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简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
方阵行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）。
教学单元教案设计
教学单元讲稿
一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则
2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称
第三节 行列式的性质 三、课程导入
复习导入
四、分析思路
首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性
质。
五、讲授内容
第三节 行列式的性质
对换
对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立
定理2 ：n 阶行列式为：
.)1(211
21
2322211312
112
1
n p p p t n n n n
a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中t 为n p p p Λ21的逆序数.
（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为
.)1(1
2
121
11
21
2322211312
11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.
行列式的性质
转置行列式的定义
记 nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ21
2222112111
= T D =nn
n
n
n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
212
221212111
(D ')
行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）
一、n 阶行列式的性质
性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.
由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如:
d
c b a D =
d
b c
a D T =
以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换i,j 两列记 作i j c c ↔.
性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.
性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数
k 乘以该行列式.
推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.
即若 ()()nn
ni
ni n n n
i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛ
M M
M M ΛΛΛΛ
'+'+'+=
21
222222111
112
11
)( 则 nn ni n n n i n
i a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛM
ΛM M M ΛΛΛΛ21222221111211=
+
nn
ni
n n n
i n i a a a a a a a a a a a a ΛΛ
M M M M Λ
ΛΛΛ
'''2122
22211112
11. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.
二、n 阶行列式的计算：
例1. 计算2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D .
解： 2
1
6
4
72954
1732
152
-----=
D 3
1c c ↔==2
4
6
1
75924
3712
251
------
1
21
4132r r r r r r +--=0
2
1
31106
120225
1----
4
24
32r r r r ++=0
2
10330063002
2
5
1---42r r ↔==93
00
030002102251-=--.
例2. a
b b b b a b b b b a b b b b a D =
4
321r r r r +++=
a b b
b
b a b b b b a b b
a b a b a b a 3333++++
b
a r 311+⨯=()a
b b b b
a b b
b b a b
b a 11113+1
4
,3,2br r i i -==()b
a b a b a b a ---+0
00000
11113
3(3)()a b a b =+-.
(推广至n 阶，总结一般方法)
例3. 证明：222
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++222111
2r q p r q p r q p =. 证明： 左端2
2222111115
p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列
性质2222211111
p r r q q p r r q q p r r q q +++++++ 2
2
22
1111
r r q p r r q p r r q p +++=2
22
2
1111
p r r q p r r q p r r q ++++2
2
2
111
r q p r q p r q p =2
2
2
111
p r q p r q p r q + 2
2
2
111
2r q p r q p r q p =. 例4. nn
n n nk n k kk
k k b b b b c c c c a a a a D Λ
M M ΛΛ
M M ΛΛM M
Λ11111
1111
1110=，
,)det(11111kk
k k
ij a a a a a D Λ
M M
Λ
== .)det(11112nn
n n
ij b b b b b D Λ
M M
Λ
== 证明： 21D D D =.。
