离散数学一阶逻辑命题符号化共28页文档

在解释的定义中引进了几个元语言符号，如
ai
,
f
n i
,
F
in等
被解释的公式 A 中的个体变项均取值于 DI
若 A 中含个体常项 ai，就解释成 a i .
fin 为第 i 个 n 元函数，例如，i=1, n=2 时， f12 表示第一个
二元函数，它出现在解释中，可能是 f 1(x, y) x2 y2,
（以后讨论）
几点注意： 1 元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒
否定式的使用 ① 没有不呼吸的人 ② 不是所有的人都喜欢吃糖 ③ 不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？
第二节 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 一、一阶语言 F 与合式公式
1．F 的字母表 定义 4.1 一阶语言 F 的字母表定义如下：
（1） 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 （2） 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 （3） 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 （4） 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1
① 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} ② 无限个体域，如 N, Z, R, …
③ 全总个体域——宇宙间一切事物组成
2. 谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词
（1） 谓词常项：F: …是人，F(a)：a 是人 （2） 谓词变项：F: …具有性质 F，F(x)：x 具有性质 F （3） n（n1）元谓词
解 （1），（2）为可满足式. （3）为 p(qp)（重言式）的 代换实例，故为永真式. （4）为(pq)q（矛盾式）的代换

谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质 n（n1）元谓词——含n个命题变项的谓词，
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
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第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
2021/4/6
一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式

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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
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第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
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3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
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3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
3
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
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3.1.1 命题逻辑的局限性
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3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化

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§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
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§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素


个体词
谓词
量词
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个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例

命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字

能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”

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个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。

说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r

当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
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例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
离散数学 第一章 命题逻辑
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例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
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5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
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2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。

（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符

一阶逻辑中命题符号化续
例 将下列命题符号化, 并讨论其真值.
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(1) 实数都能写成整数之比; (2)有的素数是偶数; (3) 没有人登上过木星; (4)在美国留学的学生未必都是亚洲人 .
解 (1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则 x (M(x)→ F(x)) 不是 x (M(x) ∧ F(x)) 假命题 (2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则 x (M(x)∧G(x)) 不是 x (M(x) → G(x)) 真命题 (3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则 ┐x (M(x)∧H(x)) 真命题 (4) 令F(x): x是在美国留学的学生; G(x): x是亚洲人. 则 ┐x (F(x)→ G(x)) 真命题
解 (1) 设一元谓词F(x): x是素数; 个体常项: a: 2；b: 4. 则命题可符号化: F(b) →F(a). 因为该蕴含式前件为假, 故命题为真. (2) 设二元谓词G(x,y): x大于y. 个体常项: a: 4; b: 5; c: 6. 则命题可符号化为: G(b,a) → G(a,c). 由于G(b,a)为真, 而G(a,c)为假, 故命题为假.
n 元谓词的符号化 ( n ≥ 2 )
例 将下列命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快; (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快; (3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快; (4) 不存在跑得同样快的两只兔子. 解 令F(x): x是兔子; G(y): y是乌龟; H(x,y): x比y跑得快; L(x,y): x与 y跑得同样快. 则: (1) 任意一个兔子x : x 比任意一个乌龟跑得快 x (F(x) → y (G(y) →H(x,y)) ); (2) 存在一个兔子 x : x 比任意一个乌龟跑得快 x ( F(x) ∧ y (G(y) →H(x,y)) ); (3) (1)的否定 存在一个兔子 x : 存在一个乌龟 y : x不比y跑得快 x (F(x)∧ y (F(y)∧ ¬ L(x,y)) ).; (4) “存在一个兔子 x : 存在另一个兔子 y : x与y跑得同样快” 的否定 ┐x (F(x)∧ y(F(y)∧ L(x,y)) ).

解：定义特性谓词M(x)：x是在美国留学的学生。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
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例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
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所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
离散数学
2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。

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量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
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墨西哥位于南美洲

在命题逻辑中
设
p: 墨西哥位于南美洲 p
符号化为

在一阶逻辑中
设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)

在一阶逻辑中
设
F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, F(2,3) G(3,4)
符号化为
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人都爱美

D为人类集合
设G(x): x
x爱美
G(x) x为人，G(x): x爱美

D为全总个体域
设F(x): x
(F(x)G(x))
11
有人用左手写字

D为人类集合
人”
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一阶逻辑中的公式
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个体、谓词、量词的符号化

个体表示
个体常项
a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1
个体变项
x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1

谓词表示：
F,
G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1

量词表示

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有的无理数大于有的有理数
令F(x): G(y):
x是无理数
y是有理数,
L(x,y)：x>y
x ( F(x) y ( G(y) L(x,y) ) ) xy ( F(x) G(y) L(x,y) )