不定方程及不定方程组的解法

不定方程（组）及应用【知识点拨】不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。

当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。

为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。

一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。

【典型例题】例1、求不定方程5x + 9y=104的整数解【巩固训练】1、在不定方程89 —7a=4b中，a、b均为自然数，求此不定方程的解。

{ 5 %+6y - z=20例2、求三元一次不定方程组 3 % - y+4 z=12的正整数解。

【巩固训练】{ 7 x+9 j+11 z = 681、求不定方程组 2 x + j=10 的正整数解。

例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？【巩固训练】装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。

问需要大小盒子各多少个？例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）【巩固训练】1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费; 如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9 元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？【巩固训练】1、把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9 的倍数，并且使这个数尽可能小。

不定方程和解不定方程应用题经典———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。

然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。

二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程某﹢y﹢z=100共有几组正整数解？解：当某=1时y﹢z=99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98)(2，97)(98，1)。

当某=2时y﹢z=98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97)(2，96)(97，1)。

当某=98时，y﹢z=2，这时有一个解。

∵98﹢97﹢96﹢﹢1=9899=48512∴方程某﹢y﹢z=100共有4851个正整数解。

2、表格记数法如：方程式4某﹢7y=55共有哪些正整数解。

解：某y123455121517477437397某某某某√√∴方程4某﹢7y=55的正整数解有某=5某=12y=5y=13、分离系数法如：求7某﹢2y=38的整数解解：y=387某1=19-3某-某2212令t=1某23872t=19-7t2某=2t则y=2t＞019-7t＞0（t为整）→25＞t＞07t=2，1当t=2时，某=2某2=4某=4y=19-7某2=5y=5当t=1时，某=2某1=2某=2y=19-7某1=12y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5某－3y＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5某－3y＝9的解有：某＝2.4某＝2.7某＝3.06某＝3.6………y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定某、y的解是小于5的整数，那么解就只有某＝3，Y＝2这一组了。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳含有未知数的等式称之为方程。

小学阶段最开始接触的是一个方程只有一个未知数的情况。

比如3x+2=8，解得x=2，这样解出来的答案是唯一性的。

但是有时候我们会遇到一个方程，有两个甚至三个未知数。

这样未知数个数大于方程个数的方程（组）叫不定方程（组）。

不定方程，一般情况下解是不唯一的。

方程比如说x+y=10，问这个方程有多少组解？如果不给其他条件限制，那么这个方程会有无数组解。

所以大多数的不定方程都会有较多的限制条件。

比如说限制这些未知数均为自然数，或在某个范围内。

还是以x+y=10为例，如果x、y都是自然数，那么x、y的解会有11组。

在小升初或各大小学杯赛题目中，会出现解不定方程。

不定方程，有四种比较常用的解法。

第一种：枚举法。

枚举法在很多地方都会用得上。

比如说计数，找规律等，虽然效率不是很高但适用范围比较广。

这种方法适用于一些系数比较大的不定方程。

因为系数比较大，出现的可能性就比较少，所以可以利用枚举的方法来解答。

比如说求这个不定方程的解，7x+2y=24（x、y均为自然数）。

因为x前面的它的系数比较大，所以说x的取值范围相对来说会比较小。

因为x、y都属于自然数，x最大是3，最小是0。

也就是说，x 有可能等于0、1、2、3，最多就这4种情况，我们可以把这些x的值分别代入这个方程中解出y的值。

我们会发现x=1和x=3这两种情况是不成立的。

第二种方法，奇偶性分析。

照样以上面的例题为例，我们用奇偶分析来帮助我们缩小x的取值范围。

两个数的和等于24，是一个偶数。

2y也一定是个偶数，所以说7x 的值一定是个偶数。

7是奇数，所以说x只能是偶数。

那么x又是从0~3，那么所以说x只能是0或者2这两种可能。

最后算出有两组答案：x=0,y=12；x=2,y=5。

第三种：余数分析。

也是用的比较多的方法，通常从系数较小的未知数入手。

它的原理其实就是利用了：和的余数等于余数的和，进行判断分析。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概括不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，所以常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标记着中国对不定方程理论有了系统研究．宋朝数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各种比赛考试中，不定方程常常以应用题的形式出现，除此之外，不定方程还常常作为解题的重要方法贯串内行程问题、数论问题等压轴大题之中．在此后初高中数学的进一步学习中，不定方程也相同有侧重要的地位，所以本讲的侧重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在此后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（ 1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两头相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不独一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确立解的个数；③求出全部的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特色（能被 2、 3、 5 等数字整除的特征）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1） b 利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（ 3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1 】求方程2x－ 3y＝ 8 的整数解【考点】不定方程【分析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋ 3y，x＝ 4＋3y，所以，对 y 的随意一个值，都有一个x 与之对2应，而且，此时x 与 y 的值必然知足原方程，故这样的x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解x 4 3 k，此中 k 为随意数．说明可表为： 2 由 y 取值的随意性，可知上述不定方程有无量多y k组解．方法二：依据奇偶性知道2x 是偶数， 8 为偶数，所以若想 2x－3y＝ 8 建立， y 必为偶数，当 y＝ 0， x＝4；当 y＝ 2，x＝ 7；当 y＝4， x＝ 10，本题有无量多个解。

