2020-2021广州二中应元学校高一数学下期末试卷附答案

广州市 2021 学年下学期高一年级期末考试数学试卷（试卷满分：150 分考试时间：120 分钟）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.不等式x(x + 2) < 3 的解集是（）（A）{ x - 3 <x < 1} （B）{ x -1<x < 3 }（C）{ x x <-3, 或x > 1} （D）{ x x <-1, 或x > 3 }2.在等比数列{ a n }中，若a1a2 a3 =—8，则a2 等于（）（A）—8（B）—2 （C）±8（D）± 2 3 33.7806 6572 0802 6314 2947 1821 98003204 9234 4935 3623 4869 6938 7481 （A）02 （B）14 （C）18 （D）29 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）a -b a b（A ）1（B ）5（C ）14（D ）305. 在△ABC 中，若sin 2A + sin 2B < sin 2C ，则△ABC 的形状是（）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）无法确定6. 已知不等式x - 5< 0 的解集为 P 。

若 x ∈ P ，则“ x< 1”的概率为（）x + 11 （A ）41 （B ）31 （C ）22 （D ） 37. 设a > 0, b > 0 ，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）（A ） a + 1≥2（B ） a 2 + b 2≥2（ a + b - 1）a（C ） ≥ - （D ） a 3 + b 3 ≥2 ab28. 已知数列 A ： a 1 ， a 2 ，…， a n （ 0 ≤ a 1 < a 2 < … < a n , n ≥ 3 ）具有性质 P ：对任意i , j (1 ≤ i ≤ j ≤ n ) a j + a i 与a j - a i 两数中至少有一个是该数列中的一项。

A.-45.若sinα=-,α是第四象限角，则cos 3+α⎪的值是5B．7102Ｃ．210Ｄ．1 5)图象，只需把函数y=3sin2x图象广州市第二学期期末考试试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是433B. C.- D.53554.不等式x2-3x-10>0的解集是A．{x|-2≤x≤5}B．{x|x≥5,或x≤-2}C．{x|-2<x<5}D．{x|x>5,或x<-2}⎛π⎫5⎝4⎭Ａ．476.若a,b∈R，下列命题正确的是A．若a>|b|，则a2>b2B．若|a|>b，则a2>b2 C．若a≠|b|，则a2≠b27.要得到函数y=3sin(2x+πD．若a>b，则a-b<0A．向左平移ππ个单位B．向右平移个单位55C ．向左平移π5 a+ 15. 设实数 x , y 满足 ⎨ x + y ≤ 1, 则 z = 2 x + y 的最大值是．⎪ y ≥ -1. 1-q1π个单位D ．向右平移 个单位10108. 已知 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，P 为平面 ABCD 内任意—点，则 P A + PB + PC + PD等于A. 4PMB. 3PMC. 2PMD. PM9. 若 cos 2α = 3 5，则 sin 4 α + cos 4 α 的值是17 4 6 33A. B ． Ｃ． D ．25 5 2510. 已知直角三角形的两条直角边的和等于 4 ，则直角三角形的面积的最大值是A. 4B. 2 2C. 2D.211. 已知点 (n , a n)在函数 y = 2 x - 13 的图象上，则数列 { }的前 n 项和 S nn 的最小值为A ． 36B ． -36C ． 6D ． -612. 若钝角 ∆ABC 的内角 A , B , C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m ，则 m 的取值范围是A ．（1,2）B ．（2，∞） C ． [3, +∞) D ． (3, +∞)第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 把答案填在答题卡上.13. 若向量 a = (4,2), b = (8, x ), a // b ，则 x 的值为．14. 若关于 x 的方程 x 2 - mx + m = 0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是．⎧ y ≤ x , ⎪⎩16. 设 f ( x ) = sin x cos x + 3cos 2 x ，则 f ( x ) 的单调递减区间是．三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分 10 分)已知等比数列{a n}的前 n 项和为 Sn a (1-q n ) ，公比为 q (q ≠ 1) ，证明： S = ．n（2）设 b =，求数列{b }的前 n 项和 T ．S S18．（本小题满分 12 分）已知平面向量 a ， b 满足 | a |= 1 ， | b |= 2 ．（1）若 a 与 b 的夹角θ = 120 ，求 | a + b | 的值；（2）若 (k a + b ) ⊥ (k a - b ) ，求实数 k 的值.19.（本小题满分 12 分）在 ∆ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，已知 c = a cos B + b sin A ．（1）求 A ；（2）若 a = 2 ， b = c ，求 ∆ABC 的面积．20．（本小题满分 12 分）已知数列 {a }的前 n 项和为 S n n ，且 a 1 = 2 ， an +1 = n + 2nS (n = 1,2,3, ) ．n⎧ S ⎫（1）证明：数列 ⎨ n ⎬ 是等比数列；⎩ n ⎭ 22n +1n nnn n +1=21.(本小题满分 12 分)某电力部门需在 A 、 B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、 B 两地距离. 现测量人员在相距 3 km 的 C 、 D 两地（假设 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面上）测得∠ ACB = 75 ，∠BCD = 45 ，∠ADC = 30 ，∠ADB = 45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为 A 、 B 距离的 5 倍，问施工单位应A该准备多长的电线？B75°45° 45°30°CD22.(本小题满分 12 分)已知 A , B , C 为锐角 △ A BC 的内角， a （sin A ,sin B sin C ）， b = (1,-2) ， a ⊥ b .（1） tan B ， tan B tan C ， tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求 tan A tan B tan C 的最小值.13. 414. (0, 4)15. 316. ⎢k π +⎡ 12 , k π + 7π ⎤( ⎥⎦ k∈ Z1-q1 1-q 1高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题 主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题题号 1 答案 A2D 3C 4D 5B6Ａ7C 8A 9A 10C11B 12B二、填空题⎣π12)三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分 10 分)已知等比数列{a }的前 n 项和为 S nn a (1-q n ) ，公比为 q (q ≠ 1) ，证明： S = ．n证法 1：（错位相减法）因为 a = a q n -1 ，…………………………………2 分 n1所以 S = a + a q ++ a q n -1…………………………………4 分n111qS = a q + a q 2 +n11+ a q n -1 + a q n …………………………………6 分1 1所以 (1- q )S = a - a q n…………………………………8 分n11a (1-q n )当 q ≠ 1 时，有 S = ．…………………………………10 分n证法 2：（叠加法）因为{a } 是公比为 q 的等比数列，n所以 a = a q ， a = a q ，L ,2132所以 a - a = (q - 1)a ，211an +1= a q …………………………………2 分na - a = (q - 1)a ，…， a322n +1- a= (q - 1)a ，…………………………………6 分 n n相加得 an +1- a = (q - 1)S . …………………………………8 分 1 n1 - q 1 - q n +1 =1 1 1 - q 1 - q 1 - q1 - q 1 - q 1 - q 1 - q 1 - q 1 - q1 1 解：（1）a b =| a || b | cos120 = 1⨯ 2 ⨯ - ⎪ = -1 ，…………………………………2 分⎛ 1 ⎫．a - a a (1- q n )所以当 q ≠1 时， S = .…………………………………10 分n证法 3：（拆项法）当 q ≠1 时，a = a ⋅ 1 1 1 - q a aq= 1 - 1 ， …………………………………2 分 1 - q 1 - q 1 - q1 - q a q a q2 a = a q ⋅ = 1 - 1 2 1 ，……，1 - q a q n -1 a q n a = a q ⋅ = 1 - 1 n n -1以上 n 个式子相加得aa q n a (1 - q n )S = - = 1n ， …………………………………8 分. …………………………………10 分18．（本小题满分 12 分）已知平面向量 a ， b 满足 | a |= 1 ， | b |= 2 ．（1）若 a 与 b 的夹角θ = 120 ，求 | a + b | 的值；（2）若 (k a + b ) ⊥ (k a - b ) ，求实数 k 的值.题根：《数学 4》2.4.1 例 1、例 2、例 4 （综合变式） ⎝ 2 ⎭| a + b |2 = (a + b )2 = a 2 + 2a b + b 2…………………………………3 分=| a |2 +2a b + | b |2…………………………………4 分又 | a |= 1 ， | b |= 2 ，所以 | a + b |2 =| a |2 +2a b + | b |2 = 1 - 2 + 4 = 3 ，…………………………………5 分所以 | a + b |= 3 .…………………………………6 分（2）因为 (k a + b ) ⊥ (k a - b ) ，所以 (k a + b ) (k a - b ) = 0 ，…………………………………7 分（2）∆ABC的面积S=1即k2a2-b2=0…………………………………9分因为|a|=1，|b|=2，所以k2-4=0，…………………………………11分即k=±2.…………………………………12分19.（本小题满分12分）在∆ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=a cos B+b sin A．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求∆ABC的面积．（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题）解：（1）解法1：由c=a cos B+b sin A及正弦定理可得sin C=sin A cos B+sin B sin A.…………………………………2分在∆ABC中，C=π-A-B，所以sin C=sin(A+B)=sin A c os B+cos A s in B.…………………………………4分由以上两式得s in A=cos A，即tan A=1，…………………………………5分又A∈(0,π)，所以A=π4．…………………………………6分解法2：由c=a cos B+b sin A及余弦定理可得a2+c2-b2c=a⨯+b sin A，…………………………………2分2ac即b2+c2-a2=2bc sin A，…………………………………3分由余弦定理得b2+c2-a2=2bc cos A由以上两式得s in A=cos A，即tan A=1，…………………………………5分又A∈(0,π)，所以A=π4．…………………………………6分2bc sin A=bc，…………………………………7分24由a=2，及余弦定理得4=b2+c2-2bc cos B=b2+c2-2bc，…………………………………8分因为b=c，所以4=2b2-2b2，（2）设b=，求数列{b }的前n项和T．S S n所以Sn+1=2⋅n(n∈N*)．…………………………………4分⎧⎬T= 1-⎪+ -⎪+⎝2⎭⎝23⎭⎛11⎫1n +-=1-=⎝n n+1⎭n+1n+1即b2=42-2=4+22，…………………………………10分故∆ABC的面积S= 20．（本小题满分12分）22bc=b2=2+1．………………………………12分44已知数列{a}的前n项和为Snn，且a1=2，an+1=n+2n S(n=1,2,3,)．n⎧S⎫（1）证明：数列⎨n⎬是等比数列；⎩n⎭22n+1n n nn n+1题根：《数学5》2.2习题B组第4题.（变式题）解：（1）因为，an+1=Sn+1-S，…………………………………1分n又a n+1=n+2S，n所以(n+2)S=n(Sn n+1-S)，…………………………………2分n即nSn+1=2(n+1)S，nSn+1n故数列⎨Sn⎫是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分⎩n⎭（2）由（1）得Sn=2n，即Sn n=n2n．…………………………………8分所以b=n 22n+122n+1111===-S S n2n(n+1)2n+1n(n+1)n n+1n n+1，……………………10分故数列{b}的前n项和n⎛1⎫⎛11⎫n21.(本小题满分12分)⎪．…………………12分BC = 3 sin 75 =某电力部门需在 A 、 B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、 B 两地距离. 现测量人员在相距 3 km 的 C 、 D 两地（假设 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面上）测得∠ ACB = 75 ，∠BCD = 45 ，∠ADC = 30 ，∠ADB = 45 （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为 A 、 B 距离的 5 倍，问施工单位应该准备多长的电线？AB75°45° 45°30°CD题根：《数学 5》1.2 例 2. （改编题）解：在 ∆ACD 中，由已知得 ∠CAD = 30 ，又 ∠ADC = 30 ,所以 AC = CD = 3(km) ．……………………………………………………2分在 ∆BCD 中，由已知可得 ∠CBD = 60 ，由正弦定理得3 sin（45 +30 ） 6 + 2 = =sin 60 sin 60 2在 ∆ABC 中，由余弦定理得AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC ⋅ BC cos ∠BCA.…………………………………6 分= 32 + ( 6 + 2 6 + 2)2 - 2 3 ⋅ ⋅ cos75 = 5 ， ………………………9 分2 2所以， AB = 5 ．……………………………………………………10 分故施工单位应该准备电线长为 5 km . ………………………………………………12 分22.(本小题满分 12 分)已知 A , B , C 为锐角 △ A BC 的内角， a （sin A ,sin B sin C ）， b = (1,-2) ， a ⊥ b .（1）tan B，tan B tan C，tan C能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tan A tan B tan C的最小值.（据2016年江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题）解：（1）依题意有s in A=2sin B sin C.……………………………………………2分在△A BC中，A=π-B-C，所以sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，………………………………3分所以2sin B sin C=sin B cos C+cos B sin C.…………………………………4分因为△A BC为锐角三角形，所以c os B>0,cos C>0，所以tan B+tan C=2tan B tan C，……………………………………………5分所以tan B，tan B tan C，tan C成等差数列.……………………………………6分（2）法一：在锐角△A BC中，tan A=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=-tan B+tan C1-tan B tan C，……………………7分即tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C，……………………………………8分由（1）知tan B+tan C=2tan B tan C，于是tan A tan B tan C=tan A+2tan B tan C≥22tan A tan B tan C，…………10分整理得tan A tan B tan C≥8，…………………………………………11分当且仅当tan A=4时取等号，故tan A tan B tan C的最小值为8.…………………………………………12分法二：由法一知tan A=-tan B+tan C1-tan B tan C，………………………………………7分由（1）知tan B+tan C=2tan B tan C，于是tan B+tan C2(tan B tan C)2 tan A tan B tan C=-⨯tan B tan C=-，……8分1-tan B tan C1-tan B tan C 令tan B tan C=x(x>1)，则2x22tan A tan B tan C==2(x-1)++4≥8，……………………………11分x-1x-1当且仅当x=2，即tan A=4时取等号，故tan A tan B tan C的最小值为8.…………………………………………12分2016-2017学年第二学期期末质量监测试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

