2014高考二轮复习解析几何专题(理科普通班)

专题十一 解析几何北京市2011各区1、设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A1（B）12（C）（D）22、已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 （A ）32（B ）6（C ）34（D ）123、已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 （A ）0kx y k ++= （B ）01=--y kx （C ）0kx y k +-= （D ）20kx y +-= 4、设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．5、椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .6、已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______． 7、若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >；③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（A ）②③④ （B ）①③④（C ）①②④ （D ）①②③8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为（A ）2213y x -=（B ）2213x y -=（C ）221412x y -=（D ）221124x y -=9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（A ）12-（B ）12（C ）12-+ （D ）12+ 10、双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 ．11、已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ．12、双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____； 若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.13、已知点1F ，2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .14、已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，且与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点，则其焦点坐标为 _________, 双曲线的方程是____________.15、如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是（A ）7 （B ）7（C ）14（D ）1416、已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（A ）24y x = （B ）28y x = （C ）24y x =或24y x =- （D ）28y x =或28y x =-17、已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_ _____；渐近线方程为_______.18、点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点A （0，-1）的距离与到直线1x =-的距离和的最小值是（A （B （C ）2（D19、过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60 的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF= ．20、已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 （A ）(0,1]r ∈（B ）(1,2]r ∈（C ）3(,4)2r ∈（D ）3[,)2r ∈+∞21、已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ．22、如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是,,M N P e e e .则它们的大小关系是 （用“<”连接）.北京市2012各区1、已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．2、已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3、已知椭圆:G 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，⊙M 过椭圆G 的一个顶点和一个焦点，圆心M 在此椭圆上，则满足条件的点M 的个数是（A ）4 （B ）8 （C ）12（D ）164、已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（A ）6（B （C ）32（D ）345、已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .6、已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______．7、已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.8、抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个．9、曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称； ② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤；③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是____________．北京市2013各区1、椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上恰有6个不同的点P ，使得△12PF F 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 （A ）12(,)33（B ）1(,1)2（C ）11(,)32（D ）111(,)(,1)3222、已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则△12PF F 的面积是 。

圆锥曲线（推荐时间：70分钟)1．如图，F1,F2分别是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的左，右焦点,A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；（2）已知△AF1B的面积为40错误!，求a，b的值．解(1）设椭圆的半焦距为c.由题意可知，△AF1F2为等边三角形，所以b＝3c，b2＝3c2,a2＝4c2，a＝2c，所以e＝错误!。

（2)方法一因为a2＝4c2，b2＝3c2，所以直线AB的方程可设为y＝－错误!（x－c）．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B错误!.所以｜AB|＝1＋3·错误!＝错误!c.由S△AF1B＝12｜AF1|·|AB｜sin∠F1AB＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a2＝40错误!，解得a＝10，b＝5错误!.方法二设|AB｜＝t。

因为｜AF2|＝a，所以|BF2｜＝t－a。

由椭圆定义|BF1｜＋|BF2｜＝2a可知,｜BF1｜＝3a－t.再由余弦定理(3a－t）2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，t＝错误!a。

由S△AF1B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a2＝40错误!知，a＝10,b＝5错误!.2．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为(－错误!，0），(错误!,0）,点C在x轴上方．(1)若点C坐标为(2,1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2)过点P(m，0）作倾斜角为错误!π的直线l交（1)中曲线于M，N两点，若点Q（1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m 的值．解(1）设椭圆方程为错误!＋错误!＝1，c＝错误!，2a＝｜AC|＋｜BC｜＝4,b＝错误!，椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

(2）直线l的方程为y＝－(x－m），令M(x1,y1),N(x2，y2），由方程组错误!得3x2－4mx＋2m2－4＝0,即错误!若Q恰在以MN为直径的圆上，则错误!·错误!＝－1，则m2＋1－（m＋1)（x1＋x2)＋2x1x2＝0，3m2－4m－5＝0,解得m＝错误!.将m值代入Δ＝－8m2＋48〉0.∴m＝错误!3．已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为（0,2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P （0，m），与椭圆C交于相异两点A,B，且错误!＝2错误!。

