(完整版)简单的线性规划问题(附答案).doc

简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。

简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的截距是z， b b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值y≤2，例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( )x－y≤1，A ． 12B ．11C ．3D ．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由 ? 此时 z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝2，x＋y－2≤0，跟踪训练 1 (1)x，y满足约束条件 x－2y－2≤0，若 z＝y－ ax取得最大值的最优解不唯．一．2x－y＋2≥0，则实数 a 的值为 ( )11 A.2或－1 B．2 或2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋1≤0，(2)若变量 x，y 满足约束条件 x＋2y－8≤0，则 z＝3x＋ y 的最小值为x≥0，答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由 y＝ax＋z知 z的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝－ 1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数 z＝ 3x＋ y，即 y＝－ 3x＋z 过点(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－y－2≤0，例 2 设实数 x，y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－3≤0，（1）x 2＋y 2的最小值； （2）x y 的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC ，（1）令 u ＝ x 2＋ y 2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ， y ）与原点的距离的平方．过原点向直线 x ＋2y －4＝0作垂线 y ＝2x ，则垂足为 x ＋2y －4＝0， 的解，即 54，85 ，y ＝2x 5 5x ＋2y －4＝0，又由2y －3＝0， 所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为13， 2，（2）令 v ＝ x y ，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ，y ）与原点相连的直线 l的斜率为 v ，即 v x y － 0＝ .由图形可知，当直线 l 经过可行域内点 C 时， v 最大， x －0 由 （1）知 C 1， 32 ，答案 10解析 画出可行域 （如图所示 ）．（x ＋3）2＋ y 2即点 A （－3,0）与可行域内点 （x ， y ）之间距离的平 方．显然 AC 长度最小，∴AC 2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10，即 （x ＋3）2＋y 2的最小值为 10. 题型三 线性规划的实际应用得 C1， 2 ，所以， 13 x 2＋y 2 的最小值为 143.所以 v max ＝32，所以 y x 的最大值为 23.跟踪训练 2 已知 x ，y 满足约束x ≥ 0，y ≥ 0， 则（x ＋3）2＋y 2的最小值为x ＋y ≥ 1，|OC|＝例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1千克．每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋2y≤12，2x＋解设每天分别生产甲产品x桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，于是有y≤12，x≥ 0，y≥0， x∈N， y∈N，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300x＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买 x 张、 y 把，目标函数 z＝ x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥ 0，x∈N*，y≥0，y∈N*.200 x＝，50x＋20y＝2 000，7由解得y＝ x，200y＝7，C ．90D ．955x － 11y ≥－ 22， 2x ＋ 3y ≥9，2．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 2x ≤ 11， x ∈N *，y ∈N *， ＝10x ＋10y 的最大值是 ( ) A ．80所以 A 点的坐标为 2700200 750x ＋20y ＝2 000， 由y ＝ 1.5 x ，解得 x ＝ 25， 75 y＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 25，752 所以满足条件的可行域是以A2002070 ， B 25，725 ，O(0,0)为顶点的三角形区域 (如图 )．由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 75但注意到 x ∈ N *，y ∈N *，x ＝ 25， 故取 y ＝37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋y －3≤ 0，1．若直线 y ＝2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x －2y －3≤0，则实数 m 的最大值为 ( )A ．－ 1B ．1 C.32D ．2则z B ．85C ．－ 2，－ 1D ．－ 1，－ 2A ．－ 1,4B ．－1， －3y ≤1，3．已知实数 x ，y 满足 x ≤1， 则 z ＝x 2＋y 2 的最小值为 ___x ＋y ≥1，、选择题若点 (x, y)位于曲线 y ＝ |x|与 y ＝ 2 所围成的封闭区域， 则 2x － y 的最小值为 ( )x ≥1，x －3y ＋4≤0，x ≥1，x －y ≥0，y ≥a 则整数 a 的值为 ( )x ≥1，x ＋by ＋ c ≤0， 的值分别为1． A ． －6 B ．－ 2 C ．0 D ．22． 设变量x ， y 满足约束条件 x ＋y － 4≤ 0， 则目标函数 z ＝3x － y 的最大值为 ( ) A ．－4 B ． C.43D ．43． 实数 x ， y 满足y ≥0， 则 z ＝y －x 1的取值范围是 ( )A ．[ － 1,0] B ．( －∞， 0] C ． ［－1，＋∞D ．[－1,1)4． 若满足条件x －y ≥0，x ＋y －2≤0， 的整点 (x ， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点 )恰有 9 个，A ．－3B ．－ 2C ． －1D ．05．已知 x ， y 满足x ＋y ≤4， 目标函数 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为 7，最小值为 1，则 b ，cx＋y≥5，6．已知 x，y 满足约束条件 x－y＋5≥0，使 z＝x＋ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个， x≤3，则 a 的值为（）A．－3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤2，7．若 x，y 满足约束条件 y≤2，则 z＝x＋2y 的取值范围是___ ．x＋y≥2，8．已知－ 1≤x＋y≤4且 2≤ x－ y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y的取值范围是（答案用区间表示）．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 y≤ 2，给定．若 M（x，y）为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为（ 2，1），则 z＝ O→M·O→A的最大值为．10．满足 |x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有个．x－ y＋2≥0，11．设实数 x， y满足不等式组 2x－y－5≤0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为．x＋ y－ 4≥0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知 x，y 满足约束条件 3x＋5y≤25，目标函数 z＝2x－y，求 z的最大值和最小值．x≥ 1，x＋y－11≥0，13．设不等式组 3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数 y＝a x的图象上存在区域 5x－3y ＋9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示， 则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方， 故 z min ＝ 2 2＝ 2.1． 