任意角及其度量

第三象限角
第二象限角
注意 所找角的度数就是被360除得的余数!
例2. (1)写出终边在 x 正半轴上角的集合； (2)写出终边在 x 上角的集合.
解: (1) 即写出终边与零角重合的角的集合.
S { | k 360 , k Z }
(2)即终边与零角或 180 重合的角的集合.

例3.已知 是第三象限角，判断下列角所在象限： , , , , 2 2 2 3 解： k 2k , k Z 2 2 3 2k 2k , k Z 第二象限角 2 3 2k 2k 2 , k Z 第四象限角 2 2 第四象限角 2k 2k , k Z 2
O
x
不是象限角.


思考 第一象限角的度数是否一定小于 第二象限角的度数？
三、终边相同的角 一般地，所有与角 终边相同的角，包括角 本 身构成一个集合，这个集合可以记为：
{ | k 360 , k Z }

终边相同的角彼此间 可能有怎样的关系？
y
450
O
x
630

例1.在 0 360 范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角. (1) 200
200 360 160

(2) 2000
2000 5 360 200
第二象限角 (3) 95015'
95015' 3 360 129 45'
一、任意角 一个角可以看做平面内一条射线绕它的端点从一 个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
思考 下面两个角的大小分别是多少？

《任意角》讲义一、角的定义在平面几何中，我们对角已经有了初步的认识。

角可以看作是由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点。

二、角的度量1、度制我们通常使用度作为角的度量单位。

将一个圆周平均分成360 等份，每一份所对的圆心角的大小就是 1 度，记作 1°。

例如，一个直角就是 90°，一个平角是 180°，一个周角是 360°。

2、弧度制除了度制，还有一种常用的角的度量单位——弧度制。

在圆中，长度等于半径的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角，记作1rad。

根据弧长公式 l ＝rθ（其中 l 表示弧长，r 表示半径，θ 表示圆心角的弧度数），我们可以得到：当弧长等于圆的半径时，圆心角的弧度数为 1rad。

一个周角对应的弧长为圆的周长2πr，所以一个周角对应的弧度数为2πrad。

弧度与度的换算关系为：180°＝π rad，1°＝π ／ 180 rad，1 rad ＝（180 ／π）°三、任意角的概念1、正角、负角和零角按照角的旋转方向，我们可以将角分为正角、负角和零角。

当射线绕端点按逆时针方向旋转形成的角为正角；按顺时针方向旋转形成的角为负角；如果射线没有旋转，则形成的角为零角。

2、象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。

角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

例如，终边在第一象限的角就是第一象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就称这个角为轴线角。

四、终边相同的角与角α终边相同的角（包括角α在内），可以表示为：β ＝α ＋ k ×360°（k ∈ Z）这意味着，所有与角α终边相同的角，它们与α的差值都是 360°的整数倍。

例如，30°角与 390°角、－330°角的终边相同。

5.1 任意角的概念（1）【内容出处】∮5.1 任意角及其度量。

沪教版高中数学必修高一年级第二学期（2006版）P29-31.（2课时）【课标要求】理解任意角、象限角、弧度等概念，会进行弧度制与角度制的互化。

【学习目标】将角的概念推广至任意角，理解正角、负角和零角的定义；理解象限角、终边相同的角的概念，能写出终边重合的角的集合，能判断及表示角的象限位置；认识角的概念推广是实际的需要。

【学习重点】理解象限角、终边相同的角的概念，能准确判断及表示角的象限位置。

【学习过程】一、新知导学：*万物皆变，万物皆动有平动，有转动。

平动改变位置，转动改变方向，平动量距离，转动量什么?1、初中角的概念：。

2、写出下列角的大小或范围：直角：_____；平角：_______；锐角的范围：__________；钝角的范围：__________。

二、新知探究：1、引例：经过十分钟，时针、分针、秒针各旋转了多少度？*归纳：1、旋转产生了角，旋转运动形成了角2、旋转的方向不同，体现在角上也应有所不同（正、负）3、角的大小不能限定为小于周角，需要把00到0360的范围扩大一、角的概念的扩展1、正角与负角一条射线绕着其端点按________旋转所形成的角为______，其度量值为____，按________旋转所形成的角为______，其度量值为____；特别的，当一条射线__________时形成了__________（始边与终边重合）。

注意：角的大小是由__________与________决定的。

*例1：判断下列命题的真假并说明理由(1)零角的始边与终边重合；(2)始边与终边重合的角是零角.2、象限角为了定义任意角三角比的需要，我们需要将角放到象限中进行研究。

在平面直角坐标系中，角的顶点置于______，始边与____________重合，此时角的终边在第几象限，即为第几象限角，当终边在坐标轴上时，即不属于任何象限。

注意：象限角只看终边，因为若不加特殊说明，认为角的顶点为原点，始边与x轴正半轴重合。

【学生版】微专题：任意角和角的度量1、角的概念的推广（1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； （2）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和非象限角； （3）终边相同的角及其集合表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝k ·360°+α，k ∈Z }或S ＝{β|β＝2kπ+α，k ∈Z } 【注意】两种度量制度不要混用； 2、角度制、弧度制的定义和相关公式 （1）定义：①把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ；②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．【说明】角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。

（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为S ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=；在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=； 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα；扇形中弦长公式2sin 2r α； 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=； 【典例】考点1、对任意角概念的理解例1、下列说法正确的是（ ）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在x 轴正半轴上）A ．第一象限角一定是锐角B ．终边相同的角一定相等C ．小于90°的角一定是锐角D ．钝角的终边在第二象限 【提示】【答案】 【解析】 【说明】考点2、象限角的判定例2、若角α是第二象限角，则α2是第________象限角考点3、区域角的表示 例3、集合{|,}42a k k k Z πππαπ+≤≤+∈中的角所表示的范围（阴影部分）是( )考点4、角度制与弧度制的运算例4、（1）把1480-写成2,k k Z απ+∈的形式，其中02απ≤≤；（2）若[]4,0βπ∈-，且β与（1）中α的终边相同，求：β；考点5、扇形面积、弧长公式的应用例5、【一题多变】（1）一扇形的圆心角α＝π3，半径R ＝10 cm ，求该扇形的面积；（2）若（1）条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（3）若将（1）已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？考点6、对称性问题例6、已知角α的终边与120︒角的终边关于x 轴对称，求：α。