2014年全国高考试卷解析几何部分汇编（下）1. （2014理10）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离，则2C 的渐近线方程为( ) A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=【解析】 A2. （2014理21）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF△为正三角形． ⑴求C 的方程；⑵若直线1l l ∥，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴当A 的横坐标为3时，过A 作AG x ⊥轴于G ，3pAF =+32pFD AF ∴==+AFD △为等边三角形13224pFG FD ∴==+又32pFG =-33242p p∴+=-，2p ∴=，2:4C y x ∴= ⑵（ⅰ）设11()A x y ，，11FD AF x ==+ ()120D x ∴+，，12AB y k ∴=-1//AB l l ，1112l k y ∴=-又1l 与C 相切，设切点()E E E x y ，, 214x y =，12x y '=，1122E y y -∴=，14E y y ∴=- 22111444E x y y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211211444y E A y y y ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 1211121214:444AEy y y l y y x y y +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭-即()121414y y x y =--恒过点()10，∴直线AE 过定点()10，．（ⅱ）2111:24AB y y l y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即21122244y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()2211880y y y y +-+= 1218y y y +=-，2118y y y ∴=--12118+AB y y y y =-= 点E 到AB的距离d =32311121111184222222162242y y S AB d y y y y ∴=⋅=+++=+⨯=≥，当且仅当12y =±时，“=”成立．3. （2014文14）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为，则圆C 的标准方程为．【解析】 ()()22214x y -+-= 4. （2014文15）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．【解析】 y x =±由已知得2p b ==，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为2p c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即()c b -，代入双曲线方程为22221c b a b -=得222c a=，1b a ∴=∴渐近线方程为y x =±．故答案为y x =±．5. （2014文21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线y x =被椭圆C⑴求椭圆C 的方程；⑵过原点的直线与椭圆C 交于A B ，两点（A B ，不是椭圆C 的顶点）． 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； ②求OMN ∆面积的最大值．【解析】⑴c e a ==，设2c a n ==，，则b n =，椭圆方程为2224x y n +=设y x =与椭圆在第一象限的交点为()00x y ，则00x y =000x y ⎧=⎪⎪=∴⎨⎪=⎪⎩将代入椭圆得1n =，2214x y ∴+=⑵方法一：（ⅰ）设AB l ：y kx =2244y kx A B x y =⎛⎫⎛⎫⎧⇒⎨+=⎩， AD l：2211k y x y x k k +⎛⎫=-⇒=- ⎝2222222442242482402114x y k k k k x k k k k y x k ⎧+=⎛⎫++ ⎪⎪+⎪⎝⎭⇒++-=+⎨+⎪=--⎪⎩222216164D D k x k +=⇒=+3D y =3124kk -∴==+BD l:4k y x ⎛⎫-=⎝ 令0y=0m x M ⎛⎫⇒=⇒⎪⎭22k k ∴==-121122k k λ∴=-∴=-，（ⅱ）0⎛⎫⎪⎭，对BD l:4k y x ⎛⎫=- ⎝ 令0x =得3N k y319121224OMNkSkk∴==⨯+△14kk+≥4当且仅当12k=±时取等号[]max919248OMNS∴=⨯=△方法二：(ⅰ)设()()1122B x y D x y，，，则()11A x y--，1212ADy ykx x+=+221122221414xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()121212124x x x xy y y y+-++-=即1212121214y y y yx x x x-+⋅=--+114ADk k∴⋅=-又AB AD⊥1AB ADk k∴⋅=-14ABk k∴=()111:BDl y y k x x-=-令0y=，111yx xk=-+令0x=，111y y k x=-()11111100yM x N y k xk⎛⎫∴-+-⎪⎝⎭，，，111211111111211222ABAByy x kk ky ykxkk x k====--⋅--⋅1212k k∴=-12λ∴=-(ⅱ)()11111112OMNyS x y k xk⎛⎫=-+-⎪⎝⎭△1114ykx=11999888 OMNS x y∴===△[]max 98OMN S ∴=△当且仅当1x ==”成立．6. （2014理12）若圆C 的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y x =对称，则圆C 的标准方程为_________________．【解析】 22(1)1x y +-=根据题意得点(10)，关于直线y x =对称的点(01)，为圆心，又半径1r =，所以圆C 的标准方程为22(1)1x y +-=．7. （2014理20）如图，曲线C 由上半椭圆1C ：()2222100y x a b y a b+=>>，≥和部分抛物线2C ：()210y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为A B ，其中1C．⑴求a b ，的值；⑵过点B 的直线l 与12C C ，别交于点P Q ，（均异于点A B ，），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．【解析】 ⑴在12C C ，的方程中，令0y =，可得1b =，且(10)(10)A B -，，，是上半椭圆1C 的 左，右顶点．设1C 的半焦距为c，由c a =及2221a c b -==得2a =． 21a b ∴==，．⑵解法一：由⑴知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程(1)(0)y k x k =-≠，代入1C 的方程，整理得2222(4)240k x k x k +-+-=*（） 设点P 的坐标为()p p x y ，， 直线l 过点B ，1x ∴=是方程*（）的一个根． 由求根公式，得2244p k x k -=+，从而284p k y k -=+，∴点P 的坐标为22248()44k kk k --++，．同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+⎩≤，，得点Q 的坐标为2(12)k k k ----，． 22(4)(12)4kAP k AQ k k k ∴=-=-++，，，．0Ap AQ AP AQ ∴⊥∴⋅=，，即222[4(2)]04k k k k --+=+，04(2)0k k k ∴≠∴-+=，解得83k =-．经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--．解法二：若设直线l 的方程为1(0)x my m =+≠，比照解法一给分．8. （2014文11）抛物线24y x =的准线方程为____________．【解析】 1x =- 9. （2014文20）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，． ⑴求椭圆的方程；⑵若直线1:2l x m =-+与椭圆交于点A B ，，与以12F F 为直径的圆交于C D ，两点，且满足AB CD =求直线l 的方程．【解析】 ⑴由题设知2221,2,b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩解得2a =，b =1c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．⑵由⑴知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， ∴圆心到直线l的距离d =，由1d <得5||2m <．（*）∴||CD ==．设()()1122A x y B x y ，，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22=0x mx m -+ 有212123x x m x x m +==-，AB =由||||AB CD =1=，解得m =，满足（*） ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-．10. （2014理22）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y ，222(,)P x y记1122()()ax by c ax by c η=++++,若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔。

