概率与统计初步

第七章 概率与统计初步

概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律的一门科学，它在自然科学，工程技术和经济管理等方面都有广泛应用。本章我们主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的数字特征和参数估计。

§7.1 随机事件与概率

一. 随机现象与随机事件

在自然界与人类社会生活中常常会遇到两类现象，一类是确定性现象，另一类是随机现象。例如，抛掷一枚硬币，必然会下落；在标准大气压下，C100的水必然沸腾等等是在一定的条件下必然会发生的现象，这些现象称为确定性现象。而抛掷一枚硬币，下落后可能出现正面也可能出现反面；产品进行质量检查，任意抽取到的产品可能是正品也可能是次品；某人进行一次射击可能命中也可能不命中等等．在一定的条件下可能发生也可能不会发生的现象，这些现象称为随机现象或者不确定性现象。表面上看随机现象具有偶然性和不确定性，但在相同条件下进行大量的重复试验就会发现其结果会呈现出某种规律性．

对随机现象进行一次观察或试验称为一次随机试验（简称试验）。这种试验有以下特点：可以在相同的条件下重复进行，每次试验的所有可能结果事先是已知的，但试验前不能确定哪一个结果出现。如抛硬币或从一批产品任意抽取产品观察其结果都是随机试验．

随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件（简称事件），常用大写字母CBA,,表示。

例1 抛掷一枚均匀的骰子，“出现k点”)6,5,4,3,2,1(k是随机事件，分别记为)6,,2,1(kAk；“出现大于3的点数”，“出现偶数点”，“出现不大于6的点数”也都是随机事件，分别记为.,,CBA

在例1 中，事件61,,AA是试验中不可能再分解的事件，称之为基本事件。全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间（记为)，每个基本事件称为样本点，如例1中},,,,,{654321AAAAAA，其中)6,5,4,3,2,1(kAk都是样本点。事件C在试验中是一定会发生的事件，称为必然事件（显然事件C,故必然事件也记为）；在试验中一定不会发生的事件，称为不可能事件（记为)。例1的试验中，“出现大于6的点数”就是不可能事件。

二. 事件的关系与运算

1． 事件的包含与相等

如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为,AB或.BA如图7.1所示。

如果事件A与事件B互相包含，即,AB且.AB，则称事件B与事件A相等，记为.BA

2． 事件的和（或并）

“事件A与事件B至少有一个发生”的事件，称为事件A与B的和（或并），记为,BA或.BA如图7.2所示。

对任意事件A，有 AAAAAA,,。

事件的和（或并）的概念可推广到有限个事件。

事件nAAA,,,21至少发生一个这一事件，称为事件nAAA,,,21的和（或并），记为

nkknAAAA121或.121nkknAAAA

3． 事件的交（或积）

“事件A与事件B同时发生”的事件，称为事件A与B的交（或积），记为,AB或.BA如图7.3所示。

对任意事件A，有 ..,,AAAAAA

事件的交（或积）的概念可推广到有限个事件。

事件nAAA,,,21同时发生这一事件，称为事件nAAA,,,21的交（或积），记为

nkknAAAA121或.121nkknAAAA

ABBA图7.1ABBA图7.2AB图7.3ABABAB

4．互斥事件（或互不相容事件）

如果事件A与事件B不可能同时发生，即AB，则称事件A与事件 B为互斥事件，或者为互不相容事件。如图7.4所示。

互斥事件的概念可推广到有限个事件的情形。

事件组nAAA,,,21中，如果其中任意两个都是互斥的，则称该事件组是两两互斥的． 5．对立事件（或互逆事件）

如果事件A与事件B不可能同时发生但又必有一个发生，即AB且,BA则称事件A与事件 B为对立事件（或互逆事件），同时也称B是A的逆事件（或A是B的逆事件），记为.____BA如图7.5所示

注意 从定义中可看出互斥与对立是不相同的概念，对立必互斥，但互斥不一定对立．

对任意事件A，有 .,______AAAA.AA

6．事件的差

“事件A发生而事件B不发生”的事件，称为事件A与B的差，记为BA．如图7.6所示。可以验证：ABABABABA,___

例２ 设10 件产品中有3 件次品，7件正品，从中任取2 件，若事件A=“恰有一件次品”，事件B=“两件都是次品”，事件C=“至少有一件次品”，事件D=“至多有一件次品”，则有关事件中的一些关系有：CA，BAC，,ACD.DCＡ与B互斥（但不对立），D与B对立（),DBBD，.__ABCBC

