中档题型训练(一) 数与式的运算与求值

【典例分析】
例1．（2024·安徽模拟） 合肥三模 化简： ．
例2．（2023·江苏模拟）计算：
【变式演练】
1.（2024·四川模拟）计算：
2.（2023·辽宁模拟）计算： ．
题型
【解题策略】
一、二次根式的性质
（1）( )2＝a(a≥0)．
（2） ＝ ＝
（3） ＝ · (a≥0，b≥0)．
（4） (a≥0，b>0)．
减法
减去一个效等于加上这个数的相反数
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负
n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数都得0
例1．（2023·北京）计算： ．
例2．（2023·湖南）计算： ．
【变式演练】
1.（2024·陕西模拟）计算：
2.（2024·湖南模拟）计算：
题型
【解题策略】
代数式的概念及求值
1．代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．
分式乘除
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即 · ＝ .分式除以分
式，把除式的分子、分母 颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ ＝ · ＝
分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有 括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
乘方
几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆运算

精 品 试 卷滚动小专题(一) 数与式的计算求值题类型1 实数的运算1．计算：(1)－(－1)－38＋(π－3.14)0；解：原式＝1－2＋1＝0.(2)4sin 60°－(12)－1－12； 解：原式＝4×32－2－2 3 ＝23－2－2 3＝－2.(3)|－4|－2cos 60°＋(3－2)0－(－3)2；解：原式＝4－2×12＋1－9 ＝－5.(4)|－3|＋(－1)4－2tan 45°－(π－1)0；解：原式＝3＋1－2－1＝1.(5)2sin 30°＋(π－3.14)0＋|1－2|＋(－1)2 019； 解：原式＝1＋1＋(2－1)－1＝ 2.(6)－12－|3－10|＋25sin 45°－( 2 019－1)2.解：原式＝－1－(10－3)＋25×22－(2 019－2 2 019＋1) ＝－1－10＋3＋10－2 019＋2 2 019－1＝－2 018＋2 2 019.类型2 整式的运算2．计算：x(x －2y)－(x ＋y)2.解：原式＝－4xy －y 2.精 品 试 卷3．先化简，再求值：(1)(2＋x)(2－x)＋(x －1)(x ＋5)，其中x ＝32；解：原式＝4－x 2＋x 2＋4x －5＝4x －1.当x ＝32时，原式＝4×32－1＝5.(2)(m －n)2－m(m －2n)，其中m ＝3，n ＝ 2.解：原式＝m 2－2mn ＋n 2－m 2＋2mn＝n 2.当n ＝2时，原式＝2.类型3分式的运算 4．化简：(a2b －a)÷a 2－b2b .解：原式＝a （a －b ）b ·b（a －b ）（a ＋b ）＝aa ＋b .5．先化简，再求值：(1)(1－1x ＋1)·2x ，其中x ＝2 019；解：原式＝x ＋1－1x ＋1·2x＝2x ＋1.当x ＝2 019时，原式＝22 019＋1＝22 020＝11 010.(2)1a ＋1－a ＋1a 2－2a ＋1÷a ＋1a －1，其中a ＝2；解：原式＝1a ＋1－（a ＋1）（a －1）2·a －1a ＋1＝1a ＋1－1a －1＝a －1－（a ＋1）a 2－1＝－2a 2－1. 当a ＝2时，原式＝－22－1＝－2.(3)(x －2xy －y 2x )÷x 2－y 2x 2＋xy，其中x ＝2，y ＝2－1； 解：原式＝x 2－2xy ＋y 2x ·x （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝（x －y ）2x ·x （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝x －y. 当x ＝2，y ＝2－1时，原式＝2－(2－1)＝1.(4)(2a －1－2a ＋1a 2－1)÷1a －1，其中a ＝2sin 60°－tan 45°. 解：原式＝2（a ＋1）－2a －1（a ＋1）（a －1）·(a－1) ＝1a ＋1. 当a ＝2sin 60°－tan 45°＝2×32－1＝3－1时， 原式＝13－1＋1＝33.6．已知|a ＋1|＋(b －3)2＝0，求代数式(1b －1a )÷a 2－2ab ＋b 22ab 的值． 解：∵|a＋1|＋(b －3)2＝0，∴a＋1＝0，b －3＝0，即a ＝－1，b ＝3.则原式＝a －b ab ÷（a －b ）22ab＝a －b ab ·2ab （a －b ）2 ＝2a －b ＝2－1－3 ＝－12.7．已知a ＝b ＋2 019，求代数式2a －b ·a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2÷1a 2－b 2的值． 解：原式＝2a －b ·（a ＋b ）（a －b ）（a ＋b ）2·(a＋b)(a －b) ＝2(a －b)．