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数学：1.2.3《解三角形应用举例》课件(新人教A版必修5)

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高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用

高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用

3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3

高中数学 解三角形应用举例课件1 新人教A版必修5

高中数学 解三角形应用举例课件1 新人教A版必修5

角 ABC 的两边 AB 和 BC，且 ABC 1200 ，当
AB= 15 cm，BC= 15
cm 时锯断才能使
第三边 AC 最短。
完整版ppt
6
5、2008 年 12 月 27 日，加沙地带爆发了武装冲突，以色列对加沙 进行了狂轰乱炸。若以色列炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别 位于地面 C 和 D 处，已知 CD=6000m， ACD 450 ， ADC 75 ，
完整版ppt
9
【预习自测】
1、△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，则 C 为( A )
A．60° B．45°或 135° C．120° D．30°
2、在△ABC
中，
sin a
A
cos b
B
，则
B
为(
B
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3、在△ABC 中， 3sin A＋cos A＝1，c＝2，
s i n A 1 , s i n B 4 ，c o s A 3
2
5
2
sin C sin( A B ) sin A cos B cos A sin B
34 3 10
由正弦定理得： c b sin C sin B
b c sin B 16 160(4 3 3)
sin C 3 4 3
1.2《解三角形》的应用举例 （第1课时）
完整版ppt
1
【问题导学】
ab
c
1、正弦定理:sin A＝__s_i_n__B___＝s_i_n__C_____=__2_R______(其中R为三角形外接圆的半径)
2、三角形中:a＝2Rsin A，b＝2__R_s_i_n__B_，c＝_2__R_s_i_n__C___．

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)

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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

高中数学第一章解三角形12应用举例121解三角形在实际应用中的举例课件新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形12应用举例121解三角形在实际应用中的举例课件新人教A版必修5

练一练1
从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是( )
A.α>β B.α=β
C.α+β= 90°
D.α+β= 180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平
行,得α=β.
答案:B
1-2 3-4 5-6
练一练2
已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都为20海里,灯塔A在观察站C的北偏 东40°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东50°的方向上,则两灯塔A,B间的距离为 海里.
mile).
即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二测量高度问题
测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类问题不能直接 用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底 部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,由正弦定理,得
AD=s?in??∠s??in??????=?
12
6×22
3
=
24(n
mile).
2
即A处与D处的距离为24 n mile.
(2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,解得CD=8 3(n
探究一
探究二
探究三
探究四
典型例题1
如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km的C,D两点,并
测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两 个目标A,B之间的距离.

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(一)课件 新人教A版必修5

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(一)课件 新人教A版必修5

自主学习
在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空： (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90 度的角． (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线 在水平线 上方 时叫仰角，目标视线在水平线下方 时叫俯角．(如以下图所 示)
探究点1： 测量可到达点与不可到达点间的距离 问题1 试画出“北偏东60°〞和“南偏西45°〞的示意图．
＝55sisnin5745°°≈65.7(m)． 所以A，B两点间的距离为65.7 m.
名师点评
解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中的和未知的边、角，通过建立 数学模型来求解．
探究点2： 测量两个不可到达点间的距离
例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两 点间距离的方法．
123
因为A，B，C，D四点共圆， 所以D＋B＝π. 在△ABC和△ADC中， 由余弦定理可得 82＋52－2×8×5×cos(π－D) ＝32＋52－2×3×5×cos D， 整理得 cos D＝－12， 代入得 AC2＝32＋52－2×3×5×－12＝49， 故AC＝7.
123
课堂小结
1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离〞， 而测量“两个不可到达点间的距离〞要综合运用正弦定理和余弦定理.测量 “一个可到达点与一个不可到达点间的距离〞是测量“两个不可到达点间 的距离〞的根底，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别. 2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意， 分清与未知，画出示意图；(2)建模：根据条件与求解目标，把量与求解 量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求 解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)

