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第二单元 常用逻辑用语考点要求1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；（2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义． （3）全称量词与存在量词 ① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．第一节 命题与充要条件自主学习1．常用逻辑用语 （1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题； 2．四种命题的形式原命题：若p 则q ， 逆命题：若q 则p ，否命题： 若p ⌝ 则q ⌝，逆否命题：若q ⌝ 则p ⌝， 3．四种命题之间的关系：注：①原命题为真，但其逆命题不一定真；其否命题不一定为真；其逆否命题为真．②互为逆否命题的两个命题同真同假．③否命题即否定条件又否定结论；命题的否定仅否定结论. 二、充分必要条件：一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件． 可分为四类：1. 充分不必要条件，即p q ⇒成立，而q p ⇒不成立；2. 必要不充分条件，即p q ⇒不成立，而q p ⇒成立；3. 既充分又必要条件，即p q ⇒成立，又有q p ⇒成立；4. 既不充分也不必要条件，即p q ⇒不成立，又有q p ⇒不成立．一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作：p q ⇔.“⇔”叫做等价符号．互 逆互 为 为 互否 逆 逆 否互 否互 否互 逆这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，称p是q的充分必要条件，简称充要条件．三、反证法的三步骤：①反设：假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立．②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾．③结论：由矛盾判定假设不成立，从而原命题的结论成立．教材透析逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p．（2）复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：“p且q“p或q“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；③真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．（3）四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假．（5）全称命题与特称命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。
常用逻辑用语（命题及其关系）知识点一、命题定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。
辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假①判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。
语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。
一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。
②对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“太阳系外存在外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前确定其真假，但从事物的本质而言，句子本身是可以判断其真假的。
这类语句也称为命题。
语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。
③不判断真假的语句，就不能叫命题。
“ X<2”。
知识点二、四种命题1.原命题与逆命题即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等2.否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.例如，⑶同位角不相等，两直线不平行；⑷两直线不平行，同位角不相等3.原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.4.四种命题的形式一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用「种命题的形式就是：原命题：若p则q; 逆命题：若q则p ；否命题：若「p则「q；逆否命题：若「q贝归p.【例1】判断下列命题的真假。
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互否互常用逻辑用语复习目标1.理解命题的逆命题, 否命题与逆否命题及四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的关系。
3.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
基础知识一．命题及其关系1. 命题：可以判断真假的语句；命题的分类 ―真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P 通过推理一定可以得出命题的结论q ，那么这样的命题叫做真命题． 假命题：如果由命题的条件P 通过推理不一定可以得出命题的结论q ，那么这样的命题叫做假命题． 例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。
（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x （5）人类在2020年登上火星. 2.分类二：①简单命题：不含有逻辑联结词的命题；②复合命题：由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题；构成复合命题的形式：p 或q (记作q p ∨)；p 且q (记作q p ∧)；非p （记作p ¬) 3.命题的四种形式与相互关系原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p ¬则q ¬； 逆否命题：若q ¬则p ¬练习1、将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式；并判断真假。
①垂直于同一条直线的两条直线平行。
②负数的立方是负数。
③对顶角相等。
④已知y x ,为正整数，当1+=x y 时。
2,3==x y 。
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数． 归纳总结问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1．命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。
判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2．命题的结构：“若p ，则q ”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
3．四种命题：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ； 等价说法：如果p ，那么q ；只要p ，就有q 逆命题： 交换原命题的条件和结论 否命题： 同时否定原命题的条件和结论逆否命题： 交换原命题的条件和结论，同时进行否定 4．四种命题之间的关系由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ；（要证明某命题，证其逆否命题） （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 。
5．反证法：原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困 难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。
用反证法证明的步骤如下：（1）假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从结论反面成立出发，经过推理论证得出矛盾（与题目所给条件或公理定理等）； （3）由矛盾判定假设不正确，即结论成立。
特别注意：①否命题与命题的否定是不相同的，若p 表示命题，“非p ”叫做命题的否定。
如果原命题是“若p 则q ”，否命题是“若¬p ，则¬q ”，而命题的否定是“p 则¬q ”，即只否定结论。
②反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。
③常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）： 正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）有是都是全是否定词语 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 无 不是 不都是 不全是 正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的 至多有n 个或否定词语某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些至少有1+n 且互 否 为 逆 为 逆 互否互 否互 否互 逆原命题 若p 则q互 逆 逆命题 若q 则p逆否命题 若¬q 则¬p逆否命题 若¬q 则¬p个例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。
常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。