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(五) 解析几何综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考福建卷)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2. (1)求椭圆E 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝23的切线L 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，OP (O 为坐标原点)与OQ 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．3．(2013·高考陕西卷)已知动圆过定点A (4，0), 且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 已知点B (－1，0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是∠PBQ 的角平分线， 证明直线l 过定点.4．(2014·大连市双基测试)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆M交于A 、B 两点，直线y ＝－1kx 与椭圆M 交于C 、D 两点，P 点坐标为(a ，0)，直线PA和PB 斜率的乘积为－12.(1)求椭圆M 的离心率；(2)若弦AC 的最小值为263，求椭圆M 的方程．5．(2014·济南市模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，由4个点M (－a ，b )、N (a ，b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求△F 2AB 面积的最大值．6．(2013·高考山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1、k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．大题规范练(五)1．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2.又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(4分)(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0.(6分)设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4＞0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，(8分)所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ＞0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.(12分) 2．解：(1)设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，F (c ，0)(c 2＝a 2－b 2)，|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2.(2分)又|AB |＝（2x 0）2＋（2y 0）2＝2x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2b 2＝2b 2＋c 2x 20a2，0≤x 20≤a 2，∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1， ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(5分)(2)由题设条件可知直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y ＝kx ＋m . ∵直线L 与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|m |1＋k2＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)．(7分) 将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8(2k 2＋1－m 2)＞0. 令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2， 则x 1＋x 2＝－4km1＋2k2，① x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，②y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2.③(10分)∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k 2＝0， ∴OP →⊥OQ →，即OP 与OQ 垂直．(12分) 3．解：图①(1)如图①，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |.当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，(2分) ∴|O 1M |＝x 2＋42. 又|O 1A |＝（x －4）2＋y 2， ∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42. 化简得，y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(4分) (2)如图②图②，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2.②(6分)∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③(8分)将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b .此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0)．(12分) 4．解：(1)设A (x 1，y 1)，由对称性可得B (－x 1，－y 1)，将A (x 1，y 1)代入椭圆的方程可得x 21a 2＋y 21b2＝1，故直线PA 和PB 斜率的乘积y 1x 1－a ×－y 1－x 1－a ＝y 21x 21－a 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2x 21－a 2＝－b2a 2.(2分)由直线PA 和PB 斜率的乘积为－12，所以b 2a 2＝12，所以c 2a 2＝12，c a ＝22.所以椭圆M 的离心率为22.(5分) (2)由(1)可将椭圆方程化为x 2＋2y 2＝a 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝a 2y ＝kx ，可得x 2＝a 21＋2k 2，y 2＝k 2a 21＋2k 2，(7分)设O 为坐标原点，则|OA |2＝a 2（1＋k 2）1＋2k2，同理可得|OC |2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2.由已知条件可知直线y ＝kx 与y ＝－1kx 垂直，所以|AC |2＝|OA |2＋|OC |2＝a 2（1＋k 2）1＋2k2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2＝a 2×3k 4＋6k 2＋32k 4＋5k 2＋2＝a 2×32＋1k 2＋1k2＋2≥4a23.(10分) 当且仅当k ＝±1时取等号，所以4a 23＝83，即a 2＝2，所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(12分)5．解：(1)由条件，得b ＝3，且2a ＋2c2·3＝33， 所以a ＋c ＝3.(2分)又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x ＝my －1，直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1x ＝my －1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，因为直线过椭圆内的点，所以无论m 为何值，直线和椭圆总相交． 所以y 1＋y 2＝6m 3m ＋4，y 1y 2＝－93m ＋4.(6分) S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12m 2＋1（3m 2＋4）2 ＝4m 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19（m 2＋1），(9分)令t ＝m 2＋1≥1，设y ＝t ＋19t ，易知当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，函数单调递减，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞时，函数单调递增．所以当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，y min ＝109，所以S △F 2AB 的最大值为4123＋109＝3.(12分)6．