考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(三)一次函数和反比例函数结合试题

函数的综合问题（一次函数+反比例函数）一、以一次函数为背景的综合问题例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图.在平面直角坐标系中.点O 为坐标原点.直线y ＝﹣34x +3分别交x 轴.y 轴于点A .B ．∠OBA 的外角平分线交x 轴于点D ． （1）求点D 的坐标.（2）点P 是线段BD 上的一点（不与B .D 重合）.过点P 作PC ∠BD 交x 轴于点C ．设点P 的横坐标为t .∠BCD 的面积为S .求S 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）.（3）在（2）的条件下.PC 的延长线交y 轴于点E .BC 的延长线交DE 于点F .连AP .若sin∠BAP 10求线段OF 的长．【答案】（1）(6,0)-.（2）154584S t =+.（332 【解析】【分析】 （1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题.（2）求面积先求底和高.利用三角形相似二次求解.（3）先根据BAP ∠的正弦值求出点P 的位置.再根据题目的顺序求出点F 的坐标.最后求OF 的长度．【详解】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H .则：DH DO =.BH BO =.当0x =时.3y =.当0y =时.4x =.(4,0)A ∴.(0,3)B -.4∴=OA .3BO BH ==.2222435AB OA OB ∴++=.4AD DO OA DH =+=+.1122ABD S AD OB AB DH ∆=⋅⋅=⋅⋅. ∴11(4)3522DH DH ⋅+⋅=⋅⋅.解得：6DH =.6OD ∴=.∴点D 的坐标为(6,0)-．（2）过点P 作PE OD ⊥于点E .则：DPE DBO ∆∆∽.点P 在直线BD 上.且点P 的横坐标为t .6DE t ∴=+.6OD =.3OB =.22226335BD OD OB ∴=++DPE DBO ∆∆∽. ∴DP DE DB OB =. 6635t +=. 解得：56)DP t +. PC BD ⊥. PDC ODB ∴∆∆∽. ∴PC DP OB OD=. ∴56)236t PC +=. 56)PC t ∴=+. 11515356)228S BD PC t t ∴=⋅⋅=⋅+=． （3）过点P 作PM AB ⊥于点M .作PN OB ⊥于点N .则：PM PN =.BM BN =.设直线BD 的解析式为：(0)y kx b k =+≠.把(6,0)D -.(0,3)B 代入y kx b =+.得：360b k b =⎧⎨-+=⎩.解得：0.53k b =⎧⎨=⎩． 点P 在直线BD 上.且点P 的横坐标为t .(,0.53)P t t ∴+.PM t ∴=-.3(0.53)0.5BM t t =-+=-.0.55AM MB AB t ∴=+=-+.10sin MP BAP AP ∠=. ∴10t AP -=. 10AP t ∴=-.222AM PM AP +=.22()2(0.55)(10t t t ∴-+-+=-.解得：12t =-.2107t =（舍).(2,2)P ∴-. PE BD ⊥.PD ∴所在直线的k 为2-.设:2PE y x a =-+.把点(2,2)P -代入.得：2(2)2a -⨯-+=.2a ∴=-.:22PE y x ∴=--.当0x =时.2y =-.0y =时.1x =-.(1,0)C ∴-.(0,2)E -.设:(0)DE y mx n m =+≠.把点(6,0)D -.(0,2)E -代入.得：602m n n -+=⎧⎨=-⎩.解得：132m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 1:23DE y x ∴=--①. 设:(0)BC y bx c b =+≠.把(0,3)B .(1,0)C -代入.得：30c b c =⎧⎨-+=⎩.解得：33b c =⎧⎨=⎩. :33BC y x ∴=+②.联立①②.解得：3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 223332()()22OF ∴-+-【点睛】本题是一个综合应用题.考查了学生对角平分线的性质定理、三角形相似的性质与判定、一次函数的应用、解直角三角形等知识点的掌握情况.解题的时利用相关知识求出关键线段和点是解题的关键．练习题1．（2021·吉林双阳·二模）如图.在平面直角坐标系中.两条直线分别为y ＝2x .y ＝kx .且点A 在直线y ＝2x 上.点B 在直线y ＝kx 上.AB ∠x 轴.AD ∠x 轴.BC ∠x 轴垂足分别为D 和C .若四边形ABCD 为正方形时.则k ＝（ ）A ．14B ．12C ．23 D ．2【答案】C【解析】【分析】设(),2A x x .根据正方形的性质可得()3,2B x x .将()3,2B x x 代入y kx =中.即可求出k 的值．【详解】解： 设(),2A x x∠四边形ABCD 为正方形∠,AD BC AB CD ==()3,2B x x ∴将()3,2B x x 代入y kx =中23x kx = 解得23k =故选：C ．【点睛】此题考查了一次函数的几何问题.解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、正方形的性质．2．（2021·山东槐荫·二模）如图.点B .C 分别在直线y ＝2x 和直线y ＝kx 上.A 、D 是x 轴上两点.若四边形ABCD 是长方形.且AB ：AD ＝1：3.则k 的值是（ ）A ．23B ．25C ．27D ．29【答案】C【解析】【分析】 设点B 的坐标为（m .2m ）.结合矩形的性质可得出OA .AB .CD 的长.由AB ：AD ＝1：3可得出AD 的长.结合OD ＝OA +AD 可求出OD 的长.进而可得出点C 的坐标.再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k 值．【详解】解：设点B 的坐标为（m .2m ）.CD ＝AB ＝2m .OA=m∠AB ：AD ＝1：3.∠AD ＝3AB ＝6m .∠OD ＝OA +AD ＝7m .∠点C 的坐标为（7m .2m ）．∠点C 在直线y ＝kx 上.∠2m ＝7km . ∠2k 7=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式.用字母表示出点C 的坐标是解题的关键. 3．（2021·山东广饶·二模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.菱形OABC 满足点O 在原点.点A 坐标为（2.0）.∠AOC ＝60°.直线y ＝﹣3x ＋b 与菱形OABC 有交点.则b 的取值范围是___．【答案】093b ≤≤039b ≤≤【解析】【分析】作CM ∠OA 于点M .BN ∠OA 于点N .求出B 的坐标.然后代入一次函数解析式中.求出b 的最大值.再将原点代入一次函数解析式中求出b 的最小值即可．【详解】解：作CM ∠OA 于点M .BN ∠OA 于点N .∠∠AOC =60°.∠CMO =90°.∠OM ＝12OC .∠在菱形OABC 中.A （2.0）.∠OC =OA =2=CB .∠OM =1.∠CM 2222213OC OM --＝＝.∠C 3∠B 的横坐标为3.∠OA ∠CB .∠BN =CM 3∠B 3即B 3当y =-3x +b 过O （0.0）时.b 最小.最小值为0.当y =-3x +b 过B 3时.b 最大.把B 3代入y =-3x +b .解得：b 3∠b 的取值范围为：0⩽b 3故答案为：0⩽b 3．【点睛】本题考查了菱形的性质和待定系数法.关键是求出点B 的坐标.4．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图.直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x .y 轴交于A .B 两点.点A 的坐标为（3.0）.过点B 的直线交x 轴负半轴于点C .且31OB OC =：：.在x 轴上方存在点D .使以点A .B .D 为顶点的三角形与△ABC 全等.则点D 的坐标为_____．【答案】（4.3）或（3.4）【解析】【分析】求出B C 、的坐标.分BD 平行x 轴.BD 不平行x 轴两种情况.求解计算即可．【详解】解：将点A 的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b .解得：b ＝3∠直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +3.∠点B （0.3）∠OB ：OC =3：1∠OC ＝1.∠点C （﹣1.0）.①如图.当BD 平行x 轴时.以点A B D 、、为顶点的三角形与ABC 全等.则四边形BDAC 为平行四边形则BD ＝AC ＝1+3＝4.则点D （4.3）.②当BD 不平行x 轴时.则S △ABD ＝S △ABD ′.则点D 、D ′到AB 的距离相等.∠直线DD ′∠AB .设直线DD ′的表达式为：y ＝﹣x +n .将点D 的坐标代入y ＝﹣x +n 中解得：n ＝7.∠直线DD ′的表达式为：y ＝﹣x +7.设点D ′（m .7﹣m ）.∠A .B .D′为顶点的三角形与∠ABC 全等.则BD ′＝BC ()2221+373m m +--解得：m ＝3.故点D ′（3.4）.故答案为：（4.3）或（3.4）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.三角形全等.平行线的性质.勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．5．（2021·广东深圳·三模）定义：如图1.已知锐角∠AOB 内有定点P .过点P 任意作一条直线MN .分别交射线OA .OB 于点M .N ．若P 是线段MN 的中点时.则称直线MN 是∠AOB 的中点直线．如图2.射线OQ 的表达式为y ＝2x （x ＞0）.射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为∠α.P （3.1）.若MN 为∠α的中点直线.则直线MN 的表达式为__________________．【答案】y ＝﹣12x +52【解析】【分析】作MD ∠x 轴于D .PE ∠x 轴于E .则//PE MD .设M （m .2m ）.由题意得PE ＝m .由P （3.1）求得m ＝1.即可求得N （5.0）.然后根据待定系数法即可求得直线MN 的解析式．【详解】解：如图.作MD ∠x 轴于D .PE ∠x 轴于E .则//PE MD .∠P 为MN 的中点.//PE MD ∠1DE MP EN PN== ∠DN=EN .即E 为DN 中点.∠PE 是MDN △中位线∠PE ＝12MD .∠M 是射线OQ 上的点.∠设M （m .2m ）.∠MD ＝2m . ∠PE ＝12MD ＝m . ∠P （3.1）. ∠m =1,OE =3 ∠M （1.2）∠OD =1.则DE =OE -OD =2 ∠EN =DE =2 ∠ON =OE +EN =5 ∠N （5.0）.设直线MN 的解析式为y ＝kx +b .把P （3.1）.N （5.0）代入得3150k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∠直线MN 的解析式为y ＝﹣12x +52. 故答案为：y ＝﹣12x +52． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式.正比例函数图象上点的坐标特征.三角形中位线定理.求得N 的坐标是解题的关键．6．