d＝57，n＝a＋b＋c＋d＝89，n(ad－bc)2代入公式χ2＝得(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)89 × (24 × 26－31 × 8)2χ2＝55 × 34 × 32 × 57≈3.689，由于χ2≈3.689>2.706，∴我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系．三、解答题6.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540 名40 岁以上的人的调查结果如下：[分析] 先计算χ2 的数值，然后比较χ2 与3.841 及6.635 的大小，进而得出是否有关的结论．540(60 × 200－260 × 20)2[解析] 由公式得χ2＝320 × 220 × 80 × 460540(12 000－5 200)2 2 496 960＝2 590 720 000 ＝259 072≈9.638.∴9.638>6.635，∴有99%的把握说40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．[点评] 本题利用χ2 公式计算出χ2 的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断.一、选择题1．(2014·江西理，6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量之间的关系，随机抽查52 名中学生，得到统计数据如表1 至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A．成绩B．视力C．智商D．阅读量[答案] D[解析] 根据χ2 计算公式可知，阅读量与性别相关数据较大，所以选 D.2．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2 的一个可能的值为( )A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841[答案] C[解析] 若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C 满足条件．3.分类变量X 和Y 的列联表如下，则( )Y1Y2总计A.ad－bcB.ad－bc 越大，说明X 与Y 的关系越强C．(ad－bc)2 越大，说明X 与Y 的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强[答案]Cn(ad－bc)2[解析] 由统计量χ2 的计算公式计算χ2＝可知(ad－bc)2 越大，(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad－bc)2 越大，故选C.4.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )A.90%C．97.5% D．99.9%[答案] D[解析] 由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得其观测值9 965 × (7 775 × 49－2 099 × 42)2k＝≈56.632>10.828.7 817 × 2 148 × 9 874 × 91故有99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D.5.为了研究性格和血型的关系，抽查80 人实验，血型和性格情况如下：O 型或A 型者是内向型的有18 人，外向型的有22 人，B 型或AB 型是内向型的有12 人，是外向型的有28 人，则有多大的把握认为性格与血型有关系( )A.99.9%B．99%C.没有充分的证据显示有关D.1%[答案] C[解析]n(n11n22)χ2＝50 × 30 × 40 × 40＝的证据显示有关．二、填空题50 × 30 × 40 × 40≈1.92<2.706，∴没有充分6.在一次打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671 人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是的．填(“有关”或“无关”)[答案] 有关[解析] ∵27.63＞6.635∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大，我们可以有99%的把握这么认为．7.为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89 名小学生的情况，得到的数据如下表(单位：人)：≈.[答案] 3.68989 × (24 × 26－31 × 8)2[解析] χ2＝≈3.689.55 × 34 × 32 × 57三、解答题8.在某医院，因为患心脏病而住院的655 名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175 人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．[解析] 问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．计算得到下表(单位：人)≈16.373.由公式计算得χ2＝389 × 1048 × 665 × 772因为16.373>6.635，所以有99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关．9.为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是1 5 2男生人数的，男生答对人数占男生人数的，女生答错人数占女生人数的.2 6 3(1)若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？ (2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？ [分析] 若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，说明 χ2>6.635；没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，说明 χ2≤2.706.设出男生人数，并且它分别表示各类别人数，代入 χ2 的计算公式，建立不等式求解即可．[解析] 设男生人数为 x ，依题意可得 2×2 列联表如下：(1) 若有 99%，3x 2 ·( 5x x ·－ x x · )2 由 χ2＝ 6 3 6 6 x x x · · ·x3x＝ 8 >6.635，解得 x >17.693. 2 2x x x因为 ，， 为整数，所以若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至2 63 少有 18 人．(2) 没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则 χ2≤3.841.3x 2 ·( 5x x ·－ x x · )2 由 χ2＝ 6 3 6 6 x x x · · ·x3x＝ 8 ≤2.706， 2 2解得 x ≤7.216.x x x因为 ，， 为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至2 3 6 多有 6 人．[点评] 本题是逆向型思维问题，即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已知相关性求表中的字母数据问题，同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题，解答时要注意理解“至少”“至多”的含义，充分建立不等式(组)来解决．10.为了比较注射A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200 只家兔做实验，将这200 只家兔随机地分成两组，每组100 只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200 只家兔中的2 只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1 和表2 分别是注射药物A 和B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80)频数30 40 20 10疱疹面积[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 频数10 25 20 30 15②完成下面2×2 列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝附：χ2＝－(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 [解析] 2×2 列联表等统计学知识．解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用，需用到组合数公式．(2)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位数进行比较，(3)从频率分布表中读取数值填制2×2 列联表并计算χ2与临界值比较，说明是否有关．2C19998 100解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝1200 ＝.C 199(2)①可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65 至70 之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70 至75 之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．②表3：χ2＝≈24.56，100 × 100 × 105 × 95由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．[点评] 本题比较新颖，将统计学与古典概型、组合联系在一起，难度不大，但考查知识全面，而且还需要一定的识图表能力，是今年命题一热点方向．。

