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第4讲 功能关系 能量守恒定律时间：60分钟满分：100分一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。
其中1～6题为单选，7～10题为多选)1．起跳摸高是学生经常进行的一项体育活动。
一质量为m 的同学弯曲两腿向下蹲，然后用力蹬地起跳，从该同学用力蹬地到刚离开地面的起跳过程中，他的重心上升了h ，离地时他的速度大小为v 。
下列说法正确的是( )A ．该同学机械能增加了mghB ．起跳过程中该同学机械能增量为mgh ＋12mv 2C ．地面的支持力对该同学做功为mgh ＋12mv 2D ．该同学所受的合外力对其做功为12mv 2＋mgh答案 B解析 该同学重心升高h ，重力势能增大了mgh ，又知离地时获得动能为12mv 2，则机械能增加了mgh ＋12mv 2，A 错误，B 正确；人与地面作用的过程中，支持力对人做功为零，C 错误；该同学所受合外力做功等于动能增量，则W 合＝12mv 2，D 错误。
2．某同学将质量为m 的一矿泉水瓶(可看成质点)竖直向上抛出，水瓶以54g 的加速度匀减速上升，上升的最大高度为H 。
水瓶往返过程受到的阻力大小不变。
则( )A ．上升过程中水瓶的动能减少量为54mgHB ．上升过程中水瓶的机械能减少了54mgHC ．水瓶落回地面时动能大小为mgH4D ．水瓶上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态 答案 A解析 水瓶以a ＝54g 减速上升，设阻力为f ，则有mg ＋f ＝ma ，解得阻力f ＝14mg ，上升阶段动能的改变量等于合外力做的功，W 合＝－maH ＝－54mgH ，故A 正确。
上升过程机械能的变化看阻力做功，即－fH ＝ΔE ，所以上升过程机械能减少14mgH ，故B 错误。
上升过程由动能定理：－54mgH ＝0－E k0，得初动能为54mgH ，全程由动能定理得：－2fH ＝E k －E k0，解得E k ＝34mgH ，故C 错误。
上升阶段加速度方向向下，下降阶段加速度方向向下，均为失重状态，故D 错误。
3．如图1所示，固定的粗糙斜面长为10 m ，一小滑块自斜面顶端由静止开始沿斜面下滑的过程中，小滑块的动能E k 随位移x 的变化规律如图2所示，取斜面底端为重力势能的参考平面，小滑块的重力势能E p 随位移x 的变化规律如图3所示，重力加速度g ＝10 m/s 2。
根据上述信息能求出( )A ．斜面的倾角B ．小滑块与斜面之间的动摩擦因数C ．小滑块下滑的加速度的大小D ．小滑块受到的滑动摩擦力的大小 答案 D解析 小滑块沿斜面下滑的过程中，根据动能定理有：F 合x ＝ΔE k ，由图2的斜率可求得合力F 合＝ΔE k Δx ＝2510 N ＝2.5 N ，小滑块重力势能的变化量ΔE p ＝－mg Δx sin θ，由图3的斜率可求得mg sin θ＝－ΔE p Δx ＝10010 N ＝10 N ，F 合＝mg sin θ－F f ＝mg sin θ－μmg cos θ＝ma ＝2.5 N ，则小滑块受到的滑动摩擦力的大小F f 可以求出，因小滑块的质量m 未知，故斜面的倾角θ、小滑块与斜面之间的动摩擦因数μ、小滑块下滑的加速度a 的大小不能求出，故选D 。
4．如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 拴接，另一端与物体A 相连，物体A 静止于光滑水平桌面上，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连。
开始时用手托住B ，让细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度。
重力加速度为g ，下列有关该过程的分析正确的是( )A ．释放B 的瞬间其加速度为g2B ．B 动能的增加量等于它所受重力与拉力做功之和C ．B 机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量D ．细线拉力对A 做的功等于A 机械能的增加量 答案 B解析 对B ，m B g －T ＝m B a ，对A ，T －kx ＝m A a ，则有m B g －kx ＝(m A ＋m B )a ，释放B 的瞬间弹簧的形变量为零，但由于不知道A 、B 的质量关系，故无法求出B 的瞬时加速度，A 错误；根据动能定理知，合外力做的功等于动能的变化量，因此，B 动能的增加量等于它所受重力与拉力做功之和，B 正确；整个系统中，根据能量守恒可知，B 机械能的减少量等于弹簧弹性势能增加量与A 物体动能增加量之和，故C 错误；细线对A 的拉力和弹簧对A 拉力做功之和等于A 物体机械能的增加量，故D 错误。
5．如图所示，足够长的水平传送带以v ＝2 m/s 的速度沿顺时针方向匀速转动，上方漏斗以每秒25 kg 把煤粉均匀且竖直抖落到传送带上，然后煤粉随传送带一起运动。
已知煤粉与传送带间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，欲使传送带保持原来的速度匀速转动，则传送带的电动机应增加的功率为( )A ．200 WB ．50 WC ．100 WD ．无法确定答案 C解析 煤粉竖直抖落到传送带上，在滑动摩擦力作用下加速到与传送带速度相等。
由牛顿第二定律μmg ＝ma ，解得煤粉的加速度大小a ＝μg ＝2 m/s 2。