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.ABCO 的顶点A .B 的坐标分别是(6,0)A .(0,4)B ．直线l 经过坐标原点.并与AB 相交于点D ．(1)直接写出C 点的坐标______．(2)若DOA BOC ∠=∠.试确定点D 的坐标及直线l 的解析式．(3)在（2）的条件下.动点P 在直线l 上运动.以点P 为圆心.PB 的长为半径的P 随点P运动.当P 与ABCO 的边相切时.求出P 的半径． 【答案】(1)(6,4)- (2)D 点坐标为2436(,)1313.直线l 的解析式为32y x = (3)4213935-935+【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质和A 点坐标推出线段BC 长度.求解.（2）先证DOA △与BOC 相似.求出AD 长度.再由AHD 与BOC 相似.求出AH 、HD 长度.进而求出D 点坐标.代入直线l 的解析式即可.（3）分P 与BC 、OC 、OA 、AB 相切四种情况讨论.画出图形逐个求解． (1)解：四边形ABCD 是平行四边形.A 点坐标为(6,0)∴OA =BC =6B 点坐标为(0,4)∴C 点坐标为(6,4)-(2)如图1.过D 点作DH ⊥OA 于H 点C 点坐标为(6,4)-∴222246213OC OB BC ++四边形ABCD 是平行四边形∴A C ∠=∠DOA BOC ∠=∠∴DOA BOC △△ ∴AD OABC OC=.即6213AD =解得13AD =90CBO BOA ∠=∠=.90DHA ∠=.A C ∠=∠∴AHD CBO △△∴AH HD AD BC OB OC==.即1364213AH HD ==解得5413AH =.3613HD = ∴2413OH OA AH =-= ∴ D 点坐标为2436(,)1313设直线l 的解析式为y kx =.代入D 点坐标得36241313k = 解得32k∴直线l 的解析式为32y x =(3)由（2）知DOA BOC △△∴90ODA CBO ∠=∠=.即l AB ⊥ ∴OP AB ⊥又AB OC ∥OP OC ⊥设3(,)2P x x①当P 与BC 相切时.如图2动点P 在直线32y x =上 ∴P 与O 点重合.此时圆心P 到BC 的距离为OB ∴P 的半径是4.②当P 与OC 相切时.作PE y ⊥轴于E .如图3P 的半径是PB∴OP PB =.OPB △是等腰三角形 ∴EB OE =∴P 点的纵坐标为1422⨯=在32y x =中令2y =.解得43x = ∴P 点坐标为4(,2)3∴224213()23OP =+∴P 213③当P 与OA 相切时.作PF x ⊥轴于F .如图4P 的半径是PB∴PF PB = ∴2233(4)22x x x =-+解得625x =+625-代入到32y x =中 得P 点的坐标为(65,935)++或(625,935)--∴935PF =-935+∴P 的半径是935-935+④当P 与AB 相切时.如图5由直线l AB ⊥知.PD PB ≠.即不存在以PB 的长为半径的P 与OA 相切∴此种情况的P 不存在.综上所述.满足条件的P 的半径为4213935-935+【点睛】本题考查平行四边形性质、一次函数性质、相似三角形判定与性质、圆与直线相切等知识点.属于综合型题目.难度较大.熟悉掌握并运用基本知识点.分情况讨论圆与平行四边形相切是解题关键.考虑不全时容易出现漏解．7．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图.已知直线l 1：y ＝2833x +与直线l 2：y＝﹣2x +16相交于点C .l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上.顶点F 、G 都在x 轴上.且点G 与点B 重合．(1)求∠ABC 的面积.(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长.(3)若矩形DEFG 从原地出发.沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移.设移动时间为t （0≤t ≤12）秒.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分的面积为S.直接写出S 关于t 的函数关系式.并写出相应的t 的取值范围． 【答案】(1)36 (2)DE ＝4.EF ＝8(3)当0≤t ＜3时.S ＝−241644333t t ++.当3≤t ＜8时.S ＝−88033t +.当8≤t ≤12时.S ＝13t 2−8t ＋48【解析】 【分析】（1）把y ＝0代入l 1解析式求出x 的值便可求出点A 的坐标．令x ＝0代入l 2的解析式求出点B 的坐标．然后可求出AB 的长．联立方程组可求出交点C 的坐标.继而求出三角形ABC 的面积．（2）已知xD ＝xB ＝8易求D 点坐标．又已知yE ＝yD ＝8可求出E 点坐标．故可求出DE .EF 的长．（3）作CM ∠AB 于M .证明Rt ∠RGB ∠Rt ∠CMB 利用线段比求出RG ＝2t ．又知道S ＝S △ABC −S △BRG −S △AFH .根据三角形面积公式可求出S 关于t 的函数关系式． (1)解：由2833x +＝0.得x ＝−4．∠A 点坐标为（−4.0）. 由−2x ＋16＝0. 得x ＝8．∠B 点坐标为（8.0）. ∠AB ＝8−（−4）＝12.由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ .解得56x y =⎧⎨=⎩ . ∠C 点的坐标为（5.6）.∠S △ABC ＝12AB •yC ＝12×12×6＝36． (2)∠点D 在l 1上且xD ＝xB ＝8. ∠yD ＝23×8＋83＝8. ∠D 点坐标为（8.8）. 又∠点E 在l 2上且yE ＝yD ＝8. ∠−2xE ＋16＝8. ∠xE ＝4.∠E 点坐标为（4.8）. ∠DE ＝8−4＝4.EF ＝8． (3)①当0≤t ＜3时.如图1.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为五边形CHFGR （t ＝0时.为四边形CHFG ）．过C 作CM ∠AB 于M .则Rt ∠RGB ∠Rt ∠CMB . ∠BG RG BM CM = .即36t RG= . ∠RG ＝2t .同理Rt ∠AFH ∠Rt ∠AMC . ∠AF HFAM CM= . 由（1）知()()5,6,4,0C A - . ∠459,6AM CM =--== .∠896t HF-= . ∠()283HF t =- . ∠S ＝S △ABC −S △BRG −S △AFH ＝36−12×t ×2t −12（8−t ）×23（8−t ）.即S ＝−241644333t t ++ ． ②当3≤t ＜8时.如图2所示.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为梯形HFGR .由①知.HF ＝23（8−t ）.∠Rt ∠AGR ∠Rt ∠AMC . ∠RG AG CM AM = .即1269RG t-= . ∠RG ＝23（12−t ）.∠S ＝12（HF ＋RG ）×FG ＝12×[23（8−t ）＋23（12−t ）]×4. 即S ＝−88033t +. ③当8≤t ≤12时.如图3所示.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为∠AGR . 由②知.AG ＝12−t .RG ＝23（12−t ）.∠S ＝12AG •RG ＝12（12−t ）×23（12−t ）即S ＝13（12−t ）2. ∠S ＝13t 2−8t ＋48．【点睛】本题属于大综合题目.主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系.还要善于分解.化整为零.各个击破．8．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）如图.直线483y x =-+分别与x 轴.y 轴相交于点A .点B .作矩形ABCD .其中点C .点D 在第一象限.且满足AB ∠BC ＝2∠1．连接BD ．（1）求点A .点B 的坐标．（2）若点E 是线段AB （与端点A 不重合）上的一个动点.过E 作EF ∠AD .交BD 于点F .作直线AF ．①过点B 作BG ∠AF .垂足为G .当BE ＝BG 时.求线段AE 的长度．②若点P 是线段AD 上的一个动点.连结PF .将∠DFP 沿PF 所在直线翻折.使得点D 的对应点D 落在线段BD 或线段AB 上．直接写出线段AE 长的取值范围．【答案】（1）A （6.0）.B （0.8）.（2）①4.②02AE <≤555-5AE ≤≤ 【解析】 【分析】（1）分别令483y x =-+中x =0、y =0.求出与之对应的y 、x 值.由此即可得出点A .点B 的坐标.（2）①由题意证()BEF BGF HL ∆≅∆.得出AF ＝AD .设BE ＝x .EF ＝0.5x .AE ＝10－x .即可求出线段AE 的长度.② D 在线段AB 上时：（考虑以F 为圆心的圆与AB 相交的情况）.分情况讨论即可． 【详解】（1）令483y x =-+中x =0.则y =8.()0,8B ∴.令483y x =-+中y =0.则x =6.()6,0A ∴.（2）①由BE ＝BG . BF BF ∴=.()BEF BGF HL ∴∆≅∆.∠BDA ＝∠BFE ＝∠BFG ＝∠AFD .可得：AF ＝AD . 6,8OA OB ==.22226810AB OA OB ∴++=.又 AB ∠BC ＝2∠1.5BC AD ∴==.5AF ∴=.设BE ＝x .EF ＝0.5x .AE ＝10－x . 在Rt △AEF 中：222(10)(0.5)5x x -+=. 可得x ＝6.AE ＝4.②当D 在BD 上时. 当P 与A 重合时.AE 最长. 即AF BD ⊥时.AE 最长.AFD BFA BAD ∆∆∆.12DE AF AD AF BF AB ===. 14DF BF ∴=. //EF AD .14AE DF EB FB ∴==. 15AE AB ∴=. ∴当02AE <≤时.可把D 翻折到BD 上.当D 在线段AB 上时：当DP ＝D P 时.D 与A 重合. PF 为AD 中垂线.PF 为BAD ∆中位线. AE ＝5.（若此时E 再上移.以F 为圆心.FD 为半径作圆.与AB 不会有交点.所以=5AE 最大）.当FE ＝FD 时：D 与 E 重合.设,EF FD x ==则2BE x =.5,102BF x AE x =-.由55BF FD +=.555x x +=.55255551x -∴=+.2555555102AE --∴=-=即555AE -=最小 ∴当D 在AB 上时555-5AE ≤≤．综上.02AE <≤555-5AE ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理.解题关键是理解题意.熟练掌握相关性质．9．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图.平面直角坐标系中.O 是坐标原点.直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C .与x 轴交于点A .与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴.交直线34y x =于点D .连接OC .AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________.__________）. （2）求证：四边形OADC 是平行四边形.（3）动点P 从点O 出发.沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动.直到点D 为止.动点Q 同时从点D 出发.沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动.