2020-2021广州市高一数学下期末试题(及答案)一、选择题1．如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．102．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 5．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7C 15D 147．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175 175 176 177 177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．7810．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．15．设a ＞0，b ＞033a 与3b的等比中项，则11a b +的最小值是__． 16．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 18．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程. 25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABCS ac B ==，联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 所以228221a d -==+,解得825a =±,当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．15．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．17．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=18．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=319．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=．本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．20．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算23．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f k g k ====，()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，11(20)()(20)82y f x g x x x =-+=-21(2)3,0208x x =-+≤≤，2,4x x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题. 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2acbc aA bcac +-===.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A Bb ==.由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】 【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。

广东省广州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 复数＝A．B．C．D．2. 已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则4. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．5. 年中国经济在疫情狙击战的基础上实现了正增长，根据中国统计局官网提供的数据，年全国居民人均可支配收入及其增长速度和年全国居民人均消费支出及其构成如图所示．根据该图，下列结论正确的是（）A．年全国居民人均可支配收入比上年下降了B．年全国居民人均居住支出占可支配收入的比重为C．年全国居民人均交通通信支出占消费支出的比重为D．年全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长率逐年下降6. 甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.987. 概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢贏了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A．甲法郎，乙法郎B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎D．甲法郎，乙法郎8. 如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知复数，下列说法正确的是（）A．复数z的虚部是B．复数z的模为5C．复数z的共轭复数是D．在复平面内复数z对应的点在第四象限10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（）A．第一次摸到红球的概率为B．第二次摸到红球的概率为C．两次都摸到红球的概率为D．两次都摸到黄球的概率为11. 已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（）A．若，则O是外心B．若，则P是垂心C．若，则N是重心D．若，则I是内心12. 在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（）A．B．C．D．平面截正方体所得截面面积为三、填空题13. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________．14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________．15. 若是方程的一个根，则______.16. 在中，，点D在边上，且，点E是的中点，则________．四、解答题17. 已知点、、，点在线段上，且满足．(1)求点的坐标；(2)求的余弦值．18. 如图，正方体中，、、分别是棱、、的中点．(1)求直线与平面所成角的正切值；(2)求证：平面．19. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，(1)求的面积；(2)求塔高．20. 某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调査，发现他们的用电量都在50～350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数；(3)用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率．21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上一点．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求二面角的余弦值．22. 1.某批库存零件在外包装上标有从1到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：，现有两种方法对零件总数N进行估计．方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的平均数与总体序号的平均数近似相等，进而可以得到N的估计值；方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号相当于从区间中随机抽取n个整数，这n个整数将区间分成个小区间．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度与所有个区间的平均长度近似相等，进而可以得到N 的估计值．现工作人员随机抽取了10个零件，序号从小到大依次为：380、455、1073、1375、1416、1665、1726、1963、2117、2800．(1)请用上述两种方法分别估计这批零件的总数；(2)将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位：）绘制出频率分布直方图（如图）．已知标准零件的内径为，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率．其中内径长度最接近标准的770个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）．。