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2)方法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋（x 0＋3）2＝|my 0－3y 0|y 20＋（x 0－3）2.(6分)由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.所以|m ＋3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0所以m ＝34x 0.因此－32<m <32.(8分)方法二：设P (x 0，y 0)，当0≤x 0<2时， ①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在， 易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12或P ⎝⎛⎭⎪⎫3，－12.若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m <3，所以m ＝334.若P ⎝⎛⎭⎪⎫3，－12，同理可得m ＝334.(6分) ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1，且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 24（x 0－3）2＋4－x 20 ＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2，即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|.(8分)因为－3<m <3，0≤x 0<2且x 0≠3，所以3＋m3－m ＝4＋3x 04－3x 0. 整理得m ＝3x 04，故0≤m <32且m ≠334.综合①②可得0≤m <32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.(10分) (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0.由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k (1k 1＋1k 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.(12分)。

肥东锦弘中学2014届高三数学二轮复习专题立体几何(理科普通班)Ⅰ.空间几何体类型一. 空间几何体的结构特征A. 若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的 几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11//EH A D ，则下列结论中不正确的是（ ）A. //EH FGB.四边形EFGH 为矩形C. Ω是棱柱D.Ω是棱台 B. 下列语句正确的序号为 . ①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等； ③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似. 类型二. 直观图与三视图A. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是A.6πB.12πC. 18πD.24πB. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ） （A ）22（B ）32（C ）4（D ）52C. 如图所示，''''D C B A 是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知''''D C B A 是一个直角梯形，''B A 平行与''D C ，''''D C D A ⊥,且''C B 与'y 轴平行，又21''=B A ，9''=D C ，12''=D A ，试解决以下问题：（1） 作出梯形''''D C B A 的原图形ABCD 的平面图形（保留作图痕迹）;（2） 求梯形''''D C B A 的原图形ABCD 的面积.侧视图俯视图类型三. 几何体的表面积与体积A. 如图，已知球O 表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于___________．B. 如图，在四边形ABCD 中，90=∠DAB ,135=∠ADC .5=AB ,22=CD ,AD =2.若四边形ABCD 绕AD 旋转一周成为几何体. （1）画出该几何体的三视图； （2）求该几何体的表面积. 类型四. 表面距离A. 长方体1111D C B A ABCD -中，1AA 长为3, AB 长为2，AD 长为1，则在长方体的表面， 点A 到点1C 的最短距离为 .B. 如图所示，正三棱柱111C B A ABC -, 底面是边长 为2cm 的正三角形，高为5cm .一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的 最短路线长为 cm .Ⅱ.点、线、面位置关系类型一. 直线、平面平行的判定及其性质A.1.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ；2.如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90, AD=3,EF=2．求证：AE//平面DCF.B. 1如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为︒5.22，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角是︒60（I ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （II ）求COD ∠cos .2 右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小类型二. 直线、平面垂直的判定及其性质 A. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若P A =PB =PC ，则点O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心 变：点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若P 到AB 、BC 、AC 的距离相等，则点O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心B. 1已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O ∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D 2 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面ABCD．326PA AD AB BC ====，，．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P BD A --的大小类型三. 二面角的求法总结1方法一 利用二面角平面角的定义求作平面角利用二面角平面角定义过棱上某一点做垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所成的平面角.例一 四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为矩形,P A ⊥底面ABCD,PA=AB=6,E 为PB 的中点. Ⅰ求直线AD 与平面PBC 的距离.Ⅱ 若AD=3,求二面角A-EC-D 平面角的余弦值.PC BADED 1ODBAC 1B 1A 1C112方法二 利用三垂线法作平面角(两垂一连) ⑴ 善于利用图中已有的第一垂线例二 在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为正方形,EF ∥AB,EF ⊥FB,AB=2EF,∠BFC=2π,BF=FC,H 为BC 的中点 求二面角B-DE-C 的大小. ⑵ 利用已有条件,作第一垂线例三 在正方体ABCD-1111D C B A 中棱长为1,M 为A 1A 的中点,求二面角M-B 1C -1B 的正切值.3方法三 利用线线角例四 在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F 分别是AD,PC 的中点Ⅰ 证明PC ⊥平面BEFⅡ 求平面BEF 与平面BAP 夹角的大 4方法四 利用射影面积法求二面角大小例 在矩形ABCD 中,点E,F 分别在线段BA,AD 上,AE=BE=AF=32FD=4,沿直线EF 将三角形AEF 翻折成三角形A ’EF,使平面AEF ⊥平面BEF求二面角A-FD-C 的余弦值 方法五 空间向量类型四. 空间向量在立体几何中的运用A. 如图，在五棱锥P —ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC =45°，ABBC =2AE =4，三角形P AB 是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．B.如图,在四棱锥P-ABCD 中,P A ⊥面ABCD,AC ⊥AD,AB ⊥BC,∠BAC=45,PA=AD=2,AC=1 (1) 证明 PC ⊥AD(2)求二面角A-PC-D 的正弦值 (3)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为30,求AEC类型五. 折叠问题A 如图，正ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知MDE ∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，真命题的序号 是 。