其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。
2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。
（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。
3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件 （1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。
（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。
（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。
【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。
5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。
（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。
6.量词与命题量词名称 常见量词表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命 题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题 命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。
逆否命题原命题为：若a，则b。
逆否命题为：若非b,则非a如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。
命题的否定只否结论。
一个命题为原命题,则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．名称定义命题：可以判断真假的语句叫做命题。
原命题为：若a，则b逆命题为:若b,则a否命题为：若非a，则非b逆否命题为:若非b，则非a互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。
命题的否定只否结论。
性质一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题,如果逆命题成立，否命题成立．逻辑学认为命题与逆否命题是等价的,也就是命题真,则逆否命题也真。
命题同它的逆否命题等价是作为公理存在的，你既不能证明它正确也不能证明它错误.其实这个东西可以认为是公理.它和公理“排中律”是等价的。
我们数学的体系就是建立在这些公理之上.2逆否命题的滥用现实生活中存在许多对逆否逻辑的滥用,使用时须注意以下几点：1、逆否命题、逆命题、否命题概念适用的前提是原命题为复合命题，而非简单命题。
复合命题是由简单命题通过逻辑连接词互相连接而组成的。
简单命题难以区分前提和结论，其真假只能通过生活经验和客观事实加以判断。
例如：“我爱你”。
这个句子不能算作命题.因为是否“爱"的真假没有一个明确的判断标准。
如果“我爱你”是命题，那么它是一个简单命题。
我们可以把它等价转换为“若p,则q"的形式.再谈论其逆否命题。
（”我爱你“不具有排他性)等价转换为：若我存在，则至少存在一个爱你的人（或”若我存在，则存在我爱你“）。
逆否命题为:若不存在一个爱你的人,则我不存在（如果所有人都不爱你了，那么我也不存在了)。
常用逻辑用语知识点一：命题1. 定义： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.2. 逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）.（3）复合命题的真假判断① “p 或q ”为有真为真，无真即假② “p 且q ”为同真为真，有假即假③“非p ”与p 的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。
可以类比于集合中“或”.（2）“或”“且”命题的否定形式：“p 或q ”的否定是“p 且q ”； “p 且q ” 的否定是“p 或q ”.知识点二：四种命题1. 四种命题形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p 否命题：若p 则q ； 逆否命题：若q 则p.2. 四种命题的关系①原命题逆否命题. ②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”。
知识点三：充分条件与必要条件1. 定义： 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 必要条件；2. 理解认知：（1）在判断条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）建立与p 、q 相应的集合，即(){:p A x p x =成立}，(){:q B x q x =成立}．若A B ⊆，则p 是q 的充分条件， 若A B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；若B A ⊆，则p 是q 的必要条件， 若B A ，则p 是q 成立的必要不充分条件； 若A B =，则p 是q 成立的充要条件；若A ⊆/B 且B ⊇/A ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词：全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
常用逻辑用语（讲义）知识点睛一、命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫做真命题，______的语句叫做假命题．2.命题及其关系（1）四种命题原命题：若p，则q（命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论）逆命题：_________________；否命题：_________________；逆否命题：_______________．（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______．3.充分条件与必要条件（1）相关概念（2）集合与充要条件二、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题中的“______(∧)”“______(∨)”“______(⌝)”叫做逻辑联结词．2.简单复合命题的真假关系3.全称量词与存在量词（1）全称量词：所有、一切、任意、全部、每一个等．符号：∀存在量词：存在一个、至少一个、有些、某些等．符号：∃（2）全称命题与特称命题1．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）两条异面直线没有公共点；（2）四边相等的四边形是正方形．2．命题“若x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是（ ）A ．若x 2+y 2=0，则x ，y 中至少有一个不为0B ．若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0C ．若x 2+y 2≠0，则x ，y 都不为0D ．若x 2+y 2=0，则x ，y 都不为03．命题“若π4α=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）A ．若π4α≠，则tan 1α≠B ．若π4α=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则π4α≠D ．若tan 1α≠，则π4α=4．下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题B ．命题“若x >y ，则x >|y|”的逆命题C ．命题“若x =1，则x 2+x -2=0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题5．已知集合A ={1，a }，B ={1，2，3}，则“a=3”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设R ∈ϕ，则“0ϕ=”是“()cos(+)()f x x x R =∈ϕ为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在p ⌝，p q ∧，p q ∨形式的命题中，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真，那么p ，q 的真假为（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假8．已知命题p ：“x >2是x 2>4的充要条件”，命题q ：“若22a bc c >，则a b >”，则（ ） A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假9．下列命题中是假命题是（ ）A ．1 20x x R -∀∈>，B ．*2 (1)0x x N ∀∈->，C ． lg 1x x ∃∈<R ，D ． tan 2x x ∃∈=R ，10．命题“300x x R Q Q ∃∈∈，”的否定是（ ） A ．300x x R Q Q ∃∉∈， B ．300x x R Q Q ∃∈∉， C ．3x x ∀∉∈R Q Q ，D ．3x x ∀∈∉R Q Q ，11．已知命题p ：122121[()()]()0x x f x f x x x ∀∈--R ，，≥， 则p ⌝是（ ）A ．122121[()()]()0x x f x f x x x ∃∈--R ，，≤ B ．122121[()()]()0x x f x f x x x ∀∈--R ，，≤ C ．122121 [()()]()0x x f x f x x x ∃∈--<R ，，D ．122121 [()()]()0x x f x f x x x ∀∈--<R ，，12．已知命题p ： sin 2R x x ∃∈=，； 命题q ：x R ∀∈，都有x 2+x +1>0．给出下列结论：①命题p q ∧是真命题；②命题p q ∨⌝是假命题；③命题p q ⌝∧是真命题；④命题p q ⌝∨⌝是假命题， 其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③13．给出下列三个结论：（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题p q ∧为真命题； （2）命题“若xy =0，则x =0或y =0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”；（3）命题“0R x ∃∈，020x >”的否定为“ 20≤x x R ∀∈，”， 则结论正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．014．设命题p ：2(43)1≤x -；命题q ：2(21)(1)0≤x a x a a -+++，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】精讲精练一、1．判断真假判断为真判断为假2．（1）若q，则p若⌝p，则⌝q若⌝q，则⌝p （2）否命题逆命题逆否命题（3）相同没有关系3．（1）充分必要充分不必要必要不充分充分必要（充要）既不充分也不必要（2）真子集真子集A=B包含二、1．且或非2．真真假假真假假真真假假真精讲精练1．略2．B 3．C 4．B 5．A6．A 7．B8．A 9．B 10．D 11．C 12．B13．C 14．1 02a≤≤。
