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简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
方阵行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）。
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
矩阵的行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它具有定义性质与计算方法，对于矩阵的性质和运算具有重要的指导作用。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，那么行列式的定义如下：det(A) = Σ(±a1j A1j)，其中±表示正负号，A1j表示aij划去第i行第j列后的(n-1)阶行列式。
二、行列式的性质1. 如果矩阵A的某一行（列）全为零，则行列式det(A) = 0。
2. 交换矩阵A的两行（列）的位置，行列式det(A)的值不变。
3. 如果矩阵A的某一行（列）所有元素都乘以k倍（k为常数），则行列式det(A)乘以k。
4. 如果矩阵A的某一行（列）元素表示为两个数之和，例如aij =bij + cij，则行列式可以分解为两个行列式之和，即det(A) = det(A') +det(A")。
5. 如果矩阵A的两行（列）元素一一对应相等，行列式det(A) = 0。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算特别简单，可以直接应用定义进行计算。
2. 对于n阶行列式，可以通过展开行列式的方法来进行计算。
例如，对于行列式det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中aij是A的第i行第j列的元素，A1j是(aij划去第i行第j列后的n-1)阶行列式。
可以选择任意一行或一列展开，然后在展开的基础上继续展开剩余的(n-1)阶行列式，直到得到二阶行列式进行计算。
3. 利用行列式的性质，可以通过递推的方法来计算较大阶数的行列式。
例如，使用行列式的性质进行行列变换，将矩阵转化为上（下）三角阵，此时行列式即为对角线上元素的乘积。
4. 利用行列式的性质，可以通过化简的方法来计算较大阶数的行列式。
第三节 行列式的性质考虑nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=将它的行依次变为相应的列，得nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=称D T 为D 的转置行列式 .性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=D T 。
例1 计算行列式nnn n a a a a a a D2122211100=解 nn nnn n Ta a a a a a a a a D D2211222121110=== 证 事实上，若记)det(ij T b D = 则),,2,1,(n j i a b ji ij ==∑-=∴n n np p p p p p T b b b D 212121)()1(τ Da a a n p p p p p p n n =-=∑ 21)(2121)1(τ性质2 互换行列式的两行(r i ↔r j )或列(c i ↔c j )，行列式的值变号 . 推论 若行列式D 的两行（列）完全相同，则D=0 .性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k ，等于数k 乘以此行列式，即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211= 推论1 行列式D 中一行(列)所有元素的公因子可提到D 的外面；推论2 行列式D 中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值等于零。
结 论： D 中一行(列)所有元素为零，则D=0；性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即=+++nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211 +nnn n in i i na a a a a a a a a 212111211nnn n in i i n a a a b b b a a a212111211证 由行列式定义∑+-=n i i n np ip ip p p p p p a b a a a D )()1(212121)(τ∑∑-+-=ni n ni n np ip p p p p p np ip p p p p p a b a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ性质5 行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变)(D D ji kr r +=，即ji kr r nnn n in i i n a a a a a a a a a +=212111211nnn n jn in j i j i na a a ka a ka a ka a a a a21221111211+++推论 D 的两行（列）对应元素成比例，则D=0.例2 计算行列式2413635104---。
行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。
行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。
一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。
这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。
行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。
即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。
即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。
即，如果i=j，那么Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。
对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。
利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。
2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。
例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。
教学单元教案设计
教学单元讲稿
一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则
2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称
第三节 行列式的性质 三、课程导入
复习导入
四、分析思路
首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性
质。
五、讲授内容
第三节 行列式的性质
对换
对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l ΛΛ11 ——b b a b a a l ΛΛ11. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立
定理2 ：n 阶行列式为：
.)1(211
21
2322211312
112
1
n p p p t n n n n
a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中t 为n p p p Λ21的逆序数.
（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为
.)1(1
2
121
11
21
2322211312
11n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
-∑=
其中n p p p Λ21和 n q q q Λ21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.
行列式的性质
转置行列式的定义
记 nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ21
2222112111
= T D =nn
n
n
n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
212
221212111
(D ')
行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）
一、n 阶行列式的性质
性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.
由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如:
d
c b a D =
d
b c
a D T =
以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换i,j 两列记 作i j c c ↔.
性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.
性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数
k 乘以该行列式.
推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.
即若 ()()nn
ni
ni n n n
i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D ΛΛ
M M
M M ΛΛΛΛ
'+'+'+=
21
222222111
112
11
)( 则 nn ni n n n i n
i a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛM
ΛM M M ΛΛΛΛ21222221111211=
+
nn
ni
n n n
i n i a a a a a a a a a a a a ΛΛ
M M M M Λ
ΛΛΛ
'''2122
22211112
11. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.
二、n 阶行列式的计算：
例1. 计算2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D .
解： 2
1
6
4
72954
1732
152
-----=
D 3
1c c ↔==2
4
6
1
75924
3712
251
------
1
21
4132r r r r r r +--=0
2
1
31106
120225
1----
4
24
32r r r r ++=0
2
10330063002
2
5
1---42r r ↔==93
00
030002102251-=--.
例2. a
b b b b a b b b b a b b b b a D =
4
321r r r r +++=
a b b
b
b a b b b b a b b
a b a b a b a 3333++++
b
a r 311+⨯=()a
b b b b
a b b
b b a b
b a 11113+1
4
,3,2br r i i -==()b
a b a b a b a ---+0
00000
11113
3(3)()a b a b =+-.
(推广至n 阶，总结一般方法)
例3. 证明：222
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++222111
2r q p r q p r q p =. 证明： 左端2
2222111115
p r r q p p r r q p p r r q p ++++++=第一列
性质2222211111
p r r q q p r r q q p r r q q +++++++ 2
2
22
1111
r r q p r r q p r r q p +++=2
22
2
1111
p r r q p r r q p r r q ++++2
2
2
111
r q p r q p r q p =2
2
2
111
p r q p r q p r q + 2
2
2
111
2r q p r q p r q p =. 例4. nn
n n nk n k kk
k k b b b b c c c c a a a a D Λ
M M ΛΛ
M M ΛΛM M
Λ11111
1111
1110=，
,)det(11111kk
k k
ij a a a a a D Λ
M M
Λ
== .)det(11112nn
n n
ij b b b b b D Λ
M M
Λ
== 证明： 21D D D =.。