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}2.（单选题，5分）已知复数z满足（z-1）i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）设a⃗、b⃗⃗都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|成立的充分条件是（）A. a⃗=−b⃗⃗B. a⃗∥b⃗⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. a⃗∥b⃗⃗且|a⃗|=|b⃗⃗|4.（单选题，5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πC.13πD.14π5.（单选题，5分）已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a6.（单选题，5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296D.68，2967.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8个单位长度得到函数g 8.（单选题，5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12]上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，π2A. 23B.1C. 659.（多选题，5分）若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（ ） A. √a ＞√b B.1a 2＞1b2 C.ac 2＞bc 2 D. a −1a ＞b −1b10.（多选题，5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（ ）A.事件A 与D 为对立事件B.事件B 与C 是互斥事件C.事件C 与E 为对立事件D.事件P （C∪E ）=111.（多选题，5分）△ABC 中，A= π2 ，AB=AC=2，则下列结论中正确的是（ ） A.若G 为△ABC 的重心，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.若P 为BC 边上的一个动点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 为定值4 C.若M 、N 为BC 边上的两个动点，且 MN =√2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 32D.已知Q 是△ABC 内部（含边界）一点，若AQ=1，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是112.（多选题，5分）已知三棱锥P-ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB=BC=2，PA=PC= √5 ，AB⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ=AB ，PQ=3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则（ ）A.三棱锥P-ABC 的体积为 23 B.PA⊥AB C.PC || BQD.球O 的表面积为9π13.（填空题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=- 15 ，则tanθ=___ ．14.（填空题，5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知正数a，b满足a+b−1a −4b=8，则a+b的最小值是 ___ ．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c=23b，sinB b =√3cosAa，（1）求A的值；（2）若b=3，求△ABC外接圆的面积．18.（问答题，12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．19.（问答题，12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20.（问答题，12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域；（3）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．21.（问答题，12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD̂所在的平面垂直，AB=2，AD= √22，M是CD̂上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．22.（问答题，12分）已知f（x）=x2+x+a2+a，g（x）=x2-x+a2-a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g （x）}，（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A.{-2，-1，0}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}【正确答案】：C【解析】：可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|-2＜x＜1}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0}．故选：C．【点评】：本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足（z-1）i=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（z-1）i=1+i，得z-1= 1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z=2-i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，-1），位于第四象限．故选：D．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.（单选题，5分）设a⃗、b⃗⃗都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|成立的充分条件是（）A. a⃗=−b⃗⃗B. a⃗∥b⃗⃗C. a⃗=2b⃗⃗D. a⃗∥b⃗⃗且|a⃗|=|b⃗⃗|【正确答案】：C【解析】：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【解答】：解：a⃗⃗|a⃗⃗|=b⃗⃗|b⃗⃗|⇔ a⃗=|a⃗⃗|b⃗⃗|b⃗⃗|⇔ a⃗与b⃗⃗共线且同向⇔ a⃗=λb⃗⃗且λ＞0，故选：C．【点评】：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．4.（单选题，5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.11πB.12πC.13πD.14π【正确答案】：B【解析】：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】：解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC=4，∠ABC=120°，∴CO=2 √3，•π•OC2•AB=12π，∴几何体的体积V= 13故选：B．【点评】：本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．5.（单选题，5分）已知函数y=x a，y=b x，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.b＜c＜a【正确答案】：A【解析】：分别利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，结合特殊点，即可判断出a，b，c的大小关系．【解答】：解：根据幂函数的性质可知：a＞0，又∵幂函数y=x a，当x=2时，y＜2，即2a＜2，∴0＜a＜1，根据指数函数的性质可知：b＞1，又∵指数函数y=b x，当x=1时，y＜2，即b＜2，∴1＜b＜2，根据对数函数的性质可知：c＞1，又∵对数函数y=log c x，当x=2时，y＜1，即log c2＜1，∴c＞2，故：a＜b＜c，故选：A．【点评】：本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的性质，是基础题．6.（单选题，5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A.65，280B.68，280C.65，296D.68，296【正确答案】：D【解析】：先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【解答】：解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，甲队队员在所有队员中所占权重为11+4=15，乙队队员在所有队员中所占权重为41+4=45，则甲、乙两队全部队员的平均体重为x=15×60+45×70=68，甲、乙两队全部队员体重的方差为s2=15[200+(60−68)2]+45[300+(70−68)2] =296．故选：D．【点评】：本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】：B【解析】：根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，由函数的解析式求出x ＞1时函数的零点，分析可得x＜1时f（x）的零点，相加即可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x+1）为奇函数，函数f（x+1）的图象关于（0，0）对称，则函数f（x）的图象关于（1，0）对称，当x＞1时，f（x）=x2-6x+8，此时若f（x）=x2-6x+8=0，解可得x1=2，x2=4，又由函数f（x）的图象关于（1，0）对称，则当x＜1时，f（x）=0有两解，为x3=0，x4=-2，则函数f（x）的所有零点之和为2+4+0+（-2）=4；故选：B．【点评】：本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性以及函数的零点，属于基础题．8.（单选题，5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，π2]上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）A. 23B.1C. 65D.2【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】：解：函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移π12个单位长度得到函数g（x）=sin[ω（x- π12）]的图象，由于x ∈[0，π2]，所以ω(x−π12)∈[−ωπ12，5ωπ12]，由于函数g（x）在区间[0，π2]上是单调增函数，所以[−ωπ12，5ωπ12]⊆[−π2，π2]，故5ωπ12≤π2，且−ωπ12≥−π2，解得ω ≤65故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.（多选题，5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A. √a＞√bB. 1a2＞1b2C.ac2＞bc2D. a−1a ＞b−1b【正确答案】：AD【解析】：由不等式的性质逐一判断即可．【解答】：解：由a＞b＞0，可得√a＞√b，故A正确；由a＞b＞0，可得a2＞b2，所以1a2＜1b2，故B错误；若c=0，则ac2=bc2，故C错误；由a＞b＞0，可得1a ＜1b，所以- 1a＞- 1b，所以a- 1a＞b- 1b，故D正确．故选：AD．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.（多选题，5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A.事件A与D为对立事件B.事件B与C是互斥事件C.事件C与E为对立事件D.事件P（C∪E）=1【正确答案】：AD【解析】：由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可．【解答】：解：∵事件A=“取出的两球同色”，D=“取出的两球不同色”，∴件A 与D 为对立事件，故A 对，事件BC=“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B 与C 不是互斥事件，故B 错， 事件CE=“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C 与E 不是对立事件，故C 错， 事件C∪E 为必然事件，故P （C∪E ）=1，故D 对， 故选：AD ．【点评】：本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题． 11.（多选题，5分）△ABC 中，A= π2 ，AB=AC=2，则下列结论中正确的是（ ） A.若G 为△ABC 的重心，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.若P 为BC 边上的一个动点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 为定值4 C.若M 、N 为BC 边上的两个动点，且 MN =√2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 32D.已知Q 是△ABC 内部（含边界）一点，若AQ=1，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值是1【正确答案】：BC【解析】：以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A ；设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤t≤1），把 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 用含有t 的代数式表示即可判断选项B ；不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x≤ √2 ，求得M 与N 的坐标，得到 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于x 的函数，利用二次函数求最值即可判断选项C ；由向量模的运算及基本不等式即可求解λ+μ的最大值，从而判断选项D ．【解答】：解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．则A （0，0），B （2，0），C （0，2）． AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0）， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2）． 对于A ，由重心坐标公式，可得G （ 23 ， 23 ）， 则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 23 ， 23 ）， 23 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 43 ， 43）， ∴ AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 23 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误；对于B ，设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤t≤1）， 则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =[t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²+（1-t ）| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |²+（1-t ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4t+4（1-t ）=4，故B 正确； 对于C ，不妨设M 靠近B ，|BM|=x ，则0≤x≤ √2 ， 得M （2- √22 x ， √22 x ），N （2- √22 （x+ √2 ）， √22 （x+ √2 ））=（1- √22 x ，1+ √22 x ）． 则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2- √22 x ， √22 x ）（1- √22 x ，1+ √22 x ） =（2- √22 x ）（1- √22 x ）+ √22 x （1+ √22 x ）=x²- √2 x+2．当x= √22 时， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为 32，故C 正确； 对于D ，由 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2λ，2μ），Q 是△ABC 内部（含边界）一点， 由AQ=1，可得4λ2+4μ2=1，即λ2+μ2= 14，所以（λ+μ）²=λ2+μ2+2λμ≤λ2+μ2+λ2+μ2= 12 ，当且仅当λ=μ= √24 时等号成立， 所以λ+μ≤ √22 ，则λ+μ的最大值为 √22 ，故D 错误． 