系列丛书
思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
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第一章 1.2 第2课时
系列丛书
提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角 度．如图所示，视角60° 指的是观察该物体上下两端点时， 视线的张角．
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第一章 1.2 第2课时
系列丛书
2．方位角的范围是(0° ，180° )吗？
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第一章 1.2 第2课时
系列丛书
AB 在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ，AB为定值，若要使仰 BE 角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB＝ 30° . 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° ， ∴BE＝BD· sin∠BDE＝20 2sin15° ＝10( 3－1) (m)． 在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10( 3 －1)tan30° ＝ 10 3 (3－ 3)(m)． 10 ∴塔的高度为 3 (3－ 3) m.
标方向线为止的水平角 叫方位角． ______________________
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第一章 1.2 第2课时
系列丛书
(3)如图(1)所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距 离，AB代表坡面距离．
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第一章 1.2 第2课时
系列丛书
如图(2)所示，把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫
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第一章 1.2 第2课时
系列丛书
典例导悟
类型一 [例1] 底部不可到达的高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40

人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件23


一、解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在 一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 (或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的 三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
解析：
设快艇驶离港口 B 后，最少要经过 xh，在 OA 上的点 D 处与考察船相遇．如图，连接 CD.则快艇沿线段 BC，CD 航行．
在△OBC 中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°. 又 BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 3.故快艇从港口 B 到 小岛 C 需要 1h. 在△OCD 中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)． 由余弦定理知，CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD， ∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60 3)2－2·20x·60 3cos30°，解得 x ＝3 或 x＝38. ∵x>1，∴x＝3. 故快艇驶离港口 B 后，最少要经过 3h 才能和考察船相遇．
分析：边读题，边画图形，如图，将条件中的角、长度 标上，求轮船离港口 A 还有多远，即求 AD 的长，在△ACD 中，已知一角(A)一边(CD)，待求 AD，结合已知条件△BCD 三边长已知，由余弦定理可求三角，考虑沟通已知和未知， 可利用∠ADC 与∠BDC 互补，求∠BDC.
解析：
在△BDC 中，由余弦定理知， cos∠CDB＝BD2＋2BCDD·C2－D BC2 ＝－17，
测量距离的问题
[例 1] (2011·东北三校二模)港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站 为 31n mile，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21n mile，问此时轮 船离港口 A 还有多远？

高中数学课件归纳必修5第一章解三角形1.2解三角形应用举例第三课时


例2 在某点B处测得建筑物AE的
顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m， 至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续
前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，
求的大小和建筑物AE的高.
解：（法一）（用正弦定理求解）由已知 可得在△ACD中，
答：所求角为15°，建筑物高度为15 m.
答：所求角为15°，建筑物高度为15 m.
答：所求角为15°，建筑物高度为15 m.
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知 甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿什 么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示，设经过t小时两 船在C点相遇，则在△ABC中，有 BC=at，AC= at，
所以B=90°+30°=120°.
由 得
因为0°<∠CAB<90°，所以∠CAB=30°. 故∠DAC=60°－30°=30°. 答：甲船应沿北偏东30°的方向前进， 才能最快与乙船相遇.
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况:
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中， 依次利用正弦定理或余弦定理解之；
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这 时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步 在其余的三角形中求出问题的解.
思考：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里
的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应
该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私 船？
练习： 课本16页时）
前面我们学习了如何测量距离和高度，这
些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求 其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们 又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何 确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向 呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.

