七年级数学上册 第4章 直线与角 45 角的比较与补余角习题课件 新版沪科版

新知探究 知识点1 补角和余角的概念
α β
如图，∠α+∠β=90°，∠α叫作∠β的余角， ∠β也叫作∠α的余角，∠α与∠β互余.
新知探究 知识点1 补角和余角的概念
特别提醒:（1）余(补)角指的是两个角之间的数量 关系,与位置无关，且它们是成对出现的,单独的一 个角或两个以上的角不能称为余(补)角. （2）若两个角互余,则这两个角一定都是锐角；若 两个角互补,则这两个角可能都是直角,也可能是一 个锐角、一个钝角.
余角
同角（或等角） 的余角相等
°，那么∠2=∠3; (2)如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90
°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4
随堂练习
【教材P160 练习 第1题】
1. 填表：
∠α
50° 45° 60° n°（0＜n＜90）
∠α的余角 40° 45° 30° （ 90-n ）°
∠α的补角 130° 135° 120° （ 180-n ） °
新知探究 知识点2 补角和余角的性质 【归纳总结】

性质
数学语言
(1)如果∠1+∠2= 180°, ∠1+∠3= 18
补角
同角（或等角） 的补角相等
0°，那么∠2=∠3; (2)如果∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180
°，且∠1=∠3, 那么∠2=∠4
(1)如果∠1+∠2= 90°，∠1+∠3= 90
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补（余）角
第2课时 补角和余角 七上数学 HK
学习目标
1. 了解补角、余角的概念. 2. 掌握补角和余角的性质.
课堂导入

8．如图，在∠AOB的内部作射线OC和OD，则下列结论 成立的有( D )
①∠AOB＞∠AOC； ②∠BOD＞∠COD； ③∠BOD＝∠BOC＋∠COD； ④∠AOC＝∠AOB－∠BOC.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．[2021·马鞍山含山县期末]如图，已知点A在点O的北 偏东42°40′方向上，点B在点O的正南方向，OE平分 ∠AOB，则点E在点O的( A ) A．南偏东68°40′方向上 B．南偏东69°40′方向上 C．南偏东68°20′方向上 D．南偏东69°10′方向上
答案显示
1．在角的内部，以角的顶点为端点的一条__射__线____把这 个角分成两个___相__等___的角，这条射线叫做这个角的 平分线．
2．角的和、差：如图，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和， 记作：_∠_A__O_C_＝__∠__A_O__B_＋__∠_B__O_C____，∠AOB是∠AOC 与∠BOC的差，记作：_∠__A__O_B__＝__∠__A_O_C__－__∠__B_O_C__.
(1)若∠AOB＝70°，求∠EOC的度数；
解：因为∠AOC＝170°，∠AOB＝70°，所以∠BOC＝100°. 因为∠BOE＝13∠EOC， 所以可设∠BOE＝x，则∠EOC＝3x， 所以∠BOC＝∠BOE＋∠EOC＝x＋3x＝100°， 所以x＝25°，所以∠EOC＝3x＝75°.
(2)若∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．
5．如图，点A，O，B在同一条直线上，直线CD经过O点， 已知∠BOD＝∠DOE＝∠AOC，OF平分∠AOE，当 ∠AOC＝28°15OD＝∠DOE＝∠AOC，且∠AOC＝28°15′， 所以∠BOD＝∠DOE＝28°15′， 所以∠AOE＝180°－2×28°15′＝123°30′. 又因为 OF 平分∠AOE，所以∠EOF＝12∠AOE＝61°45′.

12/6/2021
2.定义剖析：
（1）定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
（2）把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如 图，这两角还是互为补角吗？
D
F
1
A
12/6/2021
3.定义应用
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=__1_8_0_°_. (2) ∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系
所以∠2＝∠4.
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归 同角（或等角）的补角相等； 纳
同角（或等角）的余角相等。
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例 如图，A，O，B在同一直线上,射 线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
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解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角.
4.5 角的比较与补（余）角
第2课时
12/6/2021
1.你能用一副三角板画出哪些角？ 2.什么叫做角的平分线？
12/6/2021
1. 1
2
∠1=30°, ∠2=60° 则∠1+ ∠2 =
问：∠1和∠2、 ∠3和∠4 ，∠α 和∠β它们在数 。 量上有什么共同 之处？
2. 3
4
∠3=70°, ∠4=20 ° 则∠3+ ∠4 = 。
又因为射线OD和射线OE 分别平分∠AOC和∠BOC，
1
1
所以∠COD +∠COE＝ 2 ∠AOC+2 ∠BOC
1 ＝ 2 (∠AOC+ ∠BOC)
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD 与∠BOE，
∠AOD 与∠COE ，