故选：BC ．【点评】：本题主要考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．12.（多选题，5分）已知三棱锥P-ABC 的每个顶点都在球O 的球面上，AB=BC=2，PA=PC= √5 ，AB⊥BC ，过B 作平面ABC 的垂线BQ ，且BQ=AB ，PQ=3，P 与Q 都在平面ABC 的同侧，则（ ）A.三棱锥P-ABC 的体积为 23 B.PA⊥ABC.PC || BQD.球O的表面积为9π【正确答案】：ABD【解析】：把三棱锥放置在长方体中，画出图形，由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC的体积判断A；利用勾股定理证明PA⊥AB；由反证法思想说明C错误，求出长方体的外接球的表面积判断D．【解答】：解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB=BC=2，PA=PC= √5，AB⊥BC，三棱锥P-ABC的体积为13×12×2×2×1=23，故A正确；PB= √PD2+BD2=√PD2+AB2+AD2 = √22+22+12=3，满足PA2+AB2=PB2，可得PA⊥AB，故B正确；BQ⊥平面ABC，PD⊥平面ABC，则BQ || PD，假设PC || BQ，则PC || PD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥P-ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则2R= √22+22+12=3，即R= 32，可得球O的表面积为4π×(32)2=9π，故D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查多面体外接球表面积的求法，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.（填空题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=- 15，则tanθ=___ ．【正确答案】：[1]- 34【解析】：由sinθ+cosθ=- 15，平方可由此求得sinθ•cosθ 的值，由sinθ•cosθ以及sin2θ+cos2θ=1 可得cosθ和sinθ的值，从而求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ=- 15 ，…（1）， ∴两边平方得1+2sinθcosθ= 125 ， ∴sinθcosθ=- 1225＜0， 又0＜θ＜π，可知：sinθ＞0，cosθ＜0， ∴sinθ-cosθ＞0，∵（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1+ 2425 = 4925 ， ∴sinθ-cosθ= 75 ， (2)由（1），（2）可得sinθ= 35，cosθ=- 45， ∴tanθ=- 34 ． 故答案为：- 34 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.（填空题，5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ___ ． 【正确答案】：[1] 110【解析】：求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意，设2张一等奖分布为A ，B ，其余3张为1，2，3，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，分别为：AB ，BA ，A1，1A ，A2，2A ，A3，3A ，B1，1B ，B2，2B ，B3，3B ，12，21，13，31，23，32，共20种，其中甲先抽1张（不放回），乙再抽1张为AB ，BA 共两种， 故甲中一等奖乙中一等奖的概率P= 220=110． 故答案为： 110．【点评】：本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．15.（填空题，5分）已知函数f （x ）=|x+1|-|x-3|，若对∀x∈R ，不等式f （x ）≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：去掉绝对值符号，化简函数f （x ）的解析式，结合函数的图象，求解函数的最大值，然后求解m 的范围即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=|x+1|-|x-3|= {−4，x ≤−12x −2，−1＜x ＜34，x ≥3，作出f （x ）的图象如图所示， 由图象可得函数f （x ）的最大值为4， 若对∀x∈R ，不等式f （x ）≤m 恒成立， 则m≥4，即实数m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题． 16.（填空题，5分）已知正数a ，b 满足 a +b −1a−4b=8 ，则a+b 的最小值是 ___ ． 【正确答案】：[1]9【解析】：设a+b=x ，则 1a+4b=x −8 ，然后利用基本不等式的结论，构造关于x 的一元二次不等式，求解即可得到a+b 的最小值．【解答】：解：a ＞0，b ＞0，则a+b ＞0， 设a+b=x ，则 1a +4b =x −8 ，由基本不等式的结论可得， 1a+4b ≥(√1+√4)2a+b=9a+b ，即（x-8）≥ 9x，即x 2-8x-9≥0，所以x≤-1（舍）或x≥9，即a+b≥9，当且仅当b=2a ，即a=3，b=6时取等号， 所以a+b 的最小值为9． 故答案为：9．【点评】：本题考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键在于构造，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．17.（问答题，10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知 c =23b ，sinB b=√3cosAa， （1）求A 的值；（2）若b=3，求△ABC 外接圆的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理化简已知等式可得tanA= √3 ，结合范围A∈（0，π），可得A 的值．（2）由题意可求c 的值，根据余弦定理可得a 的值，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为sinB b=√3cosAa， 所以由正弦定理可得 sinBsinB =√3cosAsinA，即tanA= √3 ，因为A∈（0，π）， 所以A= π3 ．（2）因为b=3，c= 2b 3 =2，A= π3 ，所以由余弦定理可得a= √b 2+c 2−2bccosA = √9+4−2×3×2×12 = √7 ， 所以△ABC 外接圆的半径R= a2sinA = √72×√32= √213，可得△ABC 外接圆的面积S=πR 2= 7π3 ．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.（问答题，12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数x和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．【正确答案】：【解析】：（1）设组距为a，利用频率之和为1，建立关于a的等式，求出a，然后得到横轴的数据，然后利用百分位数的计算方法求解即可；（2）利用频率分布直方图中平均数和方差的计算方法求解即可．【解答】：解：（1）设组距为a，则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）×a=1，解得a=2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为10～12所占频率为2×0.02=0.04，8～10所占频率为2×0.04=0.08，故8～12所占频率为0.12＞0.10，×2=8.5；故第90百分位数在[8，10]之间，即为10- 0.1−0.040.08（2）由频率分布直方图可得， x =（1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02）×2=5；s 2=[（1-5）2×0.08+（3-5）2×0.10+（5-5）2×0.14+（7-5）2×0.12+（9-5）2×0.04+（11-5）2×0.02]×2=7.04．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用，频率之和为1的应用，频率分布直方图中平均数、方差以及百分位数的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19.（问答题，12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【正确答案】：【解析】：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”，则P （A ）= 1220 = 35 ，P （B ）= 820 = 25 ，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B + AB ）=P （A ）P （ B ）+P （ A ）P （B ），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P （ AB ）=P （ A ）P （ B ）．由此能求出结果【解答】：解：（1）设事件A 表示“甲猜对”，事件B 表示“乙猜对”， 则P （A ）= 1220 = 35 ，P （B ）= 820 = 25 ， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P （A B + AB ）=P （A ）P （ B ）+P （ A ）P （B ）= 35×(1−25) +（1- 35 ）× 25 = 1325 ． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P （ AB ）=P （ A ）P （ B ）=（1- 35 ）（1- 25 ）= 625 ．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域；（3）若方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，求出函数的周期，从而求出ω的值，由此得到函数的解析式，利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可；（2）利用x的范围，求出3x−π3∈[0，π]，利用由正弦函数的性质求解即可；（3）令t=f（x），则t∈（0，2]，将问题转化为y=-m与y=3t2-t的图象在t∈（0，2]上只有一个交点，利用数形结合法求解即可．【解答】：解：（1）由题意，角φ的终边经过点P(1，−√3)，则有tanφ=−√3，又−π2＜φ＜0，则φ=−π3，因为当|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，则T=2π3=2πω，所以ω=3，故f（x）=2sin（3x- π3），令π2+2kπ≤3x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得5π18+2kπ3≤x≤11π18+2kπ3，k∈Z，所以函数f（x）的单调减区间为[5π18+2kπ3，11π18+2kπ3]，k∈Z；（2）因为x∈(π9，4π9)，则3x−π3∈(0，π)，所以sin(3x−π3)∈(0，1]故f（x）∈（0，2]，所以函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域为（0，2]；（3）由（2）可知，函数f（x）在x∈(π9，4π9)内的值域为（0，2]，令t=f（x），则t∈（0，2]，问题转化为方程3t2-t+m=0在（0，2]上仅有一个根或两个相等的根，① 当t=2，即m=-10，此时方程f（x）= 2sin(3x−π3)=2只有一解，② 当t∈（0，2），-m=3t2-t，则y=-m与y=3t2-t的图象在t∈（0，2）只有一个交点，即方程3[f（x）]2-f（x）+m=0在x∈(π9，4π9)内有两个不相等的实数解，故当-m= −112或0≤-m＜10 图象只有一个交点，故实数m的取值范围为{112}∪(−10，0]．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数性质的应用以及三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD̂所在的平面垂直，AB=2，AD= √22，M是CD̂上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用面面垂直的性质定理证明BC⊥平面CMD，进一步证明DM⊥平面BMC，由面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由面面垂直的性质定理可得MH⊥平面ABCD，则由线面角的定义，∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH=θ，设HC=x，（0＜x＜2），利用边角关系求出sin2θ=MH2MB2=2x−x22x+12，然后利用换元法2x+12=y∈(12，92)，结合基本不等式求解最值即可．【解答】：（1）证明：由题意可知，平面CMD⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM，因为M是CD̂上异于C，D的动点，且CD为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC，又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC；（2）解：过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由平面DMC⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD=CD，所以MH⊥平面ABCD，则∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH=θ，不妨设HC=x，（0＜x＜2），所以DH=2-x，则由射影定理可得，MH2=x（2-x）=2x-x2，又HB2=x2+(√22)2=x2+12，所以MB2=MH2+HB2=2x+12，故sin2θ=MH2MB2=2x−x22x+12，令2x+12=y∈(12，92)，故sin2θ=(y−12)(y−122)2y= 54−(y4+916y)≤54−2√y4•916y=12，当且仅当x= 12时取等号，所以sinθ的最大值为√22．【点评】：本题考查了面面垂直的性质定理和判定定理的应用，线面角定义的应用，利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是找到线面对应的角，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知f（x）=x2+x+a2+a，g（x）=x2-x+a2-a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）=max{f（x），g （x）}，（1）若a=1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．【正确答案】：【解析】：作差化简f（x）-g（x）=2（x+a），从而根据正负得M（x）= {f(x)，x≥−ag(x)，x＜−a，（1）当a=1时，M（x）= {x2+x+2，x≥−1x2−x， x＜−1，讨论求最小值，（2）根据函数f（x）和g（x）的对称轴分三类讨论求最值．【解答】：解：∵f（x）-g（x）=x2+x+a2+a-（x2-x+a2-a）=2（x+a），∴当x≥-a时，f（x）≥g（x），当x＜-a时，f（x）＜g（x），故M（x）=max{f（x），g（x）}= {f(x)，x≥−ag(x)，x＜−a，（1）当a=1时，M（x）= {x2+x+2，x≥−1x2−x， x＜−1，当x≥-1时，M（x）min=f（- 12）= 74，当x＜-1时，M（x）=g（x）＞g（-1）=2，故M（x）min= 74，（2）函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x=- 12、x= 12，① 当-a≤- 12，即a≥ 12时，M（x）在（-∞，- 12）上单调递减，在（- 12，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（- 12）=3，即a2+a- 134=0，解得a= √14−12或a=- 1+√142（舍去），② 当- 12＜-a≤ 12，即- 12≤a＜12时，M（x）在（-∞，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增，故M（x）min=f（-a）=3，即2a2=3，解得a=± √62（舍去），③ 当-a＞12，即a＜- 12时，M（x）在（-∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，故M（x）min=g（12）=3，即a2-a- 134=0，解得a=- √14−12或a= 1+√142（舍去），综上所述，a=± √14−12．【点评】：本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用及转化思想的应用，属于中档题．。