∵a＝b ＋2 019，∴a－b ＝2 019.∴原式＝2×2 019＝4 038.8．先化简：x 2－2x ＋1x 2－1÷(x －1x ＋1－x ＋1)，然后从－5<x<5的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．解：原式＝x 2－2x ＋1x 2－1÷[x －1x ＋1－(x －1)] ＝（x －1）2（x －1）（x ＋1）÷x －1－（x －1）（x ＋1）x ＋1＝x －1x ＋1÷x －1－（x 2－1）x ＋1＝x －1x ＋1÷x －x 2x ＋1＝x －1x ＋1·x ＋1x （1－x ） ＝－1x. ∵满足－5<x<5的整数有－2，－1，0，1，2. 又∵x＝±1或x ＝0时，分母值为0，∴x 只能取－2或2.当x ＝－2时，原式＝12； 当x ＝2时，原式＝－12.。

数与式的计算求值题本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，在中考中往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题.复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式的化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值时，还应注意整体思想和各种解题技巧.类型1 实数的运算1.(2014·汕尾)计算：(2+π)0-2|1-sin30°|+(12)-1.2.(2014·重庆B卷)计算：(-3)2+|-2|-2 0140-9+(12)-1.3.(2014·广安)计算：16+(-12)-1+(3-5)0-3cos30°.4.(2014·达州)计算：2-1+(π-2)0+12-(-1)2 014.5.(2014·成都)计算：9-4sin30°+(2 014-π)0-22.6.(2014·自贡)计算：(3.14-π)0+(-12)-2+|1-8|-4cos45°.7.(2014·巴中)计算：|-3|+2sin45°+tan60°-(-13)-1-12+(π-3)0.类型2 整式的运算1.(2014·温州)化简：(a+1)2+2(1-a).2.(2014·漳州)先化简，再求值：(x+1)(x-1)-x(x-1),其中x=12.3.(2013·衡阳)先化简，再求值：(1+a)(1-a)+a(a-2)，其中a=12.4.(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b)，其中a=1，b=-12.5.(2014·广州)已知多项式A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3.(1)化简多项式A ；(2)若(x+1)2=6，求A 的值.类型3 分式的运算1.(2014·咸宁)化简：222aa b --1a b +.2.(2014·滨州)计算：211x x -+·2221x xx x --+.3.(2014·宜宾)化简：(33aa --3aa +)·29a a -.4.(2014·莱芜)先化简，再求值：(a+1-451a a --)÷(11a --22a a -)，其中a ＝-1.5.(2014·德州)先化简，再求值：2a b a b -+÷222244a b a ab b -++-1,其中a ＝2sin60°-tan45°，b ＝1.6.(2013·江西)先化简，再求值：2442x xx-+÷222x xx-+1,在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值.7.(2014·重庆A卷)先化简，再求值：1x÷(221xx x+--21x-)+11x+，其中x的值为方程2x=5x-1的解.8.(2013·重庆)先化简，再求值：(2xx+-12xx--)÷2444xx x--+，其中x是不等式3x+7>1的负整数解.参考答案类型1 实数的运算1.原式=1-2×(1-12)+2=1-2×12+2=1-2×12+2=2.2.原式＝9+2-1-3+2＝9.3.原式＝332＝3-32＝32.4.原式=123123.5.原式＝3-4×12+1-4＝3-2+1-4＝-2.6.原式2×22=4.7.原式322233333类型2 整式的运算1.原式=a2+2a+1+2-2a=a2+3.2.原式=x2-1-(x2-x)=x2-1-x2+x=x-1.当x=12时，原式=12-1=-12.3.原式=1-a2+a2-2a=1-2a.当a=12时，原式=1-2×12=0. 4.原式＝a 2-3ab+a 2+2ab+b 2-a 2+ab ＝a 2+b 2. 当a=1，b=-12时，原式＝12+(-12)2＝54.5.(1)A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3=x 2+4x+4+2-2x+x-x 2-3=3x+3. (2)(x+1)2=6,则x+1=±6,∴A=3x+3=3(x+1)=±36.类型3 分式的运算1.原式=()()2a a b a b +-- ()()a b a b a b -+-=()()a ba b a b ++-=1a b -.2.原式=()()111x x x -++·()()211x x x --=x.3.