直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时.CPQ 的面积是__________．②当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时.请直接写出此时t 的值． 【答案】（1）3-.5.0.（2）见解析.（3）①12.②510510 【解析】 【分析】（1）代入C 点坐标即可得出k 值确定直线的解析式.进而求出A 点坐标即可. （2）求出AD 点坐标.根据CD OA =.//CD OA .即可证四边形OADC 是平行四边形. （3）①作CH OD ⊥于H .设出H 点的坐标.根据勾股定理计算出CH 的长度.根据运动时间求出PQ 的长度即可确定CPQ ∆的面积.②根据对角线相等确定PQ 的长度.再根据P 、Q 的位置分情况计算出t 值即可． 【详解】解：（1）直线15(0)y kx k =+≠经过点(3,6)C .3156k ∴+=. 解得3k =-.即直线的解析式为315y x =-+.当0y =时.5x =.(5.0)A ∴.（2）线段CD 平行于x 轴.D ∴点的纵坐标与C 点一样.又D 点在直线34y x =上.当6y =时.8x =. 即(8,6)D .835CD ∴=-=.5OA =.OA CD ∴=. 又//OA CD .∴四边形OADC 是平行四边形.（3）①作CH OD ⊥于H .H 点在直线34y x =上.∴设H 点的坐标为3(,)4m m .2223(3)(6)4CH m m ∴=-+-.2223(8)(6)4DH m m =-+-.由勾股定理.得222CH DH CD +=.即2222233(3)(6)(8)(6)544m m m m -+-+-+-=.整理得245=m 或8（舍去）. 3CH ∴=.228610OD =+=.∴当1t =时.10118PQ OD t t =--=--=. 11831222CPQ S PQ CH ∆∴=⋅=⨯⨯=. ②10OD =.当05t 时.102PQ t =-. 当510t 时.210PQ t =-.当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时.PQ AC =.22(53)6210AC =-+当05t 时.102210t -=解得510t =当510t 时.210210t -=. 解得510t =综上.当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时t 的值为510510 【点睛】本题主要考查一次函数的性质.熟练掌握待定系数法求解析式.平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．10．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y kx k =+与x 轴交于A .与y 轴交于C 点.直线BC 的解析式为1y x k k=-+.与x 轴交于B ． （1）如图1.求点A 的横坐标.（2）如图2.D 为BC 延长线上一点.过D 作x 轴垂线于点E .连接CE .若CD CA =.设ACE 的面积为S .求S 与k 的函数关系式.（3）如图3.在（2）的条件下.连接OD 交AC 于点F .将CDF 沿CF 翻折得到△FCG .直线FG 交CE 于点K .若345ACE CDO ∠-∠=︒.求点K 的坐标．【答案】（1）1-.（2）211(0)22S k k k =-≠.（3）459(,)1717-． 【解析】 【分析】（1）令0y =.求x .（2）过点D 作y 轴的垂线.先证明90ACB ∠=︒.再由K 型全等.得E 点坐标.即可求出S 与k 的函数关系式.（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系.得出2DOE ADE ∠=∠.再利用垂直平分线性质构造2ADE AME ∠=∠.通过解直角三角形求出求出k 的值.再求点K 的坐标． 【详解】解：（1）∠直线y kx k =+与x 轴交于A .与y 轴交于C 点.∠当0x =时.y k =.当0y =时.0kx k +=.得：1x =-.∠(0,)C k .(1,0)A -. ∠点A 的横坐标为1-．（2）过点D 作DH y ⊥轴于点H .∠DH OH ⊥.CO AO ⊥. ∠DHC COA ∠=∠. ∠90HDC DCH ∠+∠=︒.对直线BC ：当0x =时.y k =.当0y =时.2x k =.∠()2,0B k .∠2OB k =. ∠1OA OC k =.21OC k OB k k==. 又∠90AOC COB ∠=∠=︒. ∠AOC COB △∽△. ∠OAC OCB ∠=∠. ∠90OAC OCA ∠+∠=︒. ∠90OCBOCA.即：90ACB ∠=︒.∠AC BD ⊥.90DCA ∠=︒. ∠90DCH ACO ∠+∠=︒. ∠HDC OCA ∠=∠. 又∠DC CA =.∠()DHC COA AAS △≌△. ∠DH OC =.CH AO =. ∠(1,0)A -.(0,)C k .∠1CH OA ==.DH CO k ==. ∠(,0)E k -.(,1)D k k -+. ∠1()1AE k k =---=-+.∠21111(1)(0)2222S EA CO k k k k k =⋅⋅=⋅-⋅=-≠.（3）连接AD .过AD 的中点N 作NM AD ⊥交DE 于点M .连接AM .（3）连接AD .过AD 的中点N 作NM AD ⊥交DE 于点M .连接AM .DC AC ⊥.DE OA ⊥.90DEA DCA ∴∠=∠=︒.∴在四边形AEDC 中.180DEA DCA ∠+∠=︒.180EAC EDC ∠+∠=︒. ∴点A 、D 、E 、C 四点共圆.AD 为圆的直径.点N 为圆心.ACE ADE ∴∠=∠.MN 是AD 的中垂线.DM AM ∴=. ADE DAM ∴∠=∠.2AME ADE ∴∠=∠.DC AC =.45ADC ∴∠=︒.45CDO ADO ∴∠=︒-∠.又345ACE CDO ∠-∠=︒.3(45)45ADE ADO ∴∠-︒-∠=︒.即：390ADE ADO ∠+∠=︒.在EDO ∆中.90ADE ADO DOE ∠+∠+∠=︒.2DOE ADE AME ∴∠=∠=∠.设AM DM x ==.则：1ME DE DM k x =-=+-.222AE ME AM +=.222(1)(1)k k x x ∴-+++-=.解得：211k x k+=+.212111k kME k k k +∴=+-=++.DOE AME ∠=∠.tan tan DOE AME ∴∠=∠.∴DE AE OE ME=.即：1121k kk k k+-+=+. 解得：3k =.(0,3)C ∴.(3,4)D -.(3,0)E -.∴直线OD 的解析式为：43y x =-.直线AC 的解析式为：33y x =+. 直线EC 的解析式为：3yx .由4333y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩.解得：9131213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴点9(13F -.12)13. 点D 和点G 关于点C 对称.(3,2)G ∴.∴直线GF 的解析式为：79248y x =+. 由379248y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩.解得：4517917x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点K 的坐标为459(,)1717-． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K 型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识.是一个代数几何综合题．对于比较复杂的条件.需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件.可以从等量关系.倍数关系入手．二、反比例函数的综合问题例题（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图1.在平面直角坐标系xOy中.线段AB在x轴的正半轴上移动.且AB=1.过点A、B作y轴的平行线分别交函数y1＝1x（x＞0）与y2＝3x（x＞0）的图象于C、E和D、F.设点A的横坐标为m（m＞0）．(1)D点坐标.F点坐标.连接OD、OF.则△ODF面积为.（用含m的代数式表示）(2)连接CD、EF.判断四边形CDFE能否是平行四边形.并说明理由.(3)如图2.经过点B和点G（0.6）的直线交直线AC于点H.若点H的纵坐标为正整数.请求出整数m的值．【答案】(1)（m+1.11m+）.（m+1.31m+）.1.(2)不能.理由见详解.(3)1或2或5．【解析】【分析】（1）表示出D.F的坐标.再用三角形面积公式即可得出结论.（2）再表示出C.E的坐标.求出CE.DF的长度.判定出CE≠DF.因为//CE DF.从而四边形CDFE不是平行四边形.（3）先用m表示出BG的解析式.进而表示出H的坐标.最后根据61m+是正整数.建立方程即可得出结论．(1)解：∵设点A的横坐标为m.且AB=1.∴D（m+1.11m+）.F（m+1.31m+）.OB=m+1.∴DF=31m+-11m+＝21m+.∴S△ODF=12×（m+1）×21m+=1.故答案为：（m +1.11m +）.（m +1.31m +）.1. (2)解：不能.理由如下： ∵设点A 的横坐标为m . ∴C （m .1m ）.E （m .3m）. ∴CE =3m -1m ＝2m.DF =132111m m m -+++＝.∴CE ≠DF . ∵//CE DF .∴四边形CDFE 不是平行四边形. (3)解：设直线BG 的解析式为：y =kx +6.将B （m +1.0）代入y =kx +6得：k （m +1）+6=0. ∴k =-61m +. ∴直线BG 的解析式为：y =-661x m ++. 当x =m 时.16661y m m m =-+=⋅++. ∴点H （m .61m +）. ∵m ＞0. ∴m +1＞1.∵点H 的纵坐标为正整数. ∴m +1=2或3或6. ∴m =1或2或5． 【点睛】本题是反比例函数综合题.主要考查了待定系数法.平行四边形的判定.用含参数表示线段和坐标是解题的关键． 练习题1．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图是反比例函数3y x=和7y x=-在x 轴上方的图象.x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A .B .点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中.△APB 的面积是（ ）A ．10B ．4C ．5D ．从小变大再变小【答案】C 【解析】 【分析】设AB 与y 轴交于点C .连接OA 、OB ．根据题意可知APB AOB S S =△△.再根据AOBBOCAOCSSS=+结合反比例函数比例系数k 的几何意义.即得出答案．【详解】如图.设AB 与y 轴交于点C .连接OA 、OB ．由题意可知APB △和AOB 同底.等高. ∴APB AOB S S =△△． ∵1173522AOBBOCAOCS SS=+=⨯-+⨯=. ∴5APBS=．故选C ． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k 的几何意义．掌握在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点向坐标轴作垂线.这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1||2k .且保持不变是解题关键．2．（2021·山东滨州·一模）如图.O 为坐标原点.四边形OACB 是菱形.OB 在x 轴的正半轴上.sin ∠AOB ＝45.