典例精析
例1 根据下图，回答下列问题：
(1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC
的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角；
(2)在图中找出角的三个等量关系． [解析] ∠AOB是平角，∠AOC是钝角， ∠AOD是直角，∠AOE是锐角，于是 就可找到这几个角的大小关系．
解：(1)由图可知，∠AOB是平角，∠AOC是
结论： 同一个锐角的补角比它的余角大_____. 90°
例3 如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且 ∠AOB＝40°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，
所以∠AOB，∠COD都是∠BOC的余角，
所以∠AOB＝∠COD. 因为∠AOB＝40°，所以∠COD＝40°.
例4 一个角的补角比它的余角的2倍多12°， 求这个角的度数. 解：设这个角的度数为x°.
所以它的补角为（180-x)°，
它的余角为（90-x）°，
依题意，得 180-x=2(90-x)+12.
解方程，得 x=12.
答：这个角的度数为12°.
拓展提升
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D
解：因为点A，O，B在一条直线上，
所以∠AOB＝180°.
因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°.
又因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
1 1 所以∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ 2 ∠BOC. 2 1 1 ×180°＝90°. 2
所以∠MOC＋∠CON＝ 2(∠AOC＋∠BOC)＝ 又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON， ∴∠MON＝90°.

三、概念剖析
想一想
（1）已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3.
三、概念剖析
（2）已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等 吗？为什么？
∴∠COD=∠AOD=
1 2
∠AOC
∠COE=∠BOE=
1 2
∠BOC
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90° ∴∠DOB的补角：∠AOD、∠COD．
而∠AOB=180°
∠BOE的余角：∠AOD、∠COD；
【当堂检测】
1. 关于下图的说法正确的是（ C ） A. ∠AOC是∠DOC的补角 B. ∠COB是∠AOD的余角 C. ∠AOC是∠BOC的补角 D. ∠DOC是∠AOD的余角
五、课堂总结
1.角的大小比较方法：①度量法；②叠合法。 2.角的平分线：从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射 线,叫这个角的平分线,角平分线必须是一条射线.
3.余角和补角 （1）如果两个角的和等于180°,那么我们就称这两个角互为补角,简称互补. （2）如果两个角的和等于90°,那么我们就称这两个角互为余角,简称互余.
∴∠1=90°﹣50°=40°，
∵∠2的补角是150°，
∴∠2=180°﹣150°=30°，
∴∠1＞∠2.
四、典型例题
例题3：一个角比它的余角大25°，那么这个角的补角的度数是？
【分析】不明确这个角的具体度数，我们可以假定一个值，然后根据补角、余角的 定义表示出它的补角、余角就能快速解题了。
解：设这个角为a， 则x=90°-x+25°， 解得：x=57.5°， 这个角的补角=180°-57.5° =122.5°．

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∠AOB是∠AOC与∠COB的差，
记作∠AOB＝∠AOC－∠COB.
O
A
类似地，∠AOC－∠AOB＝∠COB.
探究新知
例1 如图④，求解下列问题： (1)比较∠ AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小； (2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.
A B C
O
图④
D
解：(1)由图④可以看出： ∠AOC＞∠BOC(OB在∠AOC 内) ∠BOD＞∠COD(OC在∠BOD内) (2)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， ∠AOC＝∠AOD—∠DOC.
图⑦
解：(1)∠FOD＜∠FOE. (2)用含有45°角的三角尺比较, 可得∠DOE＞45°,∠DOF＜45°,所以∠DOE＞∠DOF.
巩固练习
2. 一个角的补角比它的余角的4倍少30°，求这个角的度数．
解：设这个角为x，由题意得 180°－x＝4(90°－x)－30°， 解得x＝50°. 答：这个角的度数是50°.
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。20:47: 2020:4 7:2020: 47Monday, August 02, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。21.8.2 21.8.22 0:47:20 20:47:2 0Augus t 2, 2021