原式=［()()()3333a a a a ++-- ()()()333a a a a -+-］·29a a - =()()()()33333a a a a a a +--+-·29a a -=()()2239333a a a a a a +-++-·29a a -=()()221233a aa a ++-·29a a -=2a+12.4.原式=21451a a a --+-÷()21a a a --=(a-2)2a-1·a(a-1)a-2=a 2-2a.当a=-1时，原式=(-1)2-2×(-1)=3.5.原式=2a ba b -+÷()()()22a b a b a b +-+-1=2a b a b -+×()()()22a b a b a b ++--1=2a ba b ++-1=ba b +.当a ＝2sin60°-tan45°3-1，b ＝1()311-+336.原式=()222x x -·()22x x x -+1=22x -+1=2x.当x=1时，原式=12.7.原式=1x ÷［()211x x x +--21x -］+11x + =1x ÷()2121x xx x +--+11x + =1x ·()()211x x x --+11x +=11x -+11x +=()()111x x x ++-+ ()()111x x x -+-=221xx -.解方程2x=5x-1，得x=13.当x=13时，原式=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=-34.8.原式=()()()()2212x x x x x x -+---·2444x x x -+- =()2242x x x x x --+-·()224x x --=()42x x x --·()224x x -- =2x x -.由3x+7>1,解得x>-2. 又∵x 为负整数，∴x=-1. 当x=-1时，原式=121---=3.。

滚动小专题（一）数与式的计算求值题类型1 实数的运算 类型2 整式的运算 类型3 分式的运算类型1 实数的运算 （2018广安）（2018徐州）（2018资阳）（2018铜仁）（2018云南）（2018曲靖）（2018毕节）21.(本题8分)计算:()31330tan 3123101-+--︒+-⎪⎭⎫⎝⎛--π（2018东营）计算：12018o 0)21()1(3tan30)12(32---+-++-. 解：原式=2-1333-13-2+⨯+ =32-2. （2018通辽）（2018沈阳）（2018桂林）19.（本题满分6分）计算：10)21(45cos 6318-+︒--+）（.（2018陕西）计算：(－3)×(－6)＋|2－1|＋(5－2π)0解：原式＝32＋2－1＋1＝4 2.（2018齐齐哈尔）（2018乌鲁木齐）（2018张家界）15.()13-＋()21--－︒60sin 4＋12.解：原式= 3223211+⨯-+ ……………………4分 =2 ……………………5分（说明：第一步计算每对一项得1分） （2018怀化）（2018海南）（2018遵义）（2018大庆）（2018广西六市同城）（2018遂宁）计算：.（2018十堰）17.计算：12--+（2018深圳）17．计算：()1012sin 4520182π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭（2018玉林）（2018北京）（2018安顺）19.计算：()22018112tan 60 3.142π-⎛⎫-+︒--+ ⎪⎝⎭.解：原式12144=-++=.（2018淮安）计算：02sin 45(1)π︒+--. 解：1.（2018黄石）17、（本小题7分）计算：()22cos602ππ-+-+︒（2018新疆建设兵团）（2018郴州）17. 计算()2018112sin 4521--+--.（2018呼和浩特）（2018黔东南、黔南、黔西南）21.（1）计算：(10122cos6020186-⎛⎫--︒+- ⎪⎝⎭.（2018兰州）（2018凉山州）（2018菏泽）15.计算：220181122sin 602-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭.（2018孝感）17.计算2(3)44cos30-+-.解：原式9442=++⨯13=+13=.（2018咸宁）计算：2-38-123+.（2018盐城）17.计算：011()2π--（2018德阳）（2018邵阳）19．计算：(－1)2＋( π －3.14)0－|2－2|． 解：(－1 )2＋(π－3.14 )0－|2－2|＝1＋1－(2－2)………………………………………………………………………5分＝2－2＋2 ……………………………………………………………………7分＝2． …………………………………………………………………………8分（2018南通）19.（111220133tan 303-⎛⎫+--+︒ ⎪⎝⎭.（2018泰州）17.(1)计算：212cos3022π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭°（2018宿迁）20. 计算：200(2)(2sin 60π---+.（2018株洲）19、计算：10323tan 452--+-. 解：原式=132123⨯-+ =2-3 =-1（2018扬州）19.计算或化简.（1）11()2tan 602-+.解：（1）原式43322=--+= .（2018永州）19. 计算：12601-+.（2018苏州）（2018湘西）（2018湘潭）17．