反比例函数y ＝48x在第一象限内的图象经过点A .与BC 交于点F .则点F 的坐标为（ ）A ．616120）B ．616120）C ．6146120- D ．6146120- 【答案】C 【解析】 【分析】先作AD ⊥x 轴.FE ⊥x 轴.再设点A 的坐标.可表示OD .AD .然后根据4sin 5AOB ∠=.求出tan AOB ∠.进而求出m 的值.即可求AD .OA .再根据菱形的性质得∠CBE ＝∠AOB .可知4tan 3CBE ∠=.设FE ＝a .可表示BE .OE .可表示点F .再将点F 的坐标代入反比例函数关系式求出a .可得答案． 【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D .过点F 作FE ⊥x 轴于点E .如图.设A48)m m（,.则OD ＝m .48AD m=．∵4sin 5AOB ∠=. 令AD =4x .AO =5x .根据勾股定理.得22=3x OD AO AD -=. ∴4tan 3AD AOB DO ∠==. ∴484m 3m =． ∵m ＞0. ∴m ＝6． ∴488AD m==．∴2210OA OD AD =+=.∵四边形OACB 是菱形. ∴OB ＝OA ＝10.BC OA ∥． ∴∠CBE ＝∠AOB ． ∴4tan tan 3CBE AOB ∠=∠=． 设FE ＝a .则34BE a =.3=10+4OE a . ∴310+,)4Fa a （. ∴3(10)484a a +=. 解得：20461a -+=.舍去）． ∴61+5OE .∴-20+46161+5F （，． 故选：C ． 【点睛】这是一道关于反比例函数和菱形的综合问题.考查了菱形的性质.勾股定理.锐角三角函数.反比例函数图象上的点等．3．（2021·山东济南·二模）如图.在平面直角坐标系中.菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O .已知点B 坐标是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.双曲线y =6x经过点A .则菱形ABCD 的面积是( )A ．2B ．18C 252D ．25【答案】C 【解析】 【分析】过点A 作AE ⊥x 轴于点E .过点B 作BG ⊥AE 于G .交y 轴于点F .设()6,0A m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.可得632AG m =-.BG =m +2.再根据菱形的性质及勾股定理可得方程.解方程即可求得m 的值.可求得OE .AE .进而求得OA .AC .OB .BD .最后利用菱形的面积公式即可求得． 【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴于点E .过点B 作BG ⊥AE 于G .交y 轴于点F .如图.∵双曲线y =6x经过点A . ∴设()6,0A m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.则OE =m .6AE m=． ∵点B 坐标是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴BF =2.OF =32．∴GE =OF =32.632AG m =-.BG =m +2．∵菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O . ∴AO =CO .BO =DO .AO ⊥BO ． 由勾股定理可得：OB 2+OA 2=AB 2． ∴BF 2+OF 2+AE 2+OE 2=AG 2+BG 2．即：()22222236632222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.得24180m -=. 解得：32m =32m =舍去)． ∴32OE =232AE == ∴()22223252222OA AE OE ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭． ∴AC =2OA 2∵222235222OB BF OF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭. ∴BD =2OB =5． ∴11252=525=222ABCD S AC BD =⋅⨯菱形． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质.反比例函数图象上点的坐标特征.勾股定理,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．4．（2021·广东深圳·三模）如图.在反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图象上有动点A .连接OA .y＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B .过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x 的图象于点C .过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx 的图象于点D .交x 轴点E .连接AC .OC .BD .OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1.②S △BOC ＝32.③S △CDF ＝316S △AOC .④若BD ＝AO .则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④【答案】D 【解析】 【分析】设4(,)A m m .则OA 的中点B 为1(2m .2)m.即可求得1k =.即可判断①.表示出C 的坐标.即可表示出BC .求得1323222BOC m S m ∆=⨯⨯=.即可判断②.计算出916CDF S ∆=.3AOC S ∆=.即可求得316CDF AOC S S ∆∆=.即可判断③.先证F 是BD 的中点.然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出2BFO CBD BCO COE ∠=∠+∠=∠.根据等腰三角形的性质得出AOC BFO ∠=∠.从而得到2AOC COE ∠=∠.即可判断④．【详解】解：动点A 在反比例函数4(0)y x x =>的图象上.∴设4(,)A m m.OA ∴的中点B 为1(2m .2)m.(0)ky x x =>的图象经过点B . 1212k m m∴=⋅=.故①正确.过点B 作//BC x 轴交函数4y x=的图象于点C . C ∴的纵坐标2y m=. 把2y m =代入4y x=得.2x m =.2(2,)C m m∴.13222mBC m m ∴=-=.1323222BOC m S m ∆∴=⨯⨯=.故②正确.如图.过点A 作AM x ⊥轴于M ．4(,)A m m .1(2B m .2)m .2(2,)C m m .过点C 作//CE y 轴交函数ky x=的图象于点D .交x 轴点E . 1(2,)2D m m∴. ∴直线OC 的解析式为21y x m =.直线BD 的解析式为2152y x m m=-+. 由221152y x m y x m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩.解得5454x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 5(4F m ∴.5)4m.12159()(2)22416CDF S m m m m ∆∴=--=.AOC AOM COE AMEC AMEC S S S S S ∆∆∆=+-=梯形梯形.142()(2)32AOC S m m m m∆∴=+-=.316CDF AOC S S ∆∆∴=.故③正确. 1(2B m .2)m .1(2,)2D m m .5(4F m .5)4m.F ∴是BD 的中点.CF BF ∴=.CBD OCB ∴∠=∠.//BC x 轴.COE BCO ∴∠=∠.2BFO CBD BCO COE ∴∠=∠+∠=∠.若BD AO =.则OB BF =.AOC BFO ∴∠=∠.2AOC COE ∴∠=∠．故④正确.故选：D ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合.反比例函数系数k 的几何意义.待定系数法求一次函数的解析式.直角三角形斜边上中线的性质.平行线的性质.解题的关键是利用参数解决问题.学会构建一次函数确定交点坐标．5．（2021·江苏扬州·一模）如图.正方形的顶点A .C 分别在y 轴和x 轴上.边BC 的中点F 在y 轴上.若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E .则OA 的长为______．【答案】62【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明CFO CEH ≌△△.由CO 和 CH 的值表示NO .NB .进而得出CNB BMA ≌△△.由AM =ON 得出a 与b 的关系.再将点E 代入反比例函数关系式.求出a和b 的值.即可求解． 【详解】解：过E 作EH x ⊥轴于H .设CO a =.CH b =.过点B 作y 轴的平行线交x 轴于点N .作AM MN ⊥于点M . ∵四边形ABCD 是正方形. ∴BC CD =.90BCD ∠=︒． ∵90∠=∠=︒EHC FOC . ∴OFC ECH ∠=∠．∵点F 与点E 分别是BC .CD 的中点. ∴CF CE =.∴()CFO CEH AAS △△≌. ∴OF =CH ．∵点F 是BC 的中点.OF BN ∥. ∴ON OC a ==.22NB OF b ==. 同理()CNB BMA AAS △△≌.则2MA BN b ==.2MB CN a ==.2AM b ON a ===. 故2a b =. 则点(),E a b a +. 将点E 的坐标代入12y x=. 得()12a a b +=.而2a b =.解得：2b =22a =2262OA MN BM BN a b ==+=+= 故答案为：62 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质.反比例函数图象上点的坐标特征.正方形的性质等.解题的关键是正确作出辅助线.构造全等三角形．6．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图.在平面直角坐标系中.反比例函数y kx=（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点.△MON 的面积为3.5.若动点P 在x 轴上.则PM +PN 的最小值是______．【答案】52【解析】 【详解】设点M （a .b ）.N （c .d ）.先求出a 2+b 2＝c 2+d 2＝25.再求出ac ()227k c a -=.同理：bd ()227k b d -=.即可得出ac ﹣bc ＝0.最后用两点间的距离公式即可得出结论． 【解答】 解：如图.设点M （a .b ）.N （c .d ）. ∴ab ＝k .cd ＝k . ∵点M .N 在⊙O 上. ∴a 2+b 2＝c 2+d 2＝25.作出点N 关于x 轴的对称点N '（c .﹣d ）. ∴MN'即为PM+PN 的最小值 ∴S △OMN 12=k 12+（b +d ）（a ﹣c ）12-k ＝3.5. ∴ad ﹣ bc ＝7. ∴kc ka a c-=7. ∴ac ()227k c a -=.同理：bd ()227k b d -=.∴ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0.∵M（a.b）.N'（c.﹣d）.∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50.