第五辑 解析几何问题[通关演练 A 组] (建议用时：60分钟)1．已知椭圆C 1：y 216＋x 24＝1，椭圆C 2以C 1的短轴为长轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设直线l 与椭圆C 2相交于不同的两点A 、B ，已知A 点的坐标为(－2，0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求直线l 的方程．解 (1)由题意可设椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，e ＝32，∴c ＝3，b2＝1，∴椭圆C 2的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由A (－2，0)，设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2，设线段AB 的中点为M ， 则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2.①当k ＝0时，点B 的坐标为(2，0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)，由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22，∴l 的方程为y ＝0.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2，令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2，由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)，QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－－8k21＋4k2＋6k 1＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147，∴l 的方程为y ＝±147(x ＋2)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线l ：x ＝2的距离是到点F (1，0)的距离的2倍．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线FP 与(1)中曲线交于点Q ，与l 交于点A ，分别过点P 和Q 作l 的垂线，垂足为M ，N ，问：是否存在点P 使得△APM 的面积是△AQN 面积的9倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )． 由题意知2x －2＋y 2＝|2－x |，化简，得x 2＋2y 2＝2，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝2.(2)设直线FP 的方程为x ＝ty ＋1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为△AQN ∽△APM ，所以有PM ＝3QN ，由已知得PF ＝3QF ，所以有y 1＝－3y 2，①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋2y 2＝2，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0，Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)＝8>0y 1＋y 2＝－2t t 2＋2②，y 1·y 2＝－1t 2＋2③，由①②③得t ＝－1，y 1＝1，y 2＝－13或t ＝1，y 1＝－1，y 2＝13，所以存在点P 为(0，±1)．3．已知动点P 到点A (－2，0)与点B (2，0)的斜率之积为－14，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D .求证，A ，D ，N 三点共线． (1)解 设P 点坐标(x ，y )，则k AP ＝y x ＋2(x ≠－2)，k BP ＝y x －2(x ≠2)，由已知y x ＋2·yx －2＝－14，化简，得x 24＋y 2＝1，所求曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)证明 由已知直线AQ 的斜率存在，且不等于0，设方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝k x ＋，消去y ，得(1＋4k 2)x2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，①因为－2，x Q 是方程①的两个根，所以－2x Q ＝16k 2－41＋4k 2，得x Q ＝2－8k 21＋4k 2，又y Q ＝k (x Q ＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋2＝4k 1＋4k 2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 当x ＝4，得y M ＝6k ，即M (4，6k )．又直线BQ 的斜率为－14k ，方程为y ＝－14k (x －2)，当x ＝4时，得y N ＝－12k ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12k . 直线BM 的斜率为3k ，方程为y ＝3k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝3k x －，消去y 得：(1＋36k 2)x 2－144k 2x ＋144k 2－4＝0，② 因为2，x D 是方程②的两个根， 所以2·x D ＝144k 2－41＋36k2，得x D ＝72k 2－21＋36k 2，又y D ＝3k (x D －2)＝－12k 1＋36k 2，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫72k 2－21＋36k 2，－12k 1＋36k 2，由上述计算：A (－2，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫72k 2－21＋36k 2，－12k 1＋36k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12k . 因为k AD ＝－112k ，k AN ＝－112k ，所以k AD ＝k AN .所以A ，D ，N 三点共线．[通关演练 B 组] (建议用时：60分钟)1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上两点，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m ·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.∴a ＝2，c ＝ 3.故椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. (2)①当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m ·n ＝0，得x 21－y 214＝0⇒y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1＝12|x 1|·2|y 1|＝1. ②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.有Δ＝(2kb )2－4(k 2＋4)(b 2－4)＝16(k 2－b 2＋4)>0，x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由已知m ·n ＝0得x 1x 2＋y 1y 24＝0⇔x 1x 2＋kx 1＋bkx 2＋b4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，代入Δ中可得b 2>0满足题意， ∴S ＝12|b |1＋k 2|AB |＝12|b |x 1＋x 22－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b22|b |＝1.所以△ABC 的面积为定值．2．已知定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0(p 为常数，p >0)，B 为x 轴负半轴上的一个动点，动点M 使得|AM |＝|AB |，且线段BM 的中点G 在y 轴上． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设EF 为曲线C 的一条动弦(EF 不垂直于x 轴)，其垂直平分线与x 轴交于点T (4，0)，当p ＝2时，求|EF |的最大值．解 (1)设M (x ，y )，则BM 的中点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，B (－x ，0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，故GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－y 2，GM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.由题意知GA ⊥GM ，所以GA →·GM →＝0， 即px 2－y 24＝0，所以y 2＝2px .因为M 点不能在x 轴上，故曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0，x ≠0)． (2)设弦EF 所在直线方程为y ＝kx ＋b ，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，①则x 1＋x 2＝4－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k2.