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§2独立性检验学习目标重点难点1。

通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想．2．会求χ2，及利用χ2判断两个变量的把握程度(两个变量是否有关系）。

重点:独立性检验的基本思想．难点：利用χ2判断两个变量的关联程度。

独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值,变量A：A1，A2＝错误!；变量B:B1,B2＝错误!.其中，a表示变量A取A1,且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据,c表示变量A取A2，变量B取B1时的数据，d表示变量A取A2,变量B取B2时的数据．设n＝a＋b＋c＋d,χ2＝错误!.（1)χ2≤2。

706时，没有充分证据判定变量A，B有关联；(2）χ2＞2。

706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；（3）χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；（4）χ2＞6。

635时，有99％的把握判定变量A，B有关联．预习交流独立性检验的基本思想是什么？提示：把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2把两个分类变量的独立性检验的基本思想表述为:χ2＝错误!(n＝a＋b＋c＋d)．独立性检验的基本思想为观察药物A，B治疗某病的疗效,某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人,服用A药;另一组60人，服用B药，结果发现：服用A药的40人中有30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈，问A，B两种药对该病的治愈率是否有显著差别?思路分析：首先应考查该资料取自什么样的试验设计，由于100个病人完全随机地被分成两组，而且，事先不知道任何一个病人的治疗结果是治愈还是不能治愈，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．解：为了便于将数据代入公式计算,先列出2×2列联表：由公式得：χ2＝错误!≈31。