∴MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式.判断出ac-bd=0是解本题的关键．7．（2021·江苏常州·二模）如图.在平面直角坐标系中.正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝kx（k＞0.x＞0）的图象上.CD在x轴上.点B在y轴上.已知CD＝2．(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q.求点Q的横坐标．【答案】(1)点A在反比例函数图象上.理由见解析(2)Q317+【解析】【分析】（1）过点P作x轴垂线PG.连接BP.可得BP＝2.G是CD的中点.所以P（23. （2）易求D（3.0）.E（43.待定系数法求出DE的解析式为y3﹣3联立反比例函数与一次函数即可求点Q．(1)解：点A在该反比例函数的图象上.理由如下：过点P作x轴垂线PG.连接BP.∵P是正六边形ABCDEF的对称中心.CD＝2.∴BP ＝2.G 是CD 的中点. ∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3 ∴P （3.∵P 在反比例函数y ＝kx（k ＞0.x ＞0）的图象上.∴k ＝3 ∴y 23由正六边形的性质.A （3. ∴点A 在反比例函数图象上.(2)解：由（1）得D （3.0）.E （3. 设DE 的解析式为y ＝mx +b .∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩. ∴y 3﹣3由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得x 3172+.∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质.正六边形的性质.将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键． 8．（2021·山东菏泽·三模）如图.反比例函数()0ky k x=≠的图像过等边BOC 的顶点B .2OC =.点A 在反比例函数的图象上.连接AC .AO ．(1)求反比例函数()0ky k x=≠的表达式. (2)若四边形ACBO 的面积是33求点A 的坐标． 【答案】(1)3y =(2)点A 的坐标为1,232⎛ ⎝【解析】 【分析】（1）过点B 作BD x ⊥轴于点D .根据等边三角形的性质得到1OD =,2BC =,利用勾股定理求得BD 的长度.得到点B 的坐标.将点B 的坐标代入反比例函数解析式中求出k 即可求解.（2）利用三角形的面积公式和已知条件求出AOC △的面积.设出点A 的坐标.利用三角形面积公式进行计算即可求解． (1)解：过点B 作BD x ⊥轴于点D .BOC 是等边三角形.2OC =.112OD CD OC ∴===,2BC OC OB ===.2222213BD CB CD ∴=--.∴点B 的坐标为(1,3--.把点B 的坐标代入k y x=中 (133k ∴=-⨯-=∴ 所以反比例函数表达式为3y =.(2)解： 1=23332BOC AOC AOC ABCD S S S S +=⨯=四边形△△△23AOCS∴=设点A 的坐标为3n ⎫⎪⎪⎝⎭. 12322n ∴⨯⨯.∴23n =331223=. ∴点A 的坐标为1,232⎛ ⎝．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式.反比例函数系数k 的几何意义.反比例函数图象上点的坐标特征.三角形的面积公式．先由三角形的面积求出反比例函数解析式是此题的突破点．9．（2021·吉林·三模）如图.在平面直角坐标系中.矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（4.2）.双曲线ky x =（x ＞0）的图象交BC 于点D .若BD＝32．求反比例函数的解析式及点F 的坐标．【答案】5y x =.点F 的坐标为54,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意BD 线段的长度以及B 点坐标.求得D 的坐标.进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式.然后根据图象上点的坐标特征设出F 的纵坐标.代入反比例函数解析式.即可求得F 的坐标． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形.顶点B 的坐标为（4.2）. ∴//BC x 轴.∴点D 纵坐标和点B 纵坐标相同. ∴设D （x .2）.∵32BD =.∴BD BC CD =-. 即342x =-. ∴52x =. ∴5,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵双曲线()0ky x x=>的图象交BC 于点D .∴252k =. 得5252k =⨯=.∴所求反比例函数表达式为：()50y x x=>. ∴点F 横坐标和点B 横坐标相同. ∴设F （4.y ）. ∴将点F 坐标代入5y x=. 即54y =. ∴点F 的坐标为54,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式.反比例函数图象上点的坐标特征.求得D 的坐标是解题的关键．10．（2022·广东江门·一模）反比例函数y 1＝1k x（k 1＞0）和y 2＝22(0)k k x >在第一象限的图象如图所示.过原点的两条射线分别交两个反比例图象于A .D 和B .C(1)求证：AB ∥CD .(2)若k 1＝2.S △OAB ＝2.S 四边形ABCD ＝3.求反比例函数y 2＝2k x（k 2＞0）的解析式． 【答案】(1)见解析 (2)245y x=【解析】。

反比例函数和一次函数专项练习30题（有答案）1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）根据正比例函数与反比例函数的性质直接写出B点坐标；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．2．正比例函数y=kx和反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，纵坐标为3．（1）写出这两个函数的表达式；（2）求B点的坐标；（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象．3．反比例函数与一次函数y=2x+1的图象都过点（1，a）．（1）确定a的值以及反比例函数解析式；（2）求反比例函数和一次函数的图象的另一个交点坐标．4．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，1）和点B（a，﹣3a）（a＞0），且点B在反比例函数的图象上，求a的值和一次函数的解析式．5．如图正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点A的横坐标为4．（1）求k值；（2）求它们另一个交点B的坐标；（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2．6．已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点（﹣1，﹣1），求这两个函数的解析式及它们图象的另一个交点的坐标．7．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．8．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A，B两点，且A（2，n），B（﹣1，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）利用图象直接写出当x在什么范围时，y1＞y2．9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）请你观察图象，写出y1＞y2时，x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣2都经过点A（m，﹣3）．（1）求m的值和一次函数的关系式．（2）若点M（a，y1）和N（a+2，y2）都在这个反比例函数的图象上，试通过计算或利用反比例函数的图象性质比较y1与y2的大小．11．如图，函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m），点B（n，1）在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）求n的值；（3）若P是y轴上一点，且满足△POB的面积为6，求P点的坐标．12．如图，已知反比例函数的图象经过点A（﹣2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．（3）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．13．直线y1=2x﹣7与反比例函数的图象相交于点P（m，﹣3）．（1）求反比例函数的解析式．（2）试判断点Q是否在这个反比例函数的图象上？14．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，a）、B（﹣2，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．15．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出点A、B的坐标；（2）求出反比例函数的解析式；（3）求出线段AB的长度．16．如图，已知A（n，2），B（2，﹣4）是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2？17．已知反比例函数的图象，经过一次函数y=x+1与的交点，求反比例函数的解析式．18．如图，一次函数y=kx+2与x轴交于点A（﹣4，0），与反比例函数y=的图象的一个交点为B（2，a）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．19．如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数．（m、k≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．（1）求m、n的值及反比例函数的表达式；（2）当x取非零的实数时，试比较一次函数值与反比例函数值的大小．20．一次函数y1=kx+b与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）、B（﹣4，n），（1）求n的值；（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；（3）利用图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．21．已知：如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）．（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；（3）你能求出图中△AOB的面积吗？若不能，请说明理由；若能，请写出求解过程．23．如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．（1）求点B的坐标；（2）若，求点A的坐标．24．已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．25．