不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。

不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。

但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。

对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。

常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。

定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。

其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。

定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。

我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。

可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。

三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。

2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。

3．3x+y=24的非负整数解有 组。

4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。

5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。

6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。

7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。

（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。

不定方程组的解法1. 引言在高中数学中，不定方程组通常是初等代数学习中的一部分。

不定方程组是指方程组中未知数的个数等于或大于方程的个数，同时这些方程中的系数不全为常数的方程组。

解决这些方程组的问题通常是找到一组合适的值满足所有方程，即找到所有未知数的值，这些值称为方程组的解。

本文将介绍几种不定方程组的解法。

2. 全消元法全消元法是求解不定方程组的一种基本方法。

它的基本思想是通过将方程组中一部分未知数用其他未知数来表示，逐步消去所有未知数的系数，以达到求解的目的。

举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用全消元法解决这个问题。

我们可以先使用第二个方程的系数消除第一和第三个方程中的$x$系数。

消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+4y=4\\-9y-4z=-10\\5y+4z=4\end{cases}$$然后，我们使用第一和第三个方程的系数消除$y$系数。

消去后，方程组变为：$$\begin{cases}29x=-8\\-29z=-42\end{cases}$$这里$x=\frac{-8}{29}$，$z=\frac{42}{29}$。

通过代回，我们可以求出$y$。

因此，由于全消元法，我们可以找到方程组的唯一解。

3. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法也是一种求解不定方程组的方法。

它的基本思想是通过加减消元和除法操作来将方程组转化为阶梯形矩阵，从而解决问题。

举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用高斯-约旦消元法解决这个问题。

我们可以先使用第一个方程的系数消除第二个方程中的$x$系数。

消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\-5y-z=-11\\3x+y+2z=8\end{cases}$$然后，我们使用第二个方程的系数消除第三个方程中的$x$系数。

不定⽅程—解答不定⽅程不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的⽅程.不定⽅程是数论的⼀个重要课题，也是⼀个⾮常困难和复杂的课题.1．⼏类不定⽅程(1) ⼀次不定⽅程在不定⽅程和不定⽅程组中，最简单的不定⽅程是整系数⽅程)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为⼆元⼀次不定⽅程。

⼀次不定⽅程解的情况有如下定理。

定理1．⼆元⼀次不定⽅程ax by c +=(,,a b c 为整数)有整数解的充分必要条件是c b a |),(。

定理2．若(,)1a b =，且00,x y 为①之⼀解，则⽅程①全部解为0x x bt =+， 0y y at =-，其中t 为整数。

(2) 佩尔)(pell ⽅程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平⽅数）的⽅程称为佩尔⽅程。

能够证明它⼀定有⽆穷多组正整数解；⼜设),(11y x 为该⽅程的正整数解),(y x 中使d y x +最⼩的解，则其全部正整数解如下：111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ?=++=+-??(1,2,3,)n =。

①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出⽅程的⽆穷多组解。

②n n y x ,满⾜的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n n n n x x x x y x y y ----=-??=-? 。

(3) 勾股⽅程222z y x =+这⾥只讨论勾股⽅程的正整数解，只需讨论满⾜1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素。

这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为⽅程的本原解，也称为本原的勾股数。

容易看出y x ,⼀奇⼀偶，⽆妨设y 为偶数，下⾯的结果勾股⽅程的全部本原解通解公式。

定理3．⽅程222z y x =+满⾜1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满⾜b a b a ,,0>>⼀奇⼀偶，且1),(=b a 的任意整数。

3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法． 一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝ 而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）． 分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）． 例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋ ＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾． 所以，不存在符合要求的整数．说明 熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－ ＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋ ＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明 对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解． 解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤， 所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解． 上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋， 从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立． 因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是 （x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）． 例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋ 有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝， －＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论． 若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的． 综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明 进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜， 于是 3d ≤． 分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）． 例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤， 故 3yz ≤，于是 （y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋． 若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤， 等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋， 即 ()()114a b －－＝，得 （a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得 （a ，b ）＝（3，2）． 当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ） ＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1）， （3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1）， （7，1，1，3，3，1）．说明 此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾． 例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得 （x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－， 故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝， 于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝． 当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）； 当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝， 这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋， 同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得 （x ，y ，z ）＝（4，2，5）． 所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－． 如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡， 但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立． 如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋， 由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝， 不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明 上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理． 例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明 现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－ 有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数． 此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明 一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明 如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。

不定方程求解方法一、不定方程是啥。

1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。

比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。

这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。

1.2 这种方程在数学里可是很常见的。

它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。

这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。

二、求解不定方程的一些常用方法。

2.1 枚举法。

这就像一个一个去试。

比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。

当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。

就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。

就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。

2.2 利用数的性质。

比如说奇偶性。

如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。

这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。

再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。

这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。

2.3 换元法。

就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。

这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。

这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。

三、实际应用中的不定方程求解。

3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。

比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。