ABBA图7.4ABAB图7.5BA图7.6ABABABB

例３ 对某一目标进行三次射击，每次射击一枪，设iA“第i枪击中目标”（i=1,2,3），试用iA及___iA表示下列事件：

（1）三枪都击中目标；（2）三枪都没击中目标；（3）恰有一枪击中目标；

（4）至少有一枪击中目标；（5）至多有一枪击中目标．

解 （1）321AAA；（2）___3___2___1AAA；（3）___3___21AAA+___32___1AAA+3___2___1AAA；

（4）321AAA；（5）___3___2___1AAA+___3___21AAA+___32___1AAA+3___2___1AAA．

三．事件的概率及加法公式

我们研究随机试验不仅关心哪一个事件可能发生或不发生，更想知道某事件发生的可能性有多大。能否用一个数值来表示事件发生的可能性大小呢？历史上人们经过长期研究得到了表示事件发生的可能性大小的数值，这就称为事件的概率。 历史上，不少统计学家为了观察抛掷一枚硬币，落地时“出现正面”这一事件发生的概率的大小，曾做过大量的试验，其试验的结果如下表：

试 验 者 试验次数n 出现正面的次数m

m/n

德 摩 根 2048 1061 5181.0

蒲 丰 4040 2048 5069.0

K．皮尔逊 12000 6019 5061.0

K．皮尔逊 24000 12012 5005.0

维 尼 30000 14994 4998.0

从上表可以看到，“出现正面”的事件(设为A)发生的次数m与试验次数n之比nm（称为事件A发生的频率）总在5.0附近摆动，且随着n的增加摆动的幅度越来越小，呈现出一种稳定状态。一般地，随着试验次数的逐渐增加，频率总是稳定于某一常数附近，这个常数就是事件发生的概率。

像抛掷硬币试验有两大特征：（1）每次试验的样本空间只有有限个基本事件；（2）各基本事件出现是等可能的。这类试验的模型称为古典概型。在古典概型中事件的概率可以按以下定义计算。

定义１（概率的古典定义）在古典概型中，若基本事件的总数是,n事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为

.)(nmAAP基本事件的总数包含的基本事件数事件 （1）

由定义可知，概率有下列性质：

（1） 对于任意事件A，0.1)(AP （2）,1)(P.0)(P

用概率的古典定义求概率，在确定基本事件的总数和事件Ａ包含的基本事件数时，往往要用到排列与组合的知识。

例４ 盒中有８个球，其中有5个红球，3 个白球．求（1）从中任取一球，所取的球为红球的概率；（2）从中任取二球，所取的球为一红一白的概率；（3）从中任取三球，所取的球为二红一白的概率。

解 （1）设A=“所取的球为红球”，则基本事件的总数是,818Cn事件A含基本事件个数,515Cm由公式（1）可知 .85)(nmAP

（2）设B=“所取的球为一红一白”，则基本事件的总数是,2828Cn事件B含基本事件个数,151315CCm由公式（1）可知 .2815)(nmBP

（3）设C=“所取的球为二红一白”，则基本事件的总数是5638Cn，事件C含基本事件个数,301325CCm由公式（1）可知 .28155630)(nmCP 例５ 有20件产品，其中有2 件次品，其余为合格品．在18件合格品中有12 件一等品，6件二等品．现从中任取5件，求下列事件的概率：

（1）取得的产品全是合格品，但有2件是二等品。

（2）取得的产品至少有4件为一等品。

解 从20件产品中任取5件，有520C种取法，即n.520C

（1）设A=“取得的5 件合格品中有2件是二等品”，则事件A含基本事件的个数是,26312CCm由公式（1）可知 .1292275)(52026312CCCnmAP

（2）设B=“取得的5 件产品中至少有4 件是一等品”，则事件B含基本事件的个数是,18412512CCCm由公式（1）可知 .32399)(52018412512CCCCnmBP

（三）概率的加法公式

1．互斥事件的加法公式

定理1 若事件A与事件B互斥，则有

).()()(BPAPBAP （2）

由互斥事件的加法公式，可以得出下列三个推论：

推论1 若nAAA,,,21 两两互斥，则

).()()()(212!nnAPAPAPAAAP （3 ）

即两两互斥事件之和的概率等于各事件的概率之和。

推论2 对于任一事件,A有 ).(1)(APAP （4）

推论3 如果,BA则有 ).()(),()()(BPAPBPAPBAP且

例６ 20件商品中有18件正品，2件次品．从中任取3件，求至多有1件次品的概率。

解 设A“至多有1件次品”，0A“全是正品”，1A“恰有1件次品”，则

,10AAA且10,AA互斥，

又.19051)(,9568)(3201221813203180CCCAPCCAP

由公式（2）得

.984.0190187190519568)()()()(1010APAPAAPAP

此例另一解法。因A=“恰有2件次品”，而

016.01903)(32022118CCCAP，