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）的图象经过A（2，﹣4）、B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）如果点B在反比例函数（k2≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．26．如图，已知正比例函数y=﹣3x与反比例函数的图象相交于A和B两点，如果有一个交点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）求A，B两点的坐标；（3）当_________时，．27．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比列函数的图象的两个交点．（1）求m、n的值；（2）求一次函数的关系式；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．28．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，求四边形OBCD的面积．29．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（﹣l，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）试证明线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；（3）利用图象直接写出不等式的解集．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=，求该反比例函数和一次函数的解析式．参考答案：1．（1）由x=4，得y=2；则k=xy=4×2=8；（2）∵A，B两点是正比例函数和反比例函数的交点，点A（4，2），∴B（﹣4，﹣2）；（3）由图象可得在两个交点的左边，一次函数的值小于反比例函数的值，∴x＜﹣4或0＜x＜42．（1）∵正比例函数y=kx 与反比例函数，的图象都过点A（1，3），则k=3，∴正比例函数是y=3x ，反比例函数是．（2）∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣1，﹣3）．（3）∵正比例函数的图象过原点，所以令x=1，则y=3，图象过（1，3），描出此点即可；∵反比例函数的图象是双曲线，∴应在每一个双曲线上描出3各点，即可画出函数图象．3．（1）由题意得，2+1=a，解得，a=3，（1分）由题意得，，解得，k=3．（2分）反比例函数解析式为．（3分）（2）由题意得，，（4分）解得，，∴反比例函数和一次函数图象的另一个交点坐标是（﹣4．∵点B（a，﹣3a）在反比例函数图象上，∴﹣=﹣3a，解得a=1，a=﹣1（舍去），∴点B的坐标为（1，﹣3），∵一次函数y=kx+b图象经过点A（0，1），B（1，﹣3），∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣4x+1．5．（1）将A的横坐标4代入y1=x，得y1=×4=2，由题意可得A点坐标为（4，2），由于反比例函数y=的图象经过点A，∴k=2×4=8．（5分）（2）将两个函数的解析式组成方程组得：，解得，．所以A（4，2），B（﹣4，﹣2）．所以B点坐标为B（﹣4，﹣2）．（3分）（3）由于A点横坐标4，B点横坐标为﹣4，由图可知：当x＞4或﹣4＜x＜0时，y1＞y2．6．由已知得，（2分）解得．（4分）∴一次函数的解析式为y=2x+1，（5分）反比例函数的解析式为．（6分）由，解得x=﹣1或．（7分）当时，y=2．∴函数图象的另一个交点的坐标为（）∴m=6，a=﹣6即N（﹣1，﹣6）且，解得∴反比例函数和一次函数的解析式的解析式分别为y=．y=2x﹣4．（2）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时一次函数的值大于反比例函数的值．8．（1）∵双曲线过点（﹣1，﹣2），∴k1=﹣1×（﹣2）=2．∵双曲线y1=，过点（2，n），∴n=1．由直线y2=k2x+b过点A，B 得，解得．∴反比例函数关系式为y1=，一次函数关系式为y2=x﹣1．（2）当x＜﹣1或0＜x＜2时，y1＞y2．9．（1）解：∵y1=k1x过点A（1，2），∴k1=2．（2分）∴正比例函数的表达式为y1=2x．（3分）∵反比例函数过点A（1，2），∴k2=2．（5分）∴反比例函数的表达式为y=．（6分）（2）﹣1＜x＜0或x＞1．（8分）（3）∵点A的坐标为（1，2），∴OA=，当OA为腰时，OA=OP2=，P2点坐标为（0，4），当AP1=OA=，可知P1坐标为（0，），当OA=OP3=时，可得P3坐标为（0，﹣）由图可知，P1（0，），P2（0，﹣），P3（0，4），当OA为底时，OP4==，故P1（0，），P2（0，﹣），P3（0，4），P4（0，）．10．（1）∵反比例函数y=﹣经过点A（m，﹣3）．∴﹣3m=﹣6，∴m=2；∵一次函数y=kx﹣2经过点A（m，﹣3）．∴2k﹣2=﹣3，∴k=﹣，∴一次函数的关系式为y=﹣x﹣2．（2）当a＞0时，则a＜a+2，∵反比例函数y=﹣的图象在第四象限内是增函数，∴y1＜y2；当﹣2＜a＜0时，则a+2＞0，由图象知y1＞y2；当a＜﹣2时，则a＜a+2，∵反比例函数y=﹣的图象在第二象限内是增函数，∴y1＜y211．（1）∵函数y=3x的图象过点A（1，m），∴m=3，∴A（1，3）；∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵点B（n，1）在反比例函数的图象上，（3）依题意得PO•3=6∴OP=4，∴P点坐标为（0，4）或（0，﹣4）．12．（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y1=mx的图象上，∴1=m﹣2，即m=﹣2，又A（﹣2，1），C（0，3）在一次函数y2=kx+b图象上，∴即k=1，b=3，∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=与y=x+3；（2）由得x+3=﹣，即x2+3x+2=0，∴x=﹣2或x=﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，2）．（3）当x＜﹣2或﹣1＜x＜0时，反比例函数在一次函数图象的上方，即y1＞y2…13．（1）把（m，﹣3）分别代入和y1=2x﹣7，得，解得m=2，k=﹣6，∴反比例函数的解析式．（2）把点Q代入反比例函数的解析式中，即=﹣=．故点Q在反比例函数的图象上14．（1）把B（﹣2，1）代入得：m=﹣2×1=﹣2，∴y=﹣，把A（1，a）代入得：a=﹣2，∴A（1，﹣2），把A（1，﹣2），B（﹣2，1）代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1，∴y=﹣x﹣1，答：一次函数和反比例函数的解析式分别是y=﹣，y=﹣x﹣1．（2）令y=0，则0=﹣x﹣1，∴x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴OC=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC =×1×2+×1×1=1.5 15．（1）A点坐标为（﹣6，﹣2），B点坐标为（4，3）；（2）把B（4，3）代入y=得m=3×4=12，所以反比例函数的解析式为y=；（3）分别过点A、点B作y轴、x轴的垂线，两线交于点C，即AC⊥BC，如图，则点C的坐标为C（4，﹣2），在Rt△ACB中，AC=10，BC=5，∵AB2=BC2+AC2，∴AB==5．16．（1）∵B（2，﹣4）在函数y2=的图象上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为：y2=﹣．∵点A（n，2）在函数y2=﹣的图象上∴n=﹣4∴A（﹣4，2）∵y1=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1=﹣x﹣2（2）由交点坐标和图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2取何值时，y1＜y217．把y=x+1代入得：x+1=x+，解得：x=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，把（1，2）代入y=得：k=2，即反比例函数的解析式是y=18．（1）将A（﹣4，0）代入y=kx+2得：﹣4k+2=0，即k=0.5，∴一次函数解析式为y=0.5x+2，将B（2，a）代入一次函数解析式得：a=1+2=3，即B （2，3），将B（2，3）代入反比例解析式得：m=2×3=6，则反比例解析式为y=；（2）∵OC=2，OA=4，∴AC=OC+OA=2+4=6，∵BC=3，∴S△ABC =AC•BC=919．（1）∵A（﹣4，2）在上，∴m=﹣8，∴反比例函数的解析式是y=﹣，∵B（2，n ）在上，∴n=﹣4．（2）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2；当x=﹣4或x=2时，y1=y2；当﹣4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2．20．（1）根据题意，反比例函数y2=的图象过（﹣1，4），（﹣4，n），易得m=﹣4，n=1；则y1=kx+b的图象也过点（﹣1、4），（﹣4，1）；代入解析式可得k=1，b=5；∴y1=x+5；（2）设直线AB交x轴于C点，由y1=x+5得，∴C（﹣5，0），∵S△AOC =×5×4=10，S△BOC =×5×1=2.5，∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=10﹣2.5=7.5；（3）根据图象，两个图象只有两个交点，根据题意，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分；易得当x＞0或﹣4＜x＜﹣1时，有y1＞y2，故当y1＞y2时，x的取值范围是x＞0或﹣4＜x＜﹣1 21．（1）∵点B（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上，∴，k=8．∴反比例函数的解析式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，∴，m=2．∵点A（2，4）和点B（﹣4，﹣2）在一次函数y=ax+b 的图象上，∴解得∴一次函数的解析式为y=x+2．（2）设一次函数y=x+2的图象与y轴交于点C，分别作AD⊥y轴，BE⊥y轴，垂足分别为点D，E．（如图）∵一次函数y=x+2，当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．∴S△AOB=S△AOC+S△BOC ===6（3）﹣4＜x＜0或x＞2．阅卷说明：第（3）问两个范围各（1分）22．（1）设反比例函数的解析式是y=（a≠0），把A（﹣2，1）代入得：k=﹣2，即反比例函数的解析式是y=﹣；把B（1，n）代入反比例函数的解析式得：n=﹣2，即B的坐标是（1，﹣2），把A（﹣2，1）和B（1，﹣2）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．即一次函数的解析式是y=﹣x﹣1；（2）根据图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1；（3）能求出△AOB的面积，把y=0代入y=﹣x﹣1得：0=﹣x﹣1，x=﹣1，即C的坐标是（﹣1，0），OC=1，∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），∴△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×|﹣2|=1.523．（1）当y=0时，则kx+2k=0，又∵k≠0∴x=﹣2，∴点B坐标为（﹣2，0）；（2）设点A的坐标为（x、y），∴S△AOB =•|﹣2|•|y|=，∴y=±，∵点A在第一象限，∴y=，把y=代入y=得x=，∴点A 的坐标为（，）24．