2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

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- 2 - / 12 直线、平面垂直的判定及其性质

［考试要求］ 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

1．直线与平面垂直

（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

(2）判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

错误!⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 错误!⇒a∥b

2。直线和平面所成的角

(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2)当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.

（3)范围：错误!.

3．二面角的有关概念

(1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

（3）范围:[0，π］．

4．平面与平面垂直

（1）定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2）判定定理与性质定理 2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

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文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

错误!⇒α⊥β

性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 错误!⇒l⊥α

错误!

直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线。

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面．

(3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

(5）两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面．

一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）垂直于同一个平面的两平面平行． ( )

（2）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. ( ）

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ( )

（4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β。 ( )

［答案］ (1）× (2）× (3) × (4)×

二、教材习题衍生

1．下列命题中错误的是（ )

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

A ［A错误，l与β可能平行或相交，其余选项均正确．］

2．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点,现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1,G2,G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有( ) 2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

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A．SG⊥△EFG所在平面

B．SD⊥△EFG所在平面

C．GF⊥△SEF所在平面

D．GD⊥△SEF所在平面

A ［四面体S-EFG如图所示:

由SG⊥GE,SG⊥GF.

且GE∩GF＝G得

SG⊥△EFG所在的平面．

故选A．]

3.如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ．

4 [∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC，

则△PAB,△PAC为直角三角形．

由BC⊥AC,且AC∩PA＝A,

∴BC⊥平面PAC,

从而BC⊥PC．

因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]

考点一 直线与平面垂直的判定与性质 2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

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判定线面垂直的四种方法

[典例1］ （1）(2019·北京高考）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断:

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 。

（2）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点,且AD＝错误!DB，点C为圆O上一点,且BC＝错误!AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB．

求证：PA⊥CD．

(1)②③⇒①或①③⇒② [(1)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.］

(2)［证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中,由错误!AC＝BC，得∠ABC＝30°。

设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2错误!，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，

所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB．

因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以PD⊥CD,由PD∩AB＝D,得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD．

点评：通过本例(2)的训练我们发现:判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正余弦定理及勾股定理的应用．

错误!

如图所示，在直三棱柱ABC。A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时,证明：B1F⊥平面ADF。 2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

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[证明］ 因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC，

所以AD⊥B1B．

因为BC∩B1B＝B,BC,B1B⊂平面B1BCC1，

所以AD⊥平面B1BCC1.

因为B1F⊂平面B1BCC1,

所以AD⊥B1F.

法一：在矩形B1BCC1中，

因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，

所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，

所以∠CFD＝∠C1B1F，

所以∠B1FD＝90°,所以B1F⊥FD．

因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，

所以B1F⊥平面ADF。

法二：在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，

所以B1D＝错误!＝错误!.

在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，

所以B1F＝错误!＝错误!。

在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1,

所以DF＝CD2＋CF2＝错误!。

显然DF2＋B1F2＝B1D2,

所以∠B1FD＝90°.所以B1F⊥FD．

因为AD∩FD＝D,AD，FD⊂平面ADF，

所以B1F⊥平面ADF。

考点二 面面垂直的判定与性质

证明面面垂直的两种方法 2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

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[典例2]（2020·雅安模拟)如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD．

（1)求证：平面ACF⊥平面BDF；

(2）若∠CBA＝60°，求三棱锥E。BCF的体积．

[解] (1）证明：在菱形ABCD中，AC⊥BD,

∵FD⊥平面ABCD，∴FD⊥AC．

又∵BD∩FD＝D，∴AC⊥平面BDF.

而AC⊂平面ACF,∴平面ACF⊥平面BDF。

(2)取BC的中点O，连接EO，OD，

∵△BCE为正三角形,∴EO⊥BC，

∵平面BCE⊥平面ABCD且交线为BC，

∴EO⊥平面ABCD．

∵FD⊥平面ABCD,

∴EO∥FD，得FD∥平面BCE。

∴VE.BCF＝VF.BCE＝VD。BCE＝VE.BCD．

∵S△BCD＝错误!×2×2×sin 120°＝错误!，EO＝错误!。

∴VE.BCF＝错误!S△BCD×EO＝错误!×错误!×错误!＝1。

点评：抓住面面垂直的性质，实现面面与线面及线线垂直间的转化是求解本题的关键,另外在第（2)问求解体积时等体积法的应用，是破题的另一要点，平时训练要注意灵活应2022届高考数学统考一轮复习第7章立体几何第4节直线平面垂直的判定及其性质教师用书教案理新人教版

- 8 - / 12 用．

错误!

（2020·广州模拟）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝错误!，O,M分别为AB,VA的中点．

(1)求证：平面MOC⊥平面VAB；

(2)求三棱锥B。VAC的高．

[解] (1）证明：∵AC＝BC，O为AB的中点,

∴OC⊥AB．

∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB．

∵OC⊂平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB．

（2)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝错误!，

∴AB＝2，OC＝1，

∴等边△VAB的面积为S△VAB＝错误!×22×sin 60°＝错误!,

又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，

在△AMC中，AM＝1，AC＝错误!，MC＝错误!，

∴S△AMC＝错误!×1×错误!＝错误!，∴S△VAC＝2S△MAC＝错误!，

由三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,

即错误!S△VAC·h＝错误!S△VAB·OC， ∴h＝错误!＝错误!,

即三棱锥B.VAC的高为错误!.

考点三 平行与垂直的综合问题

1。对命题条件的探索的三种途径

途径一：先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明．

途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

途径三:将几何问题转化为代数问题．

2．解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．

（1）与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；