27.23-四点共圆判定定理(1)PPT课件

四点共圆的判定和性质四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点.方法4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180°∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）∠CBE=∠D（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP×CP=BP×DP（相交弦定理）AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）托勒密定理及证明：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD证明：作∠BAE=∠CAD，交BD于点E∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴AB：AC=BE：CD∴AB×CD=AC×BE∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE∴△ABC∽△AED∴BC：DE=AC：AD∴BC×AD=AC×DE∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD拓展延伸：利用托勒密定理证明两角和公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ作图设圆内接四边形ABCD中,AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°sinα=BC/AC,sinβ=CD/ACcosα=AB/AC,cosβ=AD/ACsin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/ACsinαcosβ+sinβcosα=(BC×AD+AB×CD)/AC=AC×BD/AC=BD/AC=sin(α+β)由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα。

四点共圆⼀一、四点共圆的定义如果同⼀一平⾯面内的四个点在同⼀一个圆上，则称这四个点共圆，⼀一般简称为“四点共圆”．⼆二、四点共圆的判定定理理：1、若四个点到⼀一定点等距离，则这四个点共圆．如图：OA=OB=OC=OD，即以O为圆⼼心，OA为半径画圆，此时A、B、C、D四点共圆.2、若⼀一个四边形的⼀一组对⻆角的和等于，则这个四边形的四个顶点共圆．如图：∠A与∠C互补，则A、B、C、D四点共圆.（圆的内接四边形对⻆角互补，反过来，则四点共圆）3、若⼀一个四边形的⼀一个外⻆角等于它的内对⻆角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图：∠EDC=∠B，则A、B、C、D四点共圆.（同2）4、若两个点在⼀一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的⻆角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．如图：∠A与∠D在BC上⽅方，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆.（圆中同弧所对的圆周⻆角相等，反过来则四点共圆）5、若、两线段和交于点，且，则、、、四点共圆．（圆幂定理理之相交弦定理理，反过来四点共圆）6、若、两线段延⻓长后相交于P．且，则四点共圆．(圆幂定理理之割线定理理，反过来四点共圆)7、若四边形两组对边乘积的和等于对⻆角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．如图：四边形ABCD中，，则四点共圆．（圆内接四边形的托勒勒密定理理，反过来即是四点共圆.此⽅方法作了了解）判定四点共圆的⽅方法有⼀一个特点，均是圆中学习过的定理理的逆⽤用，在学习的时候可以从圆中定理理出发，这样记忆会更更快。

7个判定定理理的证明⽅方法这⾥里里不不作阐述，有兴趣可以⾃自⼰己证明。

1.如图，为、、、的斜边，求证：四点共圆．2.从的顶点到引垂线，从向、引垂线，垂⾜足为，求证：四点共圆．3.如图，在中，，中，，若三点在同⼀一直线上．连接、，点、、分别为、、的中点．求证．4.在梯形ABCD中，，，，分别在，上，．求证：．5.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对⻆角线AC，BD 交于点E，且DE=2EB，F为AC的中点．求证：（1）∠FBD=30°；（2）AD=DC．6.如图，正⽅方形中，为对⻆角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后⻆角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的⼤大⼩小是否改变，若不不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（不不必证明）；三、四点共圆的性质四点共圆有三个性质：（1）同弧所对的圆周⻆角相等（2）圆内接四边形的对⻆角互补（3）圆内接四边形的外⻆角等于内对⻆角以上性质可以根据圆周⻆角等于它所对弧的度数的⼀一半进⾏行行证明在考试当中，也是由这些性质过度到相似，进⽽而进⾏行行相似的证明和计算.其中，同弧所对的圆周⻆角相等这⼀一条⽤用得最多。

四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

7、若AB、CD两线段延长后相交于P。

且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。

8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。

（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。

2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。

5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

如图2，若∠A=∠C=90°，则A 、B 、C 、D 四点共圆。

6、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PA ×PB=PC ×PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