∵把P（﹣3，m）代入反比例函数y=﹣得：m=2，∴点P的坐标为（﹣3，2），设一次函数的关系式为y=kx+b，∴把Q和P 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．故所求一次函数的关系式为y=﹣x﹣125．（1）因为函数图象经过点A（2，﹣4），所以2k1=﹣4，得k1=﹣2．（2分）所以，正比例函数解析式：y=﹣2x．（1分）（2）根据题意，当y=2时，﹣2m=2，得m=﹣1．（1分）于是，由点B 在反比例函数的图象上，得，解得k2=﹣2．所以，反比例函数的解析式是．26．（1）把x=2代入y=﹣3x得：y=﹣6，即A的坐标是（2，﹣6），把A的坐标代入y=得：﹣6=，解得：k=﹣13；（2）解方程组得：，，即A的坐标是（2，﹣6），B的坐标是（﹣2，6）；（3）当﹣2＜x＜0或x＞2时，＞﹣3x，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞227．（1）把A（﹣4，2）代入y=得：m=﹣8，即反比例函数的解析式为y=﹣，把B（n，﹣4）代入得：n=2，即B（2，﹣4），即m=﹣8，n=2；（2）把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：解得：k=﹣1，b=﹣2，即一次函数的解析式是y=﹣x﹣2；（3）一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜028．解方程组得或，∴C点坐标为（1，4），∵CD⊥x轴，∴D点坐标为（1，0）对y=x+3，令x=0，y=3，∴B点坐标为（0，3），∴四边形OBCD的面积=（OB+CD）•OD=（3+4）×1=29．1）解：把B（﹣1，﹣2）分别代入反比例函数∴k1=﹣1×（﹣2）=2，∴反比例函数的解析式为y=；把A（2，n）代入上式，得n=1，∴A点坐标为（2，1），把A（2，1）和B（﹣l，﹣2）分别代入一次函数y=k2x+b 得，2k2+b=1，﹣k2+b=﹣2，解得k2=1，b=﹣1，∴一次函数的关系式为y=x﹣1；（2）证明：过A作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴与F，AB 与坐标轴相交于C、D，如图，对于y=x﹣1，令x=0，y=﹣1；令y=0，x=1，∴C（1，0），D（0，﹣1），AC===，CD===，BD===，∴AC=CD=BD，∴线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；（3）解：x＜﹣1或0＜x＜230．过点A作AC⊥x轴于点C．∵sin∠AOE=，OA=5，∴AC=OA•sin∠AOE=4，由勾股定理得：CO==3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入到中得m=﹣12，∴反比例函数解析式为，∴6n=﹣12，∴n=﹣2，∴B（6，﹣2），∴有，解得：，∴，一次函数的解析式为。

中档题型训练(三)一次函数和反比例函数结合纵观近8年河北省中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容•侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题.利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式k i【例1】(2016安徽中考)如图，已知反比例函数y = —与一次函数y= k?x+ b的图象交于点A(1 , 8) , B( —4,Xm).(1) 求k i, k2, b 的值；(2) 求厶AOB的面积；k〔(3) 若M(X1, y" , N(X2, y2)是反比例函数y =—图象上的两点，且X1<X2, y1<y2,指出点M N各位于哪个象X限，并简要说明理由.k〔【解析】⑴ 先把点A的坐标代入y =—可求得k1= 8,则可得到反比例函数的解析式，再把B( —4, m)的坐标X代入反比例函数的解析式求得m得到点B的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可求得结果；1 1⑵由(1)知一次函数y = k2x+ b的图象与y轴的交点坐标为(0 , 6)，可求S^。

尸-X 6X | —4| +?x 6X 1 = 15; (3) 根据反比例函数的性质即可得到结果.k〔【学生解答】解：(1) T反比例函数y = —与一次函数y= k2X + b的图象交于点A(1, 8) , B( —4, m),「. k1 =X1. (201 6唐山路北区一模)如图，已知 A( — 4, 0.5) , B( — 1 , 2)是一次函数 y = ax + b 与反比例函数 y =mX(m<0)图象的两个交点， AC 丄x 轴于点C, BD 丄y 轴于点D.(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2) 求一次函数解析式及 m 的值；⑶P 是线段AB 上一点，连接 PC, PD 若厶PCA 和厶PDB 面积相等，求点 P 的坐标.解：(1)在第二象限内，当一4<x — 1<时，一次函数的值大于反比例函数的值；—4a + b = 0.5 ,⑵ 把A( — 4, 0.5) , B( — 1, 2)的坐标代入y = ax + b ,得解得 —a + b = 2,8,二 B( — 4,— 2).8= k 2+ b , —2=— 4k 2+ b ,k 2= 2, b = 6(0 , 6) ,••• S AO = 2x 6X | — 4| + 6X 1 = 15; (3)M⑵ 由(1)知一次函数y = 2x + 6的图象与y 轴的交点坐标为 位于第三象限，N 位于第一象限.理由：Tk 1 = 8>0,「.反比k 1例函数y =—的图象位于第一、三象限，且在每个象限内,x象限，• M 位于第三象限，N 位于第一象限.y 随x 的增大而减小.Tx 1<x 2, y 1<y 2,「. M, N 在不同的•一次函数的解析式为y= + 2 把B( - 1, 2)的坐标代入y = m,得m=- 1 x 2=- 2;2 2 X1 5 ii i(3) 如图，连接PC, PD•设点P的坐标为t , 2t + 2 . •••△ PCA和厶PDB的面积相等，二2X2X(t + 4) = 1X1 5 5 一5 52——2，解得t = —2，二点P的坐标为一2, 4 •与面积有关的问题【例2】(2016白银中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y = mx与双曲线y = °相交于A( —1, a) , B两点，BC丄x轴，垂足为C,AXAOC勺面积是1.(1) 求m n的值；(2) 求直线AC的解析式.【思路分析】(1)因为A( — 1 , a)，所以B点的横坐标为1，即C(1 , 0).再由S A AO= 1，得A( —1, 2)，再代入y= mx与y = °即可.(2)将A, C坐标代入即可.x【学生解答】解：(1) •••直线y = mx与双曲线y= °相交于A( —1, a)、B两点，二B点横坐标为1，即C(1 ,xn0) ,•••△ AOC的面积为1 ,••• A( —1, 2)，将A( —1 , 2)代入y= mx, y= 一可得n=—2, n=—2; (2)设直线AC的x解析式为y= kx + b,由题意得—k+ b=2，解得k =_ 1, b= 1,.・.直线AC的解析式为y = -x + 1. k + b= 0.2. (2016泰安中考)一次函数y= kx + b与反比例函数y =⑰的图象相交于A( —1, 4) , B(2 , n)两点，直线ABX交x轴于点D.(1) 求一次函数与反比例函数的解析式；(2) 过点B作BCL y轴，垂足为C,连接AC交x轴于点丘，求厶AED的面积S.4 解：(1)y =—x，y = —2x+ 2;S A AED 4 2 4 4(2) •••△AED 的高为4,A ACB 的高为：4 + 2= 6. v ED// BC /•△ AED^A ACB 二一=仁)=-,AS A ACB 6 9 9 1 8T 2 X 6= 3.3 6 63. (2016东营中考)如图是函数y=-与函数y =-在第一象限的图象，点P是y = -的图象上一动点，PA!x轴x x x3 3于点A,交y =-的图象与点C, PB丄y轴于点B,交y =-的图象于点D.x x(1) 求证：D是BP的中点；(2) 求四边形ODPC勺面积.（河北专版）2017中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练（三）一次函数和反比例函数结合试题6 6 3解：（1）•••点P在函数y =-上，•••设P点坐标为（-，m）,v点D在函数y =-上，BP// x轴，.••设x m x6BP= m，故D是BP的中点；与最小（大）值有关的问题D点坐标为3 3 （m，m）,由题意可得BD= m，⑵S = 3.k【例3】一次函数y = mx + 5的图象与反比例函数 y = -(k 丰0)在第一象限的图象交于A(1 , n)和B(4 , 1)两X点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为 M.(1) 求一次函数和反比例函数的解析式； (2) 求A OAM 的面积S ;(3) 在y 轴上求一点 P,使PA + PB 最小.【思路分析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N,连接BN 交y 轴于点P ,则点P 即为所求.k k 4【学生解答】解： ⑴将B(4 , 1)代入y = x ，得1 = 4.二k = 4,二y = x ，将B(4 , 1)代入y = mx + 5,得1 = 4m入 I入4 1+ 5,「. m =- 1 ,••• y = — x + 5; (2)在 y = -中，令 x = 1，解得 y = 4 ,「. A(1 , 4) , A S = 2 X 1 X 4= 2; (3)作点 A x 2 关于y 轴的对称点N,则N( — 1, 4)，连接BN 交y 轴于点P ,点P 即为所求.设直线⑵ 在x 轴上找一点P,使PA + PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及厶PAB 的面积.BN 的关系式为 y = kx + b ，由 4k + b = 1, —k + b = 4,解得3 1717 y = — 5x + 亏b=亍17 • P0, L3解：(1)y = -, B(3 , 1)；入(2)作B点关于x轴的对称点B',得到B' (3 , - 1)，连接AB交x轴于点P,连接P' B,则有：PA+ PB5=PA+ PB > AB，当P点和P'点重合时取等号.易得直线AB的解析式为y =—2x + 5，令y = 0，得x = -. /•5 一5 1 P'(2，0)，即满足条件的P的坐标为(㊁,0),设y=—x+ 4 交x 轴于点c,贝y c(4, 0) ,••• S A PAB=S A APC— S\BPC=-1 5 3X PC X (y A- y B)，即S A PAB=k5. (2016宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8 , 1) , B(0，—3)，反比例函数y = -(x>0)的图x象经过点A,动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M与直线AB交于点N.(1) 求k的值；(2) 求厶BMN面积的最大值；(3) 若MAL AB 求t的值.