则线段EF 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－kb k 2，2k ，线段EF 的垂直平分线的方程为：y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2－kb k .令y ＝0，x ＝4，得－2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫4－2－kb k2.得bk ＝2－2k 2.所以|EF |2＝(1＋k 2)·(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4－2kb k 22－4b 2k 2＝16(1＋k 2)·1－kb k 4＝16(1＋k 2)·2k 2－1k 4＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 4＋1k 2＋2＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－122＋36. 由①，Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝4k 2b 2－16kb ＋16－4k 2b 2＝16－16kb ＝16－16(2－2k 2)＝32k 2－16>0. 得k 2>12，即0<1k2<2.所以，当1k 2＝12，即k ＝±2时，|EF |2取得最大值，最大值等于36，即|EF |的最大值为6.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l ：x－y ＋2＝0与以原点为圆心， 以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝4，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (1)解 ∵等轴双曲线离心率为2，∴椭圆C 的离心率e ＝22. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵由x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得b ＝1，∴a 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12. 此时AB 方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由已知k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －kmm ＋1＝2，∴k ＝2(m ＋1)，∴m ＝k 2－1.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1， 即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1. ∴直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.。

H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)2．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．图1-7(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a. 又因为AB ⊥OB ，所以3a ²⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝ 43²（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝43²（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43²（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．3．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3.所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝ 124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 4、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54³8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.H3 圆的方程5．、[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 9．DH4 直线与圆、圆与圆的位置关系 6．、[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1＜r ＜R ＜3B ．1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R 10．A7、、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故 d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．8、[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 6．A 9．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．210、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.4311．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．15．(210，＋∞) 12．[2014·陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．12．x 2＋(y －1)2＝1 13，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |²|PB |的最大值是________．14．5 14．[2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．13．4±1515．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.H5 椭圆及其几何性质16，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝ 124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．17．[2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．14．x 2＋32y 2＝118、[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．19．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 2＝4，t ＝－2y 0x 0，故 d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．19．、[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 29．D [解析] 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20， ∴|CQ |＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46＝－9⎝⎛⎭⎫y 0＋232＋50， 当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52， 则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233 C ．3 D ．29．A22、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ²a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22²1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |²2d ＝22²1＋m 22－m 2＝22²－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.23．[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．15.2224．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．15．12 25、[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12²4x 0²4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m 2m 2＋2. ④ 因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →²BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.26．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．