§2独立性检验A组1.提出统计假设H0,计算出χ2的值,即拒绝H0的是()A.χ2=6.635B.χ2=2.63C.χ2=0.725D.χ2=1.832解析:依据独立性检验的思想及其结论的应用,应选A.答案:A2.分类变量X和Y的列联表如下,则()A.ad-bc越小,说明X与Y的关系越弱B.ad-bc越大,说明X与Y的关系越强C.(ad-bc)2越大,说明X与Y的关系越强D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的关系越强解析:由统计量χ2的计算公式χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)可知(ad-bc)2越大,χ2的值越大,X与Y的关系越强,故选C.答案:C13.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有()A.90%B.95%C.97.5%D.99%解析:由χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得χ2=9965×(7775×49-2099×42)27817×2148×9874×91≈56.632>6.635.故有99%的把握认为患肝病与嗜酒有关系,答案选D.答案:D4.以下关于独立性检验的说法中,错误的是()A.独立性检验依据小概率原理B.独立性检验得到的结论一定正确C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异D.独立性检验不是判断两个分类变量是否相关的唯一方法解析:独立性检验得到的结论不一定正确,如我们得出有90%的把握认为A与B有关,只是说这种判断的正确性为90%,具体问题中A与B可能有关,也可能无关,故选B.答案:B5.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况,具体数据如下表:非统计专业统计专业23男 13 10 女720则χ2≈ ,有 的把握判定主修统计专业与性别有关.解析:χ2=50×(13×20-10×7)220×30×23×27≈4.844>3.841,故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关.答案:4.844 95%6.有两个分类变量X 与Y ,有一组观测的2×2列联表如下,其中,a ,15-a 均为大于5的整数,则a= 时,有90%以上的把握认为“X 与Y 之间有关系”.解析:要有90%以上的把握认为X 与Y 之间有关系,则χ2>2.706,即χ2=65[a (30+a )-(20-a )(15-a )]220×45×15×50=13(13a -60)260×90>2.706,解得a>7.19或a<2.04. 又因为a>5,且15-a>5,a ∈Z ,所以当a 取8或9时,有90%以上的把握认为“X 与Y 之间有关系”. 答案:8或97.两个分类变量X ,Y ,它们的取值分别为x 1,x 2和y 1,y 2,其列联表为:4若两个分类变量X ,Y 独立,则下列结论:①ad ≈bc ;②aa+b ≈cc+d ;③c+da+b+c+d ≈b+da+b+c+d ;④c+aa+b+c+d ≈b+d a+b+c+d ;⑤(a+b+c+d )(ad -bc )(a+b )(b+d )(a+c )(c+d )≈0.其中正确的序号是 .解析:因为分类变量X ,Y 独立,所以aa+b+c+d ≈a+ca+b+c+d ×a+ba+b+c+d ,化简得ad ≈bc ,故①⑤正确;②式化简得ad ≈bc ,故②正确. 答案:①②⑤8.导学号43944055有两个变量x 与y ,其观测值的2×2列联表如下表:其中a ,15-a 均为大于5的整数,则a 取何值时,有90%的把握认为x 与y 之间有关系? 解要有90%的把握认为x 与y 之间有关系,则χ2>2.706,又因为χ2=65[a (30+a )-(20-a )(15-a )]220×45×15×50=65(65a -300)220×45×15×50=13(13a -60)25 400,所以a>7.19或a<2.04.又因为a>5且15-a>5,a∈Z,故a=8或a=9.故当a的取值为8或9时,有90%的把握认为x与y之间有关系.B组1.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2表356表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量解析:根据χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),代入题中数据计算得D 选项χ2最大.故选D .答案:D2.假设两个变量X 与Y ,它们的取值分别为x 1,x 2和y 1,y 2,其列联表为:以下各组数据中,对于同一样本能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A.a=50,b=40,c=30,d=20 B.a=50,b=30,c=40,d=207C.a=20,b=30,c=40,d=50D.a=20,b=30,c=50,d=40解析:当(ad-bc )2的值越大,χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )的值越大,可知X 与Y 有关系的可能性就越大.显然选项D 中,(ad-bc )2的值最大,故选D . 答案:D3.利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.如果χ2≥5.024,那么就有把握认为“X 与Y 有关系”的百分比为( )A .25%B .75%C .2.5%D .97.5%解析:由表中数据可知,当χ2≥5.024时,P (χ2≥k 0)=97.5%,故选D . 答案:D4.在研究吸烟与患肺病的关系时,通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺病有关”的结论,并且有99%的把握认为这个结论是正确的,下列说法中正确的是( ) A .100个吸烟者中有99人患有肺病B .1个人吸烟,那么这个人有99%的概率患有肺病C .在100个吸烟者中一定有患肺病的人D .在100个吸烟者中可能一个患肺病的人也没有解析:独立性检验的结论是一个数学统计量,它与实际问题的确定性是存在差异的. 答案:D5.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表.能以 的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.8解析:由列联表可以看出a=24,b=31,c=8,d=26,a+b=55,c+d=34,a+c=32,b+d=57,n=a+b+c+d=89,代入公式χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )得 χ2=89×(24×26-31×8)2≈3.689,由于χ2≈3.689>2.706,所以我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系. 答案:90%6.导学号43944056为了比较注射A ,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做实验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A ,另一组注射药物B. (1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同组的概率;(2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm 2) 表1:注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2:注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表9①完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;图1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图②完成下面2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”. 表3:附:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). 解(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为P=2C 19899C 200100=100199.(2)①10图1 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间,而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间,所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.②表3:χ2=200×(70×65-35×30)2100×100×105×95≈24.56,由于χ2>6.635,所以有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.。