解：⑴将A点坐标(8 , 1)代入y = ’得k = 8; (2)设直线AB的解析式为y= mx+ b,将A点坐标(8 , 1)和B点x1，一1 = 8mi+ b, mi^ 1 t坐标(0 ，—3)代入得解得 1 2故直线AB的解析式为y = -x —3，所以Nt , —3，又—3=b, 2 2b=—3,8 8 t 18 t 1 3 1 25Mt ,「，故M= - —2 + 3,^ BMN面积为S= 2 t"— 2 + 3 t =—玄上2+ ㊁上+ 4=—&(t —3) 2+ 才，所以当t = 3 时，△BMN面积的最大值为；（3）如图，过A作AQL y轴于点Q,延长AM交y轴于点P,因为AMLAB .所以AQ PQ 8 PQ△ ABQo^ PAQ故BQ=AQ即4 = 8，所以PQ= 16,所以P（0 , 17）•又A（8 , 1）•所以直线AP的解析式为y =—8 1 11【学生解答】解：•••将直线y= 2—向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C,.••平移后直线的解析式为y=2x + 17.所以一2x + 17= x，解得X1 = ^, X2= 8（舍去），所以t =空.与平移有关的问题1 k 1【例4】（2016沧州九中模拟）如图，直线y = 2x与双曲线y = -（k>0 , x>0）交于点A,将直线y = -x向上平移2 — 2k4个单位长度后与y轴交于点C,与双曲线y= -（k>0 , —>0）交于点B,若0A= 3BC,求k的值.—3 1【解析】分别过点A, B作AD Lx轴，BE L —轴，CF L BE于点F,设A 3—，■-x，可得B —, ^x+ 4 .1 32X + 4 分别过点A, B 作ADL x 轴，BE± x轴，CF丄BE 于点F,设 A 3x,㊁乂, v OA= 3BC, BC// OA CF// x 轴，1 11 k 3CF= 3OD 又v•点 B 在直线y = 2X + 4 上,—B x, 2x+ 4,°••点A, B 在双曲线y= £（x>0）上,—3x1 3 9x x 2X + 4，解得x= 1（x = 0 直接舍去），••• k = 3x 1x 2 X 1 = 2.6. （2016成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y = kx的图象与反比例函数直线y= m的图x 象都经过点A（2，- 2）.（1）分别求这两个函数的解析式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B,与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C,连接AB, AC，求点C的坐标及厶ABC的面积., m解：（1）将点A（2，- 2）代入正比例函数y = kx与反比例函数y =-，贝U k=- 1，m=- 4，则正比例函数的解x析式为y = -x，反比例函数的解析式为⑵将直线OA向上平移3个单位长度后的函数解析式y=—x+ 3,令x= 0，贝U y = 3，B点的坐标为（0，3），y = -x + 3,x1= 4, 解得y1 = - 1, x2=- 1 ,y2= 4.•••一次函数与反比例函数图象在第四象河北专版）2017 中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练（三）一次函数和反比例函数结合试题C点坐标为（4 , —1），过点A作x轴的垂线交BC于点D,.・. S^ABC= S A AB卄S A ACD= 6.限的交点为C，4. (2016保定十七中二模拟)如图，一次函数y=—x + 4的图象与反比例函数象交于A(1 , a) , B两点.(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标;。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专项训练题(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角坐标系中，直线33y x =-与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点()2,A n ，在第三象限交于点B ，过点B 作BC x ⊥轴于C ，连接AC ．(1)求反比例函数解析式；(2)求ABC 的面积；2．如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x =()0k ≠的图象交于()23A -，，()1B m ，两点．(1)试求m 的值和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于()2,1A -、()1,B n -两点，与x 轴交于点C ．(1)求2k ，n 的值；(2)请直接写出不等式21k k x b x+<的解集； (3)连接OA 、OB ，求AOB 的面积．4．一次函数2y x b =+的图象与反比例函数()60y x x=>的图象交于点()16A ，，与x 轴交于点B ．(1)求一次函数的表达式；(2)过点A 作AC x ⊥轴于点C ，求ABC 的面积．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与双曲线k y x =相交于()2,A m ，B 两点BC x ⊥轴，垂足为C ．(1)求双曲线k y x=的解析式，并直接写出点B 的坐标． (2)求ABC 的面积．6．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于第一象限C D ，两点，与坐标轴交于A 、 B 两点，连接(OC OD O ，是坐标原点)．(1)求反比例函数的表达式及m 的值；(2)根据函数图象，直接写出不等式k ax b x +≥的解集为 ．7．如图，已知一次函数y ax b =+与反比例函数(0)m y x x=<的图象交于(2,4)A -，(4,2)B -两点，且与x 轴和y 轴分别交于点C 、点D ．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式m ax b x<+的解集； (3)点P 在y 轴上，且13AOP AOB S S =△△，请求出点P 的坐标．8．如图，反比例函数m y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于A 、B 两点，点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()1n ，．(1)求反比例函数与一次函数表达式；(2)结合图象，直接写出不等式m kx b x<+的解集．9．如图，一次函数2y kx =+的图象与x 轴交于点(4,0)A -，与反比例函数m y x =的图象交于点B ，C （-6，c ）．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当m kx b x+≥时，直接写出x 的取值范围； (3)在双曲线m y x=上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数()0m y x x=>的图象交于点()2P n ，，与x 轴交于点()40A -，，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)在平面内找一点D ，使以B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求出点D 的坐标．11．如图，反比例函数1k y x =图象与一次函数2112y x =--的图象交于点()4,A a -与点B ．(1)求a 的值与反比例函数关系式；(2)连接OA ，OB ，求AOB S ；(3)若12y y >，请结合图象直接写出x 的取值范围．12．如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()12A -,，(1),B m -．(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在点(0)(0),P n n >，使ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值，若不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点()2,2A -，()6,6B -为Rt ABC △的顶点90BAC ∠=︒，点C 在x 轴上．将ABC 沿x 轴水平向右平移a 个单位得到A B C '''，A ，B 两点的对应点A '，B '恰好落在反比例函数()0k y x x=>的图象上．(1)求a 和k 的值；(2)作直线l 平行于A C ''且与A B ''，B C ''分别交于M ，N ，若B MN '△与四边形MA C N ''的面积比为4:21，求直线l 的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x 轴上的点P 和直线l 上的点Q ，使得以P A Q '，，，B '四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知直线1y x m =-++与反比例函数()0,0m y x m x =>>的图象分别交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)如图1，当点A 坐标为()1,3时 ①求直线AB 的解析式：①若点P 是反比例函数在第一象限直线AB 上方一点，当ABP 面积为2时，求点P 的坐标；(2)将直线CD 向上平移2个单位得到直线EF ，将双曲线位于CD 下方部分沿直线CD 翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线EF 有且只有一个公共点，求m 的值．15．已知在直角坐标平面内，直线l 经过点()0,4A -，且与x 轴正半轴交于点B ，25cos 5BAO ∠=，反比例函数()0k y x x =>的图像与直线l 交于点()3,C m ．(1)求k 的值；(2)点P 在上述反比例函数的图像上，联结BP 、PC ①过点P 作PD x 轴，交直线l 于点D ，若PD 平分BPC ∠，求PD 的长； ①作直线PC 交y 轴于点E ，联结BE ，若3PBE PBC S S =△△，请直接写出点P 的坐标．参考答案：1．(1)6y x=； (2)92．(1)16,42m y x =-=+ (2)83．(1)22k =-，n=2(2)2x >或10x -<<(3)324．(1)一次函数的表达式为24y x =+；(2)ABC 的面积为9．5．(1)4y x =；()2,2B -- (2)46．(1)4y x=；1m = (2)14x ≤≤7．(1)8y x=- 6y x =+ (2)42x -<<-(3)(0,2)P 或(0,2)-8．(1)6y x = 142y x =-+； (2)26x <<或0x <．9．(1)反比例函数得表达式为：6y x=()2,3B (2)60x -≤<或2x ≥(3)存在 1(1,6)P -- 2(3,2)P --10．(1)114y x =+ 8y x = (2)()01-，、()03，和()81，11．(1)1a = 4y x=- (2)3(3)40x -<<或2x >12．(1)2y x=- 1y x =-+； (2)114n =-+或217n =+13．(1)8a = 12k =(2)45y x (3)存在，点P 、Q 的坐标分别为4360855⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，或1405⎛⎫- ⎪⎝⎭，、625⎛⎫ ⎪⎝⎭，或36,85⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1645⎛⎫ ⎪⎝⎭，14．(1)①4y x =-+；①()3636P +-，或()3636-+， (2)322m =+15．(1)6k =．(2)①125PD =；①94,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或98,43P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。