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一阶谓词逻辑题目

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阶谓词逻辑课件

阶谓词逻辑课件

阶谓词逻辑
5
函数和函数符号 函数是一种映射或指派关系。
设A是前面列出的所有城市的集合，B是所有这些城市的现有的城墙的集合。 那么f可以是这样一个函数，它把A中的每一个城市映射到B中该城市的城墙。 于是，f(西安）＝西安的城墙…….
在我们的讨论中，也可以有函数符号，用f, g, h……来表示。函数符号的定 义域和值域都是论域。
• 但实际上(1)和(2)的推理都是有效的。命题逻辑和词 项逻辑有局限性。
阶谓词逻辑
2
• 命题逻辑和词项逻辑的局限性：
• 1. 都不能处理关系命题及其推理； • 2. 都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
• 需要用另外的逻辑理论——谓词逻辑。
阶谓词逻辑
3
• 一阶谓词逻辑语言 • 一阶谓词逻辑公式 • 公式赋值/语义 • 普遍有效式 • 逻辑推论 • 形式推演 • 前束范式
阶谓词逻辑
6
•项
• 项类似于自然语言中的名词或名词词组，包括所有的个 体常项和个体变项，并且包括用函数符号加上适当的常 项或变项序列组成的符号串。
• 例如：fx: x的父亲
•
a: 张山
•
fa: 张三的父亲
• 这里的函数符号可以叠加，例如
• gx: x的母亲
• 张三的祖母？gfa
阶谓词逻辑
7
第一节 一阶谓词逻辑语言
第四章 一阶谓词逻辑
阶谓词逻辑
1
• 有些推理的有效性不能用命题逻辑和词项逻辑所讲的 方法判定：
(1)白马是马（p） 所以，骑白马是骑马（q）
• pq （不是重言式，在p=1，q=0, 的赋值值为假） (2) 2是小于3的 3是小于4的 所以，2是小于4的
• 没有相同的中项（小于3的；3），前提和结论之间建立不 起任何的关系

离散数学第四章 一阶逻辑基本概念

离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
将下列命题符号化. (1)兔子比乌龟跑得快. (2)有的兔子比所有的乌龟跑得快. (3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快. (4)不存在跑得同样快的两只兔子. 设F(x):x是兔子. G(y):y是乌龟.H(x,y):x比y跑得快. L(x,y):x与y跑得同样快. (1)xy(F(x)G(y)H(x,y)) (2) x (F(x) y (G(y)H(x,y)) (3) xy(F(x)G(y)H(x,y)) (4) x y(F(x)G(y) L(x,y))
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
25
实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
21
量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.

第三章一阶谓词逻辑汇编

第三章一阶谓词逻辑汇编
定义 具有确定真值的陈述句，称为命题。
例：(1)2是素数。 (2)雪是黑的。 (3)今年的十二月一号是个晴天。 (4)X+Y>5
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称 这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q， R，…或是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题 用合适的符号表示，称为命题符号化。
2、一阶谓词逻辑 谓词的一般形式是:
P(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常才用首字母大写开头的字母字符串 表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常首字母用大写字母表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×D2×D3…Dn) →{T，F}
例：设变元x和y的个体域是D={1，2}，谓词P（x，y） 表示x大于等于y，给出公式A=( x )(y)P(x,y)在D上的 解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。
解： 由于在公式A中没有包括个体常量和函数，所以可由谓 词P（x, y）的定义得出谓词的真值指派。设对谓词P（x,y） 在个体域D上的真值指派为：
–(6)吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P
–(7)补余律 P∨﹁PT P∧﹁PF
–(8)联词化归律 P →Q ¬P∨Q 蕴涵式转化
–
P Q (P→Q)∧(P→Q)

第2章一阶逻辑典型习题知识分享

第2章一阶逻辑典型习题知识分享

第2章一阶逻辑典型习题第二章 一阶逻辑1. 用谓词表达式写出下列命题:(1) 王文不是学生;(2) 2是素数且是偶数;(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;(4) 河北省南接河南省;(5) 若2大于3.则2大于4.解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文于是（1）为：）（a P ⌝.K(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2于是（2）为：H （a ））（a M ∧(3) R(x) ：x 是奇数于是（3）为：R （m ））（m R 2⌝→.(4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省于是（4）为L （c,d ）.(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。