2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)1.已知集合A={A∈A|−2≤A<2}，A={0,1}，则下列判断正确的是()A。

A∈AB。

A∩A=⌀C。

A⊆AD。

A⊆A2.已知A>0，则对于2−3A−A^2，说法正确的是()A。

有最小值2+4√3B。

有最小值2−4√3C。

有最大值2+4√3D。

有最大值2−4√33.已知AA=(1,A)，AA//AA，则|AA+AA|=()A。

√10B。

√5C。

2√5D。

104.已知A=log0.3 3，A=log0.3 4，A=30.3，则()A。

A<A<AB。

A<A<AC。

A<A<AD。

A<A<A5.为了得到函数A=cos5A，A∈A的图象，只需把余弦函数的图象A=AAAA，A∈A上所有的点的()A。

横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B。

横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变C。

纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D。

纵坐标缩短到原来的5倍，横坐标不变6.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分。

如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A。

这9年我国快递业务量有增有减B。

这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C。

这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D。

这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7.在空间四边形ABCD中，若AA⊥AA，AA⊥AA，则对角线AC与BD的位置关系为()A。

相交但不垂直B。

垂直但不相交C。

不相交也不垂直D。

无法判断8.若直线l经过A(2,1)，A(1,−A/2)(A∈A)两点，则直线l 的倾斜角A的取值范围是()A。

≤A≤π/4B。

π/4<A<π/2C。

π/4≤A<π/2D。

π/2<A≤3π/49.三条直线A+A=4，A−A=1，A+AA=3构成三角形，则a 的取值可以是()A。

广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)广州市第二学期期末考试试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。

高一数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是A.-4/5B.-3/5C.-5/3D.5/34.不等式x-3x-10>0的解集是A.{x|-2≤x≤5}B.{x|x≥5,或x≤-2}C.{x|-25,或x<-2}5.若sinα=-3/5，α是第四象限角，则cos(π/4+α)的值是A.4/5B.7/10C.1/10D.1/76.若a,b∈R，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a>bB.若a<b，且a≠-b，则a+b<0C.若a≠|b|，则a≠bD.若a>b，则a-b<07.要得到函数y=3sin(2x+π/5)图象，只需把函数y=3sin2x 图象A.向左平移π/5个单位B.向右平移π/5个单位C.向左平移π/2个单位D.向右平移π/2个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.已知sinα=-17/46，cosα=15/46，则sinα+cosα的值是A.-17/46B.15/46C.-7/46D.7/4610.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2√2C.2D.2/√211.已知点(n,a_n)在函数y=2x-13的图象上，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为A.36B.-36C.6D.-612.若钝角ΔABC的内角A,B,C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A.(1,2) (2,+∞)B.(0,1)C.[3,+∞)D.(3,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本参考答案仅供参考，具体评分以考试时学校出题人和阅卷老师为准。

