2014年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð（ ）（A ）{1,3,5,6} （B ）{2,3,7} （C ）{2,4,7} （D ）{2,5,7}【答案】C【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5,6A =，∴{}2,4,7U A =ð，故选C ．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．（2）【2014年湖北，文2，5分】i 为虚数单位，21i ()1i-=+（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -【答案】B 【解析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．（3）【2014年湖北，文3，5分】命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（ ）（A ）x ∀∉R ，2x x ≠ （B ）x ∀∈R ，2x x = （C ）x ∃∉R ，2x x ≠ （D ）x ∃∈R ，2x x =【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：0x ∃∈R ，200x x =，故选D ．【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．（4）【2014年湖北，文4，5分】若变量x ，y 满足约束条件420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）8【答案】C【解析】满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数2Z x y =+，∴0O Z =，4A Z =，7B Z =，4C Z =，故2x y +的最大值是7，故选C ．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．（5）【2014年湖北，文5，5分】随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ）（A ）123p p p << （B ）213p p p << （C ）132p p p << （D ）312p p p <<【答案】C【解析】列表得：∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为11053618p ==，点数之和大于5的概率记为226133618p ==，点数之和为偶数的概率记为3181362p ==，∴132p p p <<，故选C ． 【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（6）【2014年湖北，文6，得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b < （B ）0a >，0b > （C ）0a <，0b < （D ）0a <，0b >【答案】A【解析】样本平均数 5.5x =，0.25y =，∴()()6124.5i i i x x y y =--=-∑，()26117.5i i x x=-=∑，∴24.5 1.417.5b =-=-， ∴()0.25 1.4 5.57.95a =--⋅=，故选A ．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．（7）【2014年湖北，文7，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和②【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．（8）【2014年湖北，文8，5分】设是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】A【解析】∵a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，∴sin cos a b θθ+=-，0ab =，过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线为()222b a y a x a b a--=--，即()y b a x ab =+-，即sin cos y x θθ=-， ∵双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，∴过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双 曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0，故选A ． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．（9）【2014年湖北，文9，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3fx x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（ ）（A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{23} （D ）{21,3}-【答案】D【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -，令0x <，则0x ->，∴()()23f x x x f x -=+=-，∴2()=3f x x x --，∴()223030x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∵()()3g x f x x =-+， ,a b 2(,)A a a 2(,)B b b 22221cos sin x y θθ-=∴()22430430x x x g x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令()0g x =，当0x ≥时，2430x x -+=，解得1x =，或3x =，当0x <时， 2430x x --+=，解得2x =--∴函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{21,3}-，故选D ．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．（10）【2014年湖北，文10，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） （A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π 的近似值为258，故选B ． 【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2014年湖北，文11，5分】甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测． 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件．【答案】1800【解析】∵样本容量为80，∴抽取的比例为801480060=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键． （12）【2014年湖北，文12，5分】若向量(1,3)OA =- ，||||OA OB = ，0OA OB ⋅= ，则||AB = ．【答案】【解析】设(),OB x y = ，∵向量()1,3OA =- ，||||OA OB = ，0OA OB ⋅=，∴30x y -=⎪⎩31x y =⎧⎨=⎩ 或31x y =-⎧⎨=-⎩．∴()3,1OB = ，()3,1--．∴()2,4AB OB OA =-= 或()4,2-．∴||AB = 【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．（13）【2014年湖北，文13，5分】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知π6A =，a =1，b =则B = ．【答案】3π或23π 【解析】∵在ABC ∆中，6A π=，1a =，b sin sin a b A B =得：1sin 2sin 1b A B a ===， ∵a b <，∴A B <，∴3B π=或23π． 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．（14）【2014年湖北，文14，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为_________．【答案】1067【解析】由程序框图知：算法的功能是求1222212k S k =+++++++ 的值，∵输入n 的值为9，∴跳出循环的k 值为10，∴输出()91291021219222129922451067122S -+=+++++++=+⨯=-+=- ． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是解题的关键．（15）【2014年湖北，文15，5分】如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ． 【答案】10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由已知可得：0a >，且()4f a a =，()4f a a -=-，若x ∀∈R ， ()>(1)f x f x -，则()()421241a a a a ⎧-->⎪⎨=->⎪⎩，解得16a >，故正实数a 的取值范围为：10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出()()421241a a a a ⎧-->⎪⎨=->⎪⎩是解答的关键． （16）【2014年湖北，文16，5分】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、 平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820v F v v l=++． （1）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（2）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时．【答案】（1）1900；（2）100【解析】（1）2760007600020182018v F l v v l v v ==++++，∵12122v v +≥=，当11v =时取最小值，∴7600019002018F l v v=≤++， 故最大车流量为：1900辆/小时．（2）22760007600076000100182********v v F v v l v v v v===++++++，∵10020v v +≥，∴2000F ≤， 2000﹣1900=100（辆/小时），故最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时．【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．（17）【2014年湖北，文17，5分】已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则（1） ；（2） ．【答案】（1）12-；（2）12【解析】（1）设(),M x y ，则∵||||MB MA λ=，∴()()2222222x b y x y λλ-+=++，由题意，取()1,0、()1,0-分别代入可得()()222112b λ-=+，()()222112b λ--=-+，∴12b =-，12λ=． （2）由（1）知12λ=． 【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年湖北，文18，12分】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈ （1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差．(2,0)A -M b =λ=解：（1）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=． 故实验室上午8时的温度为10 ℃．（2）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<， ππ1sin()1123t -≤+≤．当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-．于是()f t 在[0,24) 上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．【点评】本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．（19）【2014年湖北，文19，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．（20）【2014年湖北，文20，13分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点．求证：（1）直线1BC ∥平面EFPQ ；（2）直线1AC ⊥平面PQMN ．解：（1）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD的中点，所以FP ∥AD 1．从而BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（2）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥．由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥．又1AC CC C = ，所以BD ⊥平面1ACC ．而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥．因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥．同理可证1PN AC ⊥． 又PN MN N = ，所以直线1AC ⊥平面PQMN ．【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．（21）【2014年湖北，文21，14分】π为圆周率，e 2.71828= 为自然对数的底数．（1）求函数ln ()x f x x=的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()x f x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函 数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞．（2）因为3e π<<，所以ln 33ln ,ln ln 3e e πππ<<，即l n 3l n ,l n l n 3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==，x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3e e ππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln 3ππ<，所以33ππ>；由ln 3ln 3e e<，得3ln 3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e ．【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：（1）寻找同底的指数式或对数式；（2）分清是递增还是递减；（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．（22）【2014年湖北，文22，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -． 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围． 解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+，故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩． （2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ① 1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =， 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)42）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ② 设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=- ③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共 点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．（ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没 有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈-- 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． （ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合1）2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点； 当11[,0){1,}22k ∈-- 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈-- 时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．。
