集合有关概念和集合间的基本关系之欧阳学文创作

一、学习目标：1.了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4.在具体情境中，了解全集与空集的含义；5.理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集.二、重点、难点：1.重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系2.难点：有关⊆∈,的理解和应用三、考点分析：本讲的内容是中学数学最基本的内容之一，基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中，在高考中占有重要地位.1.集合（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集 （2）集合的元素特性：确定性、互异性、无序性（3）集合的表示方法：①列举法—把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法；②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.（4）常见集合的符号表示:2.集合间的基本关系：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集.知识点一：集合的基本概念例1.在以下六种写法中，错误写法的个数是（）A. 3B.4C. 5D. 6思路分析：题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆∈和的区别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（4）考查元素与集合之间符号的运用.解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小，写法（2）是表示空集与任意集合的关系，写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合的表示，写法（6）是对集合中元素的认识.解答过程：（1）是两个集合的关系，不能用“∈”；（2）空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；（3）集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等；（4）φ表示空集，空集中无任何元素，所以应是φ∉0，故写法不正确；（5）集合符号“{}”本身就表示全体元素之意，故此“全体”两字不应写；（6）等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.故本题选B题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别⊆∈和两个符号的不同含义.例2.已知{}3,)1(,2232+aaA，若Aa=a+++1，求实数a的值.∈思路分析：题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系，集合中元素的有关性质.解题思路：解答过程：{}1,0,1==+时，当不符合集合性质，舍去；-a=,1a12A题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质，要学会用分类的思想考虑问题，并且要通过集合中元素的唯一性验证集合.例3.已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ，当A B ⊆时，求实数a 的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用，对于集合{}4,2-=A 中含有确定的两个元素－2，4，如果集合B 是集合A 的子集，则集合B 中的元素应是集合A 中的元素，另外还考查了分类的思想.解题思路：本题应从如何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手，寻求集合B 可能的情况，但无论如何不能使集合B 中含有集合A 以外的元素，尤其不能忘记集合B 可能是空集.解答过程：由已知得{}4,2-=A ，B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集，因为A B ⊆，所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B（1）若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ），解得24-==a a 或，当04=∆=时，恰有a ；（2）若{},4=B 则0124422=-++a a ，解得舍去，此时02>∆-=a ；（3）若{},4,2-=B 则由（1）（2）知02>∆-=，此时a 符合题意；（4）若φ=B 时，由0<∆解得44-<>a a 或.综上所述，所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或. 题后思考：①在本题的讨论中，当{}4B =时的真正含义是：集合B 中的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；②当B 为单元素集时，也可利用韦达定理求出a 的值； ③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况，事实上，我们应首先考虑空集.知识点二：集合的运算（交集）例4.若{}{}==--===B A ,032,122 则x x x B x x A （）A.{}3B.{}1C.φD.{}1-思路分析：题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解. 解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法表示出来，解0322=--x x ，用列举法把集合B 中的元素表示出来，再求B A .解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ， 由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴ ，故选D.题后思考：本题主要考查交集的定义，因此，只要对定义的内容清楚应不难写出答案.例5.设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B x （）A.{}13<<-x xB.{}21<<x xC.{}3->x xD.{}1<x x 思路分析：题意分析：本题考查集合A 和B 的交集，A 和B 两个集合都是与不等式有关的，则求集合A 和B 的交集时，我们需要借助于数轴，用数形结合的方法来解题更形象.解题思路：先解出A 中元素应满足的范围，再在数轴上表示出A 中元素满足的范围，然后在数轴上表示出B 中元素所满足的范围，由数轴得出最终的结果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得. 又由{}23<<-=x x B ，{}1x 3x B A <<-=∴ ，故选A.题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来；②用数轴表示出来；③根据数轴的图像得出最终的答案.尤其要注意的是有没有“等号”，在数轴上表示为实心点或空心点，以及能否取到该值.例6.已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查A 和B 的交集为空集，B 为已知的集合，A 集合中包含的元素随着a 的变化而变化，需要合理的讨论. 解题思路：先在数轴上得出B 集合，再由φ=B A ，确定出A 集合的位置，再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况，在解题过程中很有可能会遗漏.解答过程：（1）若φ=A ，由φ=B A 知，此时3,32>∴+>a a a ；（2）若得如图：由,B A ,φφ=≠ A综上所述，a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或. 题后思考：①出现交集为空集的情况，首先要考虑集合中有没有空集，即分类讨论；②与不等式有关的集合运算中，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑；③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析.①关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化简到最简形式，再进行运算；②出现交集为空集的情况，首先考虑集合中有没有空集； ③与不等式有关的集合运算中，多注意用数轴法表示；④对于含参数的集合问题，在根据集合的互异性进行处理时，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想.（答题时间：45分钟）一、选择题1.集合{}5N x <∈x 的另一种表示方法是（）A.{}4,3,2,1,0B.{}4,3,2,1C.{}5,4,3,2,1,0D.{}5,4,3,2,12.已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ，则（）A.B A >B.B A ⊂C.A B ⊂D.B A ⊆3.下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ其中正确的有（）A.①③B.①⑤C.②④D.②⑤ 4.设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m （） A.{}1,0B.{}1,01，-C.{}2,1,0D.{}2,1,01，- 5.已知{}{}=-==-==N M ,1,1M 22 那么x y y N x y x （） A.φ B.M C.N D.R*6.设R b a ∈,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （） A.1B.－1C.2D.－27.集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ（）A.1-≤aB.1≤aC.1-≥aD.1≥a二、填空题8.已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____.9.已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22 那么R x x y y N R x x y y ______. 10.若{}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A = ，则这样的x 的不同值有________个.11.已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________.三、解答题*12.设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+= a x a x x B x x A 求a 的值.一、选择题1.A 解析：由5<x 且是自然数，得x 为0，1，2，3，42.C 解析：3.D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②正确；③{}φ=0，空集不含任何元素，所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不能用“∈”，所以⑤{}0⊂φ正确.欧阳学文创作欧阳学文创作 4.B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈= 则n Z n N m5.C 解析：{}{}{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x 则{}N y y N M =-≥=16.C 解析： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，∴.1,,0,0-=-=∴=+≠ab b a b a a 7.C 解析：由M,⊂φ所以必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴.二、填空题8.2≥a .解析：如图：9.{}1解析：{}{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y{}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以，{}1N M = . 10. 311.4三、解答题12.解析：{}{}，0,404x 2-==+=x x A①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a ②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ由①②③得11-≤=a a 或.。