2020-2021学年第二学期期末考试高一数学 必修Ⅳ考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．化简AC -BD +CD -AB 得A ．ABB ．DAC ．BCD ．2．设sin α=-53,cos α=54，那么下列的点在角α的终边上的是 A ．(-3,4) B ．(-4,3) C ．(4,-3)D ．(3,-4)3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是 A．-B ．12C．D ．12-4．函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y5．在边长为2的正三角形ABC 中，BC AB •为A ．32B ．32-C ．2D ．2-x6．如图，ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 A ．AB OB OA =+ B ．BA OB OA =+C ．AB OB AO =-D ．CD OB OA =-7．若()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值是A ．1813B ．223C ．1213D ．618．函数f (x)是以π为周期的奇函数且1)4(-=-πf ,则)49(πf 的值为A ．4π B ．－4πC ．1D ．－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．求值：2525sin(-)cos 36ππ+= 。

10．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和 时间t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是______秒11．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 。

2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数21i-对应的点位于〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，对应的点为〔1,1〕在第一象限. 考点：复数的运算、复数和点的对应关系.2. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 发生的概率分别为，，，，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. A 与B C +是互斥事件，也是对立事件B. B C +与D 是互斥事件，也是对立事件C. A B +与C D +是互斥事件，但不是对立事件D. A C +与B D +是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 发生的概率分别为，，，，所以A 与B C +是互斥事件，但()()()()()0.61P A P B C P A P B P C ++=++=≠，所以A 与B C +不是对立事件，故A 错；B C +与D 是互斥事件，但()()()()()0.91P D P B C P D P B P C ++=++=≠，所以B C +与D 不是对立事件，故B 错；A B +与C D +是互斥事件，且()()()()()()1P A B P C D P A P B P C P D +++=+++=，所以也是对立事件，故C 错；A C +与B D +是互斥事件，且()()()()()()1P A C P B D P A P B P C P D +++=+++=，所以也是对立事件，故D 正确. 应选：D.【点睛】此题主要考察互斥事件与对立事件的定义，属于根底题型.3. 在ABC 中，2AB =，3BC =，AC =，那么cos B =〔 〕B.14C.4D.12【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得推论可得cos B 的值.【详解】在ABC 中，由题意知：3,2a b c ===22294101cos 22324a cb B ac +-+-===⨯⨯，应选：B【点睛】此题考察了余弦定理得推理，属于根底题.4. 非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，假设(0)OC a λλ=≠，那么λ等于( )A.a b a b⋅ B.2a b a⋅ C.2a b b⋅ D.a b a b⋅【答案】B 【解析】试题分析：BC OA ⊥,即()200BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即220a a b λλ-⋅=，20,a b aλλ⋅≠∴=．考点：平面向量的数量积的应用.5. x ，2s ，新平均分和新方差分别为1x ，21s ，假设此同学的得分恰好为x ，那么〔 〕A. 1x x =，221s s =B. 1x x =，221s s < C. 1x x =，221s s >D. 1x x <，221s s =【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式计算比拟即可.【详解】设这个班有n 个同学，分数分别是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()1n x -，方差为()()()()()222222121111i i n s a x a x a x a x a x n -+⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦-；第二次计算时，()11n nxx x -+=x =，方差为()()()()()()222222221121111++i i i n n s a x a x a x a x a x a x s n n-+-⎡⎤=-+-⋅⋅⋅-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦故有1x x =，221s s >.应选:C【点睛】此题主要考察样本的平均数和方差公式;属于中档题.6. 如下图，一个程度放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形'''OA B C ，且直观图'''OA B C 的面积为2，那么该平面图形的面积为〔 〕A. 2B. 42C 4 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为2直接解题即可. 【详解】根据斜二测画法的规那么可知该平面图形是直角梯形， 因为原图面积是直观图面积的22 所以平面图形的面积是22242=应选：B .【点睛】此题考察平面图形的斜二测画法，斜二测画法中，x轴上的线段及与x轴平行的线段长度不变，仍与x轴平行；y轴上的线段及与y轴平行的线段长度减半，仍与y轴平行，考察逻辑思维才能，属于常考题.7. 某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件一样的情况下,重复3次实验，各次实验互不影响，那么3次实验中至少成功2次〞，现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败,2，3，4，5,6,7，8,9表示单次实验成功，以3个随机数为组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如下表:根据以上方法及数据，估计事件A的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由随机模拟实验结合图表计算即可得解．【详解】由随机模拟实验可得：“在实验条件一样的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，那么3次实验中最多成功1次〞一共141，601两组随机数，那么“在实验条件一样的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，那么3次实验中至少成功2次〞一共20218-=组随机数， 即事件A 的概率为180.920=， 应选C ．【点睛】此题考察了随机模拟实验及识图才能，属于中档题．8. 如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，22AB =，2BC SC SD ===，BC SD ⊥，那么四棱锥S ABCD -的外接球的体积为〔 〕A.43π B.823πC.23πD. 3π【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD 为矩形和BC SD ⊥，利用线面垂直的断定定理得到BC ⊥平面SCD ，再利用面面垂直的断定定理得到平面ABCD ⊥平面SCD ，然后由222SC SD CD +=，得到SCD 是等腰直角三角形，进而得到四棱锥S ABCD -的外接球的球心为AC ，BD 的交点，然后求得半径即可.【详解】因为四边形ABCD 为矩形， 所以BC CD ⊥ 又BC SD ⊥，且SDCD D =，所以 BC ⊥平面SCD 所以 平面ABCD ⊥平面SCD 又222SC SD CD +=， 所以SCD 是等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心是CD 的中点，又四边形ABCD 为矩形的外接圆的圆心为AC ，BD 的交点，所以四棱锥S ABCD -的外接球的球心为AC ，BD 的交点，所以外接球的半径为R ==所以四棱锥S ABCD -的外接球的体积为343V R π==. 应选：D【点睛】此题主要考察四棱锥的外接球的半径及体积的求法以及线面垂直，面面垂直的断定定理的应用，还考察了空间想象和运算求解的才能，属于中档题.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分. 9. 以下各式中，结果为零向量的是〔 〕 A. AB MB BO OM +++ B. AB BC CA ++ C. OA OC BO CO +++ D. AB AC BD CD -+-【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 应选：BD【点睛】此题主要考察了向量的线性运算，属于根底题.10. 雷达图是以从同一点开场的轴上表示的三个或者更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图形方法，为比拟甲，乙两名学生的数学学科素养的各项才能指标值〔满分是为5分，分值高者为优〕，绘制了如下图的六维才能雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5， 那么下面表达正确的选项是〔 〕A. 甲的逻辑推理才能指标值优于乙的逻辑推理才能指标值B. 甲的数学建模才能指标值优于乙的直观直观想象想象才能指标值C. 乙的六维才能指标值整体程度优于甲的六维才能指标值整体程度D. 甲的数学运算才能指标值优于甲的直观想象才能指标值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据雷达图，比拟各项指标，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由雷达图可知，甲的逻辑推理才能指标值4优于乙的逻辑推理才能指标值3，即A正确；B选项，由雷达图可知，甲的数学建模才能指标值3低于乙的直观直观想象想象才能指标值4，故B错；C选项，由雷达图可知，乙的数据分析、数学抽象、数学建模指标都优于甲；甲乙的直观想象指标一样；甲的逻辑推理、数学运算指标优于乙；因此乙的六维才能指标值整体程度优于甲的六维才能指标值整体程度，即C正确；D选项，由雷达图可知，甲的数学运算才能指标值4低于甲的直观想象才能指标值5，即D 错；应选：AC.