数学人教版必修五《1.2应用举例》(共19张PPT)


55 sin 75
55 sin 75 66(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为66米。
思考
如何测定河对岸两点A、B间的距离？
B A
导入 两个不可到达点的问题
例2、如图, A,B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量，求A,B两点距离的方法。 解：如图，测量者可 以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， ∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ，
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
导入 一个不可到达点的问题
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离。
探究载客游轮能否触礁
一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处
的北偏东 角，前进4km 后，测得该岛在北偏
东 角，已知该岛周围3.5 范围内有暗礁，现 该船继续东行。 (1)若 2600，问该船有无触礁危险？ 如果没有请说明理由；
(2)如果有，那么该船自 处向东航行 多远会有触礁危险
探究载客游轮能否触礁
∠ADB=δ。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余 弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
例题讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ。在 △ADC和△BDC中，应用正弦定理得

最新人教A版必修5第一章解三角形课件12解三角形应用举例1


分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
B
解：在BC1D1中,C1BD1 60 45 15,
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
A1
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin sin B
D1
12 s in120
1826
sin15
C
山高CD.
分析：根据已知条件，应该设
法计算出AB或AC的长
D
A
解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据 正弦定理，
sin B (C )sin9A(0 B)
所A 以 B Bs ， sC i i9 n n 0 ()()sB i c n C o ()s
解RtABD , 得
BD AB sin BAD BC cos sin sin( )
28 cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
课堂小结
P19 1.2A 1、 3、 9
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
结束语
谢谢大家聆听！！！
15
课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立 一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解
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解应用题的一般步骤是： 解应用题的一般步骤是： 1、分析 分析：理解题意，画出示意图 分析 2、建模 建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 建模 3、求解 求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 求解 些三子角形，求得数学模型的解。 4、检验 4 检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 检验 得出实际问题的解。 数学问题（三角形） 实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解 数学问题的解（解三角形）
−2 × 100 3 × 200sin 75° cos 75° = 5 × 1002 ∴ AB = 100 5
所求A 所求A、到达的； 底部可以到达的； 测量出角C BC的长度 的长度， 测量出角 C 和 BC 的长度 ， 解直 角三角形即可求出AB的长。 AB的长 角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的 测量边CD ， 测量 ∠ C 和 ∠ ADB ， ADB， 测量边 CD， 测量∠ CD
AC DC = sin ∠ADC sin ∠DAC
求出AC的长； 第二步:在△BCD中求出角∠DBC， 第二步 由正弦定理
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CAiCB cos C 求得AB的长。
解应用题中的几个角的概念 1、仰角、俯角的概念： 、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南 、方向角： 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
sin ∠BAC sin ∠ABC
BC sin ∠ABC 32sin 30° 16 = = 得 AC = sin ∠BAC sin15° sin15°
在等腰Rt△ACD中 在等腰Rt△ACD中，故 Rt
2 2 16 8 2 CD = AC = × = = 16( 3 + 1) 2 2 sin15° sin15°
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题1:要测量河对岸两地A 之间的距离， 1:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
BC DC 由正弦定理 sin ∠BDC = sin ∠DBC ， 得
DC sin ∠BDC 100 3 sin 75° = = 200 sin 75° BC = sin ∠DBC sin 60°
在△ABC中由余弦定理， ABC中由余弦定理， 中由余弦定理
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CAiCB cos C = (100 3) 2 + (200sin 75°) 2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5 必修
1.2.3《解三角形应用举例》
教学目标
• 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关计算角度的实际问题 • 2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有 效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来， 逐步让学生自主发现规律，举一反三。 • 3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决 问题的能力，并激发学生的探索精神。 • 二、教学重点、难点 教学重点、 • 重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已 重点： 知条件和所求角的关系 • 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度 难点： 的问题
∴山的高度为16( 3 + 1) 米。
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
CD AB = cot C − cot ∠ADB
例题2 例题2：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯 角 α = 60 ，在塔底 C处测得点 A的俯角 β = 45 ， 已知铁塔BC部分高 32 米，求山高CD 。 解：在△ABC中，∠ABC=30°， ABC中 ABC=30° 30 135° ∠ACB =135°， ∴∠CAB 180° ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180° (135°+30°)=15° =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, BC AC = 由正弦定理 ,
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CAiCB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角A然后 由正弦定理，
AB BC = 可求边AB的长。 sin C sin A
③两点都不能到达 第一步:在△ACD中，测角∠DAC， 第一步 由正弦定理