答案 B 解析 如图，当 y ＝2x 经过且只经过 x ＋y －3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋y －3＝0 上，则 m ＝1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部x ， y ∈ N *，计算区域内与11 92 ，2 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5，y ＝4 时， z 取得最3． 答案 12 解当堂检测答课时精练答案、选择题 1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得 A（－ 2,2），设 z＝2x－y，把 z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时z 取得最小值；所以 z min＝2×（－ 2）－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D 解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝ 0，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数 z＝3x－y移到（2,2）时， z＝3x－y有最大值 4.3．答案 D 解析作出可行域，如图所示，又直线 l 不能与直线 x－y＝0 平行，∴k l<1.综上， k∈［－ 1,1）．y－1的几何意义是点（x， y）与点（0,1）连线 l的斜率，当直线l 过 B（1,0）时 k l最小，最小为－ 1.x4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选 C.5．答案 D解析由题意知，直线 x＋by＋ c＝ 0 经过直线 2x＋y＝7 与直线 x＋y＝4 的交点，且经过直线 2x＋y＝1和直线 x＝1的交点，即经过点 (3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b ＋ c＝ 0，b ＝－ 1，∴ 解得1－ b＋c＝0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋ ay＝0，要使目标函数 z＝ x＋ ay(a> 0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 x＋y＝5 重合，故 a＝1，选 D.二、填空题7．答案 [2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋2y＝ 0，将l向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故z的取值范围为[2,6] ．8．答案 [3,8]解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤x－y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的交点 A（3,1）时，目标函数有最小值 z min＝2×3－ 3×1＝3；当直线经过 x＋y＝－ 1与 x－y＝3 的交点 B（1，－ 2）时，目标函数有最大值 z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝O→M ·O→A＝ 2x＋y，将其化为x≤ 2yy＝－ 2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（ 2，2）时，z 最大，将点（ 2，2）代入 z＝ 2x＋y，得 z 的最大值为 4.10．答案 13解析 |x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤2 x≥0，y≥0 ，x－ y≤2 x≥ 0，y<0 ，－ x＋ y≤ 2 x<0， y≥0 ，－ x－ y≤ 2 x<0， y<0 ，作出可行域为如图正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为 13 个． 11． 答案 21解析 作出可行域 (如图 )，即 △ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为 A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线 x ＋2y －4＝0 上方， ∴x ＋2y － 4>0， 则目标函数等价于 z ＝ x ＋ 2y －4，易得当直线 z ＝ x ＋2y － 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值 z max ＝21. |x ＋ 2 y － 4|方法二 z ＝ |x ＋ 2y － 4|＝ 5 ·5，令 P( x ，y)为可行域内一动点，定直线 x ＋2y － 4＝ 0，则 z ＝ 5d ，其中 d 为 P(x ，y)到直线 x ＋2y －4＝0 的距离． 由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，三、解答题12．解 z ＝ 2x －y 可化为 y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距的相反数，故当 z 取得最大值和最小值时，应是直线在 y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0 ：2x －y ＝0 平行的直线系 l ，经上下平移， 可得： 当 l 移动到 l 1，即经过点 A(5,2)时，z max ＝2×5 －2＝8.故 d 的最大值为|7＋ 2× 9－4|＝21＝故目标函数 21 zmax ＝ 5 ＝当 l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min ＝ 2× 1－ 4.4 ＝－ 2.4.13．解 先画出可行域，如图所示， y ＝ a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵ A(2,9) ，∴ 9＝ a 2， ∴a ＝ 3. ∵a>1， ∴1< a ≤3. 14． 解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，0.1x ≤90，x ≤900，2x ≤600，则 ? x ≤300， ? 0≤ x ≤ 300.z ＝ 80x ，x ≥0x ≥0所以当 x ＝ 300时， z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱y 个，可获得利润 z 元， 0.2y ≤90，y ≤ 450，1·y ≤600 则 ? y ≤600， ? 0≤y ≤ 450.z ＝y ≥0y ≥0所以当 y ＝ 450时， z max ＝ 120× 450＝ 54 000（元），即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z元，0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，则x≥ 0，y≥0 z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线 l：80x＋120y＝0，即直线 l：2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，大值．x＋2y＝ 900，由2x＋y＝ 600，解得，点 M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时， z max＝ 80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大．x＋2y≤900，2x＋ y≤600，(如图 ) ．此时 z＝80x＋120y 取得最。

简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。

因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。

2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。

要会在可行域中确定最优解。

3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。

每1t乙种产品的利润是1000元。

工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。

（精确到1t)。

能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。

作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。

将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。

得x=360/29≈12。

y=1000/29≈34。

例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。