【点睛】此题主要考察统计图的应用，属于根底题型.11. 某公司消费三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进展检验，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 应采用分层随机抽样抽取B. 应采用抽签法抽取C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的【答案】ACD【解析】【分析】根据简单随机抽样的特点知应选分层抽样，按照抽样比即可得三种型号的轿车分别应抽取的数量.【详解】因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层抽样，选项A 正确. 因为个体数目多，用抽取法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有好的代表性，应选项B 正确. 抽样比为573150060002000500=++ ，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项C 正确.分层抽样种，每一个个体被抽到的可能性一样. 应选项D 正确. 故答案为：ACD【点睛】此题主要考察了简单随机抽样与系统抽样的特点，属于根底题.12. 如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点，那么以下结论正确的选项是〔 〕A. 点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B. 假设正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值为13C. 在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30°D. 点M 存在无数个位置满足//BM 平面11B D C 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明1AD ⊥面1A DC ，可得当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥，可判断A ； 由11B C MD C D B M V V --=，当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的间隔 最大，计算11B A C DV -可判断B ；连接1A M ，因为11//CD A B ，那么11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角，利用余弦定理算出1A M 的间隔 ，可判断C ； 证明平面11//B CD 平面1A BD ，即可判断D. 【详解】解：对于A ，连接111,,,AD A D DC AC 由正方体的性质可得1111,,AD A D AD DC A D DC D ⊥⊥=，1,A D DC ⊂平面1A DC那么1AD ⊥平面1A DC当点1M A D ∈上时，有1CM AD ⊥故点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥，故A 正确；对于B ，由11B C MD C D B M V V --=当点M 与点1A 重合时，点M 到面1C BD 的间隔 最大那么三棱锥1B C MD -的体积最大值为11311114111323A C BD V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ， 连接1A M因为11//CD A B ，所以11A B M ∠为异面直线1B M 与CD 所成的角设正方体棱长为1，1A M x =，那么2211B M x =+点1A 到线1AD 的间隔 为2211222+=，212x ∴≤≤ 22112113cos cos 20213x x A B M x ︒++-∠===+ 解得32,132x ⎡⎤=∉⎢⎥⎣⎦所以在线段1AD 上不存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒，故C 错误；对于D ，连接111111,,,,,A B BD A D D C D B B C11//A D BC ，11A D BC =∴四边形11A BCD 为平行四边形，那么11//A B D C1A B ⊄平面11B CD ，1D C ⊂平面11B CD1//A B ∴平面11B CD ，同理可证//DB 平面11B CD 1A B DB B ⋂=，1,A B DB ⊂平面1A BD ∴平面11//B CD 平面1A BD假设1M A D ∈，MB ⊂平面1A BD ，那么//BM 平面11B D C ，故D 正确；应选：ABD【点睛】此题考察空间垂直关系的证明和判断，考察几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平行的判断，属于中档题.三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下〔单位：cm 〕：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，174，175，假设样本数据的第90百分位数是173，那么x 的值是________. 【答案】172 【解析】 【分析】根据百分位数的意义求解.【详解】百分位数的意义就在于，我们可以理解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，此题第90百分位数是173，所以1741732x +=，172x = 故答案为:172【点睛】此题考察样本数据的第多少百分位数的概念.14. 假设34z i =-〔i 为虚数单位〕，那么||zz =____________. 【答案】3455i + 【解析】 【分析】由复数z 求出一共轭复数34z i =+，求得复数的模||5z ==，即可求出||z z . 【详解】解：由34z i =-，得：34z i =+，||5z ==，3434||555z i i z +==+∴. 故答案为：3455i +. 【点睛】此题考察一共轭复数的概念以及复数的模的运算.15. 等边ABC ∆，D 为BC 中点，假设点M 是ABC ∆所在平面上一点，且满足1132AM AD AC =+，那么AB CM ⋅=__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用向量加、减法的几何意义可得1163CM AB AC =-，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】根据向量减法的几何意义可得：CM AM AC =-, 即()11111323211326AD AC AB CM AC AB AC AC AC =-=-+⨯+-=, 所以211116363AB CM A AB AC AC B AB AB ⎛⎫⋅=⋅=--⋅ ⎪⎝⎭ 211cos 063AB A A A B C -⋅==. 故答案为：0【点睛】此题考察了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于根底题. 16. 某内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如下图，假设被截正方体的棱长是50cm ，那么石凳的外表积为________2cm .【答案】2(750025003)cm + 【解析】 【分析】由题意，该几何体是由棱长为50cm 的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，该几何体是由棱长为50cm 的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，同时几何体是由8个底面边长为252cm 的等边三角形和边长为252cm 的6个正方形组成的一个14面体， 所以该几何体的外表积为：218606(75002S cm =⨯⨯+⨯=+.故答案为：2(7500cm +.【点睛】此题主要考察了空间几何体的构造特征，以及几何体的外表积的计算，其中解答中正确断定几何体的构造特征是解答的关键，着重考察了空间想象才能，以及计算才能，属于根底题.四、解答题：此题一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17. 设()2,0a →=，(b →=.〔1〕假设a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，务实数λ的值；〔2〕假设(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.【答案】〔1〕12λ=；〔2〕1x =，1y =或者1x =-，2y =. 【解析】 【分析】〔1〕根据向量垂直的坐标运算即可求解；〔2〕由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】〔1〕∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=，∴12λ=. 〔2〕∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 6m bm bπ→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或者12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或者1x =-，2y =.【点睛】此题主要考察了向量的坐标运算，考察了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题.18. 甲，乙，丙三名射击运发动分别对一目的射击1次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，丙射中的概率为0.95.求：〔1〕三人中恰有一人没有射中的概率；〔2〕三人中至少有两人没有射中的概率.〔准确到〕 【答案】〔1〕；〔2〕0.012. 【解析】 【分析】〔1〕设甲，乙，丙三人射击1次射中目的的事件为A ，B ，C .根据事件A ，B ，C 互相HY ，那么三人中恰有一人没有射中的概率()()()P ABC P ABC P ABC++，()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++求解.〔2〕根据事件A ，B ，C 互相HY ，三人中至少有两人没有射中的概率由()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC +++求解.【详解】设甲，乙，丙三人射击1次射中目的的事件为A ，B ，C .〔1〕()0.90P A =，()()0.95P B P C ==，()0.10P A =，()()0.05P B P C ==， ∵事件A ，B ，C 互相HY ，∴三人中恰有一人没有射中的概率为：()()()P ABC P ABC P ABC ++，()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++，20.900.950.050.100.950.950.176=⨯⨯⨯+⨯⨯≈.∴三人中恰有一人没有射中的概率为0.176. 〔2〕解法一：三人中至少有两人没有射中的概率为()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC +++ 220.900.0520.100.050.950.100.05=⨯+⨯⨯⨯+⨯0.012=，∴三人中至少有两人没有射中的概率为0.012. 解法二：三人都射中的概率为()()()()P ABC P A P B P C =20.900.95=⨯0.812≈.