其中，主语是语句中的主动者，称为个体。

谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。

例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ΛΛΛΛ南接”都是谓词。

在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。

个体变量的取值范围是定义域。

例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。

表示个体性质的谓词，一般形如G（x）,是一元谓词或一元命题函数。

表示n个个体之间关系的谓词，一般形如P（x1，x,Λn）,是n元谓词或n元命题Λ函数。

谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。

例如，“x是有理数”是一元谓词，记作G（x），其中G表示谓词Λ”，D：实数集，G（x）：x是有理数，是一元谓词（不是命题，没“是有理数有真值）。

3D∈，G（3）：3是有理数，是命题，真值为1。

4.1一阶谓词逻辑基本概念

4.1一阶谓词逻辑基本概念

(1) (2) (3)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8) (9) (10) (11) (12)
x(J(x)→L(x)) (4) x(L(x)∧S(x)) (5) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) (6) (7) J(j)∧O(j)∧V(j) (8) x(L(x)→J(x)) (9) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) (10) x(C(x)∧V(x)) (11) x((C(x)∧O(x))→L(x)) (12) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
◦ 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命 题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函 数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数
◦ 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可 通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是 质数”，则P(1)为F，P(2)为T。
(1) 5是质数 (2) 张明生于北京 (3) 7=3×2
P(5)
G(a,b)
H(7,3,2)
P(x)：x是质数
G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京
H(x, y, z) ：x=y×z
谓词 个体词 谓词函数
例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死 的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引 入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量 词有两个——全称量词和存在量词。

离散-3-2-谓词逻辑(1)

离散-3-2-谓词逻辑(1)
主要内容：
第二章 一阶谓词逻辑

命题符号化

基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系

合式谓词公式


永真公式

1
第二章 一阶谓词逻辑

»
苏格拉底(Socrates)论证：
所有的人都是要死的，苏格拉底是人， 所以，苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配）
(对∨可分配）
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域， E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解： (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1：将下列命题符号化： （1）存在小于 0 的实数；（2）任意实数的平方都不小于 0. 解：设个体域为实数集，L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域，设 R(x): x是实数 (1) x（R(x)∧L(x,0)） 特性谓词

一阶逻辑

第二章一阶逻辑一、选择：1．设A(x)：x是大学生，B(x)：x要考试，C(x)：x爱唱歌，则：（1）所有大学生都要参加考试。

符号化为：（2）有些大学生爱唱歌。

符号化为：选项：①∀x(A(x)→B(x)) ②∀x(A(x)∧B(x))③∃x(A(x)∧B(x)) ④∃x(A(x)→B(x))2．令P(x)：x是实数，Q(x)：x是无理数。

下列命题：（1）并非每个实数是无理数。

符号化为：（2）虽然有些实数是无理数，但未必一切实数都是无理数。

符号化为：选项：①∀x⌝(P(x)∧Q(x))②⌝∀x(P(x)→Q(x))③∃x(P(x)∧Q(x))∧⌝∀x(P(x)→Q(x))④⌝∃x(P(x)∧Q(x))∧∀x(P(x)→Q(x))3．设个体域为自然数集合，P(x,y,z)：x+y=z，Q(x,y,z)：x·y=z，R(x,y)：x<y。

对于下列命题：（1）∀x⌝R(x,0) （2）∀xP(x,0,x)（3）∀x∀yQ(x,y,y) （4）∃x∀yP(x,y,y)（5）∀x∃yP(y,x,x) （6）∀x∀y∀z(P(x,y,z)∨Q(x,y,z)其真值为假的有：①（1）（2）②（1）（3）③（1）（4）④（2）（5）⑤（4）（6）⑥（3）（6）⑦（3）（5）⑧（2）（3）（6）4．对于下列各式：（1）∀x(P(x)∧Q(x))→∃xP(x)（2）∀xP(x)→∃x(P(x)∨Q(x))（3）∃x(P(x)∧Q(x))∨⌝∃xP(x)永真式有：①（1）（2）②（1）（3）③（2）（3）④（1）（2）（3）二、综合练习题：1．证明下列各等价式：（1）∀xP(x)∧⌝∃xQ(x)⇔∀x(P(x)∧⌝Q(x))（2）∃x(P(x)→Q(x))⇔∀xP(x)→∃xQ(x)2．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不吃饭的人。

（2）在北京卖菜的人不全是东北人。

（3）自然数全是整数。

（4）有的人天天锻炼身体。

一阶谓词原理

定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除非辖域 是个原子公式，否则应在该子公式的两端有括号。
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
03:00
22
定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出现，称 这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元为自由变元。
∃x(G(x)∧R(x)), 其中G(x):x是偶数; R(x):x是4的倍数
03:00
15
D.举例
2.设个体域为D={x|x为人}，将下列命题符号化： (1)人都生活在地球上；
∀xF(x), 其中F(x)：x生活在地球上 (2)有的人长着黑头发；
∃xG(x), 其中G(x)：x长着黑头发 (3)中国人都用筷子吃饭；
P(X1, X2…Xn)称为谓词演算的原子公式。
前面例子中的1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，L(x,y) 等都是原子公式。
03:00
20
B.谓词合式公式
谓词合式公式简称谓词公式 定义:
1) 原子公式是谓词合式公式 2)若A， B是谓词合式公式，则
(┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词合式公式
03:00
9
C.量词
(1)全称量词x x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
03:00
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C.量词
(2)存在量词x
x读作‘至少有一x’，‘存在一x’
x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’