§2 独立性检验2．1 独立性检验2．2 独立性检验的基本思想2．3 独立性检验的应用双基达标限时20分钟1．在2×2列联表中，两个变量的取值a，b，c，d应是( )．A．任意实数B．正整数C．不小于5的整数D．非负整数解析若两个变量的取值太小，则增大了统计结论的偶然性，因此规定a，b，c，d 一般都是大于5的整数．答案 C2．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据( )．A．χ2＞3.841 B．χ2＜3.841C．χ2＞6.635 D．χ2＜6.635解析把χ2的值与临界值比较，从而确定A与有关的可信程度，χ2＞3.841有95%的把握认为A与B有关系；χ2＞2.706有90%的把握认为A与B有关系；χ2≤2.706就认为A与B没有关系．答案 A3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X与Y有关系”的可信度，如果χ2＞5.024，那么就推断“X和Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过k( )．A．0.25 B．0.75C．0.025 D．0.975解析通过查表确定临界值k0.χ2＞k0＝5.024时，推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过0.025.答案 C4．在使用独立性检验时，下列说法正确的个数为________．①对事件A与B检验无关联时，即可以认为两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，则χ2就越大；③χ2的大小是判定事件A与B是否相关的根据；④若判定两事件A与B有关，则A发生时B一定发生．解析①正确，A与B无关联即A与B相互独立．②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A 与B 是否相互独立．③不正确．χ2的大小只能说明有多少的把握判定变量A 、B 有关联．④不正确．答案 15．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据上面的数据，计算χ2的值约为________．(精确到0.001) 解析 由已知数据得到下表合格情况设备是否改造合格品 不合格品 合计 设备改造后 65 30 95 设备改造前 36 49 85 合计10179180根据公式χ2＝180×65×49－36×30295×85×101×79≈12.379.答案 12.3796．若两个分类变量X 和Y 的2×2列联表为：y 1y 2x 1 5 15 x 24010根据上表数据，你能推断“X 和Y 之间有关系”吗？ 解 χ2＝70×5×10－40×15220×50×45×25≈18.8＞10.828，因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下推断“X 与Y 有关系”．综合提高限时25分钟7．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大 ( )． A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c解析aa ＋b 与cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个变量有关系的可能性越大．答案 A8．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表：作业情况是否喜 欢玩电脑游戏 认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总数262450则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )． A ．99% B ．95% C ．90%D ．无充分依据解析 χ2＝50×18×15－8×9227×23×26×24≈5.059＞3.841，故认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为95%. 答案 B9．下表是2009届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时想学专业的调查表： 是否知道想学专业 性别知道想 学专业不知道想 学专业总计男生 63 117 180 女生 42 82 124 总计105199304根据表中数据，则下列说法正确的是________． ①性别与是否知道想学专业有关 ②性别与是否知道想学专业无关 ③女生比男生更易知道所学专业 解析 由χ2＝304×63×82－42×1172105×199×180×124≈0.04＜2.706.可知没有充分的证据认为性别与是否知道想学专业有关，即可以认为性别与是否知道想学专业无关． 答案 ②10．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生，具体数据如下表所示，为了判断选修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，因为4.844＞3.841.所以选修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.所选专业 性别非统计专业统计专业 男 13 10 女720解析 因为2这种判断出错的可能性为5%. 答案 5%11．在人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据建立2×2的列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关系． 解 (1)2×2的列联表如下：休闲方式性别看电视 运动 总计 女 43 27 70 男 21 33 54 总计6460124(2)根据χ2＝124×43×33－21×27270×54×64×60≈6.201＞3.841，因此有95%的把握说性别与休闲方式有关．12．(创新拓展)有两个变量x 与y ，其一组观测值如下2×2列联表所示：Yxy 1 y 2x 1 a20－a x 215－a30＋a其中a,15－a x 与y 之间有关系？解 由题意χ2＝65[a 30＋a －20－a 15－a ]220×45×15×50＝6565a －300220×45×15×50＝1313a －6025 400.∵有95%的把握认为x 与y 之间有关系， ∴χ2＞3.841， ∴1313a －6025 400＞3.841，a ＞7.7或a ＜1.5，又a ＞5,15－a ＞5， ∴7.7＜a ＜10，又a ∈N ， ∴a ＝8或a ＝9.。