常用逻辑用语知识点归纳1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）小结：原命题与其逆否命题同真、同假。
（b ）否命题与逆命题同真、同假。
2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。
同时q 是p 的必要条件。
若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。
（2）判断方法：（i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，①若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。
（同时q 是p 的必要条件）②若A B 则p 是q 的充分非必要条件。
③若B ⊆A 则p 是q 的必要条件④若B A 则p 是q 的必要非充分条件⑤若A=B ，则p 与q 互为充要条件。
（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。
当原命题为真时，p 是q 的充分条件。
当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。
小结：注意充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。
3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
（2）全称量词与存在量词的否定。
关键词否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是 不都是 至少一个 一个都没有 至多一个 至少两个 属于 不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。
（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。
（2）复合命题的真假判断：pq 非p p 或q p 且q 真真 假 真 真 真假 假 真 假 假真 真 真 假 假 假 真 假 假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。
常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。
在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。
下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。
一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。
它表示的是一种条件关系。
2. 假言命题的充分条件和必要条件。
充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。
3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。
4. 示例：如果下雨，地面就会湿。
这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。
5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。
二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。
它表示的是多个条件同时成立的关系。
2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。
3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。
这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。
4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。
三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。
它表示的是两个条件相互排斥的关系。
2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。
3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。
这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。
4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。
四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。
2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。
3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。
这就是一个复言命题，由假言命题构成。
5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。
有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题,大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”,这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。
一、关于命题概念:新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。
正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题.例如“12〉5”“3是12的约数”是真命题,“0.5是整数”是假命题；“x 〉5”不是命题.那么对“x 〉5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢?这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。
（教参上称为开语句)，如“x >5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。
而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。
逻辑表达式的真假由题设条件决定。
如当x=6时，x 〉5为真,当x=2时，x >5为假.问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项,量词和判断词四部分构成.例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数"，量词是“所有",判断词是“都是”。
问题3:命题是怎样分类的？根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题.单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。
如“3是正数”就是单称命题。
全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何",“都"等，也常被省略。
如“整数是有理数"的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数"。
特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的"，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。
如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。
根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。
性质命题的判断词常用“是”，“不是”;用来判断主项是否符合某项性质。
例如“3是正数”就是性质命题。
关系命题的判断词常用“有"，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在"，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
（1）矩形莫非不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断⇒/.1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q ¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。
