【精品】2018年福建省莆田市仙游县郊尾沙溪中学等五校九年级上学期期中数学试卷带解析答案

2017-2018学年福建省莆田市仙游县郊尾沙溪中学、枫亭中学等五校教研小片区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．2．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+6=1 B．ax2+bx+c=0 C．x2=0 D．x3+12x﹣9=03．（4分）二次函数y=（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x=4，（4，5）B．向上，直线x=﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x=4，（4，﹣5） D．向下，直线x=﹣4，（﹣4，5）4．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或05．（4分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=120°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（4分）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，则圆心O到弦AB的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm7．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°8．（4分）已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．B．且k≠0 C．D．且k≠09．（4分）设一元二次方程2x2﹣2x﹣4=0的两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2=2 B．x1+x2=﹣4 C．x1•x2=﹣2 D．x1•x2=410．（4分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）点（2，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．12．（4分）函数的图象是抛物线，则m=．13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=6cm，则⊙O的半径为cm．14．（4分）若抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2017的值为．15．（4分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是．16．（4分）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．三、解答题（共86分）17．（8分）如图所示，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A′B′C′；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点的坐标．18．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（1，﹣4）．求这个解析式．19．（8分）如图在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边的外作等边三角形△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3cm，AC=2cm （1）求∠BAD的度数（2）求AD的长．20．（8分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯2015年的年销售量为5万只，预计2017年将达到7.2万只．求该商场2015年到2017年高效节能灯年销售量的平均增长率．21．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E，∠P=30°，∠ABC=50°，求∠A的度数．22．（8分）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长．23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．24．（13分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？25．（15分）如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．（1）求证：∠ABO1=∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，BM﹣BN的值是否发生不变？并说明理由？2017-2018学年福建省莆田市仙游县郊尾沙溪中学、枫亭中学等五校教研小片区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选：D．2．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+6=1 B．ax2+bx+c=0 C．x2=0 D．x3+12x﹣9=0【解答】解：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．故选：C．3．（4分）二次函数y=（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x=4，（4，5）B．向上，直线x=﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x=4，（4，﹣5） D．向下，直线x=﹣4，（﹣4，5）【解答】解：此式为二次函数的顶点式，因为a＞0，所以开口向上；对称轴为x=4，顶点坐标可直接写出为（4，5）．故选：A．4．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1=0，且a﹣1≠0，解得a=﹣1；故选：A．5．（4分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=120°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=120°，∴∠ACB=∠AOB=60°．故选：D．6．（4分）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，则圆心O到弦AB的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB==3cm，在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC===4（cm），故选：D．7．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，∴∠A′OB′=∠AOB=15°，∠AOA′=60°，∴∠AOB′=∠AOA′﹣∠A′OB′=60°﹣15°=45°，故选：D．8．（4分）已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．B．且k≠0 C．D．且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，∴△=b2﹣4ac=25+20k≥0，k≠0，解得：k≥﹣，且k≠0．故选：B．9．（4分）设一元二次方程2x2﹣2x﹣4=0的两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2=2 B．x1+x2=﹣4 C．x1•x2=﹣2 D．x1•x2=4【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=1，x1x2==﹣2．故选：C．10．（4分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB=4，AC=x，∴BC==，=BC•AC=x，∴S△ABC∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A、C，∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，即x=2时，y最大，故排除D，选B．故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）点（2，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，2）．【解答】解：点（2，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，2）．故答案为（﹣2，2）．12．（4分）函数的图象是抛物线，则m=﹣1．【解答】解：根据二次函数的定义，m2+1=2且m﹣1≠0，解得m=±1且m≠1，所以，m=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=6cm，则⊙O的半径为3cm．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=3cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=3cm，故答案为：3．14．（4分）若抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2017的值为2019．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的交点坐标为（m，0），∴m2﹣m﹣2=0，即m2﹣m=2，∴m2﹣m+2017=2+2017=2019．故答案为：2019．15．（4分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．【解答】解：∵点A（3，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）为函数y=3（x﹣1）2+k 的图象上的点，∴y1=12+k，y2=3+k，y3=48+k．∵3+k＜12+k＜48+k，∴y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．16．（4分）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．故答案为：三、解答题（共86分）17．（8分）如图所示，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A′B′C′；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）如图所示，△A 1B1C1即为所求，A1（﹣1，1）B1（﹣3，﹣4）C1（﹣1，﹣4）．18．（8分）已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（1，﹣4）．求这个解析式．【解答】解：根据题意，设函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4．∵图象经过点（0，﹣3），∴﹣3=a﹣4，解得a=1．∴这个解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．19．（8分）如图在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边的外作等边三角形△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3cm，AC=2cm （1）求∠BAD的度数（2）求AD的长．【解答】解：（1）∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°，到△ECD位置，∴∠ADE=60°，AD=DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=∠E=60°，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠E=60°；（2）由旋转知，∠DCE=∠ABD=∠CBD+∠ABC=60°+∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=180°﹣120°=60°，∴∠DCE+∠ACB+∠BCD=60°+∠ABC+∠ACB+60°=180°∴点A、C、E在一条直线上，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=120°﹣60°=60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE．∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5．∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE=5cm．20．（8分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯2015年的年销售量为5万只，预计2017年将达到7.2万只．求该商场2015年到2017年高效节能灯年销售量的平均增长率．【解答】解：设年销售量的平均增长率为x，依题意得5（1+x）2=7.2，解这个方程，得x1=0.2，x2=﹣2.2，由于x为正数，即x=0.2=20%，答：该商场2015年到2017年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．21．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E，∠P=30°，∠ABC=50°，求∠A的度数．【解答】解：∵∠ABC为△BCP的外角，∴∠ABC=∠P+∠C，∵∠ABC=50°，∠P=30°，∴∠C=20°，由圆周角定理，得∠A=∠C，∴∠A=20°．22．（8分）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长．【解答】解：过O作OM⊥CD于M，连接OD，则由垂径定理得：CD=2DM，∵AE=4，EB=8，∴AB=4+8=12，∴OA=OB=OD=6，∴OE=6﹣4=2，∵在Rt△OME中，∠OME=90°，∠DEB=30°，∴OM=OE=1，在Rt△DMO中，由勾股定理得：DM===，∴CD=2DM=2．23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为=．24．（13分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【解答】解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）（2）设抛物线解析式为：y=a（x﹣6）2+6 （3分）∵抛物线y=a（x﹣6）2+6经过点（0，0）∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣（4分）∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．（5分）（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）D（m，﹣m2+2m）．（6分）∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）=﹣m2+2m+12=﹣（m﹣3）2+15．（8分）∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．（9分）25．（15分）如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．（1）求证：∠ABO1=∠ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，BM﹣BN的值是否发生不变？并说明理由？【解答】（1）证明：连接O1A，则O1A⊥OA，又OB⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO；（2）解：作O1E⊥BC于点E，∴E为BC的中点，∵BC=8，∴BE=BC=4，∵A（﹣3，0），∴O1E=OA=3，在直角三角形O1BE中，根据勾股定理得：O1B===5，∴O1A=EO=5，∴BO=5﹣4=1，在直角三角形AOB中根据勾股定理得：AB==；（3）证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，∵∠ABO1为四边形ABMN的外角，∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO，∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角，∴∠AMG=∠ANB，在△AMG和△ANB中，∵，∴△AMG≌△ANB（SAS），∴AG=AB，∵AO⊥BG，∴BG=2BO=2，∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不变．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。