（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣．解：原式=5+1﹣3﹣2=1．（2018温州）（2018台州）17.计算：2(1)(3)--⨯-.（20180111)2sin 45()4--︒-（2018绍兴）17.（1）计算：0112tan 60122)()3--+.解：原式132=+=.（2018连云港）计算：20(2)2018-+（2018无锡）（2018长沙）（2018湖州）（2018达州）17．计算：02201860sin 4|122|)21()1(+---+--.（2018岳阳）17.计算：2(1)2sin 45(2018)π--+-+. （2018娄底）（2018常德）17.计算：021)|1()2π---.解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2．（2018嘉兴、舟山）（1）计算:0)13(3)18(2---+-.（2018安徽）15.计算:28)2(50⨯+-- 解：原式=1+2+4=7.（2018宜宾）17. (1)计算： sin30°+(2018-3)0-2–1+|-4|.解：原式=+1﹣+4=5.（2018眉山）19．(本小题满分6分）计算：（π-2)°+4cos30°－12－（－21）－2.解：1442=+⨯-原式 3=-（2018泸州）17.计算：011()|4|2π-+--. （2018衢州）17．计算：()03221π---（2018金华、丽水）17．(本题6分)0(2018)-－4sin45°＋2-． 解：（2018自贡）19.（本题满分8分）计算：112cos 452-⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（2018枣庄）19．计算：2202)211(2760sin |23|-+---+-.解：原式=2﹣+﹣3﹣+=﹣．（2018甘肃）（2018内江）17.()0221( 3.14().2π-+---⨯解：原式=2﹣+12﹣1×4=+8．（2018绵阳）19.（1）计算：343-260sin 34-2731++︒.解：原式= × 3 - × +2- + ，= - +2- + ，=2.（2018南充）17.111sin 4522-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2018成都）类型2 整式的运算 （2018温州）（2018海南）计算：（2018乌鲁木齐）（2018宜昌）16.先化简，再求值：()()()122x x x x +++-，其中4x =. 解：原式224x x x =++-4x =+当4x =时，原式44+=（2018济宁）（2018咸宁）化简：()()().123---+a a a a（2018襄阳）17.先化简，再求值：(x +y )(x －y )+y (x +2y )－(x －y )2，其中x y =2（2018巴中）24. 20y +=，求代数式2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦的值.（2018扬州）19.计算或化简. （2）2(23)(23)(23)x x x +-+-.解：原式81294129422+=+-++=x x x x（2018淄博）18.先化简，再求值：()()2212a a b a a +-++，其中1,1a b =.（2018江西）13.（1）计算：2(1)(1)(2)a a a +---. 原式 ===（2018河北）20. 嘉淇准备完成题目：化简：(2268)(652)x x x x ++-++发现系数“”印刷不清楚.（1）他把“”猜成3，请你化简：22(368)(652)x x x x ++-++；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几？（2018邵阳）先化简，再求值：( a －2b )( a ＋2b )－(a －2b )2＋8b 2，其中a ＝－2，b ＝12．解：( a －2b )( a ＋2b )－(a －2b )2＋8b 2＝a 2－(2b )2－(a 2－4ab ＋4b 2)＋8b 2 ＝a 2－4b 2－a 2＋4ab －4b 2＋8b 2＝4a b ． ……………………………………………………………………………6分 将a ＝－2，b ＝12 代入得：原式＝4×(－2)×12＝－4． (8)（2018无锡）（2018长沙）（2018大庆）（2018衡阳）先化简，再求值：(2)(2)(1)x x x x +-+-，其中1x =-.（2018吉林）（2018宁波）19.先化简，再求值：2(1)(3)x x x -+-，其中12x =-. 解：原式=x 2﹣2x+1+3x ﹣x 2=x+1， 当x=﹣时，原式=﹣+1=．（2018重庆A 卷）21.计算： （1）()()()b a b a b a a -+-+2 【答案】 22b ab +【解析】 解： 原式=()2222b a ab a --+ =22b ab +（2018重庆B 卷）21.计算: ()()()()21 2x y x y x y +-+-类型3 分式的运算（2018深圳）18．先化简，再求值：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中，2x = 解：原式21(1)(1)11(1)1x x x x x x x -++-=⋅=-++ 把2x =代入得：原式13=.（2018河南）16.