§2 独立性检验同步练测（数学北京师大版选修2-3）一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）1.统计假设H0：P(AB)＝P(A)·P(B)成立时，有以下判断：①P(A B)＝P(A)P(B)；②P(A B)＝P(A)P(B)；③P(A B)＝P(A)P(B).其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.02.在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A.若随机变量2χ>6.635，我们有99%的把握说明吸烟与患肺病有关，即若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病B.若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病C.若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误D.以上说法均不正确3.对两个分类变量A、B的下列说法中正确的个数为( )①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则2χ的值就越大；③2χ的大小是判定A与B是否相关的唯一依据.A.1B.2C.3D.44.以下关于独立性检验的说法中，错误的是( )A.独立性检验依据小概率原理B.独立性检验得到的结论一定正确C.样本不同，独立性检验的结论可能有差异D.独立性检验不是判定两分类变量是否相关的唯一方法5.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( )C.100%D.99%二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）6.吃零食是中学生中普遍存在的现象.吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长.下表给出性别与吃零食的列联表:“没有”)____________.7.根据下表，计算出2χ≈________.(保留两位小数)8.假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为{，}和{，}，其2×2列联表如100对于以下数据，对同一样本能说明与有关的小题，共5病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示响别人休息，而且可能与患§2 独立性检验同步练测（数学北京师大版选修2-3）答题纸得分：一、选择题6. 7. 8.三、计算题9.10.11.12.13.14.§2 独立性检验同步练测（数学北京师大版选修2-3）答案一、选择题1. Cχ的意义与概率不能混淆.2. C 解析：23.A 解析：①正确，A与B无关即A与B相互独立；χ的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；②不正确，2③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等.故选A.4.B 解析：独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，可能无关，故答案选B.5.D 解析：由2χ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得2χ＝9965×(7775×49－2099×42)27817×2148×9874×91≈56.6>6.635.故有99%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D. 二、填空题6. 有 解析： 2χ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝85(140－480)217×68×45×40＝98260002080800≈4.722＞3.841.故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关.7. 1.78 解析：2χ＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.78.8. ② 解析：对于同一样本, 2χ越小，说明X 与Y 之间相关的可能性越小，2χ越大，说明与之间相关的可能性越大. 三、计算题9.解：根据列联表的数据，得到2χ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝339×(43×121－162×13)2205×56×283×1347.469＞6.635.所以有99%的把握认为吸烟与患慢性气管炎病有关.10. 解：根据列联表中的数据，得到2χ=.76.101038695943240-63541892=⨯⨯⨯⨯⨯⨯）（因为，所以有99%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．11.解：由公式得，2χ＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804.由于4.804＞3.841，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的.12.解：由2χ= 2.7060.1821862340014007290005238454518）25-2790（0（2<==⨯⨯⨯⨯⨯可知，没有充分证据说明“成绩与班级有关系”，即成绩的“优秀与不优秀”与班级是相互独立的.13.解：2χ＝1633×(30×1355－224×24)21379×254×54×1579≈68.03.因为68.03>6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关.14.解：2χ=.08.0343749221025-2412712≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯）（因为0.08 2.706<，所以我们没有理由说晕船与男女性别有关．。