7、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 。

初中四点共圆的判定定理初中数学里有个很有趣的定理，叫做“四点共圆的判定定理”。

听起来是不是有点高大上？其实说白了就是：四个点如果能在同一个圆上，那它们之间的关系可是很特别的哦。

想象一下，四个好朋友，围成一圈，聊聊天，玩玩耍，生活多美好。

要是这四个点真能共圆，那可就意味着它们之间的角度关系得特别好，这个可不是随便说说的。

我们得聊聊什么是共圆。

简单来说，四个点能在一个圆上，就是说这四个点到圆心的距离是一样的。

这就像我们在生活中，有些朋友总是能聚在一起，无论走到哪里，关系都特别紧密。

好比说，吃饭时大家一起点的菜，总是能让每个人满意，恰到好处，圆满得很。

这就是共圆的魅力呀！怎么判断这四个点能不能共圆呢？其实很简单，大家只需要掌握一个小窍门。

记住了，四个点要共圆，就得看它们的对角线交点，看看这条线的乘积是否相等。

听上去可能有点复杂，但实际上就像打麻将一样，运气来了，胡牌就是这么简单。

只要细心算一下，就能得出结论，谁和谁能一圈儿走到一起。

这不，就拿生活中的事来举个例子。

假如有四个小伙伴，分别是小明、小红、小刚和小丽。

他们一起去游乐场玩，特别开心。

小明跟小红的关系特别好，像那对小鸳鸯，真是让人羡慕。

但小刚和小丽却有点小隔阂，感觉总是打不到一块儿。

这时候，若是他们能找到一个共同的兴趣，或者一起完成个任务，哎呀，那关系可就像那四个共圆的点一样，慢慢就能拉近了。

再说了，四点共圆的定理在生活中还可以提醒我们，朋友之间的关系也是要保持平衡的。

就像一个圆，缺了哪一块儿都不行。

要是某个朋友总是偏心，那就容易让其他人感到不舒服。

想想，我们的生活不就是要和谐、圆满吗？和朋友之间的相处也是如此。

当然了，这个定理还有个特别的地方，涉及到圆的外接圆。

四个点要是共圆，那就得存在一个圆把它们都包住。

这个圆就像我们生活中的大怀抱，能容纳各种不同的朋友，让大家在一起，互相包容，互相理解。

这就像家人一样，无论发生什么，始终围绕在一起，心连心。

四边形四点共圆的判定话说啊，四边形四点共圆这事儿，听起来挺玄乎，其实啊，它就像是咱们生活中的小秘密，一旦你掌握了它的规律，嘿，那简直就是“手到擒来”，轻松搞定！想象一下，你手里有四张纸片，每张纸片上都标着一个点，这四个点要是能在同一个圆上，那得多有趣呢？就像是四个小伙伴手拉手，围成一个完美的圆圈，玩起了“丢手绢”的游戏。

不过啊，这可不是随便四个点就能做到的，得满足一些条件才行。

首先呢，咱们得说说这个“对角互补”。

听起来挺高大上的，其实啊，就是四边形里头的两个对角加起来得是个直角，也就是180度。

就像是咱们平时说的“互补互助”，两个角得互相帮忙，才能凑成个完整的圆。

比如说啊，你有个四边形，其中一个角是钝角，那它的对角就得是个锐角，这样它们两个加起来才能是180度。

要是四个角都乱糟糟的，那它们可就没法手拉手围成个圆啦！再来说说这个“外角等于内对角”。

这又是什么鬼？别急，听我慢慢道来。

就是四边形的一个外角，它得等于它不相邻的那个内对角。

就像是咱们平时交朋友，你得找个能聊得来的，才能成为好朋友。

这个外角啊，它就得找个能“对上眼”的内对角，才能一起围成个圆。

比如说啊，你有个四边形，其中一个外角是60度，那它不相邻的那个内对角也得是60度，这样它们才能“心心相印”，一起组成个完美的圆。

当然了，除了这两个条件，还有一个更简单的，就是“相交弦定理”。

这个啊，就像是咱们平时玩的“找朋友”游戏。

你得先找出两条相交的弦，然后看看它们被交点分成的四段，要是其中两段乘积等于另外两段乘积，那这四个点就能围成个圆啦！就像是四个小伙伴找到了彼此的“另一半”，一起手拉手跳起了圆圈舞。

不过啊，说归说，做归做。

要想真正掌握四边形四点共圆的判定方法，还得靠咱们自己动手实践。

你得拿出纸笔，画出一个个四边形，然后试着用这些方法去验证。

就像是咱们平时学做饭，光看菜谱可不行，还得自己动手炒几个菜，才能真正掌握厨艺。

当然了，学习这事儿啊，也得有个度。

四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。