由〔1〕知，三人中恰有一人没有射中的概率为，∴三人中至少有两人没有射中的概率为()()10.17610.8120.176P ABC --=-+0.012=.∴三人中至少有两人没有射中的概率为0.012.【点睛】此题主要考察HY 事件与互斥事件的概率的求法，属于根底题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，23BC =，AC BC ⊥，D 是线段AB 上的动点.〔1〕当D 是AB 的中点时，证明：1//AC 平面1B CD ； 〔2〕假设CD AB ⊥，证明：平面11ABB A ⊥平面1B CD . 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，根据线面平行的断定定理，即可证明结论成立； 〔2〕先由线面垂直的断定定理，证明CD ⊥平面11ABB A ，进而可得面面垂直. 【详解】〔1〕证明：如图，连接1BC ，交1B C 于E ，连接DE ，那么E 是1BC 的中点， ∵D 是AB 的中点， ∴1//DE AC ，又DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1//AC 平面1B CD .〔2〕证明：∵1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴1AA CD ⊥， 又CD AB ⊥，1AA AB A =，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，∴CD ⊥平面11ABB A ， 又CD ⊂平面1B CD ， ∴平面11ABB A ⊥平面1B CD .【点睛】此题主要考察证明线面平行，证明面面垂直，熟记断定定理即可，属于常考题型. 20. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并答题.①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+；③ABC 的面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. 〔1〕求C ；〔2〕假设D 为AB 中点，且2c =，3CD =a ，b .【答案】〔1〕3C π=；〔2〕2a b ==.【解析】 【分析】〔1〕根据所选条件，由正弦定理和余弦定理，逐步计算，即可得出结果；〔2〕先根据题意，由余弦定理，得出24b ADC =-∠，24a BDC =-∠，求出228a b +=，再由〔1〕的结果，根据余弦定理，得到4ab =，进而可求出结果.【详解】〔1〕方案一：选条件① ∵sin sin sin sin A C A B b a c --=+，由正弦定理可得，a c a b b a c--=+， 即222a c ab b -=-，∴222a b c ab +-=， ∴由余弦定理可得：222cos 122a b c C ab +-==. ∴3C π=.方案二：选条件②〔1〕∵2cos cos cos c C a B b A =+，∴根据正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，∴2sin cos sin()C C A B =+，∴2sin cos sin C C C =. ∴1cos 2C =， ∴3C π=.方案三：选条件③〔1〕由题意知，sin si 11()2si si 2n n n C A ab c a b c B C =+-， ∴由正弦定理可得，()222abc c a b c=+-，∴222a b c ab +-=， ∴由余弦定理可得，222cos 122a b c C ab +-==，∴3C π=.〔2〕由题意知，1AD BD ==，CD =在ACD △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即24b ADC =-∠.在BCD 中，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+∠-⋅⋅，即24a BDC =-∠，∵ADC BDC π∠+∠=，∴cos cos ADC BDC ∠=-∠，∴228a b +=.由〔1〕知，222cos 122a b c C ab +-==， ∴2224a b c ab ab +=+=+，∴4ab =，由2284a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得2a b ==. 【点睛】此题主要考察解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.21. “肥桃〞因产于境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年〔1583年〕的?县志?载：“果亦多品，惟桃最著名〞.2016年3月31日，原HY 农业部批准对“肥桃〞施行国家农产品地理标志登记保护，某超在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元，销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该超以往的销售情况，得到如下图的频率分布直方图：〔1〕估算该超肥桃日需求量的平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值代表〕； 〔2〕该超某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x 个()N,0240x x ∈≤≤，销售利润为y 元.〔i 〕求y 关于x 的函数关系式；〔ii 〕结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y 不小于650元的概率.【答案】〔1〕124；〔2〕〔i 〕()750,150240N 10750,0150x y x x x ≤≤⎧=∈⎨-≤<⎩；〔ii 〕0.375. 【解析】【分析】 〔1〕先设日需求量为t ，根据频率分布直方图，以及频率之和为1求出各组的频率，再由每组的中点值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；〔2〕〔i 〕根据题意，分布得出[]150,240x ∈，[)0,150x ∈时，对应的函数解析式，即可得出结果；〔ii 〕由〔i 〕的结果，令650y ≥求出140240x ≤≤，再由频率分布直方图求出对应频率，即可得出结果.【详解】〔1〕设日需求量为t ，那么[)0,40t ∈的频率为0.00125400.05⨯=；[)80,120t ∈的频率为0.0075400.3⨯=；[)120,160t ∈的频率为0.00625400.25⨯=；[]200,240y ∈的频率为0.0025400.1⨯=.∴[)40,80t ∈与[)160,200t ∈的频率为1(0.050.30.250.1)0.152-+++=. ∴该超桃日需求量的平均数为 0.05200.15600.31000.251400.151800.1220t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯124=.〔2〕〔i 〕当[]150,240x ∈时，()1501510750y =⨯-=；当[)0,150x ∈时，(1510)(150)(105)10750y x x x =----=-，∴()750,150240N 10750,0150x y x x x ≤≤⎧=∈⎨-≤<⎩. 〔ii 〕由〔i 〕可知，()750,150********,0150x y x N x x ≤≤⎧=∈⎨-≤<⎩， 令650y ≥，解得140240x ≤≤，由频率分布直方图可知，日需求量[]140,240x ∈的频率约为0.250.150.10.3752++=， 以频率估计概率的思想，估计当天利润y 不小于650元的概率约为0.375.【点睛】此题主要考察由频率分布直方图求平均数，考察分段函数模型的应用，考察由频率分布直方图求概率，属于常考题型.22. ?九章算术?是中国古代的一部数学专著，是?算经十书?中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完好的体系.?九章算术?中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑〞，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC .〔1〕从三棱锥P ABC -中选择适宜的两条棱填空：________⊥________，那么三棱锥P ABC -为“鳖臑〞；〔2〕如图，AD PB ⊥，垂足为D ，AE PC ⊥，垂足为E ，90ABC ∠=︒. 〔i 〕证明：平面ADE ⊥平面PAC ；〔ii 〕设平面ADE 与平面ABC 交线为l ，假设3PA =2AC =，求二面角E l C --的大小.【答案】〔1〕BC AB ⊥或者BC AC ⊥或者BC PB ⊥或者BC PC ⊥；〔2〕证明见解析；〔3〕30.【解析】【分析】〔1〕根据“鳖臑〞的概念，由题意，由线面垂直的断定定理和性质，直接补充条件即可； 〔2〕〔i 〕根据线面垂直的断定定理，先证明BC ⊥平面PAB ，AD ⊥平面PBC ，推出BC AD ⊥，PC AD ⊥；再得到PC ⊥平面ADE ，根据面面垂直的断定定理，即可证明面面垂直；〔ii 〕先由题意，设DE BC F ⋂=，连结AF ，那么AF 即为l ，根据线面垂直的断定定理和性质，证明EAC ∠即为二面角E l C --的一个平面角，再由题中数据，直接计算，即可得出结果.【详解】〔1〕因为“鳖臑〞是由四个直角三角形组成的四面体，又PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA BC ⊥；即PAB △，PAC 为直角三角形；假设BC AB ⊥，由AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，可得：BC ⊥平面PAB ； 所以BC PB ⊥，即ABC ，PBC 为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；同理，可得BC AC ⊥或者BC PB ⊥或者BC PC ⊥，都能满足四个面都是直角三角形； 故可填：BC AB ⊥或者BC AC ⊥或者BC PB ⊥或者BC PC ⊥；〔2〕〔i 〕证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A =，,PA AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又AD ⊂平面PAB ，∴BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥平面PBC ，又PC ⊂平面PBC ，∴PC AD ⊥，又AE PC ⊥，AE AD A =，,AD AE ⊂平面ADE ，∴PC ⊥平面ADE ，又PC ⊂平面PAC ，∴平面ADE ⊥平面PAC .〔ii 〕由题意知，在平面PBC 中，直线DE 与直线BC 相交.如下图，设DE BC F ⋂=，连结AF ，那么AF 即为l .∵PC ⊥平面AED ，l ⊂平面AED ，∴PC l ⊥，∵PA ⊥平面ABC ，l ⊂平面ABC ，∴PA l ⊥，又PA PC P =，,PA PC ⊂平面PAC ，∴l ⊥平面PAC ，又,AE AC ⊂平面PAC ，∴AE l ⊥，AC l ⊥.∴EAC ∠即为二面角E l C --的一个平面角.在PAC 中，PA AC ⊥，PA =2AC =，∴4PC =，又AE PC ⊥，∴24AP ACAE PC ⨯===∴cos 2AE EAC AC ∠==，∴30EAC ∠=︒，∴二面角E l C --的大小为30.【点睛】此题主要考察证明面面垂直，考察求二面角的大小，熟记线面垂直与面面垂直的断定定理，以及二面角的求法即可，属于常考题型.创作人：历恰面日期：2020年1月1日。