第5章一阶谓词

(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
下面我们进行形式推理：
(2)x(S(x)→M(x)) ［前提］
(2)S(a)→M(a)
［(1),US］
(3)S(a)
［前提］
(4)M(a)
［(2),(3),I3］
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
f(x1,x2,…,xn)
表示个体变元x1,x2,…,xn所对应的个体y，并称之为n元个体函数， 简称函数（或函词、函词命名式）。其中f是函数符号，有了 函数的概念和记法，谓词的表达能力就更强了。例如，我们用 Doctor(father(Li))表示“小李的父亲是医生”，用E(sq(x),y))表 示“x的平方等于y”。
部量化。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
把上面关于量化的概念也可以推广到谓词公式。于 是，我们便可以说，如果一个公式中的所有个体变元都 被量化，或者所有变元都是约束变元（或无自由变元），
则这个公式就是一个命题。特别地，我们称 xA(x)为全
称命题， xA(x)为特称命题。对于这两种命题，当个体
域为有限集时（设有n个元素），有下面的等价式：
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
表5.1 常用逻辑等价式
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理 表5.2 常用逻辑蕴含式
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
例5.4 设有前提： (1)凡是大学生都学过计算机； (2)小王是大学生。 试问：小王学过计算机吗？ 解 令S(x)：x是大学生;M(x)：x学过计算机; a：小王。 则上面的两个命题可用谓词公式表示为

一阶谓词逻辑表示法例题

一阶谓词逻辑表示法例题
一、选择题
1、知识的表示方法有（）。

A、一阶谓词逻辑表示法
B、框架表示法
C、语义网络表示法
D、产生式表示法
2、知识表示的方法主要有：状态空间法、问题归约法、谓词逻辑法、语义网络法、框架表示法以及（）。

A、面向对象表示法
B、自然语言理解
C、数据库的智能检索
D、专家咨询系统
3、非结构化的知识的表示法是（）。

A、语义网络表示
B、谓词逻辑表示
C、框架表示法中
D、面向对象表示
4、以下说法正确的是（）。

A、不确定性推理中事实证据的不确定性不可以用可信度表示
B、CF=0表示可信度为0，代表某证据为假
C、事实的可信度来源有两个：专家直接提供和系统计算
D、推理规则和事实证据的不确定性可信度表示方法相同。

同上
二、简答题
1、一阶谓词逻辑表示法适合于表示哪种类型的知识，它有哪些特点？
2、产生式系统有哪几部分组成？各部分的作用是什么？
3、什么是子句？什么是子句集？请写出求谓词公式子句集的步骤。

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●镇江的夏天既炎热又潮湿
解：定义谓词
hot(X,Summer)：X地的夏天很炎热
wet(X,summer)：X地的夏天很潮湿
该知识可以表示为
hot(Zhenjiang,summer)∧wet(Zhenjiang,summer)
●有人每天下午都去打篮球。

解：定义谓词
P(x)：x是人
B(x)：x打篮球
∀
A(y)：y是下午
将知识用谓词表示为：
(∃x)(∀y) (A(y)→B(x)∧P(x))
●新型计算机速度又快，存储容量又大
解：定义谓词
NC(x)：x是新型计算机
F(x)：x速度快
B(x)：x容量大
将知识用谓词表示为：
(∀x) (NC(x)→F(x)∧B(x))
●不是每个信息系的学生都喜欢在计算机上编程序。

解：定义谓词
S(x)：x是信息系学生
L(x, pragramming)：x喜欢编程序
U(x,computer)：x使用计算机
将知识用谓词表示为：
⌝(∀x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer))
●所有的消防车都是红色的
解: 定义谓词
Fireengine(x) : x是消防车
Color(x, y) : x的颜色是y
red:表示红色
该知识可以表示为：
(∀x)( Fireengine(x))→Color(x, red)
对于所有的x, 如果x是消防车，那么x的颜色是红色的●所有的自然数，不是奇数就是偶数
解：定义谓词
N(x) : 表示x是自然数
O(x) : 表示x是奇数
E(x) : 表示x是偶数
该知识可表示为：
(∀x)( N(x))→(O(x) ∨E(x))
●305房间有个物体
解：定义谓词
In（x，y）：x在y里面
Room（x）：x是房间
r305：305房间
（∃x）In（x，Room（r305））
●每个车间都有一个人负责
有一个人是所有车间的负责人
解：定义谓词：
Workshop（x）：x是个车间
Head（y,x）: y是x的负责人
以上知识可表示为：
(∀x)(∃y)( Workshop（x）→Head（y,x）) (∃y)(∀x)( Workshop（x）→Head（y,x）)。