加速时间t ＝va＝1 s ，加速位移x 1＝12at 2＝1 m ，在1 s 时间内传送带位移x 2＝vt ＝2 m ，煤粉相对于传送带滑动的距离Δx＝x 2－x 1＝1 m ，每秒钟由于煤粉滑动摩擦产生的热量Q ＝μm 1g Δx ＝0.2×25×10×1 J＝50 J ，每秒钟竖直抖落到传送带上的煤粉增加的动能ΔE k ＝12m 1v 2＝12×25×22J ＝50 J ，根据功能关系，传送带电动机应增加的功率P ＝100 W ，C 正确。
6．如图所示，有三个斜面a 、b 、c ，底边的长分别为L 、L 、2L ，高度分别为2h 、h 、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数均相同，该物体分别沿三个斜面从顶端由静止释放后，都可以加速下滑到底端。
三种情况相比较，下列关系不正确的是( )A ．下滑过程经历的时间t a >t b ＝t cB ．物体到达底端的动能E k a >E k b >E k cC ．因摩擦产生的内能2Q a ＝2Q b ＝Q cD ．物体损失的机械能ΔE c ＝2ΔE b ＝2ΔE a 答案 A解析 设斜面和水平方向夹角为θ，斜面长度为x ，则物体在下滑到底端的过程中克服摩擦力做的功为：W ＝μmgx cos θ，x cos θ即为底边长度。
物体下滑过程中，除重力外还有摩擦力做功，根据能量守恒，损失的机械能转化成因摩擦产生的内能，由题图可知a 和b 底边相等且等于c 的一半，因摩擦产生的内能关系为：Q a ＝Q b ＝12Q c ，所以损失的机械能ΔE a ＝ΔE b＝12ΔE c ，C 、D 正确。
物体沿斜面运动的时间t ＝2x a 0＝2xg sin θ－μg cos θ，θb >θc ，x b <x c ，所以t b <t c ，A 错误。
设物体滑到底端时的速度为v ，根据动能定理得：mgH －μmgx cos θ＝12mv2－0，则E k a ＝2mgh －μmgL ，E k b ＝mgh －μmgL ，E k c ＝mgh －μmg ·2L ，可知滑到底端时物体的动能大小关系为：E k a >E k b >E k c ，B 正确。
7. 一物体在竖直方向的升降机中，由静止开始竖直向上做直线运动，运动过程中物体的机械能E 与其上升高度h 关系的图象如图所示，其中0～h 1过程的图线为曲线，h 1～h 2过程中的图线为直线。
根据该图象，下列说法正确的是( )A ．0～h 1过程中，物体的动能一定在增加B ．0～h 1过程中，升降机对物体的支持力一定做正功C ．h 1～h 2过程中，物体的动能可能不变D ．h 1～h 2过程中，物体的重力势能可能不变 答案 BC解析 由功能关系可知除重力和弹簧弹力以外的力做功等于机械能的增加量，知E h 图象的切线斜率表示升降机对物体的支持力。
0～h 1切线斜率逐渐变小，则支持力逐渐变小，但支持力肯定与运动方向相同，在此阶段一直做正功，故B 项正确。
0～h 1过程，动能如何变化，要看合外力做的功，合外力一开始向上，随支持力减小合外力是不是一直向上则不确定，故A 项错误。
h 1～h 2过程，E h 图象切线斜率不变，故支持力不变，若支持力等于重力，则C 项正确。
h 1～h 2过程，物体随升降机向上运动，重力势能增加，故D 项错误。
8. 如图所示，轻质弹簧劲度系数为k ，一端与固定在倾角为θ的光滑斜面底端的传感器连接，另一端与木块连接，木块处于静止状态，此时传感器示数为F 0。
若在木块上端加一沿斜面向上的恒力F ，当传感器示数再次为F 0时，下面说法正确的是( )A ．木块上升的高度为2F 0kB ．木块的机械能增加量为2FF 0kC ．木块的质量为F 0gD ．木块的动能增加量为2F 0k(F －F 0)答案 BD解析 传感器示数即为弹簧弹力大小，最初木块处于静止状态，知mg sin θ＝F 0，木块质量m ＝F 0g sin θ，故C 错误。
开始弹簧处于压缩状态，形变量x 1＝F 0k，当传感器示数再次为F 0时，弹簧处于伸长状态，形变量x 2＝F 0k，故木块沿斜面上升x ＝x 1＋x 2＝2F 0k，高度h ＝x sin θ＝2F 0ksin θ，故A 错误。
弹簧弹力对木块先做正功后做负功，总功为零，则外力F 做功等于机械能的增加量W ＝F ·x ＝2FF 0k，故B 正确。
由动能定理得木块动能增加量ΔE k ＝Fx －mg sin θ·x ，得ΔE k ＝2F 0k(F －F 0)，故D 正确。
9. 如图所示，质量为M 、长为L 的木板置于光滑的水平面上，一质量为m 的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为F f ，用水平的恒定拉力F 作用于滑块。
当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为x ，滑块速度为v 1，木板速度为v 2，下列结论正确的是( )A ．上述过程中，F 做功大小为12mv 21＋12Mv 22B ．其他条件不变的情况下，M 越大，x 越小C ．其他条件不变的情况下，F 越大，滑块到达右端所用时间越长D ．其他条件不变的情况下，F f 越大，滑块与木板间产生的热量越多 答案 BD解析 F 做功大小为二者动能与产生的热量之和，A 错误；滑块在木板上滑动过程用v －t 图象来研究，如图所示，图线①为滑块的v －t 图，②为木板的v －t 图，t 0时刻滑块到达木板右端，阴影部分面积为木板长度，则很容易知道其他条件不变，M 越大，图线②的斜率越小，t 0越小，x 越小，B 正确；其他条件不变，F 越大，图线①的斜率越大，t 0越小，故C 错误；滑块与木板间产生的热量等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其他条件不变，F f 越大，滑块与木板间产生的热量越多，D 正确。