互补：两角之和为平角
性质：同（等）角的补 （余）相等.
2.如图，∠1=∠3，那么（ C ）.
A.∠1=∠2 C.∠AOC=∠BOD
B. ∠2=∠3
D. ∠1= 1 BOD
2
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分 ∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD等于( B )
A．30° B．35° C．20° D．40°
4. 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个 角的度数.
试一试
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
思考：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的 大小有什么关系？
1
2
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
结论： 同角(等角)的补角相等 类似可得：同角(等角)的余角相等
填一填
∠α 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90)
典例精析
例1 根据下图，回答下列问题： (1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC 的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角； (2)在图中找出角的三个等量关系．
[解析] ∠AOB是平角，∠AOC是钝角， ∠AOD是直角，∠AOE是锐角，于是 就可找到这几个角的大小关系．
解：(1)由图可知，∠AOB是平角，∠AOC是 钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°), 余角是(90°－x°) .
根据题意，得 180°－x°= 4 (90°－x°)
解得 x=60 答：这个角的度数是60 °.
课堂小结

30.17° 60.34°
29.66°
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
B'
问题2：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系 吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
B'
B (B' )
B
B
O (O' )
A(A' ) O (O' )
A(A' ) O
A
∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB =∠A'O'B' ∠AOB＞∠A'O'B'
练一练：如图,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外
课程讲授
1 余角和补角
问题1：观察三角尺的三个角的度数，归纳它们之间的 数量关系
45°
30°
90° 45° 45°+45°=90°
90° 60° 30°+60°=90°
45°
30°
90° 45° 45°+45°=90°
90° 60° 30°+60°=90°
定义：如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
O
B
例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7 = 51°+180′÷7 ≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
归纳：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与 度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要 进位，相减时要借1作60.
B
O
A

们的和，即：∠COA=∠COD+∠AOB
O
B (D)
A
4
角的倍数关系又怎么表示？
如果∠a是∠b的2倍，那么就记作∠a=2∠b
同时∠b就是∠a的




，记作∠b= ∠a
如果∠a是∠b的3倍，那么就记作∠a=4∠b


同时∠b就是∠a的 ，记作∠b= ∠a
根据图形填空。
AOB + ∠_______
2
两个角的差怎么计算？
C
A
O
B
O
D
2
两个角的差怎么计算？
C
当其中一个角∠AOB在另一个角∠COD
A
的内部时，它们的另两条边构成的角就是它
们的差，即：∠COA=∠COD-∠AOBOB (D)源自3两个角的和怎么计算？
C
A
O
B
O
D
3
两个角的和怎么计算？
C
当其中一个角∠AOB在另一个角∠COD
的外部时，它们的另两条边构成的角就是它
所以这个角是45°
“ THANKS
合作方：飞卢数学
”
第4章 直线与角
4.4 角的比较与补(余)角
1
怎么比较两个角的大小？
【1】叠合法
把两个角的顶点重合，一边也重合，另一边放在一侧来比较
1
怎么比较两个角的大小？
1
【2】度量法
2
用量角器量出两个角的度数，然后进行比较
∠1=27°，∠2=49°，所以∠1＜∠2
注意：角的大小只跟角两边张开的程度有关，与其他因素无关
可以一个角在地球上， 一个角在火星上。
6
互余和互补是什么意思？

解：设这个角的度数为x，由题意得 180° － x ＝ 4(90° － x) － 30° ， 解 得 x ＝ 50° ， 即这个角的度数是50°.
9．如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内， 使点B落在点B′的位置，折痕为EF，再把CF折叠， 使点C落在点C′的位置，折痕为GF，如果C′F与FB′ 在同一条直线上．
A．1对D B．2对 C．3对 D．4对
6．[期末·芜湖]若∠A 与∠B 互补，且∠A＞∠B，
则∠B 的余角是( A )
A.12(∠A－∠B) C.12∠B－∠A
B.12(∠A＋∠B) D．∠A－12∠B
7．[期末·安庆宿松县]一个锐角的补角比它的余 角大___9_0____度．
8．[期末·亳州]一个角的补角比它的余角的4倍少 30°，求这个角的度数．
1．一般地，如果两个角的和等于___9_0_°___，就说这两
个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；
如果两个角的和等于________，就说这两个角互为 补角，即其中一个角是另18一0°个角的补角．
2． 同角 (等 角)的余角 ________， 同角 (等角)的补角
________．
相等
相等
(2)直接写出∠1与∠2之间的数量关系；
(3)直接写出∠EFG是什么角． 解：∠1＝90°－∠2.
∠EFG是直角．
第4章 直线与角
4.5 角的比较与补(余)角 第2课时 补角和余角
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核心必知
1 90°；180°
2 相等；相等
基础巩固练
1D 2A 3 25 4C
答案显示
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能力提升练
5D
6A
答案显示