（8分）先化简，再求值：)÷，其中x =.（2018通辽）（2018眉山）20．(本小题满分6分）先化简，再求值：（x 1-x －1x 2-x +）÷12x x x -2x 22++，其中x 满足x 2－2x －2=0.解：2(1)(1)(2)(1)=(1)(21)x x x x x x x x x +---++-原式221(1)=(1)(21)x x x x x x -++-21=x x +2220x x --=（2018临沂）20.计算：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭. （2018陕西）化简：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1－a a ＋1÷3a ＋1a 2＋a 解：原式＝3a ＋1(a ＋1)(a －1)×a (a ＋1)3a ＋1＝aa －1（2018盐城）19.先化简，再求值：21(1)11x x x -÷+-，其中1x =.（2018荆州）先化简，后求值:2211121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1a =. （2018湘潭）18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．解：（1+）÷=×=x+2．当x=3时，原式=3+2=5．（2018昆明）（2018聊城）18.先化简，再求值：211()122a a a a a a a a --÷-+++，其中12a =-.（2018达州）18.化简代数式：1)113(2-÷+--x x x x x x ，再从不等式组⎩⎨⎧+>+≥--131061)1(2x x x x 的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值. （2018福建）（2018白银）19.计算：22(1)b a a b a b÷---. 解：原式=()()b a a b a b a b a b -+÷+-- 2分=()()b a b a b +-﹒a bb- 3分1a b=+． 4分 （2018曲靖）（2018广州）19.已知()()229633a T a a a a -=+++.（1）化简T ；（2）若正方形ABCD 的边长为a ，且它的面积为9，求T 的值.（2018烟台）（2018淮安）18.先化简，再求值：212(1)11a a a -÷+-，其中a ＝﹣3． 解：化简结果为12a -，计算结果为﹣2． （2018青岛）化简：22121x xx x ⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭.（2018宜宾）17. (2)化简：（1-2x –1）÷x –3x –1. 解：原式=•=x+1．（2018哈尔滨）（2018常德）19.先化简，再求值：22161()3969x x x x +++--+，其中12x =. 解：原式=[+]×（x ﹣3）2=×（x ﹣3）2=x ﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣．（2018徐州）计算：（2018娄底）20.先化简，再求值: 2211()1121xx x x x +?+-++，其中x =（2018十堰）18.化简：222111121a a a a a a --÷-+++.（2018泰安）2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m .（2018长春）（2018重庆A 卷）21.计算：（2）3442322-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+x x x x x x 【答案】22-+x x 【解析】 解： 原式=()()44333222+--⋅--+++x x x x x x x=()()()223322--⋅--+x x x x x=22-+x x（2018黔东南、黔南、黔西南）（2）先化简2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，再在1、2、3中选取一个适当的数代入求值. （2018恩施）17.先化简，再求值：2213212111x x x x x +⎛⎫⋅+÷⎪++--⎝⎭，其中1x =.（2018重庆B 卷）21.计算:()2418162 111a a a a a a --+⎛⎫--÷⎪++⎝⎭（2018成都）（2018株洲）20、(本题满分6分)先化简，再求值：22211(1)1x x x y x y++--+其中2,x y =解：原式=()yx x x yx 2211-+⋅+ =yx y x x 22-+=yx =2.（2018山西）（2018滨州）21. 先化简，再求值：()22222222x x yxy x y x xy y x y +⨯÷++-,其中101,2s i n 4582x y π-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 解：原式=xy （x+y ）••=x ﹣y ，当x=1﹣2=﹣1，y=﹣2=﹣时，原式=﹣1．（2018毕节）22.(本题8分)先化简,再求值:44214222++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a a a a 其中a 是方程062=-+a a 的解。