A27、、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ²|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.28．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.29．，[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0C. x ±2y ＝0D. 2x ±y ＝010．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ²a 2＋b 2a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2³1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1-520．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4.同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ²AQ ＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1-520．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ²AQ ＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．18．、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →²F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上， 所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.21．、[2014·浙江卷] 如图1-6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b.21．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2m b 2＋a 2k 2.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k 2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ，当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.H6 双曲线及其几何性质 9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233 C ．3 D ．29．A11．[2014·北京卷] 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．11.x 23－y 212＝1 y ＝±2x 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.23 9．A19．、[2014·福建卷] 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率． (2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1-619．解：方法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， 所以ba＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率 e ＝ca＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |²|AB |＝8，因此12a ²4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝⎛⎭⎫－mk ，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m2＋k .由S △OAB ＝12|OC |²|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪－m k ²⎪⎪⎪⎪2m 2－k －2m 2＋k ＝8，即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x 得y 1＝2t1－2m ， 同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |²|y 1－y 2|＝8，得12|t |²⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |²|OB |² sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21²x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4. 所以－m 24－k 2＝4，即m 2＝4(k 2－4)． 由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a 2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.4．[2014·广东卷] 若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．A [解析] 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解． ∵0<k <9，∴9－k >0，25－k >0. 对于双曲线x 225－y 29－k ＝1，其焦距为225＋9－k ＝234－k ；对于双曲线x 225－k －y 29＝1，其焦距为225－k ＋9＝234－k .所以焦距相等．21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ²a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22²1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |²2d ＝22²1＋m 22－m 2＝22²－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.20．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．图1-7(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值． 20．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a. 又因为AB ⊥OB ，所以3a ²⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0， 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝ 43²（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝43²（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43²（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．4．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m 4．A10．，[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0C. x ±2y ＝0D. 2x ±y ＝0 10．A5．[2014·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 5．A16．[2014·浙江卷] 设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．16.528．[2014·重庆卷] 设F 1，F 2分别为双曲线x a 2－yb 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|²|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3 8．BH7 抛物线及其几何性质10．、[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 10．y ＝－5x ＋3 10．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4310．D 10．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2 10．B 19．、[2014·安徽卷] 如图1-4，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．图1-4(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点，记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．19．解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ， 得A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1， A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2， 因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.。